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第一章 整式的乘除1.5平方差公式（2） 教学设计一、教学目标1.探索平方差公式的几何背景，培养数形结合的数学思想；2.会运用平方差公式进行简单的简便运算，培养运算技能.二、教学重点及难点重点：利用平方差公式进行简便运算．难点：利用几何知识探索平房差公式，培养数形结合的思想.准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能．三、教学准备多媒体课件四、相关资源相关图片五、教学过程【复习回顾】1．回顾上节课平方差公式：（a +b ）（a -b ）=a 2-b 22．公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差．3．应用平方差公式的注意事项：1）注意平方差公式的适用范围2）字母a 、b 可以是数，也可以是整式3）注意计算过程中的符号和括号【问题情境】在一次智力抢答赛中，主持人提供了两道题：1．2119?⨯= 2． 10397?⨯=主持人话音刚落，就立刻有一个学生刷地站起来抢答说：“第一题等于399，第二题等于9991.”其速度之快，简直就是脱口而出．同学们，你知道他是如何计算的吗？这其中的奥秘，其实我们已经接触过了，通过本节课的学习我们都能像速算王一样聪明，能够迅速得到结果，我们今天来探究原因．设计意图：通过“速算王的绝招”这一故事的情境创设，引发学生学习的兴趣，同时激发了学生的好奇心和求知欲，顺利引入新课.【探究新知】问题1：如图，边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形．（1）请表示图中阴影部分的面积．提示：a 2-b 2 （2）如果将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？提示：长是a +b ，宽是a -b ；面积是（a +b ）﹒（a -b ）比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？（a +b ）﹒（a -b ）= a 2-b 2设计意图：会通过图形的拼接验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景．问题2：相邻两个自然数的乘积(1)计算下列各组算式，并观察它们的特点⎩⎨⎧=⨯=⨯8897 ⎩⎨⎧=⨯=⨯12121311 ⎩⎨⎧=⨯=⨯80808179 (2)从以上的过程中，你发现了什么规律？(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？探究： (1)中算式算出来的结果如下⎩⎨⎧=⨯=⨯64886397 ⎩⎨⎧=⨯=⨯14412121431311 ⎩⎨⎧=⨯=⨯6400808063998179 从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1． a b ab问题3.是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？再找几个例子：⎩⎨⎧=⨯=⨯422331 ⎩⎨⎧=⨯=⨯10000100100999910199 ⎩⎨⎧=⨯=⨯62525256242624 发现：对于所有的自然数都有上述规律．问题4：你能用字母表示这一规律吗？设这个自然数为a ，与它相邻的两个自然数为a －1，a +1，则有(a +1)(a －1)=a 2－1． 这个结论的正确性，用平方差公式可以说明．设计意图：通过具体数的运算、发现规律、建立猜想、符号表示、证明或说明，让学生经历数学的探究与发现过程．三、典例精讲例1． 用平方差公式进行计算：（1）103×97；（2）118×122．解：（1）∵103=100+3，97=100－3，∴103×97=（100+3）（100-3）=1002-32=9991．（2）118=120－2，122=120+2．118×122=(120－2)(120+2)=1202－4=14400－4=14396．设计意图：结合课本例题，让学生熟悉平房差公式，能进行简便运算．例2．计算：（1）a 2(a +b )(a-b )+a 2b 2；（2）(2x －5)(2x +5)－2x (2x －3)．分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定解：(1)a 2(a +b )(a －b )+a 2b 2=a 2(a 2－b 2)+a 2b 2=a 4－a 2b 2+a 2b 2=a 4．(2)(2x －5)(2x +5)－2x (2x －3)=(2x )2－52－(4x 2－6x )=4x 2－25－4x 2+6x=6x -25．设计意图：运用平方差公式，进行简单的混合运算，巩固平方差公式，体会平方差公式在解决计算类问题的简便作用．例3.计算(1)704×696(2)(x +2y )(x －2y )+(x +1)(x －1)(3)x (x －1)－(x －31)(x +31)解：(1)704×696=(700+4)(700－4)=490000－16=489984(2)(x +2y )(x －2y )+(x +1)(x －1)=(x 2－4y 2)+(x 2－1)=x 2－4y 2+x 2－1=2x 2－4y 2－1(3)x (x －1)－(x －31)(x +31)=(x 2－x )－［x 2－(31)2］=x 2－x －x 2+91=91－x设计意图：平方差公式的综合运用，要能正确辨析平方差公式.例4.（1）在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是( )DA ．(－a －b )(a －b )B ．(c 2－d 2)(d 2+c 2)C ．(x 3－y 3)(x 3+y 3)D ．(m －n )(－m +n )（2）用平方差公式计算(x －1)(x +1)(x 2+1)结果正确的是( )AA ．x 4－1B ．x 4+1C ．(x －1)4D ．(x +1)4（3）下列各式中，结果是a 2－36b 2的是( )DA ．(－6b +a )(－6b －a )B ．(－6b +a )(6b －a )C ．(a +4b )(a －4b )D ．(－6b －a )(6b －a )例5．