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学习改变命运，勤奋成就未来！ 初三数学冲刺班讲义
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第 1 页 共 5 页 第三讲：锐角三角函数（一）
知识点一：锐角三角函数
1、锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。
2、锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即斜边的对边AAsin。
3、锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即斜边的邻边AAcos。
4、锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即的邻边的对边AAAtan。
sin，cos，tan都是一个完整的符号，单独的 “sin”没有意义，其中前面的“∠”一般省略不写；但当用三个大写字母表示一个角时，“∠”的符号就不能省略。
注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。
考点一：锐角三角函数的定义
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=54，则AC：BC：AB=（ ）
A、3：4：5 B、5：3：4 C、4：3：5 D、3：5：4
2、已知锐角α，cosα=35，sinα=_______，tanα=_______。
3、在△ABC中，∠C=90°，若4a=3c，则cosB=______.tanA = ______。
4、在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=13，则BC等于_______。
5、在△ABC中，∠C=90°，若把AB、BC都扩大n倍，则cosB的值为（ ）
A、ncosB B、1ncosB C、cosnB D、不变
考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形
例1、如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AEBC，DFAE，垂足为F，连接DE。
（1）求证：ABE△DFA≌△；
1、（09年湖北仙桃）如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点、C点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC为_____________米(精确到0.1米)．(sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28)
2、（09年湖南怀化）如图，小明从A地沿北偏东30方向走1003m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时小明离A地 m．
3、（09年山东潍坊）如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得30BAD°，在C点测得60BCD°，又测得50AC米，则小岛B到公路l的距离为（ ）米．
A．25
B．253
C．10033
D．25253
4、（09年山东济南）九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得右图所放风筝的高度，进行了如下操作：
（1）在放风筝的点A处安置测倾器，测得风筝C的仰角60CBD∠；
（2）根据手中剩余线的长度出风筝线BC的长度为70米；
（3）量出测倾器的高度1.5AB米．
根据测量数据，计算出风筝的高度CE约为 米．（精确到0.1米，31.73）
5、（09年广东深圳、山东东营）如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:3，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．
6、（09年广东湛江）如图，某军港有一雷达站P，军舰M停泊在雷达站P的南偏东60°方向36海里处，另一艘军舰N位于军舰M的正西方向，与雷达站P相距182海里．求：
（1）军舰N在雷达站P的什么方向？（2）两军舰MN、的距离．（结果保留根号） 第6题图 N M P 北 A B
C
D 6米 52°
35°
(第1题图)
A D B
E C
锐角三角函数的综合应用
1、如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB=AC，若过点C作CD⊥AB于点D．根据图形求tan∠BCD的值．
2、如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，，AC=6，D为AC上一点，若tan∠DBA= ，求AD的长．
513、如图，在△ABC中∠C是锐角，BC＝a，AB＝c．
(1)证明：△ABC的面积S△ABC= acsinB；
(2)若△ABC是等边三角形，边长为4，求△ABC的面积．
4、如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．
(1)求证：△ABF∽△DFE；
(2)若sin∠DFE＝13，求tan∠EBC的值．
．
21OyxBA115、如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过A(－2，－1)，B(1，3)两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D，
(1)求该一次函数的解析式；
(2)求tan∠OCD的值；
(3)求证：∠AOB=135°．
6、已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋m＝0的两根分别为sinθ 和cosθ，且锐角θ 的范围是0°
(1)求m的值； (2)求方程的两根及此时θ 的值．
7、已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10， BD=8．
(1)若AC⊥BD，试求四边形ABCD的面积 ；
(2)若AC与BD的夹角∠AOD=60°，求四边形ABCD的面积；
(3)试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，且∠AOD=θ，AC=a，BD=b，试求四边形ABCD的面积（用含θ，a，b的代数式表示）．
【巩固练习】
1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝45，BC＝10，则AB的值是( )
A．3 B．6 C．8 D．9
2、菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC=45°，OC=2，则点B的坐标为( )
广州卓越一对一初中数学教研部 编著 学生姓名
授课日期
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第一部分：知识点回顾
1．边与边关系：a2＋b2＝c2
2．角与角关系：∠A＋∠B＝90°
3．边与角关系，sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab，cota＝ba
4．仰角、俯角的定义：如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角
叫做俯角。右图中的∠1就是仰角，∠2就是俯角。
坡角、坡度的定义：坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度 (或坡比)，读作i，即i＝ACBC，坡度通常用1:m的形式(注意:坡度一定要写出1:几的形式)，例如上图的1:2的形式。
坡面与水平面的夹角叫做坡角。
从三角函数的概念可以知道，
坡度与坡角的关系是i＝tanB。显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。
第二部分：自我评测
知识点 掌握情况 备注 非常好 一般 有待提高
特殊三角函数的值
坡度计算
三角函数的实际应用
第三部分：例题剖析
例：如图，若∠CAB = 90°，∠C = ∠α，∠BDA = ∠β，CD = m，求AB.
解法：设AB = x，在Rt△BAD中，tantanABxDA，
在Rt△ABC中，tantanABxCA
∵ CA = CD + DA
∴ tantanxxm 通过解方程求出知数x的值 课题 锐角三角函数的实际应用
教学目标 1、 进一步掌握锐角三角函数的定义；
2、 能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题
教学重点 能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题
教学难点 能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题
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