2023届湖北省襄阳市第五中学高三上学期暑期返校数学试题(解析版)

湖北省襄阳市第五中学2024届高三第三次适应性测试数学试题一、单选题1．已知集合{}0,1,2A =，{}1,2,3B =，若M A ⊆且M B ⊆，则M 的个数为（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．62．已知153z i =+，254z i =+，下列各式中正确的是A ．12z z >B ．12z z <C ．12z z >D ．12z z < 3．若函数()12x f x b a =++为定义在R 上的奇函数，则实数b =（ ） A ．12B ．12-C ．1D ．-1 4．已知3(,)4πθπ∈，且cos sin θθ-=22cos 1cos()4θπθ-+等于（ ） A．B ．12- C ．12 D5．在如图所示的三棱锥容器S ABC -中，D ，E ，F 分别为三条侧棱上的小洞，::2:1SD DA CF FS ==，BE SE =，若用该容器盛水，则最多可盛水的体积是原三棱锥容器体积的（ ）A ．89B ．79C ．23D ．59 6．已知平面向量a r ，b r 满足2a =r ，a r 与a b -r r 的夹角为120°，记()()1m ta t b t R =+-∈u r r r ，m u r 的取值范围为（ ）A．)+∞ B．)+∞ C ．[)1,+∞ D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7．已知点P 为双曲线()222210x y a b a b-=>>右支上一点，点12,F F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12PF F ∆的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121213IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≥成立，则双曲线的离心率取值范围是A ．(]1,2B ．()1,2C ．(]0,3D ．(]1,38．若对任意()0,x ∈+∞，不等式22ln ln 0x e a a a x --≥恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A B ．e C ．2e D ．2e二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．若函数()πtan 26f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π2，则ω的值为2 B ．函数3sin π2y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（x ∈R ）是偶函数 C ．点5π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数4πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心 D ．函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,π上的单调递增区间是π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．下列结论正确的是（ ）A ．一组样本数据的散点图中，若所有样本点(),i i x y 都在直线0.951y x =+上，则这组样本数据的样本相关系数为0.95B ．已知随机变量()3,4N ξ:，若21ξη=+，则()1D η=C ．在22⨯列联表中，若每个数据a b c d ,,,均变成原来的2倍，则2χ也变成原来的2倍（()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++） D ．分别抛掷2枚质地均匀的骰子，若事件A =“第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，B =“2枚骰子正面向上的点数相同”，则,A B 互为独立事件11．对于正整数n ，)(n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目．函数)(n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，又称为ϕ函数，例如(10)4ϕ=，（10与1，3，7，9均互质）则（ ）A ．(12)(29)32ϕϕ+=B ．数列{}()n ϕ单调递增C ．若p 为质数，则数列{}()n p ϕ为等比数列D ．数列(3)n n ϕ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前4项和等于5827三、填空题12．已知五汛中学弘毅楼共有五层，有西边与东边各两个楼梯，则从一层到五层不同的走法有种．13．已知正实数x ，y 满足474x y +=，则2132x y x y+++的最小值为. 14．在等差数列{}n a 中，若任意两个不等的正整数,k p ，都有21k a p =+，21p a k =+，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若k p m +=，则m S =（结果用m 表示）．四、解答题15．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且11cos cos cos 22b B a Cc A =+． (1)求角B ；(2)若b =c b ≥，求2-c a 的取值范围．16．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 与四边形11A BCD 均为菱形，1160,cos ABC A BC A AB ∠∠===o .(1)证明：平面11A BCD ⊥平面ABCD ；(2)求二面角111A DD C --的正弦值.17．城市大气中总悬浮颗粒物(简称TSP )是影响城市空气质量的首要污染物，我国的《环境空气质量标准》规定，TSP 日平均浓度(单位：3μg/m )在[]0,120时为一级水平，在(]120,300时为二级水平.为打赢蓝天保卫战，有效管控和治理那些会加重TSP 日平均浓度的扬尘污染刻不容缓.扬尘监测仪与智能雾化喷淋降尘系统为城市建筑工地的有效抑尘提供了技术支持.某建筑工地现新配置了智能雾化喷淋降尘系统，实现了依据扬尘监测仪的TSP 日平均浓度进行自动雾化喷淋，其喷雾头的智能启用对应如下表：根据以往扬尘监测数据可知，该工地施工期间TSP 日平均浓度X 不高于380μg/m ，3120μg/m ，3200μg/m ，3300μg/m 的概率分别为0.15，0.35，0.7，0.95.（1）若单个喷雾头能实现有效降尘38m ，求施工期间工地能平均有效降尘的立方米数. （2）若实现智能雾化喷淋降尘之后，该工地施工期间TSP 日平均浓度X 不高于380μg/m ，3120μg/m ，3200μg/m ，3300μg/m 的概率均相应提升了5%，求：①该工地在未来10天中至少有2天TSP 日平均浓度能达到一级水平的概率；(100.60.006≈，结果精确到0.001)②设单个喷雾头出水量一样，如果TSP 日平均浓度达到一级水平时，无需实施雾化喷淋，二级及以上水平时启用所有喷雾头150个，这样设置能否实现节水节能的目的？说明理由.18．已知函数()222cos f x x ax =+.（1）当1a =时，求()f x 的导函数()f x '在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数； （2）若关于x 的不等式()()222cos 2sin x a x af x +≤在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.19．参数方程是以参变量为中介来表示直线或曲线上点的坐标的方程，是直线或曲线在同一坐标系下的另一种表现形式．很多曲线（如心脏线、螺线、玫瑰线）都可以用参数方程呈现．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程式0cos ,sin ,x x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t ∈R 为参数），其中0x ∈R ，角θ为直线l 的倾斜角．曲线C 的参数方程是cos ,sin ,x a y b αα=⎧⎨=⎩（[)0,2παÎ为参数）．其中0a b >>，直线l 与曲线C 相交于M 、N 点．(1)根据以上的参数方程求出直线l 的一般式方程和曲线C 的标准方程；(2)设点()0,0P x ，设点M 对应的参数为0t ，试证明：0PM t =；(3)试问是否存在角θ，使得对于任意的点()0,0P x ，表达式22PM PN +均为定值m ，若存在，请求出2tan 及值m（结果用a，b表示）；若不存在，请说明理由．。

2024-2025学年湖北省襄阳五中高三（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数2+i1−3i 在复平面内对应的点所在的象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知实数a >1，b >0，满足a +b =3，则2a−1+1b 的最小值为( )A. 3+224B. 3+222C. 3+422D. 3+4243.中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃.若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如图，其中O 1O 3=20cm ，O 1O 2=2cm ，AB =16cm ，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是(参考数据：π≈3，铜的密度为8.96g/cm 3)( )A. 1kgB. 2kgC. 3kgD. 0.5kg4.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)=2x −1，则f(log 212)=( )A. −13B. −14C. 13D. 125.在△ABC 中，D 为边BC 上一点，∠DAC =2π3，AD =4，AB =2BD ，且△ADC 的面积为43，则sin∠ABD =( )A.15− 38B.15+ 38C.5− 34D.5+ 346.已知随机事件A ，B 满足P(A)=13，P(A|B)=34，P(B|A)=716，则P(B)=( )A. 14B. 316C. 916D. 41487.直线l 过双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点A ，斜率为12，与双曲线的渐近线分别相交于M ，N 两点，且3AM =AN ，则E 的离心率为( )A.2B.3C. 2D.58.已知函数f(x)=e x −aln(ax−a)+a(a >0)，若存在x 使得关于x 的不等式f(x)<0成立，则实数a 的取值范围( )A. (0,e 2)B. (0,e e )C. (e 2,+∞)D. (e e ,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。

2024-2025学年湖北省襄阳五中高三（上）月考数学试卷（8月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|log 2x ≤1}，B ={y|y =2x ,x ≤2}，则( )A. A ∪B =B B. A ∪B =AC. A ∩B =BD. A ∩(∁R B)=R2.复数z=3+4i2−i (其中i 为虚数单位)的共轭复数−z 在复平面内对应的点在( )A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限3.已知a =(x,2)，b =(2,−1)，且 a ⊥b ，则|a−b |=( )A.5B.10C. 25D. 104.已知sinα=2sin(α+2β)，且tanβ=2，则tan (α+β)=( )A. −6B. −2C. 2D. 65.已知某圆锥的侧面积是其底面积的两倍，则圆锥的高与底面半径的比值为( )A. 3B.3C.15D.56.设函数=f(x)在(−∞,+∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x)={f(x),f(x)≤KK,f(x)>K.取函数f(x)=2−|x|.当K =12时，函数f K (x)的单调递增区间为( )A. (−∞,0)B. (0,+∞)C. (−∞,−1)D. (1,+∞)7.函数f(x)=4sin(3x +2)+2cos(3x +4)在(0,π)上的零点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 48.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1=1，a n +1={a n +1,n 为奇数,2a n ,n 为偶数,则S 100=( )A. 3×251−156B. 3×251−103C. 3×250−156D. 3×250−103二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

襄阳五中高三年级上学期期中考试 试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共小题，每小题5分，共0分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．若集合，，则=A． B． C． D．2．p:“”，命题q:“”若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3．已知，则的值等于 A． B．C．2 D．34．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面，有下列命题①若； ②若；③若；④若；其中正确的命题个数是A．1B．2C．3D．45．已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，，，则数列前10项的和等于A.55 B.70C. 85D. 1006． 令 则A. B. C. D. 7．定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有，且，则的值为A． B．C．0D．18．对任意正整数，定义的双阶乘如下：当为偶数时，当为奇数时，现有四个命题：①， ②，③个位数为0，④个位数为5其中正确的个数为A.1 B.2 C.3 D.49．函数，若（其中、均大于２），则的最小值为A． B． C． D．10．如图，在∠AOB的两边上分别为A1、A2、A3、A4和B1、B2、B3、B4、B5共9个点，连结线段AiBj（1≤i≤4,1≤j≤5），如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，则图中共有“和睦线”的对数是A．60 B．C．72 D．124二、填空题：本大题共5小题. 每小题5分，满分25分. 11．12．展开式中第４项的系数等于 .13．在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对（x，y）的概率是 .　14． 在平面直角坐标系xoy中已知△ABC的顶点A(－6，0) 和C(6，0)，顶点B在双曲线的左支上，则 15．的圆心的极坐标是 ．中，，，若BC=3，DE=2，DF=1，则AB的长为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.16．（本小题满分12分）中，成等差数列，向量向量，求：的取值范围。