（1）(5x +3y )·( )=25x 2－9y 2 (5x －3y )（2）(－0.2x －0.4y )( )=0.16y 2－0.04x 2 (0.2x －0.4y )（3）(－23x －11y )( )=－49x 2+121y 2 (23x －11y )（4）若(－7m +A )(4n +B )=16n 2－49m 2，则A = ，B = ．A =4n ，B =7m例6．公式的逆用(1)(x +y )2－(x －y )2 (2)252－242分析：逆用平方差公式可以使运算简便．解：(1)(x +y )2－(x －y )2=［(x +y )+(x －y )］［(x +y )－(x －y )］=2x ·2y=4xy(2)252－242=(25+24)(25－24)=49【随堂练习】1．（1）对于任意整数n ，能整除代数式)2)(2()3)(3(-+--+n n n n 的整数是（）．C A ．4 B ．3 C ．5 D ．2（2）在))((b a y x b a y x ++--++的计算中，第一步正确的是（ ）．CA ．22)()(a y b x --+B ．))((2222b a y x --C ．22)()(b y a x --+D ．22)()(a y b x +--（3）22916)4)(3(a b n b m a -=++-，则._______,==n m a n b m 3,4==（4）____99.001.1=⨯．0.99992．计算：（1）1999199719982⨯-； （2）)54)(2516)(54(2++-x x x ； 解：（1）1；（2）6252564-x ； 3．计算(1)(2x 2+3y )(3y －2x 2)．(2)(p －5)(p －2)(p +2)(p +5)．(3)(x 2y +4)(x 2y －4)－(x 2y +2)·(x 2y －3)．解．(1)9y 2－4x 4 (2)p 4－29p 2+100 (3)x 2y －104．已知x 2－2x =2，将下式先化简，再求值(x －1)2+(x +3)(x －3)+(x －3)(x －1)解：原式=3(x 2－2x )－5=3×2－5=1设计意图：通过练习，提高学生灵活运用平方差公式的能力，体会公式在解决有些计算问题时的巧妙和简洁．5.解方程：(2x +1)(2x －1)+3(x +2)(x －2)=(7x +1)(x －1)解：(2x +1)(2x －1)+3(x +2)(x －2)=(7x +1)(x －1)(2x )2－1+3(x 2－4)=7x 2－6x －14x 2－1+3x 2－12=7x 2－6x －16x =12 x =2设计意图：平方差公式在解方程中的应用.6．利用平方差公式计算：(1)2013×1923； (2)13.2×12.8． 分析：(1)把2013×1923写成(20＋13)×(20－13)，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13．2×12．8写成(13＋0．2)×(13－0．2)，然后利用平方差公式进行计算．解：(1)2013×1923＝(20＋13)×(20－13)＝202－(13)2＝400－19＝39989； (2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22＝169－0.04＝168.96．设计意图：运用平方差公式，进行简单的混合运算，巩固平方差公式，体会平方差公式在解决计算类问题的简便作用．7.计算：19902－19892+19882－19872+…+22－1．分析：先做乘方运算，再做减法，则计算繁琐，观察算式特点，考虑逆用平方差公式．解：原式=(19902－19892)+(19882－19872)+…+(22－1)=(1990+1989)(1990－1989)+(1988+1987)(1988－1987)+…+(2+1)(2－1)=1990+1989+1988+1987+…+2+1=2)11990(1990+⨯=1981045设计意图：平方差公式的灵活运用.8.王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？分析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可．解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16．∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．设计意图：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题．六、课堂小结1．设这个自然数为a，与它相邻的两个自然数为a－1，a+1，则有(a+1)(a－1) =a2－1．2．应用平方差公式的注意事项：（1）注意平方差公式的适用范围（2）字母a、b可以是数，也可以是整式（3）注意计算过程中的符号和括号设计意图：通过归纳总结，使学生熟练掌握平方差公式，并能灵活地运用公式进行计算．七、板书设计。
1．5平方差公式1．掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解； (要点 )2．掌握平方差公式的应用．(要点 )一、情境导入1．教师指引学生回想多项式与多项式相乘的法例． 学生踊跃举手回答．多项式与多项式相乘的法例： 多项式与多项式相乘， 先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．2．教师一定学生的表现，并解说一种特别形式的多项式与多项式相乘 —— 平方差公式．二、合作研究研究点：平方差公式【种类一】 直接运用平方差公式进行计算利用平方差公式计算：(1)(3x － 5)(3x ＋ 5)； (2)( － 2a －b)(b － 2a)；(3)( － 7m ＋ 8n)(－ 8n － 7m)； (4)(x － 2)(x ＋ 2)( x 2＋ 4) ．分析： 直接利用平方差公式进行计算即可．解： (1)(3 x －5)(3 x ＋5) ＝(3x) 2－ 52＝ 9x 2－25； (2)( － 2a －b)(b － 2a)＝ (－2a)2－b 2＝ 4a 2－ b 2；(3)( － 7m ＋ 8n)(－ 8n － 7m)＝ (－ 7m)2－(8n)2＝ 49m 2－ 64n 2；2224(4)(x － 2)(x ＋ 2)( x ＋ 4) ＝(x － 4)(x ＋ 4)＝ x － 16.