一元二次方程根的判别及根与系数的关系易错点剖析

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根与系数关系的应用错例示例

一元二次方程中根与系数的关系为：如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－ba，x1 · x2＝ca．此结论成立的条件是“原方程存在两个根x1和x2”.

一、例1 判断正误：方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根之和为－ba．( )

错解：对．

正解：错误．因不知方程是否有根.

二、例2 若方程x2＋(m2 - l)x＋l＋m＝0的两根互为相反数，则m的值

为( )

(A)l 或一1； (B)l； (C)－l； (D)0.

错解：选A．

正解：选C．因当m＝l时，原方程无实根.

三、例3 下列方程中，两根之和为13的方程是( )

(A)3x2－x＋2＝0； (B)3x2＋x＋2＝0；

(C)x2－13 x＋3＝0； (D)6x2 -2x一1＝0．

错解：选A或C．

正解：选D．因方程A，C均无实根．

四、例4 已知关于x的方程x2－(2m＋1)x ＋ (m＋l)2＝0的两个实数根的平方和为7，求m的值．

错解：设方程两根为x1，x2，则x1＋x2＝2m＋l，x1·x2＝(m＋1)2．∵x12＋x22＝7，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝7，(2m＋l) 2 －2(m＋l)2＝7．即2m2＝8，m＝±2． 学习必备

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正解：设方程两根为x1，x2，则x1＋x2＝2m＋l，x1·x2＝(m＋1)2．∵x12＋x22＝7，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝7，(2m＋l)，2 －2(m＋l)2＝7．即2m2＝8，m＝±2．当m＝2时，原方程b2-4ac＜0，∴m＝－2．

五、例5 已知方程x2 ＋ 2(m -l)x＋3m2－11＝0，问m为何实数时，方程有两个根x1、x2，且x1x2＋x2x1＝－1．

错解：由根与系数的关系有xI ＋x2＝－2(m－1) ，x1·x2＝3m2－11，∵x1x2＋x2x1＝－1，∴x12＋x22x1x2＝－1，∴(x1＋x2)2－2x1x2x1x2＝－1，∴[－2(m－1)]2－2(3m2－11)3m2－11＝－1，即 m2－8m＋15＝0，∴m1＝3，m2＝5．

正解：由根与系数关系有x1＋x2＝－2(m－1) ，x1·x2＝3m2－11，∵x1x2＋x2x1＝－1，∴x12＋x22x1x2＝－1，∴(x1＋x2)2－2x1x2x1x2＝－1，∴[－2(m－1)]2－2(3m2－11)3m2－11＝－1，即 m2－8m＋15＝0，∴m1＝3，m2＝5．因m＝3或5时，方程b2-4ac＜0，∴不存在m使x1x2＋x2x1＝－1成立．

六、忽视方程中的隐含条件

例6 已知关于x的方程(k－1)x2＋2kx＋3＝0有实数根，求k的取值范围．

错解： ∵方程有实数根，∴b2－4ac＝(2k)2－4(k－1)×3≥0，解得k≤65．

∵k－1≠0，解得k≠1．∴k的取值范围是k≤65且k≠1．

错解分析：一元二次方程的解题中考虑b2－4ac≥0及k－1≠0是必要的，但本题忽视了两点：一是方程可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程，题中未明确是一元二次方程，因此应有k－1＝0；二是忽视了隐含条件2k≥0． 学习必备

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七、不能正确使用根的判别式

例7 不解方程，判断方程根的情况：4x2－3x＋1＝2．

错解：∵a＝4，b＝－3，c＝1，∴b2－4ac＝(－3)2－4×4×1＝9－16＝－7＜0．

∴原方程没有实数根．

错解分析：使用根的判别式时，必须先将方程整理成ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式．

正解：整理，得4x2－3x－1＝0，

∵a＝4，b＝－3，c＝－1，∴b2－4ac＝(－3)2－4×4×(－1)＝9＋16＝25＞0．

∴原方程有两个不相等的实数根．

一元二次方程错解示例

一、例1 a为何值时，方程a2x2＋(2a－1)x＋1＝0有两个实数根？

错解：∵ 方程有两个实数根

∴ △≥0，即(2a－1)2－4a2≥0，

解得a≤14．

错解分析：当a＝0时，原方程为一元一次方程－x＋1=0，它只有一个实数根，不合题意．

正确的答案应为a≤14且a≠0．

二、例2 已知a、b满足a2－2a－1＝0，b2－2b－1＝0，则abba＝ ．

错解：由题设可知a、b是方程x2－2x－1＝0的两根， 学习必备

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∴a＋b＝2，ab＝－1，∴abba＝22abab＝2()2ababab＝421＝－6．

