面积等分问题

中考 25 题常考类型 ------ 面积均分问题本节课讲了两种类型，第一种三角形和不规则四边形面积均分问题；第二种特殊的四边形面积均分问题。

在讲三角形面积均分时学生很容易就理解三角形的中线就能均分三角形面积。

但是在具体的题中要求过三角形一边的某一个定点均分三角形面积。

这道题学生觉得有难度，需要老师架一个梯度，帮助学生突破这种过定点等分的情形，其中需要用到蝴蝶模型，所以在讲过定点面积等分问题前给学生铺垫了蝴蝶模型。

即就是平行线剪的三角形面积相等，借助同底等高，不仅可以面积相等，还可以根据平行线做的位置不同转变三角形的位置。

引入：等腰三角形面积等分---一般三角形面积等分得到结论：三角形的中线能够等分三角形的面积。

师：在没有任何条件限制下，等分三角形面积我们知道找三角形中线即可。

那么要是有条件限制呢？比如过三角形ABC一边BC上的一定点P的直线如何等分三角形面积？先抛出问题，引发学生独立思考，再进行小组合作。

师：在解决这个问题前我们先来看一个模型---蝴蝶模型。

引入蝴蝶模型。

小结：我们发现蝴蝶模型存在等积转化的方法，即可以构造平行线，转化面积。

师：我们思考这个问题，已经会用中线等分面积了，那如何使得过定点的直线等分三角形面积？生：（思考中）生：（小组合作中）生：我考虑借助蝴蝶模型进行等积转化。

师：很好，给其他同学也提供了思路，可以朝这个方向思考。

再思考蝴蝶模型在什么线中产生的？生：平行线中产生，所以要构造平行线。

师：很棒，那么我们是等积转化，如何转化？在什么情况下可以转化成等分面积的情形呢？生：在已知中线可以等分面积的基础上，考虑结合中点构造平行线和蝴蝶模型。

生：我连接AP，取BC边上的中点M，连接AM，过M作MD平行于AP交AB于点D，连接DP，构造平行线，得到等积模型，从而得到三角形APM和三角形ADP面积相等，将这两个三角形面积进行转化，得到四边形DPCA的面积等于三角形AMC的面积，即就是四边形DPCA的面积等于三角形ABC的一半，即直线DP即为所求的直线。

平面图形的面积(一)——图形的等分例1 有一个三角形花坛，要把它平均分成两个相等的三角形，可以怎样分？练习将任一三角形分成面积相等的六个三角形，应怎么分？例2 三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。

练习已知AE=3AB,BD=2BC，三角形ABC的面积是6，求三角形BDE的面积。

练习如图所示，找出梯形ABCD中有几组面积相等的三角形。

例3 已知三角形ABC的面积是12平方厘米，并且BE=2EC，F是CD的中点。

求阴影部分面积。

练习AC是CD的3倍，E是BC的中点，三角形CDE的面积为2平方厘米。

求三角形ABC的面积。

练习如图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG＝3厘米，长方形EFGD的长是5厘米，DE长几厘米？例4 在一块长方形的地里有一口长方形的水井，试画一条线把除井处的这块地平分成两块。

练习下图为5个面积为1的正方形拼成的。

试用一直线将此图形划分为面积相等的两块。

例5 将下图分成4个形状、大小完全相同的图形，且每个部分中都有一个小黑圈。

练习将下图分成4个形状相同、面积相等的小块。

作业1、三角形的面积公式：________________。

同底等高的三角形面积___________。

平行线间的距离处处___________。

2、甲、乙两个三角形的高相等，若甲的底是乙的底的5倍，则甲的面积就是乙面积的_____倍。

3、甲、乙两个三角形的底相等，若甲的高是乙的高的4倍，则甲的面积就是乙面积的______倍。

4、把一个等边三角形分成面积相等的三个三角形，有________种不同的方法。

5、如图1，该图是一个直角梯形，面积相等的三角形有_________组，请分别写出________________ __________________________________。