襄阳2025届高三上学期10月月考数学试卷（答案在最后）命题人：一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合31A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭Z Z ，则用列举法表示A =（）A.{}2,0,1,2,4- B.{}2,0,2,4- C.{}0,2,4 D.{}2,4【答案】B 【解析】【分析】由题意可得1x -可为1±、3±，计算即可得.【详解】由题意可得1x -可为1±、3±，即x 可为0,2,2,4-，即{}2,0,2,4A =-.故选：B.2.设3i,ia a z +∈=R ，其中i 为虚数单位.则“1a <-”是“z >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简z ，再求出z，令z >求出相应的a 的取值范围，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为23i 3i 3i i ia az a +-===-，所以z =令z >，即>1a >或1a <-，所以1a <-推得出z >，故充分性成立；由z >推不出1a <-，故必要性不成立；所以“1a <-”是“z >”的充分不必要条件.故选：A3.已知向量a ，b 不共线，且c a b λ=+ ，()21d a b λ=++ ，若c 与d 同向共线，则实数λ的值为（）A.1B.12C.1或12-D.1-或12【答案】B 【解析】【分析】先根据向量平行求参数λ，再根据向量同向进行取舍.【详解】因为c与d 共线，所以()2110λλ+-=，解得1λ=-或12λ=.若1λ=-，则c a b =-+，d a b =- ，所以d c =- ，所以c 与d 方向相反，故舍去；若12λ=，则12c a b =+ ，2d a b =+ ，所以2d c = ，所以c与d 方向相同，故12λ=为所求.故选：B4.已知3322x y x y ---<-，则下列结论中正确的是（）A.()ln 10y x -+>B.ln0yx> C.ln 0y x +> D.ln 0y x ->【答案】A 【解析】【分析】构造函数()32xf x x -=-，利用()f x 的单调性可得x y <，进而可得.【详解】由3322x y x y ---<-得3322x y x y ---<-，设()32xf x x -=-，因函数3y x =与2x y -=-都是R 上的增函数，故()f x 为R 上的增函数，又因3322x y x y ---<-，故x y <，()ln 1ln10y x -+>=，故A 正确，因y x，y x +，y x -与1的大小都不确定，故B ，C ，D 错误，故选：A5.从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个组成一个没有重复数字的“五位凹数12345a a a a a ”（满足12345a a a a a >><<），则这样的“五位凹数”的个数为（）A.126个B.112个C.98个D.84个【答案】A 【解析】【分析】利用分步乘法计数原理可得.【详解】第一步，从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个共有57C 种方法，第二步，选出的5个数中，最小的为3a ，从剩下的4个数中选出2个分给12,a a ，由题意可知，选出后1245,,,a a a a 就确定了，共有24C 种方法，故满足条件的“五位凹数”5274C C 126=个，故选：A6.若数列{}n a 满足11a =，21a =，12n n n a a a --=+（3n ≥，n 为正整数），则称数列{}n a 为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论成立的是（）A.78a =B.135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=C.754S =D.24620202021a a a a a +++⋅⋅⋅+=【答案】B 【解析】【分析】按照斐波那契数列的概念，找出规律,得出数列的性质后逐个验证即可.【详解】解析：按照规律有11a =，21a =，32a =，43a =，55a =，68a =，713a =，733S =，故A 、C 错；21112123341n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a S ++--------=+=+++=+++++==+ ，则202020181220183520191352019111a S a a a a a a a a a a =+=++++=++++=++++ ，故B 对；24620202234520182019a a a a a a a a a a a ++++=+++++++ 1234520182019201920211a a a a a a a S a =+++++++==- ，故D 错．故选:B ．7.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A ，B 是椭圆C 上的两点．若122F A F B = ，且12π4AF F ∠=，则椭圆C 的离心率为（）A.13B.23C.33D.23【答案】B 【解析】【分析】设1AF =，结合题意可得2AF ，根据椭圆定义整理可得22b c m -=，根据向量关系可得1F A ∥2F B ，且2BF =2b c m+=，进而可求离心率.【详解】由题意可知：()()12,0,,0F c F c -，设1,0AF m =>，因为12π4AF F ∠=，则()2,2A c m m -+，可得2AF =由椭圆定义可知：122AF AF a +=，即2a =，整理可得22b c m-=；又因为122F A F B = ，则1F A ∥2F B ，且2112BF AF ==，则(),B c m m +，可得1BF =由椭圆定义可知： 䁕2a =，2bcm+=；即2c c-=+3c=，所以椭圆C的离心率3cea==.故选：B.【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(离心率范围)的求法求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．8.圆锥的表面积为1S，其内切球的表面积为2S，则12SS的取值范围是（）A.[)1,+∞ B.[)2,+∞C.)∞⎡+⎣ D.[)4,+∞【答案】B【解析】【分析】选择OBC∠（角θ）与内切球半径R为变量，可表示出圆锥底面半径r和母线l，由圆锥和球的表面积公式可得()122212tan1tanSSθθ=-，再由2tan(0,1)tθ=∈换元，转化为求解二次函数值域，进而得12SS的取值范围.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，圆锥内切球半径为R，如图作出圆锥的轴截面，其中设O为外接圆圆心，,D E为切点，,AB AC为圆锥母线，连接,,,OB OD OA OE.设OBCθ∠=，tanRrθ=，0tan1θ<<tanRrθ∴=.OD AB⊥，OE BC⊥，πDBE DOE∴∠+∠=，又πAOD DOE∠+∠=，2AOD DBE θ∴∠=∠=，tan 2AD R θ∴=，22tan 2tan Rl r AD BD r AD r R θθ∴+=++=+=+，则圆锥表面积()21πππS r rl r l r =+=+，圆锥内切球表面积224πS R =，所求比值为()212222π2tan 21tan 1tan tan 4π2tan 1tan R R R S S R θθθθθθ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭==-，令2tan 0t θ=>，则()2211()2122222g t t t t t t ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，则10()2g t <≤，且当12t =时，()g t 取得最大值12，故122S S ≥，即12S S 的取值范围是[)2,+∞.故选：B.【点睛】关键点点睛：求解立体几何中的最值问题一般方法有两类，一是设变量（可以是坐标，也可以是关键线段或关键角）将动态问题转化为代数问题，利用代数方法求目标函数的最值；二是几何法，利用图形的几何性质，将空间问题平面化，将三维问题转化为二维问题来研究，以平面几何中的公理、定义、定理为依据，以几何直观为主要手段直接推理出最值状态何时取到，再加以求解.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设A ，B 为随机事件，且()P A ，()P B 是A ，B 发生的概率.()P A ，()()0,1P B ∈，则下列说法正确的是（）A.若A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋃=+B.若()()()P AB P A P B =，则A ，B 相互独立C .若A ，B 互斥，则A ，B 相互独立D.若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =【答案】ABD 【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A 选项；由相互独立事件的概念可判断B 选项；由互斥事件和相互独立事件的概念可判断C 选项；由相互独立事件的概念，可判断D 选项.【详解】对于选项A ，若,A B 互斥，根据互斥事件的概率公式，则()()()P A B P A P B ⋃=+，所以选项A 正确，对于选项B ，由相互独立事件的概念知，若()()()P AB P A P B =，则事件,A B 是相互独立事件，所以选项B 正确，对于选项C ，若,A B 互斥，则,A B 不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件A ：“正面朝上”，事件B ：“反面朝上”，事件A 与事件B 互斥，但()0P AB =，1()()2P A P B ==，不满足相互独立事件的定义，所以选项C 错误，对于选项D ，由相互独立事件的定义知，若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =，所以选项D 正确，故选：ABD.10.已知函数()sin sin cos 2f x x x x =-，则（）A.()f x 的图象关于点(π,0)对称B.()f x 的值域为[1,2]-C.若方程1()4f x =-在(0,)m 上有6个不同的实根，则实数m 的取值范围是17π10π,63⎛⎤⎥⎝⎦D.若方程[]22()2()1(R)f x af x a a -+=∈在(0,2π)上有6个不同的实根(1,2,,6)i x i = ，则61ii ax=∑的取值范围是(0,5π)【答案】BCD 【解析】【分析】根据(2π)()f f x =-是否成立判断A ，利用分段函数判断BC ，根据正弦函数的单调性画出分段函数()f x 的图象，求出的取值范围，再利用对称性判断D.【详解】因为()sin sin cos 2f x x x x =-，所以(2π)sin(2π)sin(2π)cos 2(2π)sin sin cos 2()f x x x x x x x f x -=----=--≠-，所以()f x 的图象不关于点(π,0)对称，故A 错误；当sin 0x ≥时，()222()sin 12sin 3sin 1f x x x x =--=-，由[]sin 0,1x ∈可得[]()1,2f x ∈-，当sin 0x <时，()222()sin 12sin sin 1f x x x x =---=-，由[)sin 1,0x ∈-可得(]()1,0f x ∈-，综上[]()1,2f x ∈-，故B 正确：当sin 0x ≥时，由21()3sin 14f x x =-=-解得1sin 2x =，当sin 0x <时，由21()sin 14f x x =-=-解得3sin 2x =-，所以方程1()4f x =-在(0,)+∞上的前7个实根分别为π6，5π6，4π3，5π3，13π6，17π6，10π3，所以17π10π63m <≤，故C 正确；由[]22()2()1f x af x a -+=解得()1f x a =-或()1f x a =+，又因为()223sin 1,sin 0sin 1,sin 0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，所以根据正弦函数的单调性可得()f x 图象如图所示，所以()1f x a =-有4个不同的实根，()1f x a =+有2个不同的实根，所以110012a a -<-<⎧⎨<+<⎩，解得01a <<，设123456x x x x x x <<<<<，则1423πx x x x +=+=，563πx x +=，所以615πii x==∑，所以61i i a x =∑的取值范围是(0,5π)，故D 正确.故选：BCD.11.在平面直角坐标系中，定义(){}1212,max ,d A B x x y y =--为两点()11,A x y 、()22,B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称(),d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(),d P l ，给出下列四个命题，正确的是（）A .对任意三点,,A B C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；B.已知点()2,1P 和直线:220l x y --=，则()83d P l =,；C.到定点M 的距离和到M 的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.D.定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()()12,,2220d P F d P F a c a =>>-，则点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点.【答案】AD 【解析】【分析】对于选项A ，根据新定义，利用绝对值不等性即可判断；对于选项B ，设点Q 是直线21y x =-上一点，且(,21)Q x x -，可得()1,max 2,22d P Q x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，讨论|2|x -，1|2|2x -的大小，可得距离d ，再由函数的性质，可得最小值；对于选项C ，运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；对于选项D ，根据定义得{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断．【详解】A 选项，设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y ，由题意可得：()(){}{},,max ,max ,,A C A CBC B C A C B C A B d C A d C B x x y y x x y y x x x x x x +=--+--≥-+-≥-同理可得：()(),,A B d C A d C B y y +≥-，则：()(){}(),,max ,,A B A B d C A d C B x x y y d A B +≥--=，则对任意的三点A ，B ，C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；故A 正确；B 选项，设点Q 是直线220x y --=上一点，且1,12Q x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得()1,max 2,22d P Q x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，由1222x x -≥-，解得0x ≤或83x ≥，即有(),2d P Q x =-，当83x =时，取得最小值23；由1222x x -<-，解得803x <<，即有()1,22d P Q x =-，(),d P Q 的范围是2,23⎛⎫⎪⎝⎭，无最值，综上可得，P ，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为23，故B 错误；C 选项，设(),M a b{}max ,x a y b =--，若y b x a -≥-，y b =-，两边平方整理得x a =；此时所求轨迹为x a =(y b ≥或)y b ≤-若y b x a -<-，则x a =-，两边平方整理得y b =；此时所求轨迹为y b =(x a ≥或)x a ≤-，故没法说所求轨迹是正方形，故C 错误；D 选项，定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()12,,2d P F d P F a -=（220c a >>），则：{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x ≥0，y ≥0.(1)当x c yx c y ⎧+≥⎪⎨-≥⎪⎩时，有2x c x c a +--=，得：0x a y a c =⎧⎨≤≤-⎩；(2)当x c y x c y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩时，有02a =，此时无解；(3)当x c y x c y⎧+>⎪⎨-<⎪⎩时，有2,x c y a a x +-=<；则点P 的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.结合图像可知，点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点，故D 正确.故选：AD.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若)nax的展开式的二项式系数和为32，且2x -的系数为80，则实数a 的值为________．【答案】 【解析】【分析】由二项式系数和先求n ，再利用通项53215C ()r r rr T a x -+=-得到2x -的指数确定r 值，由2x -的系数为80，建立关于a 的方程求解可得.【详解】因为)na x-的展开式的二项式系数和为32，所以012C C C C 232nnn n n n ++++== ，解得5n =.所以二项式展开式的通项公式为5352155C ()C ()rr rr r rr a T a x x--+=-=-，由5322r-=-，解得3r =，所以2x -的系数为3335C ()1080a a -=-=，解得2a =-.故答案为：2-.13.已知函数()()()2f x x a x x =--在x a =处取得极小值，则a =__________.【答案】1【解析】【分析】求得()()()221f x x x x a x =-+--'，根据()0f a ¢=，求得a 的值，结合实数a 的值，利用函数的单调性与极值点的概念，即可求解.