平方差公式(第二课时)教案

平方差公式一、教学目的和要求1. 使学生能运用多项式乘法法则导出平方差公式，培养学生分析问题的能力和罗辑思维的能力。

2. 要求学生牢固地掌握平方差公式，并能熟练地掌握和应用公式进行计算。

二、教学重点和难点重点：平方差公式的应用。

难点：运用公式过程中出现的系数的差错和符号的变换。

三、教学过程(一)复习、引入提问：1. 多项式乘法法则是什么？2. 分别用代数式表示a与b的和、差、平方差。

（a＋b，a－b，）3. 计算(1)(3＋a)(3－a) (2)(2x＋y)(2x－y)(3)(2a－1)(2a＋1) (4)(3a＋2b)(3a－2b)(二)新课观察以上各式左边的特点与计算结果有什么关系？可以得到乘法公式：，由于公式右边是两个数的平方差的形式，我们称它为平方差公式。

因语言叙述出来，即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

启发学生进一步仔细分析这个公式的结构特征：1. 公式的左边是两个二项式的乘积，在这两个二项式中，有一项完全相同，另一项仅相差一个符号，右边是这两个数的平方差。

2. 对平方差公式的认识与应用。

(1)公式中的a，b可以表示数（正数或负数）也可以表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特征，就可用此公式进行计算。

(2)公式中的是不可颠倒的，注意是相同项的平方减去相反项的平方，还要注意字母的系数和指数。

例1 计算(1)(2x＋3y)(2x－3y)(2)(－x＋a)(－x－a)(3)(4)(－4a－1)(4a－1) 解：(1)(2)(3)(4)或例2 运用平方差公式计算(1) 102×98(2)解：(1)(2)(三)巩固练习1. 判断对错，如果有错，如何改正？2. 运用平方差公式计算(1) (x＋a)(x－a) (2) (a＋3b)(a－3b)(3) (3＋2a)(－3＋2a) (4)(5) (4x－5y)(4x＋5y) (6)(7) 103×97 (8)巩固练习答案：1. (1)错，应是(2)错，应是(3)错，应是(4)错，应是(5)错，应是(6)对(7)错，应是(8)对2.(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) 9991 (8)(四)小结1. 记住平方差公式的左边和右边。

第二讲：平方差公式一、 知识总结()()b a b a b a -+=-22平方差公式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积。

适合分解的多项式：（1）只有两项；（2）符号相反；（3）两项均能写成整体的平方。

口诀要领：系数能平方，指数要成双，减号在中央。

注意：公式中的a 、b 无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解，能提取公因式的要先提取公因式，并且要进行到不能分解为止。

二、常见题型例1、分解因式（1）a 2-16 （2）64-b 2 （3）－y 2 +4x 2变式1-1、 （1）a 2－91b 2 （2）2199a -+= （3） x 2－16y 2例2、把下列各式分解因式：（提高）（1）22916b a - （2）22)(4)(9b a b a --+（3）22)()(q x p x +-+ （4）)(6)(322n m n m m --+变式2-1、（1）x x 663- （2）)1()(23---x x x（3）22()()a b c a b c ++-+- （4）22(2)16(1)a a -++-变式2-2、（1）416a - （2）2394xy x -（3）()()x y n y x m 161622-+- （4）4m 2(2x –3y) 2–m 2(3x –2y) 2例3、利用因式分解计算22872131-）（ 49200722-）（299-100003）（433.1922.1422⨯-⨯）（变式3-1、 （1）22200120031001- （2）22221628452152--。

变式3-2、（1）(1－221)(1－231)(1－241)…(1－291)(1－2101)例4、（公式的应用）如图，求圆环形绿地的面积。

402440222012201112106586434221222222222+-+++-++-++- ）（变式4-1、如图，在边长为6.8cm 正方形钢板上，挖去4个边长为1.6cm 的小正方形，求剩余部分的面积。

教学设计课题：1.5平方差公式（2）授课人：单位：第2课时平方差公式的应用教学目标：知识技能通过图形的拼接验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景，并会运用平方差公式进行简便运算。

