专题二 相交线与平行线模型

专题二 相交线与平行线模型3 三线八角模型展现基础模型结论分析1.两直线平行同位角相等 2.两直线平行 内错角相等 3.两直线平行 同旁内角互补 怎么用? 1.找模型遇到“平行(//)”则考虑“三线八角” 2. 用模型“三线八角”问题用同位角相等、内错角相等、同旁内角互补(即平行线性质)解题 满分技法平行线的性质与判定是互逆的. 模型拓展拓展延伸“三线八角”的使用很常见,不仅在选填中单独考,而且在几何综合题中常利用“倒角”解决线段、角等的大小及位置关系.典例小试例 1 ( 2021长沙)如图,AB://CD(遇平行,考虑平行线性质),EF分别与AB,CD交于点G, H,∠AGE= 100°,则∠DHF(先找已知角和未知角的关系)的度数为( )A.100°B. 80°C.50°D.40°考什么?平行线的性质,对顶角相等思路点拨已知角度与所求角度不是同位角、内错角、同旁内角关系，借助对顶角相等可进行角度转化.例 2 如图,已知AB//CD,点F是CD上方一点,连接BF交CD于点E,连接DF,若∠F=30°,∠D=42° ,则∠B的度数为.考什么?平行线的性质,三角形外角的性质思路点拨若不能根据平行线的性质，直接得到角度关系,可借助三角形外角的性质进行求解.实战实演1.如图,AB//CD,F为CD上一点,连接F A并延长至点E,若∠EAB=70°,则∠EFC的度数为( )A.90°B. 100°C.110°D. 120°2.如图,点E,F分别是AB,CD上的点,连接EF,交BC于点G,若∠AEF=∠EFD= 80°,∠CGF= 25°,则下列结论错误的是( )A. AB//CDB.∠B=55°C.∠C+∠EFD=∠EGCD. CF<FG3．如图△ABC中，BE平分∠ABC，交AC于点E，过点E作DE //BC，交AB于点D，若△A=110°，△DEB=20°则△BEC的度数为______4．光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射。

第二章平行线与相交线 (两条直线的位置关系)一、1、同一平面内两条直线的位置关系有相交和平行两种．（1）相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线．这个公共点叫做交点．（2）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．注意：互相重合的直线通常看做一条直线．二、(一)如图，∠1和∠3，∠2和∠4有一个公共顶点，且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，叫做对顶角．对顶角性质: 对顶角相等例1：1、下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形（）A、B、 C、D、2、下列四个图中，∠1和∠2是对顶角的图的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个3．如图所示，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠AOC= 120°，求∠BOD，∠AOE的度数．4．找出图2中∠AOE，∠BOD的对顶角。

∠AOE的对顶角是；∠BOD的对顶角是5．说出图3中的对顶角.图3中对顶角有：(图2) （图3）5、平面内两条直线交于一点对顶角的对数：_____；三条直线交于一点对顶角的对数：_____；四条直线交于一点对顶角的对数：_____；n条直线交于一点对顶角的对数：_____；（注：不含平角）。

(二)、1、如果两个角的和等于90o （直角），我们就说这两个角互为余角，（简称：互余）。

即其中一个角是另一个角的余角．例如，∠1与∠2互为余角，∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角．同样，如果两个角的和等于180o (平角），就说这两个角互为补角，（简称：互补）。

