66高中数学选修系列 选修《微积分基本定理与定积分计算》教案

定积分与微积分基本定理复习（课堂导学案）班级：；姓名：；学习小组组；号课前准备·明确目标【目标导引】1. 学生加深对定积分与微积分基本定理相关知识的理解。

2. 学生能够利用定积分相关知识解决实际应用问题，会用微积分基本定理解决相关问题。

3. 通过小组合作的形式提升学生分析解决问题的能力。

自主学习·求知探究知识梳理教与学感悟1．定积分中，a，b分别叫做积分下限与积分上叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x∫421 x dA.176 B.143 C.136 D.116∫101－x2d＝1x，直线＋52所围成的封闭图形的面积为⎭⎫＋1x2π⎰sin2x2d(4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值．考点二利用定积分的几何意义求定积分[例2]∫10－x2＋2x d x＝________.变式：在本例中，改变积分上限，求∫20－x2＋2x d x的值．———————————————————利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分．(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．考点三：利用定积分求平面图形的面积[例3](2014·高考)由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()A.103B．4 C.163D．6变式训练：若将“y＝x－2”改为“y＝－x＋2”，将“y轴”改为“x轴”，如何求解？———————————————————利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图．(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．(4)计算定积分，写出答案．考点四：定积分在物理中的应用[例4]列车以72 km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a＝－0.4 m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？1个定理——微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．3条性质——定积分的性质(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行．3个注意——定积分的计算应注意的问题(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量； (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限； (3)面积非负， 而定积分的结果可以为负.易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点[典例] (2013·上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[易误辨析]1．本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误． 2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题： (1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形；(2)准确确定被积函数和积分变量．变式训练：1．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13D.7122．(2014·高考)设a >0.若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.本节学习感悟：定积分与微积分基本定理（教案设计部分）设计人： 审核：吕厚杰【教学目标】1. 学生加深对定积分与微积分基本定理相关知识的理解。

166-高中数学选修系列2选修2-2《微积分基本定理与定积分计算》教案2§3 微积分基本定理与定积分计算一、目标预览1.理解并能熟练运用微积分基本定理.2.掌握定积分的常用计算方法.3.了解定积分与不等式的常用证明方法.4.了解定积分相关知识的综合应用.二、概念入门设«Skip Record If...»，称函数«Skip Record If...»«Skip Record If...»为函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上的变上限定积分；类似地可定义变下限定积分：«Skip Record If...».注（i）由«Skip Record If...»积分的性质，«Skip Record If...»的定义有意义.（ii）由«Skip Record If...»积分的性质易证«Skip Record If...».三、主要事实1.微积分基本定理若«Skip Record If...»，则«Skip RecordIf...»«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，«Skip Record If...».注（i）证明由导数的定义及第一积分中值定理即得.（ii）通过微分中值定理（推论），可获得微积分基本定理如下的等价表述：仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢41仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢42⎰'-'=)( )( )())(()())(())((x x x x f x x f dt t f dx d ψϕϕϕψψ⎰⎰=ξ )()()()(a b a dx x f a g dx x g x f ⎰=b dx x g b f )()(ξ若«Skip Record If...»，而且«Skip RecordIf...»«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»«Skip Record If...».(iii)微积分基本定理及其等价表述沟通了不定积分与定积分、微分与积分的内在联系.（iv ）利用微积分基本定理及复合函数微分法可得下述的变限积分求导公式：若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»、«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上可微而且«Skip Record If...»、«Skip Record If...»，则2.第二积分中值定理（1）（旁内（Bonnet ，1819-1892[法]）型第二积分中值定理）若«Skip Record If...»，而且«Skip Record If...»是«Skip Record If...»上非负递减（相应地递增）函数，则存在«Skip Record If...»使得（相应地）（2）（Werierstrass型第二积分中值定理）若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是«Skip Record If...»上的单调函数，则存在«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».证（1）令«Skip Record If...»«Skip Record If...»，利用«Skip Record If...»的可积性得«Skip Record If...»«Skip Record If...»再由«Skip Record If...»«Skip Record If...»及«Skip Record If...»的单调减小性，可得«Skip Record If...»再由连续函数的介值性即得.（2）当«Skip Record If...»为单调递减（增）时，对«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»应用（1）即得.3.定积分的计算（1）（牛顿——莱布尼兹公式）若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»而且除有限个点外有«Skip Record If...»，那么有仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢43«Skip Record If...».注（i）牛顿——莱布屁兹公式简称«Skip Record If...»—公式，它是微积分的核心定理，最初分别由牛顿与莱布尼兹在17世纪下半叶独立得到，柯西在19世纪初给出精确叙述与证明，黎曼在19世纪中叶给予完善，达布在1875年给出现在这种形式.（ii）证明可由«Skip Record If...»积分的定义（分点包括例外点）及微分中值定理（作用在«Skip Record If...»上）可推得.（2）（定积分换元积分法）如果«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上有连续导数，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，那么有«Skip Record If...»注（i）定积分换元积分公式由复合函数微分法及«Skip Record If...»公式可得，而且«Skip Record If...»可减弱为«Skip Record If...».进一步，定积分换元积分公式中的«Skip Record If...»可减弱为«Skip Record If...»，但«Skip Record If...»的条件稍许加强（证明较为复杂），即有以下的命题成立：若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是一一映射而且还满足«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，那么有仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢44«Skip Record If...».（ii）定积分换元积分法实际上是不定积分第二换元积分法的直接应用.但使用时有较大差别，在这里换元之后变量不需回代，但积分限要跟着更换（在去掉根号的情形下须注意函数的符号）.（iii）对应于不定积分中的第一换元法（即凑微分法），在这里可以不加变动地直接应用，而且积分限也不须作更改（即仍然采用原来的积分变量）.（3）（分部积分法）如果«Skip Record If...»、«Skip Record If...»具有连续的导数，那么有«Skip Record If...»«Skip Record If...».注（i）分部积分可由乘积微分法则及«Skip Record If...»公式直接证之.（ii）分部积分公式可连续使用«Skip Record If...»次，即利用数学归纳法及分部积分公式可得下面的命题：若«Skip Record If...»、«Skip Record If...»具有«Skip Record If...»阶连续导数，那么有«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».4.定积分计算中常用的几个公式仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢45（1）若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»«Skip Record If...».（2）若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»«Skip Record If...»（3）若«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为周期的周期函数，则«Skip Record If...»有«Skip Record If...»（4）若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».（5）若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».证（1）令«Skip Record If...»可得.（2）令«Skip Record If...»得«Skip Record If...».（3）令«Skip Record If...»得«Ski p Record If...»，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢46于是有«Skip Record If...»，再令«Skip Record If...»得«Skip Record If...».（4）令«Skip Record If...»可得.（5）令«Skip Record If...»可得«Skip Record If...»及«Skip Record If...».5.带积分余项的泰勒公式若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上具有«Skip Record If...»阶连续导数，那么«Skip Record If...»有«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，称此为泰勒公式的积分余项.注（i）令«Skip Record If...»（常数变易法），对«Skip Record If...»分别应用«Skip Record If...»公式及分部积分公式即获得积分余项公式的证明.（ii）对积分余项应用第一积分中值定理（«Skip Record If...»在积分区间«Skip Record If...»（或仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢47«Skip Record If...»上不变号）可得泰勒公式的拉格朗日余项：«Skip Record If...»（其中«Skip Record If...»）.（iii）对积分余项应用积分平均值定理泰勒公式的柯西余项：«Skip Record If...»«Skip Record If...»四、例题选讲1.定积分计算例题选.例1求下列定积分（1）«Skip Record If...»（2）«Ski p Record If...»（3）«Skip Record If...»（4）«Skip Record If...»（5）«Skip Record If...»（6）«Skip Record If...»（7）«Skip Record If...»（8）«Skip Record If...»（9）«Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢48解（1）«Skip Record If...».（2）«Skip Record If...».（3）令«Skip Record If...»，（3）«Skip Record I f...»（4）令«Skip Record If...»，（4）«Skip Record If...»«Skip Record If...».令«Skip Record If...»得«Skip Record If...»，于是有（4）«Skip Record If...».（5）«Skip Record If...»«Skip Record If...»（6）«Skip Record If...»«Skip Record If...»（7）利用«Skip Record If...»得仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢49（7）«Skip Record If...»（8）利用«Skip Record If...»得（8）«Skip Record If...»（9）«Skip Record If...».例2（1）求«Skip Record If...»（2）证明Wallis公式：«Skip Record If...».解（1）«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»证（2）由«Skip Record If...»得«Skip Record If...»，由此可得«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，50因此«Skip Record If...».例3利用定积分求下列极限（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...»（3）«Skip Record If...»（4）«Skip Record If...»（5）«Skip Record If...»解（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...».（3）由«Skip Record If...»可得（3）«Skip Record If...»（4）由«Skip Record If...»可得«Skip Record If...».因此«Skip Record If...».（5）令«Skip Record If...»51«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».因此«Skip Record If...».2.微积分基本定理应用例题选例4 设«Skip Record If...»，试求«Skip Record If...».解应用微积分基本定理两次可得«Skip Record If...».例5确定常数«Skip Record If...»、«SkipRecord If...»、«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».解由«Skip Record If...»可推得«Skip Record If...»，由罗比塔法则及«Skip Record If...»可推得«Skip Record If...»，接着易求得«Skip Record If...».例6 若«Skip Record If...»存在，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，试求«Skip Record If...».52解令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，«Skip Record If...».例7设«Skip Record If...»连续，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».试求：«Skip Record If...».解令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»于是有«Skip Record If...».两边关于«Skip Record If...»求导得«Skip Record If...»再令«Skip Record If...»可得«Skip Record If...».例8试求可微函数«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».解先关于«Skip Record If...»求导得«Skip Record If...»令«Skip Record If...»得«Skip Record If...»再关于«Skip Record If...»求导得53«Skip Record If...».因而«Skip Record If...»，因而«Skip Record If...».3.积分中值定理应用例题选例9 设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上可微，而且«Skip Record If...»，«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）.证明：«Skip Record If...».证令«Skip Record If...»，则由条件可得«Skip Record If...»，由«Skip Record If...»得«Skip Record If...»«Skip Record If...»，于是有«Ski p Record If...».例10设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，而且«Skip Record If...»，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».证«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处取最大值，因而有«Skip Record If...»«Skip Record If...».证«Skip Record If...»54«Skip Record If...»例11 设«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»例12设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上二阶可导，而且«Skip Record If...».证明：（i）«Skip Record If...»；（ii）又若«Skip Record If...»«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».证（i）由«Skip Record If...»及«Skip Record If...»得«Skip Record If...»，再由«Skip Record If...»得«Skip Record If...».（ii）«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，积分后得«Skip Record If...»«Skip Record If...».55例13设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上具有二阶连续函数，证明；存在«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».证令«Skip Record If...»，分别求得«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，在«Skip Record If...»处的二阶泰勒展开式，两式相减再用微积分基本定理及连续函数的介值定理即得.例14设«Skip Record If...»而且«Skip Record If...»，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...»证由条件«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»，则由«Skip Record If...»导出«Skip Record If...»矛盾！例15设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上单调而且可微.证明：存在«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».56证令«Skip Record If...»，由微积分基本定理及第一积分中值定理可得«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».例16证明下列极限（1）若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».（2）若«Skip Record If...»，则«Skip RecordIf...».（3）«Skip Record If...»（4）若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».（5）若«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为周期的连续函数，则«Skip Record If...»«Skip Record If...».57（6）若«Skip Record If...»而且«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»有«Skip Record If...».证（1）«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».（2）由«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»（其中«Skip Record If...»）及«Skip Record If...»可积的第二充要条件可得.（3）由第二积分中值定理得，存在«Skip Record If...»使得«Skip Record If...»，再令«Skip Record If...»即得.（4）«Skip Record If...»«Skip Record If...»58«Skip Record If...».（5）«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为周期的连续函数，从而有界，由此即得.（6）由第一积分中值存在«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».令«Skip Record If...»即得.例17设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上单调递增，而且«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...».若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».证若不然，«Skip Record If...»，«Skip RecordIf...»，«Skip Record If...»使得«Skip RecordIf...»，此时分两种情形：（i）若存在«Skip Record If...»使得«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»«Skip Record If...».59（ii）«Skip Record If...»，«Skip Re cord If...»，则«Skip Record If...»有«Skip Record If...»«Skip Record If...»，于是«Skip Record If...».上述的（i）、（ii）与«Skip Record If...»矛盾.例18 设«Skip Record If...»，令«Skip Record If...»，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».证令«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则由«Skip Record If...»«Skip Record If...»于是有«Skip Record If...».五、思考与讨论1.若«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上有原函数，是否必有«Skip Record If...»公式成立？提示：考虑«Skip Record If...»602.若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是否必有原函数？3.若«Skip Record If...»，而且«Skip Record If...»是否必有«Skip Record If...»？4.若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上不«Skip Record If...»可积，«Skip Record If...»的原函数在«Skip Record If...»上是否必不存在？5.奇函数的原函数是否必为偶函数？偶函数的原函数是否必为奇函数？六、基础题训练1.计算下列定积分（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...»（3）«Skip Record If...»（4）«Skip Re cord If...»（5）«Skip Record If...»（6）«Skip Record If...»（7）«Skip Record If...»（8）«SkipRecord If...»61（9）«Skip Record If...»（10）«Skip Record If...»（11）«Skip Record If...»（«Skip Record If...»为实数）（12）«Skip Record If...»2.设«Skip Record If...».试求«Skip Record If...».3.设«Skip Record If...»,试求«Skip RecordIf...».4.设«Skip Record If...»，试求«Skip Record If...».5.«Skip Record If...».试求«Skip Record If...».6.设«Skip Record If...»，«Skip Record If...».试求：«Skip Record If...».7.求下列极限62（1）«Skip Record If...»（2）«SkipRecord If...»（3）«Skip Record If...»（4）«SkipRecord If...»8.设«Skip Record If...»，«Skip Record If...».试求«Skip Record If...»（答案：«Skip Record If...»）.9.设«Skip Record If...»连续而且«Skip Record If...»，«Skip Record If...».求«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».（答案：«Skip Record If...»）10.证明：«Skip Record If...»（提示：分段，换元）.11.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，而且«Skip Record If...».证明：63«Skip Record If...»,«Skip Record If...».12.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上单调增加.证明：«Skip Record If...».（提示：«Skip Record If...»）.七、提高性习题13.求下列积分（«Skip Record If...»为正整数）（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...»（3）«Skip Record If...»（4）«Skip Record If...»14.求下列极限（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...»（3）«Skip Record If...»（4）«Skip Record If...»64（5）«Skip Record If...»（6）«Skip Record If...»（答案：（1）.«Skip Record If...»；（2）.«Skip Record If...»；（3）«Skip Record If...»；（4）.（2）；（5）.«Skip Record If...»；（6）«Skip Reco rd If...»）15.设«Skip Record If...»而且«Skip Record If...»，令«Skip Record If...».证明：（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...»（3）«Skip Record If...».16.求下列极限（1）«Skip Record If...»（2）«SkipRecord If...»（3）«Skip Record If...».（答案：（1）.«Skip Record If...»；（2）.«Skip Record If...»；（3）.«Skip Record If...»）.6517.证明下列极限：（1）若«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，则«Skip Record If...».（2）若«Skip Record If...»不变号，则«Skip Record If...»（3）若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»（4）若«Skip Record If...»而且«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».（提示：（1）利用分部积分；（2）令«Skip Record If...»，再用第一积分中值定理；（3）令«Skip Record If...»，再利用积分中值定理；（4）分段估计）.18.设«Skip Record If...»，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».19.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上无穷次可微，«Skip Record If...»为自然数，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».6620.设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»为偶数且对于«Skip Record If...»，有«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...»,并由此计算«Skip Record If...»（答案：«Skip Record If...»）.21.设«Skip Record If...»为连续函数.证明下述等式：（1）«Skip Record If...»（2）«Skip Record If...».（提示：（1）令«Skip Record If...»，再令«Skip Record If...»（分段）；（2）令«Skip Record If...»）.22.设«Skip Record If...»，«Skip Record If...».试求«Skip Record If...».（答案：«Skip Record If...»）.23.试求函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上的最大值.（答案：«Skip Record If...»）.6724.设«Skip Record If...»连续，而且«Sk ip Record If...».试求«Skip Record If...»（答案：«Skip Record If...»）.25.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上存在，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的反函数而且«Skip Record If...».试求：«Skip Record If...»（答案：«Skip Record If...»）.26.设«Skip Record If...»而且«Skip Record If...»(«Skip Record If...»).试求«Skip Record If...»（答案：«Skip Record If...»）.27.设«Skip Record If...»而且«Skip Reco rd If...»，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...»在«Skip Record If...»中至少有两个零点.（提示：令«Skip Record If...»，利用分部积分）.28.设«Skip Record If...»而且不恒为常数，而且«Skip Record If...».68证明：存在«Skip Record If...»使得«Skip Record If...».（提示：令«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，«Skip Record If...»）.29.设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»存在而且非负.证明：«Skip Record If...».（提示：利用«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的一阶泰展开式）.30.设«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：分«Skip Record If...»变号与不变号两种情形考虑）.31.设«Skip Record If...».证明«Skip Record If...».6932.设«Skip Record If...»而且«Skip Record If...»，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：利用«Skip Record If...»）33.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上二阶可导，«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）而且«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：利用«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的泰勒展开式）.34.设«Skip Record If...»且«Skip RecordIf...»，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：利用«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的一阶泰展开式）.35.设«Skip Record If...»，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处取最大值）.7036.设«Skip Record If...»而且非负，«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：令«Skip Record If...»）.37.设«Skip Record If...»而且«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：令«Skip Record If...»，再利用分部积分公式及换元公式）.38.设«Skip Record If...»不恒为零而且满足«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：利用函数单调性）.39.设«Skip Record If...»而且«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»）.7140.设«Skip Record If...»连续，«Skip Record If...»而且«Skip Record If...»（常数）.试求«Skip Record If...»，并讨论«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的连续性.（答案：«Skip Record If...»，«Skip RecordIf...»«Skip Record If...»）.41.设«Skip Record If...»而且«Skip Record If...».证明：«Skip Record If...».（提示：令«Skip Record If...»，则«Skip RecordIf...»，再由«Skip Record If...»及积分中值定理可得）.72。

