安徽省合肥XX中学自主招生数学试卷一、选择题（本大提共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知a＝，b＝，则二次根式的值是（）A．6B．7C．8D．92．（5分）已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，3），且与坐标轴围成面积为6的三角形，则满足条件的函数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．（5分）若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20B．2C．2或﹣20D．2或205．（5分）对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A n，B n 以|A n B n|表示这两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|AB|的值是（）A．B．C．D．6．（5分）已知a，b，c是△ABC的三边，则下列式子一定正确的是（）A．a2+b2+c2≥ab+bc+ac B．＜C．D．a3+b3＜c37．（5分）如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于D，E，F．若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（）A．3B．C．D．28．（5分）半径为2.5的圆O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大提共7题，每小题5分，共35）9．（5分）若分式方程＝a无解，则a的值为．10．（5分）已知一列数a1，a2，a3，…满足a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，…，依此类推，则a1，a2，…，a，这个数的积为．11．（5分）某公司加工252个零件，计划若干天完成，加工了2天后，由于改进新技术，每天可多加工9个零件，因此提前1天完成任务，则原计划完成任务的天数为．12．（5分）已知函数y＝x2﹣2mx+4（m是实数）与x轴两交点的横坐标为x1，x2，当1＜x1＜2，1＜x2＜3时，则m的范围是．13．（5分）如图，已知四边形ABCD是矩形，BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，1），C，D两点在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值等于．14．（5分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，内取一点P，且AP＝AC＝a，BP＝CP＝b（b＜a），则＝．15．（5分）足球运动员在足球场上，常需要带球跑到一定位置后，再进行射门，这个位置为射门点，射门点与球门边框两端的夹角是射门角．如果点A，B表示球门边框（不考虑球门的高度）的两端点，点C表示射门点，连接AC，BC，则∠ABC就是射门角，在不考虑其他因素的情况下，一般地，射门角越大，射门进球的可能性越大，如图（1）（2）（3）是运动员带球跑动的三种常见路线（用直线L表示），则下列说法：①如图（1），AB∥L，当运动员在线段AB的垂直平分线与L的交点C处射门时，进球的可能性最大；②如图（2）AB⊥L垂足为D，设AB＝2a，BD＝b，当运动员在离底线AB的距离为的点C处（即CD＝）射门时，进球可能性最大．③如图（3），AB与L交于点Q，设AB中点为O，当点C满足OQ＝CQ时，运动员在点C处射门时，进球的可能性最大．④如图（3），过点C作直线L的垂线与线段AB的垂直平分线交于点M，当M恰好是△ABC的外心时，运动员在点C处射门时，进球可能性最大．其中正确的序号是（写出所有正确的序号）三、解答题（本大题共5小题，共75分）16．（12分）若，求的值．17．（13分）某学校在大课间举行跳绳活动，为此学校准备购置长、中、短三种跳绳若干，要求中跳绳的条数是长跳绳的2倍，且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍．已知长跳绳单价是20元，中跳绳的单价是15元，短跳绳的单价是8元．（1）若学校准备用不超过2300元的现金购买200条长、中、短跳绳，问学校有几种购买方案可供选择？（2）若学校准备恰好用3000元的现金购买n条长、中、短跳绳．求n的最大值．18．（13分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE×CA．（1）求证：BC＝CD（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．19．（13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M 是抛物线C2：y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．20．（14分）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．安徽省合肥168中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大提共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知a＝，b＝，则二次根式的值是（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：∵a＝＝（﹣）2＝4﹣，b＝＝＝4+，∴ab＝（4+）（4﹣）＝1，∴＝＝＝＝＝＝9．故选：D．2．（5分）已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：因为关于x的不等式组有解，可得：，所以得出a＞5，因为a取≤9的整数，可得a的可能值为6，7，8，9，共4种可能性，所以使关于x的不等式组有解的概率为，故选：C．3．（5分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，3），且与坐标轴围成面积为6的三角形，则满足条件的函数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：把A（1，3）代入y＝kx+b中，得3＝k+b，∴b＝3﹣k，∴一次函数的解析式为：y＝kx+3﹣k，∴一次函数图象与坐标轴的交点为（0，3﹣k），（，0），∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与坐标轴围成三角形的面积为6，∴，解得，k＝﹣3，或k＝9，∴k的值有3个，∴满足条件的函数有3个．故选：B．4．（5分）若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20B．2C．2或﹣20D．2或20【解答】解：∵a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，∴a，b可看着方程x2﹣8x+5＝0的两根，∴a+b＝8，ab＝5，＝＝＝＝﹣20．故选：A．5．（5分）对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A n，B n 以|A n B n|表示这两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|AB|的值是（）A．B．C．D．【解答】解：y＝x2﹣x+＝（x﹣）（x﹣），∴A n（，0），B n（，0），∴|A n B n|＝﹣，∴|A1B1|+|A2B2|+…+|AB|＝+++…+＝1﹣＝，故选：C．6．（5分）已知a，b，c是△ABC的三边，则下列式子一定正确的是（）A．a2+b2+c2≥ab+bc+ac B．＜C．D．a3+b3＜c3【解答】解：A、由三角形三边关系可得：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2≥0，可得：2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ac），可得：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2≥0，故选项正确；B、由三角形三边关系不一定得出a+b＞c，＜，可得＜，＞，选项错误；C、由三角形三边关系不一定得出a＞b＞c，由，可得：a＞b＞c，选项错误；D、由三角形三边关系不一定得出a3+b3＜c3，选项错误；故选：A．7．（5分）如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于D，E，F．若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（）A．3B．C．D．2【解答】证明：∵AD∥BE，AD∥FC，FC∥BE，∴△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF和△BEC在底边BE上的高相等，∴S△ADF＝S△ADC，S△BEF＝S△BEC，S△AEF＝S△BEF﹣S△ABE＝S△BEC﹣S△ABE＝S△ABC∴S△DEF＝S△ADE+S△ADF+S△AEF＝S△ABD+S△ADC+S△ABC＝2S△ABC．