整式的乘法优翼课件

2n+m=5,n+3=3 则m=5,n=0
ZYT
课堂小结
单 实 质 实质上是转化为同底数幂的运算
项 式法 × 单
则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相 同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的 指数不变，作为积的因式.
项 式
注 单项式乘以单项式的结果是否正确，可从以下三 意 个方面来检验：①结果仍是单项式；②结果中含
空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积．
解：长方形的面积是xym2，绿化的面积是
3 5
x×
3 4
y＝
290xy(m2)，则剩下的面积
是xy－
9 20
xy＝
11 20
xy(m2)．
方法总结：掌握长方形的面积公式和单项式
乘单项式法则是解题的关键．
ZYT
中考真题
1.（台州）计算2a2•3a4的结果是（ C ）
单独因式x别 (2)4y ·(-2xy2)； 漏乘漏写 (4)(-2a)3(-3a)2.
解：(1)原式=(3×5)(x2·x3)=15x5；
(2)原式=[4×(-2)](y·y2) ·x=-8xy3；
(3) 原式=9x2·4x2 =(9×4)(x2·x2)=36x4；
(4)原式=-8a3·9a2 =[(-8)×9](a3·a2)=-72a5. 注意 有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘.
ZYT
巩固练习
计算：
(1) 5x3·2x2y ；
单独因式a 别漏乘漏写
(2) －3ab·(－4b2) ；
(3) 3ab·2a；
(4) yz·2y2z2；
解：(1)5x3·2x2y＝(5×2)·(x3·x2)·y＝10x5y.
(2)－3ab·(－4b2)＝[(－3)×(－4)]·a·(b·b2)＝12ab3.

整式乘法的基本运算法则是单 项式与单项式的相乘，即系数 相乘、同类项的字母部分相加 。
整式乘法的结果是一个新的多 项式，其项数等于两个整式项 数的乘积。
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SUMMAR Y
02
整式乘法的运算规则
单项式乘单项式
总结词
直接相乘，系数相乘，同类项的字母 和指数分别相加。
在整式乘法中，应正确使用乘法 公式，如平方差公式、完全平方
公式等。
掌握公式的形式和特点，理解公 式的推导过程和应用条件，以便
在解题时灵活运用。
注意公式的正误和适用范围，避 免使用错误或超出适用范围的公
式。
避免运算错误
在整式乘法中，应注意避免运算错误 ，如符号错误、计算错误等。
在进行复杂计算时，应仔细核对每一 步骤的计算结果，确保整个过程的正 确性。
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SUMMARY
《整式的乘法》ppt 课件
目录
CONTENTS
• 整式乘法的定义与性质 • 整式乘法的运算规则 • 整式乘法的应用 • 整式乘法的注意事项 • 练习与巩固
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SUMMAR Y
01
整式乘法的定义与性质
详细描述
单项式乘单项式是指两个单项式相乘 ，将它们的系数相乘，并将同类项的 字母和指数分别相加。例如，$2x^3y times 3x^2y = 6x^{3+2}y^{1+1} = 6x^5y^2$。
单项式乘多项式
总结词
逐项相乘，合并同类项。

2
第三种：先求A和C的总面积,再
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
2
思想方法
乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
x2 (a b)x
拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的
又( x a)( x b) ab x 6x 单项式乘单项式的运算法则是什么？
2x3 6x2 2x 5x2 15x 5 2x3 x2 17x 5
例题解析
例 如图，边长为 m 3 的正方形纸片，剪出 一个边长为 m 的正方形之后，剩余部分可剪 拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的 长方形一边长为 3，根据剩余部分的面积， 写出一个正确的等式是________________.
第一种：整体求面积，得
1. 计算: 分析：剩余部分的面积有两种方法表示：
第二种：先求A和B的总面积，再求C和D的总面积 ，最后求和,得
拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的
写出一个正确的等式是________________.
(2x 1)( x 3) ； (1) 写出一个正确的等式是________________.
q
C
D
探究新知
a
b
第一种：整体求面积，得
p
A
B
(a b)( p q)
q
C
D
第二种：先求A和B的总面积，再求C和D的
总面积 ，最后求和,得
p(a b) q(a b)
探究新知
a
b
第三种：先求A和C的总面积,再 求B和D的总面积 ,最后求和,得
a( p q) b( p q)
p
A