6、如图2，AD与BC平行，AD=5，BC=10，三角形ADC面积为10，则三角形ABC的面积是_______________。

模型介绍线段分三角形面积问题.☑当三角形具有公共顶点，并且底边共线时，三角形面积比等于底边边长比.如图当S △ABD ∶S △ADC ＝m ∶n 时，则BD CD ＝m n .例题精讲【例1】．如图，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点为G ，且AG ：GD ＝2：1，若S △ABC ＝12，则图中阴影部分的面积是4．解：∵△ABC 的三条中线AD 、BE ，CF 交于点G ，AG ：GD ＝2：1，∴AE ＝CE ，∴S △CGE ＝S △AGE ＝S △ACF ，S △BGF ＝S △BGD ＝S △BCF ，∵S △ACF ＝S △BCF ＝S △ABC ＝×12＝6，∴S△CGE＝S△ACF＝×6＝2，S△BGF＝S△BCF＝×6＝2，∴S阴影＝S△CGE+S△BGF＝4．故答案为：4．变式训练【变式1-1】．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝8cm2，则S△BEF的面积是（）A．4cm2B．3cm2C．2cm2D．1cm2解：∵D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，∵E是AD的中点，∴S△ABE＝S△BDE＝S△ABD，S△AEC＝S△CDE＝S△ADC，∵F是EC的中点，∴S△BEF＝S△BCF＝S△BCE，∵S△ABC＝8cm2，∴S△BCE＝4cm2，∴S△BCF＝2cm2，故选：C．【变式1-2】．如图，在直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点坐标B（17，6），C（5，6），直线y＝x+b恰好将平行四边形OABC的面积分成相等的两部分，那么b＝﹣．解：连接AC、BO，交于D．∵平行四边形OCBA，∴BC∥OA，DB＝OD，DC＝DA，∴∠MCD＝∠DAN，∠CMD＝∠DNA，∴△CMD≌△AND，同理△BMD≌△OND，∴过D的任意直线都能把平行四边形的面积分成面积相等的两部分．过D作DF⊥x轴于F，过B作BE⊥x轴于E．∵平行四边形OCBA，B（17，6），C（5，6），∴DO＝BD，DF∥BE，∴OF＝EF，∴DF＝3，OF＝×17＝8.5，∴D（8.5，3），代入y＝x+b得：3＝×8.5+b，∴b＝﹣，故答案为：﹣．【例2】．如图，在平面直角坐标系xOy中，长方形OABC的顶点B的坐标为（6，4），直线y＝﹣x+b恰好将长方形OABC分成面积相等的两部分，那么b＝5．解：∵直线y＝﹣x+b恰好将长方形OABC分成面积相等的两部分∴直线y＝﹣x+b要经过矩形的中心∵矩形的中心为（3，2）∴把点（3，2）代入y＝﹣x+b，解得：b＝5．变式训练【变式2-1】．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为2．解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，得矩形AGHE，∴GH＝AE＝2，∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，∴BG＝3，AG＝3＝EH，∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，∵EF平分菱形面积，EF经过菱形对角线交点，∴FC＝AE＝2，∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，在Rt△EFH中，根据勾股定理，得EF＝＝＝2．故答案为：2．【变式2-2】．如图，△ABC的面积为1，D、E分别为AB、AC的中点，F、G是BC边上的三等分点．那么△DEF的面积是多少？△DOE的面积是多少？解：①如图，过点A作AQ⊥BC于Q，过点D作DM⊥BC于M，∵D是AB的中点，DM∥AQ，∴M是BQ的中点，∴DM＝AQ，∴三角形ABC的面积是＝BC×AQ＝1，∴BC×AQ＝2，∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE＝BC，∴三角形DEF的面积为＝DE×DM＝××BC××AQ＝；②∵DE＝，FG＝，∴＝，∴三角形DOE面积＝三角形DEF面积×＝．【变式2-3】．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，求直线l 的函数表达式．解：如图，延长BC交x轴于点F，连接OB，AF，DF，CE，DF和CE相交于点N，∵O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．∴四边形OABF为矩形，四边形CDEF为矩形，∴点M（2，3）是矩形OABF对角线的交点，即点M为矩形ABFO的中心，∴直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分又∵点N（5，2）是矩形CDEF的中心，∴过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．∴直线MN即为所求的直线L，设直线l的解析式为y＝kx+b，则2k+b＝3，5k+b＝2，解得k＝，b＝，因此所求直线l的函数表达式是：y＝﹣x+．1．如图，长方形ABCD的面积为36cm2，E，F，G分别为AB，BC，CD的中点，H为AD上任一点，则图中阴影部分的面积为（）A．18cm2B．