浅谈导数在实际生活中的一些应用

ｊ　；ｌ　ｉｌＪ｝　；　—　：；ｉ　．　。　。　。　。　。．　浅谈导数在中等数学中的应用①　夏红敏　（辽宁省民政学校　沈阳　１　１　０１６３）　理论前沿　摘要：微积分是数学中的重要内容，其基本理论在实际中有着广泛的应用，同样也是研究高等数学与中等数学关系时不可或缺的部分。　本文试从四个方面论述导数在中学数学中的简单应用。　关键词：导数　函数　单调性　极值　切线　方程　中图分类号：Ｇ６　３　４．６　文献标识码：Ａ　文章编号：１　６７　３—９　７９　５（２０１１）０２（ａ）一００８０—０２　微积分是高等数学中研究微分、积分　以及有关概念和应用的数学分支。内容主　要包括极限、微分学、积分学及其应用。微　积分是与实际应用联系发展起来的，它在　天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学　等自然科学、社会科学及应用科学等多个分　支中，有越来越广泛的应用。微分学当中很　重要的部分就是导数，是一套有关变化率的　理论。导数在求曲线的切线问题、判定函数　的增减性和求函数最大值和最小值等问题　上，有非常重要的应用。初等数学束手无策　的问题，运用导数知识往往迎刃而解，显示　出微积分的非凡威力。本文试从四个方面浅　谈导数在中学数学中的简单应用。　１导数在判断函数单调性方面的应用　函数的单调性是函数的最基本性质之　一，用单调性的定义解决单调性的问题有很　强的技巧性，有时候不容易掌握，而使用导数　知识来判断函数的单调性则更为简便快捷。　例１：试求函数厂（　）＝ｘ．ｅ　的单调减区间　分析：对函数厂（　）＝Ｘ．口　求导，若　厂　）＞０，则函数在该区间上是增函数；若　厂　（　）＜Ｏ，则函数在该区间上是减函数。所　以使．厂　（　）＜０的解集即为函数的单调减区　间。　解：　．‘厂ｆ　）＝　．Ｐ　．‘．／（曲＝　．ｅ　＋　－（Ｐ　）　＝ｅ　＋　．ｅ　＝Ｐ　（　＋１）　令厂　（ｘ）＜０，得ｘ＜－１　所以函数的单调减区间为（ｍ，一１）　用求导数的方法判断函数单调性还可　以转化为证明不等式等问题，在这里就不　一一列举了。　２导数在函数极值问题上的应用　求最值是令很多学生比较头疼的问　题，用初等数学的方法解决起来有时候非　常困难，而利用求导数的方法就会简便很　多。使用导数的方法求最值分为两步进行。　２　１求函数Ｙ＝＿厂（　）在区间（ａ，ｂ）内的极值　（１）求导数ｆ　（　）。　（２）求方程厂　）＝０的根。　（３）检验＿厂　（　）在方程厂　（　）＝Ｏ的根的９　左、右两侧的符号，如果在根的左侧附近为　正，右侧为负，那么函数在这个根处取得极　大值；如果在根的左侧附近为负，右侧为　正，那么函数在这个根处取得极小值。　２　２将Ｙ＝厂（　）在各极值点的极值与ｆ（ａ），　厂（６）比较。其中最大的一个为最大值，最小　的一个为最小值　例２：求函数Ｙ＝　一２ｘ。＋３在［矗２，２１上　的最值。　解：‘．　＝Ｘ　一２ｘ　＋３　．　．Ｙ　＝４ｘ　一４ｘ＝４ｘ（ｘ一１）（　＋１）　令Ｙ　＝０得　＝一１，　，＝０，　＝１　如表ｌ所示。　由上面的图表可知：函数在Ｘ＝一１和　ｘ＝ｌ处取得极小值，极小值为２；在ｘ＝Ｏ处取　得极大值，极大值为３。　而／（一２）＝／（２）＝１１　所以函数Ｙ＝　一２ｘ　＋３在卜２，２】上　的最大值是ｌｌ，最小值是２。　应用导数求最值有很多实际应用的问　题，也不一一举例说明了。　３导数在求平面曲线切线问题中的应　用　我们由求平面曲线的切线斜率问题抽　象出导数的概念，那么导数在求曲线斜率　问题上也就有了重要的意义。导数的几何　意义：函数Ｙ＝／　（　）在点　处的导数　／　（　。）在几何中表示曲线Ｙ＝厂　）在点Ｍ　（　。，厂　（　。））处的切线的斜率，Ｕｉ］ｋ＝厂　（　。）。　表１　例３：求椭圆４　＋Ｙ　＝８在点（１，２）处　的切线方程。　分析：求椭圆在点（１，２）处的切线方程，　首先就是要求切线的斜率，所以问题就转　化为求曲线在点（１，２）处的导数。由于所给　函数为隐函数，所以我们来求该椭圆方程　所确定的隐函数．ｙ的导数÷。　解：方程两边分别对求导，注意是的函　数，得：　８ｘ＋２ｙ　＝¨　４　于是椭圆在点（１，一２）处的切线斜率为　妾　ｚ　：等　：ｚ　因此切线方程为　２：２（　一１），￣ｌｌＪ２ｘ－　）１－４＝０。　４导数在方程根的问题上的应用　微分中值定理是导数应用的理论基　础，并且在实际应用中有着重要的作用。下　面用一道例题来说明罗尔定理在方程根的　问题上的应用。　罗尔定理：如果函数厂　）满足：（１）在　闭区间［ａ，ｂ】上连续。　（２）在开区间（ａ，ｂ）内可导。　（３）在区间断点处的函数值相等，即　ｆ（ａ）＝＿厂（６），那么在（ａ，ｂ）内至少存在一点　，使得函数／（　）在该点的导数等于零，　即／　（　）＝０。　例４：如果　，　２，　３…口　为满足　导＋詈＋．－．＋　－ｏ＋　＋了＋…＋　ｏ的实数，证明方　（下转８２页）　（　２，　１）　ｌ　（１，０）　０　（０，１）　ｌ　（１，２）　Ｏ　＋　０　０　＋　２　个　３　２　个　①作者简介：夏红敏（１　９７４～）：女，辽宁锦州人，辽宁省民政学校讲师。　８　０　中国科教创新导刊Ｃｈｉｎｏ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ　Ｈｅｒａｌ

