导数在实际生活中的应用

数学爱好者专业精心策划Ｓ高考数学爱好者导数知识是学习高等数学的基础，它在自然科学、工程技术及日常生活等方面都有着广泛的应用．导数是从生产技术和自然科学的需要中产生的，同时，又促进了生产技术和自然科学的发展，它不仅在天文、物理、工程领域有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也是逐渐显示出重要的作用．导数是探讨数学乃至自然科学的重要的、有效的工具之一，它也给出了我们生活中很多问题的答案．诸如生活中的有关环境问题、工程造价最省、容积最大等，本文将介绍如何将生活中的有关数学问题转化为相关的导数问题来求解，以此说明如何应用所学数学知识灵活地应用于生活．类型一环境问题例１烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染，已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比．现有Ａ、Ｂ两座烟囱相距２０ｋｍ，其中Ｂ座烟囱喷出的烟尘量是Ａ的８倍，试求出两座烟囱连线上的点Ｃ，使该点的烟尘浓度最低．分析由题意知要确定某点的烟尘浓度最低，显然其烟尘浓度源自这两座烟囱，与其距离密切相关，因此可考虑先设出与某个烟囱的距离，从而表示出相应的烟尘浓度，再确定其最小值即可．解不妨设Ａ烟囱喷出的烟尘量是１，而Ｂ烟囱喷出的烟尘量为８，设ＡＣ＝ｘ（其中０＜ｘ＜２０），所以ＢＣ＝２０－ｘ，依题意得点Ｃ处的烟尘浓度ｙ＝ｋｘ２＋ｋ·８（２０－ｘ）２（其中ｋ是比例系数，且ｋ＞０）

，ｙ′＝２ｋ（３ｘ－２０）

（３ｘ２＋４００）ｘ２（２０－ｘ）２．令ｙ′＝０得（３ｘ－２０）（３ｘ２＋４００）＝０，又０＜ｘ＜２０，所以ｘ＝２０３．因为当ｘ∈０，２０３"#时，ｙ′＜０；当ｘ∈２０３，２"$０时，ｙ′＞０，故当ｘ＝２０３时，ｙ取得最小值，即当Ｃ位于距点Ａ为２０３ｋｍ时，使该点的烟尘浓度最低．评注在经济高速发展的同时，人们也越来越关心我们赖以生存的环境质量，这提示我们不能仅一味地追求经济效益，同时应当注意保护环境．类型二工程造价问题例２如图所示，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点Ｐ和居民区Ｏ的公路，点Ｐ所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（０°＜θ＜９０°），且ｓｉｎθ＝２５，点Ｐ到平面α的距离ＰＨ＝０．４（ｋｍ）．沿山脚原有一段笔直的公路ＡＢ可供利用．从点Ｏ到山脚修路的造价为ａ万元／ｋｍ，原有公路改建费用为ａ２万元／ｋｍ．当山坡上公路长度为ｌｋｍ（１≤ｌ≤２）时，其造价为（ｌ２＋１）ａ万元．已知ＯＡ⊥ＡＢ，ＰＢ⊥ＡＢ，ＡＢ＝１．５（ｋｍ），ＯＡ＝３’ｋｍ．（１）在ＡＢ上求一点Ｄ，使沿折线ＰＤＡＯ修建公路的总造价最小；（２）

对于

（１）中得到的点Ｄ，在ＤＡ上求一点Ｅ，使沿折线ＰＤＥＯ修建公路的总造价最小；

（３

）

在ＡＢ上是否存在两个不同的点Ｄ′、Ｅ′，使沿折线ＰＤ′Ｅ′Ｏ修建公路的总造价小于（２）中得到的最小总造价，证明你的结论．课余揽胜·数学化□重庆刘紫阳导数在实际生活中应用的