41 / 24§3微积分基本定理与定积分计算一、目标预览1.理解并能熟练运用微积分基本定理.2.掌握定积分的常用计算方法.3.了解定积分与不等式的常用证明方法.4.了解定积分相关知识的综合应用. 二、概念入门设],[b a R f ∈，称函数⎰=Φxadt t f x )()(]),[(b a x ∈为函数)(x f 在],[b a 上的变上限定积分；类似地可定义变下限定积分：⎰=ψbxdt t f x )()(.注<i ）由)(R 积分的性质，)(x Φ的定义有意义. <ii ）由)(R 积分的性质易证],[)(b a C x ∈Φ.三、主要事实 1.微积分基本定理若],[b a C f ∈，则)()(x f x =Φ']),[(b a x ∈，即⎰=xax f dt t f dx d )()(，],[b a x ∈. 注<i ）证明由导数的定义及第一积分中值定理即得. <ii ）通过微分中值定理<推论），可获得微积分基本定理如下的等价表述：若],[b a C f ∈，而且)()(x f x F =']),[(b a x ∈，则⎰-=xaa F x F dt t f )()()(]),[(b a x ∈.(iii>微积分基本定理及其等价表述沟通了不定积分与定积 分、微分与积分的内在联系.<iv ）利用微积分基本定理及复合函数微分法可得下述的变限42 / 24⎰'-'=)( )( )())(()())(())((x x x x f x x f dt t f dx d ψϕϕϕψψ⎰⎰=ξ)()()()(abadx x f a g dx x g x f ⎰=bdxx g b f )()(ξ积分求导公式：若],[b a C f ∈，)(x ϕ、)(x ψ在],[d c 上可微而且]),([d c ϕ、],[]),([b a d c ⊂ψ，则2.第二积分中值定理<1）<旁内<Bonnet ，1819-1892[法]）型第二积分中值定理）若],[b a R f ∈，而且)(x g 是],[b a 上非负递减<相应地递增）函数，则存在],[b a ∈ξ使得 <相应地）<2）<Werierstrass 型第二积分中值定理）若],[b a R f ∈，)(x g 是],[b a 上的单调函数，则存在],[b a ∈ξ使得⎰⎰⎰+=babadx x f b g dx x f a g dx x g x f )()()()()()(ξξ.证<1）令⎰=xadt t f x F )()(]),[(b a x ∈，利用g 的可积性得⎰⎰--=→∑=ii x x i ni T badx x f x g dx x g x f 110|||| 1)()(lim )()())()()((lim 1110||||--=→-∑=i i i ni T x F x F x g再由))()()((111--=-∑i i i ni x F x F x g)()()]()()[(1111---=+-∑=n i i i n i x g b F x g x g x F43 / 24及g 的单调减小性，可得)()()()(max min a g F dx x g x f a g F ba≤≤⎰再由连续函数的介值性即得.<2）当g 为单调递减<增）时，对)()()(b g x g x h -=)((x g = ))(a g -应用<1）即得.3.定积分的计算<1）<牛顿——莱布尼兹公式）若],[b a R f ∈，],[b a C F ∈而且除有限个点外有)()(x f x F ='，那么有⎰-=baa Fb F dx x f )()()(.注<i ）牛顿——莱布屁兹公式简称L N -—公式，它是微积 分的核心定理，最初分别由牛顿与莱布尼兹在17世纪下半叶独立得到，柯西在19世纪初给出精确叙述与证明，黎曼在19世纪中叶给予完善，达布在1875年给出现在这种形式.<ii ）证明可由)(R 积分的定义<分点包括例外点）及微分中值定理<作用在F 上）可推得.<2）<定积分换元积分法）如果)(t ϕ在],[βα上有连续导数，a =)(αϕ，b =)(βϕ，],[]),([b a ⊂βαϕ，],[b a C f ∈，那么有⎰⎰'=badt t t f dx x f )())(()(βαϕϕ注<i ）定积分换元积分公式由复合函数微分法及L N -公式 可得，而且],[)(b a C t ∈'ϕ可减弱为],[βαϕR ∈'.进一步，定积分换元积分公式中的],[b a C f ∈可减弱为],[b a R f ∈，但ϕ的条件稍许加强<证明较为复杂），即有以下的命题成立：若],[b a R f ∈，],[],[:b a →βαϕ是一一映射而且还满足44 / 24a =)(αϕ，b =)(βϕ，],[)(βαϕR t ∈'，那么有⎰⎰'=badt t t f dx x f )())(()(βαϕϕ.<ii ）定积分换元积分法实际上是不定积分第二换元积分法的 直接应用.但使用时有较大差别，在这里换元之后变量不需回代，但积分限要跟着更换<在去掉根号的情形下须注意函数的符号）.<iii ）对应于不定积分中的第一换元法<即凑微分法），在这里可以不加变动地直接应用，而且积分限也不须作更改<即仍然采用原来的积分变量）.<3）<分部积分法）如果u 、v 具有连续的导数，那么有⎰⎰='babax dv x u dx x v x u )()()()(⎰-=bab ax du x v x v x u )()(|)()(.注<i ）分部积分可由乘积微分法则及L N -公式直接证之. <ii ）分部积分公式可连续使用n 次，即利用数学归纳法及分部积分公式可得下面的命题：若u 、v 具有1+n 阶连续导数，那么有⎰+ban dx x v x u )1()()(b an n n n x v x u x v x u x v x u |)]()()1()()()()([)()1()(-++'-=-⎰++-+ban n dx x v x u )1(1)()()1(),3,2,1( =n .4.定积分计算中常用的几个公式 <1）若],[b a C f ∈，则⎰⎰-+=babadx x b a f dx x f )()(⎰-++=badx x b a f x f )]()([21.45 / 24<2）若],[a a C f -∈，则⎰⎰-+=-aaadx x f x f dx x f 0))()(()(⎪⎩⎪⎨⎧=⎰为奇函数为偶函数f ，f dx x f a 0 ,)(2 0<3）若)(x f 是以T 为周期的周期函数，则1R a ∈∀有⎰⎰⎰-+==T/22/ 0)()()(T TTa adx x f dx x f dx x f<4）若]1,0[C f ∈，则⎰⎰=22)(cos )(sin ππdx x f dx x f .<5）若]1,1[-∈C f ，则⎰⎰⎰==2)(sin )(sin 2)(sin πππππdx x f dx x xf dx x xf .证<1）令t b a x -+=可得. <2）令t x -=得⎰⎰-=aadt t f dx x f 0)()(.<3）令Tt x +=得⎰⎰⎰=+=+a a Ta Tdt t f dt T t f dx x f 0)()()(，于是有⎰⎰⎰⎰++=+=TTa TTaTa adx x f dx x f dx x f dx x f 0)()()()(，再令2T a -=得⎰⎰=T ππ/dx x f dx x f 0 2/ 2- )()(.<4）令t x -=2/π可得.<5）令t x -=π可得⎰⎰⎰-=ππππ 0)(sin )(sin )(sin dt t tf dt t f dx x xf46 / 24及⎰⎰=22)(sin )(sin πππdt t f dx x f .5.带积分余项的泰勒公式若)(x f 在],[b a 上具有1+n 阶连续导数，那么],[,0b a x x ∈∀有⎰-+-∑=+=xx n n k k n k dt t x t f n x x k x f x f )1(00)(00))((!1)(!)()(，即⎰-=+x x n n n dt t x t fn x R )1(0))((!1)(，称此为泰勒公式的积分余 项.注<i ）令n k nk t x k t f x f t F )(!)()()()(0-∑-==<常数变易法）， 对)(t F '分别应用L N -公式及分部积分公式即获得积分余项公式的证明.<ii ）对积分余项应用第一积分中值定理<n t x t g )()(-=在积分区间],[0x x <或],[0x x 上不变号）可得泰勒公式的拉格朗日余项：10)1())(()!1(1)(++-+=n n n x x f n x R ξ<其中10),(00≤≤-+=θθξx x x ）.<iii ）对积分余项应用积分平均值定理泰勒公式的柯西余项：)())((!1)(0)1(x x x f n x R n n n --=+ξξ )10()()1))(((!11000)1(≤≤---+=++θθθn n n x x x x x f n 四、例题选讲 1.定积分计算例题选.47 / 24例1求下列定积分 <1）⎰-20 24dx x x <2）⎰22cos sin πtdt t <3）⎰-121dx x<4）⎰++10 21)1ln(dx x x <5）⎰e xdx x 0 2ln <6）⎰--ln2 021dx e x <7）⎰++--4 2 )3ln()9ln()9ln(dx x x x <8）⎰+4 4- 21sin ππdx e x x <9）⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+221 111dx e x x x x解<1）⎰=--=---=2 0 202322238|)4(31)4(421x x d x .<2）⎰=-=-=2 0 203231|cos 31cos cos ππt t td .<3）令tx sin =，<3）4|)2sin 21(21cos 2020 2πππ=+==⎰t t tdt <4）令t x tan =，<4）⎰+=4tant)ln(1πdt⎰⎰+=+=4 0 40 cos ))4/(sin(2ln cos sin cos ln πππdx xx dx x x x . 令t x -=4π得⎰⎰=+4 0 40 cos ln )4sin(ln πππtdt dx x ，于是有<4）2ln 8|2ln 2140ππ=⋅=x .<5）⎰⎰-==e e e dx x x x x xd 1 1 2133)|ln (31)(ln 31)12(913+==e48 / 24<6）2ln 022ln 02|1)(1--=--=-⎰x x x x e e e d e⎰++-==-+2ln 02)32ln(231 dx e e x x<7）利用⎰⎰-++=ba b a dx x a b f x f dx x f )]()([21)(得<7）⎰==42121dx<8）利用⎰⎰-+=a aadx x f x f dx x f - 0)]()([)(得<8）⎰-==42418sin ππxdx <9）⎰⎰==+=++221 252 21 2211123|e xdedx exx xx .例2<1）求⎰=22sin πxdx I n<2）证明Wallis 公式：2!)!12(!)!2(121lim 2π=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→m m n m .解<1）⎰---+-=22)2(201cos sin )1(|cos sinππxdx x n x x I n n nn n I n I n )1()1(2---=-， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+==-==-=-,2,1,0,12,!)!12(!)!2(,2,1,2,2!)!2(!)!12(12m m n m m m m n m m J n n I n n π证<2）由⎰⎰⎰++<<21222212sin sinsinπππxdx xdx xdx m mn 得!)!12(!)!22(2!)!2(!)!12(!)!12(!)!2(--<⋅-<+m m m m m m π，49 / 24由此可得m m B m m m m m m A =⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-<<+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21!)!12(!)!2(2121!)!12(!)!2(22πm A m A B m m m 4210π<=-<，m m m A B A -<-<20π，因此2lim π=∞→m m A .例3利用定积分求下列极限<1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∑=∞→b n i a n n i n 1sin 1lim 1<2）2211lim in n i n +∑=∞→ <3）⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑-=∞→πn i n i n n i n sin lim 11<4）i n n i n 1ln 1lim1=∞→∑ <5）n n n n n n n)()2)(1(1lim +++∞→解<1）⎰+-=+=1)cos(cos )sin(b a a dx bx a<2）⎰+=+=+∑==∞→1 0 221)21ln(1)/(111lim x dxn i n n i n .<3）由1+<+<n nin n 可得<3）⎰==∑==∞→1 0 12sin sin 1lim πππxdx n i n n i n<4）由⎰+=<<+i i i idx x i 1 11 ),2,1(1111 可得n in n i ln 11)1ln(1+<∑<+=.因此11ln 1lim1=∑==∞→in n i n . <5）令n n n n n n na )()2)(1(1+++=50 / 24)]ln([11ln ln 1i n n n a ni n +∑+==⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=-+∑===n i n n i n n n i n i 1ln 1)ln )(ln(111 ⎰=+→1 0 4ln )1ln(e dx x .因此ea n n 4lim =∞→.2.微积分基本定理应用例题选 例4 设⎰⎰+=x tdt du u x f 0sin 12)1()(，试求)(x f ''.解 应用微积分基本定理两次可得x x x f 4sin 1cos )(+=''. 例5确定常数a 、b 、)0( ≠c 使得⎰=-+-→xb xc x ax dt t t 130)sin ())1ln((lim . 解 由⎰=+→x b x dt tt 300)1ln(lim 可推得0=b ，由罗比塔法则及)0( ~)1ln(33→+x x x 可推得1=a ，接着易求得21=c .例6若)(x f '存在，0)0(=f ，⎰-=-xn n n dt t x f t x F 01)()(，试求n x xx F 20)(lim →.解 令nn t x u -=，则⎰=n x du u f n x F 0)(1)(，)0(21)(lim 21)(lim 121020f n xx f x n x x F n n n x n x '==--→→. 例7设f 连续，1)1(=f ，⎰=-x x dt t x tf 0 2arctan 21)2(.试求：⎰21)(dx x f .51 / 24解 令u t x =-2，则⎰⎰--=-xxxdu u f u x dt t x tf 02 )()2()2(于是有22 2 arctan 21)()(2x du u uf du u f x xxxx=-⎰⎰. 两边关于x 求导得⎰++=xxx xf x xdu u f 2 4)(1)(2再令1=x 可得⎰=2143)(du u f . 例8试求可微函数)(x f 使得⎰⎰⎰+=txtxdu u f x du u f t du u f 111)()()(.解先关于x 求导得⎰+=tdu u f x tf xt tf 1)()()(令1=x 得⎰+=t du u f u tf t tf 1)()()(再关于t 求导得)()1()()(t f f t f t t f +='=.因而t f t f /)1()(='，因而c t f t f +=ln )1()(.3.积分中值定理应用例题选 例9设f在]1,0[上可微，而且0)0(=f ，1)(0≤'≤x f <]1,0[∈x ）.证明：⎰⎰≥1 0132)())((dx x f dx x f .证令⎰⎰-=xxdt t f dt t f x F 032)())(()(，则由条件可得0)(≥'x F ，由0)0(=F 得0)(≥x F ])1,0[(∈x ，于是有1)1(≥F .例10设)(x f '在]1,0[上连续，而且0)0(=f ，1)1(=f .证 明：⎰>-'1 0 1|)()(|edx x f x f .52 / 24证x x x x f n 2sin )1()(-='，0)0(='f ，0)1(='f ，)(x f 在1=x 处取最大值，因而有⎰-=≤122sin )()1()(tdt t t f x f n⎰++=-≤122)32)(22(1)(n n dt t t t n .证⎰⎰'=-'-110 |))((||)()(|dx x f e e dx x f x f x xe dx xf e dx x f e x x /1 |))((| |))((|11 0⎰⎰='≥'>--例11 设⎰+∈-=xn N n tdt t t x f 022)( sin )()(.证明：)32)(22/(1)(++≤n n x f ，0≥∀x例12 设)(x f 在],[b a 上二阶可导，而且0)(>''x f .证明：<i ）⎰+≤-≤⎪⎭⎫⎝⎛+b a a f b f dx x f ab b a f 2)()()(12； <ii ）又若0)(≤x f ]),[(b a x ∈，则⎰∈≤-bab a x x f dt t f a b ]),[( )()(2.证<i ）由⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+'+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥222)(b a x b a f b a f x f 及⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b a dx b a x 02得⎰⎪⎭⎫⎝⎛+≥-b a b a f dx x f a b 2)(1，再由 )()()()()(a f a x a b a f b f a a b x b b a b ax x f +---≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--=得⎰+≤-b a a f b f dx x f a b 2)()()(1.<ii ）],[b a x ∈∀，))(()()(t x t f t f x f -'+≥，积分后得53 / 24⎰⎰-'+≥-bab adt t x t f dt t f x f a b ))(()()()(⎰⎰≥-+=bab a b adt t f t f t x dt t f )(2|)()()(2.例13 设)(x f 在],[b a 上具有二阶连续函数，证明；存在),(b a ∈ξ使得⎰''-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=baf a b b a f a b dx x f 3)()(2412)()(ξ. 证 令⎰=xadt t f x F )()(，分别求得)(a F ，)(b F ，在2ba c +=处的二阶泰勒展开式，两式相减再用微积分基本定理及 连续函数的介值定理即得.例14 设],[)(b a C x f ∈而且⎰-==bakn k dx x f x )1,,1,0( 0)( ，⎰=ban c dx x f x )(.证明：c a b n x f n nb a x 1],[)()1(2 |)(|max +∈-+≥证 由条件⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-=b a ndx x f b a x c )(2，若c a b n x f n n1)()1(2 |)(|+-+<，则由⎰+-=+-+b a nn n n a b dx b a x 1)1(2)(|2|导出c c <矛盾！例15 设],[b a C f ∈，g 在],[b a 上单调而且可微.证明：存在],[b a ∈ξ使得⎰⎰⎰+=babadx x f b g dx x f a g dx x g x f )()()()()()(ξξ.证 令⎰=xadt t f x F )()(，由微积分基本定理及第一积分中54 / 24值 定理可得⎰⎰=babax dF x g dx x g x f )()()()(⎰'-=bdx x g x f b F b g )()()()(ξ))()()(()()(a g b g F b F b g --=ξ ))()()(()()(ξξF b F b g F a g -+=.例16 证明下列极限 <1）若]1,0[C f ∈，则⎰=++→10 220)0(2)(lim f dx x f x h h h π. <2）若],[b a R f ∈，则⎰=∞→baxdx x f 0sin )(limλλ.<3）⎰=+∞→xx tdt t x 00sin 1lim <4）若]2,0[πR f ∈，则⎰⎰=∞→πππ2 02 0)(2|sin |)(lim dx x f dx nx x f n .<5）若f 是以T 为周期的连续函数，则⎰=+∞→x x dt t f x 0 )(1lim⎰Tdt t f T 0)(1.<6）若],0[b C f ∈而且A x f x =+→)(lim 0，则0>>∀a b 有 ⎰=∞→b/n a/n n a b A dx x x f ln )(lim . 证<1）))0(2)((lim 1 0 220⎰-+→f dx x f x h h h π)))0()(((lim 1 0 220⎰-+=→dx f x f x h hh ⎰-+=→1 220))0()(((lim δdx f x f x h hh55 / 24⎰=-++δ0 220)))0()((dx f x f x h h.<2）由⎰-ii x x xdx x f 1|sin )(|λ⎰⎰--+-≤ii ii x x x x i i xdx x f dx x f x f 11|sin | |)(||)()(|λλω2)(⋅+∆≤M x f i i<其中M x f ≤ |)(|）及)(R 可积的第二充要条件可得. <3）由第二积分中值定理得，存在),0(x ∈ξ使得⎰⎰≤=x xxtdt xxtdt t x 02 |sin | |sin 1|ξ，再令+∞→x 即得.<4）⎰⎰-=∑=πππ2 212 0 1|sin |)(|sin |)(n kn k nk dx nx x f dx nx x f⎰-==∑=∑=ππξξ2 21 11)(4|sin |)(n k nk k nk k nk f n dx nx f ⎰→∑⋅==ππξππ2 01)(2)(22dx x f f n k n k . <5）⎰⎰-=x Tdt t f T x dt t f x 0 0)()()(ϕ是以T 为周期的连续函数，从而有界，由此即得.<6）由第一积分中值存在)/,/(n b n a n ∈ξ使得⎰=b/na/nn abf dx x x f ln )()(ξ. 令∞→n 即得.例17 设f 在),0[+∞上单调递增，而且0>∀b ，∈)(x f],0[b R .若⎰=+∞→xx A dt t f x 0)(1lim，则A x f x =+∞→)(lim .56 / 24证 若不然，00>∃ε，n ∀，n x n >∃使得0 |)(|ε≥-A x f n ，此时分两种情形：<i ）若存在N 使得0)(ε≥-A x f N ，则⎰+∞→xx dt t f x 0))(1(lim0 0 ))(1)(1(lim ε+≥+=⎰⎰+∞→A dt t f x dt t f x N Nx xx x . <ii ）n ∀，0)(ε-≤-A x f n ，则),0[+∞∈∀x 有A x f ≤)(0ε-，于是⎰-≤xA dt t f x 00)(1ε.上述的<i ）、<ii ）与⎰=∞→xx A dt t f x 0)(1lim 矛盾.例18 设],[)(b a C x f ∈'，令),,2,1,0( )(n k a b nka x k =-+=，⎰-∑-==b a k nk dx x f x f n a b n r 1)()()(.证明：))()((2)(lim a f b f ab n nr n --=∞→. 证 令)(inf x f m kx k '=∆∈，)(sup x f M kx k '=∆∈，则由⎰⎰---'∑=-∑===kk kk x x k k nk x x k nk dx x x f dx x f x f n r 1 111))(())()(()(ξk nk k n k M na b n r m n a b 1221222)()(2)(==∑-≤≤∑- 于是有⎰--='-→b a a f b f ab dx x f a b n r n ))()((2)(2)((.57 / 24五、思考与讨论1.若)(x f 在区间I 上有原函数，是否必有L N -公式成立？提示：考虑⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(22x x xx x F 2.若],[b a R f ∈，f 是否必有原函数？3.若],[b a R f ∈，而且⎰=xadt t f x F )()(是否必有)()(x f x F ='？4.若f 在I 上不)(R 可积，)(x f 的原函数在I 上是否必不存在？5.奇函数的原函数是否必为偶函数？偶函数的原函数是否必为奇函数？六、基础题训练 1.计算下列定积分<1）⎰20 52sin cos πxdx x <2）⎰-adx x a x 0222<3）⎰-+10 x x e e dx<4）⎰10 arcsin xdx<5）⎰+20 cos sin cos πθθθdx <6）⎰e edx x 1/ |ln | <7）⎰+4 1 42dx xx<8）⎰-π 0sin 1dx x <9）⎰---π 0 1010cos sin 4cos sin dx x x x x <10）⎰+2 2- 41sin ππdx e x x<11）⎰+3 6 sin cos sin ππαααdx x x <α为实数）<12）⎰+4 0 2)cos (sin πdx x x x58 / 242.设⎰-++=1 0 22)(111)(dx x f x xx f .试求⎰1 0 )(dx x f . 3.设2/)13(x xe x f =+,试求⎰1)(dx x f .4.设2)(x e x f -=，试求⎰'''1)()(dx x f x f .5.⎰-=xdt t t x f 0 sin )(π.试求⎰π 0 )(dx x f . 6.设2)(=πf ，⎰''+πsin ))()((xdx x f x f .试求：)0(f '.7.求下列极限<1）⎰→x x dt t x 0 20cos 1lim <2）⎰⎰+∞→xt xt x dt e dt e 02 0 222)(lim<3）32sin lim xdt t x x ⎰+→ <4）3sin 020sin limx dt t xx ⎰→8.设⎰+=)( 021)(x g t dt x f ，⎰+=xdt t x g cos 02))sin(1()(.试求)2/(πf '<答案：1-）.9.设)(x f '连续而且0)0(=f ，0)0(≠'f .求k 使得0)()(lim220≠=-⎰→c xdtt f t x kxx .<答案：4=k ）10.证明：0sin 2 0 >⎰πdx x x<提示：分段，换元）.11.设)(x f '在],[b a 上连续，而且0)()(==b f a f .证明：⎰'≤badt t f x f |)(|21 |)(|,],[b a x ∈∀.12.设)(x f 在],[b a 上单调增加.证明：59 / 24⎰⎰+≥babadx x f b a dx x xf )(2)(. <提示：0)2))(2()((≥+-+-ba xb a f x f ）. 七、提高性习题13.求下列积分<n 为正整数）<1）⎰42tan πxdx n <2）⎰-10 2)1(dx x n<3）⎰π2 0sin xdx n <4）⎰2 0sin cos πxdx x n n14.求下列极限<1）221lim k n n nk n +∑=∞→ <2）πnin n i n 4tan 1lim 1=∞→∑ <3）i n ni n 12/31lim =∞→∑ <4）i n i n n i n ⋅-⋅∑=∞→/1lim 1<5）ni n i n n i n /112)/(lim -=∞→+∑ <6）π21sin )/1(lim ni n i n i n +∑=∞→<答案：<1）.4/π；<2）.π/2ln 2；<3）3/2；<4）.<2）；<5）.2ln /1；<6）6/5π）15.设],[b a R f ∈而且0)(>x f ，令)()(nab ia f f n i-+=. 证明：<1）⎰-=∑=∞→ba n i n i n dx x f ab f n )(1)(11lim <2）⎰=-∞→badxx f a b n n n n n e f f f )(ln 1)()(2)(1lim<3）⎰--=∞→-=∑ban ini n x f dx a b f n 11)(1))()(()1(lim .60 / 2416.求下列极限 <1）⎰+∞→1limn nn xn dx xe <2）x dt t xx ⎰+∞→ 0|sin |lim <3）⎰-+∞→xx dt t t 0])[(lim.<答案：<1）.0；<2）.π/2；<3）.2/1）. 17.证明下列极限：<1）若)(x f '在]1,0[上连续，则⎰=∞→1)1()(lim f dx x f nx n n .<2）若],1[e R f ∈不变号，则⎰⎰+∞→=enn n dx xx f dx x f n 111 1)()(lim <3）若],[b a C f ∈，则⎰+∞→∈=1]),[( )()/(lim nx nxn b a x x f dt n t f<4）若),0[+∞∈C f 而且A x f x =+∞→)(lim ，则⎰=+∞→xx A dt t f x 0)(1lim.<提示：<1）利用分部积分；<2）令t x n=，再用第一积分中 值定理；<3）令n t u /=，再利用积分中值定理；<4）分段估计）.18.设]1,0[)(C x f ∈'，]1,0[∈x .证明：)(22ln ))()((lim 221x f x f kn k x f nk n '=-++∑=∞→. 19.设)(x f 在1R 上无穷次可微，n 为自然数，10R x ∈.证明：1)()()(lim 0)1(000+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+→n x f x x x f x f dx d n nnx x .61 / 2420.设],[,a a C g f -∈，)(x g 为偶数且对于],[a a x -∈∀，有A x f x f =-+)()(.证明：⎰⎰=aaadx x g A dx x g x f 0- )()()(,并由此计算dx e x I x ⎰-=22arctan |sin |ππ<答案：2/π）.21.设)(x f 为连续函数.证明下述等式：<1）⎰⎰+=+ 1 2 1 222)()(a ax dxx a x f x dx x a x f <2）⎰⎰+=+4 1 4 1 )22(2ln ln )22(xdxx x f dx x x x x f . <提示：<1）令t x =2，再令t a u /2=<分段）；<2）令t x /4=）.22.设⎰+=xdt ttx f 11ln )(，),0(+∞∈x .试求)()/1(x f x f +. <答案：x 2ln 21）. 23.试求函数⎰+-=xe dt t t t x I 212ln )(在],[2e e 上的最大值.<答案：))1/(()1ln(e e e +-+）. 24.设)(xf 连续，而且⎰-=-xx dt t x tf 0cos 1)(.试求⎰2)(πdx x f <答案：1）.25.设)(x f '在),0[+∞上存在，0)0(=f ，)(x g 为)(x f 的反 函数而且⎰=)( 02)(x f x e x dt t g .试求：)(x f <答案：c e x x ++)1(）.62 / 2426.设)(1R C f ∈而且)()()()(y x xy y f x f y x f +++=+ (1,R y x ∈∀>.试求)(x f <答案：c x x f +++3/)1(313）. 27.设],0[πC f ∈而且0)( 0=⎰πdx x f ，⎰=π0cos )(xdx x f .证明：)(x f 在],0[π中至少有两个零点.<提示：令⎰=xdt t f x F 0)()(，利用分部积分）.28.设],[b a C f ∈而且不恒为常数，而且)(min )()(],[x f b f a f b a x ∈==.证明：存在),(b a ∈ξ使得)()()( ξξξf a dx x f a-=⎰.<提示：令⎰--=tadx x f t f a t t F )()()()(，)(max )(],[0t f t f b a t ∈=，则0)(0>t F ，0)(<b F ）.29.设],[b a C ∈ϕ，)(x f ''存在而且非负.证明：⎰⎰≥aa dt t a f dt t f a 00 ))(1())((1ϕϕ. <提示：利用)(x f 在⎰=adx x f ax 0 0)(1处的一阶泰展开式）. 30.设]1,0[)(C x f ∈''.证明：⎰⎰⎰''≤11 01|})(|,|)(|max{|)(|dx x f dx x f dx x f .<提示：分)(x f 变号与不变号两种情形考虑）. 31.设],[)(b a C x f ∈'.证明|)(|max |)(||)(1|],[ x f dx x f dx x f a b b a x b a ba∈≥'=-⎰⎰. 32.设],0[)(a C x f ∈'而且0)0(=f ，|)(|max ],[x f M b a x '=∈.63 / 24证明：⎰≤aa M dx x f 022|)(|.<提示：利用 ⎰⎰'---=aa adx x f a x x f a x dx x f 00 0)()(|)()()(）33.设)(x f 在]2,0[上二阶可导，M x f ≤' |)(|<20≤≤x ）而且0)1(=f .证明：⎰≤23/ |)(|M dx x f .<提示：利用)(x f 在1=x 处的泰勒展开式）. 34.设],[)(b a C x f ∈''且0)2(=+ba f ，|)(|max ],[x f Mb a x ''=∈.证明：⎰-≤baa b M dx x f 3)(24|)(|. <提示：利用)(x f 在2/)(0b a x +=处的一阶泰展开式）.35.设⎰+-=xdt nt t x f 0)1ln()1()(，0>x .证明：6)(n x f ≤. <提示：)(x f 在1=x 处取最大值）. 36.设]1,0[C f ∈而且非负，⎰+≤'xdt t f x f 0)(21)(.证明：])1,0[( 1)(∈+≤x x x f .<提示：令⎰+=xdt t f x F 0)(21)(）.37.设],[)()2(b a C x fn ∈而且M x f n ≤ |)(|)2(，=)()(a f i)1,,2,1,0( 0)()(-==n i b f i .证明：⎰+-+≤a n a b M n n n dx x f 0 122)()!12()!2()!( |)(|. <提示：令nn b x a x x g )()()(--=，再利用分部积分公式及换元公式）.38.设],[)(b a C x f ∈不恒为零而且满足M x f ≤≤)(0.证64 / 24明：⎰⎰⎰-++≤bababaa b M dx x f dx x f dx x f 4222212)())(())(())((.<提示：利用函数单调性）. 39.设],[)(b a C x f ∈而且⎰∈≤xadt t f x f b])[a,(x )()(.证明：]),[( 0)(b a x x f ∈≤.<提示：令⎰=xadt t f x F )()(，则0))((≤'-x F e x）. 40.设)(x f 连续，⎰=1 0 )()(dt xt f x ϕ而且A xx f x =→)(lim0<常 数）.试求)(x ϕ'，并讨论)(x ϕ'在0=x 处的连续性.<答案：2 0/)()(()(x dt t f x xf x x⎰-='ϕ，2/)(lim 0A x x ='→ϕ)0(ϕ'=）.41.设),0[)(+∞∈'C x f 而且0))()((lim ='++∞→x f x f x .证明：0)(lim =+∞→x f x .<提示：令)()()(x f x f x F '+=，则))(()('=x f e x F e x x ，再由⎰-=xx x x t x f e x f e dt t F e 000)()()(及积分中值定理可得）.。

