等分图形面积

平面图形的面积(一)——图形的等分例1 有一个三角形花坛，要把它平均分成两个相等的三角形，可以怎样分？练习将任一三角形分成面积相等的六个三角形，应怎么分？例2 三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。

练习已知AE=3AB,BD=2BC，三角形ABC的面积是6，求三角形BDE的面积。

练习如图所示，找出梯形ABCD中有几组面积相等的三角形。

例3 已知三角形ABC的面积是12平方厘米，并且BE=2EC，F是CD的中点。

求阴影部分面积。

练习AC是CD的3倍，E是BC的中点，三角形CDE的面积为2平方厘米。

求三角形ABC的面积。

练习如图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG＝3厘米，长方形EFGD的长是5厘米，DE长几厘米？例4 在一块长方形的地里有一口长方形的水井，试画一条线把除井处的这块地平分成两块。

练习下图为5个面积为1的正方形拼成的。

试用一直线将此图形划分为面积相等的两块。

例5 将下图分成4个形状、大小完全相同的图形，且每个部分中都有一个小黑圈。

练习将下图分成4个形状相同、面积相等的小块。

作业1、三角形的面积公式：________________。

同底等高的三角形面积___________。

平行线间的距离处处___________。

2、甲、乙两个三角形的高相等，若甲的底是乙的底的5倍，则甲的面积就是乙面积的_____倍。

3、甲、乙两个三角形的底相等，若甲的高是乙的高的4倍，则甲的面积就是乙面积的______倍。

4、把一个等边三角形分成面积相等的三个三角形，有________种不同的方法。

5、如图1，该图是一个直角梯形，面积相等的三角形有_________组，请分别写出________________ __________________________________。

