高等数学向量代数与空间解析几何总结

空间解析几何和向量代数：。

代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。

与是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθϕϕ,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(2222222212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M Md zyx z y xzy xzyxz y xzy x z y x zz y y x x z z y y x x u u⋅⨯==⋅⨯=⨯=⋅==⨯=++⋅++++=++=⋅=⋅+=+=-+-+-== （马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,,22211};,,{,1302),,(},,,{0)()()(1222222222222222222220000002220000000000=+-=-+=+=++⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===-=-=-+++++==++=+++==-+-+-cz b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x ptz z nty y m tx x p n m s t p z z n y y m x x C B A DCz By Ax d c zb y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A多元函数微分法及应用zy z x y x y x y x y x F F y zF F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy yvdx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz zu dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -=∂∂-=∂∂=⋅-∂∂-∂∂=-==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=， ，　隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式： 时，，当 ：多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F vG uG v FuF v uG F J v u y x G v u y x F vu v u ∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩⎨⎧== 隐函数方程组：微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx yx x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。

空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数是数学中的两个重要分支，它们分别从几何和代数的角度，研究了空间中点、线、面的性质，以及向量的运算与性质。

本文将介绍空间解析几何与向量代数的基本概念、性质以及它们在数学和物理中的应用。

一、空间解析几何空间解析几何是以坐标系为基础，利用代数方法研究空间中点、线、面的性质与相互关系的数学学科。

它的基本概念包括平面直角坐标系、空间直角坐标系，以及点、直线、平面的方程等。

1. 点的坐标在平面直角坐标系中，点的坐标用有序实数对(x, y)表示；在空间直角坐标系中，点的坐标用有序实数三元组(x, y, z)表示。

通过坐标，可以确定点在坐标系中的位置。

2. 直线的方程空间解析几何中，直线的方程有多种表示形式，常见的有点向式、对称式和一般式。

在点向式中，直线上的任意一点可以用一个固定点和一个方向向量表示；在对称式中，直线上的任意一点满足一个关系式；一般式则是通过线的法向量与截距来表示。

这些方程形式各有特点，在不同的问题中有不同的用途。

3. 平面的方程平面的方程也有多种表示形式，常见的有点法式和一般式。

在点法式中，平面上的任意一点满足一个关系式，并且平面的法向量可以通过法线上的两个点相减并取正交向量得到；一般式则是通过平面的法向量与截距来表示。

同样，不同的方程形式适用于不同类型的问题。

二、向量代数向量代数是关于向量的计算与运算的数学学科，它以向量作为基本研究对象，研究向量的性质、向量之间的关系以及向量的运算规则等。

1. 向量的表示向量可以用有向线段表示，也可以用坐标表示。

在空间中，一个向量可以写成一个实数三元组，例如向量v(x, y, z)表示从原点指向点(x, y, z)的有向线段。

向量的长度用模表示，记作|v|。

2. 向量的运算向量的运算包括向量的加法、减法、数量乘法和内积运算。

向量的加法和减法遵循平行四边形法则和三角形法则；数量乘法将向量的模与一个实数相乘，改变了向量的长度和方向；内积运算结果是一个实数，满足交换律和分配律。

向量代数和空间解析几何向量代数和空间解析几何是数学中非常重要的概念，既可以处理经典几何问题，又可以用于表达数学模型。

它们在科学技术、计算机图形学、矩阵计算等方面都有着广泛的应用。

向量代数是计算机科学家和数学家在处理空间问题时最常使用的方法。

它利用向量来描述空间中的点、直线和平面。

向量代数可以用来计算空间的大小、形状、方向、坐标变换等概念。

向量代数涉及的内容主要有线性代数系统、矩阵运算、向量空间等。

它在科技计算机图形学、建模和科学仿真中被广泛使用。

空间解析几何是在几何学中一类研究空间几何结构的重要分支学科。

它被广泛应用于工程、机械、制图学等方面，是解决建筑、室内装潢、雕塑、建筑园林设计、制图学等问题的基础学科。

主要内容有平面几何和立体几何，包括平面的直线、圆弧、多边形等，立体的点、直线、面等概念。

空间解析几何主要用来解决解空间几何图形的问题，是几何学中一类重要的问题。

向量代数和空间解析几何之间有着千丝万缕的联系，它们都是分析和处理空间几何图形的重要工具。

向量代数主要用来解决空间的大小、形状、方向等问题，而空间解析几何则主要用于处理空间中的点、直线和平面等结构。

它们的结合可以清楚的表示空间的量化和定义，是建立数学模型的基础和工具。

向量代数和空间解析几何在科技、计算机图形学、建模和科学仿真方面都有着广泛的应用。

它们可以帮助我们更准确地表示和分析空间问题，为解决实际问题提供帮助，在进一步提高科学技术水平中发挥着重要的作用。

综上所述，向量代数和空间解析几何是数学中重要的概念，可以在科学技术、计算机图形学、矩阵计算等方面得到广泛应用，为解决实际问题提供帮助，在进一步提高科学技术水平中发挥着重要的作用。

它们的结合可以更为清楚地表示和分析空间几何图形，为建立数学模型提供基础。

向量与空间解析几何知识点总结一、向量。

1. 向量的概念。

- 既有大小又有方向的量称为向量。

在空间直角坐标系中，向量可以用坐标表示，如→a=(a_x,a_y,a_z)，其中a_x、a_y、a_z分别是向量在x、y、z轴上的投影。

- 向量的模（长度）：对于向量→a=(a_x,a_y,a_z)，其模|→a|=√(a_x^2)+a_y^{2+a_z^2}。

2. 向量的运算。

- 加法。

- 几何方法：平行四边形法则或三角形法则。

- 坐标运算：若→a=(a_x,a_y,a_z)，→b=(b_x,b_y,b_z)，则→a+→b=(a_x + b_x,a_y + b_y,a_z + b_z)。

- 减法。

- 几何方法：三角形法则。

- 坐标运算：→a-→b=(a_x - b_x,a_y - b_y,a_z - b_z)。

- 数乘向量。

- 设λ为实数，→a=(a_x,a_y,a_z)，则λ→a=(λ a_x,λ a_y,λ a_z)。

- 数乘向量的模|λ→a|=|λ||→a|，方向当λ>0时与→a相同，当λ < 0时与→a 相反。

- 向量的数量积（点积）- 定义：→a·→b=|→a||→b|cosθ，其中θ为→a与→b的夹角。

- 坐标运算：若→a=(a_x,a_y,a_z)，→b=(b_x,b_y,b_z)，则→a·→b=a_xb_x + a_yb_y+a_zb_z。

- 向量垂直的充要条件：→a⊥→bLeftrightarrow→a·→b=0。

- 向量的向量积（叉积）- 定义：→a×→b是一个向量，其模|→a×→b|=|→a||→b|sinθ，方向遵循右手螺旋法则。

- 坐标运算：若→a=(a_x,a_y,a_z)，→b=(b_x,b_y,b_z)，则→a×→b=<=ftbegin{array}{ccc}→i→j→k a_xa_ya_z b_xb_yb_zend{array}right=(a_yb_z - a_zb_y)→i+(a_zb_x - a_xb_z)→j+(a_xb_y - a_yb_x)→k。

