2015高考数学一轮总复习课件：2.2 函数的单调性与最值

Go the distance

2.2函数的单调性与最值

考情分析

1．考查求函数单调性和最值的基本方法．

2．利用函数的单调性求单调区间．

3．利用函数的单调性求最值和参数的取值范围．

基础知识

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

[来源:学科网] 增函数 减函数

定义

[来源学科

网ZXXK] 一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上

的任意两个自变量的值x1，x2来源学科网

当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说

函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞

f(x2)，那么就说函数f (x )

在区间D上是减函数

图象

描述

自左向右图象是上升的

自左向右图象是下降的

(2)单调区间的定义

若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格

的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．

2．函数的最值

前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满

足

条件

. ①对于任意x∈I，都

有f(x)≤M； ①对于任意x∈I，都有

f(x)≥M；

②存在x0∈I，使得

f(x0)＝M ②存在x0∈I，使得f(x0)

＝M. Go the distance

结论 M为最大值 M为最小值

注意事项

1.函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y＝1

x分

别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，

0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，

＋∞)，不能用“∪”连接．

2.设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么

①fx1－fx2

x1－x2＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；fx1－fx2

x1－x2＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函

数．

②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)

课时作业(五) [第5讲 函数的单调性与最值]

[时间：45分钟 分值：100分]

基础热身

1．函数f(x)＝x2－2x－1的单调增区间为________________________________________________________________________；

单调减区间为______________．

2．函数f(x)＝log2(x2－4x－5)的单调增区间为________．

3．若函数f(x)＝x2－2(1＋a)x＋8在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围为________．

4．函数f(x)＝11－x＋x2的最大值是________．

能力提升

5．已知a＝π2－1，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)＞f(n)，则m、n的大小关系为________．

6．[2010·北京卷] 给定函数①y＝x12；②y＝log12(x＋1)；③y＝|x－1|；④y＝2x＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是________．

7．[2011·苏锡常镇二调] 函数f(x)＝2x＋log2x(x∈[1,2])的值域是________．

8．若函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．

9．已知函数f(x)＝ x2＋2x，x≥0，2x－x2，x<0，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是________．

10．已知函数f(x)＝ axx<0，a－3x＋4ax≥0满足对任意x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x2<0成立，则a的取值范围是________．

11．若函数y＝x－bx＋2在(a，b＋4)(b<－2)上的值域为(2，＋∞)，则ab＝________.

12．已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，当n∈N*时，f(n)∈N*，若f[f(n)]＝3n，则f(5)的值等于________．

江苏书人教育培训中心2013年暑假 新高一数学第16讲函数的性质

第1页 共4页 新高一数学第16讲 函数的单调性

一、知识要点

1.函数单调性的定义：一般地，设函数f（x）的定义域为D：如果对于属于D内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2当x 1 ＜x 2时，都有 f（x1）＜f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是增函数.

如果对于属于D内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x 1 ＜x 2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是减函数.

如果函数y ＝f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有严格的单调性，这一区间叫做y＝f（x）的单调区间，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.

注意：①函数的单调性也叫函数的增减性.

②函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.

③判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：

a.设x1、x2∈给定区间，且x 1 ＜x 2

b.计算f（x1）－f（x2）至最简;

c.判断上述差的符号;

d.下结论(若差＜0，则为增函数；若差＞0，则为减函数)

2. 注意函数单调性的几种不同的表述形式：设0f1212,,,xxabxx那么：

12120xxfxfx12120fxfxxxfx在[a,b]上是增函数；

12120xxfxfx12120fxfxxxfx在[a,b]上是减函数；

3. 函数单调性的运用：① 比较函数值的大小；② 解抽象不等式；③ 求参数的范围。

4.常用结论：

①函数fx与fx+c(c为常数)具有相同的单调性；

②当c＞0时,函数fx与cfx具有相同的单调性；当c＜0时,函数fx与cfx具有相反的单调性；

备课资料

1.复习函数单调性的概念

（1）复述函数单调性的概念.（学生完成）

（2）画图并结合你所画出的图象分别说明在某一个闭区间［a，b］（b＞a）上单调的函数其图象变化的趋势.（分别画出在某一区间［a、b］上递增（减）的函数图象，指出图象的变化趋势）

（3）结合图象，请指出函数值变化的趋势，你能从中得到一些你认为有价值的结论吗？

2.求函数单调区间的方法及几个常用结论

（1）求函数的单调区间，必须先求函数的定义域.然后用定义法、图象法、复合函数法.

（2）讨论复合函数y＝f［φ（x）］的单调性时要注意两点：

①若u＝φ（x），y＝f（u）在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则y＝f［φ（x）］为增函数；

②若u＝φ（x），y＝f（u）在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则y＝f［φ（x）］为减函数.

（3）若函数f（x）、g（x）在给定的区间上具有单调性，利用增（减）函数的定义容易证得，在这个区间上：

①函数f（x）与f（x）+C（C为常数）具有相同的单调性.

②C＞0时，函数f（x）与C·f（x）具有相同的单调性；C＜0时，函数f（x）与C·f（x）具有相反的单调性.

③若f（x）≠0，则函数f（x）与)(1xf具有相反的单调性.

④若函数f（x）、g（x）都是增（减）函数，则f（x）+g（x）仍是增（减）函数.

⑤若f（x）＞0，g（x）＞0，且f（x）与g（x）都是增（减）函数，则f（x）·g（x）也是增（减）函数；若f（x）＜0，g（x）＜0，且f（x）与g（x）都是增（减）函数，则f（x）·g（x）是减（增）函数.

3.信息技术的使用

创设如下的教学情境让学生体会单调函数的数量变化规律：

（1）用计算器或计算机作出函数y=x2的图象；

（2）观察函数y=x2的图象，并描述该图象的变化规律（可引导学生观察图象的升降情况）；

（3）在函数y=x2的图象上任找一点P，并测出其坐标；