【详解】由函数()()()2f x x a x x =--，可得()()()221f x x x x a x =-+--'，因为x a =处函数()f x 极小值，可得()20f a a a =-='，解得0a =或1a =，若0a =时，可得()(32)f x x x '=-，当0x <时，()0f x '>；当203x <<时，()0f x '<；当23x >时，()0f x '>，此时函数()f x 在2(,0),(,)3-∞+∞单调递增，在2(0,)3上单调递减，所以，当0x =时，函数()f x 取得极大值，不符合题意，（舍去）；若1a =时，可得()(1)(31)f x x x '=--，当13x <时，()0f x '>；当113x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，此时函数()f x 在1(,),(1,)3-∞+∞单调递增，在(0,1)上单调递减，所以，当1x =时，函数()f x 取得极小值，符合题意，综上可得，实数a 的值为1.故答案为：1.14.数学老师在黑板上写上一个实数0x ，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数0x 乘以2-再加上3得到1x ，并将0x 擦掉后将1x 写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数0x 除以2-再减去3得到1x ，也将0x 擦掉后将1x 写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为2x ．现已知20x x >的概率为0.5，则实数0x 的取值范围是__________．【答案】()(),21,-∞-+∞ 【解析】【分析】构造函数()23f x x =-+，()32xg x =--，由两次复合列出不等式求解即可.【详解】由题意构造()23f x x =-+，()32xg x =--，则有()()43f f x x =-，()()9f g x x =+，()()92g f x x =-，()()342x g g x =-．因为()()f g x x >，()()g f x x <恒成立，又20x x >的概率为0.5，所以必有43,3,42x x x x ->⎧⎪⎨-≤⎪⎩或者43,3,42x x x x -≤⎧⎪⎨->⎪⎩解得()(),21,x ∈-∞-⋃+∞．故答案为：()(),21,-∞-+∞ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-.（1）求B ；（2）若ABC的面积为4，且2AD DC = ，求BD 的最小值.【答案】（1）π3（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-，再结合余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，从而可求解.（2）结合ABC V 的面积可求得3ac =，再由112333BD BC CA BA BC =+=+ ，平方后得，()222142993BD c a =++ ，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得()()()b c b c a c a +-=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC V 的面积为33π,43B =，所以133sin 24ac B =，所以3ac =.因为()11123333BD BC CA BC BA BC BA BC =+=+-=+，所以()()()()22222221421441422cos 999999993BD BA BC BA BC c a ac B c a =++⋅⋅=++=++ ，所以2214212222993333c a c a ++≥⋅⋅+=，当且仅当6,2a c ==时取等号，所以BD .16.已知抛物线2:2(0)E y px p =>与双曲线22134x y -=的渐近线在第一象限的交点为Q ，且Q 点的横坐标为3．（1）求抛物线E 的方程；（2）过点(3,0)M -的直线l 与抛物线E 相交于,A B 两点，B 关于x 轴的对称点为B '，求证：直线AB '必过定点．【答案】（1）24y x =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由双曲线求其渐近线方程，求出点Q 的坐标，由此可求抛物线方程；（2）联立直线AB 的方程与抛物线方程可得关于x 的一元二次方程，设 ， ，()22,B x y '-，根据韦达定理求出12124,12y y m y y +==，求出直线AB '的方程并令0y =，求出x 并逐步化简可得3x =，则直线AB '过定点(3,0).【小问1详解】设点Q 的坐标为()03,y ，因为点Q 在第一象限，所以00y >，双曲线22134x y -=的渐近线方程为233y x =±，因为点Q在双曲线的渐近线上，所以0y =，所以点Q的坐标为(3,，又点(3,Q 在抛物线22y px =上，所以1223p =⨯，所以2p =，故抛物线E 的标准方程为：24y x =；【小问2详解】设直线AB 的方程为3x my =-，联立243y xx my ⎧=⎨=-⎩，消x 得，24120y my -+=，方程24120y my -+=的判别式216480m ∆=->，即230m ->，设 ， ，则12124,12y y m y y +==，因为点A 、B 在第一象限，所以121240,120y y m y y +=>=>，故0m >，设B 关于x 轴的对称点为()22,B x y '-，则直线AB '的方程为212221()y y y y x x x x ---+=-，令0y =得：212221x x x y x y y -=+-⨯-122121x y x y y y +=+()()12211233y my y my y y -+-=+()21121223my y y y y y -+=+241212344m m mmm-===．直线AB '过定点(3,0)．【点睛】方法点睛：联立直线AB 的方程与抛物线方程可得关于x 的一元二次方程，设 ， ，()22,B x y '-，根据韦达定理求出12124,12y y m y y +==，求出直线AB '的方程并令0y =，求出x 并逐步化简可得3x =，则直线AB '过定点(3,0).17.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，,E F 分别为,AD BC 的中点，沿EF 将四边形EFCD 折起，使二面角A EF C --的大小为60°，点M 在线段AB 上．（1）若M 为AB 的中点，且直线MF 与直线EA 的交点为O ，求OA 的长，并证明直线OD //平面EMC ；（2）在线段AB 上是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°；若存在，求此时二面角M EC F --的余弦值，若不存在，说明理由．【答案】（1）2OA =；证明见解析.（2）存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°；此时二面角M EC F --的余弦值为14.【解析】【分析】（1）根据中位线性质可求得OA ，由//MN OD ，结合线面平行判定定理可证得结论；（2）由二面角平面角定义可知60DEA ∠=︒，取AE ，BF 中点O ，P ，由线面垂直的判定和勾股定理可知OD ，OA ，OP 两两互相垂直，则以O 为坐标原点建立空间直角坐标系；设()1,,0M m ()04m ≤≤，利用线面角的向量求法可求得m ；利用二面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】,E F 分别为,AD BC 中点，////EF AB CD ∴，且2AE FB ==，又M 为AB 中点，且,AB OE AB BF ⊥⊥，易得OAM FBM ≅ ，2OA FB AE ∴===，连接,CE DF ，交于点N ，连接MN ，由题设，易知四边形CDEF 为平行四边形，N Q 为DF 中点，//,AM EF A 是OE 的中点，M ∴为OF 中点，//MN OD ∴，又MN ⊂平面EMC ，OD ⊄平面EMC ，//OD ∴平面EMC ；【小问2详解】////EF AB CD ，EF DE ⊥ ，EF AE ⊥，又DE ⊂平面CEF ，AE ⊂平面AEF ，DEA ∴∠即为二面角A EF C --的平面角，60DEA ∴=︒∠；取,AE BF 中点,O P ，连接,OD OP ，如图，60DEA ∠=︒ ，112OE DE ==，2414cos 603OD ∴=+-︒=，222OD OE DE +=，OD AE ∴⊥，//OP EF ，OP DE ⊥，OP AE ⊥，又,AE DE ⊂平面AED ，AE DE E = ，OP ∴⊥平面AED ，,OD AE ⊂ 平面AED ，,OD OP AE OP ∴⊥⊥，则以O 为坐标原点，,,OA OP OD方向为,,x y z轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示，则(D ，()1,0,0E -，()1,4,0F -，(0,C ，设()()1,,004M m m ≤≤，则(1,0,DE =-，()2,,0EM m =，(1,EC = ，设平面EMC 的法向量，则1111111·20·40EM n x my EC n x y ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩，令12y =，则1x m =-，1z=1,m m ⎛∴=- ⎝，∵直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ，·sin 60cos ,·DE n DE n DE n∴︒==11132=，解得1m =或3m =，存在点M ，当1AM =或3AM =时，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ；设平面CEF 的法向量()2222,,n x yz =，又(1,EC = ，(FC =，2222222·40·0EC n x y FC n x ⎧=++=⎪∴⎨=+=⎪⎩ ，令21z =，则2x =，20y =，()2m ∴=；当1m =时，11,2,n ⎛=- ⎝，12121243·13cos ,84·2n n n n n n ∴=== ；当3m =时，23,2,n ⎛=- ⎝，12121243·13cos ,84·2n n n n n n ∴=== ；综上所述：二面角M EC F --的余弦值为14.【点睛】关键点点睛：本题第二步的关键在于证明三线互相垂直，建立空间直角坐标系，设出动点M 的坐标，熟练利用空间向量的坐标运算，求法向量，求二面角、线面角是解题的关键.18.已知函数()12ex xf x x λ-=-.（1）当1λ=时，求()f x 的图象在点 h 处的切线方程；（2）若1x ≥时，()0f x ≤，求λ的取值范围；（3）求证：()1111111232124e 2e*n n n n nnn +++-+++->∈N .【答案】（1）0y =（2）[)1,+∞（3）证明见详解【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）根据题意，由条件式恒成立分离参数，转化为212ln xx xλ≥+，求出函数()212ln x g x x x =+的最大值得解；（3）先构造函数()12ln x x x x ϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，可得()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，迭代累加可证得结果.【小问1详解】当1λ=时，()12ex xf x x -=-，h t ，则()12121e x x f x x x -⎛⎫=-+ ⎪⎝'⎭，则()0122e 0f =-='，所以()f x 在点 h 处的切线方程为0y =.【小问2详解】由1x ≥时，()0f x ≤，即12e0x xx λ--≤，整理得212ln x x xλ≥+，对1x ≥恒成立，令()212ln x g x x x =+，则()()42321ln 222ln x x x x x g x x x x---=-+'=，令()1ln h x x x x =--，1x ≥，所以()ln 0h x x '=-≤，即函数 在1x ≥上单调递减，所以()()10h x h ≤=，即()0g x '≤，所以函数()g x 在1x ≥上单调递减，则()()11g x g ≤=，1λ∴≥.【小问3详解】设()12ln x x x xϕ=-+，1x >，则()()222221212110x x x x x x x xϕ---+-='=--=<，所以 在 ∞上单调递减，则()()10x ϕϕ<=，即12ln 0x x x-+<，11ln 2x x x ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，*N n ∈，可得1111111ln 1112211n n n n n ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫+<+-=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎪+⎝⎭，所以()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，()()111ln 2ln 1212n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，()()111ln 3ln 2223n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，…()()111ln 2ln 212212n n n n ⎛⎫--<+ ⎪-⎝⎭，以上式子相加得()112221ln 2ln 212212n n n n n n n ⎛⎫-<+++++ ⎪++-⎝⎭，整理得，11111ln 2412212n n n n n-<++++++-L ，两边取指数得，11111ln 2412212e e n n n n n -++++++-<L ，即得111114122122e e n n n n n -++++-<L ，()*Nn ∈得证.【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是先构造函数()12ln x x x xϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，得到()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭.19.已知整数4n ，数列{}n a 是递增的整数数列，即12,,,n a a a ∈Z 且12n a a a <<<．数列{}n b 满足11b a =，n n b a =．若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i b a --等于同一个常数k ，则称数列{}n b 为{}n a 的“左k 型间隔数列”；若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i a b +-等于同一个常数k ，则称数列{}n b 为{}n a 的“右k型间隔数列”；若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i a b k +-=或者1i i b a k --=，则称数列{}n b 为{}n a 的“左右k 型间隔数列”．（1）写出数列{}:1,3,5,7,9n a 的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）已知数列{}n a 满足()81n a n n =-，数列{}n b 是{}n a 的“左k 型间隔数列”，数列{}n c 是{}n a 的“右k 型间隔数列”，若10n =，且有1212n n b b b c c c +++=+++ ，求k 的值；（3）数列{}n a 是递增的整数数列，且10a =，27a =．若存在{}n a 的一个递增的“右4型间隔数列{}n b ”，使得对于任意的{},2,3,,1i j n ∈- ，都有i j i j a b b a +≠+，求n a 的关于n 的最小值（即关于n 的最小值函数()f n ）．【答案】（1）1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．（2）80k =（3）()()382n n f n -=+【解析】【分析】（1）由“左右k 型间隔数列”的定义，求数列{}:1,3,5,7,9n a 的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）根据“左k 型间隔数列”和“右k 型间隔数列”的定义，由1212n n b b b c c c +++=+++ ，则有1291016a a k a a ++=+，代入通项计算即可；（3）由“右4型间隔数列”的定义，有144i i i b a a +=->-，可知{}3i i b a nn -∈≥-∣，则有()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ，化简即可．【小问1详解】数列{}:1,3,5,7,9n a 的“左右1型间隔数列”为1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．【小问2详解】由12101210b b b c c c +++=+++ ，可得239239b b b c c c +++=+++ ，即128341088a a a k a a a k ++++=+++- ，即1291016a a k a a ++=+，即16168988109k +=⨯⨯+⨯⨯，所以80k =．【小问3详解】当{}2,3,,1i n ∈- 时，由144i i i b a a +=->-，可知{}3i i b a nn -∈≥-∣．又因为对任意{},2,3,,1i j n ∈- ，都有i j i j a b b a +≠+，即当{}2,3,,1i n ∈- 时，i i b a -两两不相等．因为()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()2233117444n n b a b a b a --=++-++-+++- ()()()()223311742n n n b a b a b a --=+-+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ()382n n -=+．所以n a 的最小值函数()()382n n f n -=+．另外，当数列䁕 的通项()0,1,38,2,2i i a i i i n =⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩间隔数列 的通项(),1,13,21,2i i a i i n b i i i n ==⎧⎪=⎨-+≤≤-⎪⎩或时也符合题意．【点睛】方法点睛：在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!。