即其中一个角是另一个角的补角。

⑵符号语言：若∠1+∠2= 90o ，那么∠1与∠2互余。

若∠3+∠4=180o ，那么∠3与∠4互补。

注：互余以及互补的角，主要反映了角的数量关系，而不是角的位置关系，区分互为补角和互为余角，区别在于两角的和是180°还是90°。

练习：（1）填表：一个角30O 70O90o-∠这个角的余角180o-∠这个角的补角（2）60O32’的余角是______，补角是_____。

模型三.M模型（猪蹄模型）
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模型四.臭脚模型
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模型五.骨折模型
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《相交线与平行线》必备 4大类6种模型
模型一.铅笔模型
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模型一.铅笔模型
模型二.变异的铅笔模型
模型二型二.变异的铅笔模型
模型三.M模型（猪蹄模型）
模型三.M模型（猪蹄模型）
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小专题（一）平行线中的“拐点”问题模型1 M型【例1】如图，已知AB∥CD，则∠B，∠BED，∠D之间有何数量关系？请说明理由．【思路点拨】由已知条件知，AB∥CD，但图形中没有截这两条平行线的第三条直线，因而不能直接用平行线的性质解决．为此可构造第三条直线，即过点E 作EF∥AB，于是BE，DE就可以作为第三条直线了．变式当点E运动到平行线的外侧1．已知AB∥CD，点E为AB，CD之外任意一点．(1)如图1，探究∠BED与∠B，∠D的数量关系，并说明理由；(2)如图2，探究∠CDE与∠B，∠BED的数量关系，并说明理由．2．(1)如图1中，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？(2)在图2中，若AB∥CD，又能得到什么结论？如果出现多个拐点时，可以作多条平行线，从而将多拐点问题转化为一个拐点问题来处理．M型最终的结论为：朝左的角之和等于朝右的角之和．模型2 铅笔型【例2】如图，直线AB∥CD，∠B，∠BED，∠D之间有什么关系呢？为什么？3．(1)①如图1，MA1∥NA2，则∠A1＋∠A2＝度；②如图2，MA1∥NA3，则∠A1＋∠A2＋∠A3＝度；③如图3，MA1∥NA4，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝度；④图4，MA1∥NA5，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝度；从上述结论中你发现了什么规律？(2)如图5，MA1∥NAn，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋…＋∠An＝度．小专题(二) 利用平行线的性质求角的度数类型1 直接利用平行线的性质与判定求角度1．如图，OC是∠AOB的平分线，l∥OB.若∠1＝52°，则∠2的度数为( ) A．52° B．54° C．64° D．69°2．如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF 的度数是( )A．20° B．25° C．30° D．35°3．如图，AB∥CD，CB∥DE，∠B＝50°，则∠D＝．4．如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝80°，求∠AGD的度数．类型2 借助学具的特征求角度5．如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起．若∠1＝40°，则∠2的大小是( )A．40° B．60° C．70° D．80°6．如图，一块直角三角板的两锐角的顶点刚好落在平行线l1，l2上，已知∠C是直角，则∠1＋∠2的度数等于( )A．75° B．90° C．105° D．120°类型3 折叠问题中求角度7．将一个长方形纸片折叠成如图所示的图形．若∠ABC＝26°，则∠ACD＝．8．如图，一个四边形纸片ABCD，∠B＝∠D＝90°，∠C＝130°.把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕，则∠AEB的度数是．类型4 抽象出平行线模型求角度(建模思想)9．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°，一束光线(与水平线OB平行)从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，已知∠ADC＝∠ODE.则∠DEB的度数是度．10．如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个梯形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是．小专题(三) 平行线的性质与判定的综合运用——教材P37T13的变式与应用教材母题(教材P37T13)：完成下面的证明．(1)如图1，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DE∥BA，DF ∥CA.求证：∠FDE＝∠A.证明：∵DE∥BA，∴∠FDE＝．∵DF∥CA，∴∠A＝．∴∠FDE＝∠A.(2)如图2，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD.求证AC∥BD.证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，又∠COA＝∠BOD( )，∴∠C＝．∴AC∥BD(内错角相等，两直线平行)．(1)判定两直线平行的方法有五种：①平行线的定义；②平行公理的推论；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行；⑤同旁内角互补，两直线平行．(2)判定两直线平行时，定义一般不常用，其他四种方法要灵活运用，推理时要注意书写格式．(3)由两条直线平行得到同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，解题时应结合图形先确认所成的角是不是两平行线被第三条直线所截得的同位角或内错角或同旁内角，同时要学会简单的几何说理，做到每一步有理有据．1．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D，F，∠2＋∠3＝180°.试说明：∠GDC＝∠B.下面是不完整的说理过程，请你将横线上的过程和括号里的理由补充完整．解：因为AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，①所以∠ADB＝∠EFB＝ (垂直的定义)．②所以 (同位角相等，两直线平行)．③所以∠1＋∠2＝ (两直线平行，同旁内角互补)．④又因为∠2＋∠3＝180°( )，⑤所以∠1＝∠3( )．⑥所以AB∥DG( )．⑦所以∠GDC＝∠B( )．2．如图，点G在射线BC上，射线DE与AB，AG分别交于点H，M.若DF∥AB，∠B＝75°，∠D＝105°，求证：∠AME＝∠AGC.3．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E.求证：AD ∥BC.4．如图，∠E＝∠1，∠3＋∠ABC＝180°，BE是∠ABC的平分线．你能判断DF 与AB的位置关系吗？请说明理由．5．如图，AB⊥BD于点B，点E是BD上的点，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠1＋∠2＝90°.求证：CD⊥BD.6．如图，把一张长方形ABCD的纸片沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D，C分别落在D′，C′的位置上．若∠EFG＝55°，求∠1，∠2的度数．7．如图，已知BC∥GE，∠AFG＝∠1＝50°.(1)求证：AF∥DE；(2)若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q＝15°，求∠ACQ的度数．参考答案：小专题（一）平行线中的“拐点”问题模型1 M型【例1】如图，已知AB∥CD，则∠B，∠BED，∠D之间有何数量关系？请说明理由．【思路点拨】由已知条件知，AB∥CD，但图形中没有截这两条平行线的第三条直线，因而不能直接用平行线的性质解决．为此可构造第三条直线，即过点E 作EF∥AB，于是BE，DE就可以作为第三条直线了．【解答】∠BED＝∠B＋∠D.理由：过点E作EF∥AB，则EF∥CD.∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF.∴∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝∠B＋∠D.变式当点E运动到平行线的外侧1．已知AB∥CD，点E为AB，CD之外任意一点．(1)如图1，探究∠BED与∠B，∠D的数量关系，并说明理由；(2)如图2，探究∠CDE与∠B，∠BED的数量关系，并说明理由．解：(1)∠B＝∠BED＋∠D.理由如下：过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF.∴∠BEF＝∠B，∠D＝∠DEF.∵∠BEF＝∠BED＋∠DEF，∴∠B＝∠BED＋∠D.(2)∠CDE＝∠B＋∠BED.理由如下：过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF.∴∠B＋∠BEF＝180°，∠CDE＋∠DEF＝180°.又∵∠DEF＝∠BEF－∠BED，∴∠CDE＋∠BEF－∠BED＝∠B＋∠BEF，即∠CDE＝∠B＋∠BED.拓展平行线间有多个拐点2．(1)如图1中，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？(2)在图2中，若AB∥CD，又能得到什么结论？解：(1)∠BEF＋∠FGD＝∠B＋∠EFG＋∠D.理由：过点E，F，G分别作EM∥AB，FN∥AB，GH∥AB，由AB∥CD，得AB∥EM∥FN∥GH∥CD.∴∠BEM＝∠B，∠MEF＝∠EFN，∠NFG＝∠FGH，∠HGD＝∠D.∴∠BEF＋∠FGD＝∠BEM＋∠MEF＋∠FGH＋∠HGD＝∠B＋∠EFN＋∠NFG＋∠D＝∠B＋∠EFG＋∠D.(2)在图2中，有∠E1＋∠E2＋∠E3＋…＋∠En＝∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠Fn－1＋∠D.如果出现多个拐点时，可以作多条平行线，从而将多拐点问题转化为一个拐点问题来处理．M型最终的结论为：朝左的角之和等于朝右的角之和．模型2 铅笔型【例2】如图，直线AB∥CD，∠B，∠BED，∠D之间有什么关系呢？为什么？【解答】∠B＋∠BED＋∠D＝360°.理由：过点E作EF∥AB.∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF.∴∠B＋∠BEF＝180°，∠D＋∠DEF＝180°. ∴∠B＋∠BEF＋∠D＋∠DEF＝360°，即∠B＋∠BED＋∠D＝360°.拓展平行线间有多个拐点3．(1)①如图1，MA1∥NA2，则∠A1＋∠A2＝180度；②如图2，MA1∥NA3，则∠A1＋∠A2＋∠A3＝360度；③如图3，MA1∥NA4，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝540度；④图4，MA1∥NA5，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝720度；从上述结论中你发现了什么规律？(2)如图5，MA1∥NAn，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋…＋∠An＝180(n－1)度．解：每增加一个角，度数增加180°.小专题(二) 利用平行线的性质求角的度数类型1 直接利用平行线的性质与判定求角度1．如图，OC是∠AOB的平分线，l∥OB.若∠1＝52°，则∠2的度数为( C ) A．52° B．54° C．64° D．69°2．如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF 的度数是( D )A．20° B．25° C．30°D．35°3．如图，AB∥CD，CB∥DE，∠B＝50°，则∠D＝130°．4．如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝80°，求∠AGD的度数．解：∵EF∥AD，∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3(等量代换)．∴AB∥DG(内错角相等，两直线平行)．∴∠BAC＋∠AGD＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∵∠BAC＝80°，∴∠AGD＝100°.类型2 借助学具的特征求角度5．如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起．若∠1＝40°，则∠2的大小是( D )A．40° B．60° C．70° D．80°6．如图，一块直角三角板的两锐角的顶点刚好落在平行线l1，l2上，已知∠C是直角，则∠1＋∠2的度数等于( B )A．75° B．90° C．105° D．120°类型3 折叠问题中求角度7．将一个长方形纸片折叠成如图所示的图形．若∠ABC＝26°，则∠ACD＝128°．8．如图，一个四边形纸片ABCD，∠B＝∠D＝90°，∠C＝130°.把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕，则∠AEB的度数是65°．类型4 抽象出平行线模型求角度(建模思想)9．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°，一束光线(与水平线OB平行)从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，已知∠ADC＝∠ODE.则∠DEB的度数是76度．10．如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个梯形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是90°．小专题(三) 平行线的性质与判定的综合运用——教材P37T13的变式与应用教材母题(教材P37T13)：完成下面的证明．(1)如图1，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DE∥BA，DF ∥CA.求证：∠FDE＝∠A.证明：∵DE∥BA，∴∠FDE＝∠BFD(两直线平行，内错角相等)．∵DF∥CA，∴∠A＝∠BFD(两直线平行，同位角相等)．∴∠FDE＝∠A.(2)如图2，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD.求证AC∥BD.证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，又∠COA＝∠BOD(对顶角相等)，∴∠C＝∠D．∴AC∥BD(内错角相等，两直线平行)．(1)判定两直线平行的方法有五种：①平行线的定义；②平行公理的推论；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行；⑤同旁内角互补，两直线平行．(2)判定两直线平行时，定义一般不常用，其他四种方法要灵活运用，推理时要注意书写格式．(3)由两条直线平行得到同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，解题时应结合图形先确认所成的角是不是两平行线被第三条直线所截得的同位角或内错角或同旁内角，同时要学会简单的几何说理，做到每一步有理有据．1．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D，F，∠2＋∠3＝180°.试说明：∠GDC＝∠B.下面是不完整的说理过程，请你将横线上的过程和括号里的理由补充完整．解：因为AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，①所以∠ADB＝∠EFB＝90°(垂直的定义)．②所以AD∥EF(同位角相等，两直线平行)．③所以∠1＋∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．④又因为∠2＋∠3＝180°(已知)，⑤所以∠1＝∠3(同角的补角相等)．⑥所以AB∥DG(内错角相等，两直线平行)．⑦所以∠GDC＝∠B(两直线平行，同位角相等)．2．如图，点G在射线BC上，射线DE与AB，AG分别交于点H，M.若DF∥AB，∠B＝75°，∠D＝105°，求证：∠AME＝∠AGC.证明：∵DF∥AB(已知)，∴∠D＝∠BHM(两直线平行，同位角相等)．又∵∠B＝75°，∠D＝105°(已知)，∴∠B＋∠BHM＝75°＋105°＝180°.∴DE∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．∴∠AME＝∠AGC(两直线平行，同位角相等)．3．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E.求证：AD ∥BC.证明：∵AE平分∠BAD(已知)，∴∠1＝∠2(角平分线的定义)．∵AB∥CD(已知)，∴∠1＝∠CFE(两直线平行，同位角相等)．又∵∠1＝∠2(已证)，∠CFE＝∠E(已知)，∴∠2＝∠E(等量代换)．∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．4．如图，∠E＝∠1，∠3＋∠ABC＝180°，BE是∠ABC的平分线．你能判断DF 与AB的位置关系吗？请说明理由．解：DF∥AB.理由：∵BE是∠ABC的平分线，∴∠1＝∠2(角平分线的定义)．∵∠E＝∠1(已知)，∴∠E＝∠2(等量代换)．∴AE∥BC(内错角相等，两直线平行)．∴∠A＋∠ABC＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∵∠3＋∠ABC＝180°(已知)，∴∠A＝∠3(等量代换)．∴DF∥AB(同位角相等，两直线平行)．5．如图，AB⊥BD于点B，点E是BD上的点，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠1＋∠2＝90°.求证：CD⊥BD.证明：∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD(已知)，∴∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2(角平分线的性质)．∴∠BAC＋∠ACD＝2∠1＋2∠2＝2(∠1＋∠2)．∵∠1＋∠2＝90°(已知)，∴∠BAC＋∠ACD＝180°.∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．∴∠B＋∠D＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∴∠D＝180°－∠B(等式的性质)．∵AB⊥BD(已知)，∴∠B＝90°(垂直的定义)．∴∠D＝90°，即CD⊥BD.6．如图，把一张长方形ABCD的纸片沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D，C分别落在D′，C′的位置上．若∠EFG＝55°，求∠1，∠2的度数．解：∵AD∥BC，∠EFG＝55°，∴∠2＝∠GED，∠DEF＝∠EFG＝55°(两直线平行，内错角相等)．由折叠，知∠GEF＝∠DEF＝55°.∴∠GED＝110°.∴∠2＝110°.∴∠1＝180°－∠2＝70°(两直线平行，同旁内角互补)．7．如图，已知BC∥GE，∠AFG＝∠1＝50°.(1)求证：AF∥DE；(2)若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q＝15°，求∠ACQ的度数．解：(1)证明：∵BC∥GE，∴∠E＝∠1＝50°.∵∠AFG＝∠1＝50°，∴∠E＝∠AFG＝50°.∴AF∥DE.(2)过点A作AP∥GE，∵BC∥GE，∴AP∥GE∥BC.∴∠FAP＝∠AFG＝50°，∠PAQ＝∠Q＝15°.∴∠FAQ＝∠FAP＋∠PAQ＝65°.∵AQ平分∠FAC，∴∠CAQ＝∠FAQ＝65°.∴∠CAP＝80°.∴∠ACQ＝180°－∠CAP＝100°.。

例如，如图，m、n互相垂直， 垂足为O，则记为：
m⊥n或n⊥m．
若要强调垂足，则记为：a⊥b， 垂足为O．
书写形式1：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O．
因为∠AOD=90°（已知）所以AB⊥CD（垂直的定义）
书写形式2：
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°．
若有n条直线相交于一点呢？
角的名称
邻补角
对顶角
位置关系
性质
邻补角互补
对顶角相等
相同点
都有一个公共顶点，它们都是成对出现的
不同点
对顶角没有公共边而邻补角有一条公共边；两条直线相交时，一个角的对顶角只有一个，而一个角的邻补角有两个
知识回顾：
努力 努力 再努力！
生活中的相交直线
例1：如图，三条直线相交于一点O，说出图中所有对顶角。
做 一 做
图中共有几组对顶角？
A
B
C
2
1
猜 一 猜
对顶角相等
说一说
想一想：
图中这种测量工具，可以量出图中零件AB,CD这两条轮廓线的延长线所成的角，你能说出其中的道理吗？
A
B
C
D
例2、如图，已知直线AD和BE相交于点O， ∠ DOE与∠ COE互余， ∠ COE =520，求∠ AOB和∠ BOD的度数。
1.有一条公共边
2.角的另一边互为反向延长线.
邻补角
邻补角与补角的区别与联系
1.邻补角与补角都是针对两个角而言的，而且数量关系都是两角之和为180°2.互为邻补角的两个角一定互补，但是互为补角的两个角不一定是邻补角即：互补的两个角只注重数量关系而不谈位置，而互为邻补角的两个角既要满足数量关系又要满足位置关系。

