数学建模-概率模型案例
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数学建模-第四章-概率统计模型
数
学 建
4.2 报纸零售商最优购报问题
模
报纸零售商售报： a (零a-b；退回一份赔 b-c 题 每天购进多少份可使收入最大？
购进太多卖不完退回赔钱
分 析
购进太少不够销售赚钱少
应根据需求确定购进量
存在一个合 适的购进量
每天需求量是随机的
每天收入是随机的
△+6 △+2
多雨 P（N3）=0.1
△+1.2
数
学 例4.4.1只包括一个决策点，称为单级决策问 建 题。在有些实际问题中将包括两个或两个以 模 上的决策点，称为多级决策问题，可利用同
样的思路进行决策。
例4.1.2 某工程采用正常速度施工，若无坏天气的 影响，可确保在30天内按期完成工程，但据天气预 报，15天后天气肯定变坏，有40%的可能出现阴雨 天气，但这不会影响工程进度，有50%的可能遇到 小风暴，而使工期推迟15天；另有10%的可能遇到 大风暴而使工期推迟20天。对于以上可能出现的情 况，考虑两种方案：
3
1
1
1
55
E(A2 ) 3 30 3 25 3 0 3
1
1
1
E(A3 ) 3 10 3 10 3 10 10
显然 E(A 1)E(A2)都达到最大值，这时究竟选
那一个策略可由决策者的偏好决定，若是乐观型的，
可选A1，否则选A2 。
数
学
建
模 从本例可以看出，对不确定型的决策问题，采 用不同的决策准则所得到的结果并非完全一致。 但难说哪个准则好，哪个准则不好。究竟在实 际问题中采用哪个准则，依决策者对各种自然 状态的看法而定。因此，为了改进不确定型决 策，人们总是设法得到各自然状态发生的概率， 然后进行决策。
数学建模-概率模型
如对均值为mu、标准差为sigma的正态分布，举例如下：
1．密度函数：p=normpdf(x,mu,sigma) (当mu=0,sigma=1时可缺省)
例 1 画出正态分布 N (0,1) 和 N (0,22 ) 的概率密度函数图形.
在MATLAB中输入以下命令： x=-6:0.01:6; y=normpdf(x); z=normpdf(x,0,2); plot(x,y,x,z)
9.1 传送系统的效率
背
传送带
景 挂钩
产品
工作台
工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若 工作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。
在生产进入稳态后，给出衡量传送带效 率的指标，研究提高传送带效率的途径
模型分析
• 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应 假定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产 品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将 产品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下 这件产品并立即投入下件产品的生产。 • 工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产 完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的， 并且在一个周期内任一时刻的可能性相同。
例：现有100个零件，其中95个长度合格，94个直径和格， 92个两个尺寸都合格。任取一个，发现长度合格，问直径 合格的概率。
设A=‘长度合格’，B=‘直径合
格’
P( A) 95 , P( AB) 92
100
100
P(B | A) P( AB) 92 P( A) 95
全概率公式和贝叶斯公式
u0 u0
L(
x)
c 2
x
0
(
x
r
)
p(r
)dr
数学建模-概率模型
确定性现象的特征
条件完全决定结果
随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象.
实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
实例2 明天的天气可
特征: 条件不能完全决定结果
能是晴 , 也可能是多云
或雨.
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联 系 , 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有 一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这 种本质规律的一门数学学科. 如何来研究随机现象?
P( A)
m n
A
所包含样本点的个数 样本点总数
.
古典概型的基本模型:摸球模型
(1) 无放回地摸球
(2) 有放回地摸球
例1 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的.
解 假设接待站的接待时间没有
规定,且各来访者在一周的任一天
0.0000003 .
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从 而可知接待时间是有规定的.
例2 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 有2人生日相同的概率.
解 64 个人生日各不相同的概率为
p1
365
364
(365 36564
2. 假设遗传基因是由两个基因A和B控制的，则有 三种可能基因型：AA、AB和BB。
例如：金鱼草是由两个基因决定它开花的颜色，AA 型开红花，AB型开粉花，而BB型开白花。这里AA型 和AB型表示了同一外部特征，此时可以认为基因A 支配了基因B，也可以说基因B对基因A是隐性的。
数学建模中的概率统计模型1
x1 2，F1统计量和与χ y1 对应的概率p。 相关系数 R 回归系数 a ， b 以及它们的置信区间 0 残差向量e=Y-Y 及它们的置信区间 X , Y 1 xn yn
残差及其置信区间可以用rcoplot(r,rint)画图。
3、将变量t、x、y的数据保存在文件data中。 save data t x y 4、进行统计分析时，调用数据文件data中的数 据。 load data 方法2 1、输入矩阵：
data=[78,79,80,81,82,83,84,85,86,87; 23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4; 41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0]
线性模型 (Y , X , I n ) 考虑的主要问题是： （1） 用试验值（样本值）对未知参数 和 2 作点估计和假设检验，从而建立 y 与
x1 , x 2 ,..., x k 之间的数量关系；
（2）在 x1 x01 , x2 x02 ,..., xk x0 k , 处对 y 的值作预测与控制，即对 y 作区间估计.