即S△DEF＝2S△ABC．∵S△ABC＝1，∴S△DEF＝2，故选：D．8．（5分）半径为2.5的圆O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵AB是直径，∴AB＝5，∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，且BC：CA＝4：3，∴BC＝4，AC＝3，∵∠A＝∠P，∠ACB＝∠PCQ＝90°，∴△ACB∽△PCQ，∴，∴CQ＝，∴当PC最大时，CQ有最大值，∴PC是直径时，CQ的最大值＝×5＝，故选：B．二、填空题（本大提共7题，每小题5分，共35）9．（5分）若分式方程＝a无解，则a的值为1或﹣1．【解答】解：去分母得：x﹣a＝ax+a，即（a﹣1）x＝﹣2a，显然a＝1时，方程无解；由分式方程无解，得到x+1＝0，即x＝﹣1，把x＝﹣1代入整式方程得：﹣a+1＝﹣2a，解得：a＝﹣1，综上，a的值为1或﹣1，故答案为：1或﹣110．（5分）已知一列数a1，a2，a3，…满足a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，…，依此类推，则a1，a2，…，a，这个数的积为．【解答】解：a1＝，a2＝，＝2，a3＝＝﹣1，a4＝＝，…，依此类推，发现每3个数为一组一个循环，前3个数的乘积为：2×（﹣1）＝﹣1，所以÷3＝672…1，则a1，a2，…，a，这个数的积为（﹣1）672×＝．故答案为：．11．（5分）某公司加工252个零件，计划若干天完成，加工了2天后，由于改进新技术，每天可多加工9个零件，因此提前1天完成任务，则原计划完成任务的天数为7．【解答】解：设原计划每天加工x个零件．由题意得：+2+1＝，整理得：x2+27x﹣2268＝0．解得：x1＝36，x2＝﹣63（不合题意舍去）．经检验：x＝36是原方程的解．当x＝36时，＝7，即原计划7天完成，故答案为：7．12．（5分）已知函数y＝x2﹣2mx+4（m是实数）与x轴两交点的横坐标为x1，x2，当1＜x1＜2，1＜x2＜3时，则m的范围是2＜m＜．【解答】解：由题意得：△＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×4＞0，解得：m＞2或m＜﹣2①，函数的对称轴为x＝﹣＝﹣＝m，当1＜x1＜2，1＜x2＜3时，1＜（x1+x2）＜，而x＝﹣＝﹣＝m＝（x1+x2），即1＜m＜②，联立①②并解得：2＜m＜，故答案为：2＜m＜．13．（5分）如图，已知四边形ABCD是矩形，BC＝2AB，A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，1），C，D两点在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，则k的值等于﹣6．【解答】解：过点C作CE⊥y轴，垂足为E，∵A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，1），∴OA＝OB＝1，∠OAB＝∠OBA＝45°，∵ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠CBE＝180°﹣90°﹣45°＝45°＝∠BCE，∴△AOB∽△BEC，∴＝＝，又∵BC＝2AB，∴BE＝CE＝2，OE＝OB+BE＝1+2＝3，∴点C（﹣2，3），代入反比例函数关系式得，k＝﹣2×3＝﹣6，故答案为：﹣6．14．（5分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，内取一点P，且AP＝AC＝a，BP＝CP＝b（b＜a），则＝．【解答】解：如图：过点P作PD⊥BC与点D，作PE⊥AC于点E，可得矩形PDCE，有PD＝EC，PE＝CD，∵PC＝PB，PD⊥BC，∴DC＝DB＝BC＝AC＝a，∴PE＝CD＝a，Rt△AEP中，AP＝AC＝a，PE＝a，∴AE＝a，∴EC＝AC﹣AE＝a﹣a＝a．∴PD＝EC＝a，Rt△CDP中，PD2+CD2＝CP2，∴（a）2+（）2＝b2，∴a2+a2＝b2，∴a2＝b2，∴（2﹣）a2＝b2．∴＝2﹣，∴＝＝＝．故答案是：．15．（5分）足球运动员在足球场上，常需要带球跑到一定位置后，再进行射门，这个位置为射门点，射门点与球门边框两端的夹角是射门角．如果点A，B表示球门边框（不考虑球门的高度）的两端点，点C表示射门点，连接AC，BC，则∠ABC就是射门角，在不考虑其他因素的情况下，一般地，射门角越大，射门进球的可能性越大，如图（1）（2）（3）是运动员带球跑动的三种常见路线（用直线L表示），则下列说法：①如图（1），AB∥L，当运动员在线段AB的垂直平分线与L的交点C处射门时，进球的可能性最大；②如图（2）AB⊥L垂足为D，设AB＝2a，BD＝b，当运动员在离底线AB的距离为的点C处（即CD＝）射门时，进球可能性最大．③如图（3），AB与L交于点Q，设AB中点为O，当点C满足OQ＝CQ时，运动员在点C处射门时，进球的可能性最大．④如图（3），过点C作直线L的垂线与线段AB的垂直平分线交于点M，当M恰好是△ABC的外心时，运动员在点C处射门时，进球可能性最大．其中正确的序号是①②④（写出所有正确的序号）【解答】解：①作△ABC的外接圆圆O，过C作圆O的切线，由圆的切线性质可得，当△ABC等腰三角形的时候，∠ACB最大，所以正确；②当△DBC∽△DAC时，∠ACB最大，此时，CD2＝BD•AD＝b（2a+b）＝2ab+b2，CD＝，所以正确；③④过点C作l的垂线，交AB垂直平分线于M，当M恰好是△ABC的外心时，∠ACB最大，所以③错误，④正确．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共5小题，共75分）16．（12分）若，求的值．【解答】解：∵＝﹣，∴x＝a+﹣2，∵x≥0，∴≥，∴a≥1，≤1，原式＝，＝，＝，＝，当a≥时，原式＝＝a2；当a＜时与a≥1，≤1相矛盾．综上所述，原二次根式的值为：a2．故答案为：a2．17．（13分）某学校在大课间举行跳绳活动，为此学校准备购置长、中、短三种跳绳若干，要求中跳绳的条数是长跳绳的2倍，且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍．已知长跳绳单价是20元，中跳绳的单价是15元，短跳绳的单价是8元．（1）若学校准备用不超过2300元的现金购买200条长、中、短跳绳，问学校有几种购买方案可供选择？（2）若学校准备恰好用3000元的现金购买n条长、中、短跳绳．求n的最大值．【解答】解：（1）设购进x条长跳绳，则购进2x条中跳绳，（200﹣x﹣2x）条短跳绳，依题意，得：，解得：22≤x≤26．∵x为正整数，∴x＝23，24，25，26，∴学校共有4种购买方案可供选择．（2）设可以购买a条长跳绳，则购进2a条中跳绳，（n﹣a﹣2a）条短跳绳，依题意，得：，化简，得：，∴13a＝4（375﹣n），∴a为4的倍数，设a＝4k，则n＝375﹣13k，∴375﹣13k≤36k，∴k≥7，∴k的最小值为8，n的最大值为271．18．（13分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE×CA．（1）求证：BC＝CD（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵DC2＝CE•CA，∴，而∠ACD＝∠DCE，∴△CAD∽△CDE，∴∠CAD＝∠CDE，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC；（2）解：连接OC，如图，设⊙O的半径为r，∵CD＝CB，∴＝，∴∠BOC＝∠BAD，∴OC∥AD，∴，∴PC＝2CD＝4，∵∠PCB＝∠P AD，∠CPB＝∠APD，∴△PCB∽△P AD，∴，即，∴r＝4，即⊙O的半径为4．19．（13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M 是抛物线C2：y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．【解答】解：（1）y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣3）（x+1），∵m≠0，∴当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）设C1：y＝ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：，解得，故C1：y＝x2﹣x﹣．如图：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，由B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y＝x﹣，设P（x，x2﹣x﹣），则Q（x，x﹣），PQ＝x﹣﹣（x2﹣x﹣）＝﹣x2+x，S△PBC＝S△PCQ+S△PBQ＝PQ•OB＝×（﹣x2+x）×3＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，S△PBC有最大值，Smax＝，×（）2﹣﹣＝﹣，P（，﹣）；（3）y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣1）2﹣4m，顶点M坐标（1，﹣4m），当x＝0时，y＝﹣3m，∴D（0，﹣3m），B（3，0），∴DM2＝（0﹣1）2+（﹣3m+4m）2＝m2+1，MB2＝（3﹣1）2+（0+4m）2＝16m2+4，BD2＝（3﹣0）2+（0+3m）2＝9m2+9，当△BDM为Rt△时有：DM2+BD2＝MB2或DM2+MB2＝BD2．