人教版七年级数学下册《相交线与平行线中的四种几何模型》专项练习题-附含答案类型一、猪脚模型例．问题情境：如图① 直线AB CD ∥ 点E F 分别在直线AB CD 上．(1)猜想：若1130∠=︒ 2150∠=︒ 试猜想P ∠=______°；(2)探究：在图①中探究1∠ 2∠ P ∠之间的数量关系 并证明你的结论；(3)拓展：将图①变为图② 若12325∠+∠=︒ 75EPG ∠=︒ 求PGF ∠的度数． 【答案】(1)80︒(2)36012P ∠=︒-∠-∠；证明见详解(3)140︒【详解】（1）解：如图过点P 作MN AB ∥∵AB CD ∥∵AB MN CD ∥∥．∵1180EPN ∠+∠=︒2180FPN ∠+∠=︒．∵1130∠=︒ 2150∠=︒∵12360EPN FPN ∠+∠+∠+∠=︒∵36013015080EPN FPN ∠+=︒-︒-︒=︒．∵P EPN FPN ∠=∠+∠∵∵P =80°．故答案为：80︒；（2）解：36012P ∠=︒-∠-∠ 理由如下：如图过点P 作MN AB ∥∵AB CD ∥∵AB MN CD ∥∥．∵1180EPN ∠+∠=︒2180FPN ∠+∠=︒．∵12360EPN FPN ∠+∠+∠+∠=︒∵EPN FPN P ∠+∠=∠36012P ∠=︒-∠-∠．（3）如图分别过点P 、点G 作MN AB ∥、KR AB ∥∵AB CD ∥∵AB MN KR CD ∥∥∥．∵1180EPN ∠+∠=︒180NPG PGR ∠+∠=︒2180RGF ∠+∠=︒．∵12540EPN NPG PGR RGF ∠+∠+∠+∠++∠=︒∵75EPG EPN NPG ∠=∠+∠=︒PGR RGF PGF ∠+∠=∠12325∠+∠=︒∵12540PGF EPG ∠+∠+∠+∠=︒∵54032575140PGF ∠=︒-︒-︒=︒故答案为：140︒．【变式训练1】已知直线a b ∥ 直线EF 分别与直线a b 相交于点E F 点A B 分别在直线a b 上 且在直线EF 的左侧 点P 是直线EF 上一动点（不与点E F 重合）设∵P AE ＝∵1 ∵APB ＝∵2 ∵PBF ＝∵3．(1)如图1 当点P 在线段EF 上运动时 试说明∵1＋∵3＝∵2；(2)当点P 在线段EF 外运动时有两种情况．①如图2写出∵1 ∵2 ∵3之间的关系并给出证明；②如图3所示 猜想∵1 ∵2 ∵3之间的关系（不要求证明）．【答案】(1)证明见详解(2)①312∠=∠+∠；证明见详解；②123∠=∠+∠；证明见详解【详解】（1）解：如图4所示：过点P 作PC a ∥∵a b ∥∵PC a b ∥∥∵1APC ∠=∠ 3BPC ∠=∠∵2APC BPC ∠=∠+∠∵213∠=∠+∠；（2）解：①如图5过点P 作PC a ∥∵a b ∥∵PC a b ∥∥∵3BPC ∠=∠ 1APC ∠=∠∵2BPC APC ∠=∠+∠∵312；②如图6过点P 作PC a ∥∵a b ∥∵PC a b ∥∥∵1APC ∠=∠ 3BPC ∠=∠∵2APC BPC ∠=∠+∠∵123∠=∠+∠．【变式训练2】阅读下面内容 并解答问题．已知：如图1 AB CD 直线EF 分别交AB CD 于点E F ．BEF ∠的平分线与DFE ∠的平分线交于点G ．(1)求证：EG FG ⊥；(2)填空 并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 题．①在图1的基础上 分别作BEG ∠的平分线与DFG ∠的平分线交于点M 得到图2 则EMF ∠的度数为 ．②如图3 AB CD 直线EF 分别交AB CD 于点E F ．点O 在直线AB CD 之间 且在直线EF 右侧 BEO ∠的平分线与DFO ∠的平分线交于点P 则EOF ∠与EPF ∠满足的数量关系为 ． GH ABAB CD AB GH CD ∴BEG EGH DFG FGH ∠∠∠∠∴==，180BEF DFE ∴∠+∠=︒EG 平分GEB ∴∠=GEB ∴∠+在EFG ∆中EGF ∴∠=EM 平分BEM ∴∠45EMF BEM MFD ∴∠=∠+∠=︒故答案为：45︒；②结论：2EOF EPF ∠=∠．理由：如图3中 由题意 EOF BEO DFO ∠=∠+∠ EPF BEP DFP ∠=∠+∠PE 平分BEO ∠ PF 平分DFO ∠2BEO BEP ∴∠=∠ 2DFO DFP ∠=∠2EOF EPF ∴∠=∠故答案为：2EOF EPF ∠=∠．【变式训练3】如图：(1)如图1 AB CD ∥ =45ABE ∠︒ 21CDE ∠=︒ 直接写出BED ∠的度数．(2)如图2 AB CD ∥ 点E 为直线AB CD 间的一点 BF 平分ABE ∠ DF 平分CDE ∠ 写出BED ∠与F ∠之间的关系并说明理由．(3)如图3 AB 与CD 相交于点G 点E 为BGD ∠内一点 BF 平分ABE ∠ DF 平分CDE ∠ 若60BGD ∠=︒ 95BFD ∠=︒ 直接写出BED ∠的度数． 【答案】(1)∵BED =66°；(2)∵BED =2∵F 见解析；(3)∵BED 的度数为130°．【详解】（1）解：（1）如图 作EF ∵AB∵直线AB ∵CD∵EF ∵CD∵∵ABE =∵1=45° ∵CDE =∵2=21°∵∵BED =∵1+∵2=66°；（2）解：∵BED =2∵F理由是：过点E作EG∥AB延长DE交BF于点H∵AB∥CD∵AB∥CD∥EG∵∵5=∵1+∵2∵6=∵3+∵4又∵BF平分∵ABE DF平分∵CDE∵∵2=∵1∵3=∵4则∵5=2∵2∵6=2∵3∵∵BED=2(∵2+∵3)又∵F+∵3=∵BHD∵BHD+∵2=∵BED∵∵3+∵2+∵F=∵BED综上∵BED=∵F+12∵BED即∵BED=2∵F；（3）解：延长DF交AB于点H延长GE到I∵∵BGD=60°∵∵3=∵1+∵BGD=∵1+60° ∵BFD=∵2+∵3=∵2+∵1+60°=95°∵∵2+∵1=35° 即2(∵2+∵1) =70°∵BF平分∵ABE DF平分∵CDE∵∵ABE=2∵2∵CDE=2∵1∵∵BEI=∵ABE +∵BGE=2∵2+∵BGE∵DEI=∵CDE+∵DGE=2∵1+∵DGE ∵∵BED=∵BEI+∵DEI=2(∵2+∵1)+( ∵BGE+∵DGE)=70°+60°=130°∵∵BED的度数为130°．类型二、铅笔模型例．问题情景：如图1 AB ∵CD ∵P AB ＝140° ∵PCD ＝135° 求∵APC 的度数．（1）丽丽同学看过图形后立即口答出：∵APC ＝85° 请补全她的推理依据．如图2 过点P 作PE ∵AB因为AB ∵CD 所以PE ∵CD ．（ ）所以∵A +∵APE ＝180° ∵C +∵CPE ＝180°．（ ）因为∵P AB ＝140° ∵PCD ＝135° 所以∵APE ＝40° ∵CPE ＝45°∵APC ＝∵APE +∵CPE ＝85°．问题迁移：（2）如图3 AD ∵BC 当点P 在A 、B 两点之间运动时 ∵ADP ＝∵α ∵BCP ＝∵β 求∵CPD 与∵α、∵β之间有什么数量关系？请说明理由．（3）在（2）的条件下 如果点P 在A 、B 两点外侧运动时（点P 与点A 、B 、O 三点不重合） 请直接写出∵CPD 与∵α、∵β之间的数量关系．【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行（或平行公理推论） 两直线平行 同旁内角互补；（2）CPD αβ∠=∠+∠ 理由见解析；（3）CPD βα∠=∠-∠或CPD αβ∠=∠-∠【详解】解：（1）如图2 过点P 作PE ∵AB因为AB ∵CD 所以PE ∵CD ．（平行于同一条直线的两条直线平行）所以∵A +∵APE ＝180° ∵C +∵CPE ＝180°．（两直线平行同旁内角互补）因为∵P AB＝140° ∵PCD＝135°所以∵APE＝40° ∵CPE＝45°∵APC＝∵APE+∵CPE＝85°．故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行同旁内角互补；（2）∵CPD=∵α+∵β理由如下：如图3所示过P作PE∵AD交CD于E∵AD∵BC∵AD∵PE∵BC∵∵α=∵DPE∵β=∵CPE∵∵CPD=∵DPE+∵CPE=∵α+∵β；（3）当P在BA延长线时如图4所示：过P作PE∵AD交CD于E同（2）可知：∵α=∵DPE∵β=∵CPE∵∵CPD=∵β-∵α；当P在AB延长线时如图5所示：同（2）可知：∵α=∵DPE∵β=∵CPE∵∵CPD=∵α-∵β．综上所述∵CPD与∵α、∵β之间的数量关系为：∵CPD=∵β-∵α或∵CPD=∵α-∵β．【变式训练1】已知直线AB∥CD（1）如图（1）点G为AB、CD间的一点联结AG、CG．若∵A=140° ∵C=150° 则∵AGC 的度数是多少？（2）如图（2）点G为AB、CD间的一点联结AG、CG．∵A=x° ∵C=y° 则∵AGC的度数是多少？（3）如图（3）写出∵BAE、∵AEF、∵EFG、∵FGC、∵GCD之间有何关系？直接写出结论．【答案】（1）70°；（2）∵AGC=（x+y）°；（3）∵BAE+∵EFG+∵GCD=∵AEF+∵FGC．【详解】解：（1）如图过点G作GE∥AB∵AB∥GE∵∵A+∵AGE=180°（两直线平行同旁内角互补）．∵∵A=140°∵∵AGE=40°．∵AB∥GE AB∥CD∵GE∥CD．∵∵C+∵CGE=180°（两直线平行同旁内角互补）．∵∵C=150°∵∵CGE=30°．∵∵AGC=∵AGE+∵CGE=40°+30°=70°．（2）如图过点G作GF∥AB∵AB∥GF∵∵A=AGF（两直线平行内错角相等）．∵AB∥GF AB∥CD∵GF∥CD．∵∵C=∵CGF．∵∵AGC=∵AGF+∵CGF=∵A+∵C．∵∵A=x° ∵C=y°∵∵AGC=（x+y）°．（3）如图所示过点E作EM∥AB过点F作FN∥AB过点G作GQ∥CD∵AB∥CD∵AB∥EM∥FN∥GQ∥CD．∵∵BAE=∵AEM∵MEF=∵EFN∵NFG=∵FGQ∵QGC=∵GCD（两直线平行内错角相等）．∵∵AEF=∵BAE+∵EFN∵FGC=∵NFG+GCD．∵∵EFN+∵NFG=∵EFG∵∵BAE+∵EFG+∵GCD=∵AEF+∵FGC．【变式训练2】问题情境：如图1 AB∵CD∵P AB＝130° ∵PCD＝120° 求∵APC度数．思路点拨：小明的思路是：如图2 过P作PE∵AB通过平行线性质可分别求出∵APE、∵CPE的度数从而可求出∵APC的度数；小丽的思路是：如图3 连接AC通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∵APC的度数；小芳的思路是：如图4 延长AP交DC的延长线于E通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∵APC的度数．问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算你求得的∵APC的度数为°；问题迁移：（1）如图5 AD∵BC点P在射线OM上运动当点P在A、B两点之间运动时∵ADP＝∵α ∵BCP＝∵β．∵CPD、∵α、∵β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合）请你直接写出∵CPD、∵α、∵β间的数量关系．【答案】问题解决：110°；问题迁移：（1）∵CPD＝∵α+∵β 理由见解析；（2）∵CPD＝∵β﹣∵α 理由见解析【详解】解：小明的思路：如图2 过P作PE∵AB∵AB∵CD∵PE∵AB∵CD∵∵APE＝180°﹣∵A＝50° ∵CPE＝180°﹣∵C＝60°∵∵APC＝50°+60°＝110°故答案为：110；（1）∵CPD＝∵α+∵β 理由如下：如图5 过P作PE∵AD交CD于E∵AD∵BC∵AD∵PE∵BC∵∵α＝∵DPE∵β＝∵CPE∵∵CPD＝∵DPE+∵CPE＝∵α+∵β；（2）当P在BA延长线时∵CPD＝∵β﹣∵α；理由：如图6 过P作PE∵AD交CD于E∵AD∵BC∵AD∵PE∵BC∵∵α＝∵DPE∵β＝∵CPE∵∵CPD＝∵CPE﹣∵DPE＝∵β﹣∵α；当P在BO 之间时 ∵CPD ＝∵α﹣∵β．理由：如图7 过P 作PE ∵AD 交CD 于E∵AD ∵BC∵AD ∵PE ∵BC∵∵α＝∵DPE ∵β＝∵CPE∵∵CPD ＝∵DPE ﹣∵CPE ＝∵α﹣∵β．类型三、锄头模型例．已知 AB ∵CD ．点M 在AB 上 点N 在CD 上．（1）如图1中 ∵BME 、∵E 、∵END 的数量关系为： ；（不需要证明） 如图2中 ∵BMF 、∵F 、∵FND 的数量关系为： ；（不需要证明）（2）如图3中 NE 平分∵FND MB 平分∵FME 且2∵E ＋∵F ＝180° 求∵FME 的度数；（3）如图4中 ∵BME ＝60° EF 平分∵MEN NP 平分∵END 且EQ ∵NP 则∵FEQ 的大小A BC D P123是否发生变化若变化请说明理由若不变化求出∵FEQ的度数．【答案】（1）∵BME＝∵MEN﹣∵END；∵BMF＝∵MFN＋∵FND；（2）120°；（3）不变30°【详解】解：（1）过E作EH∵AB如图1∵∵BME＝∵MEH∵AB∵CD∵HE∵CD∵∵END＝∵HEN∵∵MEN＝∵MEH＋∵HEN＝∵BME＋∵END即∵BME＝∵MEN﹣∵END．如图2 过F作FH∵AB∵∵BMF＝∵MFK∵AB∵CD∵FH∵CD∵∵FND＝∵KFN∵∵MFN＝∵MFK﹣∵KFN＝∵BMF﹣∵FND即：∵BMF＝∵MFN＋∵FND．故答案为∵BME＝∵MEN﹣∵END；∵BMF＝∵MFN＋∵FND．（2）由（1）得∵BME＝∵MEN﹣∵END；∵BMF＝∵MFN＋∵FND．（2）观察图（2）已知AB∵CD猜想图中的∵BPD与∵B、∵D的关系并说明理由．（3）观察图（3）和（4）已知AB∵CD猜想图中的∵BPD与∵B、∵D的关系不需要说明理由．【答案】（1）∵B+∵BPD+∵D=360° 理由见解析；（2）∵BPD=∵B+∵D理由见解析；（3）∵BPD=∵D-∵B或∵BPD=∵B-∵D理由见解析【详解】解：（1）如图（1）过点P作EF∵AB∵∵B+∵BPE=180°∵AB∵CD EF∵AB∵EF∵CD∵∵EPD+∵D=180°∵∵B+∵BPE+∵EPD+∵D=360°∵∵B+∵BPD+∵D=360°．（2）∵BPD=∵B+∵D．理由：如图2 过点P作PE∵AB∵AB∵CD∵PE∵AB∵CD∵∵1=∵B∵2=∵D∵∵BPD=∵1+∵2=∵B+∵D．（3）如图（3）∵BPD=∵D-∵B．理由：∵AB∵CD∵∵1=∵D∵∵1=∵B+∵BPD∵∵D=∵B+∵BPD即∵BPD=∵D-∵B；如图（4）∵BPD=∵B-∵D．理由：∵AB ∵CD∵∵1=∵B∵∵1=∵D +∵BPD∵∵B =∵D +∵BPD即∵BPD =∵B -∵D ．【变式训练2】已知//AM CN 点B 为平面内一点 AB BC ⊥于B ．（1）如图1 点B 在两条平行线外 则A ∠与C ∠之间的数量关系为______； （2）点B 在两条平行线之间 过点B 作BD AM ⊥于点D ． ①如图2 说明ABD C ∠=∠成立的理由；②如图3 BF 平分DBC ∠交DM 于点,F BE 平分ABD ∠交DM 于点E ．若180,3FCB NCF BFC DBE ∠∠∠∠+=︒= 求EBC ∠的度数．【答案】（1）∵A +∵C =90°；（2）①见解析；②105°【详解】解：（1）如图1 AM 与BC 的交点记作点O∵AM ∵CN∵∵C =∵AOB∵AB ∵BC∵∵A +∵AOB =90°∵∵A +∵C =90°；（2）①如图2 过点B作BG∵DM∵BD∵AM∵DB∵BG∵∵DBG=90°∵∵ABD+∵ABG=90°∵AB∵BC∵∵CBG+∵ABG=90°∵∵ABD=∵CBG∵AM∵CN BG∵DMBG CN//,∵∵C=∵CBG∵ABD=∵C；②如图3 过点B作BG∵DM∵BF平分∵DBC BE平分∵ABD∵∵DBF=∵CBF∵DBE=∵ABE由（2）知∵ABD=∵CBG∵∵ABF=∵GBF设∵DBE=α∵ABF=β则∵ABE=α∵ABD=2α=∵CBG∵GBF=∵AFB=β∵BFC=3∵DBE=3α∵∵AFC=3α+β∵∵AFC+∵NCF=180° ∵FCB+∵NCF=180° ∵∵FCB=∵AFC=3α+β∵BCF中由∵CBF+∵BFC+∵BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°∵AB∵BC∵β+β+2α=90°∵α=15° ∵∵ABE=15°∵∵EBC=∵ABE+∵ABC=15°+90°=105°．类型四、齿距模型例．如图AB∵EF设∵C＝90° 那么x y z的关系式为______．【答案】y=90°-x+z．【详解】解：作CG//AB DH//EF∵AB//EF∵AB//CG//HD//EF∵∵x=∵1 ∵CDH=∵2 ∵HDE=∵z∵∵BCD＝90°∵∵1+∵2=90°∵y=∵CDH+∵HDE=∵z+∵2∵∵2=90°-∵1=90°-∵x∵∵y=∵z+90°-∵x．即y=90°-x+z．【变式训练1】如图1 已知AB ∵CD ∵B ＝30° ∵D ＝120°；(1)若∵E ＝60° 则∵F ＝ ；(2)请探索∵E 与∵F 之间满足的数量关系？说明理由；(3)如图2 已知EP 平分∵BEF FG 平分∵EFD 反向延长FG 交EP 于点P 求∵P 的度数．【答案】(1)90︒；(2)30F E ∠=∠+︒ 理由见解析；(3)15︒【详解】（1）解：如图1 分别过点E F 作//EM AB //FN AB////EM AB FN ∴30B BEM ∴∠=∠=︒ MEF EFN ∠=∠又//AB CD //AB FN//CD FN ∴180D DFN ∴∠+∠=︒又120D ∠=︒60DFN ∴∠=︒30BEF MEF ∴∠=∠+︒ 60EFD EFN ∠=∠+︒60EFD MEF ∴∠=∠+︒3090EFD BEF ∴∠=∠+︒=︒；故答案为：90︒；（2）解：如图1 分别过点E F 作//EM AB //FN AB////EM AB FN ∴30B BEM ∴∠=∠=︒ MEF EFN ∠=∠又//AB CD //AB FN//CD FN ∴又120D ∠=60DFN ∴∠=BEF MEF ∴∠=∠EFD MEF ∴∠=∠（3）解：如图设2BEF ∠=EP 平分PEF ∴∠=//FH EP HFG ∠=【变式训练2】如图1 点A 、B 分别在直线GH 、MN 上 GAC NBD ∠=∠ C D ∠=∠.（1）求证：//GH MN ；（提示：可延长AC 交MN 于点P 进行证明） （2）如图2 AE 平分GAC ∠ DE 平分BDC ∠ 若AED GAC ∠=∠ 求GAC ∠与ACD ∠之间的数量关系；（3）在（2）的条件下 如图3 BF 平分DBM ∠ 点K 在射线BF 上 13KAG GAC ∠=∠ 若AKB ACD ∠=∠ 直接写出GAC ∠的度数．∵ACD C ∠=∠∵//AP BD∵NBD NPA ∠=∠∵GAC NBD ∠=∠∵GAC NPA ∠=∠∵//GH MN ；（2）延长AC 交MN 于点P 交DE 于点Q∵180E EAQ AQE ∠+∠+∠=° 180AQE AQD ∠+∠=° ∵AQD E EAQ ∠=∠+∠∵//AP BD∵AQD BDQ ∠=∠∵BDQ E EAQ ∠=∠+∠∵AE 平分GAC ∠ DE 平分BDC ∠∵2GAC EAQ ∠=∠ 2CDB BDQ ∠=∠∵2CDB E GAC ∠=∠+∠∵AED GAC ∠=∠ ACD CDB ∠=∠∵23ACD GAC GAC GAC ∠=∠+∠=∠；（3）当K 在直线GH 下方时 如图 设射线BF 交GH 于I⎫．⎪⎭上方时如图-∠(180GAC⎫．⎪⎭°︒。

