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2003年数学四试题 考研数学真题及解析

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1 2003年考研数学（四）试题

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）极限xxx20)]1ln(1[lim= - .

（2）dxexxx11)(= - .

（3）设a>0，，xaxgxf其他若,10,0,)()(而D表示全平面，则DdxdyxygxfI)()(= - .

（4）设A,B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵. 已知AB=2A+B,B=202040202,则

1)(EA= - .

（5）设n维向量0,),0,,0,(aaaT；E为n阶单位矩阵，矩阵

TEA， TaEB1，

其中A的逆矩阵为B，则a= - .

（6）设随机变量X 和Y的相关系数为0.5, EX=EY=0,222EYEX, 则2)(YXE= .

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）曲线21xxey

(A) 仅有水平渐近线. (B) 仅有铅直渐近线.

(C) 既有铅直又有水平渐近线. (D) 既有铅直又有斜渐近线. [ ]

（2）设函数)(1)(3xxxf，其中)(x在x=1处连续，则0)1(是f(x)在x=1处可导的

(A) 充分必要条件. （B）必要但非充分条件.

(C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. [ ]

（3）设可微函数f(x,y)在点),(00yx取得极小值，则下列结论正确的是

(A) ),(0yxf在0yy处的导数等于零. （B）),(0yxf在0yy处的导数大于零.

(C) ),(0yxf在0yy处的导数小于零. (D) ),(0yxf在0yy处的导数不存在.

2 [ ]

（4）设矩阵

001010100B.

已知矩阵A相似于B，则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于

(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. [ ]

（5）对于任意二事件A和B

(A) 若AB，则A,B一定独立. (B) 若AB，则A,B有可能独立.

(C) 若AB，则A,B一定独立. (D) 若AB，则A,B一定不独立.

[ ]

（6）设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则

(A) X与Y一定独立. (B) (X,Y)服从二维正态分布.

(C) X与Y未必独立. (D) X+Y服从一维正态分布. [ ]

三 、（本题满分8分）

设

],21,0(,)1(11sin1)(xxxxxf

试补充定义f(0),使得f(x)在]21,0[上连续.

四 、（本题满分8分）

设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222vfuf，又)](21,[),(22yxxyfyxg,求.2222ygxg

五 、（本题满分8分）

计算二重积分

.)sin(22)(22dxdyyxeIDyx

其中积分区域D=}.),{(22yxyx

六、（本题满分9分）

设a>1，atatft)(在),(内的驻点为).(at 问a为何值时，t(a)最小？并求出最小值.

七、（本题满分9分）

设y=f(x) 是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点. 若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM

3 的面积之和为3163x，求f(x)的表达式.

八、（本题满分8分）

设某商品从时刻0到时刻t的销售量为kttx)(，).0(],,0[kTt 欲在T 时将数量为A的该商品销售完，试求

(1) t时的商品剩余量，并确定k的值；

(2) 在时间段[0，T]上的平均剩余量.

九、（本题满分13分）

设有向量组（I）：T)2,0,1(1，T)3,1,1(2，Ta)2,1,1(3和向量组（II）：Ta)3,2,1(1，Ta)6,1,2(2，.)4,1,2(3Ta 试问：当a为何值时，向量组（I）与（II）等价？当a为何值时，向量组（I）与（II）不等价？

十、（本题满分13分）

设矩阵aA11121112可逆，向量11b是矩阵*A的一个特征向量，是对应的特征值，其中*A是矩阵A的伴随矩阵. 试求a,b和的值.

十一、（本题满分13分）

设随机变量X的概率密度为

;],8,1[,0,31)(32其他若xxxf

F(x)是X的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.

十二、（本题满分13分）

对于任意二事件A 和B，1)(0,1)(0BPAP，

)()()()()()()(BPAPBPAPBPAPABP

称做事件A和B的相关系数.

(1) 证明事件A和B独立的充分必要条件是其相关系数等于零；

(2) 利用随机变量相关系数的基本性质，证明.1

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【合集】2003-2004年全国硕士研究生招生考试数学试题(数学三)真题解析

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2003年考研数学（三）真题答案

1.【分析】当x

0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.

【详解】当1时，有

,0,0

,0,1

sin1

cos

)(21









xx

xx

xx

xf

若若

显然当2

时，有)0(0)(lim

0fxf

x

，即其导函数在x=0处连续.

2. 【分析】 曲线在切点的斜率为 0，即 y = ′0

，由此可确定切点的坐标应满足的条件，

再根据在切点处纵坐标为零，即可找到2b

与a的关系.

【详解】由题设，在切点处有

03322

axy

，有.22

0ax

又在此点y坐标为0，于是有

030

023

0bxax

,

故.44)3(64222

022

02aaaxaxb

3. 【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当0 ≤x ≤1,0 ≤y −x ≤1

时，被积函数才

不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.

