北师大数学七年级上册：1.5 平方差公式1.5《平方差公式》第二课时教案4

教学设计课题：1.5平方差公式（2）授课人：单位：第2课时平方差公式的应用教学目标：知识技能通过图形的拼接验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景，并会运用平方差公式进行简便运算。

过程与方法1. 发展学生的观察、归纳、猜测验证能力2. 在数学活动中建立平方差公式模型，探索规律，培养学生学习数学的兴趣。

情感、态度与价值观：在学习过程中，增强自主学习能力，合作意识及合作能力。

教学重点: 熟练的运用平方差公式教学难点：正确的运用平方差公式，体会公式在解决问题时的作用。

教学过程：一、创设情景，导入新课1.复习提问：（1）.平方差公式的内容是什么？数学表达式是什么？（2）.平方差公式的特征是什么？2.导学示标: （1）.出示学习目标，通过图形的拼接验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景，并会运用平方差公式进行简便运算。

（2）.自主学习指导:请同学们认真看课本21---22页，自主学习并试着完成课本中的问题：（时间是5分钟）二、合作探究新知1.探索平方差公式的几何背景.如图，边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形.(1) 请表示图中阴影部分的面积a 2-b 2；(2) 小颖将阴影部分拼成了一个长方形（如图），这个长方形的长和宽分别是多少？a+b,a -b ，它的面积是(a+b)(a -b).(3) 比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？说一说验证的理由.2.利用平方差公式探索规律. (1) 计算下列各组算式，并观察它们的共同特点.7988⨯=⎧⎨⨯=⎩ 11131212⨯=⎧⎨⨯=⎩ 79818080⨯=⎧⎨⨯=⎩ (2) 从以上的过程中，你发现了什么规律？(3) 请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？解：()()2111a a a -+=-巩固训练（1）.从图1到图2的变化过程可以发现的代数结论是( )A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2（2）若(x＋1)(x－1)(x2＋1)(x4＋1)＝x n－1，则n等于（）A．16 B．8 C．6 D．43例题合作探究例3 用平方差公式进行计算：（1）103×97；（2）118×122.解：（1）原式=（100+3）×（100-3）=1002-32=9991（2）原式=（120—2）（120 + 2）.=1202—22=14400—4=14396例4 计算：（1）a2(a+b)(a-b)+a2b2; (2)(2x -5)(2x+5)-2x(2x-3). 解：(1)原式=a2(a2--b2)+a2b2; (2)原式=4x2--25-4x2+6x.=a4--a2b2+a2b2 =a4 =6x-25方法总结：1.简算时，要把数拆成两数的和及这两数的差，利用平方差公式；2.整式的运算时，也要遵循运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减；3.乘法运算时，乘法公式优先，先把适合公式的先乘，再乘其他的因式；4.不满足公式的乘法运算，一定要用多项式乘多项式来算。

2024年北师大版七下数学1.5平方差公式第2课时平方差公式的运用教学设计一. 教材分析平方差公式是初中数学中的重要内容，对于培养学生的运算能力、逻辑思维能力具有重要意义。

北师大版七下数学1.5平方差公式第2课时，主要通过例题和练习来让学生理解和掌握平方差公式的运用。

教材内容由浅入深，环环相扣，有利于学生逐步掌握平方差公式的运用。

二. 学情分析学生在学习本课时，已经掌握了有理数的乘方、完全平方公式等基础知识，但对平方差公式的理解和运用还不够熟练。

因此，在教学过程中，需要关注学生的知识基础，通过引导和激励，激发学生的学习兴趣，提高学生的运算能力和逻辑思维能力。

三. 教学目标1.理解平方差公式的概念和结构；2.掌握平方差公式的运用方法；3.能够运用平方差公式解决实际问题；4.培养学生的运算能力、逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.重点：平方差公式的理解和运用；2.难点：平方差公式的灵活运用和解决实际问题。

五. 教学方法1.讲授法：讲解平方差公式的概念、结构和运用方法；2.案例分析法：分析例题，引导学生运用平方差公式解决问题；3.练习法：设计练习题，让学生巩固所学知识；4.小组讨论法：分组讨论，培养学生合作学习的能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作包含平方差公式、例题、练习题的PPT；2.练习题：设计具有代表性的练习题，巩固学生所学知识；3.教学素材：准备与生活实际相关的问题，激发学生学习兴趣。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实际问题，引导学生思考如何用数学知识解决问题，从而引出平方差公式。