1 ( x0 x ) 2 ˆ 1 d n t (n 2) n Lxx 2
Q ˆ n2
2
设y在某个区间(y1, y2)取值时, 应如何控制x 的取值范围, 这样的问题称为控制问题。
可线性化的一元非线性回归 需要配曲线，配曲线的一般方法是： • 先对两个变量x和y 作n次试验观察得画出 散点图。 • 根据散点图确定须配曲线的类型。 • 由n对试验数据确定每一类曲线的未知参数 a和b采用的方法是通过变量代换把非线性 回归化成线性回归，即采用非线性回归线 性化的方法。
残差及其置信区间可以用rcoplot(r,rint)画图。
3、将变量t、x、y的数据保存在文件data中。 save data t x y 4、进行统计分析时，调用数据文件data中的数 据。 load data 方法2 1、输入矩阵：
data=[78,79,80,81,82,83,84,85,86,87; 23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4; 41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0]
线性模型 (Y , X , I n ) 考虑的主要问题是： （1） 用试验值（样本值）对未知参数 和 2 作点估计和假设检验，从而建立 y 与
x1 , x 2 ,..., x k 之间的数量关系；
（2）在 x1 x01 , x2 x02 ,..., xk x0 k , 处对 y 的值作预测与控制，即对 y 作区间估计.
1 ( x0 x ) 2 ˆ 1 d n t (n 2) n Lxx 2
Q ˆ n2
2
设y在某个区间(y1, y2)取值时, 应如何控制x 的取值范围, 这样的问题称为控制问题。
可线性化的一元非线性回归 需要配曲线，配曲线的一般方法是： • 先对两个变量x和y 作n次试验观察得画出 散点图。 • 根据散点图确定须配曲线的类型。 • 由n对试验数据确定每一类曲线的未知参数 a和b采用的方法是通过变量代换把非线性 回归化成线性回归，即采用非线性回归线 性化的方法。
数学建模简单13个例子
总距离为 n 1 ，
故有砖点n块 出向人右意可料时 叠。k1至, 2knk任1 2意1k远，n这1 一21n结果多少返回
10、寻找黑匣子
飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种 射线。为了搞清失事原因，人们必须尽快找回匣子。 确定黑匣子的位置，必须确定其所在的方向和距离， 试设计一些寻找黑匣子的方法。由于要确定两个参 数，至少要用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣 子发射射线的强度。
分析：在这场“价格战”中，我们将站在乙加油站的立 场上为其制定价格对策．因此需要组建一个模型来描述 甲站汽油价格下调后乙加油站销售量的变化情况．
为描述价格和汽油销售量之间的关系，我们引入如下 一些指标：
影响乙加油站汽油销售量的因素 (1)甲加油站汽油降价的幅度； (2)乙加油站汽油降价的幅度； (3)两站之间汽油销售价格之差．
在这场“价格战”中，我们假设汽油的正常销售价格 保持定常不变，并且假定以上各因素对乙加油站汽油 销售量的影响是线性的．于是乙加油站的汽油销售量 可以由下式给出
返回
13、遗传模型
1．问题分析
所谓常染色体遗传，是指后代从每个亲体的基因 中各继承一个基因从而形成自己的基因型.
如果所考虑的遗传特征是由两个基因A和B控制的， 那么就有三种可能的基因型：AA，AB和BB.
换显一然种是想由法于，节问省题了就从迎 刃相而遇解点了到。会假合如点他，的又妻从子会遇合 到 点点故他，返，后那回故仍么相由似载这遇相乎着一点遇条他天这点件开他一到不往就段会够会不路合哦合会的点。地提缘需。 前开回5分家钟了。。而提此前人的提十前分了钟三时 间十从分何钟而到来达？会合点，故相遇 时他已步行了二十五分钟。
另建模型研究，从而L1=v*t1。刹车距离 L2既可用曲线
概率方法建模
解出： x 494 .521 也就是说，这个分数相当于去 年的494.5分。而连续两年之 间的招生计划、高考人数等应 该变化不大，可以参照去年的 录取情况报考志愿。 这里，我们就建立了一个简单 的数学模型。
专 科
文200 文200 理200 理200
2.从包汤圆（饺子）说起
通常，1公斤面， 1公斤馅，包100个汤圆（饺子） 今天，1公斤面不变，馅比 1公斤多了，问应多包几 个（小一些），还是少包几个（大一些）？
3 l 画出w对 的图像近似得到一条过原点的直线，因此有理 由认为模型是精确的。
• 过原点的直线的斜率大约是0.0398，这 就给出： 3
W 0.0398l
• 下图是对原来的数据模型画图
200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
第五步：模型应用
12.5529 11.6590 10.7965 9.9632 9.1569 8.3754 7.6169 6.8793 6.1607 5.4594 4.7734
14
15 16
13.2075
13.0024 12.8304
• 首先，这个问题比较模糊。题目中只是要求 我们“获知有关’骇鸟’的更多信息”，什 么信息呢?题目中没有明说，需要我们自己去 寻找。寻找问题，发现问题，提出问题的过 程，是数学建模的第一个步骤，叫做“识别 问题”。 • 识别问题这一步通常比较困难。因为现实生 活中，没有人简单给你一个有待解决的数学 问题，通常要从大量数据中搜索及识别所研 究问题的某些特定的方面。此外，还要把描 述问题的口头陈述翻译成数学符号来表示。 • 当然，‘骇鸟尺寸’问题相对简单容易，通 常要考虑其“体重”
数学建模概率模型例题
随机性模型 马氏链模型
9.1 传送系统的效率
背 景
传送带 挂钩 产品 工作台
工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若 工作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。 在生产进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研 究提高传送带效率的途径
问题分析
• 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应 假定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产 品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将 产品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下 这件产品并立即投入下件产品的生产。 • 可以用一个周期内传送带运走的产品数占产 品总数的比例，作为衡量传送带效率的数量指标。 • 工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生 产完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机 的，并且在一个周期内任一时刻的可能性相同。
n 1 m n n( n 1) D [1 (1 )] 1 2 2m n m 2m 定义E=1-D (一周期内未运走产品数与生产总数之比）
当n远大于1时, E n/2m 若n=10, m=40, D87.5%