16cm2C．20cm2D．24cm2解：设长方形ABCD中，AD＝a，AB＝b，则AE＝b＝GC，BF＝a，∴S阴＝S长方形ABCD﹣S△AEH﹣S△HFC﹣S△HCG，＝36﹣AE•AH﹣FC•AB﹣HD•CG，＝36﹣AD•AE﹣FC•AB，＝36﹣ab，＝18cm2．故选：A．2．已知梯形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），直线y＝kx+2将梯形分成面积相等的两部分，则k的值为（）A．B．C．D．解：∵梯形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），∴梯形的面积为：＝8，∵直线y＝kx+2将梯形分成面积相等的两部分，∴直线y＝kx+2与AD、AB围成的三角形的面积为4，设直线与x轴交于点（x，0），∴（x+1）×2＝4，∴x＝3，∴直线y＝kx+2与x轴的交点为（3，0）∴0＝3k+2解得k＝﹣故选：A．3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD 于点G，交BE于点H．①△ABE的面积＝△BCE的面积；②AF＝FB；③∠FAG＝2∠ACF．以上说法正确的是（）A．①③B．①②C．②③D．①②③解：∵E是AC的中点，∴AE＝EC，∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①符合题意；若AF＝FB，则F是AB的中点，∵CF是∠ACB的平分线，∴BC＝AC与BC＞AC矛盾，故②不符合题意；∵∠BAC＝90°，∴∠FAG+∠CAD＝90°，∵AD⊥BC，∴∠CAD+∠ACB＝90°，∴∠FAG＝∠ACD，∵CF平分∠ACB，∴∠ACD＝2∠ADF，∴∠FAG＝2∠ACF，故③符合题意；故选：A．4．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，若阴影部分的面积为4，则△ABC的面积为16．解：∵点E是AD的中点，＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，∴S△ABE+S△ACE＝S△ABC，∴S△ABE＝S△ABC，∴S△BCE∵点F是CE的中点，＝S△BCE，∴S△BEF＝4S△BEF＝4×4＝16．∴S△ABC故答案为：16．5．如图，已知在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD顶点A（0，0），C（10，4），直线y＝ax﹣2a﹣1将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，求a的值．解：连接AC、BD，AC与BD相交于点M，过点M作ME⊥x轴于点E，过点C作CF ⊥x轴于点F，∵C（10，4），∴AF＝10，CF＝4，…（2分）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AM＝CM，即＝，∵ME⊥x轴，CF⊥x轴，∴∠MEA＝∠CFA＝90°，∴ME∥CF，∴∠AME＝∠ACF，∠AEM＝∠AFC，∴△AME∽△ACF，∴＝＝，即E为AF的中点，∴ME为△AFC的中位线，…（4分）∴AE＝AF＝5，ME＝CF＝2，∴M（5，2），…（6分）∵直线y＝ax﹣2a﹣1将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，∴直线y＝ax﹣2a﹣1经过点M，…（8分）将M（5，2）代入y＝ax﹣2a﹣1得：a＝1．…（9分）6．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点B的坐标为（4，4），直线y ＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分，则m＝2．解：∵直线y＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分∴直线必经过正方形的中心∵点B的坐标为（4，4）∴中心为（2，2），代入直线中得：2＝2m﹣2，m＝27．已知平面上四点A（0，0），B（10，0），C（14，6），D（4，6），若直线y＝mx﹣3m﹣1将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为1．解：∵点A（0，0），B（10，0），C（14，6），D（4，6），∴四边形ABCD为平行四边形，∵直线y＝mx﹣3m﹣1四边形ABCD分成面积相等的两部分，∴直线y＝mx﹣3m﹣1过矩形的对角线的交点，而平行四边形的对角线的交点坐标为（7，3），∴7m﹣3m﹣1＝3，∴m＝1．故答案为：1．8．在△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13，在AB、AC上分别取点D、E，使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，则这样线段的最小值是2．解：∵BC2+AC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，过D作DF⊥AC于F，设DF＝x，则＝，∴AF＝x，＝x•AE＝S△ABC＝15，∵S△ADE∴AE＝，EF＝﹣x，∴DE2＝DF2+EF2＝x2+（﹣x）2＝x2+﹣144＝（x﹣）2+12≥12，故可得DE2最小值是12，∴DE最小值为2．故答案为：2．9．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么b＝．