2.呈现（10分钟）讲解平方差公式的概念、结构和运用方法，让学生理解并掌握平方差公式。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析例题，引导学生运用平方差公式解决问题。

4.巩固（10分钟）设计练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

教师巡回指导，解答学生疑问。

5.拓展（10分钟）设计一些富有挑战性的问题，让学生小组讨论，发挥学生的创新能力，提高学生的逻辑思维能力。

1.5 平方差公式(二)●教学目标(一)教学知识点1.了解平方差公式的几何背景.2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.3.体会符号运算对证明猜想的作用.(二)能力训练要求1.用符号运算证明猜想，提高解决问题的能力.2.培养学生观察、归纳、概括等能力.(三)情感与价值观要求1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，体验学习数学的乐趣.2.体验符号运算对猜想的作用，享受数学符号表示运算规律的简捷美.●教学重点平方差公式的几何解释和广泛的应用.●教学难点准确地运用平方差公式进行简单运算，培养根本的运算技能.●教学方法启发——探究相结合●教具准备一块大正方形纸板，剪刀.投影片四张第一张：想一想，记作(§1.5.2 A)第二张：例3，记作(§1.5.2 B)第三张：例4，记作(§1.5.2 C)第四张：补充练习，记作(§ D)●教学过程Ⅰ.创设问题情景，引入新课［师］同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a.这个正方形的面积是多少？［生］a2.［师］请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形(如图1－23).现在我们就有了一个新的图形(如上图阴影局部)，你能表示出阴影局部的面积吗？图1－23［生］剪去一个边长为b的小正方形，余以以下列图形的面积，即阴影局部的面积为(a2－b2).［师］你能用阴影局部的图形拼成一个长方形吗？同学们可在小组内交流讨论.(教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法)［生］老师，我们拼出来啦.［师］讲给大伙听一听.［生］我是把剩下的图形(即上图阴影局部)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开)，我们可以注意到，上面的大长方形宽是(a－b),长是a;下面的小长方形长是(a－b),宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a－b),我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图1－24所示的图形(阴影局部)，它的长和宽分别为(a+b),(a－b),面积为(a+b)(a－b).图1－24［师］比较上面两个图形中阴影局部的面积，你发现了什么？［生］这两局部面积应该是相等的，即(a+b)(a－b)=a2－b2.［生］这恰好是我们上节课学过的平方差公式.［生］我明白了.上一节课，我们用多项式与多项式相乘的法那么验证了平方差公式.今天，我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙了.［生］用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证.［师］由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式，也许你会发现它更“神奇〞的作用.Ⅱ.讲授新课［师］出示投影片(§1.5.2 A)想一想：(1)计算以下各组算式，并观察它们的特点⎩⎨⎧=⨯=⨯8897 ⎩⎨⎧=⨯=⨯12121311 ⎩⎨⎧=⨯=⨯80808179 (2)从以上的过程中，你发现了什么规律？(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？［生］(1)中算式算出来的结果如下⎩⎨⎧=⨯=⨯64886397 ⎩⎨⎧=⨯=⨯14412121431311 ⎩⎨⎧=⨯=⨯6400808063998179 ［生］从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.［师］是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？［生］我猜想是.我又找了几个例子如：⎩⎨⎧=⨯=⨯422331 ⎩⎨⎧=⨯=⨯10000100100999910199 ⎩⎨⎧=⨯=⨯62525256242624 ［师］你能用字母表示这一规律吗？［生］设这个自然数为a,与它相邻的两个自然数为a －1,a+1,那么有(a+1)(a －1)=a 2－1.［生］这个结论是正确的，用平方差公式即可说明.［生］可是，我有一个疑问，a 必须是一个自然数，还必须大于2吗？(同学们惊讶，然后讨论)［生］a 可以代表任意一个数.［师］很好！同学们能大胆提出问题，又勇于解决问题，值得提倡.［生］老师，我还有个问题，这个结论反映了数字之间的一种关系.在平时有什么用途呢？(陷入沉思)［生］例如：计算29×31很麻烦，我们就可以转化为(30－1)(30+1)=302－1=900－1=899.［师］确实如此.我们在做一些数的运算时，如果能一直有这样“巧夺天工〞的方法，太好了.我们不妨再做几个类似的练习.出示投影片(§1.5.2 B)［例3］用平方差公式计算：(1)103×97 (2)118×122［师］我们可以发现，直接运算上面的算式很麻烦.但注意观察就会发现新的微妙.［生］我发现了，103=100+3,97=100－3,因此103×97=(100+3)(100－3)=10000－9=9991.