6分钟后看谁能正确找出图中一个角的对顶角和邻补角。
香港昂船洲大桥
相交线与平行线_ppt课件2 相交线与平行线_ppt课件2
相交线与平行线_ppt课件2 相交线与平行线_ppt课件2
相交线与平行线_ppt课件2
探究一：相交与不相交
问题： 两条直线，有几种不同的位置
关系？
相交线与平行线_ppt课件2
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自学检测二：
1.如图,直线a、b相交， ∠1:∠2=2:7 ，求各角的度数。
b
a
1（
（2 4）
）3
变式1：若∠1= 32°20′，求∠2、∠3、∠4的度数。 变式2：若∠1＋∠3 = 50°，则∠3= ，∠2= 。 变式3：若∠2是∠1的3倍，求∠3的度数？
A ）4 D ∠3
∠1和∠3
∠4
∠ 2和∠ 4
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发现1
C
A
12 O3
B
4
D
形如∠1 与∠2有一条公共边OC，它们
的另一边互为反向延长线，具有这种关系
的两个角，互为邻补角.
图中还有哪些角也是邻补角呢？
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学习目标：
1、知道邻补角、对顶角的定义，能找出图形中一个角 的对顶角和邻补角. 2、掌握“对顶角、邻补角”的性质，会用它们进行简 单推理和计算.
自学指导：
认真看课本P.2-3“练习”前面的内容：
1.完成“探究”，怎样找“邻补角”, “对顶角”. 2.请归纳出“邻补角”, “对顶角”的性质.并画图理解。 3.认真学习P.3页上的例题，注意解题步骤.

