算法分析与复杂性理论 实验报告 背包问题

背包问题实验报告背包问题实验报告背包问题是计算机科学中的经典问题之一，它涉及到在给定的一组物品中选择一些物品放入背包中，以使得背包的总重量不超过其容量，并且所选择的物品具有最大的总价值。

在本次实验中，我们将通过不同的算法来解决背包问题，并对比它们的效率和准确性。

1. 实验背景和目的背包问题是一个重要的优化问题，它在许多实际应用中都有广泛的应用，比如货物装载、资源分配等。

在本次实验中，我们的目的是通过实际的算法实现，比较不同算法在解决背包问题时的性能差异，并分析其优缺点。

2. 实验方法和步骤为了解决背包问题，我们选择了以下几种常见的算法：贪心算法、动态规划算法和遗传算法。

下面将对每种算法的具体步骤进行介绍。

2.1 贪心算法贪心算法是一种简单而直观的算法，它通过每次选择当前状态下最优的解决方案来逐步构建最终解决方案。

在背包问题中，贪心算法可以按照物品的单位价值进行排序，然后依次选择单位价值最高的物品放入背包中，直到背包的容量达到上限。

2.2 动态规划算法动态规划算法是一种基于递推关系的算法，它通过将原问题分解为多个子问题，并利用子问题的解来构建原问题的解。

在背包问题中，动态规划算法可以通过构建一个二维数组来记录每个子问题的最优解，然后逐步推导出整个问题的最优解。

2.3 遗传算法遗传算法是一种模拟生物进化的算法，它通过模拟自然选择、交叉和变异等过程来搜索问题的最优解。

在背包问题中，遗传算法可以通过表示每个解决方案的染色体，然后通过选择、交叉和变异等操作来不断优化解决方案，直到找到最优解。

3. 实验结果和分析我们使用不同算法对一组测试数据进行求解，并对比它们的结果和运行时间进行分析。

下面是我们的实验结果：对于一个容量为10的背包和以下物品：物品1：重量2，价值6物品2：重量2，价值10物品3：重量3，价值12物品4：重量4，价值14物品5：重量5，价值20贪心算法的结果是选择物品4和物品5，总重量为9，总价值为34。

算法分析与设计实验报告[0/1背包问题]0/1背包问题的不同算法解决方案组员02黄希龙 09455321张育强05周麒目录一.问题描述 (1)二.算法分析 (2)1.穷举法： (2)2.递归法： (4)3.贪心法： (5)4.动态规划法分析： (6)5.回溯法分析： (7)6.分支限界法： (9)三.时空效率分析 (10)1.穷举法： (10)2.递归法： (11)3.动态规划法： (11)4.回溯法： (11)5分支限界法： (11)四.运行结果 (12)1.穷举法输出结果： (12)2.递归法输出结果： (13)3.动态规划法输出结果： (14)4.回溯法输出结果： (15)5.分支限界法输出结果： (16)五.分析输出结果 (17)六.总结与反思 (18)一.问题描述0/1背包问题:现有n 种物品，对1<=i<=n ，已知第i 种物品的重量为正整数W i ，价值为正整数V i ，背包能承受的最大载重量为正整数W ，现要求找出这n 种物品的一个子集，使得子集中物品的总重量不超过W 且总价值尽量大。

（注意：这里对每种物品或者全取或者一点都不取，不允许只取一部分）二.算法分析根据问题描述，可以将其转化为如下的约束条件和目标函数：)2(max )1()1}(1,0{11∑∑==⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈≤ni i i ini i i x v n i x Wx w 于是，问题就归结为寻找一个满足约束条件（1），并使目标函数式（2）达到最大的解向量),......,,,(321n x x x x X =。

首先说明一下0-1背包问题拥有最优解。

假设),......,,,(321n x x x x 是所给的问题的一个最优解，则),......,,(32n x x x 是下面问题的一个最优解：∑∑==⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈-≤ni i i ini i i x v n i x x w W x w 2211max )2}(1,0{。

