直线平行的条件和性质
1. 猪蹄模型
已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠B+∠D=∠BED 。
2. 铅笔模型
如图,已知: CD AB ∥,求证: ∠+B ∠D +∠=BED 360°. (至少用三种方法)
3. 其他
4. 角平分线
如图1，在ABC ∆中,BE 平分,ABC CE ∠平分ACB ∠.若80A ∠=︒，则BEC ∠= ;若A n ∠=︒，求BEC ∠用含n 的代数式表示)
如图3，在ABC ∆中，BO 平分外角,CBD CO ∠平分外角BCE ∠.若A n ∠=︒，求BOC ∠.
如图5，在ABC ∆中，BE 平分ABC ∠, CE 平分外角ACM ∠.若A n ∠=︒，求BEC ∠.
5. “8”字形 如图b 所示的“
”字型，其也存在着一个等式：1+2=3+4∠∠∠∠，请证明；
6. “A ”字型
如图a 所示的“”字型，我们可称其为“A 字型”或“塔形”，其存在一个等式：
1+2=3+4∠∠∠∠，请证明；
7. 燕尾形
如图c所示，其也存在着如下等式：D A B C
∠=∠+∠+∠，请证明
一．考点：平行线的性质，角度的计算与证明．
二．重难点：常见的几种两条直线平行的结论
1．两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行；
2．两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线平行；
3．两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线垂直．
三．易错点：
1．性质是由图形的“位置关系”决定“数量关系”；
2．两条平行线之间的距离其实可看成点到直线的距离．
题型一：猪蹄模型
例1. 如图，直线a∥b，直角三角形ABC的顶点B在直线a上，∠C=90°，∠β=55°，则∠α的度数为（）
A． 15° B． 25° C． 35° D． 55°
题型二：铅笔模型
∠+∠+∠+∠=（）
例2. 如图，AB∥CD，A E F C
A ． 180°
B ． 360°
C ． 540°
D ． 720°
题型三：铅笔、猪蹄模型综合压轴
例3. 某学习小组发现一个结论：已知直线a ∥b ，若直线c ∥a ，则c ∥b ．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：
已知直线AB ∥CD ，点E 在AB 、CD 之间，点P 、Q 分别在直线AB 、CD 上，连接PE 、EQ ． （1）如图1，运用上述结论，探究∠PEQ 与∠APE +∠CQE 之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，PF 平分∠BPE ，QF 平分∠EQD ，当∠PEQ ＝140°时，求出∠PFQ 的度数； （3）如图3，若点E 在CD 的下方，PF 平分∠BPE ，QH 平分∠EQD ，QH 的反向延长线交PF 于点F ．当∠PEQ ＝70°时，请求出∠PFQ 的度数．
题型三：其他
例4. （周练）如图，已知AB ∥CD ，则∠A 、∠C 、∠P 的关系为.
F
E D
C
B
A
练习1. 如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为．
题型四：翻折
例5. 如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于______
例6. 如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在点A1、D1处．若∠1＋∠2＝140°，则∠B＋∠C＝°．
题型五：角平分线
例7. 如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O．
（1）如图1，已知∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数．
（2）如图2，已知∠A＝90°，求∠BOC的度数．
（3）如图1，设∠A＝m°，求∠BOC的度数．
例8. 如图13, 1BA 和1CA 分别是ABC ∆的内角平分线和外角平分线，2BA 是1A BD ∠的角平分线，2CA 是1A CD ∠的角平分线，3BA 是2A BD ∠的角平分线，3CA 是2A CD ∠的角平分线，若A α∠=，则2018A ∠
为 .
1. 如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数为（ ）
A ．180°
B ．360°
C ．540°
D ．720°
2. 如图，将ABC ∆纸片沿DE 折叠，使点A 落在点'A 处，且'A B 平分ABC ∠，'A C 平分
ACB ∠，若'110BA C ∠=︒，则12∠+∠的度数为（ ） A. 80° B. 90° C. 100° D. 110°
3. 如图，将矩形纸带ABCD ，沿EF 折叠后，C 、D 两点分别落在C ′、D ′的位置，经测量得∠EFB=65°，则∠AED ′的度数是（ ）
A ． 65°
B ． 55°
C ． 50°
D ． 25°
4. 如图，已知30B ∠=︒，55BCD ∠=︒，45CDE ∠=︒，20E ∠=︒，求证：AB ∥CD ．
A
F
B
C E
D
3.
5. 如图，已知AB ∥DE ，BF ，EF 分别平分∠ABC 与∠CED ，若140BCE ∠=︒，求BFE ∠的度数．
1. 如图，ABCDE 是封闭折线，则∠A 十∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 为_______度．
2. 如图，△ABE 和△ACD 是△ABC 分别沿着AB ，AC 边翻折180°形成的，若∠BAC ＝150°，则∠θ的度数是_______．
3. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°．若BD ∥AE ，∠DBC ＝20°，则∠CAE 的度数是
A ．40°
B ．60°
C ．70°
D ．80° 4. 如图，把矩形
沿
对折后使两部分重合，若
，则
=（ ）
A ．110°
B ．115°
C ．120°
D ．130°
A B
C
D E