人教版 数学 七年级 下册
5.2 平行线及其判定 5.2.1 平行线
导入新知 生活中好多事物给我们线的感觉，那么下列这些线给我们
什么印象呢？ 如图，电梯的扶手给我们
什么印象？
电梯扶手所在直线会相交吗？
导入新知
那么铁轨给我们什么印象？
还有什么地方给我们相同的印
象呢？
铁轨所在直线会相交吗？
导入新知
课堂检测
2.在同一平面内，下列说法：
①过两点有且只有一条直线；②两条不相同的直线有且只有一个
公共点；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确
的个数为（ C ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
课堂检测
3.完成下列推理，并在括号内注明理由.
因为 AD∥BC，PQ∥AD，所以PQ∥BC(如果两条直线都与第
三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)；
(3)经测量DQ=CQ，AD+BC=2PQ成立.
课堂检测 拓广探索题
如图，直线a ∥b，b∥c，c∥d，那么a ∥d吗？为什么？ a bc d
解： a ∥d ，理由如下： 因为 a ∥b，b∥c，所以 a ∥c （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行） 因为 c∥d，所以 a ∥d （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行）
下列说法正确的是( B ) A.两条不相交的直线一定相互平行 B.在同一平面内，两条不平行的直线一定相交 C.在同一平面内，两条不相交的线段一定平行 D.在同一平面内，两条不相交的射线互相平行
巩固练习
下列说法中，正确的个数有（ B） （1）在同一平面内不相交的两条线段必平行 × （2）在同一平面内不相交的两条直线必平行 √ （3）在同一平面内不平行的两条线段必相交 × （4）在同一平面内不平行的两条直线必相交 √

1 专题2.15 《相交线与平行线》几何模型2（知识讲解） 几何模型：角平分线模型图一.ACB D ACB D ACB D ∠=∠⇒∠=∠⇒⇒∠=∠如图一：(1)、CB ,AB//CD AB=AC;(2)、CB ,AB=AC AB//CD;(3)、AB=AC ,AB//CD CB下面分别对（1）、（2）、（3）三个结论进行证明。

图二.//CD =,ACD AB BCD A A ∠∆∴∠∠∠∴∠∠∴∠∠∴∴∆已知:如图二，AB//CD,CB 平分求证：ABC 为等腰三角形。

证明：，B ＣＢ平分ＡＣＤ，ＣＢ＝ＤC ＢＣＢ＝ＡＢＣＡＣ＝ＡＢＡＢＣ为等腰三角形。

2 图三 //CD =,,ACDAB BCD AB AC A A CB A ∆∠∴∠∠=∴∠∠∴∠∠∴∠已知:如图三，AB//CD,ABC 为等腰三角形求证：CB 平分证明：，B ＣＢ＝ＡＢＣ,ＣＢ＝ＤC Ｂ，平分ＣＢ.图四,//CD.=,ACD AB AC A CB A A AB BCD ∠∆∆∴=∴∠∠∠∠∠∴∠∠∴∴∠∠已知:如图四，CB 平分,ABC 为等腰三角形求证：AB//CD证明：ABC 为等腰三角形ＣＢ＝ＡＢＣ,平分ＣD,ＣＢ＝ＤC Ｂ，ＤC Ｂ＝ＡＢＣ,B1、（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级月考）如图，已知AB∥CD ，BE 平分∥ABC ，交CD 于点D ，∥CDE=160°，求 ∥C 的度数【答案】140°【分析】先根据邻补角的定义求出∠CDB 的度数，再根据平行线的性质及角平分线的定义3得出∠ADB 及∠ABC 的度数，由平行线的性质可得出∠C 的度数．解：∠∠CDE=160°，∠∠CDB=180°-∠CDE=180°-160°=20°，∠AB∠CD ，∠∠ABD=∠CDB=20°，∠BE 平分∠ABC ，∠∠ABC=2∠ABD=2×20°=40°，∠∠C=180°-∠ABC=180°-40°=140°．【点拨】本题考查的是平行线的性质、角平分线的定义及邻补角的性质，熟知平行线的性质是解答此题的关键．举一反三：【变式1】（2020·山东菏泽市·七年级期末）如图，ABC ADC ∠=∠，DE 平分ADC ∠交AB 于点E ，BF 平分ABC ∠交CD 于点F ，//DE BF ．（1）说明//AB DC 的理由；（2）若70A ∠=︒，求BFC ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）55°【分析】（1）根据角平分线的定义和ABC ADC ∠=∠，可证EDC ABF ∠=∠，从而//DE BF ，再证明EDC AED ∠=∠，即可证明结论成立；（2）先求∠ADC 的度数，再求∠EDC 的度数，然后根据平行线的性质可求BFC ∠的度数 解：（1）∠DE 平分ADC ∠，BF 平分ABC ∠，∠12EDC ADC ∠=∠，12ABF ABC ∠=∠． ∠ABC ADC ∠=∠，∠EDC ABF ∠=∠．∠//DE BF ，4∠AED ABF ∠=∠，∠EDC AED ∠=∠，∠//AB DC ；（2）∠//AB DC ，∠180********ADC A ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∠111105522EDC ADC ∠=∠=⨯︒=︒． ∠//DE BF ，∠55BFC EDC ∠=∠=︒．【点拨】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：∠两直线平行，同位角相等，∠两直线平行，内错角相等，∠两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．【变式2】（2020·浙江杭州市·七年级期末）如图，若要判定纸带两条边线a ，b 是否互相平行，我们可以采用将纸条沿AB 折叠的方式来进行探究．（1）如图1，展开后，测得12∠=∠，则可判定a//b ，请写出判定的依据_________； （2）如图2，若要使a//b ，则1∠与2∠应该满足的关系是_________；（3）如图3，纸带两条边线a ，b 互相平行，折叠后的边线b 与a 交于点C ，若将纸带沿11A B （1A ，1B 分别在边线a ，b 上）再次折叠，折叠后的边线b 与a 交于点1C ，AB//11A B ，137BB AC ==，，求出1A C 的长．【答案】（1）内错角相等，两直线平行；（2）∠1+2∠2=180°；（3）4或10【分析】（1）根据平行线的判定定理，即可得到答案；5（2）由折叠的性质得：∠3=∠4，若a∠b ，则∠3=∠2，结合三角形内角和定理，即可得到答案；（3）分两种情况：∠当B 1在B 的左侧时，如图2，当B 1在B 的右侧时，如图3，分别求出1A C 的长，即可得到答案．解：（1）∠12∠=∠，∠a∠b （内错角相等，两直线平行），故答案是：内错角相等，两直线平行；（2）如图1，由折叠的性质得：∠3=∠4，若a∠b ，则∠3=∠2，∠∠4=∠2，∠∠2+∠4+∠1=180°，∠∠1+2∠2=180°，∠要使a∠b ，则1∠与2∠应该满足的关系是：∠1+2∠2=180°．故答案是：∠1+2∠2=180°；（3）∠当B 1在B 的左侧时，如图2，∠AB//11A B ，a∠b ，∠AA1=BB1=3，∠1A C =AC - AA1=7-3=4；∠当B1在B 的右侧时，如图3，∠AB//11A B ，a∠b ，∠AA1=BB1=3，∠1A C =AC+AA1=7+3=10．综上所述：1A C =4或10．6【点拨】本题主要考查平行线的判定和性质定理，折叠的性质以及三角形的内角和定理，掌握“平行线间的平行线段长度相等”是解题的关键．2．（2020·安徽省安庆市外国语学校七年级期末）如图，已知//AM BN ，60A ∠=︒，点P 是射线AM 上一动点（与点A 不重合），BC ，BD 分别平分ABP ∠和PBN ∠，分别交射线AM 于点C ，D ．（1）求CBD ∠的度数（2）当点P 运动时，:APB ADB ∠∠的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；（3）当点P 运动到某处时，ACB ABD =∠∠，求此时ABC ∠的度数．【答案】（1）60°；（2）不变，∠APB ：∠ADB=2：1；（3）30°【分析】 （1）根据角平分线的定义只要证明∠CBD=12∠ABN 即可；7 （2）不变．可以证明∠APB=∠PBN ，∠ADB=∠DBN=12∠PBN ． （3）想办法证明∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN 即可解决问题；解：（1）∠AM∠BN ，∠∠ABN=180°-∠A=120°，又∠BC ，BD 分别平分∠ABP 和∠PBN ，∠∠CBD=∠CBP+∠DBP=12（∠ABP+∠PBN ）=12∠ABN=60°， （2）不变．理由如下：∠AM∠BN ，∠∠APB=∠PBN ，∠ADB=∠DBN ，又∠BD 平分∠PBN ， ∠∠ADB=∠DBN=12∠PBN=12∠APB ， ∠∠APB ：∠ADB=2：1．（3）∠AM∠BN ，∠∠ACB=∠CBN ，又∠∠ACB=∠ABD ，∠∠CBN=∠ABD ，∠∠ABC=∠ABD -∠CBD=∠CBN -∠CBD=∠DBN ， ∠∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN ，∠∠ABC=14∠ABN=30°， 【点拨】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式】（2020·河南周口市·七年级期中）如图所示，直线AB ∠CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F 两点，∠BEF 、∠DFE 的平分线相交于点K ．（1）求∠EKF 的度数；（2）如图（2）所示，作∠BEK 、∠DFK 的平分线相交于点K 1，问∠K 1与∠K 的度数是否存在某种特定的等量关系？写出结论并证明．（3）在图（2）中作∠BEK 1、∠DFK 1的平分线相交于点K 2，作∠BEK 2、∠DFK 2的平分线相交于点K 3，依此类推，……，请直接写出∠K 4的度数．8【答案】（1）∠EKF ＝90°；（2）∠K ＝2∠K 1，证明见解析；（3）∠K 4＝5.625°．【分析】（1）过K 作KG ∠AB ，交EF 于G ，根据平行于同一条直线的两直线平行可得AB ∠KG ∠CD ，从而得出∠BEK ＝∠EKG ，∠GKF ＝∠KFD ，∠BEK +∠FEK +∠EFK +∠DFK ＝180°，然后根据角平分线的定义即可求出∠BEK +∠DFK ＝90°，从而得出结论；（2）根据角平分线的定义可得∠BEK 1＝∠KEK 1，∠KFK 1＝∠DFK 1，结合（1）的结论可得∠BEK 1+∠DFK 1＝45°，从而求出∠K 1，即可得出结论；（3）根据（2）中的规律即可得出结论．解：（1）如图（1），过K 作KG ∠AB ，交EF 于G ，∠AB ∠CD ，∠AB ∠KG ∠CD ，∠∠BEK ＝∠EKG ，∠GKF ＝∠KFD ，∠BEK +∠FEK +∠EFK +∠DFK ＝180°，∠EK 、FK 分别为∠BEF 与∠EFD 的平分线，∠∠BEK ＝∠FEK ，∠EFK ＝∠DFK ，∠2（∠BEK+∠DFK ）＝180°，∠∠BEK+∠DFK ＝90°，则∠EKF ＝∠EKG+∠GKF ＝90°；（2）∠K ＝2∠K1，理由为：∠∠BEK 、∠DFK 的平分线相交于点K1，∠∠BEK1＝∠KEK1，∠KFK1＝∠DFK1，9 ∠∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK ＝180°，即2（∠BEK+∠KFD ）＝180°，∠∠BEK+∠KFD ＝90°，即∠BEK1+∠DFK1＝45°，同（1）得∠K1＝∠BEK1+∠DFK1＝45°，则∠K ＝2∠K1；（3）如图（3），根据（2）中的规律和推导方法可得：∠K2＝12∠K1＝22.5°，∠K3＝12∠K2＝11.25°，∠K4＝12∠K3＝5.625°． 【点拨】此题考查的是平行线的性质及判定，掌握平行线的各个性质定理是解题关键．。