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浅谈导数在高中数学函数中的简单应用

作者：马武超

来源：《新世纪教育导刊》2013年第09期

【摘要】新课程利用导数求曲线的切线； 判断或论证函数的单调性；函数的极值和最值；证明不等式。

【关键词】导数；函数的切线 ；单调性；极值和最值

导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。新课程增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具。函数是中学数学研究导数的一个重要载体，函数问题涉及高中数学较多的知识点和数学思想方法。近年好多省的高考题中都出现以函数为载体，通过研究其图像性质，来考查学生的创新能力和探究能力的试题。本人结合教学实践，就导数在函数中的应用作个初步探究。

有关导数在函数中的应用主要类型有：求函数的切线，判断函数的单调性，求函数的极值和最值，利用函数的单调性证明不等式，这些类型成为近两年最闪亮的热点，是高中数学学习的重点之一，预计也是“新课标”下高考的重点。

1 用导数求函数的切线

2 用导数判断函数的单调性

方法提升：利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定f（x）的定义域；（2）求导数f′（x）；（3）在函数f（x）的定义域内解不等式f′（x）>0和f′（x）

3 用导数求函数的极值

方法提升：求可导函数极值的步骤是：（1）确定函数定义域，求导数f′（x）；（2）求f′（x）= 0的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根（如x0）的左右侧，导函数f′（x）的符号如何变化，如果f′（x）的符号由正变负，则f（x0）是极大值；如果f′（x）的符号由负变正，则f（x0）是极小值.。注意：如果f′（x）= 0的根x=x0的左右侧符号不变，则f（x0）不是极值。转贴于 中国论文下载中心 http：//。

浅谈利用导函数解答不等式问题

摘要:高中数学学科在培养学生良好思维能力和解决实际问题的能力方面有着重要的作用，其中导函数和不等式等模块内容更是高中数学学科教学的重要组成部分，对于高中学生数学学科知识体系框架的构建和综合知识能力的培养，起着不可或缺的作用。因此本文将针对利用导函数解决不等式问题可行性及相关策略进行调研和分析，为进一步推进高中数学高效课堂构建提供相关参考经验。

