高中数学模型总结归纳

高中生物学中的数学模型山东省嘉祥县第一中学孙国防高中生物学中的数学模型是对高中生物知识的高度概括，也是培养学生分析推理能力的重要载体，本文通过归纳高中生物学中的数学模型以提高学生的分析推理能力。

1. 细胞的增殖【经典模型】间期表示有丝分裂中各时期DNA、染色体和染色单体变化减数分裂中各时期DNA、染色体和染色单体变化【考查考点】细胞增殖考点主要考察有丝分裂、减数分裂过程中DNA、染色体、染色单体的数量变化以及同源染色体的行为，并以此为载体解释遗传的分离定律和自由组合定律。

2. 生物膜系统【经典模型】【考查考点】3物质跨膜运输【经典模型】【考查考点】自由扩散、协助扩散和主动运输的影响因素和特点。

4. 影响酶活性的因素【经典模型】【考查考点】影响酶活性的因素，主要原因在于对酶空间结构的影响。

酶促反应是对酶催化的更高层次的分析。

5. 影响细胞呼吸及光合作用的因素【经典模型1】【考查考点】真正光合速率= 净光合速率+呼吸速率光合作用实际产O2量＝实测O2释放量＋呼吸作用耗O2光合作用实际CO2消耗量＝实测CO2消耗量＋呼吸作用CO2释放光合作用葡萄糖生产量＝光合作用葡萄糖积累量＋呼吸作用葡萄糖消耗量【经典模型2】【考查考点】氧气浓度对有氧呼吸和无氧呼吸的影响，以及在种子和蔬菜储存中的原因。

6 基因的分离和自由组合定律【典型例题】男性并指、女性正常的一对夫妇，生了一个先天性聋哑的儿子，这对夫妇以后所生子女，（并指是常染色体显性遗传病，两种病均与性别无关）正常的概率： _________同时患两种病的概率： _________患病的概率： _________只患聋哑的概率：_________只患并指的概率：_________只患一种病的概率：_________7. 中心法则【经典模型】DNA分子的多样性：４ＮDNA的结构：Ａ＝Ｔ，Ｇ＝Ｃ，Ａ＋Ｇ＝Ｔ＋Ｃ，（Ａ１％＋Ａ２％）／２＝Ａ％，Ａ１％＋Ｔ１％＝Ａ２％＋Ｔ２％＝Ａ％＋Ｔ％DNA的复制：某DNA分子复制Ｎ次所需要的游离的鸟嘌呤脱氧核苷酸：（２Ｎ－１）Ｇ１５Ｎ标记的DNA分子在１４Ｎ的原料中复制n次，含１５Ｎ的DNA分子占总数的比例：２／２n ＤＮＡ中的碱基数和其控制的蛋白质中的氨基酸数的比例关系：6:1【考查考点】DNA的结构，碱基组成，半保留复制和基因的表达。

DO yAFBClx【模型解题法】高中数学抛物线焦点弦模型【模型思考】过抛物线焦点的直线，交抛物线于A B 、两点，则称线段AB 为抛物线的焦点弦。

过抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB 的端点,A B 分别抛物线准线l 的垂线，交l 于D C 、，构成直角梯形ABCD （图1）.这个图形是抛物线 问题中极为重要的一个模型，围绕它可以生出许 多重要的问题，抓住并用好这个模型，可以帮助 我们学好抛物线的基本知识与基本方法，同时， 它又体现了解析几何的重要思想方法。

在图1中， 有哪些重要的几何量可以算出来？又可以获得哪 些重要结论呢?【模型示例】设直线AB 的倾角为θ，当=90AB x θ⊥轴（）时，称弦AB 为通径。

例1. 求通径长. 例2． 求焦点弦AB 长. 例3. 求AOB ∆的面积.例4. 连,(2)CF DF CF DF ⊥，求证图.例5. 设准线l 与x 轴交于点E ，求证：FE 是CE 与DE 的比例中项，即 2FE CE DE =⋅.例6. 如图3，直线AO 交准线于C ，求证：直线 x BC //轴. （多种课本中的题目） 例7．设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于B A ,两点.点C在抛物线的准线上，且x BC //轴. 证明直线AC 经过原点. 例8. 证明：梯形中位线MN 长为2sin pθ. 例9. 连,AN BN AN BN ⊥、图（5），证明：. 例10. 求证：以线段AB 为直径的圆与准线相切. 例11. 连NF ，证明：NF ⊥AB ，且2NFAF BF =⋅.例12. 已知抛物线y x 42=的焦点为F ，AB 是抛物线的焦点弦，过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.（I ）证明：点M 在抛物线的准线上； （Ⅱ）求证：FM →·AB →为定值； FBAy图1【模型解析】设直线AB 的倾角为θ，当=90AB x θ⊥轴（）时，称弦AB 为通径。

○高○考中常用函数模型．．．．归纳及应用 山东莘县观城中学 郭银生 岳红霞高中数学中，函数是重点内容，函数思想贯穿于数学的每一个领域，函数图象是数形结合的常用工具。

复杂的函数问题也是有简单的基本初等函数组合而成，熟练掌握常见的函数模型对解决函数综合问题大有裨益。

高考试题中，函数问题是“大块头”，各套试题所占比重在30%以上。

现归纳常用的函数模型及其常见应用如下： 一． 常数函数y=a判断函数奇偶性最常用的模型，a=0时，既是奇函数，又是偶函数，a ≠0时只是偶函数。

关于方程解的个数问题时常用。

例1．已知x ∈(0, π],关于方程2sin(x+3π)=a 有两个不同的实数解，则实数a 的取植范围是（ ）A ．[-2，2] B.[3,2] C.( 3,2] D.( 3,2)解析；令y=2sin(x+3π), y=a 画出函数y=2sin(x+3π)，y=a 图象如图所示，若方程有两个不同的解，则两个函数图象有两个不同的交点，由图象知( 3,2)，选D二． 一次函数y=kx+b (k ≠0)函数图象是一条直线，易画易分析性质变化。

常用于数形结合解决问题，及利用“变元”或“换元”化归为一次函数问题。

有定义域限制时，要考虑区间的端点值。

例2．不等式2x 2+1≤m(x-1)对一切│m │≤2恒成立，则x 的范围是（ ）A ．-2≤x ≤2 B.431- ≤x ≤0 C.0≤x ≤471+ D. 471-≤x ≤413-解析：不等式可化为m(x-1)- 2x 2+1≥0设f(m)= m(x-1)- 2x 2+1若x=1, f(m)=-3＜0 (舍) 则x ≠1则f(m)是关于m 的一次函数，要使不等式在│m │≤2条件下恒成立，只需⎩⎨⎧≥-≥0)2(0)2(f f ，解之可得答案D 三．二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)二次函数是应用最广泛的的函数，是连接一元二次不等式和一元二次方程的纽带。

高中数学排列组合方法总结1. 分组（堆）问题分组（堆）问题的六个模型：①无序不等分；②无序等分；③无序局部等分；(④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.)处理问题的原则：①若干个不同的元素“等分”为ｍ个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!②若干个不同的元素局部“等分”有ｍ个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积.④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列.1. 分组（堆）问题例1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同的发包方式？解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤：⑴将四项工程分为三“堆”，有种分法；⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队，有3!＝6种给法.∴共有6×6＝36种不同的发包方式.2.插空法：解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决.♀♀♀♀♀♀♀↑↑↑↑↑↑例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？解：分两步进行：第1步，把除甲乙外的一般人排列：第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)：几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插孔.3.捆绑法相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然后再进行整体排列.例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?解：（1）分两步进行：♀♀♀♀♀♀甲乙第一步，把甲乙排列(捆绑)：第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列.4.消序法(留空法)几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了.例4. 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？解法1：将5个人依次站成一排，有种站法，然后再消去甲乙之间的顺序数∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为211421226C C CA =55A有=120种排法26A有=30种插入法120303600∴⨯共有＝种排法22A有＝2种捆法2120240∴⨯共有＝种排法55A有＝120种排法55A22A535522543AAA=⨯⨯=解法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好，有 种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为4.消序法(留空法)变式：如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A 到B 只能上行或右行共有多少条不同的路线?BABA解: 如图所示将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格:也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,①,②,③,④顺序一定的排列，有种排法. 其中必有四个↑和七个→组成!所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,所以从A 到B 共有条不同的路径.5.剪截法（隔板法）：n 个 相同小球放入m(m ≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n 个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m 段.例5. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种.解： 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.将16个小球串成一串，截为4段有种截断法，对应放到4个盒子里. 35A 33551A A ⨯=514(51)(81)11C C --+-=315455C =因此，不同的分配方案共有455种 .5.剪截法：n个相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.变式：某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种.解：问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个，再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.将10个小球串成一串，截为4段有种截断法，对应放到4个盒子里.因此，不同的分配方案共有84种 .6.错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.例6. 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有____种.解：选取编号相同的两组球和盒子的方法有种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.故所求方法有15×9＝135种.7.剔除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.例7. 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条.解：所有这样的直线共有条，其中不过原点的直线有条，∴所得的经过坐标原点的直线有210-180＝30条.小结:①分堆问题；②解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法).3 984C=2 615C=37210A=1266180A A⨯=1.将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则不同的投法的种数是（）A.43B.34C.34AD.34CB2.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（ ） A.24种 B.18种 C.12种 D.6种B3. 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ）A.4448412C C C 种B.34448412C C C 种 C.3348412AC C 种D.334448412A C C C 种 A。

143个高中高频数学解题模型一、一元一次方程与一元一次方程组1. 一元一次方程的定义一元一次方程指的是只含有一个变量，并且最高次数为一的方程，通常表示为ax+b=0。

解一元一次方程的方法主要有求解法和图解法。

2. 一元一次方程组的概念一元一次方程组指的是由若干个一元一次方程组成的方程组，通常表示为a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2解一元一次方程组的方法主要有代入法、加减法和等系数消去法。

二、一元二次方程与一元二次不等式1. 一元二次方程的特点一元二次方程指的是最高次数为二的方程，通常表示为ax^2+bx+c=0。

解一元二次方程的方法主要有配方法和求根公式。

2. 一元二次不等式的解法一元二次不等式指的是最高次数为二的不等式，通常表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0。

解一元二次不等式的方法主要有因式分解法和图像法。

三、二元二次方程与二元二次不等式1. 二元二次方程的定义二元二次方程指的是含有两个变量且最高次数为二的方程，通常表示为ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0。

解二元二次方程的方法主要有配方法和消元法。

2. 二元二次不等式的概念二元二次不等式指的是含有两个变量且最高次数为二的不等式。

解二元二次不等式的方法主要有图解法和代数法。

四、指数与对数1. 指数的基本性质指数是幂运算的一种表示方式，有基本性质包括乘法法则、除法法则和零指数法则。

2. 对数的基本概念对数是幂运算的逆运算，有基本性质包括对数的乘除法则和对数的换底公式。

五、三角函数与解三角形1. 三角函数的基本性质三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，有基本性质包括奇偶性、周期性和对称性。