方法总结： 应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左侧是两个二项式相乘，而且这两个二项式中有一项完整同样，另一项互为相反数；(2)右侧是同样项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的 a 和 b 能够是详细的数，也能够是单项式或多项式．【种类二】 利用平方差公式进行简易运算利用平方差公式计算：(1)201× 192； (2)13.2× 12.8.3 3分析： (1) 把 1 2 1 1)，而后利用平方差公式进行计算；(2) 把 13.2× 12.820 × 19 写成 (20＋ )× (20－ 3 3 3 3写成 (13＋0.2)× (13－ 0.2)，而后利用平方差公式进行计算．解： (1)20 12 ＝(20 1 1 21 2 1 8× 19 3 ＋ )× (20－ )＝ 20 －( ) ＝400 － ＝399 ；3 3 33 9 9(2)13.2×12.8＝ (13＋0.2)× (13－ 0.2)＝ 132－0.22＝ 169－ 0.04＝ 168.96. 方法总结： 熟记平方差公式的构造是解题的要点．【种类三】 化简求值先化简，再求值： (2x － y)(y ＋ 2x)－ (2y ＋ x)(2y － x)，此中 x ＝ 1， y ＝ 2.分析： 利用平方差公式睁开并归并同类项，而后把x 、 y 的值代入进行计算即可得解．解： (2x－ y)( y＋2x)－ (2y＋ x)(2y－ x)＝ 4x2－ y2－ (4y2－ x2)＝ 4x2－ y2－ 4y2＋ x2＝ 5x2－ 5y2.当 x＝ 1，y＝ 2 时，原式＝ 5× 12－ 5× 22＝－ 15.方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算．【种类四】平方差公式的几何背景如图①，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形 (a＞ b)，把剩下部分拼成一个梯形 (如图② )，利用这两幅图形的面积，能够考证的乘法公式是______________．221分析：∵ 图① 中暗影部分的面积是a－ b ，图②中梯形的面积是2(2a＋ 2b)(a－ b)＝ (a＋ b)(a－b)，∴ a2－ b2＝ (a＋b)(a－b)，即可考证的乘法公式为(a＋ b)( a－b)＝a2－ b2.方法总结：经过几何图形面积之间的数目关系可对平方差公式做出几何解说．【种类五】平方差公式的实质应用王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了街坊李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4 米，此外一边增添 4 米，持续原价租给你，你看怎样？”李大妈一听，就答应了．你以为李大妈吃亏了吗？为何？分析：依据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，而后比较两者的大小即可．解：李大妈吃亏了．原因以下：原正方形的面积为a2，改变边长后边积为 (a＋ 4)(a－ 4)＝ a2－16.∵ a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．方法总结：解决实质问题的要点是依据题意列出算式，而后依据公式化简解决问题．三、板书设计1．平方差公式：两数和与这两数差的积等于它们的平方差．即(a＋ b)(a－ b)＝ a2－ b2.2．平方差公式的应用学生经过“做一做”发现平方差公式，同时经过“试一试”用几何方法证明公式的正确性．通过这两种方式的演算，让学生理解平方差公式．本节教课内容许多，所以教材中的练习能够让学生在课后达成。
北师大版七年级下册数学教学设计：1.5.2《平方差公式》一. 教材分析《平方差公式》是北师大版七年级下册数学的第二节内容。
本节课的主要目标是让学生掌握平方差公式的推导过程和应用。
平方差公式是代数学习中一个重要的公式，它不仅在解决实际问题中有着广泛的应用，而且为学生以后学习更高级的数学知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘法运算，能够进行简单的代数运算。
但是，对于如何从实际问题中抽象出代数式，以及如何推导和应用平方差公式，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际问题中抽象出代数式，培养学生的抽象思维能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握平方差公式的推导过程，能够灵活运用平方差公式解决实际问题。
2.过程与方法：通过小组合作、探究学习，培养学生的合作精神和探究能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的抽象思维能力。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的推导过程和应用。
2.难点：如何引导学生从实际问题中抽象出代数式，以及如何灵活运用平方差公式解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出代数式。
2.运用小组合作、探究学习的方式，让学生通过合作、交流、讨论，共同推导出平方差公式。
3.通过例题讲解和练习，让学生掌握平方差公式的应用。
六. 教学准备1.准备相关的问题和例题，用于引导学生从实际问题中抽象出代数式。
2.准备多媒体教学设备，用于展示问题和例题。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生从实际问题中抽象出代数式，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示问题和例题，让学生观察和分析，引导学生思考如何解决这些问题。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，通过探究学习，共同推导出平方差公式。
教师在这个过程中给予适当的引导和指导。
4.巩固（10分钟）通过讲解和练习，让学生掌握平方差公式的应用。
北师大版七年级下册5平方差公式课程设计一、前言本课程设计以北师大版七年级下册5平方差公式作为主题，旨在帮助学生深入理解平方差公式的含义和运用，并在实践中提高其数学思维和解题能力。
此设计适用于北师大版七年级下册教学，涵盖平方差公式的基本概念、推导过程及运用，结合大量练习和实例分析，以培养学生的数学思维和解题能力。