过程与方法1. 发展学生的观察、归纳、猜测验证能力2. 在数学活动中建立平方差公式模型，探索规律，培养学生学习数学的兴趣。

情感、态度与价值观：在学习过程中，增强自主学习能力，合作意识及合作能力。

教学重点: 熟练的运用平方差公式教学难点：正确的运用平方差公式，体会公式在解决问题时的作用。

教学过程：一、创设情景，导入新课1.复习提问：（1）.平方差公式的内容是什么？数学表达式是什么？（2）.平方差公式的特征是什么？2.导学示标: （1）.出示学习目标，通过图形的拼接验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景，并会运用平方差公式进行简便运算。

（2）.自主学习指导:请同学们认真看课本21---22页，自主学习并试着完成课本中的问题：（时间是5分钟）二、合作探究新知1.探索平方差公式的几何背景.如图，边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形.(1) 请表示图中阴影部分的面积a 2-b 2；(2) 小颖将阴影部分拼成了一个长方形（如图），这个长方形的长和宽分别是多少？a+b,a -b ，它的面积是(a+b)(a -b).(3) 比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？说一说验证的理由.2.利用平方差公式探索规律. (1) 计算下列各组算式，并观察它们的共同特点.7988⨯=⎧⎨⨯=⎩ 11131212⨯=⎧⎨⨯=⎩ 79818080⨯=⎧⎨⨯=⎩ (2) 从以上的过程中，你发现了什么规律？(3) 请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？解：()()2111a a a -+=-巩固训练（1）.从图1到图2的变化过程可以发现的代数结论是( )A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2（2）若(x＋1)(x－1)(x2＋1)(x4＋1)＝x n－1，则n等于（）A．16 B．8 C．6 D．43例题合作探究例3 用平方差公式进行计算：（1）103×97；（2）118×122.解：（1）原式=（100+3）×（100-3）=1002-32=9991（2）原式=（120—2）（120 + 2）.=1202—22=14400—4=14396例4 计算：（1）a2(a+b)(a-b)+a2b2; (2)(2x -5)(2x+5)-2x(2x-3). 解：(1)原式=a2(a2--b2)+a2b2; (2)原式=4x2--25-4x2+6x.=a4--a2b2+a2b2 =a4 =6x-25方法总结：1.简算时，要把数拆成两数的和及这两数的差，利用平方差公式；2.整式的运算时，也要遵循运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减；3.乘法运算时，乘法公式优先，先把适合公式的先乘，再乘其他的因式；4.不满足公式的乘法运算，一定要用多项式乘多项式来算。

人教版数学八年级上册《14.2.1平方差公式》教案1一. 教材分析《14.2.1平方差公式》是人教版数学八年级上册中的一章，主要介绍了平方差公式的概念、推导过程以及应用。

本节课的内容是学生进一步学习代数知识的基础，对于培养学生的逻辑思维能力和数学素养具有重要意义。

平方差公式的推导过程涉及到了完全平方公式，需要学生熟练掌握。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘方、完全平方公式等基础知识，具备了一定的代数运算能力。

但部分学生对于代数式的理解和运算仍存在困难，对于公式的推导过程可能感到抽象难懂。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行辅导。

三. 教学目标1.让学生理解平方差公式的概念，掌握公式的推导过程。

2.培养学生运用平方差公式解决实际问题的能力。

3.提高学生的代数运算能力，培养学生的逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.平方差公式的推导过程。

2.平方差公式的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生思考和探索。

2.使用多媒体辅助教学，直观展示公式的推导过程。

3.运用例题讲解法，让学生在实际问题中运用公式。

4.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，展示平方差公式的推导过程和应用实例。

2.准备练习题，用于巩固所学知识。

3.准备小组合作学习的任务，引导学生进行讨论和交流。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的平方差问题，如面积计算、距离计算等，引导学生思考和讨论。