南京信息工程大学实验（实习）报告实验（实习）名称实验（实习）日期得分指导教师系计算机专业软件工程年级2011 班次 3 姓名张渊学号 31 一、实验目的背包的背负有上限，因此在这个上限内尽可能多的装东西，并且价值越多越好。

在这里我之想讨论动态规划解决这个问题的详细过程。

二、实验内容及步骤0-1背包问题：给定n种物品和一背包。

物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为c。

问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大? 在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。

不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分物品i。

0-1背包问题是一个特殊的整数规划问题。

三、体会和总结通过这次的实验让我对哈弗曼算法有了进一步的了解，并且知道了01动态背包可以建立在多个模型上面。

算法对我们真的很是重要#include<stdio.h>#include<stdlib.h>int C[200][200];//前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值int max(int a,int b) //返回较大值{if(a >= b)return a;else return b;}int KnapSack(int n,int w[],int v[],int x[],int W) //物体个数n, 物品重量w[],物品价值v[]，物品选择状态x[],背包容量W{int i,j;//接下来四行是初始左上角为0for(i = 0; i <= n; i++)C[i][0] = 0;for(j = 0; j <= W; j++)C[0][j] = 0;for(i = 0; i <= n - 1; i++) //选择货物{for(j = 0; j <= W; j++) //选择容量{if(j < w[i])C[i][j] = C[i - 1][j];elseC[i][j] = max(C[i - 1][j], C[i - 1][j - w[i]] + v[i]); }}j = W; //令j初始为容量for(i = n - 1; i >= 0; i--) //找回最优解过程{if(C[i][j] > C[i - 1][j]) //比上面的值大，说明之前物品放入{x[i] = 1;j = j - w[i]; //j容量减小}elsex[i] = 0; //物品未放入}printf("选中的物品是:\n");for(i = 0; i < n; i++) //输出放入情况printf("%d ", x[i]);printf("\n");return C[n-1][W]; //返回最大价值}int main(){int s;//获得的最大价值int n,i;int W; //背包最大容量printf("请输入背包的最大容量：");scanf("%d", &W);printf("输入物品数：");scanf("%d", &n);int *w = new int[n]; //物品的重量int *v = new int[n]; //物品的价值int *x = new int[n]; //物品的选取状态printf("请分别输入物品的重量:\n");for(i = 0; i < n; i++) //录入相对的物品重量scanf("%d", &w[i]);printf("请分别输入物品的价值:\n");for(i = 0; i < n; i++) //录入相对的物品价值scanf("%d", &v[i]);s = KnapSack(n, w, v, x, W); //返回值为最大价值printf("最大物品价值为：");printf("%d\n",s);return 0;}Process returned 0 (0x0) execution time : 15.032 s Press any key to continue.*/。

一、实验目的本次实验旨在通过C++编程实现完全背包问题，并对其算法原理、时间复杂度、空间复杂度进行分析。

通过对比不同实现方式，加深对动态规划算法的理解，提高解决实际问题的能力。

二、实验原理完全背包问题是指有n种重量和价值分别为wi、vi（1≤i≤n）的物品，从这些物品中挑选总重量不超过W的物品，求出挑选物品价值总和最大的挑选方案，这里每种物品可以挑选任意多件。