①DM2+BD2＝MB2时有：m2+1+9m2+9＝16m2+4，解得m＝﹣1（∵m＜0，∴m＝1舍去）；②DM2+MB2＝BD2时有：m2+1+16m2+4＝9m2+9，解得m＝﹣（m＝舍去）．综上，m＝﹣1或﹣时，△BDM为直角三角形．20．（14分）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP＝90°，OB＝6，在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，得OP＝2t．∵OP2＝OB2+BP2，即（2t）2＝62+t2，解得：t1＝2，t2＝﹣2（舍去）．∴点P的坐标为（，6）．（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，∴∠OPB′＝∠OPB，∠QPC′＝∠QPC，∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC＝180°，∴∠OPB+∠QPC＝90°，∵∠BOP+∠OPB＝90°，∴∠BOP＝∠CPQ．又∵∠OBP＝∠C＝90°，∴△OBP∽△PCQ，∴，由题意设BP＝t，AQ＝m，BC＝11，AC＝6，则PC＝11﹣t，CQ＝6﹣m．∴．∴m＝（0＜t＜11）．（Ⅲ）过点P作PE⊥OA于E，∴∠PEA＝∠QAC′＝90°，∴∠PC′E+∠EPC′＝90°，∵∠PC′E+∠QC′A＝90°，∴∠EPC′＝∠QC′A，∴△PC′E∽△C′QA，∴，∵PC′＝PC＝11﹣t，PE＝OB＝6，AQ＝m，C′Q＝CQ＝6﹣m，∴AC′＝＝，∴，∴，∴3（6﹣m）2＝（3﹣m）（11﹣t）2，∵m＝，∴3（﹣t2+t）2＝（3﹣t2+t﹣6）（11﹣t）2，∴t2（11﹣t）2＝（﹣t2+t﹣3）（11﹣t）2，∴t2＝﹣t2+t﹣3，∴3t2﹣22t+36＝0，解得：t1＝，t2＝，点P的坐标为（，6）或（，6）．法二：∵∠BPO＝∠OPC′＝∠POC′，∴OC′＝PC′＝PC＝11﹣t，过点P作PE⊥OA于点E，则PE＝BO＝6，OE＝BP＝t，∴EC′＝11﹣2t，在Rt△PEC′中，PE2+EC′2＝PC′2，即（11﹣t）2＝62+（11﹣2t）2，解得：t1＝，t2＝．点P的坐标为（，6）或（，6）．。
----<<本文为word格式，下载后方便编辑修改，也可以直接使用>>------<<本文为word格式，下载后方便编辑修改，也可以直接使用>>----2014-2015年安徽省合肥168中高一上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）cos（﹣1560°）的值为（）A．﹣ B．C．﹣D．2．（5.00分）已知函数f（x）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）A．B．C．1 D．23．（5.00分）下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是（）A．f（x）=|x|B．f （x）=x﹣|x|C．f（x）=x+1 D．f（x）=﹣x4．（5.00分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上是减函数的为（）A．B．y=x2 C．D．5．（5.00分）已知α∈（，π），sinα=，则tan（α﹣）=（）A．﹣7 B．﹣ C．7 D．6．（5.00分）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，，则λ=（）A．B．C．D．7．（5.00分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A．B．C．D．8．（5.00分）将函数y=sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，所得到的图象解析式是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=cosx C．f（x）=sin4x D．f（x）=cos4x9．（5.00分）设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x﹣x0|＜a，称x0为集合X的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合中：①；②{x|x∈R，x≠0}；③；④整数集Z以0为聚点的集合有（）A．②③B．①④C．①③D．①②④10．（5.00分）偶函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=cos﹣1，若函数g（x）=f（x）﹣log a x有且仅有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（2，4） D．（3，5）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5.00分）已知集合M={0，1，3}，N={x|x=3a，a∈M}，则M∪N=．12．（5.00分）函数f（x）=的定义域为．13．（5.00分）已知向量，夹角为45°，且||=1，||=，则|2﹣|=．14．（5.00分）函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=．15．（5.00分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（1，1）时，的坐标为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12.00分）已知=（sinx，1），=（cosx，2）．（1）若∥，求tan2x的值；（2）若f（x）=（﹣）•，求f（x）的单调递增区间．17．（12.00分）如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，=x•+y•．（1）若=，求x，y的值；（2）若=3，||=4，||=2，且与的夹角为60°时，求•的值．18．（12.00分）函数f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=3x﹣1．（1）求f（x）在[﹣1，0]上的解析式；（2）求的值．19．（12.00分）已知函数f（x）=﹣x2+2ax﹣2a+b，且f（1）=0．（1）若f（x）在区间（2，3）上有零点，求实数a的取值范围；（2）若f（x）在[0，3]上的最大值是2，求实数a的值．20．（13.00分）设函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象的一条对称轴是x=．（1）求φ的值及f（x）在区间上的最大值和最小值；（2）若f（α）=，，求cos2α的值．21．（14.00分）对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数，且条件②中的区间[a，b]为f （x）的一个“好区间”．（1）求闭函数y=﹣x3的“好区间”；（2）若[1，16]为闭函数f（x）=m x的“好区间”，求m、n的值；（3）判断函数y=k+是否为闭函数？若是闭函数，求实数k的取值范围．2014-2015年安徽省合肥168中高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）cos（﹣1560°）的值为（）A．﹣ B．C．﹣D．【解答】解：cos（﹣1560°）=cos（1560°）=cos（360°×4+120°）=cos120°=cos （180°﹣60°）=﹣cos60°=﹣．故选：A．2．（5.00分）已知函数f（x）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）A．B．C．1 D．2【解答】解：∵f[f（﹣1）]=1，∴f[f（﹣1）]=f（2﹣（﹣1））=f（2）=a•22=4a=1∴．故选：A．3．（5.00分）下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是（）A．f（x）=|x|B．f （x）=x﹣|x|C．f（x）=x+1 D．f（x）=﹣x【解答】解：f（x）=|x|，f（2x）=|2x|=2|x|=2f（x），故满足条件；f（x）=x﹣|x|，f（2x）=2x﹣|2x|=2（x﹣|x|）=2f（x），故满足条件；f（x）=x+1，f（2x）=2x+1≠2（x+1）=2f（x），故不满足条件；f（x）=﹣x，f（2x）=﹣2x=2（﹣x）=2f（x），故满足条件；故选：C．4．（5.00分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上是减函数的为（）A．