关于古典概率的计算

古典概率知识点总结【古典概率的定义】古典概率是指在有限个可能结果的随机实验中，某一结果发生的概率。

在古典概率中，我们假设每个可能结果发生的概率是相等的，也就是说，每个结果发生的机会是相等的。

根据这个假设，我们可以通过简单的计算来得出某一结果发生的概率。

古典概率是概率论的最古老的一个分支，它的基本理论和方法已经被广泛应用在科学、工程、经济、社会等方方面面。

【古典概率的性质】古典概率具有以下几个性质：1. 非负性：古典概率的取值范围是[0,1]，即某一结果发生的概率不会小于0，也不会大于1。

2. 规范性：在有限个可能结果的随机实验中，所有可能结果发生的概率之和等于1。

3. 加法准则：如果事件A和事件B是互不相容的，那么事件A或事件B发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率。

4. 乘法准则：如果事件A和事件B是相互独立的，那么事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。

古典概率的性质是概率论的基础，我们可以通过这些性质来推导和计算各种问题中的概率。

【古典概率的计算方法】古典概率的计算方法通常基于某种特定的实验，通过对实验的分析和统计，求出某一结果发生的概率。

在古典概率的计算中，我们通常需要考虑以下几个因素：1. 可能结果的确定：首先我们需要确定实验的所有可能结果，然后假设每个可能结果发生的概率是相等的。

2. 事件的定义：在古典概率的计算中，我们通常需要定义事件，即实验中我们感兴趣的某一结果或一组结果。

3. 计算概率：根据古典概率的性质，我们可以通过简单的计算来求出某一事件发生的概率。

在实际应用中，古典概率的计算方法通常可以分为以下几种类型：排列组合法、频率法、极限法等。

通过这些方法，我们可以求解各种实际问题中的概率。

【古典概率的应用】古典概率的应用非常广泛，它涉及到几乎所有的社会科学和自然科学领域。

在此，我们将介绍古典概率在概率论、统计学、经济学、管理学等领域的应用。

2.1古典概型的概率计算公式课后训练·巩固提升1.集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各取任意一个数,则这两数之和等于4的概率是()A.23B.12C.13D.16Ω={(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)},共含有6个等可能出现的样本点,事件“这两数之和等于4”包含的样本点有(2,2),(3,1),共2个.故所求概率为13.2.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷2次,观察正面、反面出现的情况.恰好出现一次正面的概率是()A.12B.14C.34D.0,找出事件“恰好出现一次正面”包含的样本点.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷2次,样本空间Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},共4个,且每个样本点出现的可能性相等而事件“恰好出现一次正面”包含(正,反),(反,正)2个样本点,故所求概率为24=12.3.某银行储蓄卡上的密码是一个由6位数字组成的号码,每位上的数字可在0,1,2,…,9这10个数字中选取,某人未记住密码的最后一位数字,若按下密码的最后一位数字,则正好按对密码的概率是()A.15B.19C.110D.1100,共有10种等可能的不同结果,而正确密码只有1个,故概率为110.4.欲寄出两封信,现有两个邮筒供选择,则两封信都投到同一个邮筒的概率是()A.12B.14C.34D.381,2,两个邮筒为甲、乙,则寄出两封信,有两个邮筒供选择,有以下4种等可能结果:1放在甲中,而2放在乙中;2放在甲中,而1放在乙中;1,2均放在甲中;1,2均放在乙中.由上可知,两封信都投到同一个邮筒的结果数为2.所以,两封信都投到同一个邮筒的概率为12.5.已知集合A={-5,0,3},在平面直角坐标系中,点(x,y)满足x∈A,y∈A,且x≠y,则点(x,y)在圆x2+y2=9外部的概率是()A.13B.23C.25D.35x∈A,y∈A,且x≠y的点共有6个.当x=-5时,在圆x2+y2=9外部的点有(-5,0),(-5,3).当x=0时,在圆外的点有(0,-5).当x=3时,在圆外的点有(3,-5).故点(x,y)在圆x2+y2=9外部的概率为46=23.故选B.这6个数中,不放回地任取2个数,2个数都是偶数的概率是.15个,它们是(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),且每个样本点出现的可能性相等.其中2个数都是偶数的有(2,4),(2,6),(4,6),共3个,故所求概率为315=15.7.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9.若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为.“从5根竹竿中一次随机抽取2根竹竿”的样本空间Ω={(2.5,2.6),(2.5,2.7),(2.5,2.8),(2.5,2.9),(2.6,2.7),(2.6,2.8),(2.6,2.9),(2.7,2.8),(2.7,2.9),(2.8,2.9)},共有10个等可能出现的样本点.因为事件“它们的长度恰好相差0.3m”包含样本点:(2.5,2.8),(2.6,2.9),共2个,所以由古典概型的概率计算公式可得所求事件的概率为210=0.2..2,则甲、乙两人相邻而站的概率为.