一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用
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２０２３年９月下半月 学习指导
一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用◉云南省曲靖市马龙区第三中学 刘 陈 摘要:结合五则典例,探讨一元二次方程根的判别式及根与系数的关系在判断三角形的形状、求代数式的值、构造倍根方程、求代数式的最值、求参数的值等方面的运用,帮助学生积累数学活动经验,发展学生核心素养．关键词:一元二次方程;判别式;数学活动经验;核心素养 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系,可用来判断三角形的形状,求代数式的值,构造倍根方程,求代数式的最值,求参数的值等,这些应用一方面体现了根的判别式及根与系数关系的价值,另一方面也使学生体会到了不同数学知识之间的联系,有利于加深学生对这一部分数学知识的理解与掌握．１判断三角形的形状当一元二次方程的系数或它的两个根是三角形的边长时,一元二次方程和三角形之间就有了联系,利用一元二次方程根的情况可以判断三角形的形状[１]．例１ 已知△ABC的三边长分别为a,b,c,方程(a＋c)x２＋２bx＋(a－c)＝０是关于x的一元二次方程．(１)当x＝－１时,你能确定△ABC的形状吗?为什么?(２)当方程有两个相等的实根时,你能确定△ABC的形状吗为什么?解析:(１)由题意,把x＝－１代入方程,得a＋c－２b＋a－c＝０,整理得a＝b．因为a,b,c分别为△ABC三边的长,所以△ABC为等腰三角形．(２)由题意,Δ＝(２b)２－４(a＋c)(a－c)＝０,整得得b２＋c２＝a２．因为a,b,c分别为△ABC三边的长,所以由勾股定理的逆定理,得△ABC为直角三角形．评注:当三角形的三边为一元二次方程的系数时,三角形的形状与一元二次方程根的情况也有了联系,本题设置的两个问题对此做了很好的诠释．２求代数式的值当m,n是一元二次方程ax２＋bx＋c＝０的两个根时,根据韦达定理,得m＋n＝－ba,mn＝ca．根据方程根的定义,得am２＋bm＋c＝０,an２＋bn＋c＝０;反之,a≠０时,当m,n满足等式am２＋bm＋c＝０,an２＋bn＋c＝０时,则m,n是一元二次方程ax２＋bx＋c＝０的两个根．例２ 问题情境:小明在学习中遇到了这样一道题———已知字母a,b满足a２－２a－１＝０,b２－２b－１＝０,且a≠b,试求１a＋１b的值．小明的解答为:因为字母a,b满足的两个方程形式一致,所以a,b可以看作方程x２－２x－１＝０的两根,根据根与系数的关系,得a＋b＝２,ab＝－１,所以１a＋１b＝a＋bab＝２－１＝－２．根据小明的解答过程,请解决下列问题:(１)已知不互为倒数的两个字母a,b分别满足２a２＋１１a＋１２＝０,１２b２＋１１b＋２＝０,求ba的值．(２)已知x１,x２是方程(m－１)x２＋２mx＋２＝０的两个根,且满足x２x１＋x１x２＋x１＋x２＝２．若a,b,c是△ABC的三边长,且c＝２３,m２＋a２m－８a＝０．m２＋b２m－８b＝０．试求m的值以及△ABC的面积．解析:(１)将１２b２＋１１b＋２＝０两边都除以b２,得２(１b)２＋１１×１b＋１２＝０．又因为２a２＋１１a＋１２＝０,所以a与１b为方程２x２＋１１x＋１２＝０的两根,根据根与系数,得a１b＝６．故ba＝１６．(２)因为x１,x２是方程(m－１)x２＋２mx＋２＝０的两个根,所以x１＋x２＝－２mm－１,x１x２＝２m－１,１６Copyright©博看网. All Rights Reserved. 学习指导２０２３年９月下半月 m≠１．由x２x１＋x１x２＋x１＋x２＝２,整理得m２－３m＋２＝０,解得m１＝２,m２＝１(舍去)．