解：由B的坐标（15，6），得到矩形中心的坐标为（7.5，3），直线y＝x+b恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，将（7.5，3）代入直线y＝x+b得：3＝×7.5+b，解得：b＝．故答案为：．10．如图，△ABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE＝AD，DF是△DCE的中线．已知△ABC的面积为2，求：△CDF的面积．解：∵AD是△ABC的中线，＝S△ABC＝×2＝1，∴S△ACD∵CD是△ACE的中线，＝S△ACD＝1，∴S△CDE＝S△CDE＝×1＝．∵DF是△CDE的中线，∴S△CDF∴△CDF的面积为．11．正方形ABCD的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB边落在X轴的正半轴上，且A点的坐标是（1，0）．（1）直线y＝x经过点C，且与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；（3）若直线l1经过点F（﹣，0），且与直线y＝3x平行，将（2）中直线l沿着y轴向上平移个单位交轴x于点M，交直线l1于点N，求△NMF的面积．解：（1）在y＝x中，令y＝4，即x＝4，解得：x＝5，则B的坐标是（5，0）；令y＝0，即x＝0，解得：x＝2，则E的坐标是（2，0）．则OB＝5，OE＝2，BE＝OB﹣OA＝5﹣2＝3，∴AE＝AB﹣BE＝4﹣3＝1，S四边形AECD＝（AE+CD）•AD＝（4+1）×4＝10；（2）经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，则直线与CD的交点F，必有CF＝AE＝1，则F的坐标是（4，4）．设直线的解析式是y＝kx+b，则，解得：．则直线l的解析式是：y＝2x﹣4；（3）∵直线l1经过点F（﹣，0）且与直线y＝3x平行，设直线l1的解析式是y1＝kx+b，则：k＝3，代入得：0＝3×（﹣）+b，解得：b＝，∴y1＝3x+，已知将（2）中直线l沿着y轴向上平移个单位，则所得的直线的解析式是y＝2x﹣4+，即：y＝2x﹣3，当y＝0时，x＝，∴M（，0），解方程组得：，即：N（﹣7，﹣19），S△NMF＝×[﹣（﹣）]×|﹣19|＝．答：△NMF的面积是．12．如图，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD．（1）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（2）在所求的抛物线上是否存在一点P，使直线CP把△OCD分成面积相等的两部分？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）在y＝2x+4中，分别令y＝0和x＝0来得到：A（﹣2，0）、B（0，4）、D点是因为旋转，OD＝OB，所以，D点（4，0）；C点也是因为旋转，OA＝OC，所以，C点（0，2）；设经过A、B、D的抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，则有：4a﹣2b+c＝0①，c＝4②，16a+4b+c＝0③（3分）解①②③得：，b＝1，c＝4，∴抛物线的解析式为：．（4分）（2）若存在点P满足条件，则直线CP必经过OD的中点E（2，0）；（5分）易知经过C、E的直线为y＝﹣x+2，（6分）于是可设点P的坐标为P（m，﹣m+2）；将P（m，﹣m+2）代入得：，（7分）整理，得：m2﹣4m﹣4＝0，解得：，；所以满足条件的点P有两个：P1（2+2，﹣2），．（9分）13．已知菱形OABC在坐标系中的位置如图所示，O是坐标原点，点C（1，2），点A在x 轴上．点M（0，2）．（1）点P是直线OB上的动点，求PM+PC最小值．（2）将直线y＝﹣x﹣1向上平移，得到直线y＝kx+b．①当直线y＝kx+b与线段OC有公共点时，结合图象，直接写出b的取值范围．②当直线y＝kx+b将四边形OABC分成面积相等的两部分时，求k，b．解：（1）由已知，OA＝OC＝，连接AC、AM，如图1所示．∵四边形OABC是菱形，∴PC＝PA，∴PC+PM＝PM+PA≤AM，即PC+PM≤＝＝3．（2）∵y＝kx+b为y＝﹣x﹣1平移得来的，∴k＝﹣1．①依照题意画出图形，如图2所示．结合函数图象可知，当点O在直线y＝﹣x+b上时，b最小，此时b＝0；当点C在直线y＝﹣x+b上时，b值最大，∵点C（1，2），∴2＝﹣1+b，解得：b＝3．故0≤b≤3．②连接AC、OB，设AC与OB的交点为D，当直线y＝﹣x+b过点D时，直线y＝﹣x+b 将四边形OABC分成面积相等的两部分，如图3所示．∵OA＝OC＝，∴点A（，0）．∵四边形OABC为菱形，C（1，2），A（，0），∴点D（，1）．∵直线y＝﹣x+b过点D，∴1＝﹣+b，解得：b＝．∴当直线y＝kx+b将四边形OABC分成面积相等的两部分时，k＝﹣1，b＝．14．