第五篇 向量代数与空间解析几何第八章 向量代数与空间解析几何解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何的问题，为了把代数运算引入几何中来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化，数量化. 平面解析几何使一元函数微积分有了直观的几何意义，所以为了更好的学习多元函数微积分，空间解析几何的知识就有着非常重要的地位.本章首先给出空间直角坐标系，然后介绍向量的基础知识，以向量为工具讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分容.第1节 空间直角坐标系1.1 空间直角坐标系用代数的方法来研究几何的问题，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现.1.1.1 空间直角坐标系过定点O ，作三条互相垂直的数轴，这三条数轴分别叫做x 轴(横轴）、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴)，它们都以O 为原点且具有相同的长度单位. 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，而z 轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则：右手握住z 轴，当右手的四指从x 轴的正向转过2角度指向y 轴正向时，大拇指的指向就是z 轴的正向，这样就建立了一个空间直角坐标系（图8-1），称为Oxyz 直角坐标系，点O 叫做坐标原点.图8-1在Oxyz 直角坐标系下，数轴Ox ,Oy ,Oz 统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为xOy ，yOz ，zOx ，三个坐标平面将空间分为八个部分，每一部分叫做一个卦限（图8-2），分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.yxzO图8-21.1.2 空间点的直角坐标设M 为空间中的任一点，过点M 分别作垂直于三个坐标轴的三个平面，与x 轴、y 轴和z 轴依次交于A 、B 、C 三点，若这三点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为x ，y ，z ，于是点M 就唯一确定了一个有序数组(, , )x y z ，则称该数组(, , )x y z 为点M 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，如图8-3．x ，y ，z 分别称为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．图8-3反之，若任意给定一个有序数组(, , )x y z ，在x 轴、y 轴、z 轴上分别取坐标为x ，y ，z 的三个点A 、B 、C ，过这三个点分别作垂直于三个坐标轴的平面，这三个平面只有一个交点M ，该点就是以有序数组(, , )x y z 为坐标的点，因此空间中的点M 就与有序数组(, , )x y z 之间建立了一一对应的关系．注：A 、B 、C 这三点正好是过M 点作三个坐标轴的垂线的垂足．yxzOyxzAB C(,,)M x y z1.2 空间中两点之间的距离设两点111(, , )M x y z ，222(, , )N x y z ，则M 与N 之间的距离为212212212)()()(z z y y x x d -+-+-= （8-1-1）事实上，过点M 和N 作垂直于xOy 平面的直线，分别交xOy 平面于点1M 和1N ，则1MM ∥1NN ，显然，点1M 的坐标为11(, , 0)x y ，点1N 的坐标为22(, , 0)x y （如图8-4）．图8-4由平面解析几何的两点间距离公式知，1M 和1N 的距离为：21221211)()(||y y x x N M -+-=．过点M 作平行于xOy 平面的平面，交直线1NN 于2N ，则11M N ∥2MN ，因此2N 的坐标为221(, , )x y z ，且212212112)()(||||y y x x N M MN -+-==，在直角三角形N MN 2中，||||122z z N N -=，所以点M 与N 间的距离为2122122122222)()()(||||z z y y x x N N MN d -+-+-=+=．例1 设(1, 2, 0)A -与(1, 0, 2)B --为空间两点，求A 与B 两点间的距离． 解 由公式（8-1-1）可得，A 与B 两点间的距离为d ==例2 在z 轴上求与点(3, 5, 2)A -和(4, 1, 5)B -等距的点M ．解 由于所求的点M 在z 轴上，因而M 点的坐标可设为(0, 0, )z ，又由于MA MB =，由公式（8-1-1），得222222)5(1)4()2(53z z -++-=--++．从而解得72=z ，即所求的点为2(0, 0, )7M ．习题8-11．讨论空间直角坐标系的八个卦限中的点的坐标的符号． 2．在坐标轴上的点和在坐标平面上的点的坐标各有何特点？ 3．在空间直角坐标系中，画出以下各点：(2, 0, 0)A ；(0, 3, 0)B -；(3, 0, 1)C ；(3, 2, 1)D -．4．求点(1, 2, 3)-关于各坐标平面对称的点的坐标． 5．求点(1, 2, 3)关于各坐标轴对称的点的坐标． 6．求以下各对点间的距离： (1) (0, 1, 3)A -与(2, 1, 4)B ；(2) (1, 4, 2)C -与D(2, 7, 3)．7．在坐标平面yOz 上求与三点(3, 1, 2)A 、(4, 2, 2)B --和(0, 5, 1)C 等距的点． 8．求点(12, 3, 4)A -与原点、各坐标平面和各坐标轴的距离．9. 证明以()()()A 4,3,1,B 7,1,2,C 5,2,3为顶点的三角形△ABC 是一等腰三角形.第2节 空间向量的代数运算2.1 空间向量的概念在日常生活中，我们经常会遇到一些量，如质量、时间、面积、温度等，它们在取定一个度量单位后，就可以用一个数来表示．这种只有大小没有方向的量，叫做数量（或标量）．但有一些量，如力、位移、速度、电场强度等，仅仅用一个实数是无法将它们确切表示出来，因为它们不仅有大小，而且还有方向，这种既有大小又有方向的量，叫做向量（或矢量）．在数学上，我们用有向线段AB 来表示向量，A 称为向量的起点，B 称为向量的终点，有向线段的长度就表示向量的大小，有向线段的方向就表示向量的方向．通常在印刷时用黑体小写字母a ，b ，c ，…来表示向量，手写时用带箭头的小写字母, ,,a b c来记向量.向量的长度称为向量的模，记作a 或AB ，模为1的向量叫做单位向量，模为0的向量叫做零向量，记作0，规定：零向量的方向可以是任意的．本章我们讨论的是自由向量，即只考虑向量的大小和方向，而不考虑向量的起点，因此，我们把大小相等，方向相同的向量叫做相等向量，记作a =b .规定：所有的零向量都相等.与向量a 大小相等，方向相反的向量叫做a 的负向量(或反向量)，记作 a ． 平行于同一直线的一组向量称为平行向量（或共线向量）．平行于同一平面的一组向量，叫做共面向量，零向量与任何共面的向量组共面.2.2 向量的线性运算2.2.1 向量的加法我们在物理学中知道力与位移都是向量，求两个力的合力用的是平行四边形法则，我们可以类似地定义两个向量的加法．定义1 对向量a ，b ，从同一起点A 作有向线段AB 、AD 分别表示a 与b ，然后以AB 、AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则我们把从起点A 到顶点C 的向量AC 称为向量a 与b 的和（图8-5），记作a +b ．这种求和方法称为平行四边形法则．图8-5 图8-6若将向量b 平移，使其起点与向量a 的终点重合，则以a 的起点为起点，b 的终点为终ab Cabc =a +b点的向量c 就是a 与b 的和(图8-6），该法则称为三角形法则．多个向量，如a 、b 、c 、d 首尾相接，则从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量就是它们的和a +b +c +d （图8-7）．图8-7对于任意向量a ，b ，c ，满足以下运算法则： (1)a +b =b +a (交换律)．(2)()()a +b +c =a +b +c (结合律)． (3)0a +=a ．2.2.2 向量的减法定义2 向量a 与b 的负向量-b 的和，称为向量a 与b 的差，即()--a b =a +b ．特别地，当b =a 时，有()-0a +a =.由向量减法的定义，我们从同一起点O 作有向线段OA ，OB 分别表示a ，b ，则()OA OB OA OB --=+-a b =OA BO BA =+=．也就是说，若向量a 与b 的起点放在一起，则a ，b 的差向量就是以b 的终点为起点，以a 的终点为终点的向量（图8-8）．图8-82.2.3数乘向量定义3 实数λ与向量a 的乘积是一个向量，记作λa ，λa 的模是λa ，方向： 当0λ>时，λa 与a 同向；当0λ<时，λa 与a 反向；当0λ=时，λ0a =．abcda +b +c +daabb -a bBAC对于任意向量a ，b 以与任意实数λ，μ，有运算法则： (1) ()()λμλμa =a ． (2) ()+λμλμ+a =a a ．(3) ()+λλλ+a b =a b ．向量的加法、减法与数乘向量运算统称为向量的线性运算，λμa +b 称为a ，b 的一个线性组合(, )R λμ∈．特别地，与 a 同方向的单位向量叫做a 的单位向量，记做a e ，即aa e a=.上式说明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.例1 如图8-9，在平行六面体///ABCD B C D /—A 中，设/=AA ,a AD =b AB =c ,试用,,a b c 来表示对角线向量//,.AC A C图8-9解 ''AC AB BC CC =++'AB BC AA =++a b c =++；'''AC A A AB BC AA AB AD =++=-++a b c =++.由于向量λa 与a 平行，所以我们通常用数与向量的乘积来说明两个向量的平行关系.即有,定理1 向量a 与非零向量b 平行的充分必要条件是存在一个实数λ，使得λa =b .2.3 向量的坐标表示2.3.1向量在坐标轴上的投影设A 为空间中一点，过点A 作轴u 的垂线，垂足为'A ，则'A 称为点A 在轴u 上的投影(图8-10)．图8-10若M 为空间直角坐标系中的一点，则M 在x 轴、y 轴、z 轴上的投影为A 、B 、C ，如图8-11所示．图8-11设向量AB 的始点与终点B 在轴u 的投影分别为A '、B '，那么轴u 上的有向线段A B ''的值A B ''叫做向量AB 在轴u 上的投影，记作u prj AB A B ''=，轴u 称为投影轴.图8-12当A B ''与轴u 同向时，投影取正号，当A B ''与轴u 反向时，投影取负号． 注 (1) 向量在轴上投影是标量．(2) 设MN 为空间直角坐标系中的一个向量，点M 的坐标为111(, , )x y z ，点N 的坐标为222(, , )x y z ，显然，向量MN 在三个坐标轴上的投影分别为12x x -，12y y -，12z z -． 2.3.2向量的坐标表示yxzOA B CM取空间直角坐标系Oxyz ，在x 轴、y 轴、z 轴上各取一个与坐标轴同向的单位向量，依次记作, , i j k ，它们称为坐标向量．空间中任一向量a ，它都可以唯一地表示为, , i j k 数乘之和． 事实上，设MN a =，过M 、N 作坐标轴的投影，如图8-13所示．MN =MA+AP +PN =MA+MB +MC a =．由于MA 与i 平行，MB 与j 平行，MC 与k 平行，所以，存在唯一的实数, , x y z ，使得MA x =i ，MB y =j ，MC z =k ，即x y z a =i +j +k ． (8-2-1)图 8-13我们把(8-2-1)式中, , i j k 系数组成的有序数组(, , )x y z 叫做向量a 的直角坐标，记为{, , }x y z a =，向量的坐标确定了，向量也就确定了．显然，(8-2-1)中的, , x y z 是向量a 分别在x 轴、y 轴、z 轴上的投影．因此，在空间直角坐标系中的向量a 的坐标就是该向量在三个坐标轴上的投影组成的有序数组．例2 在空间直角坐标系中设点(3, 1, 5)M -，(2, 3, 1)N -，求向量MN 与NM 的直角坐标．解 由于向量的坐标即为向量在坐标轴上的投影组成的有序数组，而向量的各投影即为终点坐标与起点坐标对应分量的差．所以向量MN 的坐标为{5, 4, 4}--，向量NM 的坐标为{5, 4, 4}-． 例3(定比分点公式) 设111(,,)A x y z 和222(,,)B x y z 为两已知点，有向线段AB 上的点M 将它分为两条有向线段AM 和MB ，使它们的值的比等于数(1)λλ≠-，即AMMBλ=，求分点(,,)M x y z 的坐标.图8-14 解 如图8-14，因为AM 与MB 在同一直线上，且同方向，故AM MB λ=⋅，而122{,,}AM x x y y z z =---， 222{,,}MB x x y y z z =---222{(),(),()}MB x x y y z z λλλλ=---所以 12()x x x x λ-=-，12()y y y y λ-=-，12()z z z z λ-=- 解得121212,,.111x x y y z z x y z λλλλλλ+⋅+⋅+⋅===+++当λ=1, 点M 的有向线段→AB x 2.3.3向量可以用它的模与方向来表示，设空间向量12a M M =分别为,,αβγ，规定： 0,0απ≤≤≤称,,αβγ为向量a 的方向角因为向量a 12cos cos x a M M a αα=⋅=⋅12cos cos y a M M a ββ=⋅=⋅(8-2-2)12cos cos z a M M a γγ=⋅=⋅公式(8.2.2)中出现的cos ,cos ,cos αβγ称为向量a 的方向余弦.而{,,}{cos ,cos ,cos }x y z a a a a a a a αβγ==⋅⋅⋅{cos ,cos ,cos }a a a e αβγ=⋅=⋅{cos ,cos ,cos }a e αβγ=是与向量a 同方向的单位向量.而 a =M M =12,,x y z M P a M Q a M R a ===111，故向量a 的模为 x a a a =+2(8-2-3)从而向量a 的方向余弦为cos a αβγ===(8-2-4)并且 222cos cos cos 1αβγ++=.