通过这些问题，激发学生的学习兴趣，引出本节课的主题——平方差公式。

2.呈现（15分钟）教师通过PPT展示平方差公式的推导过程，引导学生理解和记忆公式。

在这个过程中，教师可以适时提出问题，引导学生思考和探索。

3.操练（15分钟）教师给出一些例题，让学生运用平方差公式进行解答。

在解答过程中，教师要注意引导学生理解和掌握公式的应用。

对于学生的解答，教师要及时给予反馈和指导。

14．2.１平方差公式教学目标１、会推导平方差公式并掌握公式的结构特征,能运用公式进行简单的计算；2、了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法。

重点难点重点:平方差公式的推导及应用．难点：用公式的结构特征判断题目能否使用公式．教学设计一、板书标题，揭示教学目标教学目标１、会推导平方差公式并掌握公式的结构特征，能运用公式进行简单的计算；２、了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法。

二、指导学生自学自学内容与要求看教材:课本第１51页------第1５３页，把你认为重要部分打上记号，完成第1５3页练习题。

想一想：1、平方差公式实质是什么？2、满足什么条件的两个多项才能运用平方差公式？３、你对1５２页思考中的图形理解吗？８分钟后,检查自学效果三、学生自学，教师巡视学生认真自学，并完成Ｐ1５3练习，老师巡视,并指导学生完成练习。

四、检查自学效果1、学生回答老师所提出的问题；2、你能根据下面的两个图形解释平方差公式吗？3、学生抢答P153练习结果，并要求学生是否有不同意见。

４、学生板演:计算：(１)x２＋(y－x)(y+x）（２)2００82-20０9×2０07 (3）(-0．2５x-2y)(－0.25x+2y)(４)(a+12ｂ)(ａ-12b)－(３ａ-2b)(3ａ+２b)五、归纳，矫正，指导运用１、概念归纳:平方差公式的字母表示形式(ａ＋b)（ａ-b)=a2-b2．其中a、b表示任意数,也可以表示任意的单项式、多项式。

即:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差。

２、应用：下列计算是否正确？如不正确，应怎样改正?(１)(ａ-4)(a+４）=a2－4(２)(2ｘ+5)(２x－５)=2x２-2５（３)(-ａ－b)(a＋ｂ)=a2-b２(4）(mｎ-1)(mｎ+1)=mn2-1计算:（1)(a+ｂ)（-b+ａ) (2）(-ａ-b)（a-b）（3）（3a＋２ｂ）（3a-2b） (4)(a5-b2）（a5+b2）（5)(ａ+２b+2ｃ）（a＋2b-２c）（6)（a－ｂ)（a+b)（ａ2+b２）六、随堂练习１、用简便方法计算(1)2０01×1999 （2)998×１0０2２、计算:（1）（x+1）（ｘ-1）（２）（ｍ+2)(m-2)(3）（2x+1）(2x-1)(4)(x+5y)(x-5y)七、布置作业课本第156页 1设计思想:《新课程标准》中明确指出:“数学教学是数学活动的教学，学生是数学学习的主人。