已知，y＝ax2+bx﹣3过（2，﹣3），与x轴交于A（﹣1，0），B（x2，0），交y轴于C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作CD∥x轴，交抛物线于D，是否存在直线y＝kx+1将四边形ACDB分成面积相等的两部分，若存在，请求k的值；若不存在，请说明理由；（3）若直线y＝m（﹣3＜m＜0）与线段AC、BC分别交于D、E两点，则在x轴上是否存在点P，使得△DPE为等腰直角三角形，若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵y＝ax2+bx﹣3过（2，﹣3），A（﹣1，0），∴，解得a＝1，b＝﹣2，所以抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设直线y＝kx+1与x轴交于点E，于CD交于点F，A（﹣1，0），B（3，0），E（），F（）；S四边形ACFE＝（CF+AE）•OC＝（1）；S四边形EFDB＝（DF+BE）•OC＝（5）；即（1）＝（5），k＝．（3）存在点P．直线y＝m与y轴交点为F（0，m），①当DE为腰时，分别过D、E作DP1⊥x轴于P1，作EP2⊥x轴于P2；如图，则△DP1E和△DEP2均为等腰直角三角形，又DP1＝DE＝EP2＝OF＝﹣m，又AB＝x B﹣x A＝3+1＝4，又△ECD∽△BCA，即，即m＝；P1（，0），P2（，0）；②当DE为底时，过P3作GP3⊥DE于G，如图，又DG＝GE＝GP3＝OF＝﹣m，由△ECD∽△BCA，，即m＝；P3（，0）综上所述，P1（，0），P2（，0），P3（，0）．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，矩形DEFG的顶点G与△ABC 的顶点C重合，边GD、GF分别与AC，BC重合．GD＝12，GF＝16，矩形DEFG沿射线CB的方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，点Q从点B出发沿BA方向以每秒5个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC﹣CA于点H，矩形DEFG、点Q同时出发，当点Q到达点A时停止运动，矩形DEFG也随之停止运动．设矩形DEFG、点Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）求线段DF的长；（2）求运动过程中，矩形DEFG与Rt△ABC重叠部分的面积s与t的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（3）射线QK能否把矩形DEFG分成面积相等的两部分？若能，求出t值；若不能，说明理由；（4）连接DH，当DH∥AB时，请直接写出t值．解：（1）如图1：连接DF，在Rt△CDF中，CD＝12，CF＝16，根据勾股定理：DF＝＝20；（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，∴BC＝＝40，根据题意得：当t＝＝10时，停止运动；如图2：当点E在AB上时，∵∠C＝90°，∠EFG＝90°，∴EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴EF：AC＝BF：BC，∴12：30＝BF：40，∴BF＝16，∴CG＝BC﹣BF﹣GF＝40﹣16﹣16＝8，此时，t＝8÷4＝2；如图3：当F与B重合时，CG＝BC﹣BG＝40﹣16＝24，此时，t＝24÷4＝6，∵tan∠ABC＝＝，tan∠GBD＝＝，∴此时，点D在直线AB上；①当0＜t≤2时，s＝S矩形DEFG＝12×16＝192，②如图4：当2＜t≤6时，设矩形DEFG的边EF交BC于点M，边DE交AB于点N ∵BF＝24﹣4t tan B＝∴MF＝（24﹣4t）＝18﹣3t，∴EM＝EF﹣FM＝12﹣（18﹣33t﹣6，∴NE＝EM＝4t﹣8，﹣S△EMN＝192﹣EM•EN＝192﹣6（t﹣2）2，∴s＝S矩形DEFG③如图5：当6＜t≤10时，设DG与AB交于点M，BG＝40﹣4t，则MG＝BG＝30﹣3t，＝BG•MG＝×（40﹣4t）（30﹣3t）＝6（10﹣t）2；则s＝S△BMG（3）能，如图6：当QK经过矩形DEFG的对称中心O时，就可以把矩形DEFG分成面积相等的两部分；∵在Rt△GDF与Rt△CAB中，tan∠GDF＝＝＝，tan∠B＝＝，∴∠GFD＝∠B，∴DF∥AB，∴，∵DF＝20，∴OF＝10，∵BF＝24﹣4t，HF＝＝，QB＝5t，∴BH＝BF+FH＝24﹣4t+，∴，解得：t＝；（4）如图7：过点D作MN⊥AB于N，交BC于M，∵∠GMD+∠B＝90°，∠GMD+∠GDM＝90°，∴∠GDM＝∠B，∴GM＝GD•tan∠GDM＝×12＝9，∴DM＝＝15，∵BG＝40﹣4t，∴BM＝BG+GM＝40﹣4t+9＝49﹣4t，∴MN＝BM•cos∠B＝（49﹣4t），∴DN＝MN﹣DM＝（49﹣4t）﹣15，∵QH＝QB＝×5t＝t，∵DH∥AB，∴QH＝DN，则t＝（49﹣4t）﹣15，解得t＝．故t值为．16．已知m，n是方程x2﹣6x+5＝0的两个实数根，且m＜n．如图，若抛物线l：y＝﹣x2+bx+c 的图象经过点A（m，0），B（0，n）．（1）求抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C，D的坐标和△BCD的面积；（3）已知P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，求P点的坐标．解：（1）由方程x2﹣6x+5＝0得x1＝1，x2＝5，∵m＜n，∴m＝1，n＝5，∴A（1，0），B（0，5）．把A（1，0），B（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，∴抛物线的解析式y＝﹣x2﹣4x+5；（2）C（﹣5，0），D（﹣2，9），过D作DE⊥x轴于E，∵易得E（﹣2，0）．