例4 已知两点1M 和()21,3,0M ,求向量12M M 的模、方向余弦和方向角.解12(12,32,0(1,1,M M =--=-2)2(1)1(222=-++-=；11cos ,cos ,cos 22αβγ=-==； 23,,334πππαβγ===. 例5 已知两点(4,0,5)A 和(7,1,3)B ，求与AB 同方向的单位向量e . 解 因为{74,10,35}{3,1,2},AB =---=-所以23AB == 于是 {}.e =2.4 向量的数量积在物理中我们知道，一质点在恒力F 的作用下，由A 点沿直线移到B 点，若力F 与位移向量AB 的夹角为θ，则力F 所作的功为||||cos W F AB θ=⋅⋅．类似的情况在其他问题中也经常遇到．由此，我们引入两向量的数量积的概念． 定义1 设a ，b 为空间中的两个向量，则数cos ,a b a b叫做向量a 与b 的数量积(也称积或点积)，记作⋅a b ，读作“a 点乘b ”．即cos ,⋅a b =a b a b （8-2-5）其中,a b 表示向量a 与b 的夹角，并且规定0, π≤≤a b ．两向量的数量积是一个数量而不是向量，特别地当两向量中一个为零向量时，就有0⋅a b =.由向量数量积的定义易知：(1)2⋅a a =a ，因此=a(2) 对于两个非零向量a ，b ，a 与b 垂直的充要条件是它们的数量积为零，即⊥a b ⇔0⋅a b =．注 数量积在解决有关长度、角度、垂直等度量问题上起着重要作用． 数量积的运算满足如下运算性质： 对于任意向量a ，b 与任意实数λ，有 (1) 交换律：⋅⋅a b =b a ．(2) 分配律：()⋅⋅⋅a b +c =a b +a c ．(3) 与数乘结合律：()()()λλλ⋅⋅=⋅a b =a b a b ． (4)0⋅≥a a 当且仅当0a =时，等号成立．例6 对坐标向量i ，j ，k ，求⋅i i ，⋅j j ，⋅k k ，⋅i j ，⋅j k ，⋅k i ． 解 由坐标向量的特点与向量积的定义得1⋅⋅⋅i i =j j =k k =， 0⋅⋅⋅i j =j k =k i =．例7 已知2=a ，3=b ，2, 3π=a b ，求a b ⋅，(2)()-+a b a b ⋅，+a b ． 解 由两向量的数量积定义有2cos , 23cos 3π⋅=⨯⨯a b =a b a b 123()=32=⨯⨯--．(2)()=22-⋅+⋅⋅-⋅-⋅a b a b a a +a b b a b b22=2-⋅-a a b b 222(3)23=11=---⨯-．2()()+=⋅+a b a +b a b =⋅⋅+⋅+⋅a a +a b b a b b222=+⋅+a a b b 2222(3)3=7=+⨯-+，因此+=a b ．在空间直角坐标系下，设向量111{,,}x y z a =，向量222{,,}x y z b =，即111x y z ++a =i j k , 222x y z ++b =i j k ．则111222()()x y z x y z ⋅++⋅++a b =i j k i j k121212()()+()x x x y x z ⋅+⋅⋅=i i i j i k 121212()()+()y x y y y z ⋅+⋅⋅+j i j j j k 121212()()+()z x z y z z ⋅+⋅⋅+k i k j k k ．由于1⋅⋅⋅i i =j j =k k =， 0⋅⋅⋅i j =j k =k i =，所以121212x x y y z z ⋅++a b =．(8-2-6)也就是说，在直角坐标系下，两向量的数量积等于它们对应坐标分量的乘积之和．同样，利用向量的直角坐标也可以求出向量的模、两向量的夹角公式以与两向量垂直的充要条件，即设非零向量111{,,}x y z a =，向量222{,,}x y z b =，则=a (8-2-7)cos ||||⋅=a ba,b a b=． (8-2-8)⊥a b ⇔1212120x x y y z z ++=． (8-2-9)例8 在空间直角坐标系中，设三点(5, 4, 1)A -，(3, 2, 1)B ，(2, 5, 0)C -．证明:ABC ∆是直角三角形．证明 由题意可知{2, 6, 0}AB =-，={3, 1, 1}AC ---，则(2)(3)6(1)0(1)0AB AC ⋅=-⨯-+⨯-+⨯-=，所以AB AC ⊥．即ABC ∆是直角三角形．2.5向量的向量积在物理学中我们知道，要表示一外力对物体的转动所产生的影响，我们用力矩的概念来描述．设一杠杆的一端O 固定，力F 作用于杠杆上的点A 处，F 与OA 的夹角为θ，则杠杆在F 的作用下绕O 点转动，这时，可用力矩M 来描述．力F 对O 的力矩M 是个向量，M 的大小为||||||sin OA OA =M F ,F ．M 的方向与OA 与F 都垂直，且OA ，F ，M 成右手系，如图8-16所示．图8-162.5.1向量积的定义在实际生活中，我们会经常遇到象这样由两个向量所决定的另一个向量，由此，我们引入两向量的向量积的概念．定义2 设a ，b 为空间中的两个向量，若由a ，b 所决定的向量c ，其模为sin , c =a b a b ． (8-2-10)其方向与a ，b 均垂直且a ，b ，c 成右手系（如图8-17），则向量c 叫做向量a 与b 的向量积(也称外积或叉积)．记作⨯a b ，读作“a 叉乘b ”．注 (1) 两向量a 与b 的向量积⨯a b 是一个向量，其模⨯a b 的几何意义是以a ，b 为邻边的平行四边形的面积． (2)⨯0a a =这是因为夹角θ=0，所以⨯0a a = 图8-17(3)对两个非零向量a 与b ，a 与b 平行(即平行)的充要条件是它们的向量积为零向量．a ∥b ⇔⨯0a b =．向量积的运算满足如下性质：对任意向量a ，b 与任意实数λ，有 (1) 反交换律：⨯-⨯a b =b a ． (2) 分配律:()⨯⨯⨯a b +c =a b +a c ，()⨯⨯⨯a +b c =a c +b c ．(3) 与数乘的结合律：()()()λλλ⨯⨯⨯a b =a b =a b ．例9 对坐标向量i ，j ，k ，求⨯i i ，⨯j j ，⨯k k ，⨯i j ，⨯j k ，⨯k i ． 解⨯⨯⨯0i i =j j =k k =．⨯i j =k ，⨯j k =i ，⨯k i =j ．2.5.2向量积的直角坐标运算在空间直角坐标系下，设向量111{, , }x y z a =，向量222{, , }x y z b =，即111x y z ++a =i j k ，222x y z ++b =i j k ，因为⨯⨯⨯0i i =j j =k k =． ⨯i j =k ，⨯j k =i ，⨯k i =j ， ⨯-j i =k ，⨯-k j =i ，⨯-i k =j ．则111222()()x y z x y z ⨯++⨯++a b =i j k i j k121212()()+()x x x y x z ⨯+⨯⨯=i i i j i k 121212()()+()y x y y y z ⨯+⨯⨯+j i j j j k 121212()()+()z x z y z z ⨯+⨯⨯+k i k j k k121212121212()()+()()()()x y y x y z z y x z z x -⨯-⨯--⨯=i j j k k i 121212121212()()+()y z z y x z z x x y y x ----=i j k ．为了便于记忆，借助于线性代数中的二阶行列式与三阶行列式有111111222222y z x z x y y z x z x y ⨯-a b =i j +k 111222x y z x y z =i j k ． 注 设两个非零向量111{, , }x y z a =，222{, , }x y z b =，则a ∥b ⇔⨯0a b =，⇔212121z z y y x x ==． 若某个分母为零，则规定相应的分子为零．例10 设向量{1,2,1}--a =，{2,0,1}b =，求⨯a b 的坐标．解211112121012120201----⨯--=-i j ka b =i j +k 234=--i j +k ．因此⨯a b 的直角坐标为{2, 3, 4}--．例11 在空间直角坐标系中，设向量{3, 0, 2}a =，{1, 1, 1}--b =，求同时垂直于向量a 与b 的单位向量．解 设向量⨯c =a b ，则c 同时与a ，b 垂直．而302111⨯--i j kc =a b =23=-+i j +k ，所以向量c 的坐标为{2, 1, 3}-．再将c 单位化，得02,1,3}={=-c ，即{与-- 为所求的向量． 例12 在空间直角坐标系中，设点(4, 1, 2)A -，(1, 2, 2)B -，(2, 0, 1)C ，求ABC ∆的面积．解 由两向量积的模的几何意义知：以AB 、AC 为邻边的平行四边形的面积为AB AC ⨯，由于{3, 3, 4}AB =--，{2, 1, 1}AC =--，因此33453211AB AC ⨯=--=++--i j ki j k ，所以21AB AC ⨯=故ABC ∆的面积为235=∆ABC S ．2.6向量的混合积定义3 给定空间三个向量,,a b c ，如果先作前两个向量a 与b 的向量积，再作所得的向量与第三个向量c 的数量积，最后得到的这个数叫做三向量,,a b c 的混合积，记做()a b c ⨯⋅或abc ⎡⎤⎣⎦.说明：三个不共面向量,,a b c 的混合积的绝对值等于以,,a b c 为棱的平行六面体的体积V .定理如果111a X i Y j Z k =++，222b X i Y j Z k =++，333c X i Y j Z k =++，那么 111222333.X Y Z abc X Y Z X Y Z ⎡⎤=⎣⎦习题8-21.,,,,,().ABCD AB AD AC DB MA M ==设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点a b.a b12.,().2M AB O OM OA OB =+设为线段的中点,为空间中的任意一点证明 2223.?(1)()();(2)();(3)()().==⨯=⨯对于任意三个向量与判断下列各式是否成立a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b4.:(1);(2)(3).利用向量证明三角形的余弦定理正弦定理；勾股定理5.设,,a b c 为单位向量,且满足0a b c ++=,求.a b b c c a ++6.1(3,2,2),(1,3,2),(8,6,2),322a b c a b + c.求=-==--7.已知三点(3,0,2),A B AB ==求的坐标、模、方向余弦和方向角.8.一向量的终点在点B(2,-1,7),它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4，-4和7.求这向量的起点A 的坐标.9．设2=a ，4=b ，3πa,b =，求⋅a b ，(2)-⋅a b b ，-a b ． 10．设向量a ，b ，c 两两垂直，且1=a ，2=b ，3=c ，求向量d =a +b +c 的模与d,a ．11．在空间直角坐标系中，已知{1,2,3}-a = ，{2,2,1}-b = ，求： (1)⋅a b ；(2) 25⋅a b ；(3) a ；(4)cos a,b ．12.已知向量2332和,,a i j k b i j k c i j =-+=-+=-，计算 （1）()();a b c a c b -（2）()();a b b c +⨯+（3）()a b c ⨯.13．设向量a ，b 的直角坐标分别为{1, 3, 2}--和{2, 4, }k -，若a b ⊥，求k 的值．14．设向量{2, 1, 1}-a =，{1, 3, 0}-b =，求以、a b 为邻边构造的平行四边形面积． 15．求同时垂直于向量{3, 2, 4}-a =和纵轴的单位向量．16．已知三角形三个顶点(4, 1, 2)A -，(3, 0, 1)B -，(5, 1, 2)C ，求ABC ∆的面积．第3节 空间中的平面与直线方程在本节我们以向量为工具，在空间直角坐标系中讨论最简单的曲面和曲线——平面和直线.3.1平面与其方程首先利用向量的概念，在空间直角坐标系中建立平面的方程，下面我们将给出几种由不同条件所确定的平面的方程．3.1.1平面的点法式方程若一个非零向量n 垂直于平面π，则称向量n 为平面π的一个法向量．显然，若n 是平面π的一个法向量，则λn (λ为任意非零实数)都是π的法向量，即平面上的任一向量均与该平面的法向量垂直．由立体几何知识知道，过一个定点0000(, , )M x y z 且垂直于一个非零向量{, , }A B C n =有且只有一个平面π．设(, , )M x y z 为平面π上的任一点，由于π⊥n ，因此0M M ⊥n ．由两向量垂直的充要条件，得00M M =⋅n ,而0000{, , }M M x x y y z z =---，{, , }A B C n =，所以可得0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ． (8-3-1)由于平面π上任意一点(, , )M x y z 都满足方程(8-3-1)，而不在平面π上的点都不满足方程(8-3-1)，因此方程(8-3-1)就是平面π的方程．由于方程(8-3-1)是给定点0000(, , )M x y z 和法向量{, , }A B C n =所确定的，因而称式(8-3-1)叫做平面π的点法式方程．图8-18例1 求通过点0(1, 2, 4)M -且垂直于向量{3, 2, 1}-n =的平面方程．解 由于{3, 2, 1}-n =为所求平面的一个法向量，平面又过点0(1, 2, 4)M -，所以，由平面的点法式方程(6-14)可得所求平面的方程为3(1)2(2)1(4)=0x y z --⋅++⋅-，整理，得32110x y z -+-=．例2 求过三点()12,1,4M -，()2M 1,3,2--，()3M 0,2,3 的平面π的方程． 解 所求平面π的法向量必定同时垂直于12M M 与13M M ．因此可取12M M 与13M M 的向量积1213M M M M ⨯为该平面的一个法向量n ．即1213n =M M M M ⨯．由于12{3, 4, 6}M M =--，13{2, 3, 1}M M =--，因此1213-631i j kn =M M M M =342⨯---149i j k,=+-,因此所求平面π的方程为0419214=--++-)()()(z y x ，化简得.015914=--+z y x一般地，过三点(,,)(1,2,3)k k k k M x y z k =的平面方程为1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 称为平面的三点式方程。