襄阳市第五中学2023届高三上学期暑期返校考试数学试卷一、单选题1．设集合{}lg A y y x ==，{B x y ==，则A B = （）A ．[0.)+∞B ．(,1]-∞C ．[0,1]D ．(0,1]2．若ππ2θ<<，tan 3θ=-1sin 2cos 2sin cos θθθθ++-=（）A ．35-B ．54-C ．45-D ．453．给出下列三个命题：①命题“0x ∀>，有1x e ≥”的否定为：“00,x ∃≤01x e <”；②已知向量(6,2)a =与(3,)b k =- 的夹角是钝角，则实数k 的取值范围是9k <；③函数()f x =[1,)+∞；其中错误命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．34．如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点P 距地面的距离，小明同学在场馆内的A 点测得P 的仰角为30︒，120ABO ∠=︒，30BAO ∠=︒，60AB =（单位：m ），（点,,A B O 在同一水平地面上），则大跳台最高高度OP =（）A ．45mB ．C ．60mD ．5．函数3y =）A ．B ．C ．D ．6．已知函数()()1e xf x x =+，过点M （1，t ）可作3条与曲线()y f x =相切的直线，则实数t 的取值范围是（）A ．24,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．242,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．36,2e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．36,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭7．设()f x '是定义在R 上的连续的函数()f x 的导函数，()()2e 0xf x f x '-+<（e 为自然对数的底数），且()224e f =，则不等式()2e xf x x >的解集为（）A ．()()2,02,-+∞B ．()e,+∞C ．()2,+∞D ．()(),22,∞∞--⋃+8．已知实数α，β满足3e 1αα-=，()4ln 1e ββ-=，其中e 是自然对数的底数，则αβ的值为（）A ．3e B ．32e C ．42e D ．4e 二、多选题9．在ABC 中，下列说法正确的有（）A ．若222a b c <+，则为锐角三角形B ．若222a b c >+，则为钝角三角形C ．若A B >.则sin sin A B >D ．cos cos a b C c B=+10．已知0,0x y >>，且3x y +=，则下列结论中正确的是（）A ．ln ln +x y 有最大值94B ．222x y +有最小值3C ．41x y +有最小值43D ．2xy 有最大值411．函数()cos()(0,0)f x x ωϕωπϕ=+>-<<的部分图像如图所示，下列说法正确的是（）A ．()f x 图像的一条对称轴可能为直线43x π=B ．函数()f x 的解折式可以为()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()f x 的图像关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()f x 在区间1723,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增12．已知函数(),115ln ,1xx x f x x x x⎧<⎪⎪-=⎨⎪≥⎪⎩，下列选项正确的是（）A ．函数()f x 的单调减区间为(),1-∞、()e,+∞B ．函数()f x 的值域为(),1-∞C ．若关于x 的方程()()20f x a f x -=有3个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是5,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．若关于x 的方程()()20f x a f x -=有5个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是51,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、填空题13．若正数a ，b 满足21a b +=，则222a ba b+--的最小值是__．14．已知函数()()21,9321x x x x f x g x t -==-⋅+，若存在实数,a b 同时满足()()0f a f b +=和()()0g a g b +=，则实数t 的取值范围为___________.15．已知()sin 2sin 2βαβ=+，且()(),22k k k k ππαβπα+≠+∈≠∈Z Z ，则()tan tan αβα+=___________.16．如图，正方形ABCD 的边长为10米，以点A 为顶点，引出放射角为π6的阴影部分的区域，其中EAB x ∠=，ππ124x ≤≤，记AE ，AF 的长度之和为()f x ．则()f x 的最大值为___________．四、解答题17．在锐角ABC 中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，从条件①：3sin cos tan 4A A A =，12=，条件③：2cos cos cos a A b C c B -=这三个条件中选择一个作为已知条件．(1)求角A 的大小；(2)若2a =，求ABC 周长的取值范围．18．已知数列{}n a 的首项为3，且()()1122n n n n a a a a ++-=--．(1)证明数列12n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式；(2)若()11nnn a b n =-+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，3BAD π∠=，Q 为AD 的中点，2PA PD AD ===．(1)点M 在线段PC 上，13PM PC =，求证：PA ∥平面MQB ；(2)在（1）的条件下，若3PB =，求直线PD 和平面MQB 所成角的余弦值．20．为落实教育部的双减政策，义务教育阶段充分开展课后特色服务.某校初中部的篮球特色课深受学生喜爱，该校期末将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在M 处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在N 处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分.测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮.甲､乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在M 处和N 处各投10次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如下图表：若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率.(1)已知该校有300名学生的投篮水平与甲同学相当，求这300名学生通过测试人数的数学期望；(2)在甲､乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()0,2M 是椭圆C 的一个顶点，12F MF △是等腰直角三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，且128k k +=，证明：直线AB 过定点．22．已知函数2()2(1)e x f x a x x =--（其中,e a ∈R 为自然对数的底数）．(1)讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，2(1)ln 3f x x x x +>---，求a 的取值范围．襄阳市第五中学2023届高三上学期暑期返校考试数学试卷答案1．B集合A 表示函数lg y x =的值域，即为R ,集合B表示函数y =10x -≥，解得1x ≤，所以{}1A B x x ⋂=≤，2．C 因为ππ2θ<<，tan 3θ=-，所以cos 0θ<，sin 0θ>，22cos 2cos sin sin cos θθθθθ+-++-=()222cos sin cos 2cos θθθθ-+-==22222222cos sin 1tan 194cos sin cos sin 1tan 195θθθθθθθθ---=-====-+++．3．D解：对于①，命题“0x ∀>，有1x e ≥”的否定为:“00,x ∃>01x e <”，故①错误；对于②，由向量(6,2)a = 与(3,)b k =- 的夹角是钝角，可知·0a b < 且cos,1a b ≠- 〈〉，②没有考虑cos ,1,66,1a b k k ≠-≠-≠- 的情况，故②错误；对于③，函数()f x =2280x x --≥，解得函数定义域为4x ≥或2x ≤-，所以函数的单调递增区间为4x ≥，故③错误；4．C在ABO 中,120ABO ∠=︒，30BAO ∠=︒，所以30AOB ︒∠=，又60AB =，由正弦定理可得,sin sin ABAO AOB ABO =∠∠,60sin 21sin 2AB ABOAO AOB⨯∠===∠,在Rt APO中，tan 30=3OP AO ︒=,所以，60OP =（m ）5．A函数3y =的定义域为{}1x x ≠±当2x =时，30y =，可知选项D 错误；当2x =-时，30y <，可知选项C 错误；当12x =时，311220y ⎛⎫-⎪=<，可知选项B 错误，选项A 正确.6．D设切点为(,(1)e )a a a +，由()()1e x f x x =+，得()()()e 1e 2e x x xf x x x '=++=+，所以切线的斜率为()()2e ak f a a '==+，所以切线方程为(1)e (2)e ()a a y a a x a -+=+-，因为点M （1，t ）在切线上，所以(1)e (2)e (1)a a t a a a -+=+-，化简整理得2(3)e a t a =-，令2()(3)e x g x x =-，则2()(32)e (1)(3)e x x g x x x x x '=--=--+，所以当3x <-或1x >时，()0g x '<，当31x -<<时，()0g x '>，所以()g x 在(,3)-∞-和(1,)+∞上递减，在(3,1)-上递增，所以()g x 的极小值为336(3)(39)e e g --=-=-，极大值为(1)2e g =，当3x <-时，()0g x <，所以()g x 的图象如图所示，因为过点M （1，t ）可作3条与曲线()y f x =相切的直线，所以()y g x =的图象与直线y t =有三个不同的交点，所以由图象可得360e t -<<，7．C设()()2e x f x g x x =-，则()()()()()2e 2e exx xf x f x f x f xg x ''---'=-=，∵()()2e 0xf x f x '-+<，∴()0g x '>，函数()g x 在R 上单调递增，又()224e f =，∴()()22240e f g =-=,由()2e xf x x >，可得()20e xf x x ->，即()()02g x g >=，又函数()g x 在R 上单调递增，所以2x >，即不等式()2e xf x x >的解集为()2,+∞.8．D因为3e 1αα-=，所以3e e αα=，所以ln 3αα+=．因为()4ln 1e ββ-=，所以()ln ln ln 14ββ+-=．联立()()ln 30ln 1ln ln 130ααββ+-=⎧⎨-+--=⎩，所以α与ln 1β-是关于x 的方程ln 30x x +-=的两根．构造函数()ln 3f x x x =+-，该函数的定义域为()0,+∞，且该函数为增函数，由于()()ln 10f f αβ=-=，所以ln 1αβ=-，又ln 30αα+-=，所以ln 1ln 30βα-+-=，即()ln 4αβ=，解得4e αβ=．9．BCD对于A ，222cos 02b c a A bc+-=>，而A 为三角形内角，故A 为锐角，但此时不能得到ABC 为锐角三角形，故A 错误.对于B ，222cos 02b c a A bc+-=<，而A 为三角形内角，故A 为钝角，此时ABC 为钝角三角形，故B 正确.对于C ，若A B >，则a b >，故2sin 2sin R A R B >即sin sin A B >，故C 正确.对于D ，222222cos cos 22a b c a c b b C c B b c a ab ac+-+-+=⨯+⨯=，故D 正确.10．BD对于A 选项，因为0,0x y >>，且3x y +=，所以由3+=≥x y 94≤xy ，当且仅当32x y ==时等号成立，9ln ln ln ln 4+=≤x y xy .故A 错误；对于B 选项，由22222233(3)69(2)332222+=+-=-+=-+≥x x y x x x x ，当且仅当2,1x y ==时等号成立，故B 正确；对于C 选项，因为41()41453333333⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎝⎭x y y x x y x y 所以413+≥x y ，当且仅当433=y xx y即2,1x y ==时等号成立，故C 错误对于D 选项，因为2232()(3)3,(03)==-=-+<<f y xy y y y y y ，令2()360=-'+=f y y y ，解得2y =或0y =（舍），令2()360=-'+>f y y y ，解得02y <<，令2()360f y y y '=-+<，解得23y <<，故32max ()(2)2324==-+⨯=f y f ，此时1,2x y ==，故D 正确11．BC由图象可知352463T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，得2T π=，所以212πωπ==，所以()cos()f x x ϕ=+，因为函数图象过点5,16π⎛⎫⎪⎝⎭，所以5cos 16πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以52,Z 6k k πϕπ+=∈，得52,Z 6k k πϕπ=-∈，因为0πϕ-<<，所以56π=-ϕ，所以5()cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ，因为445cos cos 013362f ππππ⎛⎫⎛⎫=-==≠± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以43x π=不是()f x 图象的一条对称轴，所以A 错误，对于B ，55()cos cos cos sin sin 662333f x x x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==+-=--=- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以B 正确，对于C ，因为445cos cos 03362f ππππ⎛⎫⎛⎫=-==⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以C 正确，对于D ，由522,Z 6k x k k ππππ-+≤-≤∈，得522,Z 66k x k k ππππ-+≤≤+∈，当1k =时，111766x ππ≤≤，当2k =时，232966x ππ≤≤，可知函数在1117,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2329,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，所以函数在1723,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以D 错误，12．ACD对于A 选项，当1x <时，()1x f x x =-，则()()2101f x x '=-<-，当1x ≥时，()5ln xf x x =，则()()251ln x f x x-'=，由()0f x '<可得e x >，所以，函数()f x 的单调减区间为(),1-∞、()e,+∞，A 对；对于B 选项，当1x <时，()1111f x x =+<-，当1x ≥时，()()5ln 50e ex f x f x ≤=≤=，因此，函数()f x 的值域为5,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B 错；对于CD 选项，作出函数()f x 的图像如下图所示：若0a ≤，由()()20f x a f x -=可得()0f x =，则方程()0f x =只有两个不等的实根；若0a >，由()()20f x a f x -=可得()0f x =或()f x a =或()f x a =-，由图可知，方程()0f x =有2个不等的实根，方程()f x a =-只有一个实根，若关于x 的方程()()20f x a f x -=有3个不相等的实数根，则5ea >，C 对；若关于x 的方程()()20f x a f x -=有5个不相等的实数根，则51ea ≤<，D 对.13．22132-设22,2u a v b =-=-，则2,22ua b v -==-，可得3(,0)u v u v +=>，所以11212311232()()222232u a b v u v a b u v u v u v --+=+=+-=++---123123223221(3))132323232v u v u u v u v =++-≥+⋅-=+-=-，当且仅当62,23v u =-=时，等号成立，取得最小值．故答案为：22132-．14．[)1,+∞()f x 的定义域是R ，且()()21221112x xx x f x f x ----===-++-，()f x \为R 上的奇函数，又()()0f a f b +=b a∴=-()()0g a g a ∴+-=93930a a a a t t --∴-⋅+-⋅=有解，即()()2333320a a a a t --+-+-=有解，即()23322333333a aa a a aa at ----+-==+-++令()332a am m -=+≥，则2t m m=-在[)2,+∞有解，令()()22h m m m m =-≥，则()2210h m m'=+>，()h m ∴在[)2,+∞上单调递增，()()22212h m h ∴≥=-=，所以1t ≥，所以实数t 的取值范围为[)1,+∞，故答案为：[)1,+∞15．3-()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+，()()()()2sin 22sin 2sin cos 2cos sin αβαβααβααβα+=++=+++，则()()()()sin cos cos sin 2sin cos 2cos sin αβααβααβααβα+-+=+++，即()()sin cos 3cos sin 0αβααβα+++=，又()(),22k k k k ππαβπα+≠+∈≠∈Z Z ，则()cos 0,cos 0,tan 0αβαα+≠≠≠，则()()()()sin cos 3cos sin 0cos cos cos cos αβααβααβααβα+++=++，即()tan 3tan 0αβα++=，则()tan 3tan αβα+=-.故答案为：3-.16．由题设，10cos cos AB AE x x ==，ππ124x ≤≤，而5[,]412FAD EAB EAF ππ∠=∠+∠∈，故[,]3124DAF x πππ∠=-∈，所以10cos()cos()33AD AF x x ππ==--，综上，11()10[]cos cos()3f x x x π=+-且ππ124x ≤≤，所以)13()10(101cos sin(2)62x f x x x ππ+=+=⋅++，令sin(),1]3t x π=+∈，则2221cos(2)1cos(2)1sin(2)3266sin ()3222x x x t x πππππ-+-+++=+==，所以2sin(2216x t π+=-，故()()122f x g t t t==-[4t ∈上递减，所以max max ()()()4f x g t g ===，此时12x π=或4x π=.故答案为：17．(1)3A π=(2)ABC周长的取值范围为(2+（1）选条件①：因为3sin cos tan 4A A A =，所以sin 3sin cos cos 4A A AA =，即23sin 4A =，又因为ABC 为锐角三角形，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 2A =，所以3A π=.12=，所以cos )cos A A A A-=+3cos A A =，又因为(0,)2A π∈，所以cos 0A ≠，所以tan A =3A π=，选条件③：由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos A A B C C B-=即2sin cos sin cos sin cos sin()sin =+=+=A A B C C B B C A ，又因为sin 0A ≠，所以1cos 2A =，因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=.（2）22(sin sin )sin sin 2sin 32a abc B C B B A π⎫⎛⎫++=++=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎭13sin cos sin 2sin cos 24sin 23223226B B B B B B π⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2ππ0,0,322C B B π⎛⎫=-∈∈ ⎪⎝⎭ （），，ππ2,,,62633B B πππ⎛⎫∴∈+∈ ⎪⎝⎭（），则sin 6B π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦即(2a b c ++∈+，即ABC周长的取值范围为(2+.18．(1)证明见解析；12n a n=+(2)()1111nn -+-+（1）因为()()1122n n n n a a a a ++-=--，所()()()()112222n n n n a a a a ++---=--，则111122n n a a +-=--，所以数列12n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1132=-为首项，公差等于1的等差数列，∴()1112n n n a =+-=-，即12n a n=+；（2）()()()()12111111111nn n n n a b n n n n n n ⎡⎤⎛⎫=-=-+=-+⎢⎥ ⎪++++⎝⎭⎣⎦，则()()1111111111112233411n n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++⋅⋅⋅+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；综上，12n a n =+，()1111nn S n =-+-+.19．(1)证明见解析(2)13（1）证明：连接AC 交BQ 于N ，连接MN ，因为//AQ BC ，所以ANQ CNB ∽，所以12AQ AN BC NC ==，所以13AN AC =，又13PM PC =，所以//PA MN ，因为PA ⊂平面MQB ，MN ⊂平面MQB ，所以PA ∥平面MQB ；（2）解：连接BD ，由题意ABD △，PAD 都是等边三角形，因为Q 是AD 中点，所以,PQ AD BQ AD ⊥⊥，又PQ BQ Q = ，所以AD ⊥平面PQB ，3,3PQ BQ PB ===，在PQB △中，3391cos 2233PQB ∠==-⨯⨯，所以23PQB π∠=，在平面PQB 内作PT QB ⊥于T ，则3313,sin 3,cos 33322322PQT PT PQ QT PQ πππ∠===⨯===⨯=，由AD ⊥平面PQB ，所以AD PT ⊥，又AD BQ Q ⋂=，所以PT ⊥平面ABCD ，以点Q 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则33(0,0,0),(1,0,0),(0,3,0),(2,3,0),(1,0,0),0,22Q A B C D P ⎛⎫---⎝⎭，由13PM PC = ，可得2,0,13M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2,0,1,(0,3,0)3QM QB ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，设平面MQB 的法向量(,,)m x y z = ,则20,03QM m x z QB m ⋅=-+=⋅== ，可取3,0,2x y z ===，则(3,0,2)m =，直线PD的方向向量32PD ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，设直线PD 和平面MQB 所成角为θ，则sin |cos ,|||||PD m PD m PD m θ⋅=〈〉=⨯，所以cos θ=，即直线PD 和平面MQB所成角的余弦值等于13.20．(1)90(2)18（1）甲同学两分球投篮命中的概率为5436710101010100.55++++=，甲同学三分球投篮命中的概率为11210101010100.15++++=，设甲同学累计得分为X ，则()0.90.50.540.225P X =⨯==⨯，()50.10.50.10.50.50.075P X ==⨯+⨯⨯=则()()()4450.3P X P X P X ==+==，所以甲同学通过测试的概率为0.3.设这300名学生通过测试的人数为Y ，由题设()300,0.3Y B ~，所以()3000.390E Y =⨯=.（2）乙同学两分球投篮命中率为2435610101010100.45++++=，乙同学三分球投篮命中率为1231310101010100.25++++=.设乙同学累计得分为Y ，则()40.80.40.40.128P Y ==⨯⨯=，()50.20.40.20.60.40.128P Y ==⨯+⨯⨯=.设“甲得分比乙得分高”为事件A ，“甲､乙两位同学均通过了测试”为事件B ，则()()()540.0750.1280.0096P AB P X P Y ==⋅==⨯=，()()()][()()45450.0768P B P X P X P Y P Y ⎡⎤==+=⋅=+==⎣⎦，由条件概率公式可得()()()0.009610.07688P AB P AB P B ===∣.21．(1)22184x y +=(2)证明见解析（1）由题意点()0,2M 是椭圆C 的一个顶点，知2b =，因为12F MF △是等腰直角三角形，所以a =，即a =所以椭圆C 的标准方程为：22184x y +=．（2）若直线AB 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，由题意知2m ≠±．由22184y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222124280k x kmx m +++-=，由题意知228(84)0k m ∆=+->，设()11,A x y ，()22,B x y ，所以122412km x x k -+=+，21222812m x x k-=+，因为128k k +=，所以12121212122222y y kx m kx m k k x x x x --+-+-+=+=+()1221242(2)22828x x kmk m k m x x m +-=+-⨯=+-⨯=-，所以42kmk m -=+，整理得122m k =-，故直线AB 的方程为122y kx k =+-，即122y k x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．若直线AB 的斜率不存在，设其方程为0x x =，()00,A x y ，()00,B x y -．由题意得0000228y y x x ---+=，解得012x =-，此时直线AB 的方程为12x =-，显然过点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．综上，直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．22．(1)答案见解析(2)41,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（1）由2()2(1)e x f x a x x =--可得()()2e 1xf x x a '=-，当0a时，e 10x a -<，当0x <时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '<，从而()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞；当0a >时，由()0f x '=得，10x =，21lnx a=，①若1ln 0a=，即1a =时，()0f x '恒成立，故()f x 在R 上单调递增：②若1ln 0a <，即1a >时，由()0f x '>可得，1ln x a<或0x >．令()0f x '<可得1ln0x a<<，此时()f x 的单调递增区间为1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(0,)+∞，单调递减区间为1ln ,0a ⎛⎫⎪⎝⎭；③若1ln 0a >，即01a <<时，由()0f x '>可得，0x <或1ln x a>，令()0f x '<可得10lnx a<<，此时()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为10,ln a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；综上所述，当0a时，()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞；当1a =时，()f x 在R 上单调递增；当1a >时，()f x 的单调递增区间为1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(0,)+∞，单调递减区间为1ln ,0a ⎛⎫⎪⎝⎭；当01a <<时，()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为10,ln a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）不等式2(1)ln 3f x x x x +>---，可得12e ln 20x ax x x +--+>对0x >恒成立，即ln 22e e xx x a x +->对任意的0x >恒成立，令ln 2()(0)e xx x g x x x +-=>，则22211e (1)e (ln 2)(1)(3ln )()e e xx x xx x x x x x x x g x x x ⎛⎫+-++- ⎪+--⎝⎭'==，令()3ln h x x x =--，则1()10h x x'=--<，则()h x 在(0,)+∞上单调递减，又(1)20h =>，故()0h x =在(0,)+∞上有唯一的实根，不妨设该实根为0x ，故当()00,x x ∈时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减，故()000max 00ln 2()e x x x g x g x x +-==，又因为003ln 0x x --=，所以00ln 3x x +=，00ln 3e e x x -=，030e e x x =，所以()000030ln 21e ex x x g x x +-==，由题意知312e e a >，解得412e a >，故a 的取值范围为41,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．另解：（2）由不等式2(1)ln 3f x x x x +>---，可得12e ln 20x ax x x +--+>对0x >恒成立，即ln 22e e x x x a x +->，()ln e 22e ex x x a x ->对任意的0x >恒成立，令e 0x t x =>，ln 2()(0)t g t t t -=>，则23ln ()tg t t '-=，故当()30,e t ∈时，()0g t '>，()g t 单调递增；当()3e ,t ∈+∞时，()0g t '<，()g t 单调递减，故()3max 31()e e g t g ==，由题意知312e e a >，解得412e a >，故a 的取值范围为41,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．。