乙、丙三人随机地站成一排有:(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,甲,丙),(乙,丙,甲),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共6种等可能的排法,其中甲、乙相邻有:(甲,乙,丙),(乙,甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共4种排法.所以甲、乙两人相邻而站的概率为46=23.9.口袋内装有3个白球和2个黑球,这5个球除颜色外完全相同,每次从袋中随机地取出一个,连续取出2个球:(1)列出所有等可能的结果;2个球不全是白球的概率.给球编号:其中白球记为1,2,3,黑球记为4,5.则所有等可能的结果如下:共20种.(2)设“取出的2个球不全是白球”为事件A,则P(A)=1420=710.10.袋中装有大小、质地相同的5个白球,3个黑球和3个红球,每球有一个区别于其他球的编号,从中摸出一个球.(1)有多少种不同的摸法?如果把每个球的编号看作一个样本点建立概率模型,该模型是不是古典概型?(2)若以球的颜色为划分样本点的依据,有多少种不同的摸法?以这些样本点建立概率模型,该模型是不是古典概型?由于共有11个球,且每个球有不同的编号,故共有11种不同的摸法.又因为所有球大小、质地相同,所以每个球被摸中的可能性相等,故以球的编号为样本点的概率模型是古典概型. (2)由于11个球共有3种颜色,因此共有3种不同的摸法,分别记A 为“摸到白球”,B 为“摸到黑球”,C 为“摸到红球”,又因为所有球大小、质地相同,所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为111,而白球有5个,故一次摸球摸中白球的可能性为511,同理可知摸中黑球、红球的可能性均为311,显然A ,B ,C 三个事件出现的可能性不相等,即3种不同的摸法不是等可能的,所以以颜色为划分样本点的依据的概率模型不是古典概型.11.有7名歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛,由500名大众评委现场投票决定歌手名次.根据年龄将大众评委分为五组,各组的人数如下:(1)为了调查评委对7名歌手的支持情况,现用分层随机抽样方法从各组中抽取若干评委,其中从二、B 组抽取了6人,请将其余各组抽取的人数填入下表:(2)在(1)中,若A,B 两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手,现从这两组被抽到的评委中分别抽取1人,求这2人都支持1号歌手的概率.由题设知,分层随机抽样的抽取比例为6100,所以各组抽取的人数如下表:(2)设从一、A 组抽到的3名评委为a 1,a 2,a 3,其中a 1,a 2支持1号歌手;从二、B 组抽到的6名评委为b 1,b 2,b 3,b 4,b 5,b 6,其中b 1,b 2支持1号歌手.从{a 1,a 2,a 3}和{b 1,b 2,b 3,b 4,b 5,b 6}中各抽取1人的所有结果为由以上树状图知样本空间的样本点总数是18,事件“2人都支持1号歌手”包含的样本点有a 1b 1,a 1b 2,a 2b 1,a 2b 2,共4个,故所求概率为418=29.12.某小组共有A,B,C,D,E 五名同学,他们的身高(单位:m)及体重指标(单位:kg/m 2)如下表:(1)从该小组身高低于1.80 m的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78 m以下的概率;(2)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70 m以上且体重指标都在区间〖18.5,23.9)(kg/m2)内的概率.从身高低于1.80m的同学中任选2人,则样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)},共有6个样本点.由于每个人被选到的机会均等,故各个样本点出现的可能性相等.事件“选到的2人身高都在1.78m以下”包含的样本点有(A,B),(A,C),(B,C),共3个.因此选到的2人身高都在1.78m以下的概率为36=12.(2)从该小组同学中任选2人,样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)},共有10个样本点.由于每个人被选到的机会均等,故各个样本点出现的可能性相等.事件“选到的2人身高都在1.70m以上且体重指标都在区间〖18.5,23.9)(kg/m2)内”包含的样本点有(C,D),(C,E),(D,E),共3个.因此选到的2人的身高都在1.70m以上且体重指标都在区间〖18.5,23.9)(kg/m2)内的概率为310.13.某初级中学共有学生已知在全校学生中随机抽取1名,抽到八年级女生的概率是0.19.(1)求x的值.(2)已知y≥245,z≥245,求九年级女生比男生人数多的概率.因为x2000=0.19,所以x=380.(2)九年级的人数为y+z=2000-(373+377+380+370)=500.设九年级女生比男生人数多的事件为A,九年级女生、男生人数记为(y,z).因为y+z=500,且y,z∈N+,所以样本空间的样本点有(245,255),(246,254),(247,253),…,(255,245)共11个,事件A包含的样本点有(251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245),共5个,所以P(A)=511.。