解决完全背包问题常用的方法是动态规划。

动态规划的核心思想是将复杂问题分解为若干个相互重叠的子问题，并存储已求解的子问题的解，避免重复计算。

三、实验步骤1. 定义状态定义状态dp[i][w]表示从前i种物品中挑选总重量不超过w的物品时所能获得的最大价值。

2. 状态转移方程当不选择第i种物品时，状态dp[i][w] = dp[i-1][w]。

当选择第i种物品时，状态dp[i][w] = max(dp[i-1][w], dp[i-1][w-wi] + vi)。

其中，wi表示第i种物品的重量，vi表示第i种物品的价值。

3. 初始化初始化dp[0][w] = 0，表示不选择任何物品时的最大价值为0。

4. 计算按照状态转移方程计算dp[n][W]，其中n为物品种类数，W为背包容量。

5. 输出结果输出dp[n][W]，即为所求的最大价值。

四、实验实现1. C++代码实现```cpp#include <iostream>using namespace std;const int MAXN = 100; // 物品种类数上限const int MAXW = 1000; // 背包容量上限int w[MAXN], v[MAXN]; // 物品重量和价值数组int dp[MAXN+1][MAXW+1]; // 动态规划表int main() {int n, W;cout << "请输入物品种类数和背包容量：" << endl; cin >> n >> W;cout << "请输入每种物品的重量和价值：" << endl; for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> w[i] >> v[i];}// 初始化dp表for (int i = 0; i <= n; i++) {for (int j = 0; j <= W; j++) {dp[i][j] = 0;}}// 计算dp表for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= W; j++) {if (j >= w[i]) {dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]); } else {dp[i][j] = dp[i-1][j];}}}// 输出结果cout << "最大价值为：" << dp[n][W] << endl;return 0;}```2. 测试用例```plaintext输入：4 71 62 35 46 5输出：14```五、实验分析1. 时间复杂度动态规划算法的时间复杂度为O(nW)，其中n为物品种类数，W为背包容量。

背包问题实验报告《背包问题实验报告》背包问题是一个经典的组合优化问题，它在计算机科学和运筹学领域被广泛应用。

在这个问题中，我们需要从一组物品中选择一些放入背包，使得它们的总重量不超过背包的承载能力，同时价值最大化。

在本实验中，我们将探讨不同算法在解决背包问题时的表现，并分析它们的优缺点。

首先，我们使用了贪心算法来解决背包问题。

贪心算法的基本思想是每次选择当前最有利的物品放入背包，直到背包装满或者没有物品可选。

虽然贪心算法在一些情况下能够得到较好的解，但它并不保证能够得到最优解，因为它只考虑了局部最优解而没有综合考虑所有可能的选择。

接着，我们使用了动态规划算法来解决背包问题。

动态规划算法通过将问题分解成子问题，并保存子问题的解来避免重复计算，从而得到最优解。

动态规划算法在解决背包问题时能够得到最优解，但它需要额外的空间来保存子问题的解，因此在处理大规模问题时可能会消耗较多的内存。

最后，我们使用了回溯算法来解决背包问题。

回溯算法通过不断尝试所有可能的选择，并在满足条件时继续向下搜索，直到找到解或者搜索完所有可能的选择。

回溯算法能够得到最优解，但它的时间复杂度较高，因为它需要尝试所有可能的选择。

通过实验我们发现，不同算法在解决背包问题时有各自的优缺点。

贪心算法简单快速，但不能保证得到最优解；动态规划算法能够得到最优解，但需要额外的空间；回溯算法能够得到最优解，但时间复杂度较高。

因此，在实际应用中需要根据具体情况选择合适的算法来解决背包问题。

综上所述，通过本实验我们对背包问题的解决算法有了更深入的了解，并且能够根据具体情况选择合适的算法来解决实际问题。

希望本实验能够对相关领域的研究和应用有所帮助。

0-1背包问题实验报告一・问题描述4•给定n种物品和一个背包。

物品i的重量是w[i],其价值为v[i],背包容量为Co问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大。

2在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。

不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品io问题规模1.物品数目：n=50,2.背包容量：c=1000,3.每个物品重量分别为：{220,208,198,192,180,180,165,162,160,158,155,130,125,122,120,118,115,110,105,101,100,100,98,96,95,90,88,82,80,77,75,73,70,69,66,65,63,60,58,56,50,30,20,15,10,8,5,3,1,1}4.每个物品价值分别为：{80,82,85,70,72,70,66,50,55,25,50,55,40,48,50,32,22,60,30,32,40,38,35,32,25,28,30,22,50,30,45,30,60,50,20,65,20,25,30,10,20,25,15,10,10,10,4,4,2,1}三. 实验方法本次实验将分别通过动态规划法，贪心算法，回溯法及分支界限法四种方法解决0-1背包问题。

