高考数学二轮复习数学思想领航一函数与方程思想专题突破讲义文

高考数学二轮复习数学思想领航一函数与方程思想专题突破讲义文

一、函数与方程思想

函数思想 方程思想

函数思想的本质是抛开所研究对象的非

方程思想的本质就是将所求的量设

数学特点，用联系和变化的看法提出数学对

成未知数，依据题中的等量关系，列方

象，抽象其数学特点，成立各变量之间固有

程( 组 ) ，经过解方程 ( 组) 或对方程 ( 组)

的函数关系，经过函数形式，利用函数的有

进行研究，以求得问题的解决

关性质，使问题获得解决

函数与方程思想在必定的条件下是能够互相转变的，是相辅相成的．函数思想重在对问题进行动向的研究，方程思想则是在动中求解，研究运动中的等量关系

方法一 点坐标代入函数 ( 方程 ) 法

模型解法

点坐标代入函数 ( 方程 ) 法是指把点“放到”函数图象中去“入套”，经过结构方程求解参数

的方法． 此方法合用于已知函数或函数图象， 给出知足条件的点坐标， 求此中的参数问题． 破

解此类题的重点点：

①点代入函数，把所给点坐标代入已知函数的分析式中，获得对于参数的方程或不等式．

②解含参方程，求解对于参数的方程或不等式．

③查验得结论，得出参数的值或取值范围，最后辈入方程或不等式进行查验．

典例 1 函数 y＝ ax ( a>0，且 a≠1) 的反函数的图象过点 ( a， a) ，则 a 的值为 ( )

A．2 B ．3

1 1

C． 2 或2D.

2

分析

因为函数

y＝ ax ( a>0，且

a≠1) 的反函数为

y＝log

ax( a>0，且

a≠1) ，且

y＝ log ax

的图

象过点 ( a， a) ，

所以 a＝log

a a，所以 aa＝ a，

1 1

所以 a＝2，查验易知当 a＝ 2时，函数存心义．应选 D.

答案 D

思想升华 应用此方法的易错点是忘掉查验，在解出方程后，必定要回头望，把所求的解代

入原函数中查验能否存心义．

3

追踪操练 1 函数

y ＝ log a ( >0，且 ≠1) 的反函数的图象过点 ( ， ) ，则

a 的值为 ________．

x a a a a 高考数学二轮复习数学思想领航一函数与方程思想专题突破讲义文

1 答案

3

3 x

分析 因为函数 y＝ log ax( a>0，且 a≠1) 的反函数 y＝ a ( a>0，且 a≠1) 的图象过点 ( a， a) ，

3

所以 a＝ aa，

即 1

a a ，所以

a 1 1 ＝ ＝ . 经查验知 ＝ 切合要求．

a3 3 a 3

方法二 平面向量问题的函数 ( 方程 ) 法

模型解法

平面向量问题的函数 ( 方程 ) 法是把平面向量问题，经过模、数目积等转变为对于相应参数的

函数 ( 方程 ) 问题，进而利用有关知识联合函数或方程思想来办理有关参数值问题．破解此类

题的重点点：

①向量代数化，利用平面向量中的模、数目积等联合向量的地点关系、数目积公式等进行代

数化，获得含有参数的函数 (方程)．

②代数函数 ( 方程 ) 化，利用函数 ( 方程 ) 思想，联合相应的函数 ( 方程 ) 的性质求解问题．

③得出结论，依据条件成立相应的关系式，并获得对应的结论．

典例2 已知

a ， ， 为平面上的三个向量，又

a ，

b 是两个互相垂直的单位向量，向量

c 满

b c

足 | c| ＝3， c·a＝ 2， c·b＝ 1，则对于随意实数 x， y， | c －xa－ yb| 的最小值为 ______．

分析 由题意可知 | a| ＝ | b| ＝ 1，

a·b＝ 0，又 | c| ＝ 3， c·a＝ 2，c·b＝ 1，

所以 | c－ xa－ yb| 2

2 2 2 2 2

xc·a－ 2yc·b＋ 2xya·b ＝ | c| ＋ x | a| ＋ y | b| － 2

＝ 9＋ x2 ＋y2－ 4x－ 2y

＝ ( x－2) 2＋ ( y－ 1) 2＋ 4，

当且仅当 x＝ 2，y＝ 1 时， | c－ xa－ yb| 2min＝ 4，

所以 | c－ xa－ yb| 的最小值为 2.