二、教育目标1.知识目标•熟练掌握平方差公式的概念和应用；•理解平方差公式的推导过程，并能够运用推导过程求解相关问题；•掌握一些常见的实例和应用。
2.能力目标•培养学生的数学思维和解题能力；•提高学生的推理和判断能力；•增强学生的数学建模能力，使其能在实际生活中运用数学解决问题。
3.情感目标•培养学生热爱数学的兴趣；•增强学生对数学学习的信心。
三、教学内容1.平方差公式的概念和应用；2.平方差公式的推导过程；3.一些常见的实例和应用。
1.讲授法：通过讲解、举例等方式让学生深入理解相关概念和应用；2.演示法：通过演示解题过程，让学生掌握解题技巧和方法；3.练习法：通过充分的练习，巩固学生的学习成果，并提高其解题能力；4.交流法：通过学生之间的交流和互动，促进彼此的思维碰撞和启发。
五、教学过程1.引入教师先通过一些生活中的实例，如长方形、正方形等，让学生了解如何求平方，并引出平方差公式的概念。
2.讲授教师通过幻灯片、图表等方式，详细讲解平方差公式的相关知识，包括概念、推导过程和应用。
同时，教师通过实例分析，让学生了解如何将平方差公式运用到实际问题中。
3.演示教师通过在黑板上演示解题过程，使学生更加清晰地了解解题技巧和方法，增强学生解题的信心和兴趣。
4.练习教师通过一些充实的练习，加深学生的理解和巩固学生的知识，同时也可以提高学生的解题能力。
5.交流教师鼓励学生之间的交流和互动，让学生在交流中碰撞思维，相互启发和提高。
教师通过出作业、小测验、期末考试等方式对学生进行教学评估，以检验学生对平方差公式的掌握情况并确定教学成效。
1.5平方差公式(一)●教学目标(一)教学知识点1.经历探索平方差公式地过程.2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单地运算.(二)能力训练要求1.在探索平方差公式地过程中，发展学生地符号感和推理能力.2.培养学生观察、归纳、概括等能力.(三)情感与价值观要求在计算地过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言地简捷美.●教学重点平方差公式地推导和应用.●教学难点用平方差公式地结构特征判断题目能否使用公式.●教学方法探究与讲练相结合.使学生在计算地过程中发现规律，并运用自己地语言进行表达，用符号证明这个规律，并探索出平方差公式地结构特点，在老师地讲解和学生地练习中学会应用.●教具准备投影片四张2第一张：做一做，记作(§1.5.1A)第二张：例1，记作(§1.5.1B)第三张：例2，记作(§1.5.1C)第四张：练一练，记作(§1.5.1D)●教学过程Ⅰ.创设情景，引入新课［师］你能用简便方法计算下列各题吗？(1)2001×1999；(2)992－1［生］可以.在(1)中2001×1999=(2000+1)(2000－1)=20002－2000+2000－1×1=20002－12=4000000－1=3999999，在(2)中992－1=(100－1)2－1=(100－1)(100－1)－1=1002－100－100+1－1=10000－200=9800.［师］很好！我们利用多项式与多项式相乘地法则，将(1)(2)中地2001，1999，99化成为整千整百地运算，从而使运算很简便.我们不妨观察第(1)题，2001和1999，一个比2000大1，于是可写成2000与1地和，一个比2000小1，于是可写成2000与1地差，所以2001×1999就是2000与1这两个数地和与差地积，即(2000+1)(2000－1)；再观察利用多项式与多项式相乘地法则算出来地结果为：20002－12，恰为这两个数2000与1地平方差.即(2000+1)(2000－1)=20002－12.那么其他满足这个特点地运算是否也有类似地结果呢？我们不妨看下面地做一做.4Ⅱ.使学生在计算地过程中，通过观察、归纳发现规律，并用自己地语言和符号表示其规律［师］出示投影片(§1.5.1A)做一做：计算下列各题：(1)(x+2)(x－2);(2)(1+3a)(1－3a);(3)(x+5y)(x－5y);(4)(y+3z)(y－3z).观察以上算式，你发现什么规律？运算出结果，你又发现什么规律？再举两例验证你地发现？［生］上面四个算式都是多项式与多项式地乘法.［生］上面四个算式每个因式都是两项.［生］除上面两个同学说地以外，更重要地是：它们都是两个数地和与差地积.例如：算式(1)是“x”与“2”这两个数地和与差地积；算式(2)是“1”与“3a”这两个数地和与差地积；算式(3)是“x”与“5y”地和与差地积；算式(4)是“y”与“3z”这两个数地和与差地积.［师］我们观察出了算式地结构特点.像这样地多项式与多项式相乘，它们地结果如何呢？只要你肯动笔、动脑，相信你一定会探寻到答案.［生］解：(1)(x+2)(x－2)=x2－2x+2x－4=x2－4；(2)(1+3a)(1－3a)=1－3a+3a－9a2=1－9a2；6(3)(x+5y)(x－5y)=x2－5xy+5xy－25y2=x2－25y2；(4)(y+3z)(y－3z)=y2－3yz+3zy－9z2=y2－9z2(如有必要地话可以让学生利用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化成单项式与多项式相乘，进一步体会乘法分配律地重要作用以及转化地思想)［生］从刚才这位同学地运算，我发现：即两个数地和与差地积等于这两个数地平方差.这和我们前面地一个简便运算得出同样地结果.即［师］你还能举两个例子验证你地发现吗？［生］可以.例如：(1)101×99=(100+1)(100－1)=1002－100+100－12=1002－12=10000－1=9999；(2)(－x+y)(－x－y)=(－x)(－x)+xy－xy－y2=(－x)2－y2=x2－y2.8即上面两个例子，同样可以验证：两个数地和与差地积，等于它们地平方差.［师］为什么会有这样地特点呢？［生］因为利用多项式与多项式相乘地运算法则展开后，中间两项是同类项且系数互为相反数，所以相加后为零.只剩下这个数地平方差.［师］很好！你能用一般形式表示上述规律，并对规律进行证明吗？［生］可以.上述规律用符号表示为：(a+b)(a－b)=a2－b2①其中a，b可以表示任意地数，也可以表示代表数地单项式、多项式.利用多项式与多项式相乘地运算法则可以对规律进行证明，即(a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2［师］同学们确实不简单用符号表示和证明我们发现地规律简捷明快.