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数学爱好者专数高考业精心策划Ｓ学爱好者ＰＯＡＥＤＢＨ分析由题意知要求修建公路的总造价最小值，可以先建立相应的总造价函数关系式，再确定其最小值即可．解（１）如图，ＰＨ⊥α，ＨＢ"α，ＰＢ⊥ＡＢ，由三垂线定理逆定理知，ＡＢ⊥ＨＢ，所以∠ＰＢＨ是山坡与α所成二面角的平面角，则∠ＰＢＨ＝θ，ＰＢ＝ＰＨｓｉｎθ＝１．设ＢＤ＝ｘ，０≤ｘ≤１．５．则ＰＤ＝ｘ２＋ＰＢ２&＝ｘ２＋１&∈［１，２］．记总造价为ｆ１（ｘ）万元，据题设有ｆ１（ｘ）＝（ＰＤ２＋１＋１２ＡＤ＋ＡＯ）ａ＝ｘ２－１２ｘ＋１１４＋３&()ａ＝ｘ－１４(*２ａ＋４３１６＋３&+*ａ．当ｘ＝１４，即ＢＤ＝１４（ｋｍ）时，总造价ｆ１（ｘ）最小；（２）设ＡＥ＝ｙ，０≤ｙ≤５４，总造价为ｆ２（ｙ）万元，根据题设有ｆ２（ｙ）＝ＰＤ２＋１＋ｙ２＋３&＋１２３２－１４－(*ｙ,-ａ＝ｙ２＋３&－ｙ２+*ａ＋４３１６ａ．则ｆ′２（ｙ）＝ｙｙ２＋３&－１２+*ａ，由ｆ′２（ｙ）＝０，得ｙ＝１；当ｙ∈（０，１）时，ｆ′２（ｙ）＜０，ｆ２（ｙ）在（０，１）内是减函数；当ｙ∈１，５４+*时，ｆ′２（ｙ）＞０，ｆ２（ｙ）在１，５４+*内是增函数．故当ｙ＝１，即ＡＥ＝１时总造价ｆ２（ｙ）最小，且最小总造价为６７１６ａ万元；（３）不存在这样的点Ｄ′、Ｅ′．事实上，在ＡＢ上任取不同的两点Ｄ′、Ｅ′．为使总造价最小，Ｅ显然不能位于Ｄ′与Ｂ之间．故可设Ｅ′位于Ｄ′与Ａ之间，且ＢＤ′＝ｘ１，ＡＥ′＝ｙ１，０≤ｘ１＋ｙ２≤３２，总造价为Ｓ万元，则Ｓ＝ｘ２１－ｘ１２＋ｙ２１＋３&－ｙ１２＋１１４+*ａ．类似于（１）、（２）讨论知，ｘ２１－ｘ１２≥－１１６，ｙ２１＋３&－ｙ１２≥３２，当且仅当ｘ１＝１４，ｙ１＝１同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时ＢＤ′＝１４，ＡＥ＝１，Ｓ取得最小值６７１６ａ，点Ｄ′、Ｅ′分别与点Ｄ、Ｅ重合，所以不存在这样的点Ｄ′、Ｅ′，使沿折线ＰＤ′Ｅ′Ｏ修建公路的总造价小于（２）中得到的最小总造价．评注在经济建设的过程中，常常涉及成本问题，人们总是想利用最少的钱、办最多的事，这就常常要求我们善于将相关的问题恰当地转化为数学问题，从而利用所学知识解决．类型三最省钱车速问题例３统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量ｙ（升）关于行驶速度ｘ（千米／小时）的函数解析式可以表示为：ｙ＝１１２８０００ｘ３－３８０ｘ＋８（０＜ｘ≤１２０）．已知甲、乙两地相距１００千米．（１）当汽车以４０千米／小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（２）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？分析要求确定从甲地到乙地要耗油量，这就涉及行驶时间与车速，因此根据题意先写出耗油量与车速间的关系，再利用导数知识确定其最小值．解（１）当ｘ＝４０时，汽车从甲地到乙地行驶了１００４０＝２．５小时，要耗油１１２８０００×４０３－３８０×４０＋+)８×２．５＝１７．５（升）．所以当汽车以４０千米／小时的速度匀速行驶（下接２１页）课余揽胜·数学化ＡＯＰＨＢＥＤα