古典概率的概念古典概率是概率论的最早形式之一，也是最简单的概率计算方法之一。

古典概率是基于一组等可能性事件的理论，通过对这些事件的数量进行比较，来求解事件发生的概率。

古典概率的基本概念可以通过一种简单的游戏来进行说明。

考虑一个整数的丢骰子游戏，骰子的面数为6，出现的数字为1到6之间的整数。

在这个游戏中，每个数字出现的可能性是相等的，即每个数字的概率为1/6。

这是因为我们假设骰子是公平的，每个面出现的机会是相同的。

因此，我们可以说，每个整数的概率是1/6，这是古典概率的基本原理。

古典概率的计算方法非常简单。

对于一个由n个等可能性事件组成的样本空间，如果一个事件A包含了m个等可能性事件，那么事件A的概率可以用如下公式计算：P(A) = m / n其中，P(A)表示事件A的概率，m表示事件A包含的等可能性事件的数量，n 表示样本空间中的等可能性事件的总数量。

为了更好地理解古典概率的计算方法，我们可以通过一个具体的例子来说明。

假设我们有一个盒子，里面有红、黄、蓝三种颜色的球，其中红球有5个，黄球有3个，蓝球有2个。

现在我们从盒子中随机取出一个球，问取出的球是红色的概率是多少？根据古典概率的计算方法，我们可以得出样本空间的大小为10，即盒子中有10个等可能性事件。

而事件A表示取出的球是红色的事件，其中包含了5个等可能性事件。

因此，根据古典概率的公式，我们可以计算出事件A的概率为：P(A) = 5 / 10 = 1/2即取出的球是红色的概率为1/2。

这个例子中展示了古典概率的计算方法，我们只需要比较事件A包含的等可能性事件的数量与样本空间的大小，就可以得到事件A的概率。

古典概率的应用范围非常广泛。

在实际生活中，我们经常遇到一些具备等可能性的事件，比如投硬币、掷骰子、抽签等等。

古典概率可以帮助我们计算这些事件发生的概率，从而更好地理解事件的规律。

古典概率也有一些局限性。

首先，古典概率只适用于有限个等可能性事件的情况，不能应用于无限个事件的情况。

第四讲古典概型概率的一般加法公式[新知初探]1．古典概型的概念(1)定义：如果一个概率模型满足：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件发生的可能性是均等的．那么这样的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(2)计算公式：对于古典概型，任何事件A的概率P(A)＝事件A包含的基本事件数试验的基本事件总数.注意事项：基本事件的三个探求方法(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．(2)树状图法：树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．求解古典概型的概率“四步”法2．概率的一般加法公式(1)事件A与B的交(或积)：由事件A和B同时发生所构成的事件D，称为事件A与B的交(或积)，记作D＝A∩B(或D＝AB)．(2)概率的一般加法公式：设A，B是Ω的两个事件，则有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．[小试身手]1．下列关于古典概型的说法中正确的是( )①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)＝k n .A．②④B．①③④C．①④D．③④解析：选B 根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故选B.2．下列试验是古典概型的是( )A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为{}取中白球和{}取中黑球B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面D．某人射击中靶或不中靶解析：选C A中两个基本事件不是等可能的；B中基本事件的个数是无限的；D中“中靶”与“不中靶”不是等可能的；C符合古典概型的两个特征，故选C.3．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为( )A.12B.13C.23D．1解析：选C 从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P ＝23.4．两个骰子的点数分别为b ，c ，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个实根的概率为( )A.12B.1536C.1936D.56解析：选C (b ，c )共有36个结果，方程有解，则Δ＝b 2－4c ≥0，∴b 2≥4c ，满足条件的数记为(b 2,4c )，共有(4,4)，(9,4)，(9,8)，(16,4)，(16,8)，(16,12)，(16,16)，(25,4)，(25,8)，(25,12)，(25,16)，(25,20)，(25,24)，(36,4)，(36,8)，(36,12)，(36,16)，(36,20)，(36,24)，19个结果，P ＝1936.典型例题[典例] (1)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6(2)连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．①写出这个试验的所有基本事件； ②求这个试验的基本事件的总数；③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些基本事件？[解析] (1)用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种可能．[答案] C(2)解：①这个试验包含的基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．②这个试验包含的基本事件的总数是8；③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．[活学活用]将一枚骰子先后抛掷两次，则：(1)一共有几个基本事件？(2)“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件？解：(树状图法)：一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示．如图所示：(1)由图知，共36个基本事件．(2)“点数之和大于8”包含10个基本事件(已用“√”标出).[典例] 袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：(1)A：取出的两球都是白球；(2)B：取出的两球1个是白球，另1个是红球．