太简便了！［生］我观察也发现了第(2)题的“微妙〞.118=120－2,122=120+2118×122=(120－2)(120+2)=1202－4=14400－4=14396.［生］遇到类似这样的题，我们就不用笔算，口算就能得出.［师］我们再来看一个例题(出示投影片§1.5.2 C).［例4］计算：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2;(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3).分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.解：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2=a2(a2－b2)+a2b2=a4－a2b2+a2b2=a4(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)=(2x)2－52－(4x2－6x)=4x2－25－4x2+6x=6x－25注意：在(2)小题中，2x与2x－3的积算出来后，要放到括号里，因为它们是一个整体.［例5］公式的逆用(1)(x+y)2－(x －y)2 (2)252－242分析：逆用平方差公式可以使运算简便.解：(1)(x+y)2－(x －y)2=［(x+y)+(x －y)］［(x+y)－(x －y)］=2x ·2y=4xy(2)252－242=(25+24)(25－24)=49Ⅲ.随堂练习1.(课本P 22)计算(1)704×696(2)(x+2y)(x －2y)+(x+1)(x －1)(3)x(x －1)－(x －31)(x+31)(可让学生先在练习本上完成，教师巡视作业中的错误，或同桌互查互纠)解：(1)704×696=(700+4)(700－4)=490000－16=489984(2)(x+2y)(x －2y)+(x+1)(x －1)=(x 2－4y 2)+(x 2－1)=x 2－4y 2+x 2－1=2x 2－4y 2－1(3)x(x －1)－(x －31)(x+31)=(x 2－x)－［x 2－(31)2］=x 2－x －x 2+91=91－x2.(补充练习)出示投影片(§1.5.2 D)解方程：(2x+1)(2x －1)+3(x+2)(x －2)=(7x+1)(x －1)(先由学生试着完成)解：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)=(7x+1)(x－1)(2x)2－1+3(x2－4)=7x2－6x－14x2－1+3x2－12=7x2－6x－16x=12 x=2Ⅳ.课时小结［师］同学们这节课一定有不少体会和收获.［生］我能用拼图对平方差公式进行几何解释.也就是说对平方差公式的理解又多了一个层面.［生］平方差公式不仅在计算整式时，可以使运算简便，而且数的运算如果也能恰当地用了平方差公式，也非常神奇.a(a+1)－(a+b)(a－b)一定要先算乘法，同时减号后面的积(a+b)(a－b),算出来一定先放在括号里，然后再去括号.就不容易犯错误了.……Ⅴ.课后作业课本习题1.10.Ⅵ.活动与探究计算：19902－19892+19882－19872+…+22－1.［过程］先做乘方运算，再做减法，那么计算繁琐，观察算式特点，考虑逆用平方差公式.［结果］原式=(19902－19892)+(19882－19872)+…+(22－1)=(1990+1989)(1990－1989)+(1988+1987)(1988－1987)+…+(2+1)(2－1)=1990+1989+1988+1987+…+2+1=2)11990(1990+⨯=1981045●板书设计§1.5.2 平方差公式(二) 一、平方差公式的几何解释：二、想一想特例——归纳——建立猜想——用符号表示——给出证明即(a+1)(a －1)=a 2－1三、例题讲解：例3 例4四、练习●备课资料参考练习(1)在以下多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是( )A.(－a －b)(a －b)B.(c 2－d 2)(d 2+c 2)C.(x 3－y 3)(x 3+y 3)D.(m －n)(－m+n)(2)用平方差公式计算(x －1)(x+1)(x 2+1)结果正确的选项是( )A.x 4－1B.x 4+1C.(x －1)4D.(x+1)4 (3)以下各式中，结果是a 2－36b 2的是( )A.(－6b+a)(－6b －a)B.(－6b+a)(6b －a)C.(a+4b)(a －4b)D.(－6b －a)(6b －a)(4)(5x+3y )·( )=25x 2－9y 2xyy 2x 2(6)(－23x －11y)( )=－49x 2+121y 2(7)假设(－7m+A)(4n+B)=16n 2－49m 2,那么A= ，B= .(8)(2x 2+3y)(3y －2x 2).(9)(p －5)(p －2)(p+2)(p+5).(10)(x 2y+4)(x 2y －4)－(x 2y +2)·(x 2y －3).(11)(上海市中考题)x 2－2x=2,将下式先化简，再求值(x －1)2+(x+3)(x －3)+(x －3)(x －1)(12)(北京市中考)观察以下顺序排列的等式：9×0+1=19×1+2=119×2+3=219×3+4=319×4+5=41……猜想：第n个等式(n为正整数)应为 .答案：1.(1)D (2)A (3)D2.(4)(5x－3yxy)3x－11y) (7)A=4n,B=7m(6)(23.(8)9y2－4x4 (9)p4－29p2+100(10)x2y－104.(11)原式=3(x2－2x)－5=3×2－5=15.(12)9×(n－1)+n=(n－1)×10+1(n为正整数).字母表示数【学习目标】课标要求：1.能用字母和代数式表示以前学过的运算律和计算公式。