1 第七章 空间解析几何与向量代数 第一节 向量及其线性运算

一、知识要点、重点、难点 1. 知识点 （1） 向量的概念

向量：既有大小，又有方向的量（又称矢量）.

向量的表示：以A为起点，B为终点的有向线段AB或a，数学上只研究与起点无关的自由向量. 向量的模：向量的大小.向量ABa的模，记作aAB. 单位向量：模等于1的向量叫做单位向量，记作e. 零向量：模等于0的向量叫做零向量，记作0. 零向量的起点与终点重合，它的方向可以看作是任意的. 负向量：与向量a的模相同而方向相反的向量，即a.

向量相等：a与b大小相等，方向相同，记作ab.

向量平行：a与b方向相同或相反，记作a∥b.a与b平行，又称a与b共线. （2） 向量的线性运算 ⅰ）向量的加法：平行四边形法则，三角形法则

运算规律：交换律 abba

结合律 ()()abcabc. 向量的减法：()abab. ⅱ）向量与数的乘法：实数与向量a的乘积是一个向量，记作a，其大小为 aa.当0时，a与a同向；当0时，a与a



反向；当0 时，0a，方向是任意的. 运算规律：结合律 ()()()aaa 分配律 babaaaa)(;)(. 2

aaea表示与a同方向的单位向量.

若0a，则a∥b存在唯一的实数，使ab （3） 空间直角坐标系：在空间取定一点O（原点）和过原点三个两两垂直的数轴，构成一个空间直角坐标系.三个坐标轴的正向符合右手法则，即以右手握住z轴，当右手的四

个手指从正向x轴以2角度转向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向.三个坐标面

xOy面、yOz面、zOx面将空间分成八个卦限，含有x轴、y轴、z轴。正半轴的卦

限叫第一卦限，其他第二、第三、第四卦限在xOy面上方，按逆时针方向确定，第五至第八卦限在xOy面下方，第一卦限之下是第五卦限，按逆时针方向确定其他卦限。这八个卦限分别用字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示。设点M在空间直角坐标系的坐标为),,(zyx则向量kzjyixOMr或表示为),,(zyx，即),,(zyx