A.120° B.100° C.150° D.160°
模型二：燕尾型 (模型来源——北师8上P186、人教8上P17)
·数学
模 型
结 结论1：若AB∥CD，则∠BED＝∠B＋∠D； 论 结论2：若∠BED＝∠B＋∠D，则AB∥CD
·数学
2.如图，直线AB∥CD，∠1＝136°，∠E为直角，则∠C等 于( C )
A.36° B.34° C.32° D.30°
模型四：犀牛角型 (模型来源——北师8上P180)
·数学
模 型
结 结论1：若AB∥CD，则∠E＝∠ABE－∠D； 论 结论2：若∠E＝∠ABE－∠D，则AB∥CD
·数学
4.如图，AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，则 ∠BCD＝ 30° .
第二章 相交线与平行线
中考重难点(回归教材) 平行线的四大模型拓展
模型一：铅笔型(模型来源——人教7下P24)
·数学
模 型
结论1： 结 若AB∥CD，则∠B＋∠BED＋∠D＝360°； 论 结论2：
若∠B＋∠BED＋∠D＝360°，则AB∥CD
·数学
1.如图，直线AB∥CD，AE⊥CE于点E，若∠EAB＝120°， 则∠ECD的度数是( C )
·数学
【总结】平行线中辅助线方法总结：过拐点作已知直线的平 行线，简单说成：逢“拐点”作平行.一般而言，有几46° D.48°
模型三：锄头型 (模型来源——北师8上P186、人教8上P17)
模 型
结 结论1：若AB∥CD，则∠E＝∠B－∠D； 论 结论2：若∠E＝∠B－∠D，则AB∥CD
·数学
·数学
3.如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的 度数是( A )

第9讲相交线与平行线同学们对两条直线相交、平行一定不陌生吧！纵横交错的公路，棋盘中的横线和竖线，操场上的双杠，教室中的课桌面、黑板面相邻的两条边与相对的两条边……都给我们以相交线和平行线的形象．专题简介暑期我们学习了几何图形-—线段、直线、射线和角．本讲将进一步学习平面内不重合的两条直线间的位置关系：相交和平行．对于相交,我们要研究两条直线相交所成的角的位置关系和数量关系;对于平行，我们要借助于一条与两条平行直线相交的直线，通过研究相交所得角的位置和数量关系,进而得出平行线的性质和判定．同时,我们还会学习通过简单的逻辑推理证明数学结论的方法，培养分析问题的能力,树立言之有据的思考习惯．模块分类1．相交线相关概念．2．平行线性质和判定．3．平行线四大模型．学习目标1．掌握与相交线和平行线的相关概念和性质．2．掌握平行线的判定和性质．3．掌握平行线四大模型．考点汇总考试频率对应例题对应练习题相交线相关概念☆☆☆例1、2练1、2平行线性质和判定☆☆☆☆☆例3、4练3、4平行线四大模型☆☆☆☆例5～8练5模块一相交线相关概念题型一邻补角、对顶角、垂线段知识点睛相交线任意两条相交的直线，将圆周角一分为四，如图,∠1和∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线,(即∠1＋∠2＝ )，具有这种关系的两个角，互为．如图，∠1和∠3有一个公共顶点O,并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为．如图，因为∠1与∠2互补，∠3与∠2互补（邻补角的定义），所以∠1＝∠3（同角的补角相等）．由此我们得到对顶角的性质:对顶角相等．垂直如图，若两条直线AB、CD所成的夹角α＝90°，我们说AB、CD互相．其中一条直线叫做另一条直线的，它们的交点叫做．如图,AB⊥CD，垂足为O．如果两条直线相交所成的四个角中任意一个角等于90°，那么这两条直线垂直．如果AB和CD交于点O，∠AOC＝90°，那么AB⊥CD．如图，连接直线l外一点P与直线l上格点O，A1，A2，A3，……，其中PO⊥l（称PO为P到直线l的垂线段），这些连成的线段中，不难发现, 最短．于是我们得到：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．经过一点(已知直线上或直线外)，能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线，即在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．基础夯实【例1】（1)如果∠AOB＋∠DOE＝180°，∠AOB和∠BOC互为邻补角，那么∠DOE与∠BOC的关系是．（2）如图,三条直线a、b、c相交于一点,则∠1＋∠2＋∠3＝．【练1】（1）下列语句，正确的有 (只填序号)．□，1有公共顶点且相等的两个角是对顶角；错误!有公共顶点且互补的两个角是邻补角；错误!对顶角的角平分线在同一直线上;错误!对顶角相等但不一定互补；错误!对顶角有公共的邻补角．（2）如图,EF、CD交于点O，OA⊥OB,且OD平分∠AOF，∠BOE＝2∠AOE，求∠EOD的度数．题型二同位角、内错角、同旁内角知识点睛同位角如图，直线AB，CD和EF相交（也可以说两条线AB、CD被第三条直线EF所截），构成8个角．现在我们关注那些没有公共顶点的两个角的关系．∠1和∠5这两个角分别在直线AB、CD的同一方（上方），并且都在直线EF的同侧(右侧），具有这种位置关系的一对角叫做同位角．思考：图中还有哪些角是构成同位角？内错角∠3和∠5这两个角都在直线AB、CD之间，并且分别在直线EF两侧（∠3在EF左侧，∠5在EF右侧)，具有这种位置关系的一对角叫做内错角．思考：图中还有哪些角是构成内错角？同旁内角∠3和∠6也都在直线AB、CD之间，但它们都在直线EF的同一旁（左侧），具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角．思考：图中还有哪些角是构成同旁内角？同位角:“F字型”内错角：“Z字型”同旁内角：“C字型”基础夯实【例2】(1）如图，∠DCE与∠B是直线AB、被直线所截而成的角；∠ACB与∠A是直线AB、被直线所截而成的角；∠ACE和∠A是直线AB、被直线所截而成的角．（2）如图，直线a、b、c两两相交，形成12个角中,完成填空：错误!∠1与∠2是，错误!∠3与∠5是，○3∠2与∠5是，错误!∠7与∠12是，错误!∠6与∠7是 ,错误!∠8与∠2是，强化挑战【练2】（1）（“希望杯”邀请赛)如图,平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交，图中同旁内角共有________ ．（2）在如下所示的图中，一共有对内错角．(3）用数码标记出下图与∠1是同位角的所有角．模块二平行线的性质与判定知识点睛同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线．如图,过点B作直线a的平行线，能画几条？再过点C画直线a的平行线，和前面过点B画出的直线平行吗？通过观察和画图，我们可以发现一个基本事实(平行公理)：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．由平行公理，进一步可以得到如下结论:如图两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．也就是说:如果b∥a,c∥a，那么b∥c．平行线三大判定：根据平行线的定义,如果平面内两条直线不相交,就可以判断两条直线平行．但是,由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义判断两条直线是否平行．判定方法1：两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等，那么两条直线平行．示意图判定同位角相等，两直线平行若∠1＝∠2，则AB∥CD．判定方法2：两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等，那么两条直线平行．示意图判定内错角相等，两直线平行若∠1＝∠4,则AB∥CD．判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补,那么两条直线平行．示意图判定同旁内角互补，两直线平行若∠1＋∠3＝180°,则AB∥CD．平行线三大性质:将平行线三大判定的条件和结论互换,就可以得到平行线的三大性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截,同位角相等．简单说成:两直线平行，同位角相等．性质2:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．性质1:两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行,同旁内角互补．基础夯实【例3】如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2,∠BAC＝70°,将求∠AGD的过程补充完整．解：∵EF∥AD（）∴∠2＝（）又∠1＝∠2( ）∴∠1＝∠3( )∴AB∥（）∴∠BAC＋＝180°（）又∠BAC＝70°( )∴∠AGD＝（）【练3】如图，∠A＝60°，∠ABD＝∠BDC，求∠ADC的度数是多少？强化挑战【例4】如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，求证：CE∥DF．【练4】已知∠1＝∠2，∠5＝∠6，AD∥BC，求证:∠3＝∠4．模块三平行线四大模型知识点睛铅笔模型结论若AE∥CF,则∠P＋∠E＋∠F＝360°猪蹄模型结论若AE∥CF，则∠P＝∠E＋∠F臭脚模型结论若AE∥CF，则∠P＝∠E－∠F骨折模型结论若AE∥CF，则∠P＝∠F－∠E总结：以上结论不要“机械地”记忆,要在掌握证明方法基础上,带着理解去记忆．不难发现，过拐点P点作平行线再导角，是证明这类结论的通法，这些模型是平行线问题中的常见模型，同学们需熟练掌握证明过程．强化挑战【例5】如图，已知AB∥CD，∠EAF＝14∠EAB,∠ECF＝14∠ECD,求证:∠AFC＝34∠AEC．【练5】已知，AD∥BC，BE平分∠ABC,DE平分∠ADC．求证：∠E＝(12∠A＋∠C）．巅峰突破【例6】如图，∠DAB＋∠ABC＋∠BCE＝360°,（1）说明AD和CE的位置关系,并说明理由．（2）作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠F的余角等于2∠B的补角，求∠BAH的度数．【例7】（武昌区期末考试)如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，H是直线CD上一动点（不与点D重合），BI平分∠HBD,写出∠EDI与∠BHD的数量关系，并说明理由．【例8】（2013-2014洪山区期中统考）如左图,D为△ABC延长线上的一点,CE∥AB．（1）求证：∠ACD＝∠A＋∠B；（2）若右图,过A点作BC的平行线交CE于点H,CF平分∠ECD、FA平分∠HAD，若∠BAD＝70°，求∠F的度数;（3)如图，AH∥BD，G为CD上一点，Q为AC上一点，GR平分∠QGD交AH于R,QN平分∠AQG交AH于N,QM∥GR，猜想∠MQN与∠ACB的关系，说明理由．第9讲课后作业【习1】证明：过点O任意作7条直线,则在所有以O为顶点的角中，必有一个小于26°．【习2】下图中一共有对同旁内角？【习3】已知，如图，BCE、AFE是直线,AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4,求证：AD∥BE．证明:∵AB∥CD（已知)∴∠4＝∠（ )∵∠3＝∠4（已知)∴∠3＝∠ (等量代换）∵∠1＝∠2（已知）∴∠1＋∠CAF＝∠2＋∠CAF（等式的性质）即∠BAF＝∠∴∠3＝∠（等量代换）∴AD∥BE（ )【习4】如图，AB∥CD，AE平分为∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE＝∠E，求证:AD∥BC．【习5】如图，已知AB∥EF，求∠1－∠2＋∠3＋∠4＝．【习6】已知：AB∥CD，∠FBC＝13∠ABF,∠FDC＝13∠FDE，求∠C、∠F的关系．【习7】已知:AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系．【习8】已知：AB∥GF，∠B＝50°,∠BCD＝120°，∠E＝30°，∠F＝100°，求证：BC∥DE．【习9】如图,四边形ABCD中，AE平分∠DAB，CF平分∠DCB，且AE∥CF．(1）求证：∠B＝∠D；（2）延长AE、BC交于G，若∠ADC＝90°,∠G＝55°,求∠DAB的度数．【习10】如图，已知∠FEA＝∠EAF，EA平分∠CAF．（1）求证：EF∥AC；（2）若CA平分∠DAB,∠BAF与∠BAD互补,∠FEA－∠DAC＝50°，求∠F．【习11】已知，如图1，∠1＋∠2＝180°，∠AEF＝∠HLN．（1）判断图1中平行的直线，并给予证明；（2）如图2，∠PMQ＝2∠QMB,∠PNQ＝2∠QND，请判断∠P与∠Q的数量关系，并证明．图1 图2【习12】如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED,CE是∠ACB的平分线．求证：∠EDF＝∠BDF．【习13】如图，已知:DE∥AC,CD平分∠ACB,EF平分∠DEC，∠BDG与∠ADC互余．求证：DG∥EF．。