E与n成正比，与m成反比
提高效率的途径： • 增加m
9.2 报童的诀窍
x s u 0, x u S
确定(s, S), 使目标函数——每周总费用的平均值最小 s ~ 订货点， S ~ 订货值 订货费c0, 购进价c1, 贮存费c2, 缺货费c3, 销售量 r 平均 费用
c0 c1u L( x u ), J (u ) L( x )
求解
J ( z)
( z )
( z )
dJ 0 dz
( z) ( z)( z) 0
( z) ( z)
( z ) z ( y )dy
数学教学中的数学建模案例
数学教学中的数学建模案例数学建模是指运用数学原理与方法解决实际问题的过程。
在数学教学中，数学建模可以帮助学生将抽象的数学概念与实际问题相结合，提高他们解决问题的能力和应用数学的能力。
本文将介绍几个数学建模在数学教学中的典型案例。
案例一：用数学建模解决实际问题我们以一个实例开始，假设一个园区的供电系统需要进行优化和改造，以降低能耗和成本。
为了解决这个问题，我们可以通过数学建模来分析和优化供电系统。
首先，我们可以收集园区的用电数据，包括用电量、峰谷电价等信息。
然后，我们可以建立数学模型，使用线性规划等方法来优化供电系统的运行。
通过调整供电系统的负荷分配和电源配置，我们可以找到一种最优方案，以达到降低能耗和成本的目标。
在数学教学中，我们可以通过这个案例引导学生运用数学知识和方法解决实际问题。
学生可以根据实际场景，收集数据，建立数学模型，并利用计算机软件进行模拟和优化。
这样，学生不仅可以巩固数学知识，还可以提高他们的问题解决能力和创新思维。
案例二：用数学建模解决交通流问题交通流问题是城市规划中的一个重要问题。
如何合理安排信号灯的时序，以及交通流的优化调度，都是需要运用数学建模来解决的。
我们可以以某个路口的交通流问题为例。
假设某个路口存在交通拥堵问题，我们需要通过数学建模来优化车辆的行驶路径和交通信号。
首先，我们可以通过收集交通流数据，包括车辆数量、车速等信息。
然后，我们可以建立数学模型，使用图论等方法来分析交通网络的拓扑结构，考虑车辆的速度、密度等因素，并结合交通信号的控制，来优化交通流的调度和路口的通行效率。
在数学教学中，我们可以通过这个案例让学生了解到数学在交通规划中的应用。
学生可以通过收集数据、建立数学模型，运用图论等数学知识，来解决交通流问题。
通过这种实践性的学习，学生可以更好地理解数学的应用和实际问题的解决方法。
案例三：用数学建模解决金融风险问题金融风险管理是银行和其他金融机构需要处理的一个重要问题。
数学建模简单13个例子
在这场“价格战”中，我们假设汽油的正常销售价格 保持定常不变，并且假定以上各因素对乙加油站汽油 销售量的影响是线性的．于是乙加油站的汽油销售量 可以由下式给出
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13、遗传模型
1．问题分析
所谓常染色体遗传，是指后代从每个亲体的基因 中各继承一个基因从而形成自己的基因型.
如果所考虑的遗传特征是由两个基因A和B控制的， 那么就有三种可能的基因型：AA，AB和BB.
4、爬山问题
某人早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5 时到达山顶并留宿，次日早8时沿同一路径下山，下午5 时回到旅店，则这人在两天中的同一时刻经过途中的 同—地点，为什么?
解法一： 将两天看作一天，一人两天的运动看作一天两人 同时分别从山下和山顶沿同一路径相反运功，因为两 人同时出发，同时到达目的地，又沿向一路径反向运 动，所以必在中间某一时刻t两人相遇，这说明某人在 两天中的同一时刻经过路途中的同一地点。
Y
P(x,y)
记v2/ v1=a通常a>1
航母
则 | BP |2 a2 | AP |2 即：
A(0,b)
θ1
x2 (y b) 2 a2 [x2 (y - b)2 ]
O B(0,-b)
θ2 护卫舰
可化为：
X
x2
y
a2 a2
2
11 b
4a 2b2 (a 2 1)2
某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路 返回 A 地。问：在什么条件下，可以保证途中至 少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地。
假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一 人在同一天由B去A，问题就化为在什么条件下， 两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出 了：只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时 间，两人必会在途中相遇。
数学建模案例分析4足球门的危险区域--概率统计方法建模
§4 足球门的危险区域一、问题提出在足球比赛中，球员在对方球门前不同的位置起脚射门对对方球门的威胁是不一样的。
在球门的正前方的威胁要大于在球门两侧射门；近距离的射门对球门的威胁要大于远射。
已知标准球场长为104米，宽为69米；球门高为2.44米，宽为7.32米。
实际上，球员之间的基本素质可能有一定差异，但对于职业球员来讲一般可以认为这种差别不大。
另外，根据统计资料显示，射门时球的速度一般在10米/秒左右。
下面要建模研究下列问题：（1）针对球员在不同位置射门对球门的威胁度进行分析，得出危险区域；（2）在有一名守门员防守的情况下，对球员射门的威胁度和危险区域作进一步研究。
二、问题分析根据这个问题，要确定球门的危险区域，也就是要确定球员射门最容易进球的区域。
球员无论从哪个地方射门，都有进与不进两种可能，这本身就是一个随机事件，无非是哪些地方进球的可能性最大，即是最危险的区域。
影响球员射门命中率的因素很多，其中最重要的两点是球员的基本素质（技术水平）和射门时的位置。
对每一个球员来说，基本素质在短时间内是不可能改变的，因此，我们主要是在确定条件下，对射门位置进行分析研究。
也就是说，我们主要是针对同素质的球员在球场上任意一点射门时，研究其对球门的威胁程度。
某一球员在球门前某处向球门内某目标点射门时，该球员的素质和球员到目标点的距离决定了球到达目标点的概率，即命中球门的概率。
事实上，当上述两个因素确定时，球飞向球门所在平面上的落点将呈现一个固定的概率分布。
稍作分析容易断定，该分布应该是二维正态分布，这是我们解决问题的关键所在。
球员从球场上某点射门时，首先必定在球门平面上确定一个目标点，射门后球依据该概率分布落入球门所在平面。
将球门视为所在平面上的一个区域，在区域内对该分布进行积分，即可得到这次射门命中的概率。
然而，球员在选择射门的目标点时是任意的，而命中球门的概率对目标点的选择有很强的依赖性。
这样，我们遍历球门区域内的所有点，对命中概率作积分，将其定义为球场上某点对球门的威胁程度，根据威胁度的大小来确定球门的危险区域。
概率统计模型(数学建模)
一周期内通过的钩子数 m 增加一倍，可使“效率”E 降低 一倍。（可理解为相反意义的效率）
思考： 如何改进模型使“效率”降低？
考虑通过增加钩子数来使效率降低的方法：
在原来放置一只钩子处放置的两只钩子成为一个钩对。一
周期内通过 m 个钩对，任一钩对被任意工人触到的概率
p 1/ m ，不被触到的概率 q 1 p，于是任一钩对为空的概率
工人生产周期相同，但由于各种因素的影响，经过相 当长的时间后，他们生产完一件产品的时刻会不一致， 认为是随机的，并在一个生产周期内任一时刻的可能 性一样。