2025届襄阳市第五中学高三第二次调研数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“U AB =∅”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．3．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos 4c a B b A -=，则2222a b c-=（ ） A ．32 B ．12 C ．14 D ．184．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（ ）A ．32B ．25C ．6D ．275．a 为正实数，i 为虚数单位，2a i i+=，则a=（ ） A ．2B 3C 2D ．1 6．复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i7．已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =A ．（–1，1）B ．（1，2）C ．（–1，+∞）D ．（1，+∞）8．用电脑每次可以从区间(0,3)内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于1的概率为（ ）A ．427B ．13C ．127D ．199．已知不重合的平面,,αβγ 和直线l ，则“//αβ ”的充分不必要条件是（ ）A ．α内有无数条直线与β平行B ．l α⊥ 且l β⊥C ．αγ⊥ 且γβ⊥D ．α内的任何直线都与β平行10．复数z 满足()11i z i +=-，则z =（ ）A ．1i -B ．1i +C ．2222i -D ．2222i + 11． 若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6, +∞）D ．[4, +∞）12．已知向量(2,4)a =-，(,3)b k =，且a 与b 的夹角为135︒，则k =（ ）A ．9-B ．1C ．9-或1D ．1-或9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

襄阳五中2023届高三适应性考试（一）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数，则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.函数的图象大致为（）A. B.C. D.3.已知，则（）A. B. C. D.4.希尔伯特在1990年提出了孪生素数猜想,其内容是：在自然数集中,孪生素数对有无穷多个.其中孪生素数就是指相差2的素数对,即若和均是素数,素数对称为孪生素数.从16以内的素数中任取两个,其中能构成孪生素数的概率为（）A. B. C. D.5.希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，若点P是满足的阿氏圆上的任意一点，点Q为抛物线上的动点，Q在直线上的射影为R，则的最小值为（）A. B. C. D.6.图1中，正方体的每条棱与正八面体（八个面均为正三角形）的一条棱垂直且互相平分．将该正方体的顶点与正八面体的顶点连结，得到图2的十二面体，该十二面体能独立密铺三维空间．若，则点M到直线的距离等于（）A. B. C. D.7.在中，已知，，，当取得最小值时，的面积为（）A. B. C. D.8.已知函数（e是自然对数的底数），若存在，使得，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.以下说法正确的是（）A. 89，90，91，92，93，94，95，96，97的第75百分位数为95B. 具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，，，由此得到的线性回归方程为，回归直线至少经过点，，，中的一个点C. 相关系数r的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强D. 已知随机事件A，B满足，，且，则事件A与B 不互斥10 .已知，则下列结论成立的是（）A. B.C. D.11 .如图1，在中，，，，DE是的中位线，沿DE 将进行翻折，连接AB，AC得到四棱锥（如图2），点F为AB的中点，在翻折过程中下列结论正确的是（）A.当点A与点C重合时，三角形ADE翻折旋转所得的几何体的表面积为B.四棱锥的体积的最大值为C.若三角形ACE为正三角形，则点F到平面ACD的距离为D.若异面直线AC与BD所成角的余弦值为，则A、C两点间的距离为12 .已知椭圆：的左、右焦点分别为，右顶点为A，点M为椭圆上一点，点I是的内心，延长MI交线段于N，抛物线（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点，若四边形是菱形，则下列结论正确的是（）A. B. 椭圆的离心率是C.的最小值为D.的值为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.国家发展改革委为贯彻落实《长三角一体化发展规划“十四五”实施方案》有关部署，制定沪苏浙城市结对合作一对一帮扶皖北城市工作计划，帮扶城市（区）包括上海市个区，江苏省个市、浙江省个市，受帮扶城市包括安徽省淮北市、亳州市、宿州市、蚌埠市、阜阳市、淮南市、滁州市、六安市共个市，则帮扶方案中上海市个区没有被安排帮扶蚌埠市、阜阳市、滁州市的方法种数为______.（用数字作答）14.已知向量满足，则15.已知，若对任意的，不等式恒成立，则m的最小值为____.16.已知数列的各项都是正数，若数列各项单调递增，则首项的取值范围是当时，记，若，则整数．四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.记锐角的内角为，已知.(1)求角的最大值；(2)在锐角中，当角为角A的最大值时，求的取值范围.18 .函数的图象为自原点出发的一条折线，当时，该函数图象是斜率为的一条线段.已知数列由定义.(1)用表示；(2)若，记，求证：.19.如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，E为PA的中点，过E 与底面ABCD平行的平面与棱PC，PD分别交于点G，F，M在线段AE上，且．(1)求证：BG//平面；(2)若PA⊥平面ABCD，且，求平面CFM与平面PCD所成锐二面角的余弦值．20.学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后，由教师甲、乙作为代表进行决赛.决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.5，0.75，各项目的比赛结果相互独立.甲、乙获得冠军的概率分别记为，.(1)判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别（若，则认为甲、乙获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别）；(2)用X表示教师乙的总得分，求X的分布列与期望.21 .已知离心率为的椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为、，上顶点为，且的外接圆半径大小为．(1)求椭圆方程；(2)设斜率存在的直线交椭圆于两点（位于轴的两侧），记直线、、、的斜率分别为、、、，若，求面积的取值范围．22 .如果曲线存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”．已知，设曲线在点处的切线为．(1)当时，求实数的值；(2)当，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由；(3)当时，如果函数是“正交函数”，求满足要求的实数的集合；若对任意，曲线都不存在与垂直的切线，求的取值范围．。