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数学爱好者专数高考业精心策划Ｓ学爱好者（上接５３页）时，从甲地到乙地耗油１７．５升；（２）当速度为ｘ千米／小时时，汽车从甲地到乙地行驶了１００ｘ小时，设耗油量为ｈ（ｘ）升，依题意得ｈ（ｘ）＝（１１２８０００ｘ３－３８０ｘ＋８）·１００ｘ＝１１２８０ｘ２－８００ｘ－１５４（０＜ｘ≤１２０），ｈ′（ｘ）＝ｘ６４０－８００ｘ２＝ｘ３－８０３６４０ｘ２（０＜ｘ≤１２０）．令ｈ′（ｘ）＝０得ｘ＝８０．当ｘ∈（０，８０）时，ｈ′（ｘ）＜０，ｈ（ｘ）是减函数；当ｘ∈（８０，１２０）时，ｈ′（ｘ）＞０，ｈ（ｘ）是增函数．当ｘ＝８０时，ｈ（ｘ）取到极小值ｈ（８０）＝１１．２５．因为ｈ（ｘ）在（０，１２０］上只有一个极值，所以它是最小值．所以当汽车以８０千米／小时

的速度匀速

行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为１１．２５升．评注随着经济的迅猛发展，轿车逐渐进入人们的家庭，因此有关车辆的数学问题也就成为我们所熟悉的背景问题，常常就涉及到如何使用更省钱的问题，这个例子给了我们很好的启示．即（１２－２ｘ）（１１－２ｘ）（１０－２ｘ）（１２－ｘ）（１１－ｘ）（１０－ｘ）＝５２１，求得ｘ＝３，１２－３＝９，故该队共有９人．评注设未知数时，为计算方便起见，不一定为所求．四、借助物理知识排列组合中有分类计数原理和分步记数原理．如果把这两个原理分别理解成电学中的并联和串联，并用此思想解答某些问题，显得特别方便快捷．例４甲、乙、丙３人独立地破译１个密码，他们能译出此密码的概率分别为１５、１３、１４，则３人合作能译出此密码的概率为．解析３人破译密码，是相互独立而不互斥的事件，可以看成是并联问题，只要其中有１个或多人译出密码，问题即解决，故３人合作能译出密码的概率为：Ｐ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）＝１－Ｐ（Ａ#·Ｂ#·Ｃ#）＝１－Ｐ（Ａ#）·Ｐ（Ｂ#）·Ｐ（Ｃ#）＝１－（１－１５）（１－１３）（１－１４）＝３５．五、借助表格知识运用表格解概率问题，可以使复杂问题条理化、抽象问题直观化，从而达到化难为易的目的．例５一个均匀的正方体玩具的各个面分别标有数字１，２，３，４，５，６，将这个玩具先后抛掷两次，试问：（１）向上的数之和为５的概率是多少？（２）向上的数之和至少是９的概率是多少？（３）向上的数之和为多少时概率最大？６７８９１０１１１２５６７８９１０１１４５６７８９１０３４５６７８９２３４５６７８１２３４５６７１２３４５６解析将正方体玩具先后抛掷两次可能出现的３６种结果用图表来表示（如图），所有的答案都可在图形中寻找．（１）向上的数之和为５的概率是４３６＝１９；（２）向上的数之和至少是９的概率是１０３６＝５１８；（３）由图知向上的数之和为７时有６种情形，概率最大，最大概率为１６．评注本题用辅助表格的方法来解决，也叫穷举的方法，即把符合条件的完全列举出来．当然，列举的时候要按一定的概率，谨防重复和遗漏．灵活运用概率以外的数学知识解决概率问题，有利于知识间的纵横联系，有利于培养学生的创新思维，让学生使概率融于数学这个大“家庭”中，感觉到概率问题不再孤立．名师点金·方法技巧

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