第七章向量代数与空间解析几何讲授内容：§7-1向量及其线性运算教学目的与要求：1．理解向量概念.2．掌握向量的加减以及数乘运算律，掌握两向量平行的充要条件. 教学重难点：重点――向量的线性运算.难点――两向量平行的条件的运用.教学方法：讲授法教学建议：掌握用向量的理论证明几何问题.学时：2学时教学过程：一、向量概念向量: 既有大小又有方向的量.向量在数学上的表示:有向线段AB表示以A为起点，B为终点的向量.其中|AB|表示向量的大小; 有向线段的方向表示向量方向或者表示为: a、b、c 或者、、等.自由向量: 与起点无关的向量.向量a=b 大小相等、方向相同.向量的模: 向量的大小|AB| .单位向量: 模等于1的向量.零向量: 模等于0的向量,记作0,或者,起点与终点重合,方向任意.向量a∥b: 两个非零向量的方向相同或相反.零向量与任意向量平行.两向量共线: 两向量平行时,当将起点放在一起时,终点在同一直线上;k 个向量共面: k 个向量起点放在同一点时,起点和终点在同一平面上.例: 把空间中的一切单位向量归结到共同的始点，他们的终点构成单位球面二、 向量的线性运算1. 向量的加法设有向量a 与b ,任取一点A ,作AB =a ,再以B 为终点,作BC =b ,连接AC ,则AC =c , 称为a 与b 的和,记作c =a +b .三角形法则平行四边形法则 加法的运算规律（1） 交换律a +b =b +a （2） 结合律(a +b )+c = a +(b +c )(结合律示意图) (s =a 1+a 2+a 3+a 4+a 5示意图)推广: 任意有限个向量1a ,2a ,…, n a 的和可记为1a +2a +…+n a .作图法,由向量的三角形求和法则推广到 多边形法则即 n n n A A A A OA OA 1211-+++= （当A n 与O 重合时=n OA ）2. 向量的减法a 的负向量: 与a 的模相同,方向相反的向量.记作 –a .a －b ∆ a +(- b )任给向量AB 及点O ,有:AB=AO+OB=OB-OA.三角形原理:| a+b |≤| a |+| b |; | a – b |≤| a |+| b |;3.向量与数的乘法向量a与实数λ的乘积记作λa, 规定λa是一个向量,其模为: |λa|=λ|a|,其方向为: 当λ>0时与a相同,当λ<0时与a相反.运算规律:(1)结合律: λ(μa)=μ(λa)=(λμ)a.(2)分配律: (λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+μb.向量的线性运算: 向量相加及数乘向量4.两向量平行的充分必要条件定理:设向量a≠0,则向量b∥a ⇔∃| λ∈R: 使b=λa.证明:充分性显然(必要性) 设b∥a.取|λ|=|b|/|a|,且规定:b与a同向时,λ>0; b与a反向时,λ<0.则有: b=λa.唯一性设b=λa ,b=μa ,则(λ－μ)a=0 ⇒|λ－μ||a|=0因|a|≠0, ⇒λ=μ5.向量a的单位向量e a:e a=a/|a|.例1.在平行四边形ABCD中,设AB=a,AD=b.试用a和b表示向量MA, MB, MC, MD,这里M是平行四边形对角线的交点.解:MA=-(1/2)AC=-(a+b)/2; MC=-MA=(a+b)/2;MB=(1/2)DB=(a-b)/2; MD=-MB=(b-a)/2作业：高等数学练习册C习题三十六第4题教学后记：教学参考书：《高等数学》北京大学数学科学部编《高等数学典型题精解》陈兰祥编《高等数学》黄立宏廖基定主编复旦大学出版社《高等数学》同济大学应用数学系主编《高等数学》同济大学应用数学系主编（本科少学时类型）复习思考题：用向量的方法证明：梯形两腰中点的连线平行底边且等于两底边和的一半.讲授内容：§7-2点的坐标与向量的坐标教学目的与要求：1．理解空间直角坐标系的概念.2．掌握用坐标进行线性运算的方法，会求向量的模以及两点间的距离.3．掌握定比分点的坐标公式.教学重难点：重点――用坐标进行线性运算.难点――理解空间直角坐标系的概念.教学方法：讲授法教学建议：在解题过程中要掌握数形结合的方法，充分采用向量形式，最后用代数方法解之.学时：2学时教学过程：一、空间直角坐标系坐标轴: x轴(横轴),y轴(纵轴), z轴(竖轴)以O为原点,两两垂直.三轴的单位向量依次为i, j, k.构成空间直角坐标系Oxyz或[O,i,j,k],正向符合右手规则.坐标面: 任意两条坐标轴确定的平面.xOy平面; xOz平面; yOz平面.卦限: 坐标平面将空间划分的每一个部分称为一个卦限.卦限内点的坐标如下表.向量的坐标分解式:给定向量r,对应点M,使OM=r.则r=OM=OP+PN+NM=OP+OQ+OR设OP=x i; OQ=y j; OR=z k.则r =OM=x i+y j+z k. 称为r的坐标分解式.空间点M,向量r = OM与有序数组(x,y,z)的关系:M ↔ r =OM=x i+y j+z k ↔ (x,y,z)称(x,y,z)为点M的坐标.记为M(x,y,z).向径:向量OM称为点M关于原点O的向径.点与此点的向径有相同的坐标. (x,y,z)既表示点M,又表示向量OM. 坐标轴及坐标面上的点的坐标特征:x 轴: (x ,0,0); y 轴: (0,y ,0); z 轴:(0,0,z ).xoy 面:(x ,y ,0); yoz 面: (0,y ,z );xoz 面: (x ,0,z ).原点: (0,0,0). 二、 利用坐标作向量的运算设a =(a x ,a y ,a z ),b =(b x ,b y ,b z ) ⇒ a =a x i +a y j +a z k , b = b x i +b y j +b z k , 则a +b =( a x + b x )i +(a y +b y )j +(a z +b z )ka-b =( a x -b x )i +(a y -b y )j +(a z -b z )kλa =(λa x )i +(λa y )j +(λa z )k向量平行充分必要条件:设: a =(a x ,a y ,a z )≠0, b =(b x ,b y ,b z )b ∥a ⇔ b=λa ⇔ (b x ,b y ,b z )= (a x ,a y ,a z )⇔zz y y x x a b a b a b == 三、 向量的模、两点间的距离1． 向量的模设向量r =(x ,y ,z ),作OM =r ,则r =OM =OP+OQ+OR| r |=|OM |=2||2||2||OR OQ OP ++OP =x i , OQ =y j , OR =z k |OP |=|x|, |OQ |=|y |,|OR |=|z |2. 两点间的距离公式设有点A (x 1,y 1,z 1)、点B (x 2,y 2,z 2),则AB=OA-OB =(x 1,y 1,z 1)-(x 2,y 2,z 2)=(x 2-x 1,y 2-y 1,z 2-z 1)点A 和点B 的距离|AB |为:四、 定比分点对于有向线段P 1P 2 (P 1≠P 2)，如果点P 满足P 1P ＝λPP 2（λ≠－1），我们就称点P 为有向线段P 1P 2的λ分点.说明：○1λ≠－1使得P 1≠P 2； ○2λ>0，则P 1P 与PP 2同向，P 为P 1P 2内部的点； ○3λ<0，则P 1P 与PP 2反向，P 为P 1P 2外部的点： 且若λ<－1，则P 点在P 2右侧；若－1<λ<0，则P 点在P 1左侧.例1. 已知点A (x 1,y 1,z 1)、点B (x 2,y 2,z 2)和实数λ≠-1,在直线AB 上求点M,使AM =λMB .解: AM=OM-OA , M B=OB-OM ,OM-OA=λ(OB-OM )⇒ OM=λ+11(OA+λOB )=λ+11[(x 1,y 1,z 1)+λ(x 2,y 2,z 2)]⇒ OM=(λλ++121x x ,λλ++121y y ,λλ++121z z ) ⇒ 此为点M 的坐标.此为定比分点公式.当λ=1时,为中点公式. 例2. 求证:以M 1(4,3,1)、M 2(7,1,2)、M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解: |M 1M 2|2=(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2=14;|M 1M 3|2=(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2=6;|M 2M 3|2=(4-5)2+(3-2)2+(1-3)2=6例3. 在z 轴上求与两点A (-4,1,7)、B (3,5,-2)等距离的点.解: 设所求点的坐标为 (0,0,z ), 则有:|MA |2=|MB |2 ⇒(0+4)2+(0-1)2+(z -7)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z )2,⇒ z=19=4/9 所求点为: (0,0,14/9)例4. 求点A (a ,b ,c )关于(1)各坐标轴;(2)各坐标面;(3)坐标原点的对称点的坐标.解: (1) 关于x 轴:(a ,-b ,-c ); 关于y 轴:(-a ,b ,-c ); 关于z 轴: (-a ,-b ,c );(2) 关于xoy 面: (a ,b ,-c );关于xoz 面: (a ,-b ,c );关于yoz 面: (-a ,b ,c );(3) 关于坐标原点:(-a ,-b ,-c ) 例5. 已知两点A (4,0,5)和点B (7,1,3),求与AB 方向相同的单位向量. 解: AB=OB-OA =(7,1,3)-(4,0,5)= (3,1,-2)⇒ |AB |=222)2(13-++=14⇒ e AB =||AB AB =141(3,1,-2) 作业：练习册C 习题三十六第2、3题.教学后记：教学参考书： 《高等数学》 北京大学数学科学部编《高等数学典型题精解》 陈兰祥编《高等数学》 黄立宏 廖基定主编 复旦大学出版社 《高等数学》 同济大学应用数学系主编《高等数学》 同济大学应用数学系主编（本科少学时类型） 复习思考题：已知两点)2,1,0(1M 和)0,1,1(2-M ，求平行于向量−→−21M M 的单位向量.讲授内容：§7-3 向量的方向余弦及投影教学目的与要求：1．理解方向角、方向余弦及向量的投影的概念.2．会求方向角、方向余弦.教学重难点：重点――向量的方向余弦.难点――向量在轴上的投影.教学方法：讲授法教学建议：向量的方向余弦在以后经常用到，应该让学生熟练掌握.学时：2学时教学过程：一、方向角与方向余弦1. 两向量的夹角:设有非零向量a,b,任取一点O,作OA=a,OB=b,称不超过π的角φ=∠AOB为向量a,b的夹角.记为(a^b)或(b^a).2.向量的方向角:非零向量r=OM与三条坐标轴的夹角α, β,γ(0≤α,β,γ≤π)称为向量r的方向角.3. 向量的方向余弦设r =(x ,y , z )由图可知,OP =x i , ⇒cos α=||OM x =||r x;同理: c os β=||r y ; cos γ=||r z⇒ (cos α,cos β,cos γ)=(||r x ,||r y ,||r z )=||1r ( x ,y , z )=||r r=e r . cos α,cos β,cos γ叫做r 的方向余弦.|r |=222z y x ++⇒cos α=222z y x x ++;cos β=222z y x y ++;cos γ=222z y x z ++性质:例1.已知两点M 1(2,2,2)和M 2(1,3,0),求向量M 1M 2的模、方向余弦和方向角.解: M 1M 2=(1-2,3-2,0-2)=(-1,1,-2).|M 1M 2|=222)2(1)1(-++-=2 cos α=-1/2, cos β=1/2, c os γ=-2/2 α=2π/3,β=π/3,γ=3π/4例2.设点A 位于第Ⅰ卦限,向经OA 与x 轴,y 轴的夹角依次为π/3和π/4,且|OA |=6,求点A 的坐标.