2. 解三角形的基本方法解三角形主要包括利用三角函数和利用三角恒等式两种方法，主要应用于解直角三角形和不定角三角形。

六、平面向量的运算1. 平面向量的基本定义平面向量是具有大小和方向的量，有基本运算包括数乘、加法和减法。

3.2.1 几类不同增长的函数模型知识点一常见的增长模型1．线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变．2．指数函数模型能利用指数函数(底数a>1)表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大,函数值的增长速度越来越快,常形象地称为指数爆炸．3．对数函数模型能用对数函数(底数a>1)表达的函数模型叫做对数函数模型,对数函数增长的特点是随自变量的增大,函数值增长速度越来越慢．4．幂函数模型幂函数y＝x n(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．函数模型的选取(1)当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长到很大时,常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝x n(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化,n值越小(n≤1)时,增长较慢；n值较大(n>1)时,增长较快．知识点二指数函数y＝a x(a>1),对数函数y＝log a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)增长速度的比较1．在区间(0,＋∞)上,函数y＝a x(a>1),y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数,但增长速度不同,且不在同一个“档次”上．2．在区间(0,＋∞)上随着x的增大,y＝a x(a>1)增长速度越来越快,会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度,而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢．[小试身手]1．判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．( )(2)当a>1,n>0时,在区间(0,＋∞)上,对任意的x,总有log a x<x n<a x成立．( )答案：(1)×(2)×2．下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( )A．y＝3x B．y＝1 000xC．y＝log2x D．y＝x3解析：指数函数模型增长速度最快．答案：A3．设a＝log123,b＝⎝⎛⎭⎪⎫130.2,c＝213,则( )A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c解析：∵由指数函数、对数函数的性质可知：a＝log123<log121＝0,0<b＝⎝⎛⎭⎪⎫130.2<1,c＝213>1,∴有a<b<c.故选A.答案：A4．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示,则可选择的模拟函数模型是( )A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a·e x＋b D．y＝aln x＋b解析：由散点图和四个函数的特征可知,可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.答案：B类型一几类函数模型的增长差异例1 (1)下列函数中,增长速度最快的是( )A．y＝2 018x B．y＝x2 018C．y＝log2 018x D．y＝2 018x(2)四个自变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表：x 1 5 10 15 20 25 30y1 2 26 101 226 401 626 901y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109y3 2 10 20 30 40 50 60y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是________．【解析】(1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知,指数函数增长速度最快．(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化．【答案】(1)A (2)y2,(1)由题意,指数函数增长速度最快．(2)观察变量y1,y2,y3,y4的变化情况→找出增长速度最快的变量→该变量关于x呈指数型函数变化跟踪训练1 分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1,＋∞)上的增长情况．解析：指数函数y＝2x,当x由x1＝1增加到x2＝3时,x2－x1＝2,y2－y1＝23－21＝6；对数函数y＝log2x,当x由x1＝1增加到x2＝3时,x2－x1＝2,而y2－y1＝log23－log21≈1.585 0.由此可知,在区间[1,＋∞)上,指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快,而对数函数y＝log2x 的增长速度缓慢．在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图象,从图象上可观察出函数的增长变化情况．如图：类型二三类函数图象综合运用例2 判断方程2x＝x2有几个实根．【解析】设y1＝x2,y2＝2x,作出这两个函数的图象,由图象知,方程一定有一个负根,当x>0时,开始y1＝x2在y2＝2x图象的下方,但此时由于y1＝x2比y2＝2x增长的速度快,所以存在x0当x>x0时,y1＝x2的图象就会在y2＝2x的上方,故此时产生一个实根x0,但最终还是y2＝2x比y1＝x2增长得快,故存在x1,当x>x1时,y2＝2x的图象又在y1＝x2的上方,故又产生一个实根x1,以后就永远是y2＝2x比y1＝x2增长得快了,故再没有实根了,故此方程有三个实根.(1)根据指数函数与幂函数增减得快慢以及图象的上下位置判断出是否有实根．(2)对于较复杂的方程根的个数问题,利用数形结合法较为方便,其解题步骤为：①先设出两个可画图象的函数；②画出两个函数的图象；③由图象观察,其交点横坐标的个数即为方程实数解的个数．方法归纳由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数．跟踪训练2 函数f(x)＝lg x,g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)指出曲线C1,C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较)．解析：(1)由题图知,C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1,C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x∈(0,x1)时,g(x)>f(x)；当x∈(x1,x2)时,g(x)<f(x)；当x∈(x2,＋∞)时,g(x)>f(x)．f(x)＝lgx图象是曲线．g(x)＝0.3x－1图象是直线．类型三函数模型的选择问题例3 某皮鞋厂今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万双．由于产品质量好、款式新颖,前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时,接受订单不至于过多或过少,需要估计以后几个月的产量．厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长,就月份x,产量为y给出三种函数模型： y＝ax＋b,y＝ax2＋bx＋c,y＝ab x＋c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？【解析】由题意,将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37)这4个数据．(1)设模拟函数为y ＝ax ＋b 时,将B,C 两点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝1.3，2a ＋b ＝1.2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.1，b ＝1.所以有关系式y ＝0.1x ＋1.由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下,产量会每月上升1 000双,这是不太可能的． (2)设模拟函数为y ＝ax 2＋bx ＋c 时,将A,B,C 三点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1.2，9a ＋3b ＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.05，b ＝0.35，c ＝0.7.所以有关系式y ＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7.结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双,比实际产量少700双,而且由二次函数性质可知,产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下 ,对称轴为x ＝3.5),不合实际．(3)设模拟函数为y ＝ab x＋c 时,将A,B,C 三点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1，①ab 2＋c ＝1.2，②ab 3＋c ＝1.3.③由①,得ab ＝1－c,代入②③,得⎩⎪⎨⎪⎧b 1－c ＋c ＝1.2，b 21－c ＋c ＝1.3.则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1.2－b 1－b ，c ＝1.3－b21－b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0.5，c ＝1.4.则a ＝1－c b ＝－0.8.所以有关系式y ＝－0.8×0.5x ＋1.4.结论为：当把x ＝4代入得y ＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.比较上述三个模拟函数的优劣,既要考虑到误差最小,又要考虑生产的实际,如：增产的趋势和可能性．经过筛选,以指数函数模拟为最佳,一是误差小,二是由于厂房新建,随着工人技术和管理效益逐渐提高,一段时间内产量会明显上升,但经过一段时间之后,如果不更新设备,产量必然趋于稳定,而该指数函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数y ＝－0.8×0.5x＋1.4模拟比较接近客观实际.通过数据验证,确定系数,然后分析确定函数变化情况,最终找出与实际最接近的函数模型． 方法归纳数学知识来源于客观实际,服务于实际问题．数学是人们认识世界、改造世界的工具,其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临一个实际问题,选择合适的数学模型是一件非常重要的事情,根据三种不同的增长模型的特点,选择符合自己的模型,才能产生更大的经济效益．跟踪训练3 1626年,有人从印第安人手里以60荷兰基尔特(相当于24美元)的代价借用纽约的曼哈顿岛,并在借据上注明：归还此岛时,对方要还本付息,年利率是6%,但借据上没有注明利息是按单利计算还是按复利计算．事隔354年之后的1980年,双方当事人的后代到法院打官司说是利息支付不公,要求法院判明是非．法官请数学家作了计算,结果使法官大吃一惊．请问按两种方法计算出的本息和分别是多少？解析：若按单利算,本息和是24×6%×354＋24＝533.76(美元)．若按复利算,本息和是24(1＋6%)354≈2.2×1010(美元)．理解单利、复利的概念．利用公式来计算.[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1．下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( )A．y＝1 B．y＝xC．y＝2x D．y＝log3x解析：结合函数y＝1,y＝x,y＝2x及y＝log3x的图象可知,随着x的增大,增长速度最快的是y＝2x.答案：C2．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,那么最能拟合诗句“红豆生南国,春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2解析：由散点图可知,与指数函数拟合最贴切,故选A.答案：A3．已知a,b,c,d四个物体沿同一方向同时开始运动,假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)＝x2,f2(x)＝x 12,f3(x)＝log2x,f4(x)＝2x,如果运动时间足够长,则运动在最前面的物体一定是( )A．a B．bC．c D．d解析：根据四种函数的变化特点,指数函数是一个变化最快的函数．当运动时间足够长时,最前面的物体一定是按照指数函数运动的物体．答案：D4．在同一坐标系中画出函数y＝log a x,y＝a x,y＝x＋a的图象,可能正确的是( )解析：函数y＝a x与y＝log a x的单调性相同,由此可排除C；直线y＝x＋a在y轴上的截距为a,则选项A中0<a<1,选项B中a>1,显然y＝a x的图象不符,排除A,B,选D.答案：D5．y1＝2x,y2＝x2,y3＝log2x,当2<x<4时,有( )A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2,y1＝2x,y3＝log2x,故y2>y1>y3.答案：B二、填空题(每小题5分,共15分)6．已知函数f(x)＝3x,g(x)＝2x,当x∈R时,f(x)与g(x)的大小关系为________．解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x,g(x)＝2x的图象,如图所示,由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象的上方,则f(x)>g(x)．答案：f(x)>g(x)7．据报道,青海湖水在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设2013年的湖水量为m,从2013年起,过x年后湖水量y与x的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q%,则(q%)50＝0.9,所以q%＝0.9150,所以x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.950x.答案：y ＝0.950x ·m8．某工厂8年来某种产品总产量C 与时间t(年)的函数关系如图所示,以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变,其中说法正确的序号是________．解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0<α<1),反应了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知,总产量C 没有变化,即第三年后停产,所以②③正确．答案：②③三、解答题(每小题10分,共20分)9．每年的3月12日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动,某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,现有两种方案如下：方案一：每年植树1万平方米； 方案二：每年树木面积比上一年增加9%. 哪个方案较好？解析：方案一：5年后树木面积为：10＋1×5＝15(万平方米)． 方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米), 因为15.386>15,所以方案二较好．10．某公司拟投资100万元,有两种投资方案可供选择：一种是年利率为10%,按单利计算,5年后收回本金和利息；另一种是年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)解析：本金100万元,年利率为10%,按单利计算,5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)． 本金100万元,年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)． 由此可见,按年利率为9%每年复利一次计算的投资方式要比按年利率为10%单利计算的更有利,5年后多得利息3.86万元． [能力提升](20分钟,40分)11．四个函数在第一象限中的图象如图所示,a 、b 、c 、d 所表示的函数可能是( )∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45,∴x>45.45.故经过46 h,细胞总数超过1010个．14．某医疗研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量服用,据监测：服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定,每毫升血液中含药量不少于4 μg 时治疗疾病有效,假若某病人一天中第一次服药为上午7：00,问：一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？解析：(1)依题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧6t ，0≤t≤1，－23t ＋203，1<t≤10.(2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时,则－23t 1＋203＝4,解得t 1＝4,因而第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t 2小时,则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和,即有－23t 2＋203－23(t 2－4)＋203＝4,解得t 2＝9,故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t 3小时(t 3>10),则此时第一次服进的药已吸收完,血液中含药量应为第二、第三次的和,即有－23(t 3－4)＋203－23(t 3－9)＋203＝4,解得t 3＝13.5,故第四次服药应在20：30.。

高中数学通用模型解题方法1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

中元素各表示什么？A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

显然，这里很容易解出A={—1,3}.而B最多只有一个元素.故B只能是-1或者3。

根据条件，可以得到a=-1,a=1/3。

但是，这里千万小心,还有一个B为空集的情况,也就是a=0，不要把它搞忘记了。

3。

注意下列性质：要知道它的来历：若B为A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择（在或者不在）.同样，对于元素a2, a3，……a n，都有2种选择，所以，总共有种选择，即集合A有个子集.当然，我们也要注意到，这种情况之中,包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为,非空真子集个数为（3）德摩根定律：有些版本可能是这种写法,遇到后要能够看懂4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）的取值范围。

注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过；如告诉你函数f(x)=ax2+bx+c（a〉0) 在上单调递减，在上单调递增,就应该马上知道函数对称轴是x=1。

或者，我说在上 ,也应该马上可以想到m，n实际上就是方程的2个根5、熟悉命题的几种形式、∨∧⌝可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和“非”()()().命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。

)原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。

6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）满足条件，满足条件，若；则是的充分非必要条件；若；则是的必要非充分条件；若；则是的充要条件;若；则是的既非充分又非必要条件；7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一,允许B中有元素无原象.)注意映射个数的求法。

高中数学中的概率模型知识点总结在高中数学中，概率是一个非常重要的概念和工具。

概率模型的应用范围广泛，可以用于解决各种实际问题，如游戏概率、统计学、风险评估等。

下面是高中数学中的概率模型知识点总结。

一、基础概念1.试验与样本空间：试验是指具有明确结果的过程，样本空间是试验所有可能结果的集合。

2.事件与事件的概率：事件是样本空间的子集，事件的概率表示事件发生的可能性大小。

3.频率与概率：频率是指某个事件在多次重复试验中发生的次数与总次数的比值，概率是指某个事件发生的可能性。

4.基本事件与必然事件：基本事件是样本空间中的单个元素，必然事件是样本空间中所有元素构成的事件。

5.互斥事件与对立事件：互斥事件是指两个事件不可能同时发生，对立事件是指两个事件中必有一个发生。

6.事件的概率性质：概率是非负的，必然事件的概率为1，互斥事件的概率加起来等于各自的概率之和。

二、概率计算1.古典概型：指试验结果是有限的、等可能的情况。

计算公式为概率=事件发生的可能数/样本空间中元素的总数。

2.几何概型：指试验结果是某个区域内或在直线段上的情况。

计算公式为概率=有利面积/总面积或概率=有利长度/总长度。

3.条件概率：指在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

计算公式为概率P(B|A)=事件A与B同时发生的概率/事件A发生的概率。

4.乘法定理：指两个事件A和B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以在事件A发生的条件下事件B发生的概率。