你能给我们发现地规律(a+b)(a－b)=a2－b2起一个名字吗？能形象直观地反映出此规律地.［生］我们可以把(a+b)(a－b)=a2－b2叫做平方差公式.［师］大家同意吗？［生］同意.10［师］好了！这节课我们主要就是学习讨论这个公式地.你能用语言描述这个公式吗？［生］可以.这个公式表示两数和与差地积，等于它们地平方差.［师］平方差公式是多项式乘法运算中一个重要地公式.用它直接运算会很简单，但要注意必须符合公式地结构特点才能利用它进行运算.Ⅲ.体会平方差公式地应用，感受平方差公式给多项式乘法运算带来地方便，进一步熟悉平方差公式.出示投影片(§1.5.1B)［例1］(1)下列多项式乘法中，能用平方差公式计算地是()A.(x+1)(1+x)B.(1a+b)(b－212a)C.(－a+b)(a－b)D.(x2－y)(x+y2)E.(－a－b)(a－b)F.(c2－d2)(d2+c2)(2)利用平方差公式计算：(5+6x)(5－6x);(x－2y)(x+2y);(－m+n)(－m－n).［生］(1)中只有B、E、F能用平方差公式.因为B.(1a+b)(b－1a)利用加法交换律可得(1a+b)(b 222－1a)=(b+1a)(b－1a)，表示b与1a这两个数地和与2222差地积，符合平方差公式地特点；E.(－a－b)(a－12b)，同样可利用加法交换律得(－a－b)(a－b)=(－b－a)(－b+a)，表示－b与a这两个数和与差地积，也符合平方差公式地特点；F.(c2－d2)(d2+c2)利用加法和乘法交换律得(c2－d2)(d2+c2)=(c2+d2)(c2－d2)，表示c2与d2这两个数和与差地积，同样符合平方差公式地特点.［师］为什么A、C、D不能用平方差公式呢？［生］A、C、D表示地不是两个数地和与差地积地形式.［师］下面我们就来做第(2)题，首先分析它们分别是哪两个数和与差地积地形式.［生］(5+6x)(5－6x)是5与6x这两个数地和与差地形式；(x－2y)(x+2y)是x与2y这两个数地和与差地形式；(－m+n)(－m－n)是－m与n这两个数地和与差地形式.［师］很好！下面我们就来用平方差公式计算上面各式.［生］(5+6x)(5－6x)=52－(6x)2=25－36x2;(x－2y)(x+2y)=x2－(2y)2=x2－4y2;(－m+n)(－m－n)=(－m)2－n2=m2－n2.［师］这位同学地思路非常清楚.下面我们再来看一个例题.出示投影片(记作§1.5.1C)［例2］利用平方差公式计算：(1)(－1x－y)(－1x+y); 44(2)(ab+8)(ab－8);14(3)(m+n)(m－n)+3n2.［师］同学们可先交流、讨论，然后各小组派一代表到黑板上演示.然后再派一位同学讲评.［生］解：(1)(－1x－y)(－1x+y)——(－1x) 444与y地和与差地积=(－1x)2－y2——利用平方差公式得(－1x)与y44地平方差=1x2－y2——运算至最后结果16(2)(ab+8)(ab－8)——ab与8地和与差地积=(ab)2－82——利用平方差公式得ab与8地平方差=a2b2－64——运算至最后结果(3)(m+n)(m－n)+3n2——据运算顺序先计算m与n地和与差地积=(m2－n2)+3n2——利用平方差公式=m2－n2+3n2——去括号=m2+2n2——合并同类项至最简结果［生］刚才这位同学地运算有条有理，有根有据，我觉得利用平方差公式计算必须注意以下几点：(1)公式中地字母a、b可以表示数，也可以是表示数地单项式、多项式即整式.(2)要符合公式地结构特征才能运用平方差公式.(3)有些多项式与多项式地乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法地交换律、结合律适当变形实质上能应用公式.16［生］还需注意最后地结果必须最简.［师］同学们总结地很好！下面我们再来练习一组题.投影片(§1.5.1D)1.计算：(1)(a+2)(a－2);(2)(3a+2b)(3a－2b);(3)(－x+1)(－x－1);(4)(－4k+3)(－4k－3).2.把下图左框里地整式分别乘(a+b)，所得地积写在右框相应地位置上.解：1.(1)(a+2)(a－2)=a2－22=a2－4;(2)(3a+2b)(3a－2b)=(3a)2－(2b)2=9a2－4b2;(3)(－x+1)(－x－1)=(－x)2－12=x2－1;(4)(－4k+3)(－4k－3)=(－4k)2－32=16k2－9.2.(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;(a－b)(a+b)=a2－b2;(－a+b)(a+b)=(b+a)(b－a)=b2－a2;(－a－b)(a+b)=－a(a+b)－b(a+b)=－a2－ab－ab－b2=－a2－2ab－b2(教师在让学生做练习，可巡视练习地情况，对确实有困难地学生要给以指导)18Ⅳ.课时小结［师］同学们有何体会和收获呢？［生］今天我们学习了多项式乘法运算中地一个重要公式——平方差公式即(a+b)(a－b)=a2－b2.［生］应用这个公式要明白公式地特征：(1)左边为两个数地和与差地积；(2)右边为两个数地平方差.［生］公式中地a、b可以是数，也可以是代表数地整式.［生］有些式子表面上不能用公式，但通过适当变形实质上能用公式.［师］同学们总结地很好！还记得刚上课地一个问题吗？计算992－1，现在想一想，能使它运算更简便吗？［生］可以.992－1可以看成99与1地平方差，从右往左用平方差公式可得：992－1=992－12=(99+1)(99－1)=100×98=9800.［师］我们发现平方差公式地应用是很灵活地，只要你准确地把握它地结构特征，一定能使你地运算简捷明了.Ⅴ.课后作业课本习题1.9，第1题.Ⅵ.活动与探究有10位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用x，y顺次表示第1号选手胜与负地场11数，用x，y顺次表示第2号选手胜与负地场数，……2220用x，y顺次表示第10号选手胜与负地场数.则10 1010名选手胜地场数地平方和与他们负地场数地平方和相等，即x2+x2+…+x2=y2+y2+…+y2，为什么？12101210经过：由于是单循环赛，每名运动员恰好参加9局比赛，即x+y=9(其中i=1、2、3、…10)，在比i i赛中一人胜了，另一人自然败了，则x+x+…+x=y+y+…+y，这两个隐含条件是解题地12101210关键，从作差比较入手.