[解] 设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个球的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的取法总数有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个．∴取出的两个球全是白球的概率为P(A)＝615＝25.(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)共8种．∴取出的两个球1个是白球，1个是红球的概率为P(B)＝8 15 .[活学活用]某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．解：(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5,1所大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．②从这6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种，所以P(B)＝315＝15.[典例] 有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座．(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；(3)求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率．[解] 将A，B，C，D四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示出来．a 席位b 席位c 席位d 席位 a 席位b 席位c 席位d 席位a 席位b 席位c 席位d 席位 a 席位b 席位c 席位d 席位 由图可知，所有的等可能基本事件共有24个．(1)设事件A 为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A 只包含1个基本事件，所以P (A )＝124. (2)设事件B 为“这四人恰好都没坐自己的席位上”，则事件B 包含9个基本事件，所以P (B )＝924＝38. (3)设事件C 为“这四人恰有一位坐在自己的席位上”，则事件C 包含8个基本事件，所以P (C )＝824＝13. [活学活用]把一枚骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，试就方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2解的情况，解答下列各题：(1)求方程组只有一个解的概率；(2)求方程组只有正数解的概率．解：若第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b 记为有序数值组(a ，b )，则所有可能出现的结果有：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)， (2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)， (3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)， (4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)， (5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)， (6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)， 共36种．由方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2，可得⎩⎨⎧2a －b x ＝6－2b ，2a －by ＝2a －3，(1)若方程组只有一个解，则b ≠2a ，满足b ＝2a 的有(1,2)，(2,4)，(3,6)，故适合b ≠2a 的有36－3＝33个．其概率为：P 1＝3336＝1112. (2)方程组只有正数解，需满足b －2a ≠0且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－2b 2a －b ＞0，y ＝2a －32a －b ＞0.分两种情况：当2a ＞b 时，得⎩⎨⎧a ＞32，b ＜3，当2a ＜b 时，得⎩⎨⎧a ＜32，b ＞3.易得包含的基本事件有13个：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，因此所求的概率P 2＝1336.[层级一 学业水平达标]1．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，则点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的概率是( )A.13 B.14 C.16D.112解析：选D 由题意(m ，n )的取值情况有(1,1)，(1,2)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，…，(6,6)，共36种，而满足点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3种．故所求概率为336＝112，故选D. 2．从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为( )A.12B.13C.14D.15解析：选A 从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字，可构成12个两位数：12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，其中大于30的有：31,32,34,41,42,43共6个，所以所得两位数大于30的概率为P ＝612＝12. 3．设a 是从集合{}1，2，3，4中随机取出的一个数，b 是从集合{}1，2，3中随机取出的一个数，构成一个基本事件(a ，b )．记“这些基本事件中，满足log b a ≥1”为事件E ，则E 发生的概率是( )A.12B.512C.13D.14解析：选B 试验发生包含的事件是分别从两个集合中取1个数字，共有4×3＝12种结果，满足条件的事件是满足log b a≥1，可以列举出所有的事件，当b＝2时，a＝2,3,4，当b＝3时，a＝3,4，共有3＋2＝5个，∴根据古典概型的概率公式得到概率是5 12 .4．