四. 算法分析I •动态规划法(1)•对动态规划的0-1背包问题，在给定c>0,wi>0, vi>0, 1<=i<=n,要求找出一个n 元0-1 向量(x1,x2,...)xn 1},1 < i；使得xi{0,wx■Ii 1ni而且maxvixioc,i1n同时可得出其递推关系，设最优值是背包容量为j,可选物品i,i+1…盼背包问题的最优值。

于是可建立计算m(l,j)的递归式：在j>=wi,为max{m(i+1 ,j),m(i+1 j-wi)+vi}，在0<=j<wi 时,m(i+15j);m[n,j]在j>=wn时为vn,在OWj <wn为0。

算法设计与分析实验报告书实验名称：0/1背包问题学号：姓名：实验时间：2015年 6 月 1 日一实验目的和要求（1）深刻掌握贪心法、动态规划法、回溯法的设计思想并能熟练运用（2）理解这样一个观点：同样的问题可以用不同的方法来解决，一个好的算法是反复努力和重新修正的结果。

二实验内容（1）分别用蛮力法贪心法、动态规划法、回溯法设计0/1背包问题的算法。

（2）分析算法随n和C变化的时间性能，随机产生参数n和C，收集算法执行的时间（3）讨论n和C变化时，动态规划法和回溯法的时间性能。

（4）讨论几种算法在该问题求解上的特点。

三实验环境VC++6.0四设计思想及实验步骤蛮力法的设计思想和步骤将所有排列下的背包的重量和价值都计算出来，选择重量不大于背包的总重量下的最大价值。

贪心法的设计思想和步骤首先计算每种物品单位重量的价值vi/wi；按单位价值对物品进行升序排列。

然后，依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包，直到背包装满为止。

动态规划法的设计思想和步骤令V(i, j)表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的物品的最大价值，则可以得到如下动态函数：V（i, j）=0 (i=0或j=0)V( i, j) = V(i-1, j) j<w[i]V( i, j) = max{V(i-1, j), V(I, j-1)+v[i]} j>=w[j]按照下述方法来划分段：第一段只装入前1个物品，确定在各种情况下的背包能够得到的最大价值；第二阶段，只装入2个物品，确定在各种情况下的背包能够得到的最大价值；以此类推，直到第n个阶段。

最后V(n, C)便是容量为C的背包中装入n个物品时获取到的最大价值。

回溯法的设计思想和步骤为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断的利用越约束条件来剪掉那些实际上不可能产生所需解的节点，以减少问题额计算量。

对于n种可选物品的0/1背包问题，其解空间长度由长度为n的0-1向量组成，可用子集数表示。

动态规划方案解决算法背包问题实验报告含嘿，大家好！今天我来给大家分享一个相当有趣的编程问题——背包问题。

这可是算法领域里的经典难题，也是体现动态规划思想的好例子。

我会用我10年的方案写作经验，给大家带来一份详细的实验报告，附带哦！让我简单介绍一下背包问题。

假设你是一个盗贼，要盗取一个博物馆里的宝贝。

博物馆里有n个宝贝，每个宝贝都有它的价值v和重量w。

你有一个承重为W的背包，你希望放入背包的宝贝总价值最大，但总重量不能超过背包的承重。

这个问题，就是我们要解决的背包问题。

一、算法思路1.创建一个二维数组dp，dp[i][j]表示前i个宝贝放入一个承重为j的背包中，能达到的最大价值。

2.初始化dp数组，dp[0][j]=0，因为如果没有宝贝，那么无论背包承重多少，价值都是0。

3.遍历每个宝贝，对于每个宝贝，我们有两种选择：放入背包或者不放入背包。

4.如果不放入背包，那么dp[i][j]=dp[i-1][j]，即前i-1个宝贝放入一个承重为j的背包中，能达到的最大价值。

5.如果放入背包，那么dp[i][j]=dp[i-1][j-w[i]]+v[i]，即前i-1个宝贝放入一个承重为j-w[i]的背包中，加上当前宝贝的价值。

6.dp[i][j]取两种情况的最大值。

二、defknapsack(W,weights,values,n):dp=[[0for_inrange(W+1)]for_inrange(n+1)]foriinrange(1,n+1):forjinrange(1,W+1):ifj>=weights[i-1]:dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weights[i-1]]+values[i -1])else:dp[i][j]=dp[i-1][j]returndp[n][W]测试数据W=10weights=[2,3,4,5]values=[3,4,5,6]n=len(values)输出结果max_value=knapsack(W,weights,values,n)print("最大价值为：",max_value)三、实验结果分析通过上面的代码，我们可以得到最大价值为15。