湖北省襄阳市第五中学2024届高三第五次适应性测试数学试题一、单选题1．已知集合()12412A x y x x⎧⎫==+-⎨⎬⎩⎭，{3}B xx =>∣，则A B ⋃=（ ） A ．()3,4B ．][(),34,-∞-⋃+∞C ．[)3,∞-+D ．[)4,-+∞2．若函数()y f x =在0x x =处的导数为1，则000()(2)lim x f x x f x x x∆→-∆-+∆=∆（ ）A ．2B ．3C ．2-D ．3-3．已知复数cos isin (i z θθ=+是虚数单位，)θ∈R ，则1i z --的最小值是（ ）A B 1C 1D ．14．如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥，BC ，1AD =，则AC AD ⋅=u u u r u u u r（ ）AB ．3C ．D ．-35．在正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别为棱,AB AD 的中点，过点1,,E F C 三点作该正方体的截面，则（ ） A ．该截面多边形是四边形B ．该截面多边形与棱1BB 的交点是棱1BB 的一个三等分点C ．1AC ⊥平面1C EF D ．平面11//AB D 平面1C EF 6．当x θ=时，()26sin 2sin cos 3222x x xf x =+-取得最大值，则tan θ=（ ） A ．3B ．3-C ．13D ．13-7．已知函数()3131-=+x x f x ，数列{}n a 满足121a a ==，()*3n n a a n +=∈N ，()()2340f a f a a ++=，则20241i i a ==∑（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知点M 是直线1:20l ax y a +-=和2:20l x ay -+=（a ∈R ）的交点，()1,0A -，(),0B m ，且点M 满足12MA MB =恒成立，若()2,2C ，则2MA MC +的最小值为（ ）A B ．C D ．二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．数据的频率分布直方图的纵坐标为频率B ．已知样本数据12,,,n x x x L 的平均数为x ，则数据12,,,,n x x x x L 与原数据的极差､平均数都相同C ．若A B ､两组成对数据的样本相关系数分别为0.97,0.99A B r r ==-，则A 组数据比B 组数据的线性相关性强D ．已知y 关于x 的回归直线方程为ˆ0.30.7yx =-，则样本点()2,3-的残差为-1.9 10．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．2ω=，频率为1π，初相为π6B ．函数()f x 的图象关于直线π6x =-对称C ．函数()f x 在π13π,1224⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,2 D ．若把()f x 图像上所有点的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，再向左平移π12个单位，则所得函数是π2sin 312y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11．对于任意两个正数,()<u v u v ，记曲线1y x=与直线,,x u x v x ==轴围成的曲边梯形的面积为(),L u v ，并约定(),0L u u =和()(),,L u v L v u =-，德国数学家莱布尼茨（Le i bn i z ）最早发现()1,ln L x x =．关于(),L u v ，下列说法正确的是（ ）A ．()11,4,842L L ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()()1001002,31002,3L L =C ．(),u uL u v v u >-D ．()2,v u L u v u v<-三、填空题12．81x ⎫⎪⎭的展开式中4x -的系数为.13．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关，如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上收长度为1的线段AB ，作一个等边三角形ABC ，然后以点B 为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧交线段CB 的延长线于点D （第一段圆弧），再以点C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧交线段AC 的延长线于点E ，再以点A 为圆心，AE 为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为.14．在ABC V 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a 、b 、c ，D 是AB 上的三等分点(靠近点)A 且1CD =，()()()sin sin sin a b A c b C B -=+-，则2+a b 的最大值为.四、解答题15．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知π,3B b ==(1)若,,a b c 成等差数列，求ABC V 的面积；(2)若sin sin A C -，求a .16．如图，ABCD 沿对角线AC 折起使得点D 到点D ¢的位置，连接BD '，O 为AC 的中点.(1)若平面D AC '⊥平面ABC ，求点O 到平面D BC '的距离；(2)不考虑点D ¢与点B 重合的位置，若二面角A BD C '--的余弦值为23-，求BD '的长度.17．设双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别为1F ，2F ，12F F =E 的渐近线方程为12y x =±，直线l 交双曲线E 于P ，Q 两点.(1)求双曲线E 的方程；(2)当直线l 过点()4,0时，求AP AQ ⋅u u u r u u u r的取值范围. 18．已知函数()()21ln 12f x a x a x x =-++. (1)讨论()f x 的单调性；(2)当1a =时，()()21122h x f x x x x=-++，数列{}n t 满足()10,1t ∈，且()()*1n n t h t n +=∈N①比较1n t +，2n t +，1的大小()*n ∈N ②证明：1322n n n t t t ++++>()*n ∈N .19．甲和乙两个箱子中各装有N 个大小、质地均相同的小球，并且各箱中35是红球，25是白球.(1)当5N =时，从甲箱中随机抽出2个球，求2个球的颜色不同的概率.(2)由概率学知识可知，当总量N 足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布，现从甲箱中不放回地取3个小球，恰有2个白球的概率记作1P ；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个白球的概率记作2P . ①求1P ，2P .②当N 至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即120.001P P -≤）的前提下认为超几24.04）.。

