2009年数学四试题 考研数学真题及解析

2006年全国硕士研究生入学考试数学（三）

一 填空

(1)11lim_________nnnn

(2)设函数()x2fx在的某领域内可导,且,21fxfxef,则2_________f

(3)设函数()fu可微,且102f,则224Zfxy在点(1,2)处的全微分1,2_________dz

(4)设矩阵2112A,E为2阶单位矩阵,矩阵E满足BA=B+2E,则_________B

(5)设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间0,3上的均匀分布,则max,1_________PXY

(6)设总体X的概率密度为121,,,......2xnfxexxxx为总体的简单随机样本,其样本方差2S,则E2S=__________

二 选择题

(7) 设函数yfx具有二阶导数,且0,0,fxfxx为自变量x在点0x处的增量,ydy与分别为fx在点0x处对应的增量与微分,若0x,则 ( )

(A)0dyv

(B)0ydy

(C)0ydy

(D)0dyy

(8) 设函数fx在x=0处连续,且220lim1nfnn,则

(A)'000ff且存在

(B)'010ff且存在 (C)'000ff且存在

(D)'010ff且存在

(9) 若级数1nna收敛,则级数 ( )

(A)1nna收敛

(B)11nnna收敛

(C)11nnnaa收敛

(D)112nnnaa收敛

(10) 设非齐次线性微分方程xxyPyQ有两个的解12,,yxyxC为任意常数,则该方程通解是:

(A)12Cyxyx收敛

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)当0x时,sinfxxax与2ln1gxxbx等价无穷小,则

(A)11,6ab (B)11,6ab

(C)11,6ab (D)11,6ab

(2)如图,正方形,1,1xyxy被其对角线划分为四个区域1,2,3,4kDk,coskkDIyxdxdy,则14maxkkI

(A)1I (B)2I

(C)3I (D)4I

(3)设函数yfx在区间1,3上的图形为

则函数0xFxftdt的图形为 1 ()fx

-2 0 2 3 x -1 O (A) (B)

(C)

(D)

(4)设有两个数列,nnab,若lim0nna,则 ()fx

0 2 3 x 1 -2

-1 1 ()fx

0 2 3 x 1 -1 1 ()fx

0 2 3 x 1 -2

-1 1 ()fx

0 2 3 x 1 -2

-1 1 (A)当1nnb收敛时,1nnnab收敛.

(B)当1nnb发散时,1nnnab发散.

(C)当1nnb收敛时,221nnnab收敛.

(D)当1nnb发散时,221nnnab发散.

(5)设123,,ααα是3维向量空间3R的一组基,则由基12311,,23ααα到基122331,,αααααα的过渡矩阵为

(A)101220033 (B)120023103

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学农学试题

一、选择题：1~8小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。

（1）在(,)内函数tanxyx的可去间断点的个数为（）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

（2）函数2ln(1)yx的单调增加图形为凹的区间是（）

（A）（-，-1） （B）（-1，0） （C）（0，1） （D）（1，+）

（3）函数220()xxtfxedt的极值点为x=（）

（A）12 （B）14 （C）14 （D）12

（4）设区域D=22{(,)|2,0}xyxxyxy，则在极坐标下二重积分xydxdy=（）

（A）2cos220coscossindrdr （B）2cos320coscossindrdr

（C）2cos20coscossindrdr （D）2cos30coscossindrdr

（5）设矩阵142242Aaba的秩为2，则（）

（A）a=0,b=0 （B）a=0,b0 （C）a0,b=0 （D）a0,b0

（6）设A为3阶矩阵，A为A的伴随矩阵，A的行列式|A|=2，则|-2A|=（）

（A）52 （B）32 （C）32 （D）52

（7）设事件A与事件B互不相容，则（）

（A）()0PAB （B）()()()PABPAPB

（C）()1()PAPB （D）()1PAB

（8）设随机变量X的分布函数为1()0.3()0.72xFxx其中()x为标准正态分布寒素，则EX=（）

（A）0 (B)0.3 (C)0.7 (D)1

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)当时,与等价无穷小,则

(A) (B)

(C) (D)

【考点分析】：等价无穷小，洛必达法则，泰勒公式

【求解过程】：

 方法一：利用洛必达法则和等价无穷小

0x时，ln(1)~bxbx

2320000()sinsin1coslimlimlimlim1()ln(1)3xxxxfxxaxxaxaaxJgxxbxbxbx

1a否则，J

2220011cos12limlim1336xxxxJbxbxb16b。选A

 方法二：利用泰勒公式或者三角函数的幂级数展开式

由三角函数的幂级数展开式：357111sin3!5!7xxxxx

所以，3331sin()(0)6axaxaxoxx

由泰勒公式：3331sin()(0)6axaxaxoxx

332301(1)()sin6lim1ln(1)xaxxoxxaxJxbxbx

1a，否则J116Jb16b。选A

(2)如图，正方形{(,)|1,1}xyxy被其对角线划分为四个区域(1,2,3,4)kDk，coskkDIyxdxdy，则14maxkkI

(A) (B) (C) (D) 0xsinfxxax2ln1gxxbx11,6ab11,6ab11,6ab11,6ab1I2I3I4I

【考点分析】：利用对称性化简二重积分，二重积分的估值

【求解过程】：

1234111222331444(,)cos,cos,(,)0,0cos,(,)0,cos,(,)0,0cos,(,)0,ADDDDfxyyxIyxdxdyDfxyIIyxdxdyDxfxyyIIyxdxdyDfxyIIyxdxdyDxfxyyI记在上则，关于轴对称，且关于为奇函数，则在上则，关于轴对称，且关于为奇函数，则所以选择。