由上分析，传送系统长期运转的效率等价于一周期的效 率，而一周期的效率可以用它在一周期内能带走的产品 数与一周期内生产的全部产品数之比来描述。
2 模型假设
则
r
Gn
n
0
a
b
r
b
c
n
r
pr
dr
n
a
b
npr
dr
计算
dG dn
a
bnpn
n
0
b
cprdr
a
bnpn
n
a
b
pr
dr
b
c n 0
pr dr
a
b n
pr dr
令 dG 0 ，得到 dn
n
0
n
pr dr pr dr
a b
b c
使报童日平均收入达到最大的购进量 n 应满足上式。
因为
0
pr dr
统计模型
如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限 制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规 律的模型，那么通常要搜集大量的数据，基于对数据的统 计分析建立模型，这就是本章还要讨论的用途非常广泛的 一类随机模型—统计回归模型。
思考： 如何改进模型使“效率”降低？
考虑通过增加钩子数来使效率降低的方法：
在原来放置一只钩子处放置的两只钩子成为一个钩对。一
周期内通过 m 个钩对，任一钩对被任意工人触到的概率
p 1/ m ，不被触到的概率 q 1 p，于是任一钩对为空的概率
工人生产周期相同，但由于各种因素的影响，经过相 当长的时间后，他们生产完一件产品的时刻会不一致， 认为是随机的，并在一个生产周期内任一时刻的可能 性一样。
由上分析，传送系统长期运转的效率等价于一周期的效 率，而一周期的效率可以用它在一周期内能带走的产品 数与一周期内生产的全部产品数之比来描述。
2 模型假设
则
r
Gn
n
0
a
b
r
b
c
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n
a
b
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计算
dG dn
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a
b n
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令 dG 0 ，得到 dn
n
0
n
pr dr pr dr
a b
b c
使报童日平均收入达到最大的购进量 n 应满足上式。
因为
0
pr dr
统计模型
如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限 制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规 律的模型，那么通常要搜集大量的数据，基于对数据的统 计分析建立模型，这就是本章还要讨论的用途非常广泛的 一类随机模型—统计回归模型。
数学建模 概率方法
1 Xi = 0 第i站有人下车 i站有人下车 第i站无人下车 i = 1,2,L,10
则由题意可知：
X = ∑ Xi
i =1
10
因为每位乘客在每一车站下车是等可能的，所 9 以每一位乘客在第i站不下车的概率为 10 ， 5
9 20 于是20位乘客在第i站都不下车的概率为( ) ， 9 20 10 在第i站有人下车的概率为1− ( ) ； 10
P2 由(3-4)式给出。
为了得到简明便于解释的结果，需对(3-4) 式进行简化。 因为通常n》m，n》1，取(3-4)式右端展开级 数的前两项
P2 ≈ 1 − (1 −
最后得到
λ mi
n
+ L) ≈
λ mi
n
(3 − 7)
µ=
λ mi (n − i )
n
(3 − 8)
22
1 − P2 n − λmi σ = = µ (n − i ) P λmi (n − i )
1
设A表示“第二次取出的球都是新球”的事件；
Bi （i＝0,1,2,3）表示“第一次比赛时用了i个 新球”的事件
则由题意得：
3 C 9i C 3 − i p ( Bi ) = 3 C12 于是由全概率公式
p( A|Bi ) =
3
3 C 9− i 3 C12
p( A) = p( AB0 + AB1 + AB2 + AB3 ) = ∑ p( Bi ) p( A|Bi )
i
λm
n −1
)
i
(3 − 4)
健康人被感染的人数也服从二项分布，其平均 值为µ，即健康人每天平均被感染人数，利用假设 (1)显然
µ = sP2 = (n − i ) P 2
则由题意可知：
X = ∑ Xi
i =1
10
因为每位乘客在每一车站下车是等可能的，所 9 以每一位乘客在第i站不下车的概率为 10 ， 5
9 20 于是20位乘客在第i站都不下车的概率为( ) ， 9 20 10 在第i站有人下车的概率为1− ( ) ； 10
P2 由(3-4)式给出。
为了得到简明便于解释的结果，需对(3-4) 式进行简化。 因为通常n》m，n》1，取(3-4)式右端展开级 数的前两项
P2 ≈ 1 − (1 −
最后得到
λ mi
n
+ L) ≈
λ mi
n
(3 − 7)
µ=
λ mi (n − i )
n
(3 − 8)
22
1 − P2 n − λmi σ = = µ (n − i ) P λmi (n − i )
1
设A表示“第二次取出的球都是新球”的事件；
Bi （i＝0,1,2,3）表示“第一次比赛时用了i个 新球”的事件
则由题意得：
3 C 9i C 3 − i p ( Bi ) = 3 C12 于是由全概率公式
p( A|Bi ) =
3
3 C 9− i 3 C12
p( A) = p( AB0 + AB1 + AB2 + AB3 ) = ∑ p( Bi ) p( A|Bi )
i
λm
n −1
)
i
(3 − 4)
健康人被感染的人数也服从二项分布，其平均 值为µ，即健康人每天平均被感染人数，利用假设 (1)显然
µ = sP2 = (n − i ) P 2
数学建模概率模型
9.1 传送系统的效率
背
传送带
景 挂钩
产品
工作台
工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若 工作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。
在生产进入稳态后，给出衡量传送带效 率的指标，研究提高传送带效率的途径
模型分析
• 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应 假定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产 品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将 产品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下 这件产品并立即投入下件产品的生产。 • 工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产 完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的， 并且在一个周期内任一时刻的可能性相同。
如对均值为mu、标准差为sigma的正态分布，举例如下：
1．密度函数：p=normpdf(x,mu,sigma) (当mu=0,sigma=1时可缺省)
例 1 画出正态分布 N(0,1) 和 N (0,22 ) 的概率密度函数图形.