《定积分与微积分基本定理》教案章节一：定积分的概念1.1 引入定积分的概念1.2 定积分的几何意义1.3 定积分的性质1.4 定积分的计算方法章节二：定积分的计算2.1 定积分的换元法2.2 定积分的分部积分法2.3 定积分的三角函数法2.4 定积分的特殊函数法章节三：定积分的应用3.1 定积分在几何中的应用3.2 定积分在物理中的应用3.3 定积分在经济学中的应用3.4 定积分在其他领域的应用章节四：微积分基本定理4.1 微积分基本定理的引入4.2 微积分基本定理的证明4.3 微积分基本定理的应用4.4 微积分基本定理的拓展章节五：定积分的进一步应用5.1 定积分的双重积分5.2 定积分的三重积分5.3 定积分的线积分5.4 定积分的面积分《定积分与微积分基本定理》教案（续）章节六：定积分的数值计算6.1 梯形法则6.2 辛普森法则6.3 柯特斯法则6.4 蒙特卡洛方法章节七：定积分的误差分析7.1 梯形法则的误差分析7.2 辛普森法则的误差分析7.3 柯特斯法则的误差分析7.4 蒙特卡洛方法的误差分析章节八：微积分基本定理的应用8.1 微积分基本定理在求解不定积分中的应用8.2 微积分基本定理在求解定积分中的应用8.3 微积分基本定理在求解极限中的应用8.4 微积分基本定理在求解导数中的应用章节九：定积分的优化问题9.1 利用定积分求解最大值和最小值9.2 利用定积分求解极值问题9.3 利用定积分求解最值问题的应用实例9.4 利用定积分求解实际问题中的优化问题章节十：定积分与微积分基本定理的综合应用10.1 利用定积分和微积分基本定理解决实际问题10.2 定积分和微积分基本定理在工程中的应用10.3 定积分和微积分基本定理在科学研究中的应用10.4 定积分和微积分基本定理在其他领域的应用《定积分与微积分基本定理》教案（续）章节十一：定积分的物理意义11.1 定积分在物理学中的作用11.2 定积分与力学中的功11.3 定积分与电磁学中的电场强度11.4 定积分在热力学中的应用章节十二：定积分在工程中的应用12.1 定积分在土木工程中的应用12.2 定积分在机械工程中的应用12.3 定积分在电子工程中的应用12.4 定积分在生物医学工程中的应用章节十三：定积分在经济与管理中的应用13.1 定积分在经济学中的优化问题13.2 定积分在金融学中的应用13.3 定积分在运筹学中的应用13.4 定积分在管理科学中的应用章节十四：定积分在现代科技中的应用14.1 定积分在计算机科学中的应用14.2 定积分在数据科学中的应用14.3 定积分在中的应用14.4 定积分在其他现代科技领域的应用章节十五：定积分与微积分基本定理的复习与提高15.1 定积分的基本概念与性质的复习15.2 微积分基本定理的复习与应用15.3 定积分的计算方法的巩固与提高15.4 定积分在实际问题中的应用案例分析重点和难点解析重点：1. 定积分的概念和几何意义2. 定积分的计算方法：梯形法则、辛普森法则、柯特斯法则和蒙特卡洛方法3. 定积分的应用领域：几何、物理、经济学等4. 微积分基本定理的引入、证明和应用5. 定积分的数值计算和误差分析6. 定积分在不同学科中的应用：物理学、工程学、经济与管理、现代科技等难点：1. 定积分的换元法和分部积分的具体操作2. 定积分的三角函数法和特殊函数法的应用3. 微积分基本定理的证明过程中的理解和应用4. 定积分的数值计算方法的误差分析5. 定积分在实际问题中的优化问题和应用实例6. 定积分在不同学科中的应用：物理学、工程学、经济与管理、现代科技等，这些应用领域的理解和实际问题解决能力的培养。