《相交线与平行线》题型解读3 平行线中的三大典型模型题型【方法梳理】1.题型特点：有平行线，但不是“三线”情况，需要构造出“三线八角”，再运用平行线的性质或判定解题。

2.解题思路：①通用做法------遇到拐点处作已知平行线的平行线；②线段延长与平行线相交，构造“截线”3.掌握要求：填选题中直接用（记熟模型），解决题中需要掌握证明过程一.“铅笔模型”：1.铅笔模型：已知AB//CD ，结论：∠B+∠E+∠D=360º证明方法：2.推论：所有角度和=180º×（n-1）二. 猪脚模型：n 个角21FEDCB A EBA（二）线段延长与平行线相交，构造“截线”证明：延长BE 交CD 于点F （如图）∵AB//CD （已知）∴∠B+∠F=180º（两直线平行，同旁内角互补）即∠B=180°-∠F （等式性质）又∵∠2=180°-∠4（平角定义） ∠1=180°-∠3（平角定义）∴∠B+∠2+∠1=540°-（∠F+∠4+∠3）（等式性质）又∵∠F+∠3+∠4=180°（三角形内角和定理）∴∠B+∠2+∠1=540°-180°=360°（等量代换）即∠B+∠D+∠E=360º（一）遇到拐点处作已知平行线的平行线证明：过点E 作EF//AB （如图）∵AB//EF （已作）∴∠B+∠1=180º（两直线平行，同旁内角互补）又∵AB//CD （已知）∴EF//CD （平行于同一直线的两直线平行）∴∠2+∠D=180º（两直线平行，同旁内角互补）∴∠B+∠1+∠2+∠D=360º（等式性质）即∠B+∠E+∠D=360º（等量代换）4321FE DCBA1.猪脚模型：已知AB//CD ， 结论：∠E=∠B+∠D2.推论：凸出所有角之和=凹进所有角之和：∠1+∠2+∠3=∠α+∠β+∠γ三. 牛角模型及鸭脚模型：已知AB//CD ，结论：∠B=∠E+∠Dγβα43214321F E DCB A （二）线段延长与平行线相交，构造“截线”证明：延长BE 交CD 于点F （如图）∵AB//CD （已知）∴∠B=∠4（两直线平行，内错角相等）又∵∠D=180°-∠4-∠3（平角定义）∴∠B+∠D=∠4+180°-∠4-∠3=180°-∠3（等式性质）又∵∠1=180°-∠3（三角形内角和定理）∴∠B+∠D=∠1（等量代换）即∠B+∠D=∠E431FE DC BA2（一）遇拐点做已知平行线的平行线证明：过点E 作EF//AB （如图） ∵AB//EF （已作）∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）又∵AB//CD （已知）∴EF//CD （平行于同一直线的两直线平行）∴∠D=∠2（两直线平行，内错角相等）∴∠B+∠D=∠1+∠2（等量性质）即∠B+∠D=∠E1FE D CB A EDCB A EDCBAF证明：延长AB 交DE 于点F （如图） ∵AB//CD （已知）∴∠1=∠D （两直线平行，内错角相等）又∵∠B+∠2=180°（平角定义） ∠2+∠1+∠E=180°（三角形内角和定理）∴∠B=∠1+∠E （同角的补角相等）∴∠B=∠D+∠E （等量代换）EBA E DCB A 证明：∵AB//CD （已知）∴∠B=∠1（两直线平行，同位角相等）又∵∠1+∠2=180°（平角定义） ∠2+∠D+∠E=180°（三角形内角和定理）∴∠1=∠D+∠E （同角的补角相等）∴∠B=∠D+∠E （等量代换）21【典型例题】例1.已知：如图，AB∥CD，求∠A+∠E+∠C=_______解：过点E作MN∥AB，∵AB∥CD，MN∥AB，∴AB∥CD∥MN，∴∠A+∠1=180°，∠C+∠2=180°，∴∠A+∠1+∠C+∠2=360°，即∠A+∠E+∠C=360°例2.已知：如图所示，AB∥CD，若∠ABE=130°，∠CDE=152°，则∠BED=________度解：过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∵AB∥EF，∴∠1=180°-∠ABE=180°-130°=50°；∵EF∥CD，∴∠2=180°-∠CDE=180°-152°=28°；∴∠BED=∠1+∠2=50°+28°=78°例3.一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD=_______度解：过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE．∴∠BCD+∠1=180°；又∵AB⊥AE，∴AB⊥BF．∴∠ABF=90°．∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°例4.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A=120°，第二次拐的角∠B=150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C=___________解：过点B作BD∥AE，∵AE∥CF，∴AE∥BD∥CF，∴∠A=∠1，∠2+∠C=180°，∵∠A=120°，∠1+∠2=∠ABC=150°，∴∠2=30°，∴∠C=180°-∠2=180°-30°=150°例5.珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，则∠CDE=_____度解：过点C作CF∥AB，已知珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，∴AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠BCF+∠ABC=180°，∴∠BCF=60°，∴∠DCF=20°，∴∠CDE=∠DCF=20°例6.如图，AB∥CD，若∠ABE=120°，∠DCE=35°，则有∠BEC=________度解：如图，过点E作EF∥AB，由平行线的传递性可得EF∥CD∵EF∥AB，CA∵∠FEB=180°-∠ABE=60°，∵EF∥CD，∴∠FEC=∠DCE=35°，∴∠BEC=∠FEB+∠FEC=95°例7.如图，AB∥CD，∠B=23°，∠D=42°，则∠BED=_________解：过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠1=∠B=23°，∠2=∠D=42°，∴∠BED=∠1+∠2=23°+42°=65°例8.如图，已知直线a∥b，∠1=40°，∠2=60°．则∠3=____________解：如图，∵a∥b，∠2=60°，∴∠4=∠2=60°，∴∠3=∠1+∠4=40°+60°=100°例9.如图所示，直线a∥b，△ABC是直角三角形，∠A=90°，∠ABF=25°，则∠ACE等于______解：延长BA交直线a于M，∵a∥b，∠ABF=25°，∴∠CMB=∠ABF=25°，∵∠ACM+∠CMA=∠BAC，∠BAC=90°，∴∠ACE=90°-25°=65°，例10.如图：AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，则∠a的度数为_____解：过点F作FE∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠1+∠3=180°，∠4+∠2=180°，∵∠1=100°，∠2=120°，∴∠3=80°，∠4=60°，∴∠AFC=∠3+∠4=140°，∴∠α=180°-∠AFC=40°例11.如图，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为O，BC与l2相交于点E，若∠1=43°，则∠2=________解：过点B作BD∥l1，则BD∥l2，∴∠ABD=∠AOF=90°，∠1=∠EBD=43°，∴∠2=∠ABD+∠EBD=133°例12.如图，直线AB∥DE，BC⊥CD，若∠1=25°，则∠2的度数是__________解：过C作CM∥AB，∵AB∥DE，∴CM∥AB∥DE，∴∠1=∠BCM，∵∠1=25°，∴∠BCM=25°，∵BC⊥CD，∴∠BCD=90°，∴∠MCD=90°-25°=65°，∵CM∥DE，∴∠2+∠MCD=180°，∴∠2=180°-65°=115°例13.如图，已知a∥b，ABCDE是夹在直线a，b之间的一条折线，试研究∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的关系是_____________解：∠2+∠4=∠1+∠3+∠5．理由：作BF∥a，CG∥a，DH∥a，∵a∥b，∴a∥BF∥CG∥DH∥b，∴∠1=∠ABF，∠FBC=∠BCG，∠GCD=∠CDH，∠HDE=∠5，∴∠2+∠4=∠1+∠3+∠5例14.如图，若AB∥CD，∠C=64°，则∠A+∠E的度数为_________解析：由鸭脚模型可得∠A+∠E=∠C=64°例15.已知，如图：AB∥CD，∠A=38°，∠C=80°，∠M=____________解析：由鸭脚模型可得∠M=∠C-∠E=42°例16.如图，已知直线AC∥DE，∠C=35°，∠E=65°，则∠B=_________解析：由鸭脚模型可得∠B=∠E-∠C=30°例17.如图，已知AB∥CD，∠E=28°，∠C=52°，则∠EAB的度数是____________解：如图，延长BA交CE于点F．∵AB∥CD，∴∠1=∠C=52°，∵∠E=28°，∴∠EAB=∠1+∠E=52°+28°=80 例18.如图：已知AB∥DE，若∠ABC=60°，∠CDE=140°，∠BCD=_______________解：反向延长DE交BC于M，∵AB∥DE，∴∠BMD=∠ABC=60°，∴∠CMD=180°-∠BMD=120°；又∵∠CDE=∠CMD+∠C，∴∠BCD=∠CDE-∠CMD=140°-120°=20°。

