高考数学一轮总复习课件：函数的单调性和最值

江苏书人教育培训中心2013年暑假 新高一数学第16讲函数的性质

第1页 共4页 新高一数学第16讲 函数的单调性

一、知识要点

1.函数单调性的定义：一般地，设函数f（x）的定义域为D：如果对于属于D内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2当x 1 ＜x 2时，都有 f（x1）＜f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是增函数.

如果对于属于D内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x 1 ＜x 2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是减函数.

如果函数y ＝f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有严格的单调性，这一区间叫做y＝f（x）的单调区间，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.

注意：①函数的单调性也叫函数的增减性.

②函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.

③判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：

a.设x1、x2∈给定区间，且x 1 ＜x 2

b.计算f（x1）－f（x2）至最简;

c.判断上述差的符号;

d.下结论(若差＜0，则为增函数；若差＞0，则为减函数)

2. 注意函数单调性的几种不同的表述形式：设0f1212,,,xxabxx那么：

12120xxfxfx12120fxfxxxfx在[a,b]上是增函数；

12120xxfxfx12120fxfxxxfx在[a,b]上是减函数；

3. 函数单调性的运用：① 比较函数值的大小；② 解抽象不等式；③ 求参数的范围。

4.常用结论：

①函数fx与fx+c(c为常数)具有相同的单调性；

②当c＞0时,函数fx与cfx具有相同的单调性；当c＜0时,函数fx与cfx具有相反的单调性；

1 专题05函数的单调性与最值

最新考纲

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．

2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.

基础知识融会贯通

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值

前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M

结论 M为最大值 M为最小值

【知识拓展】

函数单调性的常用结论 2 (1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，fx1－fx2x1－x2>0⇔f(x)在D上是增函数，fx1－fx2x1－x2<0⇔f(x)在D上是减函数．

(2)对勾函数y＝x＋ax(a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)，减区间为[－a，0)和(0，a]．

(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．

(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．

重点难点突破

【题型一】确定函数的单调性(区间)

命题点1 给出具体解析式的函数的单调性

【典型例题】

下列函数中，值域为R且在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）

A．y＝x2+2x B．y＝2x+1 C．y＝x3+1 D．y＝（x﹣1）|x|

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，其值域为[﹣1，+∞），不符合题意；

对于B，y＝2x+1，其值域为（0，+∞），不符合题意；

对于C，y＝x3+1，值域为R且在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；

对于D，y＝（x﹣1）|x|，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意；

高考总复习

函数的单调性与最值习题

一、选择题

1．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)<0，则f(x)＝0在[a，b]内( )

A．至少有一实数根 B．至多有一实数根

C．没有实数根 D．有唯一实数根

2．(2010·北京文)给定函数①y＝x12，②y＝log12(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )

A．①② B．②③

C．③④ D．①④

3．(2010·济南市模拟)设y1＝0.413，y2＝0.513，y3＝0.514，则( )

A．y3

C．y2

4．(2010·广州市)已知函数 a－2x－1 x≤1logax x>1，若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为( )

A．(1,2) B．(2,3)

C．(2,3] D．(2，＋∞)

5．(文)(2010·山东济宁)若函数f(x)＝x2＋2x＋alnx在(0,1)上单调递减，则实数a的取值范围是( )

A．a≥0 B．a≤0

C．a≥－4 D．a≤－4

(理)已知函数y＝tanωx在－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围是( )

A．0

C．ω≥1 D．ω≤－1

，∴－1≤ω<0.

6．(2010·天津文)设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( )

A．a＜c＜b B．b＜c＜a

C．a＜b＜c D．b＜a＜c

7．若f(x)＝x3－6ax的单调递减区间是(－2,2)，则a的取值范围是( )

A．(－∞，0] B．[－2,2]

C．{2} D．[2，＋∞)

高考总复习

8．(文)定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(13)＝0，则适合不等式f(log127x)>0的x的取值范围是( )

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洪创教育精品文档资料工作室 第二讲 函数的单调性

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数 减函数

定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2

当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数

图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值

前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；

(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M

结论 M为最大值 M为最小值 【套路秘籍】---千里之行始于足下 洪创教育精品文档资料工作室

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考向一 单调区间求解

【例1】（1）下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )

A.y＝2－x B.y＝x C.y＝log2x D.y＝－1x

(2)函数f(x)＝ln (x2－2x－8) 的单调递增区间是( )

A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)

(3)求函数f(x)＝|x2－4x＋3|的单调区间 ．

(4)求函数f(x)＝x－ln x的单调区间 ．

(5)函数33yxx的单调增区间为__________．

【答案】见解析

【解析】（1）只有y＝2－x与y＝x的定义域为R，且y＝2－x是减函数，y＝x是增函数.选B

（2）由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．