一个袋子中装有编号分别为1,2,3,4的4个小球，现有放回地摸球，规定每次只能摸一个球，若第一次摸到的球的编号为x，第二次摸到的球的编号为y，构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中满足xy＝4的概率为( )A.316B.18C.118D.16解析：选A 由题意可知两次摸球得到的所有数对(x，y)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，其中满足xy＝4的数对有(1,4)，(2,2)，(4,1)，共3个．故所求事件的概率为3 16 .5．为迎接2016奥运会，某班开展了一次“体育知识竞赛”，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩(满分为100分，分数均为整数)进行统计，制成如下的频率分布表：(1)求a，(2)若得分在[90,100]之间的有机会进入决赛，已知其中男女比例为2∶3，如果一等奖只有两名，求获得一等奖的全部为女生的概率．解：(1)a ＝50×0.1＝5，b ＝2550＝0.5，c ＝50－5－15－25＝5，d ＝1－0.1－0.3－0.5＝0.1.(2)把得分在[90,100]之间的五名学生分别记为男1，男2，女1，女2，女3. 事件“一等奖只有两名”包含的所有事件为(男1，男2)，(男1，女1)，(男1，女2)，(男1，女3)，(男2，女1)，(男2，女2)，(男2，女3)，(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共10个基本事件；事件“获得一等奖的全部为女生”包含(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共3个基本事件．所以，获得一等奖的全部为女生的概率为P ＝310. [层级二 应试能力达标]1．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为( )A.16 B.13 C.12D.23解析：选B 所有基本事件为：123,132,213,231,312,321.其中从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册包含2个基本事件，∴P ＝26＝13.故选B.2．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则89是下列哪个事件的概率( )A ．颜色全同B ．颜色不全同C ．颜色全不同D ．无红球解析：选B 有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色全相同的结果有3种，其概率为327＝19；颜色不全相同的结果有24种，其概率为2427＝89；颜色全不同的结果有3种，其概率为327＝19；无红球的情况有8种，其概率为827，故选B.3．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为( )A.1180 B.1288 C.1360 D.1480解析：选C 当“时”的两位数字的和小于9时，则“分”的那两位数字和要求超过14，这是不可能的．所以只有“时”的和为9(即“09”或“18”)，“分”的和为14(“59”)；或者“时”的和为10(即“19”)，“分”的和为13(“49”或“58”)．共计有4种情况．因一天24小时共有24×60分钟，所以概率P ＝424×60＝1360.故选C. 4．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为( )A.310B.25C.12D.35 解析：选 C 从五种不同属性的物质中随机抽取两种，有(金，木)、(金，水)、(金，火)、(金，土)、(木，水)、(木，火)、(木，土)、(水，火)、(水，土)、(火，土)，共10种等可能发生的结果．其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5种，则不相克的也是5种，所以抽取的两种物质不相克的概率为12. 5．有四个大小、形状完全相同的小球，分别编号为1,2,3,4，现从中任取两个，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为________．解析：从四个小球中任取两个，有6种取法，其中两个号码都为偶数只有(2,4)这一种取法，故其对立事件，即至少有一个号码为奇数的概率为1－16＝56.答案：5 66．在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取2瓶，取到的全是已过保质期的饮料的概率为________．解析：设过保质期的2瓶记为a，b，没过保质期的3瓶用1,2,3表示，试验的结果为：(1,2)，(1,3)，(1，a)，(1，b)，(2,3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)共10种结果，2瓶都过保质期的结果只有1个，∴P＝1 10.答案：1 107．设a，b随机取自集合{1,2,3}，则直线ax＋by＋3＝0与圆x2＋y2＝1有公共点的概率是________．解析：将a，b的取值记为(a，b)，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9种可能．当直线与圆有公共点时，可得3a2＋b2≤1，从而符合条件的有(1,3)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共5种可能，故所求概率为5 9 .答案：5 98．小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．解：将3道选择题依次编号为1,2,3；2道填空题依次编号为4,5.(1)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共20种，而且这些基本事件发生的可能性是相等的．设事件A为“所选的题不是同一种题型”，则事件A包含的基本事件有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共12种，所以P(A)＝1220＝0.6.(2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则所有基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25种，而且这些基本事件发生的可能性是相等的．设事件B为“所选的题不是同一种题型”，由(1)知所选题不是同一种题型的基本事件共12种，所以P(B)＝1225＝0.48.9．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．解：(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为3 10 .(2)记F为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为8 15 .。

