一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

一元二次方程根的判别式与根与系数的关系

〖知识点〗：一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理

〖教学要求〗：

1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；

2.掌握韦达定理及其简单的应用；

3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；

4.会应用一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系分析解决一些简单的综合性问题。

内容分析

1.一元二次方程的根的判别式

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b2-4ac

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当△＝0时，方程有两个相等的实数根，

当△＜0时，方程没有实数根．

2.一元二次方程的根与系数的关系

(1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么abxx21，acxx21

(2)如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q x1x2=q

(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0．

x2-(x1+x2)x+x1x2=0．

3.二次三项式的因式分解(公式法)

在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是x1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．

〖考查重点与常见题型〗

1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（ ）

（A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根

（C）没有实数根 （D）不能确定

2023年初高中衔接素养提升专题讲义

第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）（解析版）

【知识点透析】

1、一元二次根的判别式

一元二次方程2

0 (0)axbxca

，用配方法将其变形为：2

2

24

()

24bbac

x

aa



，把

2

4bac

叫做一元二次方程2

0 (0)axbxca

的根的判别式，表示为：

2

4bac

(1) 当Δ=2

40bac

时，方程有两个不相等的实数根：2

4

2bbac

x

a



(2) 当Δ=2

40bac

时，因此，方程有两个相等的实数根：

1,2

2b

x

a

(3) 当Δ=2

40bac

时，因此，方程没有实数根．

【知识点精讲】

【例1】已知关于x

的一元二次方程2

320xxk

，根据下列条件，分别求出k

的范围：

(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根

(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．

【解析】：2

(2)43412kk

(1) 1

4120

3kk

；

(2) 1

4120

3kk

；

(3) 1

4120

3kk

；

(4) 1

4120

3kk

．

【变式1】（（2022秋·重庆开州·八年级统考期中）使得关于x的不等式组

6𝑥―𝑎≥―10

―1+1

2𝑥<―1

8𝑥+3

2

有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程(𝑎―5)𝑥2

+4𝑥+1=0

有实数根的所有整数a的值之和为（

）

A．35B．30C．26D．21

【答案】B

【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a

的取值范围，再通过根

的判别式确定a

的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可．

【详解】解：整理不等式组得：6x

―a

≥―10①

―8

+4x

<―x

+12②

由①得：x

≥a―10

6，由②得：x

<4

∵不等式组有且只有4个整数解，

∴不等式组的4个整数解是：3，2，1，0，

∴―1

6≤0

，

解得：4

≤10

，

∵(a

―5)

x2

+4x

+1

. . 一元二次方程根与系数的关系 （附答案）

评卷人 得 分

一．选择题（共6小题）

1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（ ）

A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根

C．没有实数根 D．无法确定

2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（ ）

A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1

3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（ ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．不能确定

4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（ ）

A．2 B．4 C．5 D．6

5．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（ ）

A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．

6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（ ）

A．﹣1 B．0 C．1 D．3

评卷人 得 分

二．填空题（共1小题）

7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为 ．

评卷人 得 分

. . 三．解答题（共8小题）

8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；

（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L的长．

9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．

（1）若该方程的一个根为1，求a的值；

（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．

（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）若该方程一个根为3，求m的值．

一元二次方程

第2节 根的判别式和根与系数的关系

【知识梳理】

1、一元二次方程根的判别式

关于x的一元二次方程)0(02acbxax，用配方法可得

222442aacbabx）（

acb42称为根的判别式

0＞，则方程有两个不相等的实数根

0＜，则方程没有实数根

0，则方程有两个相等的实数根

反过来也成立。

2、一元二次方程根与系数的关系

如果21,xx是方程)0(02acbxax的两个根，

则

acxxabxx2121

【诊断自测】

1．一元二次方程的两个根x1、x2和系数a、b、c的关系： 。

2．若方程3x2−4x−4=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=（ ）

A．−4 B．3 C．−43 D．43

3．已知x1、x2是一元二次方程x2−4x+1=0的两个根，则x1•x2等于（ ）

A．−4 B．−1 C．1 D．4

4．已知x1、x2是一元二次方程3x2=6−2x的两根，则x1−x1x2+x2的值是（ ）

A．−43 B．83 C．−83 D．43

【考点突破】

类型一：根的判别式常见题型 1、已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）．

答案：见解析。

解析：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．

∴△=（2m+1）2﹣4m（m+1）=1＞0，

∴方程总有两个不相等的实数根；

（2）∵x=0是此方程的一个根，

∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0，

∴m=0或m=﹣1，

∵（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=4m2﹣4m+1+9﹣m2+7m﹣5=3m2+3m+5，

把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5；