错解分析：在a≠b时，a、b是方程x2－2x－1＝0的两根；在a＝b时，abba＝1+1＝2．

故本题的正确答案应是－6或2．

三、例3 已知α、β是方程x2＋5x＋3＝0的两个实数根，则的值为 ．

错解：设A＝，两边平方得A2＝α2·＋2αβ＋β2·＝4αβ，

∴A＝2，∵αβ＝3，∴所求式的值为23．

错解分析：由题意可知．α＋β＝－5，αβ＝3，由此可知α＜0，β＜0，因此＜0．所以正确的结论应为－23．

四、例4 已知关于x的方程x2－(2m－1)x＋(m－3)2＝0的两个实数根的平方和为25，求m的值．

错解：设两根为x1、x2，则x1＋x2＝2m－1，x1x2＝(m－3)2，∵x12＋x22＝(x1＋x2)2－2 x1x2＝(2m－1)2－2(m－3)2＝25，化简得m2＋4m－21＝0，解得m的值为3或－7．

错解分析：当m＝－7时，原方程为x2＋15x＋100＝0，此时，△＝152－400＜0，原方程无实数根，故m＝－7应舍去，本题正确答案应为m＝3．

五、例5 已知x＝－1是关于x的方程222kxkxk的一个根，求以2k和k＋1为根的一元二次方程．

错解：把x＝－1代入方程得22kkk，解得k1＝2，k2＝－1． 学习必备

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当k＝2时，2k＝4，k＋1＝3，以4、3为根的方程是y2－7y＋12＝0；

当k＝－1时，2k＝－2，k＋1＝0，以－2、0为根的方程是y2＋2y＝0．

错解分析：解法中忽略了算术根的非负性．为了使22kkk成立，显然k＝－1应舍去．故本题的答案只有一个，y2－7y＋12＝0．

六、例6 x1、x2是关于x的方程x2－(2m－1)x＋(m2＋2m－4)＝0的两个实数根，求x12＋x22的最小值．

错解： 由已知得x1＋x2＝2m－1，x1x2＝m2＋2m－4，

∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2 x1x2＝(2m－1)2－2(m2＋2m－4)＝2m2－8m＋9＝2(m－2)2＋1．

∴当m＝2时，x12＋x22的最小值是1．

错解分析： 解法中忽略了“方程有实数根”这一条件．当m＝2时，原方程为x2－3x＋4＝0，方程没有实数根．

正确的解法还必须求出m的取值范围．

∵原方程有两个实数根，

∴△＝(2m－1)2－4(m2＋2m－4)≥0，

即－12m＋17≥0，

∴m≤1712．

∴当m=1712时，x12＋x22的最小值是12172．

七、例7 已知x1、x2是方程2x2－2kx＋12k(k＋4)＝0的两个实数根，且满足等式 (x1－1)(x2－1)＝109100，求k的值．

错解： (x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝14k(k＋4)－k＋1＝14k2＋1，

由已知条件得 14k2＋1＝109100，k2＝36100，k＝±35．

错解分析： ∵x1、x2是方程的两个实数根，∴△≥0．即4k2－4 k(k＋4)≥0，学习必备

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化简得k≤0．

故正确的答案应是k＝－35．

与根的判别式有关的常见错解示例

一、忽略二次项系数不为零

例1 已知关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0有实数根，求m的取值范围．

错解：∵ 方程有实数根，

∴△＝(－4)2－4×m×4≥0，

解得m≤1．

错解分析：一元二次方程mx2－4x＋4＝0有实数根的条件是：（1）二次项系数m≠0；（2）△≥0．错解只考虑了（2），而忽视了（1），即忽视了二次项系数不为零这一条件．故正确结果是：m≤1且m≠0．

值得说明的是，若题中没有条件“一元二次”四个字，则前面的解法是正确的．这是为什么？请大家思考.

二、忽略根的判别式

例2 已知关于x的一元二次方程x2－2(m－2)x＋m2＝0．问是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于56？若存在，求出m的值,若不存在，请说明理由．

错解：设方程的两个实数根为x1,x2，则

x1＋x2＝2(m－2)，x1x2＝m 2．

∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2 学习必备

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＝4(m－2)2－2m 2

＝2m2－16m＋16．

若x12＋x22＝56，则有m 2－8m－20＝0．

解得m 1＝10,m 2＝－2．

故符合题意的实数m存在，它的值为10或－2．

错解分析：当m＝10时，原方程x2－16x＋100＝0，判别式△＝(－16)2－4×100＜0，故方程无实数根．因此，m＝10应舍去．错误原因是忽视两根的判别式大于等于0这一条件．本题正确答案应为m＝－2．

三、忽略题设条件

例3 当m是什么整数时，关于x的方程mx2－4x＋4＝0①与x2－4mx＋4m2－4m－5＝0②的解都是整数？

错解：由已知，得12222=16-16m0,=(-4m)-4(4m-4m-5)0,

解得－54≤m≤1．

因此，满足条件的整数m为－1，0，1．

错解分析： 当m＝－1时，方程①的解不是整数；当m＝0时，方程①不是一元二次方程，方程②的解不是整数；当m＝1时，两个方程的解都为整数，方程①的解是x1＝x2＝2，方程②的解是x1＝－1，x2＝5．显然，m＝－1与m＝0不合题意，应舍去．

忽视了m的取值应使所给两个方程的“解都是整数”这个重要的题设条件，正确答案为m＝1．

四、忽视隐含条件

例4 已知关于x的一元二次方程(1－2k)x2－21kx－1＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．