1.5 平方差公式(二)●教学目标(一)教学知识点1.了解平方差公式的几何背景.2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.3.体会符号运算对证明猜想的作用.(二)能力训练要求1.用符号运算证明猜想，提高解决问题的能力.2.培养学生观察、归纳、概括等能力.(三)情感与价值观要求1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，体验学习数学的乐趣.2.体验符号运算对猜想的作用，享受数学符号表示运算规律的简捷美.●教学重点平方差公式的几何解释和广泛的应用.●教学难点准确地运用平方差公式进行简单运算，培养根本的运算技能.●教学方法启发——探究相结合●教具准备一块大正方形纸板，剪刀.投影片四张第一张：想一想，记作(§1.5.2 A)第二张：例3，记作(§1.5.2 B)第三张：例4，记作(§1.5.2 C)第四张：补充练习，记作(§ D)●教学过程Ⅰ.创设问题情景，引入新课［师］同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a.这个正方形的面积是多少？［生］a2.［师］请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形(如图1－23).现在我们就有了一个新的图形(如上图阴影局部)，你能表示出阴影局部的面积吗？图1－23［生］剪去一个边长为b的小正方形，余以以下列图形的面积，即阴影局部的面积为(a2－b2).［师］你能用阴影局部的图形拼成一个长方形吗？同学们可在小组内交流讨论.(教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法)［生］老师，我们拼出来啦.［师］讲给大伙听一听.［生］我是把剩下的图形(即上图阴影局部)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开)，我们可以注意到，上面的大长方形宽是(a－b),长是a;下面的小长方形长是(a－b),宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a－b),我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图1－24所示的图形(阴影局部)，它的长和宽分别为(a+b),(a－b),面积为(a+b)(a－b).图1－24［师］比较上面两个图形中阴影局部的面积，你发现了什么？［生］这两局部面积应该是相等的，即(a+b)(a－b)=a2－b2.［生］这恰好是我们上节课学过的平方差公式.［生］我明白了.上一节课，我们用多项式与多项式相乘的法那么验证了平方差公式.今天，我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙了.［生］用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证.［师］由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式，也许你会发现它更“神奇〞的作用.Ⅱ.讲授新课［师］出示投影片(§1.5.2 A)想一想：(1)计算以下各组算式，并观察它们的特点⎩⎨⎧=⨯=⨯8897 ⎩⎨⎧=⨯=⨯12121311 ⎩⎨⎧=⨯=⨯80808179 (2)从以上的过程中，你发现了什么规律？(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？［生］(1)中算式算出来的结果如下⎩⎨⎧=⨯=⨯64886397 ⎩⎨⎧=⨯=⨯14412121431311 ⎩⎨⎧=⨯=⨯6400808063998179 ［生］从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.［师］是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？［生］我猜想是.我又找了几个例子如：⎩⎨⎧=⨯=⨯422331 ⎩⎨⎧=⨯=⨯10000100100999910199 ⎩⎨⎧=⨯=⨯62525256242624 ［师］你能用字母表示这一规律吗？［生］设这个自然数为a,与它相邻的两个自然数为a －1,a+1,那么有(a+1)(a －1)=a 2－1.［生］这个结论是正确的，用平方差公式即可说明.［生］可是，我有一个疑问，a 必须是一个自然数，还必须大于2吗？(同学们惊讶，然后讨论)［生］a 可以代表任意一个数.［师］很好！同学们能大胆提出问题，又勇于解决问题，值得提倡.［生］老师，我还有个问题，这个结论反映了数字之间的一种关系.在平时有什么用途呢？(陷入沉思)［生］例如：计算29×31很麻烦，我们就可以转化为(30－1)(30+1)=302－1=900－1=899.［师］确实如此.我们在做一些数的运算时，如果能一直有这样“巧夺天工〞的方法，太好了.我们不妨再做几个类似的练习.出示投影片(§1.5.2 B)［例3］用平方差公式计算：(1)103×97 (2)118×122［师］我们可以发现，直接运算上面的算式很麻烦.但注意观察就会发现新的微妙.［生］我发现了，103=100+3,97=100－3,因此103×97=(100+3)(100－3)=10000－9=9991.太简便了！［生］我观察也发现了第(2)题的“微妙〞.118=120－2,122=120+2118×122=(120－2)(120+2)=1202－4=14400－4=14396.［生］遇到类似这样的题，我们就不用笔算，口算就能得出.