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微积分基本定理【教学目标】1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．2．会利用微积分基本定理求函数的积分．【教法指导】本节学习重点：会利用微积分基本定理求函数的积分．本节学习难点:直观了解并掌握微积分基本定理的含义．【教学过程】☆复习引入☆从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f(x)＝x3非常简单，但直接用定积分的定义计算ʃ错误!x3d x的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了两个重要的概念-—导数和定积分,这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系求定积分呢？☆探索新知☆探究点一微积分基本定理问题你能用定义计算ʃ错误!错误!d x吗？有没有更加简便、有效的方法求定积分呢?思考1 如下图,一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t）,并且y（t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t）＝y′(t)．设这个物体在时间段[a,b]内的位移为s，你能分别用y（t)，v(t）表示s吗？答由物体的运动规律是y＝y（t)知：s＝y(b)－y(a），通过求定积分的几何意义，可得s＝ʃ错误!v(t)d t＝ʃ错误!y′（t)d t，所以ʃ错误!v(t)d t＝ʃ错误!y′(t）d t＝y(b）－y(a)．其中v(t）＝y′(t)．小结（1)一般地，如果f(x)是区间［a，b］上的连续函数，并且F′（x)＝f（x），那么ʃ错误!f（x)d x＝F（b)－F（a）．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．(2)运用微积分基本定理求定积分ʃ错误!f（x）d x很方便，其关键是准确写出满足F′（x)＝f（x）的F（x）．思考2 对一个连续函数f（x）来说,是否存在唯一的F(x)，使F′（x）＝f（x)?若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？答不唯一，根据导数的性质,若F′(x)＝f(x）,则对任意实数c,[F（x）＋c］′＝F′(x）＋c′＝f(x)．不影响，因为ʃ错误!f（x）d x＝[F（b）＋c］－[F（a）＋c］＝F(b)－F(a)例1 计算下列定积分：（1)ʃ错误!错误!d x；(2)ʃ错误!（2x－错误!）d x；(3）ʃ错误!(cos x－e x)d x。