【详解】

DdxdyxygxfI)()(

=dxdya

xyx

10,102

=.])1[(21

021

01

2adxxxadydxax

x

4. 【分析】 这里 ααT

为 n 阶矩阵，而 αT

= α2a2

为数，直接通过 AB =E

进行计算

并注意利用乘法的结合律即可.

【详解】由题设，有

)1

)((TT

aEEAB=TTTT

aaE11=TTTT

aaE)(11

=TTTa

aE21

=E

aaET

)1

21(

,于是有01

21

aa

，即0122

aa

，解得.1,

21

aa

由于A<0,故a=-1.

5.. 【分析】 利用相关系数的计算公式即可.

【详解】 因为

)4.0()()]4.0([()4.0,cov(),cov(XEYEXYEXYZY

=)(4.0)()()(4.0)(YEXEYEYEXYE

=E(XY)–E(X)E(Y)=cov(X,Y),

2003年考研数学一试题及完全解析(Word版)

2003年考研数学一试题及完全解析(Word版)

2003年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷答案解析

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1） )1ln(102)(coslimxxx =e1 .

【分析】 1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(limxgxf)1(=)()1)(lim(xgxfe进行计算求极限均可.

【详解1】 )1ln(102)(coslimxxx=xxxecosln)1ln(1lim20,

而 212cossinlimcoslnlim)1ln(coslnlim02020xxxxxxxxxx，

故 原式=.121ee

【详解2】 因为 2121lim)1ln(1)1(coslim22020xxxxxx，

所以 原式=.121ee

【评注】 本题属常规题型

（2） 曲面22yxz与平面042zyx平行的切平面的方程是542zyx.

【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22yxz切平面的法矢量与}1,4,2{n平行确定.

【详解】 令 22),,(yxzzyxF，则

xFx2，yFy2， 1zF.

设切点坐标为),,(000zyx，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00yx，其与已知平面

042zyx平行，因此有

11422200yx，

可解得 2,100yx，相应地有 .520200yxz

故所求的切平面方程为

0)5()2(4)1(2zyx，即 542zyx.

【评注】 本题属基本题型。

（3） 设)(cos02xnxaxnn，则2a= 1 .

【分析】 将)()(2xxxf展开为余弦级数)(cos02xnxaxnn，其系数计算公式为0cos)(2nxdxxfan.

2003年考研数学试题及答案

2003年考研数学试题及答案

超级狩猎者

1 2003年考研数学（二）真题评注

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1） 若0x时，1)1(412ax 与xxsin是等价无穷小，则a= .

（2） 设函数y=f(x)由方程4ln2yxxy所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是

.

（3） xy2的麦克劳林公式中nx项的系数是 .

（4） 设曲线的极坐标方程为)0(aea ，则该曲线上相应于从0变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 .

（5） 设为3维列向量，T是的转置. 若111111111T，则

T= .

（6） 设三阶方阵A,B满足EBABA2，其中E为三阶单位矩阵，若102020101A，则B .

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）设}{},{},{nnncba均为非负数列，且0limnna,1limnnb,nnclim,则必有

(A) nnba对任意n成立. (B) nncb对任意n成立.

(C) 极限nnncalim不存在. (D) 极限nnncblim不存在. [ ]

（2）设dxxxannnnn123101, 则极限nnnalim等于

(A) 1)1(23e. (B) 1)1(231e.

(C) 1)1(231e. (D) 1)1(23e. [ ] 超级狩猎者

2003年考研数学(一)试题及答案解析

2003年考研数学(一)试题及答案解析

欢迎使用电驴VeryCD

1 2003年考研数学（一）真题评注

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1） )1ln(102)(coslimxxx =e1 .

【分析】 1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(limxgxf)1(=)()1)(lim(xgxfe进行计算求极限均可.

【详解1】 )1ln(102)(coslimxxx=xxxecosln)1ln(1lim20,

而 212cossinlimcoslnlim)1ln(coslnlim02020xxxxxxxxxx，

故 原式=.121ee

【详解2】 因为 2121lim)1ln(1)1(coslim22020xxxxxx，

所以 原式=.121ee

【评注】 本题属常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.24-25 【例1.30-31】.

（2） 曲面22yxz与平面042zyx平行的切平面的方程是542zyx.

【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22yxz切平面的法矢量与}1,4,2{n平行确定.

【详解】 令 22),,(yxzzyxF，则

xFx2，yFy2， 1zF.

设切点坐标为),,(000zyx，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00yx，其与已知平面042zyx平行，因此有 欢迎使用电驴VeryCD

2 11422200yx，

可解得 2,100yx，相应地有 .520200yxz

故所求的切平面方程为

0)5()2(4)1(2zyx，即 542zyx.

【评注】 本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.279 【例10.28】和