＝S△CDE+S梯形OBDE﹣S OBC＝；∴S△BCD（3）设P（a，0），则H（a，﹣a2﹣4a+5），由于直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，须且只须BC等分线段PH，亦即PH的中点在直线BC上．∵易得直线BC的解析式为y＝x+5，∴，解得a1＝﹣1，a2＝﹣5（不合题意，舍去），∴P点坐标为（﹣1，0）．17．【数学经验】三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分．【经验发展】面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图1，△ABC的边AB上有一点M，请证明：＝．【结论应用】如图2，△CDE的面积为1，＝，＝，求△ABC的面积．【拓展延伸】如图3，△ABC的边AB上有一点M，D为CM上任意一点，请利用上述结论，证明：＝．【迁移应用】如图4，△ABC中，M是AB的三等分点（AM＝AB），N是BC的中点，若△ABC的面积是1，请直接写出四边形BMDN的面积．解：【经验发展】如图1，过C作CH⊥AB于H，＝AM×CH，S△BCM＝BM×CH，∵S△ACM∴＝＝，即＝．【结论应用】如图2，连接AE，∵＝，＝S△ACE，∴S△CDE又∵＝，＝S△ABC，∴S△ACE＝×S△ABC＝S△ABC，∴S△CDE又∵△CDE的面积为1，∴△ABC的面积12．【拓展延伸】如图3，∵M是AB上任意一点，∴＝，∵D是CM上任意一点，＝×S△ACM，S△BCD＝×S△BCM，∴S△ACD∴＝＝，即＝．【迁移应用】如图4，连接BD，∵M是AB的三等分点（AM＝AB），∴＝，∵N是BC的中点，∴＝＝1，＝a，则S△BDM＝2a，S△ACD＝3a，S△CDN＝S△BDN＝S△BCD＝3a，设S△ADM＝5a，S△ABC＝12a，∴S四边形BMDN＝S△ABC＝×1＝．∴S四边形BMDN故答案为：．18．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n），其中m、n是方程x2﹣6x+5＝0的两个实数根，且m＜n．（1）求抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，求C、D点的坐标和△BCD的面积；（3）P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，交抛物线于点H，若直线BC把△PCH 分成面积相等的两部分，求P点的坐标．解：（1）解方程x2﹣6x+5＝0，得x1＝5，x2＝1，由m＜n，知m＝1，n＝5，∴A（1，0），B（0，5），∴即；所求抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣4x+5．（2）由﹣x2﹣4x+5＝0，得x1＝﹣5，x2＝1，故C的坐标为（﹣5，0），由顶点坐标公式，得D（﹣2，9）；过D作DE⊥x轴于E，得E（﹣2，0），＝S△CDE+S梯形OBDE﹣S△OBC＝＝15．∴S△BCD＝S△CFD﹣S△CFB也可求得）（注：延长DB交x轴于F，由S△BCD（3）设P（a，0），则H（a，﹣a2﹣4a+5）；直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，须且只需BC等分线段PH，亦即PH的中点，（）在直线BC上，易得直线BC方程为：y＝x+5；∴．解之得a1＝﹣1，a2＝﹣5（舍去），故所求P点坐标为（﹣1，0）．19．【背景知识】研究平面直角坐标系，我们可以发现一条重要的规律：若平面直角坐标系上有两个不同的点A（x A，y A）、B（x B，y B），则线段AB的中点坐标可以表示为（，）．【简单应用】如图1，直线AB与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（4，0），过原点O的直线L将△ABO分成面积相等的两部分，请求出直线L的解析式；【探究升级】小明发现“若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的中点”＝S△BCD．试说明AO＝如图2，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，S△ABDCO；【综合运用】如图3，在平面直角坐标系中A（1，4），B（3，﹣2），C（2m，﹣m+5），若OC恰好平分四边形OACB的面积，求点C的坐标．解：【简单应用】：∵直线L将△ABO分成面积相等的两部分，∴直线L必过线段AB的中点，设线段AB的中点为E，∵A（0，3），B（4，0），∴E（，），∴E（2，），∵直线L过原点，∴设直线L的解析式为y＝kx，∴2k＝，∴k＝，∴直线L的解析式为y＝x；【探究升级】：如图2，过点A作AF⊥BD于F，过点C作CG⊥BD于G，＝BD•AF，S△CBD＝BD•CG，∴S△ABD＝S△BCD，∵S△ABD∴BD•AF＝BD•CG，∴AF＝CG，在△AOF和△COG中，，∴△AOF≌△COG（AAS），∴OA＝OC；【综合运用】：如图3，由【探究升级】知，若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的中点，∵OC恰好平分四边形OACB的面积，∴OC过四边形OACB的对角线AB的中点，连接AB，设线段AB的中点为H，∵A（1，4），B（3，﹣2），∴H（2，1），设直线OC的解析式为y＝k'x，∴2k'＝1，∴k'＝，∴直线OC的解析式为y＝x，∵点C（2m，﹣m+5）在直线OC上，∴﹣m+5＝×2m，∴m＝，∴C（5，）．。