一、实验背景完全背包问题（Full Knapsack Problem）是组合优化领域中的一个经典问题。

它指的是给定n种物品，每种物品的数量无限，每种物品的重量和价值已知，求出装满一个容量为W的背包所需的最小价值。

完全背包问题具有广泛的应用背景，如货物装载、资源分配、网络路由等。

二、实验目的1. 理解完全背包问题的基本概念和求解方法。

2. 掌握动态规划算法在解决完全背包问题中的应用。

3. 分析不同算法的时间复杂度和空间复杂度，为实际应用提供参考。

三、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3.83. 开发工具：PyCharm四、实验方法1. 动态规划法动态规划法是解决完全背包问题的常用方法。

其基本思想是将问题分解为子问题，并存储子问题的解以避免重复计算。

（1）定义状态设dp[i][j]表示前i种物品装满容量为j的背包的最大价值。

（2）状态转移方程dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])，其中i表示物品数量，j表示背包容量，w[i]表示第i种物品的重量，v[i]表示第i种物品的价值。

（3）初始化dp[0][j] = 0，表示没有物品时，无论背包容量为多少，价值都为0。

（4）遍历按照物品数量i从1到n，背包容量j从1到W进行遍历，根据状态转移方程计算dp[i][j]。

（5）输出结果dp[n][W]即为装满容量为W的背包所需的最小价值。

2. 分支限界法分支限界法是一种搜索算法，通过剪枝来降低搜索空间，从而提高求解效率。

（1）定义状态设Node为节点类，表示背包问题的状态。

Node包含以下属性：当前物品数量、当前背包容量、当前背包价值、当前解。

（2）构建搜索树以物品数量为分支，从根节点开始递归构建搜索树。

对于每个节点，根据当前背包容量和物品重量，判断是否继续向下搜索。

（3）剪枝对于每个节点，如果当前背包价值已经超过已知的最大价值，则剪枝，不再向下搜索。

实验报告课程名称：算法设计与分析实验名称：解0-1背包问题任课教师：王锦彪专业：计算机应用技术班级: 2011 学号： ****** 姓名：严焱心完成日期： 2011年11月一、实验目的：掌握动态规划、贪心算法、回溯法、分支限界法的原理，并能够按其原理编程实现解决0-1背包问题，以加深对上述方法的理解。

二、实验内容及要求：1． 要求分别用动态规划、贪心算法、回溯法和分支限界法求解0-1背包问题；2． 要求显示结果。

三、实验环境和工具：操作系统：Windows7开发工具：Eclipse3.7.1 jdk6开发语言：Java四、实验问题描述：0/1背包问题:现有n 种物品，对1<=i<=n ，第i 种物品的重量为正整数W i ，价值为正整数V i ，背包能承受的最大载重量为正整数C ，现要求找出这n 种物品的一个子集，使得子集中物品的总重量不超过C 且总价值尽量大。

动态规划算法描述: 根据问题描述，可以将其转化为如下的约束条件和目标函数：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈≤∑∑==)1}(1,0{C max 11n i x x w x v ini i i ni ii寻找一个满足约束条件，并使目标函数式达到最大的解向量),......,,,(321n x x x x X =，使得C 1∑=≤n i i i x w ，而且∑=ni i i x v 1达到最大。

0-1背包问题具有最优子结构性质。

假设),......,,,(321n x x x x 是所给的问题的一个最优解，则),......,,(32n x x x 是下面问题的一个最优解：∑∑==⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈-≤n i i i ini i i x v n i x x w x w 2211max )2}(1,0{C 。

如果不是的话，设),......,,(32n y y y 是这个问题的一个最优解，则∑∑==>n i n i i i i i x v y v 22，且∑=≤+n i i i y w x w 211C 。