5.独立事件的概率：指两个事件A和B相互独立且同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。

6.全概率公式：指如果事件B是一组互斥事件A1、A2、...、An的并，那么事件B发生的概率等于事件A1、A2、...、An分别发生的概率乘以事件B在各个事件发生条件下的概率之和。

7.贝叶斯定理：指根据已知的概率信息，计算事件A发生的条件下事件B发生的概率。

三、排列与组合1.排列：指从一组元素中取出若干元素按一定顺序排列的方法。

专题一　墙角模型如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点与难点，也是高考考查的一个热点．考查学生的空间想象能力以及化归能力．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用．球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径．空间几何体的外接球与内切球十大模型1．墙角模型；2．对棱相等模型；3．汉堡模型；4．垂面模型；5．切瓜模型；6．斗笠模型；7．鳄鱼模型；8．已知球心或球半径模型；9．最值模型；10．内切球模型．【方法总结】墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R= a2+b2+c2．)，秒杀公式：R2=a2+b2+c24．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：【例题选讲】例1.[例]　(1)已知三棱锥A-BCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC=3，BC=2，CD=5，则球O的表面积为( )A.12πB.7πC.9πD.8π(2)若三棱锥S−ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球半径为( )．A.3B.6C.36D.9(3)已知S，A，B，C，是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=2，则球O的表面积等于( )．A.4πB.3πC.2πD.π(4)在正三棱锥S-ABC中，M，N分别是棱SC，BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是________．(5)(2019全国Ⅰ)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为( )．A.86πB.46πC.26πD.6π(6)已知二面角α-l-β的大小为π3，点P∈α，点P在β内的正投影为点A，过点A作AB⊥l，垂足为点B，点C∈l，BC=22，PA=23，点D∈β，且四边形ABCD满足∠BCD+∠DAB=π．若四面体PACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．【对点训练】1．点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为( )A.7πB.14πC.72πD.714π32．等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC沿BC边上的高AD折成直二面角B-AD-C，则三棱锥B-ACD的外接球的表面积为( )A.5πB.203πC.10πD.34π3．已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=2，则球O的体积等于________.4．已知四面体P-ABC四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC=1，AB=PB =2，则球O的表面积为________．5．三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=3，PA⊥PB，三棱锥P-ABC的外接球的体积为( )A.272πB.2732π C.273π D.27π6．在空间直角坐标系Oxyz中，四面体ABCD各顶点的坐标分别为A(2，2，1)，B(2，2，-1)，C(0，2，1)，D (0，0，1)，则该四面体外接球的表面积是( )A.16πB.12πC.43πD.6π7．在平行四边形ABCD中，∠ABD=90°，且AB=1，BD=2，若将其沿BD折起使平面ABD⊥平面BCD，则三棱锥A-BDC的外接球的表面积为(　D　)A.2πB.8πC.16πD.4π8．在正三棱锥S-ABC中，点M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=22，则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为( )A.6πB.12πC.32πD.36π9．在古代将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，已知四面体A-BCD为鳖臑，AB⊥平面BCD，且AB=BC=36CD，若此四面体的体积为833，则其外接球的表面积为________．10．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为32的正方形，AA1=3，E是线段A1B1上一点，若二面角A-BD-E的正切值为3，则三棱锥A-A1D1E外接球的表面积为________．专题二　对棱相等模型【方法总结】对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即2R=a2+b2+c2(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2=x2+y2+z28(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．【例题选讲】例2.[例]　(1)正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为________．(2)在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，则三棱锥A−BCD外接球的表面积为________．(4)在正四面体A-BCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为7，则该正四面体的外接球的体积是( )A.6πB.6πC.3632π D.3 2π(5)已知三棱锥A-BCD，三组对棱两两相等，且AB=CD=1，AD=BC=3，若三棱锥A-BCD的外接球表面积为9π2．则AC=________．【对点训练】1．已知正四面体ABCD的外接球的体积为86π，则这个四面体的表面积为________．2．表面积为83的正四面体的外接球的表面积为( )A.43πB.12πC.8πD.46π3．已知四面体ABCD满足AB=CD=6，AC=AD=BC=BD=2，则四面体ABCD的外接球的表面积是________．4．三棱锥中S-ABC，SA=BC=13，SB=AC=5，SC=AB=10．则三棱锥的外接球的表面积为______.5．已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9π的球O的表面上，且AB=CD=a，AC=AD=BC =BD=5，则a=________.6．正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为14，则该正四面体的外接球表面积是( )A.12πB.32πC.8πD.24π专题三　汉堡模型【方法总结】汉堡模型是直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O 的位置是△ABC 的外心O 1与△A 1B 1C 1的外心O 2连线的中点，算出小圆O 1的半径AO 1=r ，OO 1=h 2，∴R 2=r 2+h 24．【例题选讲】例3.[例]　(1)(2013辽宁)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB =3，AC =4，AB ⊥AC ，AA 1=12，则球O 的半径为( )．A.3172 B.210 C.132 D.310(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )．A.πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D.37πa 2(3)(2009全国Ⅰ)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB =AC =AA 1=2，∠BAC =120°，则此球的表面积等于( )．A.10π B.20πC.30πD.40π(4)已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )A.4πB.16π3C.32π3D.16π(5)若一个圆柱的表面积为12π，则该圆柱的外接球的表面积的最小值为( )A.(125-12)πB.123πC.(123+3)πD.16π【对点训练】一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为( )A.28π3B.22π3C.43π3D.7π2．一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为________.3．已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面积为334，一个侧面的周长为63，则正三棱柱ABC -A 1B 1C 1外接球的表面积为( )A.4πB.8πC.16πD.32π4．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB =3，AC =1，∠BAC =60°，AA 1=2，则该三棱柱的外接球的体积为( )A.40π3B.4030π27 C.32030π27 D.20π5．已知矩形ABCD中，AB=2AD=2，E，F分别为AB，CD的中点，将四边形AEFD沿EF折起，使二面角A-EF-C的大小为120°，则过A，B，C，D，E，F六点的球的表面积为( )A.6πB.5πC.4πD.3π6．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若AB=AC=1，AA1=23，∠BAC= 2π3，则球O的体积为( )A.32π3B.3πC.4π3D.8π7．有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，此圆锥的母线与底面所成角为60°，若此圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍，则此圆柱的高是其底面半径的( )A.2倍B.2倍C.22倍D.3倍8．正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，二面角A1-BD-C1的大小为π3，则该正四棱柱外接球的表面积为( )A.12πB.14πC.16πD.18π9．正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，设四棱柱的外接球的球心为O，动点P在正方形ABCD的边上，射线OP交球O的表面点M，现点P从点A出发，沿着A→B→C→D→A运动一次，则点M经过的路径长为________．10．已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥P-ABC的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心O．若三棱锥P-ABC的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径的比值为____ ____．专题四　垂面模型【方法总结】垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1=r，OO1=h2，∴R2=r2+h24．【例题选讲】例4.[例]　(1)已知在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB=30°，AC=2AB=23，SA=1．则该三棱锥的外接球的体积为( )A.13813πB.13πC.136πD.13136π(2)三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=PC=AC=2，AB=4，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为( )A.23πB.234πC.64πD.643π(3)在三棱锥S-ABC中，侧棱SA⊥底面ABC，AB=5，BC=8，∠ABC=60°，SA=25，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.643πB.2563πC.4363πD.2048327π(4)在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC=120˚，PA=AB=AC=2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.103πB.18πC.20πD.93π(5)在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=120°，AC=2，AB=1，设D为BC中点，且直线PD与平面ABC所成角的余弦值为55，则该三棱锥外接球的表面积为________．【对点训练】1．三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，若SA=AB=BC=AC=3，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.18πB.21π2C.21πD.42π2．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形，若AB=2，则球O的表面积为( )A.4πB.12πC.16πD.32π3．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=23，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为( )A.4πB.12πC.16πD.64π4．在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC=60°，PA=2，AB=AC=3，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.4π3B.82π3 C.8π D.12π5．在三棱锥A-BCD中，AC=CD=2，AB=AD=BD=BC=1，若三棱锥的所有顶点，都在同一球面上，则球的表面积是________．6．如图，在△ABC中，AB=BC=6，∠ABC=90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC=PD，连接PC，得到三棱锥P-BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )A.7πB.5πC.3πD.π7．已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为23的正方形．若PA=26，则△OAB的面积为( )．A.3B.22C.33D.638．三棱锥P-ABC中，AB=BC=15，AC=6，PC⊥平面ABC，PC=2，则该三棱锥的外接球表面积为________．9．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA⊥平面ABCE，四边形ABCD为正方形，AD=5，ED=3，若鳖臑P-ADE的外接球的体积为92π，则阳马P-ABCD的外接球的表面积为________．10．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AP=2，点M是矩形ABCD内(含边界)的动点，且AB= 1，AD=3，直线PM与平面ABCD所成的角为π4．记点M的轨迹长度为α，则tanα=________．；当三棱锥P-ABM的体积最小时，三棱锥P-ABM的外接球的表面积为________．专题五　切瓜模型【方法总结】切瓜模型是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A-BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则R2=r2+m2，R2=d2+(h-m)2，解得R．可用秒杀公式：R2=r21+r22-l24(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长)【例题选讲】例5.[例]　(1)已知在三棱锥P-ABC中，V P­ABC=433，∠APC=π4，∠BPC=π3，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P-ABC外接球的体积为________．(2)如图，已知平面四边形ABCD满足AB=AD=2，∠A=60˚，∠C=90˚，将△ABD沿对角线BD翻折，使平面ABD⊥平面CBD，则四面体ABCD外接球的体积为________．(3)已知三棱锥A-BCD中，△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A-BD-C为直二面角，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为( )A.10π3B.5πC.6πD.20π3(4)已知ΔABC是以BC为斜边的直角三角形，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC=3，PB=22，PC=5，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为________．(5)已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，D，E分别为AB，AC的中点，沿DE将△ABC折成直二面角(如图)，则四棱锥A-DECB的外接球的表面积为________．【对点训练】1．把边长为3的正方ABCD沿对角线AC对折，使得平面ABC⊥平面ADC，则三棱锥D-ABC的外接球的表面积为( )A.32πB.27πC.18πD.9π2．在三棱锥A-BCD中，△ACD与△BCD都是边长为4的正三角形，且平面ACD⊥平面BCD，则该三棱锥外接球的表面积为________．3．已知如图所示的三棱锥D-ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB=3，AC=3，BC=CD=BD=23，则球O的表面积为( )A.4πB.12πC.16πD.36π4．在三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，ΔABC是边长为2的正三角形，若∠BDC=π4，三棱锥的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为( )．A.52π3B.3πC.4πD.28π35．已知空间四边形ABCD，∠BAC=23π，AB=AC=23，BD=4，CD=25，且平面ABC⊥平面BCD，则该几何体的外接球的表面积为( )A.24πB.48πC.64πD.96π6．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AD=22，PA=PD=AB=2，则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为( )A.2πB.4πC.8πD.12π7．在四棱锥A-BCDE中，ΔABC是边长为6的正三角形，BCDE是正方形，平面ABC⊥平面BCDE，则该四棱锥的外接球的体积为( )A.2121πB.84πC.721πD.2821π8．已知空间四边形ABCD，∠BAC=2π3，AB=AC=23，BD=CD=6，且平面ABC⊥平面BCD，则空间四边形ABCD的外接球的表面积为( )A.60πB.36πC.24πD.12π9．在三棱锥P-ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，PB=PC=43，平面PBC⊥平面ABC，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为________．10．在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AP=25,AB=6,∠ACB=π3，且直线PA与平面ABC所成角的正切值为2，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.13πB.52πC.52π3D.5213π3 10．