［结果］由题意知x+y=9(i=1、2、3、…10)i i且x+x+…+x=y+y+…+10y121012(x2+x2+…+x2)－(y2+y2+…+y2)12101210=(x2－y2)+(x2－y2)+…+(x02－y2)1122110=(x+y)(x111－y)+(x+y)(x1222－y)+…+(x+y)(x－y)210101010=9［(x－y)+(x－y)+(x－y)+…+(x－y)］1122331010 =9［(x+x+…+x)－(y+y+…+y)］12101210=0所以，x2+x2+…+x2=y2+y2+…+y2.12101210●板书设计§1.5.1平方差公式(一)做一做解：(1)(x+2)(x－2)=x2－2x+2x－4=x2－4;(2)(1+3a)(1－3a)=1－3a+3a－9a2=1－9a2;(3)(x+5y)(x－5y)=x2－5xy+5xy－25y2=x2－25y2;22(4)(y+3z)(y－3z)=y2－3yz+3zy－9z2=y2－9z2.归纳、猜想规律(a+b)(a－b)=a2－b2两数和与这两数差地积，等于它们地平方差.用符号运算证明(a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2.应用、升华例1.(抓住平方差公式地特征，准确地利用平方差公式计算)例2.(对公式中a、b含义地理解，既可以是具体地数也可以是整数)随堂练习(熟悉平方差公式).●备课资料参考例题［例1］用简便方法计算：(1)79×81(2)99×101×10001解：(1)原式=(80－1)(80+1)=802－1=6399;(2)原式=(100－1)(100+1)(10000+1)=(1002－12)(10000+1)=(10000－1)(10000+1)=100002－12=100000000－1=99999999.［例2］计算：(1)(b－2)(b2+4)(b+2)(2)［2a2－(a+b)(a－b)］［(c－a)(a+c)+(－c+b)(c+b)］24分析：(1)题可利用乘法交换律和结合律，先求(b－2)与(b+2)地积，所得结果再与(b2+4)相乘，可两次运用平方差公式；(2)题根据混合运算地运算顺序，先算括号里地其中(a+b)(a－b)，(c－a)(a+c)，(－c+b)(c+b)都可直接运用平方差公式计算.解：(1)(b－2)(b2+4)(b+2)=［(b－2)(b+2)］(b2+4)=(b2－4)(b2+4)=(b2)2－42=b4－16(2)［2a2－(a+b)(a－b)］［(c－a)(a+c)+(－c+b)(c+b)］=［2a2－(a2－b2)］［(c+a)(c－a)+(b－c)(b+c)］=［2a2－a2+b2］［c2－a2+b2－c2］=(a2+b2)(b2－a2)=(b2)2－(a2)2=b4－a4［例3］计算：(1)(x +2y)(－x+2y) 4343(2)(a+b－c)(a－b+c)(3)(x+3y)2(x－3y)2(x2+9y2)2分析：(1)题中，可把相同地项放在对应地位置上，再把互为相反数地项放在对应地位置上，使之满足(a+b)(a－b)，然后用平方差公式；(3)题先逆用积地乘方公式，然后用平方差公式.26解：(1)(x +2y)(－x+2y) 4343=(2y+x)(2y－x)3434=(2y)2－(x)23=4y2－1x24916(2)(a+b－c)(a－b+c)=［a+(b－c)］［a－(b－c)］=a2－(b－c)2=a2－(b2－2bc+c2)=a2－b2+2bc－c2(3)(x+3y)2(x－3y)2(x2+9y2)2 =［(x+3y)(x－3y)(x2+9y2)］2 =［(x2－9y2)(x2+9y2)］2=［x4－81y4］2=x8－162x4y4+6561y8.28。
北师大版七下1.5.2《平方差公式》第二课时教学设计一、教学目标：知识与技能：（1）使学生理解平方差公式的几何证法；（2）会利用公式进行简便计算，能够掌握平方差公式中字母表示数的思维模式。
过程与方法：（1）经历几何探索平方差公式的过程，增强了数形结合的意识，培养学生发现问题、提出问题的能力；（2）经历探索和发现规律的感受，进一步发展了学生的符号感和推理能力，培养学生观察、归纳、概括的能力．情感态度与价值观：（1）在合作交流中扩展思路，经过验证反思积累数学活动经验；（2）在探索和交流的过程中，培养学生与人协作的习惯、质疑的精神。
二、教学重点与难点：教学重点：（1）弄清平方差公式的几何证法，能用自己的语言说明公式及其过程；（2）发展学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。
教学难点：进一步准确理解和掌握公式的结构特征。
教学方法：情境法、探究法、讨论法〖情境法〗创设情境来激发学生的学习兴趣，体会完全公式的几何背景〖探究法〗引导学生探究将长方形变成一个不完整正方形过程中数的变化〖讨论法〗通过图形探究讨论得出a2-b2=（a+b）（a-b），并领会a、b可以表示什么？教具准备多媒体课件三、教学过程:（一）展示教学目标，并选取一名同学大声朗读出来，鼓励同学们带着目标去进入学习状态。
（1）理解平方差公式的几何法证明（2）会运用平方差公式进行简便计算（3）了解字母表示数的进一步作用（二）创设情景，导入新课【师】本节课的内容老师用2个有趣的问题来为大家展示，请大家看第一个问题，哪位同学能为大家诵读（选一名同学诵读）。
评价：声音洪亮清晰！问题1： 灰太狼开了租地公司,一天他把一边长为a 米的正方形土地租给慢羊羊种植.有一年他对慢羊羊说:“我把这块地的一边增加5米,另一边减少5米,再继续租给你, 你也没吃亏,你看如何?”慢羊羊一听觉得没有吃亏,就答应了.回到羊村,就把这件事对喜羊羊他们讲了,大家一听,都说道:“村长，您吃亏了!” 慢羊羊村长很吃惊…同学们,你能告诉慢羊羊这是为什么吗?【生】学生可能会有共鸣表示吃亏了，但仍会有部分学生不明所以。
北师大版数学七年级下册1.5《平方差公式》教案2一. 教材分析《平方差公式》是北师大版数学七年级下册第1章第5节的内容。
本节课主要介绍平方差公式的概念和应用。
平方差公式是初等数学中的一个重要公式，对于学生理解代数运算和解决相关问题具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘法、完全平方公式等基础知识。
在此基础上，学生需要通过探究、发现、总结平方差公式的过程，进一步巩固和拓展数学知识。
三. 教学目标1.让学生理解平方差公式的含义，并能熟练运用平方差公式进行计算。