在MATLAB中输入以下命令： x=-6:0.01:6; y=normpdf(x); z=normpdf(x,0,2); plot(x,y,x,z)
易知B1,B2,B3是样本空间的一个划分。
3
(1)由全概率公式: p(A) P(Bi)P(A｜ Bi) i1
=0.15×0.02+0.80×0.01+0.05×0.03=0.01 (2)由贝叶斯公式: 25P (B 1|A )P (A P B (1A )P )(B 1)0.0 0.0 20 1 .12 50 5 .24
提高效率 的途径：
• 增加m
9.2 报童的诀窍
报童售报： a (零售价) > b(购进价) > c(退回价)
数学建模简明教程课件：概率模型
33
31
图 7-4
32
5.决策树的优缺点
•决策树方法的优点：可以生成可以理解的规则；计 算量相对来说不是很大；可以处理连续和种类字段；决策 树可以清晰地显示哪些字段比较重要.
•决策树方法的缺点：对连续性的字段比较难预测； 对有时间顺序的数据，需要很多预处理的工作；当类别太 多时，错误可能就会增加得比较快；一般算法分类的时候 ，只是根据一个字段来分类.
(a b)np(r) d r
0
n
计算
(7.2.2)
d G (a b)np(n)
n
(b c) p(r) d r (a b)np(n)
(a b) p(r) d r
dn
0
n
n
(b c)0 p(r) d r (a b)n p(r) d r
18
令 d G 0 ，得到 dn
n
0
p(r)d r p(r)d r
14
2.问题的分析及假设
众所周知，应该根据需求量确定购进量.需求量是随机 的，假定报童已经通过自己的经验或其它的渠道掌握了需 求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量 为r份的概率是f(r)(r＝0，1，2，…).有了f(r)和a，b，c，就 可以建立关于购进量的优化模型了.
假设每天的购进量为n份，因为需求量r是随机的，故r 可以小于n、等于n或大于n，致使报童每天的收入也是随 机的.所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收 入，而应该是他长期(几个月或一年)卖报的日平均收入.
26
(4)设定变量： A——试销成功，——试销失败 B——大量销售成功，——大量销售失败
27
3.建立模型 先来计算两个概率，注意到P(A|B)＝0.84，P(B)＝0.6 ，P(A|)＝0.36，代入贝叶斯概率公式：
31
图 7-4
32
5.决策树的优缺点
•决策树方法的优点：可以生成可以理解的规则；计 算量相对来说不是很大；可以处理连续和种类字段；决策 树可以清晰地显示哪些字段比较重要.
•决策树方法的缺点：对连续性的字段比较难预测； 对有时间顺序的数据，需要很多预处理的工作；当类别太 多时，错误可能就会增加得比较快；一般算法分类的时候 ，只是根据一个字段来分类.
(a b)np(r) d r
0
n
计算
(7.2.2)
d G (a b)np(n)
n
(b c) p(r) d r (a b)np(n)
(a b) p(r) d r
dn
0
n
n
(b c)0 p(r) d r (a b)n p(r) d r
18
令 d G 0 ，得到 dn
n
0
p(r)d r p(r)d r
14
2.问题的分析及假设
众所周知，应该根据需求量确定购进量.需求量是随机 的，假定报童已经通过自己的经验或其它的渠道掌握了需 求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量 为r份的概率是f(r)(r＝0，1，2，…).有了f(r)和a，b，c，就 可以建立关于购进量的优化模型了.
假设每天的购进量为n份，因为需求量r是随机的，故r 可以小于n、等于n或大于n，致使报童每天的收入也是随 机的.所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收 入，而应该是他长期(几个月或一年)卖报的日平均收入.