答案　B　解析　如图，过点P作PE⊥AB于E，D为AB的中点，设ΔABC的外心是O1，半径是r，连接O1B，O1E，O1D，由正弦定理得2r=ABsin∠ACB=43，则O1B=r=23，D为AB的中点，BD=AD=12AB=3，O1D⊥AB，所以O1D=O1B2-BD2=3，因为平面PAB⊥平面ABC，PE⊥AB于E，平面PAB∩平面ABC=AB，则PE⊥平面ABC，所以直线PA与平面ABC所成的角是∠PAE，则tan∠PAE=PEAE=2，即PE =2AE，因为AP=PE2+AE2=25，所以PE=2AE=4，则DE=1，故O1E=2，设三棱锥P-ABC外接球球心是O，连接OO1，OB，OP，过O作OH⊥PE于H，则OO1⊥平面ABC，于是OO1⎳PE，从而O1OHE是矩形，所以外接球半径R满足R2=OO21+O1B2=OH2+(PE-HE)2=O1E2+(PE-OO1)2，解得R=13．所以外接球的表面积为4πR2=52π．专题六　斗笠模型【方法总结】圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥．秒杀公式：R=h2+r22h(其中h为几何体的高，r为几何体的底面半径或底面外接圆的圆心)【例题选讲】例6.[例]　(1)一个圆锥恰有三条母线两两夹角为60°，若该圆锥的侧面积为33π，则该圆锥外接球的表面积为________．(2)(2020·全国Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π(3)在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=26,AC=AB=4，且AC⊥AB，则该三棱锥外接球的表面积为________．(4)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4B.16πC.9πD.27π4(5)如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，CD的中点，cos∠PEF=22，若A，B，C，D，P在同一球面上，则此球的体积为________．(6)在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=1，BC=3，则该三棱锥外接球的体积为( )A.4π3B.823πC.43πD.323π【对点训练】1．已知圆锥的顶点为P，母线PA与底面所成的角为30°，底面圆心O到PA的距离为1，则该圆锥外接球的表面积为________．2．在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=3，侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为( )A.πB.π3C.4πD.4π33．在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=6，AC=AB=2，且AC⊥AB，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.4πB.8πC.16πD.9π4．已知体积为3的正三棱锥P -ABC 的外接球的球心为O ，若满足OA +OB +OC =0 ，则此三棱锥外接球的半径是( )A.2 B.2C.32D.345．已知正四棱锥P -ABCD 的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为2，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为( )A.124π3B.625π81C.500π81D.256π96．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°，若ΔSAB 的面积为8，则该圆锥外接球的表面积是________．7．已知圆台O 1O 2上底面圆O 1的半径为2，下底面圆O 2的半径为22，圆台的外接球的球心为O ，且球心在圆台的轴O 1O 2上，满足|O 1O |=3|OO 2|，则圆台O 1O 2的外接球的表面积为________．8．在六棱锥P -ABCDEF 中，底面是边长为2的正六边形，PA =2且与底面垂直，则该六棱锥外接球的体积等于________．9．在三棱锥P -ABC 中，PA =PB =PC =2，AB =2，BC =10，∠APC =π2，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为________．10．在三棱锥P -ABC 中，PA =PB =PC =92，AB =8，AC =6．顶点P 在平面ABC 内的射影为H ，若AH =λAB +μAC 且μ+2λ=1，则三棱锥P -ABC 的外接球的体积为________．专题七　鳄鱼模型【方法总结】鳄鱼模型即普通三棱锥模型，用找球心法可以解决．如果已知其中两个面的二面角，则可用秒杀公式：R2= m2+n2-2mn cosαsin2α+l24(其中l=|AB|)解决．【例题选讲】例7.[例]　(1)在三棱锥A-BCD中，ΔABD和ΔCBD均为边长为2的等边三角形，且二面角A-BD-C的平面角为60°，则三棱锥的外接球的表面积为________．(2)在等腰直角ΔABC中，AB=2，∠BAC=90°，AD为斜边BC的高，将ΔABC沿AD折叠，使二面角B-AD-C为60°，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为________．(3)在四面体ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=60°，∠BCD=90°，二面角A-BD-C的大小为150°，则四面体ABCD外接球的半径为________．(3)在三棱锥S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=2，SA=SC=2，二面角S-AC-B的余弦值是-33，若S，A，B，C都在同一球面上，则该球的表面积是( )A.4πB.6πC.8πD.9π(4)已知三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=22，BC=3，PA=PB=32，且二面角P-AB-C的大小为150°，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为( )A.100πB.108πC.110πD.111π(5)在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，三角形PAC为等边三角形，二面角P-AC-B的余弦值为-63，当三棱锥P-ABC的体积最大值为13时，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为________．(6)在体积为233的四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为边长为2的正方形，ΔPAB为等边三角形，二面角P-AB-C为锐角，则四棱锥P-ABCD外接球的半径为( )A.213B.2C.3D.32【对点训练】1．在三棱锥S-ABC中，SB=SC=AB=BC=AC=2，二面角S-BC-A的大小为60°，则三棱锥S-ABC外接球的表面积是( )A.14π3B.16π3C.40π9D.52π92．已知三棱锥A -BCD ，BC =6，且ΔABC 、ΔBCD 均为等边三角形，二面角A -BC -D 的平面角为60°，则三棱锥外接球的表面积是________．3．已知边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD =120°，沿对角线AC 折成二面角B -AC -D 的大小为θ的四面体且cos θ=13，则四面体ABCD 的外接球的表面积为________．4．在三棱锥P -ABC 中，顶点P 在底面ABC 的投影G 是ΔABC 的外心，PB =BC =2，且面PBC 与底面ABC 所成的二面角的大小为60°，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为________．5．直角三角形ABC ，∠ABC =π2，AC +BC =2，将ΔABC 绕AB 边旋转至ΔABC 位置，若二面角C -AB -C 的大小为2π3，则四面体C -ABC 的外接球的表面积的最小值为( )A.6π B.3π C.32π D.2π6．已知空间四边形ABCD 中，AB =BD =AD =2，BC =1，CD =3，若二面角A -BD -C 的取值范围为π4，2π3 ，则该几何体的外接球表面积的取值范围为________．7．在三棱锥S -ABC 中，底面ΔABC 是边长为3的等边三角形，SA =3，SB =23，二面角S -AB -C 的大小为60°，则此三棱锥的外接球的表面积为________．8．在四面体ABCD 中，BC =CD =BD =AB =2，∠ABC =90°，二面角A -BC -D 的平面角为150°，则四面体ABCD 外接球的表面积为( )A.313πB.1243πC.31πD.124π9．在三棱锥A -BCD 中，AB =BC =CD =DA =7，BD =23，二面角A -BD -C 是钝角．若三棱锥A -BCD 的体积为2．则三棱锥A -BCD 的外接球的表面积是( )A.12πB.373πC.13πD.534π10．在平面五边形ABCDE 中，∠A =60°，AB =AE =63，BC ⊥CD ，DE ⊥CD ，且BC =DE =6．将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起，使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120°，则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积是________．专题八　已知球心或球半径模型【例题选讲】例8.[例]　(1)(2017·全国Ⅰ)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．(2)已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为3，BC= 3，BD=3，∠CBD=90˚，则球O的体积为________．(3)(2012全国Ⅰ)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC 为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为( )A.26B.36C.23D.22(4)(2020·新高考全国Ⅰ)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．(5)三棱锥S-ABC的底面各棱长均为3，其外接球半径为2，则三棱锥S-ABC的体积最大时，点S到平面ABC的距离为( )A.2+3B.2-3C.3D.2【对点训练】1．已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC满足AB=22，∠ACB=90°，PA为球O 的直径且PA=4，则点P到底面ABC的距离为( )A.2B.22C.3D.232．已知矩形ABCD的顶点都在球心为O，半径为R的球面上，AB=6，BC=23，且四棱锥O-ABCD 的体积为83，则R等于( )A.4B.23C.479D.133．已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥P-ABC的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A.16π3B.40π3C.64π3D.80π34．已知三棱锥A-SBC的体积为233，各顶点均在以PA为直径球面上，AB=AC=2,BC=2，则这个球的表面积为_____________．5．(2017·全国Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________．6．(2020·全国Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π7．(2020·全国Ⅱ)已知△ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为( )A.3B.32C.1D.328．如图，半径为R的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的38，则这两个圆锥高之差的绝对值为( )A.R2B.2R3C.4R3D.R9．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹的面积是( )A.4πB.πC.2πD.π210．在三棱锥A-BCD中，底面为Rt△，且BC⊥CD，斜边BD上的高为1，三棱锥A-BCD的外接球的直径是AB，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A-BCD的体积的最大值为________．专题九　最值模型【方法总结】最值问题的解法有两种方法：一种是几何法，即在运动变化过程中得到最值，从而转化为定值问题求解．另一种是代数方法，即建立目标函数，从而求目标函数的最值．【例题选讲】例9.[例]　(1)已知三棱锥P-ABC的顶点P，A，B，C在球O的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，如果球O的表面积为36π，那么P到平面ABC距离的最大值为________．(2)在四面体ABCD中，AB=1，BC=CD=3，AC=2，当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为( )A.2πB.3πC.6πD.8π(3)已知四棱锥S-ABCD的所有顶点在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于16+163，则球O的体积等于( )A.42π3 B.162π3 C.322π3 D.642π3(4)三棱锥A-BCD内接于半径为5的球O中，AB=CD=4，则三棱锥A-BCD的体积的最大值为( )A.43B.83C.163D.323(5)已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为12π，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为_ _______．【对点训练】1．三棱锥P-ABC的四个顶点都在体积为500π3的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )A.4B.6C.8D.102．(2015·全国Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )A.36πB.64πC.144πD.256π3．已知点A，B，C，D均在球O上，AB=BC=6，AC=23．若三棱锥D-ABC体积的最大值为3，则球O的表面积为________．4．在三棱锥A-BCD中，AB=1，BC=2，CD=AC=3，当三棱锥A-BCD的体积最大时，其外接球的表面积为________．5．已知三棱锥D-ABC的所有顶点都在球O的球面上，AB=BC=2，AC=22，若三棱锥D-ABC体积的最大值为2，则球O的表面积为( )A.8πB.9πC.25π3D.121π96．三棱锥A-BCD的一条棱长为a，其余棱长均为2，当三棱锥A-BCD的体积最大时，它的外接球的表面积为( )A.21π4B.20π3C.5π4D.5π37．已知三棱锥O-ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB=120°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O-ABC的体积为( )A.32B.233C.23D.138．(2018·全国Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D-ABC体积的最大值为( )A.123B.183C.243D.5439．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，∠ASC=∠BSC=30˚，则棱锥S-ABC的体积最大为( )A.2B.83C.3D.2310．四棱锥P-ABCD的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面积为16π，点P在球面上，则四棱锥P-ABCD体积的最大值为( )A.8B.83C.16D.16311．(2016·全国Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB=6，BC =8，AA1=3，则V的最大值是( )A.4πB.9π2C.6πD.32π312．已知半径为1的球O中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为___．13．如图，在矩形ABCD中，已知AB=2AD=2a，E是AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE，连接A1C．若当三棱锥A1-CDE的体积取得最大值时，三棱锥A1-CDE外接球的体积为82π3，则a=( )A.2B.2C.22D.414．已知三棱锥S-ABC的顶点都在球O的球面上，且该三棱锥的体积为23，SA⊥平面ABC，SA=4，∠ABC=120°，则球O的体积的最小值为________．专题十　内切球模型【方法总结】以三棱锥P -ABC 为例，求其内切球的半径．方法：等体积法，三棱锥P -ABC 体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，球心为O ，建立等式：V P -ABC =V O -ABC +V O -PAB +V O -PAC +V O -PBC ⇒V P -ABC =13S △ABC ·r +13S △PAB ·r +13S △PAC ·r +13S △PBC ·r =13(S △ABC +S △PAB +S △PAC +S △PBC )·r ；第三步：解出r =3V P -ABC S O -ABC +S O -PAB +S O -PAC +S O -PBC =3V S 表．秒杀公式(万能公式)：r =3V S 表【例题选讲】例10.[例]　(1)已知一个三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的内切球的体积为________．(2)(2020·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．(3)阿基米德(公元前287年~公元前212年)是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家．据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”．他特别喜欢这个结论．要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边．若表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为( )A.4πB.16πC.36πD.64π3(4)已知三棱锥P -ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA =PB =PC =2，则三棱锥P -ABC 的外接球与内切球的半径比为________．(5)正四面体的外接球和内切球上各有一个动点P 、Q ，若线段PQ 长度的最大值为436，则这个四面体的棱长为________．【对点训练】1．若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2=________.2．已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O (重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的78时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于( )A.7π6 B.4π3 C.2π3 D.π23．已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为6的正方形，且PA =PB =PC =PD ，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是( )A.6 B.5C.92D.944．将半径为3，圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为( )A.π B.2π C.3π D.4π。