《平方差公式》教学教案第一章：导入教学目标：1. 引导学生回顾已学的有理数乘法法则，为学生学习平方差公式奠定基础。

2. 激发学生对平方差公式的兴趣，培养学生主动探索数学问题的意识。

教学内容：1. 复习有理数乘法法则。

2. 提出问题，引导学生思考并发现平方差公式的规律。

教学步骤：1. 复习有理数乘法法则，通过例题回顾引导学生巩固知识点。

2. 提出问题，让学生尝试计算两数和的平方与两数差的平方，观察结果。

教学评价：1. 检查学生对有理数乘法法则的掌握程度。

2. 观察学生在探索平方差公式过程中的表现，评价其思维能力与合作精神。

第二章：平方差公式的推导与应用教学目标：1. 让学生掌握平方差公式的推导过程，理解公式含义。

2. 培养学生运用平方差公式解决实际问题的能力。

教学内容：1. 平方差公式的推导。

2. 平方差公式的应用。

教学步骤：1. 通过具体例题，引导学生推导出平方差公式。

2. 讲解平方差公式的含义，让学生理解公式在数学中的作用。

3. 练习运用平方差公式解决实际问题，巩固知识点。

教学评价：1. 检查学生对平方差公式的掌握程度。

2. 观察学生在解决实际问题时的运用能力，评价其运用平方差公式的熟练程度。

第三章：平方差公式的拓展与应用教学目标：1. 引导学生发现平方差公式的拓展规律。

2. 培养学生运用平方差公式解决复杂问题的能力。

教学内容：1. 平方差公式的拓展规律。

2. 平方差公式在实际问题中的应用。

教学步骤：1. 通过例题，引导学生发现平方差公式的拓展规律。

2. 讲解拓展规律的含义，让学生理解其在数学中的作用。

3. 练习运用拓展规律解决实际问题，巩固知识点。

教学评价：1. 检查学生对平方差公式拓展规律的掌握程度。

2. 观察学生在解决复杂问题时的运用能力，评价其运用平方差公式及其拓展规律的熟练程度。

教学目标：1. 帮助学生巩固所学知识，提高学生对平方差公式的理解与应用能力。

教学内容：2. 复习平方差公式在实际问题中的应用。

北师大版数学七年级下册1.5《平方差公式》教学设计2一. 教材分析平方差公式是北师大版数学七年级下册1.5节的内容，本节课主要让学生掌握平方差公式的推导过程和应用。

平方差公式是一个基本的代数公式，它在解决实际问题和初中数学的学习中有着重要的作用。

本节课的内容是学生进一步学习完全平方公式和二元一次方程组的基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了有理数的乘方、完全平方公式等知识，具备了一定的代数基础。

但学生对于平方差公式的推导过程和应用可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生通过自主学习、合作学习等方式，理解和掌握平方差公式。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握平方差公式的推导过程和应用。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作学习等方式，培养学生的探究能力和合作意识。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心。

四. 教学重难点1.重点：平方差公式的推导过程和应用。

2.难点：平方差公式的灵活运用。

五. 教学方法1.自主学习：引导学生通过自主学习，理解平方差公式的推导过程。

2.合作学习：学生进行小组合作，共同探讨平方差公式的应用。

3.实例讲解：通过具体的例子，让学生理解平方差公式的运用。

六. 教学准备1.准备平方差公式的推导过程和应用的例子。

2.准备课件，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习完全平方公式，引导学生发现完全平方公式和平方差公式的关系，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）展示平方差公式的推导过程，让学生理解平方差公式的来源。

3.操练（10分钟）让学生通过自主学习，尝试运用平方差公式解决问题。

教师在这个过程中给予适当的引导和帮助。

4.巩固（10分钟）学生进行小组合作，共同探讨平方差公式的应用。

通过小组讨论，加深学生对平方差公式的理解。

5.拓展（5分钟）引导学生思考：平方差公式在实际生活中有哪些应用？通过实例讲解，让学生理解平方差公式在实际生活中的重要性。