B．y=x2 C．D．【解答】解：选项A，∵f（x）=，f（﹣x）==﹣f（x），∴y=是奇函数，不合条件；选项B，y=x2在（0，+∞）单调递增，不合条件；选项C，∵，f（﹣x）=，∴f（x）是偶函数，在区间（0，+∞）上是减函数，符合条件；选项D，∵，f（﹣x）=（）﹣x=2x，∴不是偶函数，不符合条件．故选：C．5．（5.00分）已知α∈（，π），sinα=，则tan（α﹣）=（）A．﹣7 B．﹣ C．7 D．【解答】解：∵a∈（，π），sina=，∴cosa=﹣，则tana===﹣∴tan（a﹣）===﹣7故选：A．6．（5.00分）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，，则λ=（）A．B．C．D．【解答】解：因为向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），所以，所以，因为，所以11+3λ=0，所以．故选：D．7．（5.00分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由函数的图象可知，﹣1＜b＜0，a＞1，则g（x）=a x+b为增函数，当x=0时，y=1+b＞0，且过定点（0，1+b），故选：C．8．（5.00分）将函数y=sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，所得到的图象解析式是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=cosx C．f（x）=sin4x D．f（x）=cos4x【解答】解：函数y=sin的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到y=sin，再向右平移个单位，得到y=sin=sinx故选：A．9．（5.00分）设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x﹣x0|＜a，称x0为集合X的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合中：①；②{x|x∈R，x≠0}；③；④整数集Z以0为聚点的集合有（）A．②③B．①④C．①③D．①②④【解答】解：①中，集合中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大，∴在a＜的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，∴0不是集合的聚点②集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=＜a∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点③集合中的元素是极限为0的数列，对于任意的a＞0，存在n＞，使0＜|x|=＜a∴0是集合的聚点④对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x﹣0|=0或者|x﹣0|≥1，也就是说不可能0＜|x﹣0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点故选：A．10．（5.00分）偶函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=cos﹣1，若函数g（x）=f（x）﹣log a x有且仅有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（2，4） D．（3，5）【解答】解：∵偶函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），故函数的图象既关于y轴对称又关于x=1对称，故函数f（x）是周期为2．由当x∈[﹣1，0]时，f（x）=cos﹣1，可得函数f（x）的图象，如图所示：由题意可得，函数y=f（x）的图象和函数y=log a x有的图象有且仅有3个交点，故有，求得＜a＜，故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5.00分）已知集合M={0，1，3}，N={x|x=3a，a∈M}，则M∪N={0，1，3，9} ．【解答】解：∵M={0，1，3}，∴N={x|x=3a，a∈M}={0，3，9}，则M∪N={0，1，3，9，}．故答案为：{0，1，3，9}．12．（5.00分）函数f（x）=的定义域为（﹣2，1] ．【解答】解：因为f（x）=，根据二次根式定义得1﹣x≥0①，根据对数函数定义得x+2＞0②联立①②解得：﹣2＜x≤1故答案为（﹣2，1]13．（5.00分）已知向量，夹角为45°，且||=1，||=，则|2﹣|=．【解答】解：∵向量夹角为45°，且，∴=4﹣4•+=4×12﹣4×1×cos45°+=2，∴=；故答案为：．14．（5.00分）函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=．【解答】解：由函数的图象可得A=，•T=﹣=•，求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，∴φ=，故f（x）=sin（2x+），∴f （0）=sin=，故答案为：．15．（5.00分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（1，1）时，的坐标为（1﹣sin1，1﹣cos1）．【解答】解：设滚动后的圆的圆心为C，切点为A（2，0），连接CP过C作与x轴正方向平行的射线，交圆C于B（2，1），设∠BCP=θ∵⊙C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴根据圆的参数方程，得P的坐标为（1+cosθ，1+sinθ），∵单位圆的圆心的初始位置在（0，1），圆滚动到圆心位于（1，1）∴∠ACP=1，可得θ=+1，可得cosθ=cos（﹣1）=﹣sin1，sinθ=sin（﹣1）=﹣cos2，代入上面所得的式子，得到P的坐标为（1﹣sin1，1﹣cos1），所以的坐标是（1﹣sin1，1﹣cos1），故答案为：（1﹣sin1，1﹣cos1）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12.00分）已知=（sinx，1），=（cosx，2）．（1）若∥，求tan2x的值；（2）若f（x）=（﹣）•，求f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1），∴；∴．（2）f（x）=（﹣）•=﹣==﹣2==﹣，令．所以f（x）的单调递增区间是．17．（12.00分）如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，=x•+y•．（1）若=，求x，y的值；（2）若=3，||=4，||=2，且与的夹角为60°时，求•的值．【解答】解：（1）∵，∴，即，∴，即，（2）∵，∴，即∴∴，==18．（12.00分）函数f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=3x﹣1．（1）求f（x）在[﹣1，0]上的解析式；（2）求的值．【解答】解：（1）当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，又f（x）是偶函数则，x∈[﹣1，0]．（2），∵1﹣log32∈[0，1]，∴，即．19．（12.00分）已知函数f（x）=﹣x2+2ax﹣2a+b，且f（1）=0．（1）若f（x）在区间（2，3）上有零点，求实数a的取值范围；（2）若f（x）在[0，3]上的最大值是2，求实数a的值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=﹣x2+2ax﹣2a+b，由f（1）=0，得﹣1+2a﹣2a+b=0，解得：b=1．…（2分）又f（x）在区间（2，3）上有零点，且f（x）的一个零点是1；所以，．…（6分）（2）∵f（x）=﹣x2+2ax﹣2a+1的图象开口方向朝上，对称轴为x=a．①当a≤0时，f max=f（0）=﹣2a+1=2，则；②当0＜a＜3时，，则，或（舍去）；③当a≥3时，f max=f（3）=4a﹣8=2，则（舍去）；综上：或．…（12分）20．（13.00分）设函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象的一条对称轴是x=．（1）求φ的值及f（x）在区间上的最大值和最小值；（2）若f（α）=，，求cos2α的值．【解答】解：（1）f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象的一条对称轴是．故，k∈Z又0＜φ＜π，故．…（3分）所以，．即f（x）在区间上的最大值是1，最小值是．…（7分）（2）由已知得，，所以，=…（13分）21．（14.00分）对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数，且条件②中的区间[a，b]为f （x）的一个“好区间”．（1）求闭函数y=﹣x3的“好区间”；（2）若[1，16]为闭函数f（x）=m x的“好区间”，求m、n的值；（3）判断函数y=k+是否为闭函数？若是闭函数，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵y=﹣x3是减函数，∴故闭函数y=﹣x3的“好区间”是[﹣1，1]．…（3分）（2）①若f（x）是[1，16]上的增函数，则∴此时是[1，16]上的增函数，故符合题意．②若f（x）是[1，16]上的减函数，则∴此时．因为，所以在区间[1，16]上不是减函数，故不符合题意．综上：…（8分）（3）若是闭函数，则存在区间[a，b]⊆[﹣1，+∞），满足；故方程f（x）=x在区间[﹣1，+∞）上有两不相等的实根．由得令则x=t2﹣1，方程可化为t2﹣t﹣k﹣1=0，且方程有两不相等的非负实根；令g（t）=t2﹣t﹣k﹣1，则…（14分）附赠：数学考试技巧一、心理准备细心+认真=成功！1、知己知彼，百战百胜。