26
(4)设定变量： A——试销成功，——试销失败 B——大量销售成功，——大量销售失败
27
3.建立模型 先来计算两个概率，注意到P(A|B)＝0.84，P(B)＝0.6 ，P(A|)＝0.36，代入贝叶斯概率公式：
数学建模中的概率统计方法选讲
数学建模中的概率统计方法选讲案例一：常用分布及中心极限定理与“DVD 在线租赁”问题（2005B ）“DVD 在线租赁”为2005年全国大学生建模竞赛的B 题，原题参见附件中的文件“2005B ”。
现考虑问题（1）：网站正准备购买一些新的DVD ，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD 的人数（表1给出了其中5种DVD 的数据）。
此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD 两次，而另外的40%只租一次。
假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD 来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD ？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD 呢？问题（1）的分析与求解：可以通过“点估计”的方法，得到抽样的1000名会员租赁上述5种DVD 的概率为● 通过1000个样本来推断10万个会员的“总体”： 假设随机变量，否则种个会员租第第⎩⎨⎧=,0,1DVDj i ij ξ 其中10000,...,2,1=i . 显然，ij ξ服从两点分布，即j ij p P ==)1(ξ,而上表就给出了这些概率的估计值。
进一步，设∑==Ni ij j 1ξη，10000=N ，即表示10000人中愿意租赁第j 张DVD 的人数，显然，随机变量),10000(~j j p B η。
● 由De Moivre —Laplace 中心极限定理，如果准备了)5.0(j E η张DVD ，则满足至少jη5.0人看到该DVD 的概率（可靠性）为5.0)0(}0)5.0()5.0(5.0{)}5.0(5.0{=Φ≈≤-=≤j j j j j D E P E P ηηηηη显然，为了增加右边的可靠性，比如，增加到0.99，则由等式99.0)33.2(})5.0()5.0()5.0()5.0(5.0{}5.0{=Φ≈-≤-=≤j j j j j j D E X D E P X P ηηηηηη,可知)1(100002133.25000)5.0(33.2)5.0(j j j j j p p p D E X -⨯⨯+=+=ηη如何考虑“60％的会员每个月会租赁DVD 两次，40％的会员每个月会租赁DVD 一次”的问题？方法一：10万人的60%为6万人，每个月租赁两次，即12万次；40%为4万人，每月租赁一次，即4万次，合计每月有16万人次的租赁，对于第j 张DVD ，能否类似地假设为∑==Mi ij j 1ξη，16000=M ，而且随机变量),16000(~j j p B η，然后再求？答案是否定的，因为),16000(~j j p B η不再成立。
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每天的收入函数记为U(n)，则
(a b)r (b c)(n r) U (n, r) (a b)n
收入函数的期望值为
nr nr
n
G(n) [(a b)r (b c)(n r)] f (r) (a b)nf (r)
r0
r n 1
求 n 使 G(n) 最大
将r视为连续变量 f (r) p(r) (概率密度）
设有 k 个人误机的概率是 Pk ，
Pk Cmk pk qmk , q 1 p
平均利润 S 即 ( s 数学期望值)，
mn1
m
S(m) Pk[ng r (m k n)b] Pk m k g r
k 0
k mn
m
由 kPk mp, k 0
m
Pk 1
k 0
mn1
得 S(m) qmg r b g Pk m n k k 0
定义：当生产进入稳态后，衡量传送系统 效率的指标，在一个生产周期内
D＝带走的产品数/生产的产品数 ＝s/n
S的确定：与空钩个数有关
从工人角度：每个工人能将自己的产品挂 上钩子的概率与工人位置有关。
从钩子的角度：钩子无次序，处于同等地 位，在一周期内，m个钩子求出非空 的概率p，则s=mp
P的确定 任一只钩子被一名工人触到的概率： 任一只钩子不被一名工人触到的概率： 工人相互独立，任一只钩子不被n名工人
k 0
k 0
mn1
m
m
S(m) (b g) Pk (m k n) kPk g Pk (mg r)
k 0
k 0
k 0
mn1
S(m) (b g) Pk (m k n) mpg mg r
k 0
mn1
S(m) qmg r b g Pk m n k
k 0
从社会声誉和经济利益两方面考虑
试建立航空公司订票决策的数学模型，解决以上的问题。
2 问题分析
订票策略：为了航空公司的经济利益与社会声誉，
确定预订票的最佳数量。
公司的经济利益 公司的社会声誉
利润 = 收入-成本-赔偿金 已订票但被挤掉的乘客的数量
问题转化为 怎样确定预订票数量限额，使得利润最大，同时被挤 掉的乘客的数量尽可能小。
所建模型为双目标的优化模型
mn1
max S(m) pmg r b g Pk m n k k 0
mn j 1
min Pj (m)
Pk
k 0
模型变形
航空公司综合考虑大量的因素，得出的临界人数大约是 航班载客量的60%，即 0.6ng r
S
r
1 0.6n
pm
1
b g
mn1 Pk
p 0.05
b / g 0.2
m
300
302
304
306
308
310
312
314
316
P5
0
0
0
0
0
0.0005 0.0044 0.0232 0.0791
J1
0.5833 0.5939 0.6044 0.6150 0.6254 0.6355 0.6445 0.6519 0.6568
m
318
320
308
310
312
314
316
P5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
J2
0.5000 0.5100 0.5200 0.5300 0.5400 0.5500 0.5600 0.5700 0.5800
318
320
322
324
326
328
330
332
334
336
0 0.5900
0.0002 0.5999
0.0008 0.6097
在图中用 P1, P2 分别表示曲线 pr 下的两块面积，则
P1 a b
P2 b c
结论
P1 P2
O
n
r
当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大
时，报童购进的份数就应该越多。
注意
建模方法：从特殊到到一般
1998年B题 灾情巡视路线 单旅行商到多旅行商
归纳抽象
1999年B题 钻井布局 网格的平行移动到旋转运动
p(r)dr
dn
0
n
dG 0 dn
n
0
n
p(r)dr p(r)dr