襄阳五中高三年级8月月考数学（理科） 试 题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1． i 为虚数单位，若(3)(13)i z i +=-，则z =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．22． 下列对应法则是从集合A 到集合B 的映射的是 （ ）A ．A=R , B={x | x>0}，x y x f =→:;B ．错误!未找到引用源。

，:f x y x →=C ．A=N , B=N *，:|1|f x y x →=-D ．A=R , B=2{|0},:22y y f x y x x ≥→=-+ 3． 下列命题中的假命题是（ ）A ．b a b a b a lg lg )lg(),,0(,+≠++∞∈∀B ．R ∈∃ϕ，使得函数)2sin()(ϕ+=x x f 是偶函数C ．R ∈∃βα,，使得βαβαcos cos )cos(+=+D ．R m ∈∃，使342)1()(+-⋅-=m m x m x f 是幂函数，且在),0(+∞上递减 4． 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．1133B ．1053 C ．1043 D ．10745． 某产品的广告费用x 与销售额y 的不完整统计数据如下表：广告费用x （万元） 3 4 5 销售额y （万元）2228m若已知回归直线方程为69ˆ-=x y,则表中m 的值为 A ．40 B ．39 C ．38D ．376． 将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有（ ） A ．24种 B ．28种 C ．32种 D ．16种7． 已知直线05:=--ky x l 与圆10:22=+y x O 交于两点B A 、且0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，则=k （ ）A ．2B ．2±C ．2±D ．28． 已知函数f （x ）=|lg x |，a ＞b ＞0，f （a ）=f （b ），则ba b a -+22的最小值等于（ ）A ．2B ．C ．2+D ．29． 已知两点M （－5，0），N （5，0），若直线上存在点P ，使6=-PN PM ，则称该直线为“B 型直线”给出下列直线①1+=x y ②2=y③x y 34=④x y 2= 其中为“B 型直线”的是 （ ） A ．①③ B ．①② C ．③④ D ．①④10．定义在上的函数满足，，则对任意的21x x <错误!未找到引用源。

2025届湖北省襄阳五中高考临考冲刺数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，且球的表面积也是圆柱表面积的23”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为( ) A ．43π B ．16πC ．163πD ．323π 2．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，()2xf x x m =++（m 为实数），则关于x 的不等式()212f x -<-<的解集是（ ）A ．()0,2B ．()2,2-C ．()1,1-D ．()1,33．如图是一个算法流程图，则输出的结果是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB =，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π5． “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．456．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种 A ．240B ．320C ．180D ．1207．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ）A ．203π B ．6πC ．103π D ．163π 8．设12,F F 分别是双线2221(0)x y a a-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于,A B 两点（,A B 位于y 轴右侧），且四边形2OAF B 为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．0x y ±=B 30x y ±=C ．30x y ±=D ．30x y ±=9．已知复数z 满足()125z i ⋅+=（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．设i 是虚数单位，则()()2332i i +-=（ ） A ．125i +B ．66i -C ．5iD ．1311．已知命题p ：,x R ∃∈使1sin 2x x <成立． 则p ⌝为（ ） A ．,x R ∀∈1sin 2x x ≥均成立 B ．,x R ∀∈1sin 2x x <均成立 C ．,x R ∃∈使1sin 2x x ≥成立D ．,x R ∃∈使1sin 2x x 成立12．复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则z =( )A ．iB ．﹣2iC ．2iD ．﹣i二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

襄阳五中高三年级8月月考数学（文科）试题一、选择题1． ABC ∆中，1tan >A 是4π>A 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2． 已知集合211{|(),}2xA y y x R +==∈，则满足AB B ⋂=的集合B 可以是（ ）A ．1{0,}2B ．{|11}x x -≤≤C ．1{|0}2x x << D ．{|0}x x >3． 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么2y x =，值域为{}1,9的“同族函数”共有 A ．7个 B ．8个C ．9个D ．10个4． 若1sin()63πθ-=，则2cos(2)3πθ+的值为（ ） A ．13B ．13-C ．79D ．79-5． 函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><满足0)1(=-f ，则（ ）A ．(1)f x -一定是偶函数B ．(1)f x -一定是奇函数C ．(1)f x +一定是偶函数D ．(1)f x +一定是奇函数 6． 下列命题错误的个数（ ）①“在三角形ABC 中，若sinA ＞sinB ，则A ＞B”的逆命题是真命题； ②命题p ：x≠2或y≠3，命题q ：x+y≠5，则p 是q 的必要不充分条件；③命题“若a 2+b 2=0，则a ，b 都是0”的否命题是“若a 2+b 2≠0，则a ，b 都不是0”． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7． 定义在R 上的偶函数)(x f 满足：对)(),0[,2121x x x x ≠∞+∈∀，有0)()(1212<--x x x f x f ，则（ ）A.)6()6(log )7.0(5.07.06f f f << B. )6(log )6()7.0(7.05.06f f f << C. )7.0()6()6(log 65.07.0f f f <<D. )6()7.0()6(log 5.067.0f f f <<8． 在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若2220b c bc a ++-=, ）9． 已知函数)(x f 是定义在R 上的增函数，则函数1|)1(|--=x f y 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数2()2ln f x x a x =+，若对任意两个不等的正数1212,()x x x x >，都有1212()()8()f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4a ≥B ．3a ≥C ．2a ≥D ．以上答案均不对11．已知定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞-上是减函数，若()()2g x f x =-是奇函数，且()20g =，则不等式()0xf x ≤的解集是（ ） A ．(][),22,-∞-+∞U B ．[][)4,20,--+∞U C ．(][),42,-∞--+∞UD ．(][),40,-∞-+∞U12．已知函数()252sin ,3036log ,0x x f x x x ππ⎧⎛⎫+-≤≤⎪⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩，若方程()f x a =有四个不同解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()3122341x x x x x ++的取值范围为（ ） A ．71,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．71,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．71,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．71,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭13．计算()=+-32272lg 4lg 32lg ． 14．已知2016tan 1=-α，则=+αα2tan 2cos _______. 15．已知函数()13ln 144f x x x x =-+-，()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，P()()(){}1212|,0,2,,任意p m x x f x g x =∈≥ ()()()(){}1212|0,2,0,2,,任意存在则Q m x x f x g x pQ =∈∈≥⋂==Q P I __________. 16．定义在R 上的函数)0()(23≠++=a cx bx ax x f 的单调增区间为（1-，1），若方程0)(2))((32=++c x bf x f a 恰有6个不同的实根，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题17．已知集合A={x |x 2﹣3x +2≤0}，集合B={y |y =x 2﹣2x +a }，集合C={x|x 2﹣a x ﹣4≤0}，命题p ：A∩B≠∅，命题q ：A ⊆C ．（1）若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围． （2）若命题p∧q 为真命题，求实数a 的取值范围． 18．函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><在它的某一个周期内的单调减区间是511[,]1212ππ． （1）求()f x 的解析式；（2）将()y f x =的图象先向右平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为()g x ，若对于任意的3[,]88x ππ∈，不等式|()|1g x m -<恒成立，求实数m 的取值范围．19．已知某种商品每日的销售量y （单位：吨）与销售价格x （单位：万元/吨，1＜x ≤5）满足：当1＜x ≤3时，y =a (x ﹣4)2+16-x （a 为常数）；当3＜x ≤5时，y =kx +7（k ＜0），已知当销售价格为3万元/吨时，每日可售出该商品4吨，且销售价格x ∈（3，5]变化时，销售量最低为2吨． （1）求a ，k 的值，并确定y 关于x 的函数解析式； （2）若该商品的销售成本为1万元/吨，试确定销售价格x 的值，使得每日销售该商品所获利润最大．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()122,0,2,0F F -，直线20x y +=与椭圆C 的一个交点为()2,1-，点A 是椭圆C 上的任意—点，延长1AF 交椭圆C于点B ，连接22,BF AF .（1）求椭圆C 的方程；（2）求2ABF ∆的内切圆的最大周长.21．已知函数()ln f x x x =．（I ）求函数()f x 的单调递减区间；（II ）若2()6f x x ax ≥-+-在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（III ）过点2(,0)A e --作函数()y f x =图象的切线，求切线方程．选做题22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为6sin ρθ=. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P 的直角坐标为(1,2)，求PA PB +的最小值.23．设函数()225f x x x =--+.（1）求函数()f x 的最小值m ；（2）若不等式2x a x m -++≥恒成立，求实数a 的取值范围.高三文科数学8月月考参考答案ACCDB BCABA CA13、12 14、2016 15、3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭16、a ＜﹣17、解：（1）A={x|x 2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，B={y|y=x 2﹣2x+a}={y|y=（x ﹣1）2+a ﹣1≥a﹣1}={y|y≥a ﹣1}，若命题p 为假命题，即A∩B=∅，则a ﹣1＞2，得a ＞3.（2）若命题p∧q 为真命题，则A∩B≠∅，且A ⊆C ． 则，得，得0≤a≤3.18、解：（1）由条件，115212122T πππ=-=，∴2ππω=，∴2ω=，又5sin(2)112πϕ⨯+=， ∴3πϕ=-，∴()f x 的解析式为()sin(2)3f x x π=-．（2）将()y f x =的图象先向右平移6π个单位，得2sin(2)3y x π=-，∴2()sin(4)3g x x π=-， 而3[,]88x ππ∈，∴254636x πππ-≤-≤，∴函数()g x 在3[,]88ππ上的最大值为1，此时2432x ππ-=，∴724x π=；最小值为12-，此时2436x ππ-=-，∴8x π=．3[,]88x ππ∈时，不等式|()|1g x m -<恒成立，即1()1m g x m -<<+恒成立，即max min ()1()1g x m g x m <+⎧⎨>-⎩，∴11112m m <+⎧⎪⎨->-⎪⎩，∴102m <<．19、解：（1）因为x=3时，y=4；所以a+3=4，得a=1当3＜x≤5时，y=kx+7（k ＜0）在区间（3，5]单调递减，当x=5时，y min =5k+7 因为销售价格x∈（3，5]变化时，销售量最低为2吨，所以5k+7=2，得k=﹣1 故y=（2）由（1）知，当1＜x≤3时， 每日销售利润=x 3﹣9x 2+24x ﹣10（1＜x≤3）f'（x ）=3x 2﹣18x+24. 令f'（x ）=3x 2﹣18x+24＞0，解得x ＞4或x ＜2 所以f （x ）在[1，2]单调递增，在[2，3]单调递减 所以当x=2，f （x ）max =f （2）=10，当3＜x≤5时，每日销售利润f （x ）=（﹣x+7）（x ﹣1）=﹣x 2+8x ﹣7=﹣（x ﹣4）2+9 f （x ）在x=4时有最大值，且f （x ）max =f （4）=9＜f （2）综上，销售价格x=2万元/吨时，每日销售该商品所获利润最大． 20、解：（1）由题意，椭圆C 的半焦距2c =因为椭圆C 过点()2,1-，所以()22212214a =+--+=,解得2a =.2222222 2.b a c ∴=-=-=所以椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）设2ABF ∆的内切圆的半径为r .则()22212ABF AB AF BF r S ∆++⨯=.由椭圆的定义，得121224,24AF AF a BF BF a +==+==，所以2212128AB AF BF AF AF BF BF ++=+++=.所以2182ABF r S ∆⨯⨯=.即24ABF r S ∆=. 为此，求2ABF ∆的内切圆的最大周长，可先求其最大半径，进一步转化为可先求2ABF ∆的最大面积。