答案 2

思想升华 平面向量中含函数 ( 方程 ) 的有关知识，对平面向量的模进行平方办理，把模问题

转变为数目积问题，再利用函数与方程思想来剖析与办理，这是解决此类问题一种比较常有

的思想方式．

追踪操练 2 已知

e 1， 2 是平面上两互相垂直的单位向量，若平面向量

b 知足 | | ＝2， 1

e b b·e

＝ 1， b·e＝ 1，则对于随意 x，y∈ R， | b－ ( xe ＋ ye )| 的最小值为 ________．

2 1 2

答案 2

分析 | b－ ( xe1＋ ye 2)| 2 2 2 2 2 2 2 2 2

＝b ＋ x e1＋ y e2－ 2xb·e1－ 2yb·e2＋ 2xye1· e2＝ 2 ＋ x ＋y － 2x－ 2y 高考数学二轮复习数学思想领航一函数与方程思想专题突破讲义文

＝ ( x－1) 2＋ ( y－ 1) 2＋2≥2，

1 2 2

获得最小值，此时 1 2

当且仅当 x＝ 1，y＝ 1 时， | b－ ( xe ＋ ye )| | b－ ( xe ＋ye )| 获得最小值 2.

方法三 不等式恰成立问题函数 (方程)法

模型解法

含参不等式恰成立问题函数 ( 方程 ) 法是指经过结构函数，把恰成立问题转变为函数的值域问

题，进而获得对于参数的方程的方法．破解此类题的重点点：

①灵巧转变，即“对于

x 的不等式

f (

x )< ( ) 在区间

D 上恰成立”转变为“函数

y ＝ (

x ) 在

D g a f

上的值域是 ( －∞， g( a)) ”；“不等式 f ( x)> g( a) 在区间 D上恰成立”转变为“函数 y＝ f ( x)

在 D上的值域是 ( g( a) ，＋∞ ) ”．②求函数值域，利用函数的单一性、导数、图象等求函数的值域．

③得出结论，列出参数 a 所知足的方程，经过解方程，求出 a 的值．

x x2 9 1

典例 3 对于 x 的不等式 e － 2 －1－ a－ 4 x≥0在 2，＋∞ 上恰成立，则 a 的取值会合为

________．

x 1 2

x x2 9 1 e － 2x －1

分析 对于 x 的不等式 e － 2 － 1－ a－ 4 x≥0在 2，＋∞ 上恰成立 ? 函数 g( x) ＝ x

1 9

在 2，＋∞ 上的值域为 a－4，＋∞ .

ex x－ 1 －1 x2＋ 1

因为 g′(x) ＝ 2

，

x2

x ( x－ 1) 1 2 1 ， 令 φ ( x) ＝ e － x ＋ 1， x∈ ，＋∞

2 2

则 φ ′(x) ＝ x(e x － 1) ．

1

因为 x≥2，所以 φ ′(x)>0 ，

1

故 φ ( x) 在 2，＋∞ 上单一递加，

所以 φ( x) ≥ φ 1 7 e

2 ＝ － >0.

8 2

1

所以 g′(x)>0 ，故 g( x) 在 2，＋∞ 上单一递加，

1

1

1 e2 1 9 8

则 g( x) ≥ g 2 ＝

＝ 2 e－ 4， 1 2 高考数学二轮复习数学思想领航一函数与方程思想专题突破讲义文

所以

9 9

a－4＝ 2 e－ 4，解得

a＝ 2 e，

所以 a 的取值会合为

答案 {2 e}

{2

e} ．

思想升华 求解此类含参不等式恰成立问题时注意与含参不等式恒成立问题划分开，含参不等式恰成立问题一般转变为求函数的值域，得参数的方程；而含参不等式恒成立问题一般转变为最值问题．

追踪操练 3 对于 x 的不等式 x 4

a 2 >0 在(2 ，＋∞ ) 上恰成立，则 a 的取值会合为 ＋ －1－ ＋ 2

x a

__________．

答案 { － 1,3}

4 2 4

分析 对于 x 的不等式 x＋x－ 1－ a ＋2a>0 在 (2 ，＋∞ ) 上恰成立 ? 函数 f ( x) ＝ x＋ x在(2 ，＋

∞) 上的值域为 ( a2 －2a＋ 1，＋∞ ) ．

4

由 f ( x) ＝ x＋ x，x∈(2 ，＋∞ ) ，

4 x2－ 4

可得 f ′(x) ＝ 1－x2＝ x2 >0，

4

所以 f ( x) ＝ x＋ x在 (2 ，＋∞ ) 上为单一递加函数，

所以 f ( x)> f (2) ＝4.

又对于

x

的不等式 4 2

x＋ x>a － 2a＋ 1

在(2 ，＋∞ ) 上恰成立，所以

2a－2a＋ 1＝ 4，解得

a＝－ 1

或 a＝ 3.