a b bc
使报童日平均收入达到最大的购进量 n 应满足上式。
因为
0
pr dr
1
n
0
pr dr
n
pr dr
1
n p(r)dr a b
0
ac
因为当购进 n 份报纸时，
售不完的 概率
n
p(r)dr
0
p(r)dr
a b bc
n
售完的 概率
概率模型
（一）传送系统的效率问题 （二）报童的诀窍 （三）航空公司的超额订票问题
随机模型
确定性因素和随机性因素
随机因素可以忽略
随机因素影响可以简单 地以平均值的作用出现
确定性模型
随机因素影响必须考虑
随机性模型
概率模型 统计回归模型 马氏链模型
数学期望 离散型随机变量 X 的概率分布为
P( X xi ) pi (i 1,2,, n) 则随机变量 X 的数学期望值为
n
0
p(r)dr p(r)dr
ab bc
n
n
0
1
p(r)dr
n
p(r)dr
ab bc
0.25 0.15
5 3
0
n
0
p(r)dr p(r)dr
ab bc
n
n
0
1
p(r)dr
n
p(r)dr
ab bc
0.25 0.15
5 3
0
n
5
0
p(r)dr 8
0.625
( n 500) 0.625 0.5 50 0.125
求解技巧：连续化
人口模型，战争模型
2000年B题 钢管的订购与运输 线形到树形
2000年C题 飞越北极 球形到椭球形
随机变量的目标函数：期望值 航空公司的超额订票模型
利用上述模型计算，若每份报纸的购进价 为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元， 需求量服从均值500份，均方差50份的正态 分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平 均收入最高，最高收入是多少？
则收入也是随机变量，通常用均值，即期望表示。
1 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n)
2 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
3 每天需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2…
r n 售出r 赚(a b)r 退回n r 赔(b c)(n r)
r n 售出n 赚(a b)n
P1
n pr dr是需求量 r 不超过 n的概率
0
P2
pr dr是需求量 r 超过 n 的概率
n
上式意义为：购进的份数 n 应该使卖不完与卖完的概率
之比，恰好等于卖出一份赚的钱 a b 与退回一份赔的钱 b c
之比。
n
p(r)dr
0
p(r)dr
a b bc
n
根据需求量的概率密度 pr 的图形可以确定购进量 n
以预订票数量为决策变量的双目标随机规划问题。
3 模型假设
飞机容量为常数 n，机票价格为常数 g，飞行 费用为 常数 r。
机票价格按照 g r n 来制订，其中 ( 1) 是利润 调节因子，如 0.6 表示飞机60%满员就不亏本。
预订票数量的限额为常数 m(>n) ，每位乘客不按时前来 登机的概率为 p，各位乘客是否按时登机是相互独立的。
效率：工人所生产的产品数，
传送系统带走的产品数，
稳态：工人生产一件产品的时间长短相同， 即，生产周期相同，
当生产进入稳态后，工人生产一件产品的 时刻再一个周期那是等可能，
工人的生产是相互独立的。
钩子均匀排列，到达第一个工作台上方的 钩子为空钩。
模型的建立：工人人数n个 钩子个数 m个 带走的产品数s个
0.0030 0.6193
0.0093 0.6283
0.0243 0.6365
0.0547 0.6436
0.1074 0.6492
0.1869 0.6533
0.2922 0.6559
结果表明：当超额订票的乘客数分别为20和36时，可以达到 最大的预期利润。有超过5名乘客发生座位冲撞的概率分别为 36%和54%。 当超额订票的乘客数分别为18和36时，可以达到较大的预期 利润。有超过5名乘客发生座位冲撞的概率却分别为20%和 30%。
每位被挤掉的乘客获得的赔偿金为常数b。
4 模型建立
先不考虑社会声誉的影响。
公司的经济利益用平均利润（数学期望）S 来衡量
订票的总人数是 m ，m 有可能超出 n
当有 k 个人误机时，
航空公司可能从航班中得到的利润为
s m kg r,
s ng r (m k n)b,
mk n mk n
G(n)
n
0
[(
a
b)r
(b
c)(n
r
)]
p(r
)dr
n
(a
b)np(r)dr NhomakorabeadG (a b)np(n)
n
(b c) p(r)dr
dn
0
(a b)np(n) n (a b) p(r)dr
n
(b c)0 p(r)dr (a b)n p(r)dr
(a b)r (b c)(n r) U (n, r) (a b)n
收入函数的期望值为
nr nr
n
G(n) [(a b)r (b c)(n r)] f (r) (a b)nf (r)
r0
r n 1
求 n 使 G(n) 最大
将r视为连续变量 f (r) p(r) (概率密度）
设有 k 个人误机的概率是 Pk ，
Pk Cmk pk qmk , q 1 p
平均利润 S 即 ( s 数学期望值)，
mn1
m
S(m) Pk[ng r (m k n)b] Pk m k g r
k 0
k mn
m
由 kPk mp, k 0
m
Pk 1
k 0
mn1
得 S(m) qmg r b g Pk m n k k 0
定义：当生产进入稳态后，衡量传送系统 效率的指标，在一个生产周期内
D＝带走的产品数/生产的产品数 ＝s/n
S的确定：与空钩个数有关
从工人角度：每个工人能将自己的产品挂 上钩子的概率与工人位置有关。
从钩子的角度：钩子无次序，处于同等地 位，在一周期内，m个钩子求出非空 的概率p，则s=mp
P的确定 任一只钩子被一名工人触到的概率： 任一只钩子不被一名工人触到的概率： 工人相互独立，任一只钩子不被n名工人
k 0
k 0
mn1
m
m
S(m) (b g) Pk (m k n) kPk g Pk (mg r)
k 0
k 0
k 0
mn1
S(m) (b g) Pk (m k n) mpg mg r
k 0
mn1
S(m) qmg r b g Pk m n k
k 0
从社会声誉和经济利益两方面考虑
试建立航空公司订票决策的数学模型，解决以上的问题。
2 问题分析
订票策略：为了航空公司的经济利益与社会声誉，
确定预订票的最佳数量。
公司的经济利益 公司的社会声誉
利润 = 收入-成本-赔偿金 已订票但被挤掉的乘客的数量
问题转化为 怎样确定预订票数量限额，使得利润最大，同时被挤 掉的乘客的数量尽可能小。
所建模型为双目标的优化模型
mn1
max S(m) pmg r b g Pk m n k k 0
mn j 1
min Pj (m)
Pk
k 0
模型变形
航空公司综合考虑大量的因素，得出的临界人数大约是 航班载客量的60%，即 0.6ng r
S
r
1 0.6n
pm
1
b g
mn1 Pk
p 0.05