2015年合肥某168联合中学招生入学数学真卷（三）（时间：60分钟 满分：100分）一、填空题（每题3分，共30分）1. 据统计，我国汉族人口是十一亿三千七百三十九万人，写作______，省略“亿”位后面的尾数约是______。
2. 5时24分＝______时，38吨＝______千克。
3. 4:8＝15:______＝______%＝______折＝244. 在一个口袋里有2个红球和8个白球，从中任意摸出1个球，摸出白球的可能性是______，摸出黄球的可能性是______。
5. 六（1）班举行跳绳比赛，第一组有8个人，成绩分别是88个，94个，88个，98个，107个，94个，116个，88个。
这组数据的中位数是______，众数是______。
6. 某商品现价18元，亏了25%，如果想盈利25%，应该按______元出售该商品。
7. 如右图所示，ABC △是等腰直角三角形，D 是半圆弧的中点；BC 是半圆直径。
已知10AB BC ==厘米，则阴影部分面积是______。
8. 通过放大镜看一个20︒的角，这个角______20︒。
？（大于、小于或等于）9. 一件工作，甲单独做2小时完成，乙单独做2.5小时完成，丙单独做3小时完成，那么甲、乙、丙三人的工作效率比是______。
10. 如下图所示，一条直线最多可以把圆分成2小块，2条直线最多可以把圆分成()22+块，3条直线最多可以把圆分成()223++块。
以此类推，4条直线最多可以把圆分成______块，n 条直线最多可以把圆分成______块。
二、选择题（每题2分，共10分）1.将一根木棒锯成4段需要6分钟，则将这根木棒锯成8段需要（）分钟。
A.10B.12C.14D.162. 要反映小红六年级数学成绩的变化情况，应选择（）。
A.条形统计图B.折线统计图C.扇形统计图D.直方图3. 左图由7个立方体叠加的几何体，从上面观察，可画出的平面图形是（）。
2015-2016学年安徽省合肥168中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知A ={−4, 2a −1, a 2}，B ={a −5, 1−a, 9}，且A ∩B ={9}，则a 的值是（ ） A.a =3 B.a =−3 C.a =±3 D.a =5或a =±32. 函数y =√log 2(4x−1)的定义域为（ ）A.(0,12)B.(34，+∞) C.(12，+∞) D.(34, 1)3. 若方程x 2−mx +3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是（ ） A.(2, +∞) B.(0, 2) C.(4, +∞) D.(0, 4)4. 设a =0.512，b =0.812，c =log 20.5，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A.c <b <a B.c <a <b C.a <b <c D.b <a <c5. 为了得到函数y =sin (3x −π3)的图象，只需把函数y =sin 3x 的图象（ ）A.向右平移π9个单位长度 B.向左平移π9个单位长度 C.向右平移π3个单位长度D.向左平移π3个单位长度6. 给出下列各函数值：①sin 100∘；②cos (−100∘)；③tan (−100∘)；④sin 7π10cos πtan17π9．其中符号为负的是（ ）A.①B.②C.③D.④7. 设D 为△ABC 所在平面内一点BC →=3CD →，则( ) A.AD →=−13AB →+43AC →B.AD →=13AB →−43AC →C.AD →=43AB →+13AC →D.AD →=43AB →−13AC →8. 已知α∈R ,sin α+2cos α=√102，则tan 2α=( )A.43 B.34C.−34 D.−439. 设0<a <1，实数x ，y 满足|x|−log a 1y=0，则y 关于x 的函数的图象形状大致是（ ）A. B.C. D.10. 若函数f(x)=log a (2x 2+x)(a >0，a ≠1)在区间(0, 12)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为（ ） A.(−∞, 14) B.(−14, +∞)C.(0, +∞)D.(−∞, −12)11. 已知函数f(x)={2−|x|,x ≤2(x −2)2，x >2，函数g(x)=b2−f(2−x)，其中b ∈R ，若函数y =f(x)−g(x)恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ） A.(78，+∞) B.(74，2)C.(78，1)D.(72，4)12. 设向量a →，b →满足：|a →|=3，|b →|=4，a →⋅b →=0．以a →，b →，a →−b →的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ） A.3 B.4C.5D.6二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）设MP 和OM 分别是角17π18的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①MP <OM <0；②OM <0<MP ；③OM <MP <0；④MP <0<OM ， 其中正确的是________（把所有正确的序号都填上）．设函数f(x)=2x 1+2x(x ∈R)，若用[m]表示不超过实数m 的最大整数，则函数y =[f(x)−12]+[f(−x)+12]的值域为________．在直角坐标系xOy 中，已知点A(0, 1)和点B(−3, 4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC →|=2，则OC →=________．设函数f(x)＝x 2−ax +a +3，g(x)＝x −a ．若不存在x 0∈R ，使得f(x 0)<0与g(x 0)<0同时成立，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题（本题共8小题）已知α∈(π2，π)，且sin α2+cos α2=2√33．（1）求sin α，cos α的值；（2）若sin (α+β)=−35，β∈(0,π2)，求sin β的值．已知函数f(x)=A sin (ωx +ϕ)(A >0,ω>0,|ϕ|<π2)的图象在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(π, 2)和(4π, −2)． （1）试求f(x)的解析式；（2）将y =f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的14（纵坐标不变），然后再将新的图象向轴正方向平移π3个单位，得到函数y =g(x)的图象．写出函数y =g(x)的解析式．如图在长方形ABCD 中，AB →=a →，AD →=b →，N 是CD 的中点，M 是线段AB 上的点，|a →|=2，|b →|=1．（1）若M 是AB 的中点，求证：AN →与CM →共线；（2）在线段AB 上是否存在点M ，使得BD →与CM →垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M 点的位置；（3）若动点P 在长方形ABCD 上运动，试求AP →⋅AB →的最大值及取得最大值时P 点的位置．已知：函数f(x)=log 2x−1x+1，g(x)=2ax +1−a ，又ℎ(x)=f(x)+g(x)．（1）当a =1时，求证：ℎ(x)在x ∈(1, +∞)上单调递增，并证明函数ℎ(x)有两个零点；（2）若关于x 的方程f(x)=log 2g(x)有两个不相等实数根，求a 的取值范围．设f(x)=x 2−ax +2．当x ∈[1, +∞)时，f(x)≥0恒成立，求实数a 的取值范围．我国加入WTO 后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量P 的关系允许近似的满足：y =P(x)=2(1−kt)(x−b)2（其中t 为关税的税率，且t ∈[0,12））．（x 为市场价格，b 、k 为正常数），当t =18时的市场供应量曲线如图（1）根据图象求k 、b 的值；（2）若市场需求量为Q ，它近似满足Q(x)=211−12x ．