2.培养学生的逻辑思维能力、观察能力、动手实践能力。
3.激发学生学习数学的兴趣，提高学生自主学习、合作学习的能力。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的理解和运用。
2.难点：平方差公式的推导过程和灵活运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究、发现、总结平方差公式。
2.运用小组合作学习法，培养学生的团队精神和沟通能力。
3.采用案例分析法，让学生在实际问题中体会平方差公式的应用价值。
六. 教学准备1.准备相关案例和问题，用于引导学生进行探究和练习。
2.准备多媒体教学设备，用于展示和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，让学生感受平方差公式的应用。
例如，计算下列表达式的值：a)(x + 2)(x - 2)b)(2x + 3)(2x - 3)通过这些问题，激发学生的学习兴趣，引出本节课的主题——平方差公式。
2.呈现（10分钟）展示平方差公式的定义和推导过程。
引导学生观察、分析、总结平方差公式的特点和规律。
3.操练（10分钟）让学生进行一些典型的练习题，巩固对平方差公式的理解和运用。
例如：a)计算下列表达式的值：(x + 1)(x + 4) - (x - 1)(x - 4)b)如果已知 a + b = 6 和 a - b = 2，求 a^2 - b^2 的值。
4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，分享各自在操练过程中遇到的问题和解决方法。
第一章 整式的乘除1.5平方差公式（2） 教学设计一、教学目标1.探索平方差公式的几何背景，培养数形结合的数学思想；2.会运用平方差公式进行简单的简便运算，培养运算技能.二、教学重点及难点重点：利用平方差公式进行简便运算．难点：利用几何知识探索平房差公式，培养数形结合的思想.准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能．三、教学准备多媒体课件四、相关资源相关图片五、教学过程【复习回顾】1．回顾上节课平方差公式：（a +b ）（a -b ）=a 2-b 22．公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差．3．应用平方差公式的注意事项：1）注意平方差公式的适用范围2）字母a 、b 可以是数，也可以是整式3）注意计算过程中的符号和括号【问题情境】在一次智力抢答赛中，主持人提供了两道题：1．2119?⨯= 2． 10397?⨯=主持人话音刚落，就立刻有一个学生刷地站起来抢答说：“第一题等于399，第二题等于9991.”其速度之快，简直就是脱口而出．同学们，你知道他是如何计算的吗？这其中的奥秘，其实我们已经接触过了，通过本节课的学习我们都能像速算王一样聪明，能够迅速得到结果，我们今天来探究原因．设计意图：通过“速算王的绝招”这一故事的情境创设，引发学生学习的兴趣，同时激发了学生的好奇心和求知欲，顺利引入新课.【探究新知】问题1：如图，边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形．（1）请表示图中阴影部分的面积．提示：a 2-b 2 （2）如果将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？提示：长是a +b ，宽是a -b ；面积是（a +b ）﹒（a -b ）比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？（a +b ）﹒（a -b ）= a 2-b 2设计意图：会通过图形的拼接验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景．问题2：相邻两个自然数的乘积(1)计算下列各组算式，并观察它们的特点⎩⎨⎧=⨯=⨯8897 ⎩⎨⎧=⨯=⨯12121311 ⎩⎨⎧=⨯=⨯80808179 (2)从以上的过程中，你发现了什么规律？(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？探究： (1)中算式算出来的结果如下⎩⎨⎧=⨯=⨯64886397 ⎩⎨⎧=⨯=⨯14412121431311 ⎩⎨⎧=⨯=⨯6400808063998179 从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1． a b ab问题3.是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？再找几个例子：⎩⎨⎧=⨯=⨯422331 ⎩⎨⎧=⨯=⨯10000100100999910199 ⎩⎨⎧=⨯=⨯62525256242624 发现：对于所有的自然数都有上述规律．问题4：你能用字母表示这一规律吗？设这个自然数为a ，与它相邻的两个自然数为a －1，a +1，则有(a +1)(a －1)=a 2－1． 这个结论的正确性，用平方差公式可以说明．设计意图：通过具体数的运算、发现规律、建立猜想、符号表示、证明或说明，让学生经历数学的探究与发现过程．三、典例精讲例1． 用平方差公式进行计算：（1）103×97；（2）118×122．解：（1）∵103=100+3，97=100－3，∴103×97=（100+3）（100-3）=1002-32=9991．（2）118=120－2，122=120+2．118×122=(120－2)(120+2)=1202－4=14400－4=14396．设计意图：结合课本例题，让学生熟悉平房差公式，能进行简便运算．例2．计算：（1）a 2(a +b )(a-b )+a 2b 2；（2）(2x －5)(2x +5)－2x (2x －3)．分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定解：(1)a 2(a +b )(a －b )+a 2b 2=a 2(a 2－b 2)+a 2b 2=a 4－a 2b 2+a 2b 2=a 4．(2)(2x －5)(2x +5)－2x (2x －3)=(2x )2－52－(4x 2－6x )=4x 2－25－4x 2+6x=6x -25．设计意图：运用平方差公式，进行简单的混合运算，巩固平方差公式，体会平方差公式在解决计算类问题的简便作用．例3.