关键词:导函数；高中数学；综合实践能力；不等式问题；解题思维全面发展；

一、前言

众所周知，导函数在数学各类问题的解决和疑难攻克领域中有着广泛的应用，尤其在高中数学中，对于一元二次不等式和基本不等式等问题进行解决的过程中，通过导函数的结合，有效把握不等式问题的核心要点，既能够有效深化高中学生对数学知识体系间的融会贯通，又能够在引导学生利用导函数对于不等式相关问题进行思考和解决的过程中，提高学生统筹分析问题和实际解决问题的能力。

二、利用导函数解决不等式问题相关方法

（一）构造函数求解证明

在高中数学课程教学中利用导函数解决不等式问题时，我们可以利用构造函数的方法进行解题，首先对于题给信息进行分析，并适当对于不等式进行变形，在后续利用导函数求解不等式相关问题的过程中构造函数，以确保整体解题过程的灵活性和简便性。在对于不等式相关问题进行解决的过程中，构造函数既可以结合不等式直接构造，也可以对于不等式进行适当变形再构造，进而将不等式相关解决问题简化为求解函数的最值问题。再根据题给信息，对于构造函数进行求导研究，在分析构造函数单调性极值和最值的过程中，辅助解决不等式相关问题。例如，题目已知m∈R，函数f（x）=（x2+mx+m）ex 。当m=0时，求证f（x）≥x2+x3．在利用导函数对于不等式进行证明的过程中，便可通过构造的方法证明。

当m=0时，f（x）=x2 ?ex，不等式等价于 x2 ?ex≥x2+x3 ，令g（x）=ex -x-1，当x＜0时，g′（x）=ex -1＜0，故g（x）=ex -x-1 在（-∞，0）上是减函数．当x＞0时，g′（x）=ex -1＞0，故g（x）=ex -x-1 在（0，+∞）上是增函数．故g（x）=ex -x-1 在（-∞，+∞）上的最小值为g（0）=0，故g（x）≥0恒成立，x2（ex -x-1）≥0成立，故不等式成立。在这一过程中，充分利用了导函数的极值和最值求解性质，以构造函数的方法有效辅助学生对于题意进行分析和理解。构造函数的方法简化了题给信息的难度，增强了学生对数学学科知识内容的融会贯通。

浅谈一元隐函数求导方法

摘要：

一元隐函数求导方法是微积分中的一项重点内容，它具有重要的应用价值。在本文中，我们将详细介绍一元隐函数的概念、基本性质、求导方法以及实例应用。本文不仅适合于初学者，同时也对于拓展和深入研究微积分理论的读者具有参考价值。

关键词：

一元隐函数；求导方法；微积分；应用

正文：

一、概念

所谓一元隐函数，是指由一个自变量和一个或多个函数构成的方程，其中一个函数表示成其他所有函数关于自变量的隐函数形式。其形式可以表示为：

F(x,y)=0

其中，x 为自变量，y 为一元函数，F(x,y) 为二元函数。这个等式中的 y 就是一元隐函数，它只取决于 x 的值。

二、基本性质

对于一元隐函数，存在三个重要的性质，分别是：

1.存在性

对于形如 F(x,y)=0 的一元隐函数，如果存在一个点 (x0,y0) 使得 F(x0,y0)=0，且在该点处 y 作为 x 的函数存在，那么该一元隐函数存在。

2.唯一性

如果一元隐函数存在，那么它是唯一的。也就是说，在同一区间内，同一自变量所对应的函数值只有一个。

3.连续性

如果 F(x,y) 在点 (x0,y0) 处连续且 Fy(x0,y0)≠0，那么 y 作为 x

的函数也在点 x0 处连续。

三、求导方法

对于一元隐函数的求导，有两种不同的方法可以使用。

1.牛顿-莱布尼茨公式法

该方法是利用牛顿-莱布尼茨公式进行求导。根据该公式，如果 y 是由一个方程 F(x,y)=0 决定的一元隐函数，那么该函数的导数可以表示为：

dy/dx=-Fx/Fy

其中，Fx 和 Fy 分别代表 F(x,y) 对 x 和 y 的偏导数。

2.隐函数定理法

该方法是利用隐函数定理进行求导。隐函数定理是指，在一个充分满足条件的函数系统中，方程可以用一个函数表示成另一个函数关于自变量的隐函数形式。根据该定理，对于方程

F(x,y)=0，它的一阶偏导数可以表示为：