同底数幂除法法则的逆用
底数 a 不仅可以 am-n = _a_m_ ÷ an (a ≠0，m，n都是正整数，且m代>n表).数、单项式，
还可以代表多项 式等其他式子.
同底数幂除法的公式可以推广到三个及以上的同底数幂相除
am÷ an÷ a p = a m - n – p
(a ≠0，m、n、p 都是正整数， 且m>n)
转化 单项式乘
多项式
一般地，多项式 与多项式相乘， 先用一个多项式 的_每__一__项__乘另一 个多项式的 _每__一__项__，再把所 得的积_相__加__.
引入新知
填空：
(1) ( 26)2228 (1) 2822(26 )
(2) ( a5)·a2a7（a0）(3) (5m)5n5mn（m，n是正整数） 除法是乘法
2 练习 6（1）已知 am 2 , an 3 ,则 amn ___3___.
（2）若 9a 27b 81c 9 ，则 2a 3b 4c 的值为____2______.
解析：（1）∵ am 2 , an 3 , ∴ amn am an 2 3 2 ,
3 （2）∵ 9a 27b 81c 9 ，∴ 32a 33b 34c 32 ，
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
指数相减 x9 ÷ x6 x96 x3 底数不变
探究新知
【探究】当 m = n 时，依照 am÷an = am - n 运算，又有什 么规律？
当 m = n 时，根据除法的意义可得，am÷am=1， 根据同底数幂的除法法则可得，am÷am=a0.
规定 a0 =1(a ≠0) 即，任何不等于0的数的0次幂都等于1.
猜一猜 am ÷ an = __a_m_-n__. （a0，m，n是正整数，mn ）

2.计算下面两小题：
(1)(5a3b2c) 3a2b; (2)x3 y2 (xy3)2. 解：(1)原式=(5 3) (a3 a2 ) (b2 b) c 15a5b3c;
(2)原式=x3 y2 x2 y6 x5 y8.
合作探究
为了扩大绿地面积,要把街心花园的一块长pm,宽bm的长方形绿地, 向两边分别加宽am和cm,你能用几种方法表示扩大后的绿地面积？
整式的乘法
第2课时
学习目标
1.理解并掌握单项式与多项式的乘法运算法则.（重点） 2.能够运用单项式与多项式的乘法运算法则进行计算.（难点）
回顾旧知
1.单项式与单项式是如何相乘的？ 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于
只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
解：设这个多项式为A，则 A＋(－3x2)＝x2－2x＋1， ∴A＝4x2－2x＋1. ∴A·(－3x2)＝(4x2－2x＋1)(－3x2) ＝－12x4＋6x3－3x2.
课后作业
教材100页练习题第1、2题 教材105页练习题第4题
8x2 4x4 y
单项式乘以多项式的法则：
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项， 再把所得的积相加.
合作探究
例1 计算： (1)(-4x2)·(3x+1)；
解：(1)(-4x2)·(3x+1) ＝ -4x2·3x + (-4x2)·1
＝-12x3-4x2
（2）
2 3
ab2
2ab
知识点拨：在整式乘法的混合运算中，要注意运算顺序.注意当要求多 项式中不含有哪一项时，则表示这一项的系数为0.
课堂小结
今天我们收获了哪些知识？

5. 已知一多项式与单项式–7x5y4 的积为21x5y7–28x6y5，则
这个多项式是 –3y3+4xy .
课堂检测
6.计算： (1)6a3÷2a2；
(3)–21a2b3c÷3ab;
(2)24a2b3÷3ab；
(4)(14m3–7m2+14m)÷7m.
解：(1) 6a3÷2a2
(2) 24a2b3÷3ab
例
计算：
(1)28x4y2 ÷7x3y；
解:(1)原式=(28 ÷7)x4–3y2–1
(2)–5a5b3c ÷15a4b.
(2)原式=(–5÷15)a5–4b3–1c
=4xy；
= –
1
2c.
ab
3
多项式除以单项式要按照法则逐项进行，不得
漏项，并且要注意符号的变化.
巩固练习
下列计算错在哪里？怎样改正？
把x＝1，y＝–2代入上式，得
原式＝–3×12× (–2)2+5×1× (–2) –(–2)
＝–12–10+2＝–20.
链接中考
1. 计算：a4÷a= a3 ．
2. 已知am=3，an=2，则a2m–n的值为 4.5 ．
解析：∵am=3，∴a2m=32=9，


∴a2m–n=



= =4.5．
(2)原式= 72x3y4÷(–9xy2)＋(–36x2y3)÷(–9xy2)＋9xy2÷(–9xy2)
= –8x2y2＋4xy–1.
探究新知
素养考点 2 多项式除以单项式的化简求值问题
例2 先化简，后求值：[2x(x2y–xy2)＋xy(xy–x2)]÷x2y，其
中x＝2015，y＝2014.

12a 7b 2 4a 7b 2
16a b
7 2
（乘法计算）
（加法计算）
典例分析
单项式乘单项式
例5 卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约是7.9 × 103 Τ.
求卫星绕地球1h所经过的路程约是多少（结果用科学记数法表示）？
解：
7.9 103 3600
7.9 10 3.6 10
果要按照代数式的规范格式进行书写.
解（1） 3 x 2 y 2 7 xy 3 z 2
(3 7) x 2 x y 2 y 3 z 2
21x3 y 5 z 2
4
3
（2） a 2b a
3
2
4 3
a2 a b
整式的乘法
复习回顾
计算：6a5 x 4（
4a 2b3 x6）
这些系数和字母的幂都是连乘积的形式，我们可以运用
乘法交换律和结合律将系数相乘，相同字母的幂相乘.
6a 5 x 4 （
4a 2b3 x 6）
6 (4) a5 a 2 b3 x 4 x 6 （依据：乘法交换律和结合律）
3 2
2a 3b
典例分析
单项式乘单项式
4
1
例2 计算：（1）（ 0.25mn3） np m 2 p 3
5 2
1
（2）（ 2 x 2 y）
（
xy 2）
（
x 2 y 2） xyz
2
分析：单项式与单项式相乘的法则可以推广到多个单项式相乘的情形.
2
2 x 2 27 x 3 y 6