高中数学知识点模块总结一、集合与函数概念。

1. 集合。

- 集合的含义与表示：集合是一些确定的、不同的对象的全体。

表示方法有列举法（如{1,2,3}）、描述法（如{xx > 0}）。

- 集合间的基本关系：子集（A⊆ B表示A中的元素都在B中）、真子集（A⊂neqq B表示A是B的子集且A≠ B）、相等（A = B当且仅当A⊆ B且B⊆ A）。

- 集合的基本运算：交集（A∩ B={xx∈ A且x∈ B}）、并集（A∪ B = {xx∈A或x∈ B}）、补集（{∁ }_UA={xx∈ U且x∉ A}，U为全集）。

2. 函数及其表示。

- 函数的概念：设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y = f(x),x∈ A。

- 函数的表示法：解析法（用数学表达式表示函数，如y = x^2+1）、图象法（画出函数图象来表示函数）、列表法（列出表格来表示函数关系）。

3. 函数的基本性质。

- 单调性：设函数y = f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量的值x_1,x_2，当x_1时，都有f(x_1)（或f(x_1)>f(x_2)），那么就说函数y = f(x)在区间D上是增函数（或减函数）。

- 奇偶性：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数；都有f(-x)= - f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

二、基本初等函数（Ⅰ）1. 指数函数。

- 指数与指数幂的运算：a^m· a^n=a^m + n，(a^m)^n=a^mn，(ab)^n=a^nb^n等运算法则。

- 指数函数及其性质：函数y = a^x(a>0,a≠1)叫做指数函数。

当a > 1时，函数在R上单调递增；当0 < a < 1时，函数在R上单调递减，且指数函数的图象恒过点(0,1)。

3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型【知识提炼】三种函数模型的性质y=a x(a>1)y=log x(a>1)y=x n(n>0)a在(0,+∞)上增函数增函数 增函数的增减性______________图象的变化随x 增大逐渐近似 随x 增大逐渐近随n 值而不同 趋势与 y 轴 平行 似与 x 轴平行②存在一个x0,当x>x0时,有x n a【即时小测】1.思考下列问题(1)在区间(0,+∞)上,当a>1,n>0时,是否总有log a x<x n<a x成立?提示:不是,但总存在x0,使得当a>1,n>0,x>x0时,log a x<x n<a x成立.(2)能否举例说明“指数爆炸”增长的含义?提示:如1个细胞分裂x次后的数量为y=2x,此为“指数增长”,其“增长量”是成倍增加的,从图象上看出,存在x0,当x>x0时,数量增加特别快,足以体现“爆炸”的效果.2.已知变量y=1+2x,当x减少1个单位时,y的变化情况是()A.y减少1个单位B.y增加1个单位C.y减少2个单位D.y增加2个单位【解析】选C.由y=1+2x可知,当x减少1个单位时,y相应减少2个单位.3.某超市每月的利润的平均增长率为2%,若12月份的利润是当年1月份利润的m倍,则m等于()A.(1.02)12B.(1.02)11C.(0.98)12D.(0.98)11【解析】选B.设1月份的利润为a,则当年12月份的利润为a(1+2%)11,故m=(1.02)11.4.在函数y=3x,y=log3x,y=3x,y=x3中增长速度最快的是. 【解析】由指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异可判断出y=3x的增长速度最快.答案:y=3x5.如图所示曲线反映的是函数模型的增长趋势.【解析】由图象知,此函数的增长速度越来越慢,因此反映的是幂函数模型或对数型函数模型的增长速度.答案:幂函数或对数型【知识探究】知识点几类函数模型的增长差异观察图形,回答下列问题:问题1:函数t(x),f(x),g(x),h(x)随着x的增大,函数值有什么共同的变化趋势?问题2:函数t(x),f(x),g(x),h(x)增长的速度有什么不同?【总结提升】1.四类不同增长的函数模型(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型.(3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型.(4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型.2.几类函数模型的选择(1)一次函数模型:当x增加一个单位时,y增加或减少的量为定值,则y是x的一次函数,一次函数的图象为直线.(2)二次函数模型:二次函数是常用的重要模型,y是x或其他量的二次函数,常用来求最大值或最小值问题,要注意定义域.(3)指数函数模型、对数函数模型:当问题中每期(或每年、每段等)的增长率相同,则为指数函数模型或对数函数模型,一般与增长率、衰减率、利息等现实生活联系紧密.【知识拓展】求解数学应用题必须突破的三关(1)阅读理解关:一般数学应用题的文字阅读量都比较大,要通过阅读审题,找出关键词、句,理解其意义.(2)建模关:即建立实际问题的数学模型,将其转化为数学问题.(3)数理关:运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.【题型探究】类型一几类函数模型的增长差异【典例】1.(2015·怀柔高一检测)四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:关于x呈指数函数变化的变量是.2.函数f(x)=1.1x,g(x)=lnx+1,h(x)=的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以1,e,a,b,c,d为分界点).【解题探究】1.典例1表格中四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化最快的是哪一组?提示:由表中的数据可以看出y2随着x变化,数值增长的速度最快.2.典例2中判断各曲线对应的函数的关键是什么?1,e,a,b,c,d的含义是什么?提示:关键是依据指数函数、对数函数、幂函数的增长速度,判断各曲线对应的函数.1,e,a,b,c,d的含义是相应曲线交点的横坐标.【解析】1.从表格观察函数值y1,y2,y3,y4的增加值,哪个变量的增加值最大,则该变量关于x呈指数函数变化.从表格中可以看出,变量y2,y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,根据指数函数变化的特点,可知变量y2随着x变化呈指数函数变化.答案:y22.由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)= ,曲线C3对应的函数是g(x)=lnx+1.由题图知,当0<x<1时,f(x)>h(x)>g(x);当1<x<e时,f(x)>g(x)>h(x);当e<x<a时,g(x)>f(x)>h(x);当a<x<b时,g(x)>h(x)>f(x);当b<x<c时,h(x)>g(x)>f(x);当c<x<d时,h(x)>f(x)>g(x);当x>d 时,f(x)>h(x)>g(x).【方法技巧】常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升, 其增长速度不变.(2)指数函数模型:能用指数型函数f(x)=ab x+c(a,b,c为常数,a>0,b>1)表达的函数模型,其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增长的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.(3)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlog a x+n(m,n,a为常数,m>0,x>0,a>1)表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”.(4)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0, α≠1)表达的函数模型,其增长情况由a和α的取值确定,常见的有二次函数模型和反比例函数模型.【变式训练】有一组数据如下表:现准备用下列函数中的一个近似表示这些数据满足的规律,则其中最接近的一个是()A.v=log2tB.v=tC.v=D.v=2t-2【解析】选C.取t=1.99≈2,代入A,得v=log22=1≠1.5,代入B,得v==-1≠1.5,代入C,得v==1.5,代入D,得v=2×2-2≠1.5.经计算可知最接近的一个是选项C.类型二指数函数、对数函数与幂函数模型的比较【典例】(2015·赤峰高一检测)函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数.(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2011),g(2011)的大小.【解题探究】本例图中两图象分别过哪几个关键点?增加的速度怎样?它们交点的横坐标x1,x2大约在什么范围内?提示:曲线C1过原点,曲线C2与y轴有交点,曲线C2增加的速度快.又因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10.【解析】(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.(2)因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<6<x2,2011>x2.从图象上可以看出,当x1<x<x2 时,f(x)<g(x),所以f(6)<g(6).当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2011)>g(2011).又因为g(2011)>g(6),所以f(2011)>g(2011)> g(6)>f(6).【延伸探究】1.(改变条件)若将“函数f(x)=2x”改为“f(x)=3x”,又如何求解(1) 呢?【解析】由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知:C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=3x.2.(改变问法)本例条件不变,(2)中结论若改为:试结合图象,判断f(8),g(8),f(2015),g(2015)的大小.【解析】因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<8<x2,2015>x2.从图象上可以看出,当x1<x<x2时,f(x)<g(x),所以f(8)<g(8).当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2015)>g(2015).又因为g(2015)>g(8),所以f(2015)>g(2015)>g(8)>f(8).【方法技巧】由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.【补偿训练】(2015·包头高一检测)函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图象如图所示:(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数.(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).【解析】(1)曲线C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lgx.(2)当0<x<x1时,g(x)>f(x);当x1<x<x2时,f(x)>g(x);当x>x2时,g(x)>f(x);当x=x1或x=x2时,g(x)=f(x).【延伸探究】1.(改变问法)本题条件不变,试根据图象确定x1与1,x2与10的大小关系 .【解析】根据C2对应的函数关系式为f(x)=l gx,结合图象与x的交点为(1,0)可知,x1<1;由于f(10)=l g10=1,g(10)=0.3×10-1=2,g(10)>f(10),根据图象,可知x2<10.2.(改变问法)本题条件不变,试根据图象比较f(1.5),g(1.5),f(2015),g(2015)的大小.【解析】由于f(3)=lg3>0,g(3)=0.3×3-1<0,f(10)=lg10=1,g(10)=0.3×10-1=2,g(10)>f(10),结合图象可知3<x2<10,由于当1<x<3时,f(x)>g(x),故f(1.5)>g(1.5);由于x2<10,故当x>10时,g(x)>f(x),故g(2015)>f(2015),又因为f(2015)>f(1.5),所以g(2015)>f(2015)>f(1.5)>g(1.5).类型三函数模型的选择问题【典例】1.(2015·临汾高一检测)某公司为了适应市场需求,对产品结构做了重大调整.调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系,则可选用()A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数2.(2015·邯郸高一检测)某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为50元,其成本价为25元,因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出,为了净化环境,工厂设计两套方案对污水进行处理,并准备实施.方案一:工厂的污水先净化处理后再排出,每处理1立方米污水所用原料费2元,并且每月排污设备损耗费为30000元;方案二:工厂将污水排到污水处理厂统一处理,每处理1立方米污水需付14元的排污费.问:(1)工厂每月生产3000件产品时,你作为厂长,在不污染环境,又节约资金的前提下应选择哪种方案?通过计算加以说明.(2)若工厂每月生产6000件产品,你作为厂长,又该如何决策呢?【解题探究】1.典例1中由“初期利润增长迅速,后来增长越来越慢”,联想到哪类函数的增长特性?提示:符合对数函数的增长特点.2.典例2中要进行两种方案的选择,需对两种方案进行什么比较?提示:需分为每月生产3000件产品,每月生产6000件产品两种情况下分别计算出两种方案的利润,进行比较利润大小,作出选择.【解析】1.选D.一次函数保持均匀的增长,不符合题意;二次函数在对称轴的两侧有增也有降;而指数函数是爆炸式增长,不符合“增长越来越慢”;因此,只有对数函数最符合题意,先快速增长,后来越来越慢.2.设工厂每月生产x件产品时,依方案一的利润为y1,依方案二的利润为y2,由题意知y1=(50-25)x-2×0.5x-30000=24x-30000,y2=(50-25)x-14×0.5x=18x.(1)当x=3000时,y1=42000,y2=54000,因为y1<y2,所以应选择方案二处理污水.(2)当x=6000时,y1=114000,y2=108000,因为y1>y2,所以应选择方案一处理污水.【方法技巧】解函数应用题的四个步骤第一步:阅读、理解题意,认真审题.读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学实质.审题时要抓住题目中的关键量,善于联想、化归,实现应用问题向数学问题的转化.。