第2课时教学目标知识与技能目标通过实例进一步熟练微积分基本定理解题的步骤格式，了解其几何意义，掌握定积分的性质．过程与方法目标通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法，感受在其过程中渗透的数形结合等思想方法．情感、态度与价值观通过微积分基本定理的简单应用，培养学生运用知识解决实际问题的能力，提高分析问题、解决问题的能力，激发学生学习数学的兴趣．重点难点重点：运用微积分基本定理解决简单的数学及实际问题，了解其几何意义．难点：微积分基本定理的含义，定积分的值与曲边梯形面积之间的关系，定积分的性质．教学方法问题探究式教学法，使学生在解决问题中练习知识、掌握知识；同时，能够掌握方法、提升能力．教学过程复习回顾1．微积分基本定理的内容是什么？如果函数f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，则∫b a f(x)dx＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)．2．计算定积分的关键是什么？计算定积分∫b a f(x)dx关键是找出满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，从而把问题转化为计算函数F(x)在区间的两个端点处的函数值之差．3．一般如何得出F(x)?通常我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则逆向求出F(x)．4．计算下列定积分：∫3－1(4x－x2)dx.答案：20 3.引入新课提出问题1：计算下列定积分：∫π0sinxdx，∫2ππsinxdx，∫2π0sinxdx.活动设计：可由多名学生同时到黑板上板演，其他学生独立思考求解．学情预测：学生可以比较顺利地计算出来．活动成果：用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分比较简洁、有效，结果如下：解：因为(－cosx)′＝sinx，所以∫π0sinxdx＝(－cosx)|π0＝(－cosπ)－(－cos0)＝2；∫2π0πsinxdx＝(－cosx)|2ππ＝(－cos2π)－(－cosπ)＝－2；∫2π0sinxdx＝(－cosx)|2π0＝(－cos2π)－(－cos0)＝0.设计意图体会求导数对求定积分的重要意义，同时熟练运用公式．探究新知提出问题2：由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．活动设计：学生先独立思考，然后小组讨论，并对成果进行展示．学情预测：学生的说法可能有多种，经过讨论、细化、规范说法，但可能仍有重复或疏漏．活动结果：教师引导学生进行分析比较，可以发现：定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.(1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时(图1)，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；图1(2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时(图2)，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；图2(3)当位于x轴上方的曲边梯形的面积等于位于x轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为0(图3)，且等于位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积．图3设计意图着重说明定积分的值与曲边梯形面积之间的关系．提出问题3：你能否给出一般的定积分∫b a f(x)dx的几何意义？活动设计：学生类比问题2进行思考，然后口答．学情预测：学生一般能得出正确结论，但叙述上可能不太严谨．活动结果：如图，定积分∫b a f(x)dx的几何意义是：界于x轴、曲线y＝f(x)及直线x＝a、x＝b之间各部分曲边梯形面积的“代数和”——在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号．因此，定积分的值也可以分成几部分来求，然后把各部分的值加起来，就是所求定积分的值．(定积分的性质)通过探究思考，使学生掌握定积分的几何意义，进一步加深对定积分的认识．设计意图 ⎠⎜⎛0π2 提出问题4：不计算定积分的值，试比较⎠⎜⎛0π2 cosxdx 与22cos xdx ππ-⎰的大小关系． 活动设计：学生先思考，然后分组讨论交流，教师引导．学情预测：有了上面的讨论和分析，学生不难得出结果． 活动结果：师生共同梳理，根据余弦函数的对称性，从图象上容易看出22cos xdx ππ-⎰所对应的曲边梯形的面积，刚好是⎠⎜⎛0π2cosxdx 所对应的曲边梯形的面积的2倍． 设计意图体会定积分几何意义的重要性．提出问题5：计算定积分⎠⎜⎛0π2cosxdx 与22cos xdx ππ-⎰的值，并与0sin xdx π⎰进行比较，试从几何意义上给出解释．活动设计：可由学生到黑板上板演，其他学生独立思考求解．学情预测：学生可以比较顺利地计算出来．活动成果：解：因为(sinx)′＝cosx ，所以⎠⎜⎛0π2cosxdx ＝sinx|π20＝sin π2－sin0＝1， 22cos xdx ππ-⎰＝sinx|π2－π2＝sin π2－sin(－π2)＝2.根据正弦函数与余弦函数图象的关系，容易得出22cos xdx ππ-⎰所对应的曲边梯形的面积，刚好等于∫π0sinxdx 所对应的曲边梯形的面积．设计意图通过计算及比较，进一步熟悉公式、加深对几何意义的理解，同时强化数形结合的思想方法．设计意图运用新知例1由抛物线y 2＝x 和直线x ＝1所围成的图形的面积等于( )A ．1 B.43 C.23 D.13活动设计：以学生练习、讨论为主，教师引导、点评．活动结果：根据几何意义，所求面积也就是定积分∫10xdx 的2倍(如图阴影部分所示)．因为(23x 32)′＝x ，所以∫10xdx ＝(23x 32)|10＝23. 所求面积为2×23＝43，故选答案B. 设计意图进一步体会几何意义的重要性，同时渗透数形结合的思想．例2汽车以每小时32公里的速度行驶，到某处需要减速停车．设汽车作匀减速刹车，加速度大小a ＝1.8米/秒2，问从开始刹车到停车，汽车行驶了多少米？解：首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间，当t ＝0时，汽车速度v 0＝32千米/小时＝32×1 0003 600米/秒≈8.88米/秒，刹车后汽车匀减速行驶，其速度为v(t)＝v 0－at ＝8.88－1.8t.当汽车停住时，速度v(t)＝0，故由v(t)＝8.88－1.8t ＝0，解得t ＝8.881.8≈4.93(秒)． 于是在这段时间内，汽车所驶的距离是s ＝∫4.930v(t)dt ＝∫4.930(8.88－1.8t)dt ＝ (8.88t －1.8×12t 2)|4.930≈21.90(米)． 即在刹车后，汽车需驶过21.90米才能停住．点评：进一步熟练、规范运用微积分基本定理求定积分问题，并体会定积分在解决实际问题中的价值．巩固练习计算下列定积分：(1) ⎠⎜⎛0π2 (3x ＋sinx)dx ；(2) 412cos 2xdx ππ⎰；(3)∫21(x －1)dx. 答案：(1)3π28＋1；(2)14；(3)423－53. 变练演编1．∫20(2x －4)(x 2－4)dx ＝__________. 2．∫32(x ＋1x)2dx ＝__________. 3．∫41x(1－x)dx ＝__________.答案：1.403 2.92＋ln3－ln2 3.－176点评：进一步熟练运用公式；进一步体会公式运用的关键——求原函数F(x)；体会导数与定积分的关系；体会利用定积分的性质计算定积分．达标检测1．∫21(e x －2x)dx ＝__________. 答案：e 2－e －2ln22．计算定积分∫3π0sinxdx 的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．解：∫3π0sinxdx ＝(－cosx)|3π0＝2.它表示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与位于x 轴下方的曲边梯形的面积之差．或表述为：位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积(取正值)与位于x 轴下方的曲边梯形的面积(取负值)的代数和．课堂小结知识整理，形成系统(由学生归纳，教师完善)．1．知识收获：本节课通过探究正弦函数在某个区间上的定积分，结合图象，得出了定积分的几何意义，同时学习了定积分的性质．2．方法收获：运用微积分基本定理及其几何意义、定积分的性质可以方便地解决定积分问题．3．思维收获：数形结合的思想，由特殊到一般的思想．布置作业习题1.6B 组1.(1)(2)(3)．补充练习基础练习1．∫10(e x ＋e －x )dx 等于( )A ．e ＋1eB ．2e C.2e D ．e －1e2．曲线y ＝cosx ，x ∈[0，3π2]与坐标轴围成的图形的面积为( ) A ．4 B ．3C.52D ．2 3．若∫a 0(3x 2＋4x －5)dx ＝a 3－2(a>1)，则a ＝__________.答案：1.D 2.B 3.2拓展练习4．22cos 2x dx ππ⎰＝__________. 答案：π4－125．如图，求由两条曲线y ＝－x 2,4y ＝－x 2及直线y ＝－1所围成的图形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－1，得C(1，－1)，同理得D(2，－1)． ∴所求图形的面积 S ＝2{∫10[－x 24－(－x 2)]dx ＋∫21[－x 24－(－1)]dx} ＝2(∫103x 24dx －∫21x 24dx ＋∫21dx)＝2(x 34|10－x 312|21＋x|21)＝43. 设计说明本节从探究正弦函数在某个区间上的定积分与对应曲边梯形面积的关系入手，让学生观察探究、合作交流讨论，使学生经历从特殊到一般的探究过程．通过数形结合，寻求定积分和曲边梯形面积的内在联系，得到定积分的几何意义．在“数形结合”的思想下，在问题式教学的引导下，学生既经历了知识发现的过程，又直观了解了定积分的性质．本节教材课本内容相对较少，但其地位却非常重要，因此，本设计增加了相应的探究内容和例题及练习．在充分探究的基础上，强化针对性练习，使学生能较好地理解定积分的几何意义，并掌握其性质．例题和练习的设计遵循由浅入深、循序渐进的原则，与前一节的题目相辅相成，并且相对于前一节题目的难度有所提升，以便于学生更好地掌握公式、熟悉性质．备课资料牛顿与莱布尼兹创立微积分之解析牛顿，1642年生于英格兰，1661年，入英国剑桥大学，1665年，牛顿回到乡间，终日思考各种问题，运用他的智慧和数年来获得的知识，发明了流数术(微积分)、万有引力和光的分析．牛顿生活的时代正是英国发生变革的时代，当时英国发生了国内战争，资产阶级和贵族的阶级妥协，使英国资产阶级革命明显地带上了不彻底性．牛顿在30岁以前发现了微积分，并建立了经典力学体系，而他的后半生在自然科学的研究上几乎一事无成．这是由于在资本主义产生和形成的时期，资产阶级曾经向宗教神学发起冲击，帮助科学从神学中解放出来．但是当资产阶级的地位巩固以后，阶级斗争逐渐激化之时，资产阶级逐渐衰退，他们就抓住各种各样的宗教信念作为奴役人民的思想武器．牛顿受其影响很大，其前半生由于自发的唯物主义的思想倾向，使他获得了巨大的成就，而后半生则完全沉迷于神学的研究．牛顿继承了培根的经验主义传统，特别重视实验和归纳推理的作用，他曾断言，自然科学只能从经验事实出发解释世界．这在当时对打击经院哲学的崇尚空谈、妄称神意来歪曲自然界是起过积极作用的．莱布尼兹生于德国，1672年赴巴黎，在那里接触到惠更斯等一些数学名流，引导其进入了数学领域，开始微积分的创造性工作．牛顿建立微积分是从运动学的观点出发，而莱布尼兹则从几何学的角度去考虑，所创设的微积分符号远远优于牛顿的符号，并有效地促进了微积分学的发展．牛顿发现微积分(1665～1666年)比莱布尼兹至少早了9年，然而莱布尼兹公开发表它的微积分文章比牛顿早3年．如果说，牛顿建立微积分主要是从运动学的观点出发，而莱布尼兹则是从哲学的和几何学的角度去考虑，特别是和巴罗的“微分三角形”有密切的关系，莱布尼兹称它为“特征三角形”．巴罗的“微分三角形”对莱布尼兹有着重要启发，对微分三角形的研究，使他意识到求切线和求积分问题是一对互逆的问题．莱布尼兹第一个发表出微分和积分之间的互逆关系.1675～1676年间，他从求曲边梯形面积出发得到积分的概念，给出微积分基本定理.1686年莱布尼兹发表积分学论文《潜在的几何与分析不可分和无限》，1693年，他给出了上述定理的一个证明，以上这些都发表在《教师学报》上．将微分和积分统一起来，是微积分理论得以建立的一个重要标志．牛顿和莱布尼兹的哲学观点的不同导致了他们创立微积分的方法不同．牛顿坚持唯物论的经验论，特别重视实验和归纳推理．他在研究经典力学规律和万有引力定律时，遇到了一些无法解决的数学问题，而这些数学问题用欧几里德几何学和16世纪的代数学是无法解决的，因此牛顿着手研究新的求曲率、面积、曲线的长度、重心、最大最小值等问题的方法——流数法．莱布尼兹的微积分创造始于研究“切线问题”和“求积问题”，他从微分三角形认识到：求曲线的切线依赖于纵坐标之差与横坐标之差的比值；求曲边图形的面积则依赖于在横坐标的无限小区间上的纵坐标之和或无限薄的矩形之和．莱布尼兹认识到求和与求差运算是可逆的．莱布尼兹的无穷小的分阶正是和它的客观唯心论的哲学体系中那个不同层次的单子系统是相对应的．莱布尼兹在微积分的研究过程中，连续性原则成为其工作的基石，而连续性原则是扎根于他哲学中无限的本质的思想．牛顿和莱布尼兹创立微积分的相同点有：从不同的角度创立了一门新的数学学科，使微积分具有广泛的用途，并能应用于一般函数；用代数的方法从过去的几何形式中解脱出来；都研究了微分与反微分之间的互逆关系．牛顿认为微积分是纯几何的自然延伸，关心的是微积分在物理学中的应用．经验、具体和谨慎是他的工作特点，这种拘束的做法，使他没有能尽情发挥．而莱布尼兹关心的是广泛意义下的微积分，力求创造建立微积分的完善体系．他富于想象，喜欢推广，大胆而且有思辩性，所以毫不犹豫地宣布了新学科的诞生．牛顿和莱布尼兹都是他们时代的科学巨人．微积分之所以能成为独立的学科，并给整个自然科学带来革命性的影响，主要是取决于牛顿与莱布尼兹的工作．从牛顿和莱布尼兹创立微积分的过程中可以看出：当巨人的哲学的沉思变成科学的结论时，对科学发展的影响是深远的．(设计者：韩辉杰)。