解: α=π/3; β=π/4由cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1 ⇒ cos 2γ=1/4 又点A 在第Ⅰ卦限,⇒ cos γ=1/2.OA =|OA |e OA =6 (21,2121)=(3,32,3) 此为点A 的坐标. 二、 向量在轴上的投影设点O及单位向量e确定轴u(相当于坐标轴).给定向量r,作r=OM,过点M作与轴u垂直的平面交轴u于点M′,(点M′称为点M在轴u上的投影)向量OM′称为向量r在轴u上的投影,记为prj u r(或(r)u.由此向量a在坐标系Oxyz中的坐标a x,a y,a z为a在三条坐标轴上的投影.即有:a x=Prj x a, a y= Prj y a, a z= Prj z a,或a x=(a)x, a y=(a)y, a z=(a)z向量投影的性质:向量的投影具有于向量坐标相同的性质:性质1：(a)u=|a|cosφ[或Prj u a=|a|cosφ]其中φ为a与轴u的夹角.性质2: (a+b)u=(a)u+(b)u [或Prj u(a+b)=Prj u a+Prj u b ]Prj u(a1+a2+…+a n)=Prj u a1+Prj u a2+…+ Prj u a n.性质3: (λa)u=λ(a)u[或Prj u(λa)=λPrj u a]例3.设向量a=(4,－3,2),又轴u的正向与三条坐标轴的正向构成相等锐角,试求(1)向量a在u轴上的投影;(2)向量a与u轴的夹角θ.解:设e u的方向余弦为cosα,cosβ,cosγ.则由题义有:0<α=β=γ<π/2.由cos2α+cos2β+cos2γ=1,得: cosα=cosβ=cosγ=3/3.e u=3/3i+3/3j+3/3k.a=4i-3j+2k.Prj u a = Prj u (4i )+ Prj u (-3j )+ Prj u (2k )=4Prj u i -3Prj u j + 2Prj u k=4•3/3-3•3/3+2•3/3=3. 由于Prj u a =|a |cos θ=29cos θ=3,⇒ θ=arccos 3/29.例4.设立方体的一条对角线为OM ,一条棱为OA ,且|OA |=a ,求OA 在OM 上的投影Prj OM OA . 解: 设 φ=∠MOA ,则 φ=||||OM OA =31⇒ Prj OM OA =|OA |•cos φ=3a作业：高等数学练习册C 习题三十六第一大题 教学后记：教学参考书： 《高等数学》 北京大学数学科学部编 《高等数学典型题精解》 陈兰祥编《高等数学》 黄立宏 廖基定主编 复旦大学出版社 《高等数学》 同济大学应用数学系主编《高等数学》 同济大学应用数学系主编（本科少学时类型） 复习思考题：已知单位向量→a 与x 轴正向夹角为3π，与其xoy 面上的投影向量夹角为4π，试求向量→a .讲授内容：§7-4数量积向量积教学目的与要求：1、理解向量的数量积、向量积的概念.2、掌握向量的数量积、数量积的性质和运算律.3、掌握用数量积，向量积证明两向量垂直、平行的方法.4、熟练掌握数量积、向量积的坐标表达式，并会用数量积、向量积解决相关实际问题.教学重难点：重点――数量积、向量积的计算与运用.难点――数量积与向量积的混合运用教学方法：讲授法教学建议：为帮助学生记忆向量积的坐标表达式，可先简要介绍三阶行列式及其记忆的方法.学时：2学时教学过程：一、两向量的数量积1.向量a,b的数量积: a•b ∆|a||b|cosθ. [θ=(a^b)]当a≠0时, |b|cosθ=|b|cos(a^b)= |b|Prj a ba•b=|a|Prj a b(a≠0),同理a•b=|b|Prj b a(b≠0)性质:(1)a•a=|a|2(2)a•b=0 ⇔a⊥b2.运算规律(1)交换律: a•b = b•a(2)分配律: (a+b)•c= a•c+b•c(3)结合律: (λa)•b=λ(a•b)=a•(λb)(λa)•(μb)=λ[a•(μb)]= λ[μ(a•b)]= λμ(a•b) 证明:(1) a•b = |a||b|cosθ;b•a = |a||b|cosθ;⇒a•b = b•a(2) 当c=0时,显然成立.当c≠0时,(a+b)•c=|c|Prj c(a+b)=|c|(Prj c a+Prj c b)=|c|Prj c a+|c|Prj c b=a•c+b•c(3) 当b=0时,结论成立.当b≠0时,(λa)•b=|b|Prj b(λa)= |b|•λPrj b a =λ|b|Prj b a=λ(a•b)=a•(λb).(λa)•(μb)=λ[a•(μb)]= λ[μ(a•b)]= λμ(a•b)例1.试用向量证明三角形的余弦定理.证明:设在△ABC中,∠B C A=θ, |BC|=a, |CA|=b, |AB|=c记CB=a, CA=b, AB=c. ⇒c=a-b⇒c2=|c|2=c•c=(a-b)•(a-b)=a•a+b•b-2a•b⇒c2=|a|2+|b|2-2|a||b|cosθ=a2+b2-2ab cosθ3.数量积的坐标表达式设a=a x i+a y j+a z k , b= b x i+b y j+b z k则a•b =(a x i+a y j+a z k)•( b x i+b y j+b z k)= a x b x+a y b y+a z b z从而 cos θ=b a b a ∙=2z2y 2x 2z 2y 2x z z y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++例2. 已知三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B (2,1,2),求∠AMB .解:作MA ,MB , ∠AMB 为MA 与MB 的夹角 ⇒ MA =(2,2,1)-(1,1,1)=(1,1,0); MB =(2,1,2)-(1,1,1)=(1,0,1)MA •MB =1⨯1+1⨯0+0⨯1=1; |MA |=2;|MB |=2cos ∠AMB =21 ⇒ ∠AMB=π/3.例3. 已知a ,b ,c ,两两垂直,且|a |=1,|b |=2,|c |=3,求s =a +b +c 的长度与它和a ,b ,c 的夹角.解: |s |2 =s • s =(a +b +c )•(a +b +c )=a •a +b •b +c •c +2a •b +2b •c +2a •c 由于: a •a =|a |2=1,b •b =|b |2=4,c •c =|c |2=9;a •b =b •c =a •c =0 ⇒ |s |2=14,⇒|s |=14cos(s •a )=a s a s ∙= 14a c)b (a ∙++=14aa ∙=1/14. ⇒ (s ^a )=arcos(1/14); 同理: (s ^b )= (s ^c ) =accos(1/14)例4.设a ,b ,c 为单位向量,且满足a +b +c =0,求a •b +b •c +c •a .解: (a +b +c )• a =a 2+b •a +c •a =1+a •b +c •a ;(a +b +c )• b =a •b +b 2+c •b =1+a •b +b •c ; (a +b +c )• c =a •c +b •c +c 2=1+c •a +b •c ; 三式相加:⇒ 3+2[a •b +b •c +c •a ]= (a +b +c )• (a +b +c )=0⇒ a •b +b •c +c •a =-3/2.例5.利用向量证明不等式:232221a a a ++•232221b b b ++≥|a 1b 1+ a 2b 2+ a 3b 3| 其中a 1,a 2,a 3,b 1,b 2,b 3为任意常数,并指出等号成立的条件. 证明:设a =( a 1,a 2,a 3),b =( b 1,b 2,b 3)cos(a ^b )=b a b a ∙=232221232221332211b b b a a a b a b a b a ++++++⇒232221a a a ++•232221b b b ++≥|a 1b 1+ a 2b 2+ a 3b 3|等号“=”成立 ⇔a //b例6.有一个△ABC 和一个圆,三角形边长BC =a ,CA =b ,AB =c ,圆的中心为A ,半径为r .引圆的直径PQ ,试求当BP •CQ 取得最大、最小时PQ 的方向,并用a ,b ,c ,r 表示BP •CQ 的最大值、最小值.解:AQ =-AP , |AP |=|AQ |=r ,AB •AC =|AB ||AC |cos A =bc [(b 2+c 2-a 2)/2bc ]=( b 2+c 2-a 2)/2⇒ BP •CQ =(AP －AB )•(AQ －AC )=(AP －AB )•(－AP －AC ) =－|AP |2+(AB －AC )•AP +AB •AC =( b 2+c 2-a 2)/2－r 2+CB •AP=( b 2+c 2-a 2)/2－r 2+BC •PA⇒ 当BC •PA 最大(小)时,BP •CQ 最大(小).⇒ 当BC •PA 同向即PQ 与BC 同向时,BC •PA 最大,其最大值是ar .⇒ 当BC •PA 反向即PQ 与BC 反向时,BC •PA 最小,其最小值是-ar .⇒ PQ 与BC 同向时, max{ BP •CQ }=( b 2+c 2-a 2)/2-r 2+ar ;PQ与BC反向时, min{ BP•CQ}=( b2+c2-a2)/2-r2-ar二、两向量的向量积1.定义: a×b = c, c称为a与b的向量积.其中,(1)|c|=|a||b|sinθ, θ=(a^b)(2)c的方向垂直于a,b所决定的平面,其指向按右手从a转向b确定.性质:由定义可得:(1)a×a=0(2)a∥b a×b=0几何意义: | a×b |为以a,b为边的平行四边形的面积.2.运算律:(1)a×b= - b×a(2)分配律: (a＋b)×c=a×c+b×cc×(a＋b)=c×a+c×b(3)结合律: (λa)×b=a×(λb)=λ(a×b)3. 向量积的坐标表达式设 a = a x i+a y j+a z k , b = b x i+b y j+b z k则a×b =(a x i+a y j+a z k)×( b x i+b y j+b z k)=(a y b z-a z b y)i+(a z b x-a x b z)j+ (a x b y-a y b x)ka ×b =z y z yb b a a i -zx z xb b a a j +yx y xb b a a k =zy xz y xb b b a a a k j i例7. 设a =(2,1,-1),b =(1,-1,2),计算 a ×b .解: a ×b =211112--k j i=2111--i -2112-j +1112-k =i -5j -3k.例8.已知△ABC 的顶点分别是A (1,2,3)、B (3,4,5)和C (2,4,7),求△ABC 的面积.解: S ∆ABC =21|AB |•|AC |•sin ∠A=21|AB ⨯AC | AB =(3,4,5)-(1,2,3)=(2,2,2,), AC =(2,4,7)-(1,2,3)=(1,2,4).S ΔABC =21|AB ⨯AC |=421222kj i =4222i -4122j +4121k =4i -6j +2k. 例9. 利用向量积证明三角形的正弦定理.证明：如图S △abc =1/2|a ×b |=1/2|b ×c |=1/2|c ×a |⇒ |a ||b |sin C =|b ||c |sin A =|c ||a |sin B例10. 已知M 1(1,-1,2), M 2(3,3,1), M 3(3,1,3),求与M 1M 2,M 2M 3同时垂直的单位向量.解: M 1M 2=(3,3,1)-(1,-1,2)=(2,4,-1),M 2M 3=(3,1,3)-(3,3,1)=(0,-2,2);与M 1M 2,M 2M 3同时垂直的一个向量为:a =M 1M 2⨯M 2M 3=220142--k j i=2214--i -2012-j +2042-k=6i -4j -4k .