当P ＝Q 时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率t 的最小值．（全省班做）《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累计计算：某人一月份的工资为8660元，那么他当月应缴纳的个人所得税是多少元？已知函数f(x)=x|2a−x|+2x，a∈R．(1)若a=0，判断函数y=f(x)的奇偶性，并加以证明；(2)若函数f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围；(3)若存在实数a∈[−2, 2]，使得关于x的方程f(x)−tf(2a)=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．参考答案与试题解析2015-2016学年安徽省合肥168中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1.【答案】 B【考点】 交集及其运算元素与集合关系的判断【解析】由已知得到2a −1=9或a 2=9，求出a 后分别验证得答案． 【解答】解：∵ A ={−4, 2a −1, a 2}， B ={a −5, 1−a, 9}， 且A ∩B ={9}，∴ 2a −1=9或a 2=9，当2a −1=9时，a =5，A ∩B ={−4, 9}，不符合题意； 当a 2=9时，a =±3，若a =3，集合B 违背互异性； ∴ a =−3． 故选B ． 2.【答案】 C【考点】函数的定义域及其求法 【解析】由分母中根式内部的代数式大于0，求解对数不等式得答案． 【解答】解：要使原函数有意义，则log 2(4x −1)>0， 即4x −1>1，得x >12． ∴ 函数y =log 2(4x−1)的定义域为(12，+∞)． 故选：C ． 3.【答案】 C【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系 二次函数的性质【解析】 令f(x)=x 2−mx +3，若方程x 2−mx +3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则f(1)<0，解得答案．【解答】解：令f(x)=x 2−mx +3，若方程x 2−mx +3=0的两根满足一根大于1，一根小于1， 则f(1)=1−m +3<0， 解得：m ∈(4, +∞)， 故选：C ． 4. 【答案】 B【考点】对数值大小的比较 【解析】要比较三个数字的大小，可将a ，b ，c 与中间值0，1进行比较，从而确定大小关系． 【解答】解：∵ a =0.512，b =0.812， ∴ 0<a <b ，∵ c =log 20.5<0， ∴ c <a <b ， 故选B ． 5.【答案】 A【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】由条件利用函数y =A sin (ωx +φ)的图象变换规律，可得结论． 【解答】解：把函数y =sin 3x 的图象向右平移π9个单位长度，可得y =sin 3(x −π9)=sin (3x −π3)的图象，故选：A ． 6. 【答案】 B【考点】三角函数值的符号 【解析】分别判断每个角对应的象限，即可判断每个函数值的符号． 【解答】 解：：①sin 100∘>0，②cos (−100∘)=cos 100∘<0，③tan (−100∘)=−tan 100>0， ④∵ sin 7π10>0，cos π=−1，tan17π9<0，∴sin7π10cos πtan17π9>0，其中符号为负的是②， 故选：B ． 7.【答案】 A【考点】向量的线性运算性质及几何意义 平行向量的性质 向量的几何表示 【解析】将向量AD →利用向量的三角形法则首先表示为AB →+BD →，然后结合已知表示为AB →，AC →的形式． 【解答】解：由已知得到如图，由AD →=AB →+BD →=AB →+43BC →=AB →+43(AC →−AB →)=−13AB →+43AC →. 故选A . 8.【答案】 C【考点】二倍角的正切公式同角三角函数间的基本关系【解析】由题意结合sin 2α+cos 2α=1可解得sin α，和cos α，进而可得tan α，再代入二倍角的正切公式可得答案． 【解答】解：∵ sin α+2cos α=√102，又sin 2α+cos 2α=1，联立解得{sin α=−√1010,cos α=3√1010,或{sin α=3√1010,cos α=√1010,故tan α=sin αcos α=−13，或tan α=3， 代入可得tan 2α=2tan α1−tan 2α=2×(−13)1−(−13)2=−34，或tan 2α=2tan α1−tan 2α=2×31−32=−34故选C . 9.【答案】 A【考点】函数的图象变换 【解析】函数y =1a ，显然y 在(0, +∞)上单调递增，且函数的图象经过点(0, 1)，从而得出结论． 【解答】解：0<a <1，实数x ，y 满足|x|−log a 1y =0，即y =1a |x|，故函数y 为偶函数，它的图象关于y 轴对称， 在(0, +∞)上单调递增，且函数的图象经过点(0, 1)， 故选：A ． 10.【答案】 D【考点】对数函数的图象与性质 对数函数的单调区间【解析】先求出2x 2+x ∈(0, 1)，再由条件f(x)>0判断出a 的范围，再根据复合函数“同增异减”原则求f(x)单调区间． 【解答】解：当x ∈(0, 12)时，2x 2+x ∈(0, 1)，∴ 0<a <1.∵ 函数f(x)=log a (2x 2+x)(a >0, a ≠1),由f(x)=log a t 和t =2x 2+x 复合而成，0<a <1时，f(x)=log a t 在(0, +∞)上是减函数，所以只要求t =2x 2+x >0的单调递减区间． t =2x 2+x >0的单调递减区间为(−∞, −12)， ∴ f(x)的单调增区间为(−∞, −12).故选D ． 11.【答案】 D【考点】分段函数的应用 函数零点的判定定理【解析】求出函数y =f(x)−g(x)的表达式，构造函数ℎ(x)=f(x)+f(2−x)，作出函数ℎ(x)的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵ g(x)=b2−f(2−x)，∴ y =f(x)−g(x)=f(x)−b2+f(2−x)，由f(x)−b 2+f(2−x)=0，得f(x)+f(2−x)=b2，设ℎ(x)=f(x)+f(2−x)，若x ≤0，则−x ≥0，2−x ≥2，则ℎ(x)=f(x)+f(2−x)=2+x +x 2，若0≤x ≤2，则−2≤−x ≤0，0≤2−x ≤2，则ℎ(x)=f(x)+f(2−x)=2−x +2−|2−x|=2−x +2−2+x =2， 若x >2，−x <−2，2−x <0，则ℎ(x)=f(x)+f(2−x)=(x −2)2+2−|2−x|=x 2−5x +8． 作出函数ℎ(x)的图象如图：当x ≤0时，ℎ(x)=2+x +x 2=(x +12)2+74≥74，当x >2时，ℎ(x)=x 2−5x +8=(x −52)2+74≥74， 故当b2=74时，ℎ(x)=b2，有两个交点， 当b2=2时，ℎ(x)=b2，有无数个交点，由图象知要使函数y =f(x)−g(x)恰有4个零点， 即ℎ(x)=b2恰有4个根，则满足74<b 2<2，解得：b ∈(72, 4)， 故选：D ． 12.【答案】 B【考点】直线与圆相交的性质向量的模平面向量数量积的运算【解析】先根据题设条件判断三角形为直角三角形，根据三边长求得内切圆的半径，进而看半径为1的圆内切于三角形时有三个公共点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，进而可得出答案． 【解答】解：∵ 向量a ⋅b =0，∴ 此三角形为直角三角形，三边长分别为3，4，5，进而可知其内切圆半径为1， ∵ 对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点， 对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况， 但5个以上的交点不能实现． 故选B二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 【答案】 ②【考点】 三角函数线 【解析】 作出角17π18的三角函数线图象，由图象进行判断，即可得到OM ，0，MP 之间的大小关系．【解答】解：由MP ，OM 分别为角17π18的正弦线、余弦线，如图， ∵ sin17π18=MP >0，cos17π18=OM <0，∴ OM <0<MP ．故答案为：②．【答案】 {0, 1} 【考点】函数的值域及其求法 【解析】化简y =[f(x)−12]+[f(−x)+12]=[12−11+2x ]+[11+2x +12]，从而分类讨论以确定函数的值，从而解得． 【解答】解：y =[f(x)−12]+[f(−x)+12]=[2x 1+2x −12]+[2−x 1+2−x +12] =[12−11+2]+[11+2+12]， ∵ 0<11+2x <1，∴ −12<12−11+2x <12，12<11+2x +12<32， ①当0<11+2x <12时，0<12−11+2x <12，12<11+2x +12<1， 故y =0； ②当11+2x =12时，12−11+2x =0，11+2x +12=1， 故y =1； ③12<11+2x<1时，−12<12−11+2x<0，1<11+2x+12<32，故y =−1+1=0；故函数y =[f(x)−12]+[f(−x)+12]的值域为{0, 1}． 