计算(1)704×696(2)(x +2y )(x －2y )+(x +1)(x －1)(3)x (x －1)－(x －31)(x +31)解：(1)704×696=(700+4)(700－4)=490000－16=489984(2)(x +2y )(x －2y )+(x +1)(x －1)=(x 2－4y 2)+(x 2－1)=x 2－4y 2+x 2－1=2x 2－4y 2－1(3)x (x －1)－(x －31)(x +31)=(x 2－x )－［x 2－(31)2］=x 2－x －x 2+91=91－x设计意图：平方差公式的综合运用，要能正确辨析平方差公式.例4.（1）在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是( )DA ．(－a －b )(a －b )B ．(c 2－d 2)(d 2+c 2)C ．(x 3－y 3)(x 3+y 3)D ．(m －n )(－m +n )（2）用平方差公式计算(x －1)(x +1)(x 2+1)结果正确的是( )AA ．x 4－1B ．x 4+1C ．(x －1)4D ．(x +1)4（3）下列各式中，结果是a 2－36b 2的是( )DA ．(－6b +a )(－6b －a )B ．(－6b +a )(6b －a )C ．(a +4b )(a －4b )D ．(－6b －a )(6b －a )例5．（1）(5x +3y )·( )=25x 2－9y 2 (5x －3y )（2）(－0.2x －0.4y )( )=0.16y 2－0.04x 2 (0.2x －0.4y )（3）(－23x －11y )( )=－49x 2+121y 2 (23x －11y )（4）若(－7m +A )(4n +B )=16n 2－49m 2，则A = ，B = ．A =4n ，B =7m例6．公式的逆用(1)(x +y )2－(x －y )2 (2)252－242分析：逆用平方差公式可以使运算简便．解：(1)(x +y )2－(x －y )2=［(x +y )+(x －y )］［(x +y )－(x －y )］=2x ·2y=4xy(2)252－242=(25+24)(25－24)=49【随堂练习】1．（1）对于任意整数n ，能整除代数式)2)(2()3)(3(-+--+n n n n 的整数是（）．C A ．4 B ．3 C ．5 D ．2（2）在))((b a y x b a y x ++--++的计算中，第一步正确的是（ ）．CA ．22)()(a y b x --+B ．))((2222b a y x --C ．22)()(b y a x --+D ．22)()(a y b x +--（3）22916)4)(3(a b n b m a -=++-，则._______,==n m a n b m 3,4==（4）____99.001.1=⨯．0.99992．计算：（1）1999199719982⨯-； （2）)54)(2516)(54(2++-x x x ； 解：（1）1；（2）6252564-x ； 3．计算(1)(2x 2+3y )(3y －2x 2)．(2)(p －5)(p －2)(p +2)(p +5)．(3)(x 2y +4)(x 2y －4)－(x 2y +2)·(x 2y －3)．解．(1)9y 2－4x 4 (2)p 4－29p 2+100 (3)x 2y －104．已知x 2－2x =2，将下式先化简，再求值(x －1)2+(x +3)(x －3)+(x －3)(x －1)解：原式=3(x 2－2x )－5=3×2－5=1设计意图：通过练习，提高学生灵活运用平方差公式的能力，体会公式在解决有些计算问题时的巧妙和简洁．5.解方程：(2x +1)(2x －1)+3(x +2)(x －2)=(7x +1)(x －1)解：(2x +1)(2x －1)+3(x +2)(x －2)=(7x +1)(x －1)(2x )2－1+3(x 2－4)=7x 2－6x －14x 2－1+3x 2－12=7x 2－6x －16x =12 x =2设计意图：平方差公式在解方程中的应用.6．利用平方差公式计算：(1)2013×1923； (2)13.2×12.8． 分析：(1)把2013×1923写成(20＋13)×(20－13)，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13．2×12．8写成(13＋0．2)×(13－0．2)，然后利用平方差公式进行计算．解：(1)2013×1923＝(20＋13)×(20－13)＝202－(13)2＝400－19＝39989； (2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22＝169－0.04＝168.96．设计意图：运用平方差公式，进行简单的混合运算，巩固平方差公式，体会平方差公式在解决计算类问题的简便作用．7.计算：19902－19892+19882－19872+…+22－1．分析：先做乘方运算，再做减法，则计算繁琐，观察算式特点，考虑逆用平方差公式．解：原式=(19902－19892)+(19882－19872)+…+(22－1)=(1990+1989)(1990－1989)+(1988+1987)(1988－1987)+…+(2+1)(2－1)=1990+1989+1988+1987+…+2+1=2)11990(1990+⨯=1981045设计意图：平方差公式的灵活运用.8.王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？分析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可．解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16．∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．设计意图：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题．六、课堂小结1．设这个自然数为a，与它相邻的两个自然数为a－1，a+1，则有(a+1)(a－1) =a2－1．2．应用平方差公式的注意事项：（1）注意平方差公式的适用范围（2）字母a、b可以是数，也可以是整式（3）注意计算过程中的符号和括号设计意图：通过归纳总结，使学生熟练掌握平方差公式，并能灵活地运用公式进行计算．七、板书设计。