|a|=222)4()4(6-+-+=217⇒ a =±171(3i -2j -2k ) 作业：高等数学练习册C 习题三十七 教学后记：教学参考书： 《高等数学》 北京大学数学科学部编 《高等数学典型题精解》 陈兰祥编《高等数学》 黄立宏 廖基定主编 复旦大学出版社 《高等数学》 同济大学应用数学系主编《高等数学》 同济大学应用数学系主编（本科少学时类型） 复习参考题：设向量→→→→++=k j i a 32，→→→→--=k j i b 2 （1）求向量→a 在→b 上的投影；（2）若|→c |=3，求向量→c ，使得三向量→a ，→b ，→c 构成的平行六面体的体积最大.|讲授内容：§7-5 平面及其方程教学目的与要求：1 掌握平面的点法式、一般式、截距式方程,会根据相应条件求平面的方程.2.掌握两平面夹角的概念与求法，掌握两平面平行、垂直的充分必要条件.3.掌握点到平面的距离公式，会求点到平面的距离.教学重难点：重点――求平面的方程.难点――根据相应条件灵活选取平面方程的形式.教学方法：讲授法教学建议：用点法式求平面方程的关键是确定平面上的一个已知点和平面的法向量学时：2学时教学过程：一、平面的点法式方程1.法线向量: 与平面垂直的非零向量.2.平面的点法式方程设M0(x0,y0,z0)是平面П上的已知点,n=(A,B,C)是平面П的法线向量,M(x,y,z)是平面П上的任一点.则有n•M0 M=0.由于n=(A,B,C) ; M0M=( x－x0,y－y0,z－z0)即有此为平面的点法式方程.例1.求过点(2,-3,0)且以n =(1,-2,3)为法线向量的平面方程.解:代入方程得:(x -2)-2(y +3)+3(z -0)=0 ⇒x -2y +3z -8=0例2.求过三点M 1(2,-1,4)、M 2(-1,3,-2)、M 3(0,2,3)的平面方程.解:由于n ∥M 1M 2×M 1M 3=132643----kj i =14i +9j -k则所求平面方程为 ⇒ 14(x -2)+9(y +1)-(z -4)=0 ⇒14x +9y -z -15=0二、 平面的一般方程1. 平面的一般方程为其中n =(A ,B ,C )为法向量2. 各种特殊情形a) D =0,平面Ax +By +Cz =0经过原点; b) A =0,平面By +Cz +D =0平行于x 轴; c) B =0,平面Ax +Cz +D =0平行于y 轴; d) C =0,平面Ax +By +D =0平行于z 轴; e)A =B =0,平面Cz +D =0平行于xoy 平面;f)A=C=0,平面By+D=0平行于xoz平面;g)B=C=0,平面Ax+D=0平行于yoz平面.例3.求通过x轴和点(4,-3,-1)的平面方程.解:平面经过x轴,则法向量在x轴上的投影为0, ⇒A=0;平面经过x轴,则平面经过原点, ⇒D=0;故可设平面方程为: By+Cz=0,又平面经过点(4,-3,-1), ⇒-3B-C=0,或C=-3B.代入有y-3z=0.例4.设一平面与x,y,z轴的交点依次为P(a,0,0)、Q(0,b,0)和R(0,0,c)三点,求此平面的方程.(其中a≠0,b≠0,c≠0)解:设平面方程为Ax+By+Cz+D=0代入P(a,0,0)、Q(0,b,0)和R(0,0,c) 得A=-D/a, B=-D/b, C=-D/c,代入方程并消去D得平面方程:此方程称为平面的截距式方程,a,b,c依次称为平面在x,y,z轴上的截距.三、两平面的夹角1.两平面的夹角: 两平面的法线向量的夹角(通常指锐角).设平面П1和П2的法线向量依次为:n 1=(A 1,B 1,C 1) n 2=(A 2,B 2,C 2)则平面П1和П2的夹角θ为(n 1^n 2)和π-(n 1^n 2)中的锐角,⇒ cos θ=|cos(n 1^n 2)|,即有:2. 两平面垂直、平行的充分必要条件例1. 求两平面x -y +2z -6=0和2x +y +z -5=0的夹角. 解:n 1=(1,-1,2) n 2=(2,1,1)⇒ cos θ=2222221122)1(1|121)1(21|++∙+-+⨯+⨯-+⨯=21⇒ θ=π/3例2. 一平面通过两点M 1(1,1,1)和M 2(0,1,-1)且垂直于平面x +y +z =0,求它的方程. 解:设所求平面的一个法向量为 n ={A ,B ,C }.由n ⊥M 1M 2=(-1,0,-2) ⇒ -A -2C =0 由n ⊥(1,1,1)⇒ A +B +C =0 ⇒ A =-2C ,B =C ,代入点法式方程:A (x -1)+B (y -1)+C (z -1)=0消去C 得所求方程为:2x -y -z =03. 点到平面的距离例3.设P 0(x 0,y 0,z 0)是平面Ax +By +Cz +D =0外一点,求P 0到这平面的距离. 解:在平面上任取一点P 1(x 1,y 1,z 1),并作一法向量n ={A ,B ,C }.则所求距离:d =│Prj n P 1P 0│. 又设e n 为与n 方向一致的单位向量, 则有:Prj n P 1P 0= P 1P 0•e n而e n =(222CB A A ++,222CB A B ++,222CB AC ++)P 1P 0=(x 0－x 1,y 0－y 1,z 0－z 1)由于: Ax 1+By 1+Cz 1+D =0, 所以:Prj n P 1P 0=222000CB A DCz By Ax +++++即:222000CB A DCz By Ax d +++++=例1.求点(2,1,1)到平面x +y －z +1=0的距离解: d =222)1(11|1121121|-+++⨯-⨯+⨯=3作业：高等数学练习册C 习题三十八教学后记：教学参考书： 《高等数学》 北京大学数学科学部编 《高等数学典型题精解》 陈兰祥编《高等数学》 黄立宏 廖基定主编 复旦大学出版社 《高等数学》 同济大学应用数学系主编《高等数学》 同济大学应用数学系主编（本科少学时类型） 复习参考题：求经过点)1,1,1(1p 和)2,2,2(2p 且与平面0=-+z y x 垂直的平面的方程.讲授内容：§7-6空间直线及其方程教学目的与要求：1、 掌握空间直线的一般方程、对称式方程和参数方程.并会根据相关条件求直线的方程2、 理解两直线夹角的概念，会求两直线的夹角.3、 掌握两直线平行垂直的充分必要条件.4、 理解直线与平面夹角的概念，掌握直线与平面垂直平行的充分必要条件.5、 掌握用平面束方程的解题方法.教学重难点： 重点――空间直线方程的三种形式及其求法.难点――熟知向量的概念和运算.教学方法：讲授法 教学建议：平面束方程的解题方法，在求平面、直线方程中有时很有意义，可多举例说明. 学时： 2学时 教学过程：一、 空间直线的方程 1、空间直线的一般方程定义:方程组⎩⎨⎧=+++=+++0222111D z C y B x A D z C y B x A 叫做空间直线的一般方程或面交式方程.2、空间直线的对称式方程1）．方向向量:与已知直线平行的非零向量. 2）．直线的对称式方程或点向式方程:设M 0(x 0,y 0,z 0)为直线L 上的已知点, M (x ,y ,z )为直线L 上的任一点. s =(m ,n ,p )为L 的方向向量.由于 M 0M ∥s ,即有:此方程称为直线的对称式方程或点向式方程直线L 的任一方向向量s 的坐标m ,n ,p 称为这直线的一组方向数,而向量s 的方向余弦叫做该直线的方向余弦.注:当m ,n ,p 中有一个为零时,如m =0,而n ,p ≠0时,则方程组为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-p z z ny y x x 0000当m ,n ,p 中有两个为零时,如m =n =0,而p ≠0时,则方程组为⎩⎨⎧=-=-0000y y x x 3、直线的参数方程由t pz z n y y m x x =-=-=-000得:称此方程组为直线的参数方程.例1． 对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++-=+++043201z y x z y x解:两平面的法向量分别为n 1={1,1,1}和n 2={2,1,-3},则s = n 1×n 2=312111-kj i令x =1,代入方程,求得直线上得一点: (1,0,-2) 对称式方程为:32141-+=-=-z y x 参数式方程为:⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=t z t y t x 3241 二、 两直线的夹角1、直线的夹角:两直线方向向量的夹角.(通常为锐角)2、设直线L 1和L 2的方向向量分别为s 1=(m 1,n 1,p 1),s 2=(m 2,n 2,p 2), 则其夹角为φ=(s 1^s 2)中的锐角.且有3、两直线相互垂直和平行的充分必要条件例2． 求直线L 1:13141x y z -+==-和L 2: 2221x y z+==--的夹角. 解: s 1=(1,-4,1),s 2=(2,-2,-1)⇒ cos φ=222222)1()2(21)4(1|)1(11)2()4(21|-+-+∙+-+-⨯++-⨯-+⨯=21⇒ φ=π/4.三、 直线与平面的夹角1、 线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,直线与平面的夹角是指直线和它在平面上的投影直线的夹角 φ.(0≤φ＜π/2）当直线与平面垂直时,规定直线与平面的夹角为π/2.设直线L 的方向向量为s =(m ,n ,p ),平面Π的法向量n =(A ,B ,C ),其夹角为φ，则 φ=|π/2-(s ^n )| 因此,sin φ=|cos(s ٨n )|且有2、 直线与平面相互垂直和平行的充分必要条件例3. 求过点(1,-2,4)且与平面2x -3y +z -4=0垂直的直线的方程.解: 所求直线的方向向量为: s =(2,-3,1)直线过点(1,-2,4)直线方程为:21-x =32-+y =14-z 四、 平面束解题方法平面束:通过定直线的所有平面.设直线 L 为⎩⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 其中系数A 1,B 1,C 1和A 2,B 2,C 2不成比例,则过L的平面束方程为例4. 求直线1010x yz x y z +--=⎧⎨-++=⎩在平面x +y +z =0上的投影直线方程.解:设经过直线L : ⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x的平面束方程为 (x +y -z -1)+λ(x -y +z +1)=0, 即:(1+λ)x +(1-λ)y +(-1+λ)z +(-1+λ)=0由于此平面与已知平面垂直,所以:(1+λ)+(1-λ)+(-1+λ)=0 即有λ=-1代入平面束方程得投影平面的方程为y -z -1=0从而得投影直线l 的方程:⎩⎨⎧=++=--001z y x z y五、 杂例例5. 求与平面x -4z =3和2x -y -5z =1的交线平行且过点(-3,2,5)的直线方程. 解:s =n 1×n 2=512401---kj i=-(4i +3j +k )则所求直线方程为:153243-=-=+z y x例6. 求直线234112x y z ---==与平面2x +y +z -6=0的交点. 解: 直线的参数方程为: x =2+t , y =3+t , z =4+2t , 将其代入平面方程:⇒t =-1.将其代入直线方程得:交点坐标为:(1,2,2).例7. 求过点(2,1,3)且与直线11321x y z+-==-垂直相交的直线方程. 解:(法一)过点(2,1,3)作平面垂直于已知直线,则此平面的方程为3(x -2)+2(y -1)-(z -3)=0求已知直线与该平面的交点,将直线的参数方程x =-1+3t ,y =1+2t ,z =-t代入平面方程得t =3/7从而得交点(2/7,13/7,-3/7)于是所求直线的方向向量为s =(2/7-2,13/7-1,-3/7-3)=－6/7(2,-1,4)故所求直线的方程为:431122-=--=-z y x (法二)设所求直线的参数方程为x =mt +2,y =nt +1,z =pt +3, 由于所求直线与已知直线垂直,从而有: (m ,n ,p )⊥(3,2,-1),⇒3m +2n -p =0又由于所求直线与已知直线相交,故由两直线的参数方程有x =3t -1=mt +2, y =2t +1=nt +1, z =-t =pt +3⇒(m -3)t =-3,(n -2)t =0,(p +1)=-3显然t ≠0,从而解得:m =-4,n =2,p =-8,t =3/7故有所求直线的参数方程为: x =-4t +2,y =2t +1,z =-8t +3或者所求直线的方程为:431122-=--=-z y x . 