故答案为：{0, 1}．【答案】(−√105, 3√105) 【考点】线段的定比分点 【解析】本题考查的知识点是线段的定比分点，处理的方法是，根据三角形内角平分线定理，求出OC 所在直线分有线向量AB 所成的比．然后代入定比分点公式求出OC 与AB 的交点坐标，再根据向量的模求出答案． 【解答】 解：∵ |OA →|=1，|OB →|=5， 设OC 与AB 交于D(x, y)点， 则AD:BD =1:5，即D 分有向线段AB 所成的比为15，则{x =−3×151+15,y =1+4×151+15,解得：{x =−12,y =32,∴ OD →=(−12,32)， 又∵ |OC →|=2，∴ OC →=2OD →|OD →|=(−√105, 3√105). 故答案为：(−√105, 3√105). 【答案】 [−3, 6] 【考点】一元二次不等式的应用 【解析】当x >a 时，g(x)>0恒成立，显然不存在x 0∈(a, +∞)，使得f(x 0)<0与g(x 0)<0同时成立，当x ≤a 时，则需f(x)≥0在(−∞, a]上恒成立，只需f(x)在(−∞, a]上的最小值大于或等于零即可，利用二次函数的图象性质求最小值并解不等式即可得a 的取值范围 【解答】①若x ≤a ，则g(x)≤0，此时若不存在x 0∈(−∞, a]，使得f(x 0)<0与g(x 0)<0同时成立，需f(x)≥0在(−∞, a]上恒成立，即x 2−ax +a +3≥0在(−∞, a]上恒成立，需{a >0f(a 2)≥0 或{a ≤0f(a)≥0 ，即{a >0−a 24+a +3≥0 或{a ≤0a +3≥0解得：−3≤a ≤6②若x >a ，则g(x)>0恒成立，显然不存在x 0∈(a, +∞)，使得f(x 0)<0与g(x 0)<0同时成立，此时a ∈R 综上所述，若不存在x 0∈R ，使得f(x 0)<0与g(x 0)<0同时成立，实数a 的取值范围是[−3, 6] 三、解答题（本题共8小题） 【答案】解：（1）将sin α2+cos α2=2√33两边平方得：(sin α2+cos α2)2=sin 2α2+2sin α2cos α2+cos 2α2=1+sin α=43，∴ sin α=13， ∵ α∈(π2, π)，∴ cos α=−√1−sin 2α=−2√23； （2）∵ α∈(π2, π)，β∈(0, π2)， ∴ α+β∈(π2, 3π2)， ∵ sin (α+β)=−35<0，∴α+β∈(π, 3π2)，∴cos(α+β)=−√1−sin2(α+β)=−45，则sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=−35×(−2√23)−(−45)×13=2√25+415=6√2+415．【考点】求两角和与差的正弦运用诱导公式化简求值【解析】（1）已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简求出sinα，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值；（2）由α与β的范围，求出α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos(α+β)的值，将sinβ变形为sin[(α+β)−α]，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）将sinα2+cosα2=2√33两边平方得：(sinα2+cosα2)2=sin2α2+2sinα2cosα2+cos2α2=1+sinα=43，∴sinα=13，∵α∈(π2, π)，∴cosα=−√1−sin2α=−2√23；（2）∵α∈(π2, π)，β∈(0, π2)，∴α+β∈(π2, 3π2)，∵sin(α+β)=−35<0，∴α+β∈(π, 3π2)，∴cos(α+β)=−√1−sin2(α+β)=−45，则sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=−35×(−2√23)−(−45)×13=2√25+415=6√2+415．【答案】（本题满分为12分）解：（1）由题意知：A=2，…∵T=6π，∴2πω=6π得ω=13，…∴f(x)=2sin(13x+φ)，∵函数图象过(π, 2)，∴sin(π3+φ)=1，∵−π6<φ+π3<5π6，∴φ+π3=π2，得φ=π6…∴A=2，ω=13，φ=π6，∴f(x)=2sin(13x+π6)．…（2）∵将y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的14（纵坐标不变），可得函数y=2sin(43x+π6)的图象，然后再将新的图象向轴正方向平移π3个单位，得到函数g(x)=2sin[43(x−π3)+π6]=2sin(4x3−5π18)的图象．故y=g(x)的解析式为：g(x)=2sin(4x3−5π18)．…【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】（1）依题意，可求得A，由T=6π可求ω，函数图象过(π, 2)可求φ；（2）根据函数图象的周期变换及平移变换法则，结合（1）中函数的解析式，即可求出函数y=g(x)的解析式．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由题意知：A=2，…∵T=6π，∴2πω=6π得ω=13，…∴f(x)=2sin(13x+φ)，∵函数图象过(π, 2)，∴sin(π3+φ)=1，∵−π6<φ+π3<5π6，∴φ+π3=π2，得φ=π6…∴A=2，ω=13，φ=π6，∴ f(x)=2sin (13x +π6)．…（2）∵ 将y =f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的14（纵坐标不变），可得函数y =2sin (43x +π6)的图象， 然后再将新的图象向轴正方向平移π3个单位，得到函数g(x)=2sin [43(x −π3)+π6]=2sin (4x3−5π18)的图象． 故y =g(x)的解析式为：g(x)=2sin (4x3−5π18)．…【答案】（1）证明：如图，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系， 当M 是AB 的中点时，A(0, 0)，N(1, 1)，C(2, 1)，M(1, 0)， AN →=(1,1)，CM →=(−1,−1)，由AN →=−CM →，可得AN →与CM →共线；（2）解：假设线段AB 上是否存在点M ，使得BD →与CM →垂直， 设M(t, 0)(0≤t ≤2)，则B(2, 0)，D(0, 1)，M(t, 0)， BD →=(−2,1)，CM →=(t −2,−1)，由BD →⋅CM →=−2(t −2)−1=0，解得t =32，∴ 线段AB 上存在点M(32，0)，使得BD →与CM →垂直；（3）解：由图看出，当P 在线段BC 上时，AP →在AB →上的投影最大， 则AP →⋅AB →有最大值为4． 【考点】平面向量数量积的运算 【解析】（1）建立如图所示平面直角坐标系，得到AN →与CM →的坐标，由共线向量基本定理得答案； （2）假设存在M ，设出M 的坐标，由数量积运算求得M 的坐标； （3）直接利用向量在向量方向上的投影结合图形得答案．【解答】（1）证明：如图，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系， 当M 是AB 的中点时，A(0, 0)，N(1, 1)，C(2, 1)，M(1, 0)，AN →=(1,1)，CM →=(−1,−1)，由AN →=−CM →，可得AN →与CM →共线；（2）解：假设线段AB 上是否存在点M ，使得BD →与CM →垂直， 设M(t, 0)(0≤t ≤2)，则B(2, 0)，D(0, 1)，M(t, 0)， BD →=(−2,1)，CM →=(t −2,−1)，由BD →⋅CM →=−2(t −2)−1=0，解得t =32， ∴ 线段AB 上存在点M(32，0)，使得BD →与CM →垂直；（3）解：由图看出，当P 在线段BC 上时，AP →在AB →上的投影最大， 则AP →⋅AB →有最大值为4． 【答案】解：（1）证明：ℎ(x)=f(x)+g(x)=log 2x−1x+1+2x ， =log 2(1−2x+1)+2x ； ∵ y =1−2x+1在(1, +∞)上是增函数，故y =log 2(1−2x+1)在(1, +∞)上是增函数； 又∵ y =2x 在(1, +∞)上是增函数； ∴ ℎ(x)在x ∈(1, +∞)上单调递增；同理可证，ℎ(x)在(−∞, −1)上单调递增； 而ℎ(1.1)=−log 221+2.2<0， ℎ(2)=−log 23+4>0；故ℎ(x)在(1, +∞)上有且仅有一个零点，同理可证ℎ(x)在(−∞, −1)上有且仅有一个零点，故函数ℎ(x)有两个零点；（2）由题意，关于x的方程f(x)=log2g(x)有两个不相等实数根可化为1−2x+1=2ax+1−a在(−∞, −1)∪(1, +∞)上有两个不相等实数根；故a=2(x+1)(1−2x)；结合函数a=2(x+1)(1−2x)的图象可得，22×(−1)<a<0；即−1<a<0．