6、如图2，AD与BC平行，AD=5，BC=10，三角形ADC面积为10，则三角形ABC的面积是_______________。

第四节 图形的面积1.一些常见的面积公式正方形面积2边长×边长； 长方形（矩形）面积=长×宽； 平行四边形面积=底×高： 三角形的面积21=×底×高； 梯形面积⨯=21（上底+下底）×高， 2.三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分1.计算面积常用的方法(1)和差法：把图形面积用常见图形的面积和或差表示，通过常规图形面积公式计算． (2)割补法：有时直接求图形的面积有困难，我们可以通过分割或补形，把图形转化为容易观察或解决的图形的面积进行求解．(3)等积变形法：对某些图形，找出与所求图形面积相等或有关联的特殊图形，通过代换为易求图形的面积．(4)等比法，将面积比转化为线段的比． 2.两个三角形的面积关系同（等）高时，面积之比等于底之比；同（等）底时，面积之比等于高之比， 3.等分三角形面积三角形一边中线平分三角形面积． 4.常见的基本模型续表例1．如图1-4-1所示，△ABC 中，已知点F E D ,,分别是CE AD BC ,,边上的中点，且24S cm ABC =∆则BEF ∆S 的值为（ ）22.cm A 21.cm B 25.0.cm C 225.0.cm D141-- 241-- 341--检测1．如图1-4-2所示，AD 是△ABC 边BC 的中线，F E ,分别是BE AD ,的中点，若△BFD 的面积为6，则△ABC的面积等于( )18.A 24.B 48.C 36.D例2．如图1-4-3所示，在△ABC 中，D 是BC 上任意一点，0是AD 上任意一点，=∆ABO S ,12S ,3CO BO ==∆∆A D S那么=∆COD S检测2．如图1-4-4所示，三角形ABC 的面积是30平方厘米，,32,BC BD FD AE ==则三角形BED 的面积为 平方厘米．例3．如图1-4-5所示，已知AE AD ,分别是△ABC 的高和中线，,12,9cm AC cm AB ==.90ο=∠CAB(1)求△ABE 的面积．(2)求AD 的长度．(3)求△ACE 和△ABE 的周长的差，441-- 541-- 641--检测3.如图1-4-6所示，在△ABC 中．,3,8,5,cm BE cm AC cm BC AC BE ===⊥(1)则△ABC 的面积为(2)画出△ABC 中的BC 边上的高AD ，并求出AD 的值例4．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为检测 4.（安徽桐城市模拟）已知c b a ,,是△ABC 的三条边，对应高分别为,,,c b a h h h 且,6:5:4::=c b a 那么c b a h h h ::等于( )6:5:4.A 4:5:6.B 10:12:15.C 15:12:10.D第四节 图形的面积(建议用时:30分钟)实战演练1．（湖南衡阳期末）能把任意三角形分成面积相等的两个三角形的线段是这个三角形的一条( ) A ．角平分线 B ．中线 C ．高线 D ．既垂直又平分的线段2．如图1-4-1所示，4x4的方格中每个小正方形的边长都是1，则⋅ABCD 四边形S 与DF E C S 四边形的大小关系是( )DFABDC A EC S S .四边形四边形=DFABDC B EC S S .四边形四边形<1S S .EC +=DF ABDC C 四边形四边形 2S S .EC +=DF ABDC D 四边形四边形141-- 241-- 341--3．（江苏沭阳期末）如图1-4-2所示，在CE AD ABC ,,中∆分别是△ABC 的高，且,4,2==CE AD 则=BC AB :4:3.A 3:4.B 2:1.C 1:2.D4．如图1-4-3所示，长方形ABCD 中，△ABP 的面积为CDQ a ∆,的面积为6．则阴影四边形的面积等于( )b a A +. b a B -. 2.ba C + D ．无法确定441-- 541-- 641--5．如图1-4-4是3个边长为1的正方形拼成的，则图中共有( )个面积为0.5的三角形．7.A 6.B 5.C 4.D6．在一堂“探索与实践”活动课上，小明借助学过的数学知识，利用三角形和长方形为班里的班报设计了一个报徽，设计图案如图1-4-5所示，两条线段EF ，MN 将大长方形AB-CD 分成四个小长方形，已知,,b AE a DE ==,,d BN c AN ==且1S 的面积为2S ,8的面积为3S ,6的面积为5，则阴影三角形的面积为( ) 310.A 3.B 4.C 25.D 7．如图1-4-6所示，,7S ,4S ,5S a a a BFG ACG AFG ===∆∆∆则=∆AEG Sa A 1127.a B 1128. a C 1129. a D 1130.8．