例8. 求与已知直线L 1:351231x y z +--==及L 2:147510z y x =+=-相交且和直线L 3:137182-=-=+z y x 平行的直线L . 解(法一):将L 1与L 2都化为参数方程:L 1:⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=1115332tz t y t x ; L 2:⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=22274105tz t y t x 由于L 与L 1和L 2都相交且与L 3平行,则两交点对应坐标的差应与L 3的方向数成比例,即有:17)74()53(8)105()32(212121t t t t t t -=--+=+-- ⇒⎩⎨⎧=--=-123413362121t t t t 解得t 1=－25/2,由此得L 和L 1的交点为:x 1=-28,y 1=-65/2,z 1=-25/2故所求直线的方程为:12/2572/65828+=+=+z y x 解(法二)设直线经过点(a ,b ,c ),下面求点(a ,b ,c ) 由所求直线与L 3平行有:x =8t +a ,y =7t +b ,z =t +c ;由所求直线与L 1相交,即有t 1,满足8t 1+a =2t 1-3,7t 1+b =3t 1+5,t 1+c =t 1,⇒6t1=-3-a,4t1=5-b,c=0.⇒2a-3b=-21,c=0 (1)又由所求直线与L2相交,即有t2,满足:8t1+a=5t2+10,7t2+b=4t2-7,t2+c=t2,⇒3t2=10-a,3t2= -7-b,c=0.⇒a-b=17,c=0 (2) 由(1),(2)⇒a=72,b=55,c=0故所求直线的方程为:x=8t+72,y=7t+55,z=t.例9.求过直线3220260x yx y z-+=⎧⎨--+=⎩且与点(1,2,1)的距离为1 的平面方程.解:设过此直线的平面束方程为:(3x-2y+2)+λ(x-2y-z+6)=0 ⇒(3+λ)x-(2+2λ)y-λz+(2+6λ)=0,由点到平面的距离公式d=222)22()3()6 2(12)22(1)3(λλλλλλλ+++++ +∙-∙+-∙+=1 ⇒λ=－2,或λ=－3,故所求平面的方程为x+2y+2z-10=0, 或4y+3z-16=0.例10.求两直线L1:1011x y z-==和L2:212+=-=zyx的公垂线L的方程.解:公垂线的方向向量:s=s1×s2=(0,1,1)×(2,-1,0)=(1,2,-2) 过L与L1的平面法向量为:n 1= s ×s 1=(1,2,-2)×(0,1,1)=(4,-1,1)在直线L 1上取点(1,0,0),则过L 与L 1的平面方程为:4x -y +z -4=0过L 与L 2的平面法向量为:n 2= s ×s 2=(1,2,-2)×(2,-1,0)=(2,4,5)在直线L 2上取点(0,0,-2) 则过L 与L 2的平面方程为:2x +4y +5z +10=0于是公垂线的方程为:⎩⎨⎧=+++=-+-010542044z y x z y x 作业：高等数学练习册C 习题三十九 教学后记：教学参考书： 《高等数学》 北京大学数学科学部编 《高等数学典型题精解》 陈兰祥编《高等数学》 黄立宏 廖基定主编 复旦大学出版社 《高等数学》 同济大学应用数学系主编《高等数学》 同济大学应用数学系主编（本科少学时类型）复习思考题 ：设12122:,21221:21zy x l z y x l =-=-++==-是两条异面直线，求 （1） 1l 与2l 的公垂线方程. （2） 1l 与2l 的距离.讲授内容：§7-7旋转曲面和二次曲面教学目的与要求：1、理解曲面与曲面方程间的关系，会用轨迹法求曲面的方程.2、掌握由平面曲线绕坐标轴旋转形成旋转曲面的方程的方法.3、理解柱面的概念，并会求柱面的方程.4、理解用截痕法，伸缩变形法讨论曲面形状的方法.5、掌握九种二次曲面的方程和大致形状.教学重难点：重点――旋转曲面、柱面方程的求法.难点――二次曲面的方程和大致形状.教学方法：讲授法教学建议：为使学生掌握二次曲面的方程和形状，讲清由平面曲线先经过旋转再伸缩变形的基本思想学时：2学时教学过程：一．曲面方程的概念1.曲面方程的定义:如果曲面S与三元方程F(x,y,z)=0 (1)满足（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程(1);（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1),那么,方程(1)叫做曲面S的方程;而曲面S叫做方程(1)的图形.例1.建立球心在点M0(x0,y0,z0)、半径为R的球面方程.解:设点M(x,y,z)是球面上的任意一点,则|M0M|=R,⇒(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2例2.设有点A(1,2,3)和B(2,－1,4),求线段AB的垂直平分面的方程.解:设点M(x,y,z)在平分面上,则|AM|=|BM|,⇒(x-1)2+(y-2)2+(z-3)2=(x-2)2+(y+1)2+(z-4)2.⇒2x-6y+2z-7=0.例3.方程x2+y2+z2－2x+4y=0表示怎样的曲面.解: 将方程配方: ⇒(x-1)2+(y+2)2+z2=5.表示球心在(1,-2,0),半径为5的球.由此空间解析几何中关于曲面的讨论,有下列两个基本问题(2)已知一曲面作为点的几何轨迹时,建立这曲面的方程;(3)已知坐标x,y,和z间的一个方程时,研究这方程所表示的曲面的形状.例1、例2为问题(1),例3为问题(2).二．旋转曲面旋转曲面：一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面.这条定直线叫做旋转曲面的轴.设在yoz面上有一已知曲线C,它的方程为f(y,z)=0,将其绕z轴旋转一周,得到一曲面,其方程求法如下:设M 1(0,y 1,z 1)为曲线C 上的任一点,则有f (y 1,z 1)=0 (2)当曲线C 绕z 轴旋转时,点M 1也绕z 轴旋转到另一点M (x ,y ,z ), 此时z =z 1保持不变,且点M 到旋转轴的距离d =22y x +=|y 1| 将 z =z 1, y 1=±22y x + 代入(2)中,⇒f (±22y x +,z )=0这就是所求曲面的方程.同理,曲线C 绕y 轴旋转的旋转曲面方程为: f (y ,±22z x +)=0类似地有:曲线 C : f (x ,y )=0绕x 轴旋转的旋转曲面方程为: f (x , ±22z y +)=0绕y 轴旋转的旋转曲面方程为: f (±22z x +, y )=0曲线 C :f (x ,z )=0绕x 轴旋转的旋转曲面方程为: f (x , ±22z y +)=0绕z 轴旋转的旋转曲面方程为: f (±22y x +,z )=0例4.直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周,所得旋转曲面叫做圆锥面.两直线的交点叫做圆锥面的顶点,两直线的夹角(0<α<π/2)叫做圆锥面的半顶角.试建立顶点在坐标原点O ,旋转轴为z 轴,半顶角为α的圆锥面的方程.解:在yoz 平面上,直线L 的方程为:z =y cot α,⇒ 旋转曲面的方程为:z =±22y x +cot α 或者 z 2=a 2(x 2+y 2), 其中,a =cot α例5. 将xoz 坐标面上的双曲线2222cz a x -=1分别绕x 轴和z 轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程.解:绕x 轴旋转生成的旋转双叶双曲面: 22222c z y a x +-=1绕z 轴旋转生成旋转单叶双曲面: 22222cz a y x -+=1三、柱面柱面:平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹.定曲线C叫做柱面的准线, 动直线L叫做柱面的母线.例6.方程x2+y2=R2表示的曲面叫做圆柱面解: 准线是xoy平面上的圆x2+y2=R2,母线是平行于z轴的直线.例7.方程y2=2x表示的曲面叫做抛物柱面解:准线是xoy平面上的抛物线y2=2x,母线是平行于z轴的直线.一般地,在空间直角坐标系下,F(x,y)=0: 母线平行于z轴的柱面,其准线是xoy面上的曲线C: F(x,y)=0.F(x,z)=0: 母线平行于y轴的柱面,其准线是xoz面上的曲线C: F(x,z)=0.F(y,z)=0: 母线平行于x轴的柱面,其准线是yoz面上的曲线C: F(y,z)=0.平面为柱面.例如: 平面x -z =0表示:母线平行于y 轴,准线为xoz 平面上的直线:x -z =0.四、二次曲面二次曲面: 三元二次方程F (x ,y ,z )=0所表示的曲面.平面叫做一次曲面 二次曲面共九种.利用截痕法可以了解二次曲面的形状.1. 椭球锥面: 22222z by a x =+ 以平面z=t 截曲面:当t=0时,得一点(0,0,0).当t ≠0时,得平面z=t 上得椭圆: 2222)()(bt y at x +=1; 当|t|从大到小变为0时,椭圆从大到小收宿为一点,其图形为:平面z =t 于曲面F (x ,y ,z )=0的交线称为截痕.通过截痕的变化了解曲面形状的方法称为截痕法.下面用伸缩变形法讨论曲面的形状平面xoy 上的图形的伸缩变形:将平面上的点M (x ,y )变为点M ′(x ,λy ),此时点M (x ,y )的轨迹C 变为点M ′(x ,λy )的轨迹C ′,称将图形C 沿y 轴方向伸缩λ倍变成图形C ′.下面讨论C 于C ′的方程关系:设C 的方程为F (x ,y )=0,点M (x 1,y 1)∈C ,将M (x ,y )变为M ′(x 2,y 2),此时 x 2=x 1,y 2=λy 1⇒ x 1=x 2, y 1=λ1y 2 由 M (x 1,y 1)∈C ⇒ F (x 1,y 1)=0 ⇒ F (x 2,λ1y 2)=0 因此M ′(x 2,y 2)的轨迹C ′的方程为: F (x ,λ1y )=0. 例如将圆x 2+y 2=1沿y 轴方向伸缩ab 倍,则圆的方程变为:2222b y a x +=1,即图形由圆变为椭圆. 将圆锥面222a y x +=z 2沿y 轴方向伸缩ab 倍,则 圆锥面变为椭圆锥面: 22222z by a x =+2. 椭球面: 222222c z b y a x ++=1 将xoz 平面上的椭圆2222cz a x +=1绕z 轴旋转得 旋转椭球面:222a y x ++22c z =1, 再将旋转椭球面沿y 轴方向伸缩ab 倍,得 椭球面: 222222cz b y a x ++=1 当a =b =c 时,椭球面为球面: x 2+y 2+z 2=a 2.3. 单叶双曲面: 222222cz b y a x -+=1 将xoz 平面上的双曲线2222cz a x -=1绕z 轴旋转得 旋转单叶双曲面:222a y x +-22c z =1 再将旋转单叶双曲面沿y 轴方向伸缩ab 倍,得单叶双曲面: 222222cz b y a x -+=14. 双叶双曲面: 222222cz b y a x --=1 将xoz 平面上的双曲线2222cz a x -=1绕x 轴旋转得 旋转双叶双曲面:22a x -222c z y +=1 再将旋转双叶双曲面沿y 轴方向伸缩cb 倍,得 双叶双曲面: 222222cz b y a x --=15. 椭圆抛物面: 2222by a x +=z。