初中数学专题讲座---------直线等分面积问题一、直线等分常见的一些特殊图形二、直线等分三角形（1）不受限制的等分（2）过一边上一点等分三、直线等分梯形（1）不受限制的等分（2）过一腰上一点等分四、等分基本图形练习：1、作图题，请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分，请用一条直线把阴影部分的面积两等分．（保留作图痕迹）2、在一个矩形中，把此矩形面积二等分的直线最多有条，这些直线都必须经过此矩形的点（一个矩形只画一条直线，不写画法）．3、轴对称图形的对称轴将图形面积二等分，中心对称图形过对称中心的直线将图形面积二等分．请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分．4、在一个矩形中，把此矩形面积两等分的直线最多有条，这些直线都必须经过该矩形．5、在复习“四边形”时，刘老师出了这样一道题：如图1，已知四边形ABCD、BEFG都是矩形，点G、H分别在AB、CD上，点B、C、E在同一条直线上．（1）当S矩形AGHD=S矩形CEFH时，试画一条直线将整个图形面积2等分．（不写画法）（2）①当S矩形AGHD＜S矩形CEFH时，如图3；②当S矩形AGHD＞S矩形CEFH时，如图4．画一条直线将整个图形面积2等分，在（1）的基础上，应该如何画图呢？（不写画法，保留作图痕迹或简要的文字说明）（3）小娟和小宇两位同学的画法是图5和图6：刘老师看过之后说这两个图形实质上体现的是一种画法，请你用简要的文字说明两个图形画法的共同点：（把原图形分割或构造成两个矩形，再过这两个矩形对角线的交点画一条直线）．6、通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式7、如图所示，▱ABCD内有一圆，请你画一条直线，同时将圆和平行四边形的周长二等分．（保留画图痕迹，并简要说出画图步骤）8、提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB=BC=5cm，AC=6cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．9、提出问题：如图，在“儿童节”前夕，小明和小华分别获得一块分布均匀且形状为等腰梯形和直角梯形的蛋糕（AD∥BC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将自己的这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线既平分了梯形的面积，又平分了梯形的周长，我们称这条线为梯形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以模仿着在自己的蛋糕（图2）中画了一条直线EF分别交AD、BC于点E、F．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．若图2中AD∥BC，∠A=90°，AD＜BC，AB=4cm，BC=6cm，CD=5cm．请你找出梯形ABCD的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．10、阅读下面问题的解决过程：问题：已知△ABC 中，P 为BC 边上一定点，过点P 作一直线，使其等分△ABC 的面积． 解决：情形1：如图①，若点P 恰为BC 的中点，作直线AP 即可．情形2：如图②，若点P 不是BC 的中点，则取BC 的中点D ，连接AP ，过点D 作DE ∥AP 交AC 于E ，作直线PE ，直线PE 即为所求直线． 问题解决：如图③，已知四边形ABCD ，过点B 作一直线（不必写作法），使其等分四边形ABCD 的面积，并证明．11、如图，把一个等边三角形的顶点放置在正六边形的中心O 点，请你借助这个等边三角形的角，以角为工具等分正六边形的面积，等分的情况分别为 等分． 12、用一条直线把下图分成面积相等的两部分．13、用三种不同的方法把▱ABCD 的面积四等分，并简要说明分法．14、、如图，所示，张家兄弟要平分这块地，请你用一条直线把它分成面积相等的两部分．（至少有两种画法）15、抛物线y=x 2，212y x =-和直线x=a （a ＞0）分别交于A 、B 两点，已知∠AOB=90°．（1）求过原点O ，把△AOB 面积两等分的直线解析式； （2）为使直线2y x b =+与线段AB 相交，那么b 值应是怎样的范围才适合．16、如图长为2的线段PQ 在x 的正半轴上，从P 、Q 作x 轴的垂线与抛物线y=x 2交于点p '、12题Q′．（1）已知P的坐标为（k，0），求直线OP′的函数解析式；（2）若直线OP′把梯形P′PQQ′的面积二等分，求k的值．17、一条直线过△ABC的内心，且平分三角形的周长，那么该直线分成的两个图形的面积比为（）A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：118、某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；…现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探究知=S△ABC，请证明．问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究与S四边形ABCD之间的数量关系．问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD=1，求．问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．19、阅读下面材料，再回答问题：有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如：圆的直径所在的直线是圆的“二分线”，正方形的对角线所在的直线是正方形的“二分线”．解决下列问题：（1）菱形的“二分线”可以是（2）三角形的“二分线”可以是（3）在下图中，试用两种不同的方法分别画出等腰梯形ABCD的“二分线”，并说明你的画法．20、用一条直线将一个直角梯形分成面积相等的两部分，请你在下面的图中分别画出两种不同的分割图形．21、下图所示是一块木板的示意图，能不能用一条直线把这块木板分成面积相等的两部分．（3种画法）22、如图所示的图案是一个轴对称图形，直线l是它的一条对称轴，如果最大圆的半径为2，那么阴影部分面积是（）A．π B．2π C．3π D．4π23、如图所示是由7个完全相同的正方形拼成的图形，请你用一条直线将它分成面积相等的两部分．（在原图上作出）．24、九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形．证明：这九条直线中至少有三条经过同一点．抽屉原理．专题：证明题．分析：首先根据抽屉定理证明9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形中至少有5条直线穿过一对边，然后再根据抽屉原理证明至少必有三点经过同一点．解答：证明：按抽屉原理，9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形，则至少有5条直线穿过一对边．又2：3≠1：1，根据“梯形的面积等于中位线长乘以高”，可知这5条直线必过正方形的一条对边中点连线上的两定点．故若5个点不全经过一点，则必经过这条直线上的两点，再据抽屉原理，至少必有三点经过同一点．25、一条直线平行于直线y=2x-1，且与两坐标轴围成的三角形面积是4，则直线的解析式是A．y=2x+4 B．y=2x-4 C．y=2x±4 D．y=x+2 （）26、把一个圆心为点O，半径为r的圆的面积四等分，请你尽可能多地设想各种分割方法．如图，如果圆心也是点O的三个圆把大圆O的面积四等分．求这三个圆的半径OB、OC、OD的长．27、已知直线AB与x，y轴分别交于A、B（如图），AB=5，OA=3，（1）求直线AB的函数表达式；（2）如果P是线段AB上的一个动点（不运动到A，B），过P作x轴的垂线，垂足是M，连接PO，设OM=x，图中哪些量可以表示成x的函数？试写出5个不同的量关于x的函数关系式．（这里的量是指图中某些线段的长度或某些几何图形的面积等）28、（1）如图1所示，已知△ABC中，D为BC的中点，请写出图1中，面积相等的三角形：，理由是（2）如图2所示，已知：平行四边形A′ABC，D为BC中点，请你在图中过D作一条线段将平行四边形A′ABC的面积平分，平分平行四边形A′ABC的方法很多，一般地过画直线总能将平行四边形A′ABC的面积平分．（3）如图3所示，已知：梯形ABCA′中，AA′∥BC，D为BC中点，请你在图3中过D作一条线段将梯形的面积等分．（4）如图4所示，某承包人要在自己梯形ABCD（AD∥BC）区域内种两种等面积的作物，并在河岸AD与公路BC间挖一条水渠EF，EF左右两侧分别种植了玉米、小麦，为了提高效益，要求EF最短．①请你画出相应的图形．②说明方案设计的理由．19、如图，抛物线y=ax2-3ax+b经过A（-1，0），C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线y=kx-1（k≠0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值．。