单项式乘 多项式
实质上是转化为单项式×单项式
整式的 乘法
注意
（1）计算时,要注意符号问题,多项式中每一项都包括它前面的 符号,单项式分别与多项式的每一项相乘时，同号相乘得正，异 号相乘得负 （2）不要出现漏乘现象 （3）运算要有顺序：先乘方，再乘除，最后加减 （4）对于混合运算，注意最后应合并同类项
a
b;
（3）5m2n(2n+3m－n2)；（4）2(x+y2z+xy2z3)·xyz；
解：(1)原式=2ab·5ab2+2ab·3a2b =10a2b3+6a3b2；
(2)原式=
2 3
ab2
1 ab (2ab)
2
1 2
ab
1 a2b3 3
a2b2;
(3)原式=5m2n·2n+5m2n·3m+5m2n·(－n2)
多项 式乘 多项 式
运算法 则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项 分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积 相加
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 实质上是转化为单项式×多项式的运算
注意
不要漏乘；正确确定各项符号；结果要最简 (x－1)2=(x－1)(x－1)，而不是x2－12.
提示：（1）将2x2与5x前面的“-”看成性质符号； （2）单项式与多项式相乘的结果中，应将同类项合并.
8.先化简，再求值3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4)，其中 a=-2.
解：3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4) =6a3-12a2+9a-6a3-8a2 =-20a2+9a. 当a=-2时，原式=-20×(－2)2+9×(－2)=-98.

2.下列算式中，不正确的是( D
A．(－12a5b)÷(－3ab)＝4a4
B．9xmyn－1÷3xm－2yn－3＝3x2y2
C. 4a2b3÷2ab＝2ab2
D．x(x－y)2÷(y－x)＝x(x－y)
)
3.计算：
(1)(103)÷(52) =
(2)66÷ (33) =2a3
(3)(－12s4t6) ÷(2s2t3)2 = -3
例2 已知:=4，=9，
求Hale Waihona Puke (1) -；(2) -.4
解：（1）-=÷=4÷9= 9 .
(2)-2=÷=()3÷()2
64
=43÷92= 81 .
例3
如果2-1 ÷ 2 =xm+1，求的值.
解：∵ 2-1 ÷ 2
∴2
（4）(a-b)5÷(a-b)3
3、计算：
（1）(－a)5÷a3
（3）(a8)2·a4÷a10
（2）x8÷x2÷x3
（4）(a－b)2m÷(a-b)m
由单项式与单项式的
乘法法则计算.
探究：
（1）计算：4a2x3·3ab2= 12a3b2x3 ;
（2）计算：12a3b2x3
观察：
÷
3ab2=
4a2x3
.
由乘除法互为逆运
算可得结果.
12a b x (3ab )
3 2
解:原式= 12 3
3
2
·
(a 3 a) ·(b 2 b 2 ) · 3
（系数÷系数) (同底数幂相除）×单独的幂
=4a2x3 .
你能总结单项式与单项式相除的法则吗?
单项式除以单项式法则
一般地，单项式相除，把系数与同底数幂

同类项相加
如果两个整式含有同类项，则将它们 的同类项的字母和字母的指数分别相 加，例如：$x^2y cdot xy^2 = x^{2+1}y^{1+2} = x^3y^3$。
整式乘法的应用
01
02
03
解决实际问题
整式乘法在实际问题中有 着广泛的应用，例如计算 面积、体积、路程等。
代数运算
整式乘法是代数运算中的 基本运算之一，它可以用 于解决代数方程、不等式 等问题。
掌握好单项式乘多项式和多项式乘多 项式的计算方法，是学好整式乘法的 基础。
合并同类项时，要注意不要遗漏任何 一项，特别是系数和字母因式部分。
多项式乘多项式的实例解析
例如
$(x+1)(x^2+2x+3)$，先分别用$(x+1)$去乘$(x^2+2x+3)$的每一项，得到 $x^3+2x^2+3x$，$x^2+2x+3$，再将同类项合并，得到 $x^3+3x^2+5x+3$。
整式乘法的符号表示
用“·”表示整式相乘，例如：$a^2 cdot b^3 = a^{2+3} cdot b^{3+1} = a^5 cdot b^4$。
整式乘法的规则
系数相乘
合并同类项
整式相乘时，首先将它们的系数相乘 ，例如：$2x cdot 3y = 6xy$。
在整式乘法中，如果两个整式含有相 同的字母和字母的指数，则可以将它 们合并为一个项，例如：$2x^2y + 3x^2y = 5x^2y$。
再如
$(-2x+3y)(-2x-3y)$，利用平方差公式得到$4x^2-9y^2$。