模型1 公切线模型【问题背景】曲线的切线问题是近年来新高考的热点问题，而其中公切线问题由于涉及曲线、参数数量较多，求解难度大，考生往往无法把握解题的关键．此类问题，核心都是设未知数，表示出切线方程并求解，常常与函数、不等式、三角等知识结合在一起考查．【解决方法】【典例1】（2024江苏南通8月期初检测）已知函数()()2e ,21,0xf x xg x ax x a =+=++<，则曲线()y f x =与()y g x =的公切线方程为______．【套用模型】第一步：设切点，分别表示出两条曲线的切线方程．因为()()2e ,21xf x xg x ax x =+=++，所以()()e 1,22x f x g x ax ''=+=+，设曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线与曲线()y g x =在点()()22,x g x 处的切线相同，则切线方程为()()()111y f x f x x x '-=-，即()()1111e e 1x xy x x x --=+-，整理得()1111e 1e e x x xy x x =+-+．又切线方程也可表示为()()()222y g x g x x x '-=-，即()()222222122y ax x ax x x ---=+-，整理得()222221y ax x ax =+-+．第二步：得出关于切线方程系数的方程．所以1112212e 122,e e 1,x x x ax x ax ⎧+=+⎨-+=-+⎩消去2x ，整理得()11121e 4e 42e 410x x x ax a a -+--+=．【点技巧】合理消元，若消去1x ，则会产生对数，求解复杂，应该消去2x ，由12e 122x ax +=+，得12e 12x x a-=第三步：构造函数，利用函数的单调性求解切点坐标．令()()2e 4e 42e 410,0x x xm x ax a a a =-+--+=<，则()()()22e 4e 4e 42e 2e e 21x x x x x xm x a ax a ax =--+-=--'．令()e 21,0xx ax a ϕ=--<，因为a<0，所以函数21y ax =--在R 上单调递增，又函数e x y =在R 上单调递增，所以()x ϕ在R 上单调递增．又()00ϕ=，所以当(),0x ∈-∞时，()0x ϕ<；当()0,x ∈+∞时，()0x ϕ>．又e 0x >，所以当(),0x ∈-∞时，()0m x '<，当()0,x ∈+∞时，()0m x '>，所以()m x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，所以()()00m x m ≥=，因此函数()y m x =只有一个零点，即关于1x 的方程()11121e 4e 42e 410x x x ax a a -+--+=只有一个解10x =．【破瓶颈】此方程无法直接求解，构造函数，应用导数分析函数单调性，求得零点10x =第四步：求得公切线方程．由10x =得切线方程为21y x =+，所以公切线方程为21y x =+．【典例2】（双空题 2024江苏基地大联考第一次质量监测）已知直线l 与曲线1e x y -=和()ln 1y x =+都相切，请写出符合条件的两条直线l 的方程：______，______．【套用模型】第一步：设切点，分别表示出曲线1e x y -=和()ln 1y x =+的切线方程．设直线l 与曲线1e x y -=和()ln 1y x =+分别切于点()()()111222,e ,,ln 1,1x x x x x -+>-，由()()111e e ,ln 11x x x x --''⎡⎤=+=⎣⎦+可得切线方程分别为()()()111112221e e ,ln 11x x y x x y x x x x --=-+=-+++，即()111111212221e e e ,ln 111x x x x y x x y x x x x ---=-+=-++++．第二步：得出关于切线方程系数的方程．因此1121e1x x -=+，则()121ln 1x x -=-+，又()11112122e e ln 11x x x x x x ----+=+++，所以()()1111212222211ee ln 11ln 1111x x x x x x x x x ---⎡⎤-+=+-⋅+=++⎣⎦+++．【指点迷津】根据曲线1e x y -=和()ln 1y x =+的公切线斜率相等，可得()121ln 1x x -=-+，根据两个切线方程的对应系数相等列方程，化简整理求解第三步：化简求切点横坐标．化简得()2221ln 101x x x ⎡⎤-+⋅=⎣⎦+，解得20x =或2e 1x =-．第四步：求得两条切线方程．当20x =时，11x =，切线方程为y x =；当2e 1x =-时，10x =，切线方程为11e ey x =+．【典例3】（2024安徽合肥一中9月模拟）曲线e x y =与ln y x =的两条公共切线的斜率分别为()1212,k k k k <，设两切线的夹角为02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则21tan k k θ=-______．【套用模型】第一步：设切点横坐标，分别表示出曲线e x y =与ln y x =的两条公共切线的方程．设两条公切线与曲线e x y =相切的两个切点横坐标分别为13,x x ，与曲线ln y x =相切的两个切点横坐标分别为24,x x ，其中1432x x x x <<<，则1230,1,0x x x <>>且341,01x x ≠<<．由()()1ee ,ln xxx x''==，可得31122411e ,e x x k k x x ====．斜率为1k 的切线方程为()111e e x xy x x -=-，也可以表示为()2221ln y x x x x -=-；斜率为2k 的切线方程为()333e e x xy x x -=-，也可以表示为()4441ln y x x x x -=-．第二步：得出关于切线方程系数的方程．所以()112121e ,e 1ln 1,x x x x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩整理得1111e 1x x x +=-，同理得3331e 1x x x +=-．【会类比】3x 与1x 的“地位”一样，得到1x 的关系式，可同理得到3x 的关系式第三步：构造函数，利用函数的单调性得切点横坐标的关系式．因此13,x x 是方程1e 1xx x +=-的根，又111e e 11xx x x x x ---+===+--，所以若x 是方程1e 1xx x +=-的根，则x -也是方程1e 1xx x +=-的根．设()()12e e 1111xx x f x x x x +=-=--≠--，易知()()22e 01xf x x -'=+>，则()f x 在()(),1,1,-∞+∞上单调递增，()()()22111320,10,50,2e 30,e 3e2f f f f ⎛⎫-=-<-=>=<=-> ⎪⎝⎭于是函数()f x 在()32,1,,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭上各有一个零点，即方程1e 1xx x +=-有两个不等根，则130x x +=，即3112e e 1x xk k =⋅=．【扫清障碍】函数()f x 无法求出零点，但可分析得到130x x +=，进而可得121k k =第四步：求代数式的值．令斜率为12,k k 的切线倾斜角分别为12,αα，则21θαα=-，()212121212112tan tan tan tan 1tan tan 12k k k k k k ααθαααα---=-===++，所以21tan 12k k θ=-．（2024·安徽·高三校联考阶段练习）1．已知函数()222x ef x e x =+，()3lng x x =，若直线l 与曲线()y f x =及()y g x =均相切，且切点相同，求公切线l 的方程为 ．（2024·山东青岛·高三山东省青岛第一中学校考期中）2．若曲线()21:C f x x a =+和曲线()2:4ln 2C g x x x =-存在有公共切点的公切线，则该公切线的方程为 .（2024·福建厦门·统考模拟预测）3．已知函数()()2ln ,f x mx x g x x mx =+=-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =存在公切线，则实数m 的最大值为 ．（2024·江苏南通·高三统考期末）4．已知直线l 与曲线2e x y -=和ln y x =都相切，请写出符合条件的两条直线l 的方程： ， ．（2024·高三上·江苏泰州·期中）5．若曲线e x y =在点()00,e x A x 00x >处的切线也是曲线ln y x =的切线，则004xx +e 的最小值为 ．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）6．曲线ln y m x =+过点()2,0-的切线也是曲线e x y =的切线，则m =；若此公切线恒在函数()212e 31e e x f x a x x ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭的图象上方，则a 的取值范围是.（2024·广东·校联考模拟预测）7．曲线e x y =与ln y x =的公共切线的条数为 ．（2024·广东深圳·深圳外国语学校二模）8．已知曲线()()1:ln 21C f x x =-在点()11,M x y 处的切线与曲线()212:e x C g x -=相切于点()22,N x y ，则下列结论正确的是（）A ．函数()()21h x x g x =-有2个零点B ．函数()()()3e 2m x f x xg x =-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．()21121g x x =-D ．211201x x +=-（2024·河南安阳·校联考一模）9．已知函数222e ()e x f x x=+，()3eln g x x =，其中e 为自然对数的底数.(1)讨论函数()f x 的单调性.(2)试判断曲线()y f x =与()y g x =是否存在公共点并且在公共点处有公切线.若存在，求出公切线l 的方程；若不存在，请说明理由.（2024·全国·模拟预测）10．如果有且仅有两条不同的直线与函数()(),f x g x 的图象均相切，那么称这两个函数()(),f x g x 为“L 函数组”．(1)判断函数2e x y -=与ln y x =是否为“L 函数组”，其中e 为自然对数的底数，并说明理由；(2)已知函数()2ln f x x =+与()g x =“L 函数组”，求实数a 的取值范围．参考答案：1．3y x e=．【分析】由条件可知()()()()0000f x g x f x g x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩，求得切点后，再求切线方程.【详解】设切点为()00,x y ，由()()()()0000f x g x f x g x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩，得200200220023ln 43x ex e x x e ex x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得0x e =，003ln 3y x ==，故切线方程为()33y x e e -=-，即3y x e=．故答案为：3y x e=2．24y x =-【分析】先分别求出()f x 和()g x 的导数，然后设公共切点的坐标为0(x ，0)y ，根据题意有00()()f x g x ''=，00()()f x g x =，代入相应表达式列出方程组，解出0x 与a 的值，计算出切线斜率和公切线的切点坐标，即可得到切线的方程．【详解】()2f x x a =+，()4ln 2g x x x =-，则有()2f x x '=，4()2g x x'=-．设公共切点的坐标为0(x ，0)y ，则00()2f x x '=，004()2g x x '=-，200()f x x a =+，000()4ln 2g x x x =-．根据题意，有00200004224ln 20x x x a x x x ⎧=-⎪⎪⎪+=-⎨⎪>⎪⎪⎩，解得013x a =⎧⎨=-⎩．∴公切线的切点坐标为(1,2)-，切线斜率为2．∴公切线的方程为22(1)y x +=-，即24y x =-．故答案为：24y x =-3．12##0.5【分析】根据导数的几何意义，利用斜率等于切点处的导数，和切线相同即可判断.【详解】()()1,2f x m g x x m x ''=+=-，假设两曲线在同一点()00,x y 处相切，则002000012ln m x m x mx x x mx⎧+=-⎪⎨⎪+=-⎩，可得2001ln x x -=，即200ln 10x x +-=，因为函数2ln 1y x x =+-单调递增，且1x =时0y =，所以01x =，则12m =，此时两曲线在11,2⎛⎫⎪⎝⎭处相切，根据曲线的变化趋势，若12m >，则两曲线相交于两点，不存在公切线，如图，所以m 的最大值为12.故答案为：12.4．1y x =-1ey x=【分析】设出切点，利用切点求解切线方程，联立方程即可求解切点处的值，代入即可求解切线方程【详解】2e x y -'=，1y x'=，设直线与曲线2e x y -=和ln y x =相切于点()()2112,,,x y y x ，则所以切线方程分别为()()112212221e e ,ln x x y x x y x x x x --=-+=-+，因此1221e ,x x -=则122ln x x -=-，又112212e e 1ln x x x x ---+=-+，将122ln x x -=-代入可得()()1112221111e e 12+1e 10+10x x x x x x x ----+=-+-⇒--=⇒-=或12e 10x --=12e 10x --=，解得11x =或12x =，将其代入()11221e e x x y x x --=-+中，因此当11x =时，切线方程为1ey x =，当12x =时，切线方程为1y x =-，故答案为：1y x =-,1ey x =5．5+【分析】由两条曲线的公切线斜率分别等于各曲线上切点处的导数值，以及各曲线上切点分别满足切线方程来列方程组，得到0x 与0e x 满足的关系式，将原式中的0e x 替换，再利用基本不等式求最小值即可.【详解】曲线e x y =在点A 处的切线可写作000()xxy x x =-+e e 设该切线在曲线ln y x =上的切点为(,ln )t t ，则有000ln e ()e 1e x x x t t x t⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，消去t 得0001e 1x x x +=-则0000000112441)44(511x x x x x x x ++=+=-+≥+++--e 当且仅当00421)1(x x --=，即01x =时取得该最小值.故答案为：5+6．2e2e a <-【分析】根据导数的几何意义可求出m ；将此公切线恒在函数()212e 31e e xf x a x x ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭的图象上方，转化为231e xx x a ++<恒成立，再构造函数231()e xx x g x ++=，利用导数求出最小值即可得解.【详解】由ln y m x =+得1y x'=，设曲线ln y m x =+过点()2,0-的切线的切点为00(,ln )x m x +，则切线的斜率为01x ，切线方程为0001ln ()y m x x x x --=-，由于该切线过点(2,0)-，所以002ln 1m x x --=--，设该切线与曲线e x y =切于11(,)x y ，因为e x y =，所以e x y '=，所以该切线的斜率为1e x ，所以切线方程为111e e ()x xy x x -=-，将(2,0)-代入得1110e e (2)x x x -=--，得11x =-，所以1011e e x x ==，所以0e x =，所以ln e=m --21e--，所以2e m =.由以上可知该公切线方程为11(1)e e y x -=+，即12e e y x =+，若此公切线恒在函数()212e 31e e x f x a x x ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭的图象上方，则21212e (3)1e e e e x x a x x +>-+-+-，即231e xx x a ++<恒成立，令231()e xx x g x ++=，则()22(23)e (31)e ()e x x x x x x g x +⋅-++⋅'=22e x x x --+=，令()0g x '>，得220x x --+>，得2<<1x -，令()0g x '<，得220x x --+>，得<2x -或1x >，所以()g x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,1)-上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，因为0x >时，()0g x >，所以当2x =-时，()g x 取得最小值2(2)e g -=-.所以2e a <-.【点睛】关键点点睛：求解第二个空时，转化为不等式恒成立，利用导数求解是解题关键.7．2【分析】设公切线关于两函数图像的切点为()()1122,e ，,l n xx x x ，则公切线方程为：()()1112221e e l n x x y x x x x x x =-+=-+，则()112121e e 1ln 1x x x x x ⎧=⎪⇒⎨⎪-=-⎩()222110l n xx x ---=，则公切线条数为()()1ln 1h x x x x =---零点个数.【详解】设公切线关于两函数图像的切点为()()1122,e ，,l n xx x x ，则公切线方程为：()()1112221eel n x x y x x x x x x =-+=-+，则()112121e e 1ln 1x x x x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，注意到121e xx =，21ln x x =-，则由()112e 1ln 1xx x -=-，可得()22222221110l n l n l n x x x x x x x +=-⇒---=.则公切线条数为方程()222110l n x x x ---=的根的个数，即函数()()1ln 1h x x x x =---的零点个数.()1ln h x x x '=-，令()1l n p x x x =-，则()2110p x x x'=+>，得()()h x p x '=在()0,∞+上单调递增.因()()111010，e eh h ''=-<=->，则()01,e x ∃∈，使得()00010l n h x x x '=-=.则()h x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，故()()()0000001110m i n l n h x h x x x x x x ==---=--<，又注意到()()2222321110e e e e h ---=---=->，()()222221130e e e e h =---=->，则()()223040e ,，,e x x x x -∃∈∃∈，使得()()340h x h x ==，得()h x 有2个零点，即公共切线的条数为2.故答案为：2【点睛】关键点点睛：本题涉及研究两函数公切线条数，难度较大.本题关键为将求公切线条数转化为求相关函数零点个数，又由题2x 有范围，故选择消掉1x ，构造与2x 有关的方程与函数.8．BCD【分析】利用导数说明函数的单调性，结合零点存在性定理判断A ，利用导数判断函数的单调性，即可说明B ，利用导数的几何意义表示出切线方程，即可得到方程组，从而判断C 、D.【详解】对于A ：()()()()22221111e21e x x h x x g x h x x x x ---'=+⇒=-=，当0x >时，()()0,h x h x '>单调递增，当10x -<<时，()()0,h x h x '>单调递减，当1x <-时，()()0,h x h x '>单调递增，函数()h x 的极大值为()31e 10h --=-<，极小值为()010h =-<，因此当1x <-时，()0h x <，当10x -<<时，()0h x <，又()1e 10h =->，所以()()010h h <，则()h x 在()0,1上存在零点，因此函数()h x 只有一个零点，故A 不正确；对于B ：()()()()2133e eln 21e 22x m x f x xg x x x -=-=--，则()()213e21e 21x m x x x -'=-+-，令()()2121e x H x x -=-+，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()2143e0x H x x -'=-+<，所以()H x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又3e 21y x =-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()m x '单调递减，所以当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()10m x m ''>=，所以函数()()()3e 2m x f x xg x =-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故B 正确；对于C ：()()()2ln 2121f x x f x x '=-⇒=-，因此曲线()()1:ln 21C f x x =-在点()11,M x y 处的切线方程为：()()()1111111222ln 21ln 21212121x xy x x x y x x x x --=-⇒=+-----，由()()2121e2e x x g x g x --'=⇒=，因此曲线()212:ex C g x -=相切方程为：()22222212121212122e 2e 2e e 2e x x x x x y x x y x x ------=-⇒=+-，因为曲线()()1:ln 21C f x x =-在点()11,M x y 处的切线与曲线()212:e x C g x -=相切于点()22,N x y ，所以()()2222222121112121212111121211212e e212122ln 21e 2e ln 21e 2e 2121x x x x x x x x x x x x x x x x ------⎧⎧==⎪⎪--⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪--=---=-⎪⎪--⎩⎩，因此()221211e21x g x x -==-，故C 正确；对于D ：由上可知：()222211212111211e 212ln 21e 2e 21x x x x x x x x ---⎧=⎪-⎪⎨⎪--=-⎪-⎩，因此有()22212111212ln 21e 2e 21x x x x x x ----=--()22112111221ln e 212121x x x x x x --⇒-=----12211122121212121x x x x x x ⇒-+-=----()122212112210211201x x x x x x x ⇒-+=⇒-=-⇒+=-，故D 正确，故选：BCD【点睛】关键点睛：涉及公切线问题，一般是利用导数的几何意义表示出切线方程，根据两切线相同得到方程组，从而整理得到()222211212111211e 212ln 21e 2e 21x x x x x x x x ---⎧=⎪-⎪⎨⎪--=-⎪-⎩.9．(1)()f x 在(),0∞-上单调递减，在⎛ ⎝上单调递减，在⎫∞⎪⎭上单调递增.(2)存在，3y x=【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；（2）假设曲线()y f x =与()y g x =存在公共点且在公共点处有公切线，且切点横坐标为00x >，即可得到()()()()0000f x g x f x g x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩，则有3230043e e 0x x --=，构造函数()32343e e h x x x =--，()0,x ∈+∞，利用导数说明函数的单调性，即可知方程()00h x =在()0,∞+上有唯一实数根0e x =，即可得到切点横坐标，再根据导数的几何意义计算可得.【详解】（1）解：因为222e ()e x f x x=+定义域为{}|0x x ≠，所以()233224e 4e e e x x f x x x -'=-=，令()0f x '=，解得x =当x <0x ≠时，()0f x '<；当x ()0f x '>，所以()f x 在(),0∞-上单调递减，在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎭上单调递增.（2）解：由()3eln g x x =定义域为()0,∞+，3e ()g x x'=，假设曲线()y f x =与()y g x =存在公共点且在公共点处有公切线，且切点横坐标为00x >，则()()()()0000f x g x f x g x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2200020200e 23eln 4e 3e e x x x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，其中202004e 3e e x x x -=即3230043e e 0x x --=，记()32343e e h x x x =--，()0,x ∈+∞，则()()()32e 2e h x x x '=+-，所以当e02x <<时()0h x '<，当e 2x >时()0h x '>，所以()h x 在e 02⎛⎫⎪⎝⎭,上单调递减，在e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又()30e h =-，3e 2e 2h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()e 0h =，故方程()00h x =在()0,∞+上有唯一实数根0e x =，经验证0e x =也满足22000e 23eln x x x +=，于是()()003e f x g x ==，()()003f x g x ''==，所以曲线()y f x =与()y g x =的公切线l 的方程为()3e 3e y x -=-，即3y x =.10．(1)它们为“L 函数组”，理由见解析(2)()0,2【分析】（1）设出切点，得到两函数的切线方程，根据斜率相等得到1221ex x -=，代入两切线方程，对照系数得到()()1211e 10x x --+-=，解得11x =或12x =，求出两条切线方程，得到答案；（2）设出切点，得到两切线方程，求出0a >，再联立1ln 1y x t t y ⎧=++⎪⎨⎪=⎩，转化为方程有两个正数根，构造()4ln 4t g t t+=，求导得到其单调性，极值最值情况，数形结合得到答案.【详解】（1）函数2e x y -=和ln y x =是“L 函数组”，理由如下：设直线与曲线2e x y -=和ln y x =相切于点()()1122,,,x y x y ，2e x y -'=，1y x'=，则切线方程分别为()()112212221ee ,ln x x y x x y x x x x --=-+=-+．因此1221ex x -=，则122ln x x -=-．故()()11221112222111e e x x x x y x x x x x x x x ---=-+=-+=+，()()()2221122211ln 21xy x x x x x x x x x x =-+=---=+-，由于两切线为同一直线，故11211x x x -=-，即()112110x x x ---=，又1221e x x -=，故()()1211e 10x x --+-=，解得11x =或12x =，当11x =时，切线方程为1ey x =，当12x =时，切线方程为1y x =-，因此切线方程为1ey x =或1y x =-．因为有且仅有两条不同的直线与函数2e x y -=和ln y x =的图象均相切，所以它们为“L 函数组”．（2）因为函数()2ln f x x =+与()g x =“L 函数组”，所以它们的图象有且仅有两条公切线．由()2ln f x x =+，得()1f x x'=，设切点坐标为(),2ln t t +，0t >，则切线方程为()12ln y x t t t=-++，()g x '=(,m，则切线方程为)y x m -=-，由题意得1t =0t >，所以0a >．联立1ln 1y x t t y ⎧=++⎪⎨⎪=⎩，所以ln 0x t t t -+=．由判别式22Δ4ln 40a t t t t =--=，可得24ln 4t a t+=．依题意，关于实数t 的方程224ln 40a t t t t --=恰有两个不同的正数解．令()4ln 4t g t t+=，则()2244ln 44ln t tg t t t ---=='，故当()0,1t ∈时，()0g t '>，所以()g t 单调递增；当()1,t ∞∈+时，()0g t '<，所以()g t 单调递减，所以()()max 14g t g ==．又10e g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当x →+∞时，()0g x +→；所以204a <<．又0a >，所以02a <<，实数a 的取值范围是()0,2．【点睛】当已知切点坐标为()00,x y 时，根据导函数的几何意义可得到切线的斜率，再利用()()()000y f x f x x x '-=-求出切线方程；当不知道切点坐标时，要设出切点坐标，结合切点既在函数图象上，又在切线方程上，列出等式，进行求解.。