2 微积分基本定理[对应学生用书P40]已知函数f (x )＝x ，F (x )＝12x 2.问题1：f (x ) 和F (x )有何关系？ 提示：F ′(x )＝f (x )．问题2：利用定积分的几何意义求⎠⎛12x d x 的值． 提示：⎠⎛12x d x ＝32.问题3：求F (2)－F (1)的值． 提示：F (2)－F (1)＝12×－12×12＝32.问题4：你得出什么结论？提示：⎠⎛12f (x )d x ＝F (2)－F (1)，且F ′(x )＝f (x )．问题5：由⎠⎛12f (x )d x 与F (2)－F (1)之间的关系，你认为导数与定积分之间有什么联系？提示：⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )，其中F ′(x )＝f (x )．微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有 ∫b a fx d x ＝F b －F a定理中的式子称为牛顿—莱布尼茨公式，通常称F (x )是f (x )的一个原函数． 在计算定积分时，常常用记号F (x )| ba 来表示F (b )－F (a )，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作∫b a f (x )d x ＝F (x )| ba ＝F (b )－F (a )．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以代入公式求出定积分．[对应学生用书P40]求简单函数的定积分[例1]计算下列各定积分：(1)∫10(2x ＋3)d x ； (2)∫0－π(cos x ＋e x)d x ；(3)∫31⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2d x .[思路点拨]先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解． [精解详析](1)∵(x 2＋3x )′＝2x ＋3， ∴∫10(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )| 10＝1＋3＝4.(2)∵(sin x ＋e x )′＝cos x ＋e x， ∴∫0－π(cos x ＋e x)d x ＝(sin x ＋e x)| 0－π＝1－e－π.(3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ′＝2x －1x2，∴∫31⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x | 31＝7＋13＝3. [一点通]应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F (x )的导函数F ′(x )＝f (x )为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用微积分基本定理求出结果．1⎠⎛1e.1x d x ＝________.解析：⎠⎛1e1x d x ＝ln e －ln 1＝1.答案：12．求下列函数的定积分：(1)∫21(x 2＋2x ＋3)d x ； (2)∫π0(sin x －cos x )d x ；(3)∫21⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x .解：(1)∫21(x 2＋2x ＋3)d x ＝∫21x 2d x ＋∫212x d x ＋∫213d x ＝x 33 |21＋x 2|21＋3x |21＝253. (2)∫π0(sin x －cos x )d x＝∫π0sin x d x －∫π0cos x d x ＝(－cos x )|π0－sin x |π0＝2.(3)∫21⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝∫21x d x ＋∫211xd x＝12x 2 |21＋ln x |21＝12×－12×12＋ln 2－ln 1 ＝32＋ln 2. 3．求下列定积分：2x 2d x ；(2) ⎠⎛23(2－x 2)·(3－x )d x .解：(1)sin 2x 2＝1－cos x2，而⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ，2x 2d x ⎛⎭⎪⎫12－12cos x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x |π2＝π4－12＝π－24. (2)原式＝⎠⎛23(6－2x －3x 2＋x 3)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫6x －x 2－x 3＋14x 4|32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6×3－32－33＋14×34－⎝ ⎛⎭⎪⎫6×2－－23＋14×24 ＝－74.求分段函数的定积分[例2]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2<x <2，x －1，2≤x ≤4，先画出函数图像，再求这个函数在[0,4]上的定积分．[思路点拨]按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，[2,4]三段积分求和．[精解详析]图像如图．⎠⎜⎛2π2⎠⎛04f (x )d x ＝20π⎰sin x d x ＋22π⎰d x ＋⎠⎛24(x －1)d x ＝(－cos x )|20π＋x |22π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x |42 ＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2.[一点通](1)分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．(2)带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x <1，2－x ，1≤x ≤2，则∫20f (x )d x ＝() A.34 B.45 C.56D.不存在解析：∫20f (x )d x ＝∫10x 2d x ＋∫21(2－x )d x ，取F 1(x )＝13x 3，F 2(x )＝2x －12x 2，则F 1′(x )＝x 2，F 2′(x )＝2－x ，所以∫20f (x )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×－⎝ ⎛⎭⎪⎫2×1－12×12＝56.答案：C5．已知F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x －1，x ≤0，x 2，x >0，求定积分∫1－1F (x )d x .解：∫1－1F (x )d x ＝∫0－1(sin x －1)d x ＋∫10x 2d x＝(－cos x －x ) |0－1＋13x 3 |10＝cos 1－53.含参数的函数的定积分[例3]已知函数f (x )＝∫x 0(at 2＋bt ＋1)d t 为奇函数，且f (1)－f (－1)＝13，试求a ，b的值．[精解详析]f (x )＝∫x 0(at 2＋bt ＋1)d t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3t 3＋b 2t 2＋t |x 0＝a 3x 3＋b2x 2＋x .∵f (x )为奇函数，∴b2＝0，即b ＝0. 又∵f (1)－f (－1)＝13，∴a 3＋1＋a 3＋1＝13.∴a ＝－52.[一点通](1)当被积函数中含有参数时，必须分清参数和自变量，再进行计算，以免求错原函数．另外，需注意积分下限不大于积分上限．(2)当积分的上(下)限含变量x 时，定积分为x 的函数，可以通过定积分构造新的函数，进而可研究这一函数的性质，解题过程中注意体会转化思想的应用．6．若∫10(k －2x )d x ＝2 013，则k ＝________.解析：∫10(k －2x )d x ＝(kx －x 2)⎪⎪1＝k －1＝2 013，∴k ＝2 014. 答案：2 0147．已知函数f (a )＝∫a0sin x d x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________.解析：f (a )＝∫a0sin x d x ＝－cos x|a 0＝－cos a ＋1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1. 答案：18．已知f (x )是一次函数，其图像过点(3,4)，且⎠⎛01f (x )d x ＝1，求f (x )的解析式． 解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则4＝3a ＋b ，又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax 2＋bx |1＝a 2＋b ＝1， 所以a ＝65，b ＝25，即f (x )＝65x ＋25.求定积分的一些常用技巧：(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号后才能积分．[对应跟踪训练十五]1．下列积分值等于1的是() A.∫10x d x B.∫10(x ＋1)d xC.∫101d xD.∫1012d x解析：∫101d x ＝x ⎪⎪ 10＝1.答案：C2．(福建高考)⎠⎛01(e x＋2x )d x ＝()A ．1B ．e －1C ．eD.e ＋1解析：⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|1＝(e 1＋1)－e 0＝e.答案：C3.∫30|x 2－4|d x ＝() A.213 B.3 C.233D.253解析：∫30|x 2－4|d x ＝∫20(4－x 2)d x ＋∫32(x 2－4)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －13x 3⎪⎪⎪20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x ⎪⎪⎪32＝233，故选C. 答案：C4．函数F (x )＝∫x0t (t －4)d t 在[－1,5]上() A ．有最大值0，无最小值 B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值解析：F (x )＝∫x 0(t 2－4t )d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2⎪⎪⎪x＝13x 3－2x 2(－1≤x ≤5)．F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )＝0，得x ＝0或4，列表如下：x (－1,0) 0 (0,4) 4 (4,5) F ′(x ) ＋0 －0 ＋ F (x )极大值极小值可见极大值F (0)＝0，极小值F (4)＝－3.又F (－1)＝－3，F (5)＝－3，所以最大值为0，最小值为－323.答案：B5．若∫a －a x 2d x ＝18(a >0)，则a ＝________. 解析：∫a－a x 2d x ＝x 33| a－a ＝a 33－－a33＝18⇒a ＝3.答案：36．(陕西高考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________.解析：显然f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝0＋∫a03t 2d t ＝t 3⎪⎪⎪a＝1，得a ＝1.答案：17．求下列定积分： (1)∫212x 2＋x ＋1xd x ；(2)∫π02sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4d x .解：(1)∫212x 2＋x ＋1xd x＝∫21(2x ＋1x＋1)d x＝∫212x d x ＋∫211xd x ＋∫211d x＝x 2|21＋ln x |21＋x |21＝(4－1)＋ln 2－ln 1＋2－1 ＝4＋ln 2.(2)∵2sin(x ＋π4)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·22＋cos x ·22＝sin x ＋cos x ，(－cos x ＋sin x )′＝sin x ＋cos x ， ∴∫π2sin(x ＋π4)d x ＝∫π0(sin x ＋cos x )d x＝(－cos x ＋sin x ) |π＝(－cos π＋sin π)－(－cos 0＋sin 0)＝2.8．A ，B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 站前的D 点这段路程做匀速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t ) m/s ，在B 站恰好停车，试求：(1)A ，C 间的距离； (2)B ，D 间的距离．解：(1)设从A 到C 的时间为t 1 s ，则1.2t 1＝24，解得t 1＝20，则AC ＝∫2001.2t d t ＝0.6t 2|200＝240(m)．即A ，C 间的距离为240 m.(2)设从D 到B 的时间为t 2 s ，则24－1.2t 2＝0， 解得t 2＝20，则BD ＝∫200(24－1.2t )d t ＝(24t －0.6t 2) |200＝240(m)．即B ，D 间的距离为240 m.。

