矢量代数运算和微积分共27页

Ch.2 曲线论§1曲线与矢函数一般地说，若一个矢量r 决定于一个（纯量）变数t ，我们就把它叫做变量t 的矢函数，写成)(t r 。

在标架],,;[321e e e O =σ中，曲线的（分量式）参数矢方程为：332211)()()()(e e e r r t x t x t x t ++==§2矢函数的导矢与曲线的切线某矢函数在某点连续的充要条件是其各分量在该点都连续。

若矢函数332211)()()()(e e e r t x t x t x t ++=在t 0连续，则其导矢为30320210100)()()()()(e e e r r t x t x t x t t dt d t '+'+'==' 导矢函数 332211)()()()(e e e r t x t x t x t '+'+'= 有时也简称为导矢。

设21)(t t t t ≤≤=Γ，：r r为任意空间曲线。

若矢函数在闭节],[21t t 里每一个t 值连续，则曲线Γ成为连续曲线。

导矢的几何意义：0)(0≠'t r 保证曲线Γ在t 0值对应点的切线存在而且)(0t r '代表这条切线的方向。

)(0t r '就叫做Γ在该点的一个切（线）矢（量）。

若在闭节],[21t t 里，0)(≠'t r 而且连续，则Γ的切线随着切点的移动而连续变动位置，这样的曲线叫做光滑曲线。

矢函数的微分dt t d )(r r '=，)(t dtd r r '= 这个定义在形式上和纯量函数一样。

若1r ，2r ，3r 是含纯量变数t 的矢函数，λ 为t 的纯量函数，则r r r '+'=λλλ)(dtd2121)(r r r r '+'=+dtd 212121)(r r r r r r '+'=dtd 212121)(r r r r r r '⨯+⨯'=⨯dtd ),,(),,(),,(),,(321321321321r r r r r r r r r r r r '+'+'=dt d 有了导矢的概念就可以引进高阶导矢、多元矢函数的偏导矢、高阶偏导矢和全微分等概念，也有泰勒公式，不定积分和定积分概念。

chap0 矢量代数0.1矢量与标量一．标量定义：只有大小，没有方向的量。

表示：数字（可带正负号）。

加法：代数和。

二．矢量定义：既有大小，又有方向的量。

表示：0A v v 矢量的模）矢量的大小A v (:1）A A = 方向的单位矢量沿A A v:0 2）有向线段 矢量的方向方向矢量的模）矢量的大小长度:(:加法：平行四边形法则或三角形法则。

0.2矢量的合成与分解一．矢量的合成Av Av v C v B v Bv Cv Av Bv Cv Dv Ev 说明：)(B A B A vv v v −+=−BA C v v v +=BA C v v +=DC B A E v v v v v +++=A v Bv Cv Bv −Av Cv Bv二．矢量的分解把一个矢量看成两个或两个以上的矢量相加。

1．矢量的分解Ø一般一个矢量有无穷多种分解法Av Cv B v A v xA v yA v CB A v v v +→yx A A A v v v +→2．矢量的正交分解z三．矢量和（差）的正交分量表示k A j A i A A z y x v vv v ++=v vv v k B j B i B B z y x ++=k B A j B A i B A B A z z y y x x v vv v v )()()(±+±+±=±0.3矢量的乘积定义：一.矢量乘以标量Am B v v=二.矢量的标积定义：性质：1）A B B A v v v v ⋅=⋅v θψcos AB B A =⋅=vv )],([B A v v =θ2）C A B A C B A v v v v v v ⋅+⋅=+⋅)(3）B A B A v v v v ⊥⇔=⋅0 4）2A A A =⋅v v 矢量的标积的正交分量表示：zz y y x x B A B A B A B A ++=⋅vv 1=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅k k j j i i i k k j j i v v v v v v v v v v v v三.矢量的矢积定义：==×=大小：)],([sin B A AB S BA S vv v v v θθ性质：⊥⊥满足右螺旋定则方向：,,B S A S v v v v 1）A B B A v v v v ×−=×2）C A B A C B A v v v v v v v ×+×=+×)(3）B A B A v v v v //0↔=×4）0=×A A v v矢量的标积的正交分量表示：0.4矢量函数的导数与积分一.矢量函数矢量A v与变量t 之间存在一定的关系，如果当变量t 取定某个值后，矢量A v有唯一确定的值（大小和方向）与之对应，则A v称为t 的矢量函数，即：)(t A A v v =二.矢量函数的导数定义tt A t t A t Adt A d t t ∆∆∆∆∆∆)()(lim lim 00v v vv −+==→→zv xy)(t A A v v =)('t t A A ∆+=v)()(t A t t A A v v v −+=∆∆O1）dtBd dt A d B A dt d vv v v ±=±)(2）dtAd m A dt dm A m dt d vv v +=)(B d A d d v v v v v v 性质三.矢量函数的积分定义v v v v B d v v，若)(t A A =，)(t B B =，且A dt=则B v称为A v 的积分，记为：∫=dt A B v v性质1）dt B dt A dt B A ∫∫∫±=±v v v v )(2）dt A m dt A m ∫∫=vv )( 常量）=m (3）dt A C dt A C ∫∫⋅=⋅vv v v )(常量）=C r (r 矢量函数积分的正交分量表示k dt A j dt A i dt A dt A z y x v v v v )()()(∫∫∫∫++=4）dt A C dt A C ∫∫×=×vv v v )(常量）=C (例题0-1 两矢量：k j i a v v v v−+=34，k j i b v v v v 543+−=，通过矢量运算求：求：（1）以a v 、b v为两邻边所作的平行四边形两对角线的长度；例0-2 两矢量函数：j i t a v v v2)12(+−=，j t i b v v v )32(−+−=。

第一章矢量分析§1.1 矢量代数与位置矢量§1.2 标量场及其梯度§1.3 矢量场的通量及散度§1.4 矢量场的环量及旋度§1.5 场函数的高阶微分运算§1.6 矢量场的积分定理§1.7 赫姆霍兹定理§1.1 矢量代数与位置矢量1、矢量和标量矢量：如A 或、a 或等；aA 标量：如f 、g 、ϕ、ψ等。

矢量A 的模记作|A |或A 。

矢量A 的图示:A2、矢量运算图1-1两矢量相加ABA +B ABA +B ( a ) 平行四边形法则( b ) 首尾相接法则两矢量A 和B 相加定义为一个新矢量A +B图1-2两矢量相减-BBAA -B交换律A +B =B+A(1-1)结合律A ±B ±C =A ±(B ±C )=(A ±B )±C(1-2)直角坐标系中的矢量及运算模：A =(A 2x +A 2y +A 2z )1/2(1-4)A xA yA zAyzx图1-3直角坐标中的A 及其各分矢量若已知 A =e x A x +e y A y +e z A z B = e x B x +e y B y +e z B zA =e x A x +e y A y +e z A z(1-3)则A ±B =e x (A x ±B x ) + e y (A y ±B y ) + e z (A z ±B z ) （1-5）|A ±B |=[ (A x ±B x )2 + (A y ±B y )2+ (A z ±B z )2]1/2（1-6）A 和B 相减为新矢量A -B图1-4f 与A 相乘AƒA (ƒ>0)ƒA (ƒ<0)由 A =e x A x +e y A y +e z A z 可得ƒA =e x fA x +e y fA y +e z fA z（1-7）标量ƒ与矢量A 的乘积定义为一新矢量，用ƒA 表示，它是A 的ƒ倍。