有三条线段a c b a ,,,长2.12米，6长2.71米，c 长3.53米．以它们作为上底、下底和高，可以作出三个不同的梯形，如图1-4-7所示，第 个梯形的面积最大．741--9．如图1-4-8所示，图④③②①,,,都是由9个边长为1厘米的正方形组成的3×3平方厘米的正方形，其中的阴影四边形的面积分别记为321S ,,S S 和⋅4S 则321,S ,S S 和4S中最小的与最大的和是 平方厘米．841--10.如图1-4-9所示，两个相同的梯形重叠在一起，则上面的梯形中未重叠部分面积是11．如图1-4-10所示，将△ABC 的三个顶点与同一个内点连接起来，所得三条连线把△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形面积在图中已标明，则△ABC 的面积为941-- 1041-- 1141-- 1241--12.如图1—4- 11所示，四边形ABCD 中，H G F E ,,,分别是边DA CD BC AB ,,,上的点，且,31AD AH =,31AB BE =,31BC CF =,31CD DG =如果阴影部分的面积为10平方厘米，则四边形ABCD 的面积等于 平方厘米．13．等边△ABC 的面积为G F E ,,,1是其各条边上的5等分点，其位置如图1-4- 12所示，那么△EFG 的面积为 14.梯形的上底a 、下底b 和高h 都是整数，下底比上底长10 cm ，h 小于a ，梯形面积是,5612cm 请写出三元整数组),,(h b a 的所有可能15.如图1-4 - 13所示，AD 为△ABC 的中线．BE 为△ABD 的中线．,15)1(ο=∠ABF ,26ο=∠BAD 求BED ∠的度数：(2)若△ABC 的面积为,5,40=BD 则△BDE 中BD 边上的高为多少．16.如图1-4 - 14所示，△ABC 内的线段BD ．CE 相交于点O.已知,2,OE OC OD OB ==设COD BOC BOE ∆∆∆,, 和四边形AEOD 的面积分别为4321S ,S ,,S S1341--(1)求31:S S 的值； (2)如果,22=S 求4S 的值．17．(1)如图1-4 - 15所示，已知△ABC 的面积为a ，1541--① 如图①所示，延长△ABC 的边BC 到点D ，使,BC CD =连接DA.若△ACD 的面积为,1S 则=1S（用含a 的代数式表示）； ② 如图②所示，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使==AE BC CD ,,CA 连接DE.若△DEC 的面积为,2S 则=2S （用含a 的代数式表示）；③ 在图②所示的基础上延长AB 到点F ，使,AB BF =连接,,FE FD 得到△DEF(如图③所示）．若阴影部分的面积为,S 3则=3S（用含a 的代数式表示）；(2)像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图③所示），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次，可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的 倍， 拓展创新18.（江苏南京秦淮区期末）如图1-4 -16所示．(1)如图①．AD 是△ABC 的中线，△ABD 与△ACD 的面积有怎样的数量关系，为什么？(2)若三角形的面积记为S ，例如：△ABC 的面积记为如图②，已知,ABC S ∆△ABC 的中线AD ，CE 相交于点0，求四边形BDOE 的面积，,1S =∆ABC拓展1．如图③，已知1441--1641--是BC 边上的三等分点，F ，G 是AB 边上的三等分点，E D ABC ,,1S =∆AD ．CF 交于点0，则四边形BDOF 的面积为 拓展2．如图④，已知F E D ,,,1S ABC =∆是BC 边上的四等分点，G ，H ，I 是AB 边上的四等分点，AD ．CG 交于点0，则四边形BDOG 的面积为极限挑战19.设一个三角形的三边分别是.8,31,3m -(1)求m 的取值范围；(2)是否存在整数m 使三角形的周长为偶数？若存在，求出三角形的周长；若不存在，说明理由；(3)如图1-4 -17所示，在(2)的条件下，当3,31,8=-==BC m AC AB 时，若D 是AB 的中点，连接CD ，P 是CD 上动点（不与C ，D 重合，当P 在线段CD 上运动时，有两个式子）：;S S S BPD APC ABC ∆∆∆+①,ABPBPA +②其中有一个的值不变，另一个的值改变．问题：请判断出谁不变，谁改变；若不变的求出其值，若改变的求出变化的范围，1741--答案。