教学目的与要求：1. 理解并掌握微积分基本定理的内容及意义. 具有应用微积分基本定理证明定积分有关问题的能力.2. 熟练应用积分第二中值定理证明定积分有关问题. 教学重点，难点：1. 微积分基本定理的内容及意义. 应用微积分基本定理证明定积分有关问题的能力.2. 应用积分第二中值定理证明定积分有关问题. 教学内容：当函数的可积性问题告一段落,并对定积分的性质有了足够的认识之后,接着要来解决一个以前多次提到过的问题——在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数.一 变限积分与原函数的存在性设f 在[a,b]上可积,根据定积分的性质4,对任何x∈(a,b), f 在[a, x]上也可积.于是,由()()[]⎰∈=Φxab a x dt t f x ,, (1)定义了一个以积分上限x 为自变量的函数,称为变上限的定积分.类似地,又可定义变下限的定积分:[]⎰∈=bxb a x dt t f x .,,)()(ψ (2)Φ与ψ统称为变限积分.注：在变限积分(1)与(2)中,不可再把积分变量写成x(例如⎰xadx x f ,)()以免与积分上、下限的x 相混淆.变限积分所定义的函数有着重要的性质.由于⎰⎰-=bxxbdt t f dt t f ,)()(因此下面只讨论变上限积分的情形.定理9.9 若f 在[a,b]上可积,则由(1)式所定义的函数Φ在[a,b]上连续. 证 对[a,b]上任一确定的点x,只要x +△x∈[a,b],按定义式(1)有⎰⎰⎰∆+∆+=-=∆Φx axx xxx adt t f dt t f dt t f .)()()(因f 在[a,b]上有界,可设()[].,,b a t M t f ∈≤于是,当△x＞0时有;)()(x M dt t f dt t f xx xxx x∆≤≤=∆Φ⎰⎰∆+∆+当△x＜0时则有.x M ∆≤∆Φ由此得到,0lim 0=∆Φ→∆x即证得Φ在点x 连续.由x 的任意性, Φ在[a,b]上处处连续. □定理9.10 (原函数存在定理) 若f 在[a,b]上连续,则由(1)式所定义的函数Φ在[a,b]上处处可导,且()[]⎰∈==Φ'xab a x x f dt t f dx d x .,),()( (3) 证 对[a,b]上任一确定的x,当△x≠0且x+△x∈[a,b]时,按定义式(1)和积分第一中值定理,有dt t f xx xx x )(1⎰∆+∆=∆∆Φ.10),(≤≤∆+=θθx x f 由于f 在点x 连续,故有).()()(lim limx f x x f x x x x =∆+=∆∆Φ=Φ'→∆→∆θ 由x 在[a,b]上的任意性,证得Φ是f 在[a,b]上的一个原函数. □注 本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系;同时也证明了“连续函数必有原函数”这一基本结论,并以积分形式(1)给出了f 的一个原函数,正因为定理9.10的重要作用而被誉为微积分学基本定理. 且可用它可以给出牛顿-莱布尼茨公式的另一证明。

