高三数学一轮复习学案6：函数的单调性与最值

2021年新高考数学一轮专题复习

第05讲-函数的单调性与最值

一、考情分析

借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意

义．

二、知识梳理

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任

意两个值x

1，x

2，改变量Δx＝x

2－x

1>0，则当

Δy＝f(x

2)－f(x

1)>0时，就称

函数y＝f(x)在区间M上是增

函数Δy＝f(x

2)－f(x

1)<0时，就称函数y

＝f(x)在区间M上是减函数

图象

描述自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调

性，区间M称为单调区间.

2.函数的最值

前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；

(2)存在x

0∈I，使得f(x

0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；

(4)存在x

0∈I，使得f(x

0)＝M

结论M为最大值M为最小值

[方法技巧]

1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处

取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).

2.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1

f（x）的单调性相反.

3.“对勾函数”y＝x＋a

x(a>0)的增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)；单调减区间是[－a，0)，

(0，a].

三、经典例题

考点一确定函数的单调性(区间)

【例1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，

对于任意的x

1，x

2∈[a，b](x

1≠x

2)，下列结论不正确的是()

A．

12

12fxfx

xx

>0

B．f(a)

1)

2)

C．(x

1－x

2)[f(x

1)－f(x

2)]>0

D．

21

21xx

fxfx

2021届高三高考数学理科一轮复习知识点

专题2.2 函数的单调性与最值

【核心素养分析】

1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．

2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.

3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象能力。

【重点知识梳理】

知识点一 函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数 减函数

定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2

当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数

图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

知识点二 函数的最值

前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M

结论 M为最大值 M为最小值

【特别提醒】

1.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1f（x）的单调性相反.

2.“对勾函数”y＝x＋ax(a>0)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)；单调减区间是[－a，0)，(0，a].

【典型题分析】

高频考点一

确定不含参函数的单调性(区间)

例1.（2020·新课标Ⅱ）设函数()ln|21|ln|21|fxxx，则f(x)（ ）

A. 是偶函数，且在1(,)2单调递增 B. 是奇函数，且在11(,)22单调递减

C. 是偶函数，且在1(,)2单调递增 D. 是奇函数，且在1(,)2单调递减

【答案】D

【解析】由ln21ln21fxxx得fx定义域为12xx，关于坐标原点对称，

第7讲 函数的单调性与最值

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数 减函数

定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D

当x1

图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是 或 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值

前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

条件 (1)∀x∈I，都有 ；

(2)∃x0∈I，使得 (1)∀x∈I，都有 ；

(2)∃x0∈I，使得

结论 M为最大值 M为最小值

➢ 考点1 函数的单调性

[名师点睛]

确定函数单调性的四种方法

(1)定义法：利用定义判断．

(2)导数法：适用于初等函数可以求导的函数．

(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．

(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．

[典例]

1．（2022·全国·高三专题练习）函数2()23fxxx的单调递增区间是（ ）

A．(,1] B．[3,) C．(,1] D．[1,)

2．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数()1axfxx（0a）在(11)，上的单调性.

[举一反三] 1．（2022·全国·高三专题练习）函数222xxy的单调递增区间是（ ）

A．1,2 B．(,1]

C．112， D．12，

2．（2022·全国·高三专题练习）函数213log412yxx单调递减区间是（ ）

第二节函数的性质

第1课时 系统知识一一函数的单调性与最值、奇偶性、周期性

函数的单调性

1.单调函数的定义

增函数 减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为1 ,如果对于定义域1内某个区间D

上的任意两个自变量 x1, x2

定义 当 X1f(X2),那

么就说函数f(x)在区间D上是增 么就说函数f(x)在区间D上是减

函数 函数

图象描述

| r | *1

自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的

2.单调区间的定义

若函数y= f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数 y= f(x)在这一区间上具有(严

格的)单调性，区间 D叫做函数y= f(x)的单调区间.

［点拨］(1)函数单调性定义中的 Xi , X2具有以下三个特征：一是任意性，即 任意两数

Xi, D ”，任意”两字决不能丢；二是有大小，即 XiVX2(或X1>X2)；三是同属一个单调区

间，三者缺一不可.

⑵若函数在区间D上单调递增(或递减),则对D内任意的两个不等自变量 X1, X2的值,

都有fXL二竺 或fXk 4竺<。.

X1 — X2 X1— X2 /

(3)函数f(X)在给定区间上的单调性，是函数在此区间上的整体性质，不一定代表在整 个定义域上有此性质.

［谨记常用结论］

(1) 函数f(X)与f(x)+ c(c为常数)具有相同的单调性.

(2) k>0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同；k<0时，函数f(x)与kf(x)单调性相反.

1

⑶若f(x)恒为正值或恒为负值，贝y f(x)与具有相反的单调性.

⑷若f(x), g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于零时， f(x) •(x)是增(减)函数；当两

者都恒小于零时，f(x) g(x)是减(增)函数.

(5)在公共定义域内，增+增=增，减+减=减，增—减=增，减—增=减.

［小题练通］

1. ［人教A版教材P39B组T1］函数f(x)= x2— 2x的单调递增区间是 ______ .