浅谈导数在物理中的应用
高中物理教学大纲中明确指出“应用数学处理物理问题的能力”是物理教学的一项重要内容,是高考能力考查的重要组成部分。高中数学教材(《人教版选修2～2》下同)中的《导数及其应用》已列入高中数学教学大纲,导数初步知识在物理中的应用,也越来越被广大高中物理教师关注。
1 利用导数求瞬时速度、加速度
数学教材P6内容体现“瞬时速度就是位移s对时间t的导数”。一般的问题,没有必要应用导数求瞬时速度,但复杂一点的问题,写出位移的函数式后再求导来求得瞬时速度,非常方便简捷。
例1、一质点做直线运动,位移与时间的关系为x=15t+t3(m),求当t=2s时的速度、加速度。
解析:瞬时速度等于位移对时间的一阶导数,即v=■=15+3t2,当t=2s时,v=15+3×22=27(m/s)。加速度等于位移对时间的二阶导数或速度对时间的一阶导数,即a=■=■=6t,当t=2s时,a=6×2=12m/s2。
形如x=v0t+■t2位移与时间关系是一元二次方程的,用待定系数法就能确定质点的速度、加速度,但是对于位移与时间的关系是三次方的就无法用待定系数法了,我们用导数很方便地就解决了。
例2、一质点简谐运动的图像如图所示,判断质点在0.7s、1.0s、2.0s、2.2s四个时刻的运动方向。
数学教材P11内容体现导数的几何意义:图像上某点的导数即瞬时速度表示图像在该点的切线的斜率。
解析:根据导数的几何意义,画出各时刻对应的图像上各点的切线,斜率为正则速度方向沿+x,反之为-x,斜率为零则无运动方向。
质点在0.7s时图像斜率为正,所以速度方向为+x;在2.0s、2.2s时图像斜率为负,所以速度方向为-x;在1.0s时图像斜率为零,所以无运动方向。
若根据图像确定质点在该时刻之后的一小段时间内位移的变化(位移的方向、增减),然后确定质点的运动方向。质点在1.0s时刻,学生根据位移的变化判断速度方向可能为-x。事实上,质点在该时刻瞬时速度为零,是没有方向的。这样判断结果与事实不符。
2009------2010学年高一数学必修3导学案 使用时间2010.2 编制人：阮雪剑 张春鑫 审核人： 领导签字： 班级： 小组 ： 姓名： 组内评价： 教师评价：
建立数学模型 导数在实际问题中的应用
学习目标：
掌握导数在解决实际问题中的应用
学习重点难点：
掌握导数在解决实际问题中的应用．
自主学习：
一、知识再现：
利用导数求函数极值和最值的方法
二、新课探究：
导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：
1、与几何有关的最值问题；
2、与物理学有关的最值问题；
3、与利润及其成本有关的最值问题；
4、效率最值问题。
解决实际问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
利用导数解决优化问题的基本思路：
三、例题解析：
例1在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
箱高602xhcm，解法一：设箱底边长为xcm，则得箱子容积
260)(322xxhxxV )600(x． 23()602xVxx )600(x 令 23()602xVxx＝0，
解得 x=0（舍去），x=40， 并求得 V(40)=16 000
由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值
答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3
导数在生活中的应用
导数在生活中的应用如下：
导数是微分学的重要组成部分，是研究函数性质、曲线性态的重要工具,也是解决实际生活中某些优化问题的重要方法。探讨了运用导数求解实际生活中有关用料、成本、利润及选址方面问题的方法。
导或挖安际建治
中的应用
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导数(DeriVatiVe)也叫微商,是一种特殊的极限，它反映了函数中因变量随自变量的变化而变化的快慢程度，是微积分中重要的基础概念是联系初等数学与高等数学的桥梁。
在研究几何、证明不等式等方面起着重要的作用，在探究函数性质、寻求函数极值与最值以及描绘函数图形等方面也起着重要的作用，同时，也为解决某些实际应用问题提供了重要的方法。
在实际生活中经常出现的一些谋求利润最大、耗材最少、或效率最高、位置最佳等与经济或科学研究有关的问题，这些问题称之为优化问题，如何找到解决该类问题的最佳方案是求解该类问题的关键，而利用导数就可以简捷地解决这些问题，从而真正解决我们的实际生活问题。
运用导数求解优化问题的方法与注意事项：实际生活中的优化问题，如选址最佳、用料最省、利润最大等问题，本质上就是最值问题，这些问题与求函数的最值问题有着密切的联系，而这些问题可以转化为函数问题，利用导数知识得以简捷的解决。
导数的应用
的tfι域:由ir≠*y€∕⅛1?KriΨ心贴ΓFszL'解决优化问题的方法：首先对现实问题进行分析，找出各个变量之间的关系，建立相对应的函数关系式，将实际问题转化为用函数表示的数学问题。
再结合实际情况确定自变量的定义域，创造函数在闭区间上求最值的情景，通过对函数求导、确定驻点和不可导点、比较函数在区间端点、极值点和不可导点处的函数值，获得所求函数的最大（小）值，最后将数学问题回归到现实问题,根据数学问题的答案回答优化问题最佳方案或策略。
导数的概念及运算 知识点一：函数的平均变化率 （1）概念： 函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△y=f(x0+△x)-f(x0)，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。 若，，则平均变化率可表示为，称为函数从到的平均变化率。 注意：
①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； ②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。
③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。
（2）平均变化率的几何意义
函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。
如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。
事实上，。
作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。
知识点二：导数的概念：
1．导数的定义：
对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。 即：（或）
注意：
①增量可以是正数，也可以是负数；
②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。
2．导函数：
如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。 注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况。
3．导数几何意义：
（1）曲线的切线
曲线上一点P(x0，y0)及其附近一点Q(x0+△x,y0+△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ，其倾斜角为当点Q(x0+△x,y0+△y)沿曲线无限接近于点P(x0，y0)，即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。