《定积分与微积分基本定理》教案一、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的计算方法。

2. 掌握微积分基本定理，了解其应用。

3. 能够运用微积分基本定理解决实际问题。

二、教学内容1. 定积分的概念：定积分是函数在区间上的积累量，用符号∫表示。

2. 定积分的计算方法：牛顿-莱布尼茨公式、换元法、分部积分法等。

3. 微积分基本定理：微积分基本定理是定积分与导数之间的关系，表述为∫(f'(x)dx) = F(b) F(a)，其中F(x) 是f(x) 的一个原函数。

4. 微积分基本定理的应用：求解曲线下的面积、弧长、质心等问题的计算。

三、教学重点与难点1. 教学重点：定积分的概念、计算方法，微积分基本定理的理解与应用。

2. 教学难点：微积分基本定理的证明，定积分的计算方法的综合运用。

四、教学方法1. 讲授法：讲解定积分的概念、计算方法，微积分基本定理的证明。

2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用微积分基本定理解决。

3. 练习法：课堂练习与课后作业，巩固所学知识。

五、教学安排1. 第一课时：定积分的概念与计算方法。

2. 第二课时：微积分基本定理的证明。

3. 第三课时：微积分基本定理的应用。

4. 第四课时：定积分的综合练习。

六、教学策略1. 互动讨论：鼓励学生提问，师生共同探讨定积分与微积分基本定理的相关问题。

2. 小组合作：同学之间分工合作，共同完成定积分的计算和应用问题。

3. 利用多媒体：通过动画、图像等直观展示定积分的几何意义和应用。

七、教学评价1. 课堂问答：检查学生对定积分概念、计算方法和微积分基本定理的理解。

2. 课后作业：布置有关定积分的计算和应用问题，检验学生掌握程度。

3. 课程报告：要求学生选择一个实际问题，运用微积分基本定理进行解决，以此评估学生的实际应用能力。

八、教学资源1. 教材：选用权威、实用的教材，如《微积分学导论》等。

2. 辅导资料：提供定积分与微积分基本定理的相关习题及解答。

1.4.2微积分基本定理教学目标：了解牛顿-莱布尼兹公式教学重点：牛顿-莱布尼兹公式教学过程一、复习：定积分的概念及计算二、引入新课我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。

我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰。

另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T -且()()S t v t '=。

对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有()()()ba f x d x Fb F a =-⎰ 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。

定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则()()()ba f x dx Fb F a =-⎰证明：因为()x Φ=()xa f t dt ⎰与()F x 都是()f x 的原函数，故()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤）其中C 为某一常数。

令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ=()aa f t dt ⎰=0即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a∴ ()x Φ=()F x -()F a =()xa f t dt ⎰ 令xb =，有()()()ba f x dx Fb F a =-⎰为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即()()|()()bb a a f x dx F x F b F a ==-⎰该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。