定理、割线长定理等性质。
25
在实际问题中的应用
相交线与平行线在建筑设 计中的应用
在建筑设计中，相交线与平行线的概念可以 用来确定建筑物的结构框架、门窗位置等。
相交线与平行线在交通规划 中的应用
在交通规划中，可以利用相交线与平行线的性质来 规划道路网络、设计交通标志等。
相交线与平行线在电路设 计中的应用
性质
平行线间距离相等；平行线同位角 相等，内错角相等。
判定
同位角相等，两直线平行；内错角 相等，两直线平行；同旁内角互补 ，两直线平行。
13
直线与平面平行
称这条直线与该平面平行。
性质
直线与平面平行，则该直线上任 意一点到平面的距离相等；直线 与平面平行，过该直线的平面与 已知平面的交线与该直线平行。
在电路设计中，相交线与平行线的概念可以 用来设计电路板的布线、确定电子元件的位 置等。
26
模型的拓展与延伸
相交线与平行线在三维空间中的拓展
在三维空间中，相交线与平行线的概念可以拓展为相交平面与平行平面，研究它们的性 质和应用。
相交线与平行线在更高维度空间中的延伸
在更高维度空间中，相交线与平行线的概念可以进一步延伸为相交超平面与平行超平面 ，探索它们在多维空间中的性质和应用。
01
相交线与平行线在三角形中的应用
利用相交线与平行线的性质，可以研究三角形的角平分线、中线、高线
等性质，以及三角形内角和、外角和等定理。
02
相交线与平行线在四边形中的应用
通过相交线与平行线的性质，可以研究四边形的对角线性质、内角和定
理、外角和定理等。
03
相交线与平行线在圆中的应用
相交线与平行线可以与圆的切线、割线等概念相结合，研究圆的切线长

重难点突破06相交线与平行线的5种模型（三线八角、铅笔头、锯齿型、翘脚、三角板拼接模型）目录题型01三线八角模型题型02铅笔头模型题型03锯齿型模型题型04翘脚模型题型05三角板拼接模型题型01三线八角模型模型介绍：三条直线相交组成八个角，去讨论它们之间的关系.已知图示结论（性质）直线AB 、CD 被直线EF 所截，且AB 与CD不平行1）同位角有4组，如：∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8；2）内错角有2组，如：∠3与∠5、∠6与∠8；3）同旁内角有2组，如：∠3与∠6、∠4与∠5；4）对顶角有4组，如：∠1与∠3、∠2与∠4、∠5与∠7、∠6与∠8.直线AB 、CD 被直线EF 所截，且AB ∥CD1）同位角相等：∠1=∠5、∠2=∠6、∠3=∠7、∠4=∠8；2）内错角相等：∠3=∠5、∠6=∠8；3）同旁内角互补：∠3+∠6=180°、∠4+∠5=180°；4）对顶角相等：∠1=∠3、∠2=∠4、∠5=∠7、∠6=∠8.【快速判断同位角、内错角与同旁内角】【针对训练】例1（2018·广东广州·中考真题）如图，直线AD ，BE 被直线BF 和AC 所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（）A ．∠4，∠2B ．∠2，∠6C ．∠5，∠4D ．∠2，∠4变式1（2021·广西贺州·统考中考真题）如图，下列两个角是同旁内角的是（）A．∠1与∠2B．∠1与∠3C．∠1与∠4D．∠2与∠4变式2（2021·广西百色·统考中考真题）如图，与∠1是内错角的是（）A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5例2（2022·陕西·统考中考真题）如图，퐴 ∥퐶 , 퐶∥퐸 ．若∠1=58°，则∠2的大小为（）A．120°B．122°C．132°D．148°变式1（2022·浙江杭州·统考中考真题）如图，已知퐴 ∥퐶 ，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（）A．10°B．20°C．30°D．40°变式2（2022·四川德阳·统考中考真题）如图，直线�∥�，∠1=100°，∠2=30°，则∠3=（）A ．70°B ．110°C ．130°D ．150°变式3（2022·辽宁·统考中考真题）如图，直线m ∥n ，AC ⊥BC 于点C ，∠1＝30°，则∠2的度数为（）A ．140°B ．130°C ．120°D ．110°题型02铅笔头模型变式2问题情境：如图思路点拨：小明的思路是：如图2，过P作푃퐸∥퐴 ，通过平行线性质，可分别求出∠퐴푃퐸、∠퐶푃퐸可求出∠퐴푃퐶的度数；小丽的思路是：如图3，连接퐴퐶，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠퐴푃퐶小芳的思路是：如图4，延长퐴푃交 퐶的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠퐴푃퐶的度数．问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠퐴푃퐶的度数为问题迁移：（1）如图5，퐴 ∥ 퐶，点P在射线푂 上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠퐴 푃=∠�．∠퐶푃 、∠�、∠�之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合）（1）如图1所示，∠1+∠2＝；（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝；并写出求解过程．（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠变式4（1）如图1，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠（2）如图2，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠（3）如图3，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠（4）如图4，l1∥l2，求∠A1+∠A2+…+∠A题型03锯齿型模型已知图示结论（性质）证明方法AB∥DE∠B+∠E=∠C遇拐点做平行线（方法不唯方法一证明：如图，过点E作 퐴变式2（2023·甘肃陇南校考一模）如图，直线퐴 ∥퐶 ，∠퐸 −∠퐴퐸 =∠ =变式3问题情境：如图1，已知经过思考，小敏的思路是：如图2，过P 作PE ∥AB ，根据平行线有关性质，可得∠푃퐴 +∠푃퐶 ∠퐴푃퐶=252°．变式4．如图1，四边形MNBD 为一张长方形纸片．（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（BAE AEC ECD 、、），则BAE AEC ECD __________°．（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（BAE AEF EFC FCD 、、、），则BAE AEF EFC FCD __________°．（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（BAE AEF EFG FGC GCD 、、、、），则BAE AEF EFG FGC GCD ___________°．（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n 刀，剪出 1n 个角，那么这 1n 个角的和是____________°．变式5（1）如图1，AM ∥CN ，求证：①∠MAB +∠ABC +∠BCN ＝360°；②∠MAE +∠AEF +∠EFC +∠FCN ＝540°；（2）如图2，若平行线AM 与CN 间有n 个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．题型04翘脚模型∵∠ 퐴 =∠ ，∴①_____________∵∠ −∠ 퐴 =20°∴∠ 퐴 =②_________∵∠ =160°，∴∠ +∠ 퐴 =③__________∴④_____________∴ 퐶∥ 퐸．所以满足的关系为：当∠ 变式1（2023·云南·校考一模）如图，变式3①如图1，AB ∥CD ，则360A E C ；②如图2，AB ∥CD ，则P A C ；③如图3，AB ∥CD ，则1E A ；④如图4，直线AB ∥CD ∥EF ，点O 在直线EF 上，则180 ．以上结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个变式4．①如图1，AB∥CD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，AB∥CD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，AB∥CD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，AB∥CD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（）A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④变式5．已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为．（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+12∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．题型05三角板拼接模型【解题方法】通过一副三角板我们能拼出以下特殊角，如：60°、75°、90°，依据平行线的性质，我们可以得到同位角、内错角、同旁内角之间的关系，从而求出对应角度数..【针对训练】例6（2022·广东深圳·统考中考真题）将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则∠1的度数为（）A．5°B变式1（2022·江苏扬州·统考中考真题）则∠ =°变式2（2021·湖北宜昌·统考中考真题）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点∠퐴퐶 =90°，∠퐴 퐶=60°，∠퐸A．15°B．30°变式3（2021·贵州黔西·中考真题）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则A．95°B．100°变式4（2022·山东淄博·统考一模）∠ =45°，且퐴퐶∥ 퐸，则变式6（2023·福建厦门·厦门市第十一中学校考二模）퐸 ，则∠퐴 퐸=度．∠ 퐸 =90°，则∠퐶 퐸。