多边形面积二等分问题在初中阶段平面几何中，图形的等分问题比较多，常见的有以下几种:等分线段，等分角，等分圆，多边形面积二等分等。

线段和角的二等分比较简单，任意等分就稍显复杂；特别是角的任意等分，著名的“尺规作图不能问题”中就有角的三等分问题。

现在据说有人发明了一种工具叫做弧金规，这种工具不但可以任意等分任意角（包括三等分任意角），还能作一个正方形与已知圆的面积相等，即化圆为方问题；这样一来“尺规作图不能问题”中的三个就被其解决掉了两个，只还剩一个“立方倍积”了。

非但如此，这种工具还能在圆弧上取黄金分割点及在任意曲线上任意取段；也就是说能任意等分圆周及任意曲线。

这项发明可以说是意义重大，但是，这种工具毕竟现在没有推广、普及，而且其操作也肯定不如传统中的直尺和圆规操作简单，再说了，使用这种工具作图是否属于尺规作图还有待于进一步论证；所以，本文还是想从传统的尺规作图的角度来论述一下初中数学中常见的有关几何图形特别是多边形的面积二等分问题。

无论是什么样的多边形，都可以用一条直线把它分成两部分；由于直线相对于多边形的方向与位置不同，被分出来的两部分面积可能相等，也可能不相等。

但无论直线开始时如何放置，只要放置好以后我们让它沿着与直线垂直的方向来回平移，在直线扫过整个多边形的过程中，总有一个位置是使被分出来的两部分面积相等，因此，对于任意多边形，都应该存在无数条直线能把它分成面积相等的两部分；或者换句话说，过多边形任意边上的任意一点也都应该存在一条直线能把多边形分成面积相等的两部分。

先说三角形的面积二等分问题。

对于三角形来说，由于等底等高的三角形面积相等，所以，三角形任意一边上的中线都可以把它分成面积相等的两部分，这个问题比较简单；下面说一下过任意边上的任意一点作直线平分三角形的问题。

如图，已知P 为△ABC 的边BC 上的任意一点，求作直线PQ,把△ABC 分成面积相等的两部分。

作法：1.连接AP ；2，取BC 的中点D ，作D Q ∥AP ，交AC 于点Q;3,作直线PQ ，如图0.则直线PQ 就是所求作的直线。

面积等分问题
过对称中心的任意一条直线均可等分中心对称图形的面积与周长 ★模型图★
要求：画出一条直线等分下列图形的面积或周长。

平行四边形、菱形、矩形、正
方形
1. 如图，反比例函数8
y x
=
的图象过矩形OABC 的顶点B ，OA 、0C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ：0C=2：1． （1）设矩形OABC 的对角线交于点E ，求出E 点的坐标； （2）若直线2y x m =+平分矩形OABC 面积，求m 的值．
2.（09北京）如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC △三个顶点的坐标分别为()60A -，，()60B ，
，
(0C ，延长AC 到点D ，使CD =1
2
AC ，过D 点作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E ． （1）求D 点的坐标；
（2）作C 点关于直线DE 的对称点F ，分别连结DF 、EF ，若过B 点的直线y kx b =+将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（第22题）
5、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A的坐标为4(，)0，点C的坐标为0(，)2，O为坐标原点。

设P点在第一象限，以P为圆心，半径为1的⊙P与y轴及矩形OABC的边BC都相切. 已知抛物线2(0)
y ax bx c a
=++≠经过O、P、A三点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若⊙P与矩形OABC组合得到的图形的面积能被一条直线l平分，求这条直线l的解析式；。