初中数学专题讲座---------直线等分面积问题一、直线等分常见的一些特殊图形二、直线等分三角形（1）不受限制的等分（2）过一边上一点等分三、直线等分梯形（1）不受限制的等分（2）过一腰上一点等分四、等分基本图形练习：1、作图题，请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分，请用一条直线把阴影部分的面积两等分．（保留作图痕迹）2、在一个矩形中，把此矩形面积二等分的直线最多有条，这些直线都必须经过此矩形的点（一个矩形只画一条直线，不写画法）．3、轴对称图形的对称轴将图形面积二等分，中心对称图形过对称中心的直线将图形面积二等分．请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分．4、在一个矩形中，把此矩形面积两等分的直线最多有条，这些直线都必须经过该矩形．5、在复习“四边形”时，刘老师出了这样一道题：如图1，已知四边形ABCD、BEFG都是矩形，点G、H分别在AB、CD上，点B、C、E在同一条直线上．（1）当S矩形AGHD=S矩形CEFH时，试画一条直线将整个图形面积2等分．（不写画法）（2）①当S矩形AGHD＜S矩形CEFH时，如图3；②当S矩形AGHD＞S矩形CEFH时，如图4．画一条直线将整个图形面积2等分，在（1）的基础上，应该如何画图呢？（不写画法，保留作图痕迹或简要的文字说明）（3）小娟和小宇两位同学的画法是图5和图6：刘老师看过之后说这两个图形实质上体现的是一种画法，请你用简要的文字说明两个图形画法的共同点：（把原图形分割或构造成两个矩形，再过这两个矩形对角线的交点画一条直线）．6、通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式7、如图所示，▱ABCD内有一圆，请你画一条直线，同时将圆和平行四边形的周长二等分．（保留画图痕迹，并简要说出画图步骤）8、提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB=BC=5cm，AC=6cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．9、提出问题：如图，在“儿童节”前夕，小明和小华分别获得一块分布均匀且形状为等腰梯形和直角梯形的蛋糕（AD∥BC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将自己的这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线既平分了梯形的面积，又平分了梯形的周长，我们称这条线为梯形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以模仿着在自己的蛋糕（图2）中画了一条直线EF分别交AD、BC于点E、F．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．若图2中AD∥BC，∠A=90°，AD＜BC，AB=4cm，BC=6cm，CD=5cm．请你找出梯形ABCD的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．10、阅读下面问题的解决过程：问题：已知△ABC 中，P 为BC 边上一定点，过点P 作一直线，使其等分△ABC 的面积． 解决：情形1：如图①，若点P 恰为BC 的中点，作直线AP 即可．情形2：如图②，若点P 不是BC 的中点，则取BC 的中点D ，连接AP ，过点D 作DE ∥AP 交AC 于E ，作直线PE ，直线PE 即为所求直线． 问题解决：如图③，已知四边形ABCD ，过点B 作一直线（不必写作法），使其等分四边形ABCD 的面积，并证明．11、如图，把一个等边三角形的顶点放置在正六边形的中心O 点，请你借助这个等边三角形的角，以角为工具等分正六边形的面积，等分的情况分别为 等分． 12、用一条直线把下图分成面积相等的两部分．13、用三种不同的方法把▱ABCD 的面积四等分，并简要说明分法．14、、如图，所示，张家兄弟要平分这块地，请你用一条直线把它分成面积相等的两部分．（至少有两种画法）15、抛物线y=x 2，212y x =-和直线x=a （a ＞0）分别交于A 、B 两点，已知∠AOB=90°．（1）求过原点O ，把△AOB 面积两等分的直线解析式； （2）为使直线2y x b =+与线段AB 相交，那么b 值应是怎样的范围才适合．16、如图长为2的线段PQ 在x 的正半轴上，从P 、Q 作x 轴的垂线与抛物线y=x 2交于点p '、12题Q′．（1）已知P的坐标为（k，0），求直线OP′的函数解析式；（2）若直线OP′把梯形P′PQQ′的面积二等分，求k的值．17、一条直线过△ABC的内心，且平分三角形的周长，那么该直线分成的两个图形的面积比为（）A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：118、某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；…现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探究知=S△ABC，请证明．问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究与S四边形ABCD之间的数量关系．问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD=1，求．问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．19、阅读下面材料，再回答问题：有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如：圆的直径所在的直线是圆的“二分线”，正方形的对角线所在的直线是正方形的“二分线”．解决下列问题：（1）菱形的“二分线”可以是（2）三角形的“二分线”可以是（3）在下图中，试用两种不同的方法分别画出等腰梯形ABCD的“二分线”，并说明你的画法．20、用一条直线将一个直角梯形分成面积相等的两部分，请你在下面的图中分别画出两种不同的分割图形．21、下图所示是一块木板的示意图，能不能用一条直线把这块木板分成面积相等的两部分．（3种画法）22、如图所示的图案是一个轴对称图形，直线l是它的一条对称轴，如果最大圆的半径为2，那么阴影部分面积是（）A．π B．2π C．3π D．4π23、如图所示是由7个完全相同的正方形拼成的图形，请你用一条直线将它分成面积相等的两部分．（在原图上作出）．24、九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形．证明：这九条直线中至少有三条经过同一点．抽屉原理．专题：证明题．分析：首先根据抽屉定理证明9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形中至少有5条直线穿过一对边，然后再根据抽屉原理证明至少必有三点经过同一点．解答：证明：按抽屉原理，9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形，则至少有5条直线穿过一对边．又2：3≠1：1，根据“梯形的面积等于中位线长乘以高”，可知这5条直线必过正方形的一条对边中点连线上的两定点．故若5个点不全经过一点，则必经过这条直线上的两点，再据抽屉原理，至少必有三点经过同一点．25、一条直线平行于直线y=2x-1，且与两坐标轴围成的三角形面积是4，则直线的解析式是A．y=2x+4 B．y=2x-4 C．y=2x±4 D．y=x+2 （）26、把一个圆心为点O，半径为r的圆的面积四等分，请你尽可能多地设想各种分割方法．如图，如果圆心也是点O的三个圆把大圆O的面积四等分．求这三个圆的半径OB、OC、OD的长．27、已知直线AB与x，y轴分别交于A、B（如图），AB=5，OA=3，（1）求直线AB的函数表达式；（2）如果P是线段AB上的一个动点（不运动到A，B），过P作x轴的垂线，垂足是M，连接PO，设OM=x，图中哪些量可以表示成x的函数？试写出5个不同的量关于x的函数关系式．（这里的量是指图中某些线段的长度或某些几何图形的面积等）28、（1）如图1所示，已知△ABC中，D为BC的中点，请写出图1中，面积相等的三角形：，理由是（2）如图2所示，已知：平行四边形A′ABC，D为BC中点，请你在图中过D作一条线段将平行四边形A′ABC的面积平分，平分平行四边形A′ABC的方法很多，一般地过画直线总能将平行四边形A′ABC的面积平分．（3）如图3所示，已知：梯形ABCA′中，AA′∥BC，D为BC中点，请你在图3中过D作一条线段将梯形的面积等分．（4）如图4所示，某承包人要在自己梯形ABCD（AD∥BC）区域内种两种等面积的作物，并在河岸AD与公路BC间挖一条水渠EF，EF左右两侧分别种植了玉米、小麦，为了提高效益，要求EF最短．①请你画出相应的图形．②说明方案设计的理由．19、如图，抛物线y=ax2-3ax+b经过A（-1，0），C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线y=kx-1（k≠0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值．。