b / g 0.2
m
300
302
304
306
308
310
312
314
316
P5
0
0
0
0
0
0.0005 0.0044 0.0232 0.0791
J1
0.5833 0.5939 0.6044 0.6150 0.6254 0.6355 0.6445 0.6519 0.6568
m
318
320
308
310
312
314
316
P5
0
0
0
0
0
0
0
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0
J2
0.5000 0.5100 0.5200 0.5300 0.5400 0.5500 0.5600 0.5700 0.5800
318
320
322
324
326
328
330
332
334
336
0 0.5900
0.0002 0.5999
0.0008 0.6097
在图中用 P1, P2 分别表示曲线 pr 下的两块面积，则
P1 a b
P2 b c
结论
P1 P2
O
n
r
当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大
时，报童购进的份数就应该越多。
注意
建模方法：从特殊到到一般
1998年B题 灾情巡视路线 单旅行商到多旅行商
归纳抽象
1999年B题 钻井布局 网格的平行移动到旋转运动
p(r)dr
dn
0
n
dG 0 dn
n
0
n
p(r)dr p(r)dr
a b bc
使报童日平均收入达到最大的购进量 n 应满足上式。
因为
0
pr dr
1
n
0
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n
pr dr
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n p(r)dr a b
0
ac
因为当购进 n 份报纸时，
售不完的 概率
n
p(r)dr
0
p(r)dr
a b bc
n
售完的 概率
概率模型
（一）传送系统的效率问题 （二）报童的诀窍 （三）航空公司的超额订票问题
随机模型
确定性因素和随机性因素
随机因素可以忽略
随机因素影响可以简单 地以平均值的作用出现
确定性模型
随机因素影响必须考虑
随机性模型
概率模型 统计回归模型 马氏链模型
数学期望 离散型随机变量 X 的概率分布为
P( X xi ) pi (i 1,2,, n) 则随机变量 X 的数学期望值为
n
0
p(r)dr p(r)dr
ab bc
n
n
0
1
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n
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0.25 0.15
5 3
0
n
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n
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n
p(r)dr
ab bc
0.25 0.15
5 3
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n
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0
p(r)dr 8
0.625
( n 500) 0.625 0.5 50 0.125
求解技巧：连续化
人口模型，战争模型
2000年B题 钢管的订购与运输 线形到树形
2000年C题 飞越北极 球形到椭球形
随机变量的目标函数：期望值 航空公司的超额订票模型
利用上述模型计算，若每份报纸的购进价 为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元， 需求量服从均值500份，均方差50份的正态 分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平 均收入最高，最高收入是多少？
则收入也是随机变量，通常用均值，即期望表示。
1 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n)
2 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
3 每天需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2…
r n 售出r 赚(a b)r 退回n r 赔(b c)(n r)
r n 售出n 赚(a b)n
P1
n pr dr是需求量 r 不超过 n的概率
0
P2
pr dr是需求量 r 超过 n 的概率
n
上式意义为：购进的份数 n 应该使卖不完与卖完的概率
之比，恰好等于卖出一份赚的钱 a b 与退回一份赔的钱 b c
之比。
n
p(r)dr
0
p(r)dr
a b bc
n
根据需求量的概率密度 pr 的图形可以确定购进量 n
以预订票数量为决策变量的双目标随机规划问题。
3 模型假设
飞机容量为常数 n，机票价格为常数 g，飞行 费用为 常数 r。
机票价格按照 g r n 来制订，其中 ( 1) 是利润 调节因子，如 0.6 表示飞机60%满员就不亏本。
预订票数量的限额为常数 m(>n) ，每位乘客不按时前来 登机的概率为 p，各位乘客是否按时登机是相互独立的。
效率：工人所生产的产品数，
传送系统带走的产品数，
稳态：工人生产一件产品的时间长短相同， 即，生产周期相同，
当生产进入稳态后，工人生产一件产品的 时刻再一个周期那是等可能，
工人的生产是相互独立的。
钩子均匀排列，到达第一个工作台上方的 钩子为空钩。
模型的建立：工人人数n个 钩子个数 m个 带走的产品数s个
0.0030 0.6193
0.0093 0.6283
0.0243 0.6365
0.0547 0.6436
0.1074 0.6492
0.1869 0.6533
0.2922 0.6559
结果表明：当超额订票的乘客数分别为20和36时，可以达到 最大的预期利润。有超过5名乘客发生座位冲撞的概率分别为 36%和54%。 当超额订票的乘客数分别为18和36时，可以达到较大的预期 利润。有超过5名乘客发生座位冲撞的概率却分别为20%和 30%。
每位被挤掉的乘客获得的赔偿金为常数b。
4 模型建立
先不考虑社会声誉的影响。
公司的经济利益用平均利润（数学期望）S 来衡量
订票的总人数是 m ，m 有可能超出 n
当有 k 个人误机时，
航空公司可能从航班中得到的利润为
s m kg r,
s ng r (m k n)b,
mk n mk n
G(n)
n
0
[(
a
b)r
(b
c)(n
r
)]
p(r
)dr
n
(a
b)np(r)dr NhomakorabeadG (a b)np(n)
n
(b c) p(r)dr
dn
0
(a b)np(n) n (a b) p(r)dr
n
(b c)0 p(r)dr (a b)n p(r)dr