高中生物学中的数学模型山东省嘉祥县第一中学孙国防高中生物学中的数学模型是对高中生物知识的高度概括，也是培养学生分析推理能力的重要载体，本文通过归纳高中生物学中的数学模型以提高学生的分析推理能力。

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5. 影响细胞呼吸及光合作用的因素【经典模型1】【考查考点】真正光合速率= 净光合速率+呼吸速率光合作用实际产O2量＝实测O2释放量＋呼吸作用耗O2光合作用实际CO2消耗量＝实测CO2消耗量＋呼吸作用CO2释放光合作用葡萄糖生产量＝光合作用葡萄糖积累量＋呼吸作用葡萄糖消耗量【经典模型2】【考查考点】氧气浓度对有氧呼吸和无氧呼吸的影响，以及在种子和蔬菜储存中的原因。

6 基因的分离和自由组合定律【典型例题】男性并指、女性正常的一对夫妇，生了一个先天性聋哑的儿子，这对夫妇以后所生子女，（并指是常染色体显性遗传病，两种病均与性别无关）正常的概率：_________同时患两种病的概率：_________患病的概率：_________只患聋哑的概率：_________只患并指的概率：_________只患一种病的概率：_________序号类型计算公式1 患甲病的概率m 则非甲病概率为1-m2 患乙病的概率n 则非乙病概率为1-n3 只患甲病的概率m-mn4 只患乙病的概率n-mn5 同患两种病的概率mn6 只患一种病的概率m+n-2mn或m(1-n)+n(1-m)7 患病概率m+n-mn或1-不患病概率8 不患病概率(1-m)(1-n)7. 中心法则【经典模型】DNA分子的多样性：４ＮDNA的结构：Ａ＝Ｔ，Ｇ＝Ｃ，Ａ＋Ｇ＝Ｔ＋Ｃ，（Ａ１％＋Ａ２％）／２＝Ａ％，Ａ１％＋Ｔ１％＝Ａ２％＋Ｔ２％＝Ａ％＋Ｔ％DNA的复制：某DNA分子复制Ｎ次所需要的游离的鸟嘌呤脱氧核苷酸：（２Ｎ－１）Ｇ１５Ｎ标记的DNA分子在１４Ｎ的原料中复制n次，含１５Ｎ的DNA分子占总数的比例：２／２nＤＮＡ中的碱基数和其控制的蛋白质中的氨基酸数的比例关系：6:1【考查考点】DNA的结构，碱基组成，半保留复制和基因的表达。