【考点】函数零点的判定定理对数函数图象与性质的综合应用函数单调性的判断与证明【解析】（1）利用复合数的单调性证明函数的单调性，利用函数零点的判定定理求函数的零点；（2）化简关于x的方程f(x)=log2g(x)有两个不相等实数根为1−2x+1=2ax+1−a在(−∞, −1)∪(1, +∞)上有两个不相等实数根；从而求解．【解答】解：（1）证明：ℎ(x)=f(x)+g(x)=log2x−1x+1+2x，=log2(1−2x+1)+2x；∵y=1−2x+1在(1, +∞)上是增函数，故y=log2(1−2x+1)在(1, +∞)上是增函数；又∵y=2x在(1, +∞)上是增函数；∴ℎ(x)在x∈(1, +∞)上单调递增；同理可证，ℎ(x)在(−∞, −1)上单调递增；而ℎ(1.1)=−log221+2.2<0，ℎ(2)=−log23+4>0；故ℎ(x)在(1, +∞)上有且仅有一个零点，同理可证ℎ(x)在(−∞, −1)上有且仅有一个零点，故函数ℎ(x)有两个零点；（2）由题意，关于x的方程f(x)=log2g(x)有两个不相等实数根可化为1−2x+1=2ax+1−a在(−∞, −1)∪(1, +∞)上有两个不相等实数根；故a=2(x+1)(1−2x)；结合函数a=2(x+1)(1−2x)的图象可得，22×(−1)<a<0；即−1<a<0．【答案】解：由f(x)≥0得f(x)=x2−ax+2≥0，即ax≤2+x2，∵x∈[1, +∞)，∴ a ≤2+x 2x =x +2x ，∵ x +2x≥2√x ⋅2x=2√2，当x =2x ，即x =√2取等号，∴ a ≤2√2． 【考点】函数恒成立问题 【解析】根据不等式的关系利用参数分类法，结合基本不等式的性质进行求解即可． 【解答】解：由f(x)≥0得f(x)=x 2−ax +2≥0， 即ax ≤2+x 2， ∵ x ∈[1, +∞)， ∴ a ≤2+x 2x =x +2x ，∵ x +2x ≥2√x ⋅2x =2√2， 当x =2x ，即x =√2取等号， ∴ a ≤2√2． 【答案】由图可知，t =18{2(1−k8)(5−b)2=12(1−k 8)(7−b)2=2解得{k =6b =5 当P ＝Q 时，得2(1−6t)(x−5)2=211−12x解得：t =16[1−22−x 2(x−5)2]=16[1−17−(x−5)2(x−5)2]=−112[17(x−5)2−1x−5−2]令m =1x−5，∵ x ≥9，∴ m ∈(0, 14]，则t =−112(17m 2−m −2)， ∴ 对称轴m =134∈(0, 14]，且开口向下； ∴ m =14时，t 取得最小值19192，此时x ＝9∴ 税率t 的最小值为19192．【考点】指数函数综合题 【解析】第一问能根据图象求出k 、b 的值．第二问能根据题意构造函数，并能在定义域内求函数的最小值．考查的知识综合性较强，对学生理解题意的能力也是一个挑战． 【解答】由图可知，t =18{2(1−k 8)(5−b)2=12(1−k8)(7−b)2=2解得{k =6b =5当P ＝Q 时，得2(1−6t)(x−5)2=211−12x 解得：t =16[1−22−x 2(x−5)2]=16[1−17−(x−5)2(x−5)2]=−112[17(x−5)2−1x−5−2]令m =1x−5，∵ x ≥9，∴ m ∈(0, 14]，则t =−112(17m 2−m −2)，∴ 对称轴m =134∈(0, 14]，且开口向下； ∴ m =14时，t 取得最小值19192，此时x ＝9 ∴ 税率t 的最小值为19192．【答案】解：由题意，某人一月份的工资为8660元，那么他当月应缴纳的个人所得税是1500×3%+3000×10%+(8660−4500)×20%=1177元 【考点】函数模型的选择与应用 【解析】利用税款分段累计，即可得出结论． 【解答】解：由题意，某人一月份的工资为8660元，那么他当月应缴纳的个人所得税是1500×3%+3000×10%+(8660−4500)×20%=1177元 【答案】(1)证明：函数y =f(x)为奇函数． 当a =0时，f(x)=x|−x|+2x ， ∴ f(−x)=−x|x|−2x =−f(x)， ∴ 函数y =f(x)为奇函数.(2)解：f(x)={x 2+(2−2a)x ，x ≥2a,−x 2+(2+2a)x ，x <2a,当x ≥2a 时，y =f(x)的对称轴为：x =a −1； 当x <2a 时，y =f(x)的对称轴为：x =a +1； ∴ 当a −1≤2a ≤a +1时，f(x)在R 上是增函数, 即−1≤a ≤1时，函数f(x)在R 上是增函数.(3)解：方程f(x)−tf(2a)=0的解即为方程f(x)=tf(2a)的解． ①当−1≤a ≤1时，函数f(x)在R 上是增函数，∴ 关于x 的方程f(x)=tf(2a)不可能有三个不相等的实数根； ②当a >1时，即2a >a +1>a −1，∴ f(x)在(−∞, a +1)上单调增，在(a +1, 2a)上单调递减，在(2a, +∞)上单调递增， ∴ 当f(2a)<tf(2a)<f(a +1)时，关于x 的方程f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根； 即4a <t ⋅4a <(a +1)2， ∵ a >1，∴ 1<t <14(a +1a +2)． 设ℎ(a)=14(a +1a+2)，∵ 存在a ∈[−2, 2]，使得关于x 的方程f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根，∴1<t<ℎ(a)max，又可证ℎ(a)=14(a+1a+2)在(1, 2]上单调递增，∴ℎ(a)max=98，∴1<t<98，③当a<−1时，即2a<a−1<a+1，∴f(x)在(−∞, 2a)上单调递增，在(2a, a−1)上单调递减，在(a−1, +∞)上单调递增，∴当f(a−1)<tf(2a)<f(2a)时，关于x的方程f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根；即−(a−1)2<t⋅4a<4a，∵a<−1，∴1<t<−14(a+1a−2)，设g(a)=−14(a+1a−2)，∵存在a∈[−2, 2]，使得关于x的方程f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根，∴1<t<g(a)max，又可证g(a)=−14(a+1a−2)在[−2, −1)上单调递减，∴g(a)max=98，∴1<t<98;综上：1<t<98．【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的性质【解析】(1)若a=0，根据函数奇偶性的定义即可判断函数y=f(x)的奇偶性；(2)根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数a的取值范围；(3)根据方程有三个不同的实数根，建立条件关系即可得到结论．【解答】(1)证明：函数y=f(x)为奇函数．当a=0时，f(x)=x|−x|+2x，∴f(−x)=−x|x|−2x=−f(x)，∴函数y=f(x)为奇函数.(2)解：f(x)={x2+(2−2a)x，x≥2a,−x2+(2+2a)x，x<2a,当x≥2a时，y=f(x)的对称轴为：x=a−1；当x<2a时，y=f(x)的对称轴为：x=a+1；∴当a−1≤2a≤a+1时，f(x)在R上是增函数, 即−1≤a≤1时，函数f(x)在R上是增函数.(3)解：方程f(x)−tf(2a)=0的解即为方程f(x)=tf(2a)的解．①当−1≤a≤1时，函数f(x)在R上是增函数，∴关于x的方程f(x)=tf(2a)不可能有三个不相等的实数根；②当a>1时，即2a>a+1>a−1，∴f(x)在(−∞, a+1)上单调增，在(a+1, 2a)上单调递减，在(2a, +∞)上单调递增，∴当f(2a)<tf(2a)<f(a+1)时，关于x的方程f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根；即4a<t⋅4a<(a+1)2，∵a>1，∴1<t<14(a+1a+2)．设ℎ(a)=14(a+1a+2)，∵存在a∈[−2, 2]，使得关于x的方程f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根，∴1<t<ℎ(a)max，又可证ℎ(a)=14(a+1a+2)在(1, 2]上单调递增，∴ℎ(a)max=98，∴1<t<98，③当a<−1时，即2a<a−1<a+1，∴f(x)在(−∞, 2a)上单调递增，在(2a, a−1)上单调递减，在(a−1, +∞)上单调递增，∴当f(a−1)<tf(2a)<f(2a)时，关于x的方程f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根；即−(a−1)2<t⋅4a<4a，∵a<−1，∴1<t<−14(a+1a−2)，设g(a)=−14(a+1a−2)，∵存在a∈[−2, 2]，使得关于x的方程f(x)=tf(2a)有三个不相等的实数根，∴1<t<g(a)max，又可证g(a)=−14(a+1a−2)在[−2, −1)上单调递减，∴g(a)max=98，∴1<t<98;综上：1<t<98．。