因此可得a２－４a＋２＝０,b２－４b＋２＝０,则a,b为方程x２－４x＋２＝０的两根,于是a＋b＝４,ab＝２,所以a２＋b２＝(a＋b)２－２ab＝１２＝c２,根据勾股定理的逆定理,得△ABC为直角三角形,故S△ABC＝１２ab＝１．所以m的值为２,△ABC的面积为１．评注:本题第(２)小题以m作为联系的纽带,根据第一个方程中根与系数的关系求出m的值,然后代入关于a,b的方程中消去m,从而显现出a,b的本质,再与勾股定理的逆定理结合,使问题转化为几何问题[２]．３求代数式的最值利用一元二次方程根与系数的关系可以求与两根有关的代数式的值,也可以求代数式的最值．当一元二次方程有实数根时,根的判别式大于或等于０,可以据此求得字母的取值范围,当所求代数式化为含有该字母的代数式时,就可以求得它的最值．例３ 一元二次方程根与系数的关系反映了一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间的数量关系,相应的命题被称为韦达定理,根据韦达定理解决下面问题:(１)已知m,n是一元二次方程２x２－３x＋１＝０的两个根,试计算m＋n与mn的值;(２)如果实数m,n(m≠n)分别满足方程m２－m－１＝０,n２－n－１＝０,求代数式１m＋１n的值;(３)设方程２x２＋４x＋m＝０的两个根分别是x１,x２,你能求出x２１＋x２２的最小值吗?解析:(１)由韦达定理,得m＋n＝３２,mn＝１２．(２)因为实数m,n满足m２－m－１＝０,n２－n－１＝０且m≠n,所以m,n可看作方程x２－x－１＝０的两根．根据韦达定理,得m＋n＝１,mn＝－１．故１m＋１n＝m＋nmn＝－１．(３)因为x１,x２是方程２x２＋４x＋m＝０的两个根,所以Δ＝４２－４×２×m≥０,即m≤２．根据题意,可得x１＋x２＝－２,x１x２＝m２,则x２１＋x２２＝(x１＋x２)２－２x１x２＝４－m．由m≤２,得４－m≥２,所以x２１＋x２２的最小值为２．评注:当a≥b(b为常数)时,a有最小值,且最小值为b;当a≤b(b为常数)时,a有最大值,且最大值为b．４探讨代数式的值能否为定值对于与一元二次方程的根有关的代数式的值能否为定值这类问题,应先假设这个代数式的值能为定值,从而建立方程求得字母的值,然后检验这个值能否满足原方程有实根,使原方程有实根的值就是符合题意的值．例４ 已知关于x的方程kx２＋(１－k)x－１＝０．(１)若该方程有两个不等实根,求k的取值范围．(２)设x１,x２是方程kx２＋(１－k)x－１＝０的两个根,记S＝x２x１＋x１x２＋x１＋x２,试问S的值能为４吗?若能,求出此时k的值,并说明理由．解:(１)根据一元二次方程的定义和判别式的意义,得k≠０且Δ＝(１－k)２－４k×(－１)＞０,整理,得(１＋k)２＞０,解得k≠０且k≠－１．(２)根据题意,得x１＋x２＝－１－kk,x１x２＝－１k．假设S＝x２１＋x２２x１x２＋x１＋x２＝(x１＋x２)２－２x１x２x１x２＋x１＋x２＝４,可得(x１＋x２)２－６x１x２＋x１x２(x１＋x２)＝０,即(１－k)２k２－６(－１k)＋(－１k)(－１－kk)＝０,整理得k２＋３k＋２＝０,解得k１＝－１,k２＝－２．因为k≠０且k≠－１,所以当k＝－２时,S的值能为４．评注:一元二次方程根与系数的关系是在方程有实根的情况下进行讨论的,所以利用根与系数关系得到的字母的值,一定要看这个值是否在方程有实根时求得的字母取值范围之内．只有在这个取值范围之内的值才是符合题意的值．积累数学活动经验是数学教学的目标之一．以上四种类型有关根的判别式及根与系数关系的应用,有利于学生明白二者之间的依存关系,以及如何利用这两个工具解答相关问题,也有利于学生积累解题经验,促进学生核心素养的发展．参考文献:[１]黄细把．一元二次方程“联姻”三角形[J]．今日中学生,２０１５(Z６):２５Ｇ２６．[２]朱亚邦．勾股定理(逆定理)应用的几种场景[J]．中学生数理化(八年级数学)(配合人教社教材),２０１７(３):１６Ｇ１７．Z２６Copyright©博看网. All Rights Reserved.