㊀㊀㊀１２３㊀㊀高中数学中的概率模型高中数学中的概率模型Һ杨玉灿㊀（上海市南汇第一中学，上海㊀２０１３９９）㊀㊀ʌ摘要ɔ数学模型是将学生面对的实际问题抽象化，并建立相应方式的解题模式，该模式对于解决实际问题提供了便利．概率模型是概率知识的重要组成部分，在高中数学教学中有着重要的地位；概率模型是新课标要求高中学生必须掌握的模型之一，也是高考数学的必考内容．掌握古典概率模型㊁几何概率模型以及其他模型为学习概率知识打下了良好基础．下面通过一些例题系统地比较分析高中数学中的三种概率模型．ʌ关键词ɔ数学模型；高中数学；概率模型一㊁古典概率模型古典概型的随机试验，包含了若干个基本事件，这些基本事件都具有两大基本特性：第一，任何两个基本事件一定互斥；第二，排除不可能事件外，任何事件都是由基本事件所组成的．通常情况下，辨别某一个概率事件是否为古典概型，要看它有无下述两点特性：第一，该项实验中全部可能存在的基本事件数量是有限的；第二，所有基本事件存在的概率均相同．凡符合上述两点特性者均为古典概型，其数学公式为：Ｐ（Ａ）＝ｍｎ，其中ｍ为事件Ａ包含的基本事件个数，ｎ为整个随机试验包含的基本事件的个数．基本事件的有限性和等可能性是正确判断随机试验的类型为古典概型的依据，也是解决此类问题的关键．处理古典概型的方法一般分为两种：图表法和列举法．（一）ＣＡＳＥ１㊀用图表法求古典概型的概率例１㊀现存在两个玩具，其形状均为正四面体，每个玩具的四面分别写有１㊁２㊁３㊁４．现进行投掷玩具试验，以Ｘ代表第一个玩具抛落在地的贴地面数字，以Ｙ代表另一个玩具贴地面的数字，两者用（Ｘ，Ｙ）的形式表示．①要求罗列上述试验基本事件；②计算 两玩具贴地面数字之和大于３ 的事件概率；③计算 两玩具贴地面数字相等 的事件概率．解㊀①这个试验的基本事件列表如下：１２３４１（１，１）（１，２）（１，３）（１，４）２（２，１）（２，２）（２，３）（２，４）３（３，１）（３，２）（３，３）（３，４）４（４，１）（４，２）（４，３）（４，４）从表中可以看出，该随机试验共包含了１６个基本事件．②由①中图表可知，事件 两玩具贴地面的数字之和大于３ 包含有１３个基本事件，ʑＰ＝１３１６．③由①中图表可知，事件 两玩具贴地面的数字相等包含有４个基本事件，ʑＰ＝４１６＝１４．（二）ＣＡＳＥ２㊀用列举法求古典概型的概率例２㊀现有８名志愿者，其中志愿者Ａ１㊁Ａ２㊁Ａ３通晓日语，Ｂ１㊁Ｂ２㊁Ｂ３通晓俄语，Ｃ１㊁Ｃ２通晓韩语．从中选出通晓日语㊁俄语㊁韩语的志愿者各一名，组成一个小组．①求Ａ１被选中的概率；②求Ｂ１和Ｃ１不全被选中的概率．解㊀①从８人中选出通晓日㊁俄㊁韩语的志愿者各一名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω＝｛（Ａ１，Ｂ１，Ｃ１），（Ａ１，Ｂ１，Ｃ２），（Ａ１，Ｂ２，Ｃ１），（Ａ１，Ｂ２，Ｃ２），（Ａ１，Ｂ３，Ｃ１），（Ａ１，Ｂ３，Ｃ２），（Ａ２，Ｂ１，Ｃ１），（Ａ２，Ｂ１，Ｃ２），（Ａ２，Ｂ２，Ｃ１），（Ａ２，Ｂ２，Ｃ２），（Ａ２，Ｂ３，Ｃ１），（Ａ２，Ｂ３，Ｃ２），（Ａ３，Ｂ１，Ｃ１），（Ａ３，Ｂ１，Ｃ２），（Ａ３，Ｂ２，Ｃ１），（Ａ３，Ｂ２，Ｃ２），（Ａ３，Ｂ３，Ｃ１），（Ａ３，Ｂ３，Ｃ２）｝共１８个基本事件．用Ｍ表示 Ａ１恰被选中 这一事件．则Ｍ＝｛（Ａ１，Ｂ１，Ｃ１），（Ａ１，Ｂ１，Ｃ２），（Ａ１，Ｂ２，Ｃ１），（Ａ１，Ｂ２，Ｃ２），（Ａ１，Ｂ３，Ｃ１），（Ａ１，Ｂ３，Ｃ２）｝共６个基本事件．ʑＰ（Ｍ）＝６１８＝１３．②用Ｎ表示 Ｂ１和Ｃ１不全被选中 这一事件，则其对立事件Ｎ表示为 Ｂ１㊁Ｃ１全被选中 这一事件，由于Ｎ＝｛（Ａ１，Ｂ１，Ｃ１），（Ａ２，Ｂ１，Ｃ１），（Ａ３，Ｂ１，Ｃ１）｝，即事件Ｎ包含了３个基本事件，ʑＰ（Ｎ）＝３１８＝１６，ʑＰ（Ｎ）＝１－１６＝５６．二㊁几何概率模型几何概型定义：假使每个事件发生的概率都只同该事件所表示区域的长度㊁面积或体积成比，此类概率模式即为几何概型．计算公式如下：Ｐ（Ａ）＝构成事件Ａ的区域长度（面积或体积）试验全部结果所构成的区域长度（面积或体积）．通过以上定义和计算公式，我们可以得出几何概型的三种基本题型．（一）ＣＡＳＥ１㊀求与长度有关的几何概型的概率㊀图１例３㊀如图Ａ㊁Ｂ两盏路灯之间的长度是３０米，因住户反应两灯之间距离过远，光线太暗，现需要在Ａ，Ｂ中间再安两盏灯Ｃ㊁Ｄ，求Ａ㊁Ｃ两灯和Ｂ㊁Ｄ两灯之间距离都大于或等于１０米的概率．解㊀记事件Ｅ为 Ａ与Ｃ，Ｂ与Ｄ之间的距离都不小于１０米 ，把ＡＢ三等分，３０ˑ１３＝１０米．ʑＰ（Ｅ）＝１０３０＝１３．（二）ＣＡＳＥ２㊀求与面积有关的几何概型的概率㊀图２例４㊀现有一长方形ＡＢＣＤ，长和宽分别为２㊁１，ＡＢ中点设为Ｏ，在长方形内随机取一点，求该点与Ｏ点距离超过１的概率．解㊀记事件Ｅ为 取点到Ｏ的距离大于１ ，其对立事件Ｅ为取点到Ｏ点距离小于１ ．因为长方形的面积为２，以Ｏ为圆心，１为半径作圆，在长方形ＡＢＣＤ内部为半圆的面积等于π２．㊀㊀㊀㊀㊀１２４㊀ʑＰ（Ｅ）＝π２２＝π４，Ｐ（Ｅ）＝１－π４．故取点到Ｏ点距离大于１的概率为１－π４．（三）ＣＡＳＥ３㊀求与体积有关的几何概型的概率例５㊀已知正三棱锥Ｓ－ＡＢＣ的底面边长为４，高为３，在正三棱锥内任取一点Ｐ，使得ＶＰ－ＡＢＣ＜１２ＶＳ－ＡＢＣ的概率是多少？㊀图３解㊀要使ＶＰ－ＡＢＣ＜１２ＶＳ－ＡＢＣ，只需使三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的高小于三棱锥Ｓ－ＡＢＣ的高的一半．设Ａ１，Ｂ１，Ｃ１分别为ＳＡ，ＳＢ，ＳＣ的中点，则所求概率即为棱台Ａ１Ｂ１Ｃ１－ＡＢＣ的体积与三棱锥Ｓ－ＡＢＣ的体积之比．其中Ｏ１为正三棱锥的高ＳＯ的中点，әＡ１Ｂ１Ｃ１是过Ｏ１平行于底面的截面．ＶＳ－ＡＢＣ＝１３ˑ１２ˑ４ˑ４ˑ３２æèçöø÷ˑ３＝４３，ＶＡ１Ｂ１Ｃ１－ＡＢＣ＝ＶＳ－ＡＢＣ－ＶＳ－Ａ１Ｂ１Ｃ１＝４３－１３ˑ（１２ˑ２ˑ２ˑ３２）ˑ３２＝７３２．ʑＰＶＰ－ＡＢＣ＜１２ＶＳ－ＡＢＣ()＝７３２ː４３＝７８．三㊁抽取 小球 试验模型抽取 小球 试验模型可以分为两种基本类型，即抽取 小球 放回试验和抽取 小球 不放回试验．抽取 小球 放回试验模型称为几何分布；抽取 小球 不放回试验模型称为超几何分布．（一）ＣＡＳＥ１㊀求服从几何分布的概率什么叫几何分布呢？几何分布是常用的一个离散型分布，几何分布的概率公式为：Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝（１－ｐ）ｋ－１ｐ，随着ｋ增大呈等比级数变化，等比级数又称几何级数．例６㊀现有一批货品，包含合格品１０枚㊁次品３枚，每次从这批货品中随机抽取一枚，且假设所有产品被抽取的概率均相等，分别算出下述两种情况中抽出合格品为止的抽取次数为Ｘ的分布列．①所有抽取出的产品均不放回；②每次抽取的产品均需放回该批次货品才能继续进行抽取．分析㊀①因抽取货品后均不放回，可知每次抽取相互影响；②因抽取后均需放回才可进行下一次抽取，可知每次抽取相互独立，该情况隶属于几何分布．解㊀①根据题意知，随机变量Ｘ可取值为：１，２，３，４．当Ｘ＝１时，即第一次取出的产品为合格品，故Ｐ（Ｘ＝１）＝１０１３；当Ｘ＝２时，即第二次取出的产品为合格品，第一次取到的产品为次品，故Ｐ（Ｘ＝２）＝３１３ˑ１０１２＝５２６；类似地Ｐ（Ｘ＝３）＝３１３ˑ２１２ˑ１０１１＝５１４３；Ｐ（Ｘ＝４）＝３１３ˑ２１２ˑ１１１ˑ１０１０＝１２８６．所以Ｘ的分布列为：Ｘ１２３４Ｐ１０１３５２６５１４３１２８６②因为每次取出的产品都放回再抽取，所以这类试验符合几何分布的特征，随机变量Ｘ的取值为１，２，３， ，ｎ，随机变量Ｘ服从几何分布．当Ｘ＝１时，即第一次取到了合格品，ʑＰ（Ｘ＝１）＝１０１３；当Ｘ＝２时，即第一次取到次品，第二次取到了合格品，ʑＰ（Ｘ＝２）＝３１３ˑ１０１３；当Ｘ＝３时，即第一次㊁第二次取到次品，第三次取到了合格品，ʑＰ（Ｘ＝３）＝３１３ˑ３１３ˑ１０１３＝３１３()２ˑ１０１３；类似地，当Ｘ＝ｎ时，即前ｎ－１次取到的均为次品，第ｎ次取到合格品，故Ｐ（Ｘ＝ｎ）＝３１３()ｎ－１ˑ１０１３．所以随机变量Ｘ的分布列为：Ｘ１２３ｎＰ１０１３３１３ˑ１０１３３１３()２ˑ１０１３３１３()ｎ－１ˑ１０１３点评㊀（１）几何分布是放回抽样问题，这也是几何分布的特征，其分布列概率可以代入公式Ｐ（Ｘ＝ｈ）＝（１－ｐ）ｋ－１ｐ；（２）此类试验都可以看作是抽取 小球 的试验模型，难点在于确定随机变量Ｘ取值的个数．（二）ＣＡＳＥ２求服从超几何分布的概率什么叫超几何分布呢？如果在含有Ｍ件次品数的Ｎ件产品中，任取ｎ件，其中含有Ｘ件次品，则事件｛Ｘ＝ｋ｝发生的概率为：Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝ＣｋＭＣｎ－ｋＮ－ＭＣｎＮ，ｋ＝０，１，２， ，ｍ，其中ｍ＝ｍｉｎ｛Ｍ，Ｎ｝且ｎɤＮ，ＭɤＮ，ｎ，Ｍ，ＮɪＮ∗．我们把这样的分布称为超几何分布．由于这个级数ＣｋＭＣｎ－ｋＮ－ＭＣｎＮ和几何级数类似，被称为超几何级数，因此得名．例７㊀从装有３个红球２个白球的袋子中随机取出２个球，设其中有Ｘ个红球，求随机变量Ｘ的分布列．解㊀本题的随机变量Ｘ服从超几何分布，其概率的计算公式：Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝Ｃｋ３Ｃ２－ｋ２Ｃ２５，代入公式得Ｐ（Ｘ＝０）＝０．１，Ｐ（Ｘ＝１）＝０．６，Ｐ（Ｘ＝２）＝０．３．故Ｘ的分布列为：Ｘ０１２Ｐ０．１０．６０．３点评㊀（１）超几何分布隶属于不放回抽样，这也是其最为显著的特点，其分布列概率公式如下：Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝ＣｋＭＣｎ－ｋＮ－ＭＣｎＮ；（２）此类问题都可以转化为例７抽取 小球 的试验模型，随机变量Ｘ为取到 红球 的个数，超几何分布的本质上也是古典概型．总结：通过讨论以上三种基本概率模型，我们总结出概率模型的一些通性以及解题的一些通法．这为我们今后遇到此类问题时提供一些帮助，使我们在分析问题和处理问题时少走一些弯路，帮助我们准确而快速地找到解题的思路和方法．。