［师］我们再来看一个例题(出示投影片§1.5.2 C).［例4］计算：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2;(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3).分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.解：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2=a2(a2－b2)+a2b2=a4－a2b2+a2b2=a4(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)=(2x)2－52－(4x2－6x)=4x2－25－4x2+6x=6x－25注意：在(2)小题中，2x与2x－3的积算出来后，要放到括号里，因为它们是一个整体.［例5］公式的逆用(1)(x+y)2－(x －y)2 (2)252－242分析：逆用平方差公式可以使运算简便.解：(1)(x+y)2－(x －y)2=［(x+y)+(x －y)］［(x+y)－(x －y)］=2x ·2y=4xy(2)252－242=(25+24)(25－24)=49Ⅲ.随堂练习1.(课本P 22)计算(1)704×696(2)(x+2y)(x －2y)+(x+1)(x －1)(3)x(x －1)－(x －31)(x+31)(可让学生先在练习本上完成，教师巡视作业中的错误，或同桌互查互纠)解：(1)704×696=(700+4)(700－4)=490000－16=489984(2)(x+2y)(x －2y)+(x+1)(x －1)=(x 2－4y 2)+(x 2－1)=x 2－4y 2+x 2－1=2x 2－4y 2－1(3)x(x －1)－(x －31)(x+31)=(x 2－x)－［x 2－(31)2］=x 2－x －x 2+91=91－x2.(补充练习)出示投影片(§1.5.2 D)解方程：(2x+1)(2x －1)+3(x+2)(x －2)=(7x+1)(x －1)(先由学生试着完成)解：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)=(7x+1)(x－1)(2x)2－1+3(x2－4)=7x2－6x－14x2－1+3x2－12=7x2－6x－16x=12 x=2Ⅳ.课时小结［师］同学们这节课一定有不少体会和收获.［生］我能用拼图对平方差公式进行几何解释.也就是说对平方差公式的理解又多了一个层面.［生］平方差公式不仅在计算整式时，可以使运算简便，而且数的运算如果也能恰当地用了平方差公式，也非常神奇.a(a+1)－(a+b)(a－b)一定要先算乘法，同时减号后面的积(a+b)(a－b),算出来一定先放在括号里，然后再去括号.就不容易犯错误了.……Ⅴ.课后作业课本习题1.10.Ⅵ.活动与探究计算：19902－19892+19882－19872+…+22－1.［过程］先做乘方运算，再做减法，那么计算繁琐，观察算式特点，考虑逆用平方差公式.［结果］原式=(19902－19892)+(19882－19872)+…+(22－1)=(1990+1989)(1990－1989)+(1988+1987)(1988－1987)+…+(2+1)(2－1)=1990+1989+1988+1987+…+2+1=2)11990(1990+⨯=1981045●板书设计§1.5.2 平方差公式(二) 一、平方差公式的几何解释：二、想一想特例——归纳——建立猜想——用符号表示——给出证明即(a+1)(a －1)=a 2－1三、例题讲解：例3 例4四、练习●备课资料参考练习(1)在以下多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是( )A.(－a －b)(a －b)B.(c 2－d 2)(d 2+c 2)C.(x 3－y 3)(x 3+y 3)D.(m －n)(－m+n)(2)用平方差公式计算(x －1)(x+1)(x 2+1)结果正确的选项是( )A.x 4－1B.x 4+1C.(x －1)4D.(x+1)4 (3)以下各式中，结果是a 2－36b 2的是( )A.(－6b+a)(－6b －a)B.(－6b+a)(6b －a)C.(a+4b)(a －4b)D.(－6b －a)(6b －a)(4)(5x+3y )·( )=25x 2－9y 2xyy 2x 2(6)(－23x －11y)( )=－49x 2+121y 2(7)假设(－7m+A)(4n+B)=16n 2－49m 2,那么A= ，B= .(8)(2x 2+3y)(3y －2x 2).(9)(p －5)(p －2)(p+2)(p+5).(10)(x 2y+4)(x 2y －4)－(x 2y +2)·(x 2y －3).(11)(上海市中考题)x 2－2x=2,将下式先化简，再求值(x －1)2+(x+3)(x －3)+(x －3)(x －1)(12)(北京市中考)观察以下顺序排列的等式：9×0+1=19×1+2=119×2+3=219×3+4=319×4+5=41……猜想：第n个等式(n为正整数)应为 .答案：1.(1)D (2)A (3)D2.(4)(5x－3yxy)3x－11y) (7)A=4n,B=7m(6)(23.(8)9y2－4x4 (9)p4－29p2+100(10)x2y－104.(11)原式=3(x2－2x)－5=3×2－5=15.(12)9×(n－1)+n=(n－1)×10+1(n为正整数).字母表示数【学习目标】课标要求：1.能用字母和代数式表示以前学过的运算律和计算公式。