等分点面积比-概述说明以及解释1.引言1.1 概述等分点面积比是指在一个给定的图形中，将其等分成多个部分，每个部分的面积比相等的现象。

这一概念在几何学和数学中有着重要的应用和意义。

等分点面积比是几何问题中一种具有美感和对称性的现象，常见于各类图形的划分和分割中。

通过将一个图形等分成多个部分，每个部分的面积比相等，我们可以获得一种视觉上的均衡和谐。

这种现象可以展示出几何学中的对称性和平衡性，给人一种美的享受和审美感受。

在数学研究中，等分点面积比也有重要的应用。

通过研究等分点面积比，我们可以探索各类图形和形状的特性和规律。

例如，在三角形的研究中，等分点面积比可以帮助我们理解三角形的性质和相关定理，如中线定理和高线定理等。

对于其他复杂的图形，通过等分点面积比的计算和研究，我们可以更深入地了解其内在结构和性质。

另外，等分点面积比还在实际应用中发挥着重要作用。

在建筑设计、绘画艺术和景观规划等领域，等分点面积比被广泛运用。

通过将空间和物体按照一定的规律和比例进行划分，可以使整体形态更具美感和和谐性。

而在科学研究中，等分点面积比的计算方法也有助于解决一些实际问题，例如地理测量、材料科学中的材料分析和识别等。

综上所述，等分点面积比作为一个重要的几何概念，在理论研究和实际应用中都具有重要意义。

通过研究等分点面积比的定义和计算方法，我们可以更好地理解图形的性质和规律，同时也可以运用到实际问题中，提升设计和科学研究的效果。

未来，随着科技的发展和研究的深入，我们相信等分点面积比的应用将会更加广泛，为我们的生活和学术研究带来更多的启示和帮助。

1.2文章结构1.2 文章结构本文共分为三个部分，即引言、正文和结论。

下面将对每个部分的内容进行简要介绍：引言部分（Introduction）主要包括概述、文章结构以及目的三个方面。

在概述部分，将介绍等分点面积比的背景和重要性，概括其定义与意义。

随后，文章结构部分将给出本文的整体框架，说明各个章节的内容分布和逻辑关系。

第5讲例说三角形中线等分面积的应用如图1，线段AD 是△ABC 的中线，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则S △ABD ＝12BD ·AE ，S △ADC ＝12DC ·AE ，因为BD ＝DC ，所以S △ABD ＝S △ADC 。

因此，三角形的中线把△ABC 分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。

一、求图形的面积例1、如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.分析：因为E 、F 分别是BC 和CD 的中点，则连接CG 后，可知GF 、GE 分别是△DGC 、△BGC 的中线，而由S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4ab，可得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，所以△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等，问题得解。

解：连接CG ，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，所以S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4ab，从而得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，可得△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等且等于31×4ab =12ab ，因此S 四边形ＡＢＧＤ=ab －4×12ab =32ab。

例2、在如图3至图5中，△ABC 的面积为a ．（1）如图2, 延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连结DA ．若△ACD 的面积为S 1，则S 1=________（用含a 的代数式表示）；（2）如图3，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连结DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2=__________（用含a 的代数式表示），并写出理由；（3）在图4的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连结FD ，FE ，得到△DEF （如图6）．若阴影部分的面积为S 3，则S 3=__________（用含a 的代数式表示）．发现：像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF （如图6），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的_______倍．图1图2图4F 图5图3应用：去年在面积为10m 2的△ABC 空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC 向外进行两次扩展，第一次由△ABC 扩展成△DEF ，第二次由△DEF 扩展成△MGH （如图5）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m 2？分析：从第1个图可以发现AC 就是△ABD 的中线，第2个图通过连接DA ，可得到△ECD 的中线DA ，后面扩展的部分都可以通过这样的方法得到三角形的中线，从而求出扩展部分的面积，发现规律。