古典概型及其概率求解的基本方法山东 孙天军一．古典概型的创建如果一个试验同时满足以下两个条件：（1）有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的，则称这样的试验为古典概型．判断一个试验是否为古典概型，需要确定这个试验是否具有古典概型的两个特征——“有限性”和“等可能性”．对于“有限性”的判断较易，对于“等可能性"的判断较难,要注意分辨．例1．在两个箱子里，各有一个黑球和一个白球,所有的球除颜色外完全相同．从两个箱子里都摸出一个球，（1）若将试验的结果——“两个白球”、“两个黑球”、“一个白球一个黑球”视为基本事件，能构成古典概型吗？（2）求摸出的球是一个白球与一个黑球的概率． 解：（1）摸出的两个球的所有可能结果可表示为:“黑、黑”，“白、白”,“黑、白”，“白、黑"．这4个结果是有限的，也是等可能的，这种试验是古典概型．但将“摸出一个白球与一个黑球”视为基本事件时，是将“黑、白”与 “白、黑"两个结果合为一个结果，使得3个结果出现的可能性不全均等，故这时的试验不是古典概型． （2)由（1)的分析可知,当试验的结果视为“黑、黑”，“白、白”，“黑、白”,“白、黑”4个结果时,试验为古典概型,“摸出的球是一个白球与一个黑球”所包含的基本事件数为2，故所求概率为42=21 ．二．古典概型概率的计算如果试验的基本事件数有n 个，事件A 包含的基本事件数为m,则事件A 发生的概率 P(A ） =nm ．在保证能创建古典概型的情况下，首先要解决的问题如何求n 与m ，再利用公式计算概率．例2．有两个箱子，里面各装有编号为1、2、3、4、5、6的6个小球，所有的球除编号外完全相同，现从两个箱子里各摸一个球，称为一次试验．若摸出的两个球的编号之和为5，则中奖．求一次试验中奖的概率．解：记“一次试验中奖"为事件Ａ，根据基本事件总数ｎ及事件Ａ包含的基本事件数ｍ的不同求法，可得到下列解法：解法１．列表法:由表格可知：基本事件总数ｎ＝３６Ａ包含的基本事件数ｍ＝４，则所求 概率为P(A ） = 394＝91． 解法２．画树状图：５ ６由树状图可知：基本事件总数ｎ＝３６,Ａ包含的基本事件为１—４，２—３,３-２，４-１,共有４个，则所求概率为P(A ） =394＝91． 解法３．列举数对：将所有基本事件用数对表示为：（１，１）(１，２)(１，３）（１，４）(１，５）（１，６） （２，１)（２，２)(２，３)（２，４）（２,５）（２，６） （３，１）（３，２）（３，３）（３，４)（３，５）（３，６) (４，１）（４，２）(４,３)（４，４)（４,５）（４，６） (５，１）（５,２）（５，３）（５，４)（５,５)(５，６) （６，１）（６，２）（６，３）（６，４）（６，５）（６，６)用此方法也可得到前面的答案．解法４．交点法：在直角坐标系中,用直线ｘ＝１,２,３，４，５，６与直线ｙ＝１，２,３，４,５，６的交点数表示基本事件总数,其中在直线ｘ＋ｙ＝５上的点有４个，故基本事件总数ｎ＝３６，Ａ包含的基本事件数ｍ＝４,则所求概率为P （A) = 394＝91． Ｙ在古典概型的概率的计算中，还要适当结合互斥事件的概率的加。