湖北省襄阳市第五中学2025届高三8月月考数学试卷一、单选题1．已知集合{}2log 1A x x =≤，{}2,2xB y y x ==≤，则（ ）A ．AB B =U B ．A B A =UC ．A B B =ID ．()A B =R R I ð2．复数34i2iz +=-（其中i 为虚数单位）的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限D ．第一象限3．已知(),2a x =r ，()2,1b =-r ，且a b ⊥v v ，则a b -r r 等于（ ） ABC．D ．104．已知()sin 2sin 2ααβ=+，且tan 2β=，则()tan αβ+=（ ） A ．6-B ．2-C ．2D ．65．已知某圆锥的侧面积是其底面积的两倍，则圆锥的高与底面半径的比值为（ ） A ．3BCD6．设函数()y f x =在(),-∞+∞内有定义．对于给定的正数K ，定义函数()()()(),,,.K f x f x K f x K f x K ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩设函数()||2x f x -=．当12K =时，函数()K f x 的严格增区间为（ ）．A ．(],0-∞B ．[)0,+∞C ．(],1-∞-D ．[)1,+∞7．函数()()()4sin 322cos 34f x x x =+++在()0,π上的零点个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足111,1,2,n n n a n a a a n ++⎧==⎨⎩为奇数为偶数，则100S =（ ）A ．5132156⨯-B ．5132103⨯-C ．5032156⨯-D ．5032103⨯-二、多选题9．若随机变量()2~0,X N σ，()()f x P X x =≤，则（ ）A ．()()1f x f x -=-B ．()()22f x f x =C ．()()()210P X x f x x <=->D ．若()121x f f x +⎛⎫> ⎪-⎝⎭，则113x <<10．设函数()()2(1)4f x x x =--，则（ ）A ．1x =是()f x 的极小值点B ．()()224f x f x ++-=-C ．不等式()4210f x -<-<的解集为{}|12x x <<D ．当π02x <<时，()()2sin sin f x f x >11．已知曲线C 是平面内到定点(0,1)F 和定直线:1l y =-的距离之和等于4的点的轨迹，若()00,P x y 在曲线C 上，则下列结论正确的是（ ）A ．曲线C 关于x 轴对称B ．曲线C 关于y 轴对称 C ．022x -剟D ．1||4PF 剟三、填空题12．已知双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>与()222222222:10,0y x C a b a b -=>>有相同的渐近线，若1C 的离心率为2，则2C 的离心率为.13．曲线y =2ln y x =+的公切线方程为.14．袋中有大小质地均相同的1个黑球，2个白球，3个红球，现从袋中随机取球，每次取一个，不放回，直到某种颜色的球全部取出为止，则最后一个球是白球的概率是．四、解答题15．在ABC V 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2c b =，2sin 3sin 2A C =．(1)求ab 的值；(2)若ABC V AB 边上的高． 16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 到直线4x =的距离与点P 到点()10F ,的距离之比为常数2.记P 的轨迹为C ，曲线C 的上顶点为B . (1)推导C 的标准方程；(2)过B 的直线与C 相交于另一点A .若ABF △AB 的方程. 17．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为矩形，底面ABC 为等边三角形．(1)证明：11A B AC =；(2)若11AC A B ⊥，12A A AB ==， ①证明：平面1A BC ⊥平面ABC ；②求平面ABC 与平面11A BC 的夹角的余弦值．18．在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标()123,,a a a 表示，其中{0,1},1,2,3i a i ∈=，而在n 维空间中(2,N)n n ≥∈，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n 维坐标()123,,,,n a a a a L L ，其中{0,1}(1,N)i a i n i ∈≤≤∈．现有如下定义：在n 维空间中两点间的曼哈顿距离为两点()123,,,,n a a a a L L 与()123,,,,n b b b b L L 坐标差的绝对值之和，即为112233n n a b a b a b a b -+-+-++-L ．回答下列问题：(1)求出n 维“立方体”的顶点数；(2)在n 维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X 为所取两点间的曼哈顿距离． ①求X 的分布列与期望； ②求X 的方差．19．已知e 是自然对数的底数，常数0k >，函数()()()e 1,ln x k f x x H x x x=-=+. (1)求()f x 、()H x 的单调区间；(2)讨论直线y x =与曲线ln 1y x =-的公共点的个数； (3)记函数()()1e ln 1,x x x F x x x-+=∀、2x ，若120x x <<，且()()12F x F x =，则()212e2e 0x x a -+-≥，求实数a 的取值范围.。

襄阳五中2025届高三上学期9月月考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数在复平面内对应的点所在的象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知实数，，满足，则的最小值为( )A. B. C. D.3.中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊马铃若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中，，，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是（）参考数据：，铜的密度为A. B. C. D.4. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（）A. B. C. D.5. 在中，为边上一点，，，，且的面积为，则( )A. B. C. D.6.已知随机事件、满足，，，则（）A. B. C. D.7.直线l过双曲线E：的左顶点A，斜率为，与双曲线的渐近线分别相交于M，N两点，且，则E的离心率为（）A. B. C. 2 D.8.已知函数，若存在使得关于的不等式成立，则实数的取值范围( )A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列是等差数列，是等比数列，则下列说法中正确的是（）A. 将数列的前m项去掉，其余各项依次构成的数列是等差数列B. 数列，，，…，是等差数列C. 将数列的前m项去掉，其余各项依次构成的数列不是等比数列D. 数列，，，，…，是等比数列10.如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（）A. 动点轨迹的长度为B. 三棱锥体积的最小值为C.与不可能垂直D. 三棱锥的体积为定值11.已知函数的定义域为R，，，则（）A. B.C. 为奇函数D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则sin=________________.13.现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则 ________________.14.已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为________________.四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.的内角所对的边分别为，是边上的一点，且满足，若，．(1)求；(2)求三角形的面积．16.如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且 .(1)证明：平面 .(2)求二面角的正弦值.17.已知函数 .(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求的单调区间；(3)设，若对于恒成立，求的最小值．18.已知椭圆的标准方程，其左右焦点分别为．(1)过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程；(2)直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，证直线过定点,并求面积的最大值．19.已知为有穷正整数数列，其最大项的值为，且当时，均有 .设，对于，定义，其中，表示数集中最小的数.（1）若，写出的值；（2）若存在满足：，求的最小值.参考答案1-8 BBAAA AAC9-11 ABD ABD BCD12.13. 14.15.解：（1）因为，由正弦定理得，整理可得sinBcosA+cosBsinA=2sinCcosB，即sin（A+B）=sinC=2sinCcosB，且0＜C＜π，则sinC＞0，可得，因为0＜B＜π，所以；（2）因为CD=2AD，可得，两边平方得，即，整理得a2+6a-135=0，结合a为正数,解得a=9，所以三角形ABC的面积．16.解：（1）证明：平面平面，且两平面交于，又，平面，在中，，，，且，是等腰直角三角形，，，，，又，为等腰直角三角形，，，∴，又，所以，又平面 ,平面，平面；（2）由（1）得平面，且，所以以E为原点，EB、ED、EA所在直线为x，y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系，可得，，，即，，设平面的法向量为，则，令x=1，得y=1,z=,故平面的一个法向量为，平面的法向量为，设二面角为，所以，则 .17.解：（1）由题，在处， ， ，所以曲线 在处的切线方程为.（2）,当 时， ， ，所以，故 单调递减；当 时，，，所以，故单调递增，所以 的单调递增区间是 ，递减区间是 .（3） 且时，又由（2）知函数 在 上单调递增，若 对于恒成立，则，两边取对数 得，所以 对于恒成立，设 ，则 ，令 ，得 ，当 时， ， 单调递增；当 时，，单调递减，所以，所以 的最小值为 .18. 解：(1)由椭圆方程知，(-1,0)，显然直线AB 的斜率存在,设直线AB 的方程为y=k(x+2)(k0),A(,),B(,),联立，消去y 得,(1+)+x+-2=0,所以=-4(1+)(-2)=8(1-)>0,即0<<，且+=-,=,因为，所以，所以(-1-,-)(-1-,-)=0,即1++++=0,所以1++++k(+2)k(+2)=0,整理得(1+)(+)+(1+)+1+=0,即(1+)(-)++1+=0,化简得-1=0,即k=满足条件,则y=(x+2)或y=-(x+2),即直线AB的方程为x-2y+2=0或x+2y+2=0；(2) 由题意,(1,0) ,设直线的方程为y=k(x+1),C(,),D(,),则直线的方程为y=-(x+1),E(,),F(,),联立，消去y得(1+)-x+-2=0,所以+=,=，所以==,=k(-1)=-，所以M(,),同理联立，消去y得(1+)-2x+1-=0,所以+=,=，所以==,=-(-1)=，所以N(,),即MN的中点T(,0)，所以直线MN过定点T(,0)，=-|=||==,当且仅当2|k|=,即k=时取等号,所以的面积最大值为.19.解：（1）由，，则，故，则，故，则，故；（2）由题意可知，，当时，由，，故，则，由题意可得，故、总有一个大于，即或，，由，故、、总有一个大于，故，故当时，，不符，故，当时，取数列，有，，，即，符合要求，故的最小值为；。

襄阳市第五高级中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题考试时间：12月24日一、单选题(每小题5分,共40分 每小题只有一个选项符合题意)1．已知i 是虚数单位，复数2i 12iz =+，则复数的虚部为（ ）A ．2i 5B ．25C ．1i 5- D ．15-2．根据新课改要求，襄阳五中对学校的课程进行重新编排，其中对高三理科班的课程科目：语文、数学、英语、物理、化学、生物这六个科目进行重新编排（排某一天连续六节课的课程，其中每一节课是一个科目），编排课程要求如下：数学与物理不能相邻，语文与生物要相邻，则针对这六个课程不同的排课顺序共有（ ） A ．144种 B ．72种 C ．36种 D ．18种3．已知ππ4α≤≤，3ππ2β≤≤，4sin 25α=，cos()αβ+=βα-=（ ）A ．π4或3π4B ．π4C ．3π4D ．5π44．已知函数||||12e sin 432e 2x x x f x ++⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，则122022202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ）A ．404B ．4044C ．2022D ．20245．襄阳五中近期迎来120周年校庆，学生会制作了4种不同的精美卡片，在学校书店的所有书本中都随机装入一张卡片，规定：如果收集齐了4种不同的卡片，便可获得奖品．小明一次性购买书本6册，那么小明获奖的概率是（ ）A ．195256B ．195512C ．103512D ．1032566．已知()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若()12f x -为奇函数，()21f x -为偶函数．设()01f '=，则()812k f k ='=∑（ ）A ．1-B ．C ．D ．27．己知()2222:10y x C a b a b+=>>的上、下焦点分别是1F ，2F ，若椭圆C 上存在点P 使得21214PF PF a ⋅=，22221243PF PF a b +=-，则其离心率的值是（ ）A ．12B ．13 CD8．数列{}n a 满足1a a =，2131n n n a a a +=--，则下列说法错误的是（ ）A ．若1a ≠且2a ≠，数列{}n a 单调递减B ．若存在无数个自然数n ，使得1n n a a +=，则1a =C ．当2a >或1a <时，{}n a 的最小值不存在D ．当3a =时，121111,12222n a a a ⎛⎤++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∈ ⎥---⎝⎦二、多选题(每小题5分,共20分)9．下列命题是真命题的有（ ）A ．分层抽样调查后的样本中甲、乙、丙三种个体的比例为3：1：2，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30B ．某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频率为0.4C ．甲、乙两队队员体重的平均数分别为60，68，人数之比为1：3，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为67D ．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5 10．若0a b >>，且1a b +=，则（ ）A ．ln ln a b b a >B ．2222a a b ++C ．()()223112a b ++< D ．221214a b a b +++ 11．如图，四边形ABCD 是边长为的正方形，ED ⊥平面ABCD ，FB ⊥平面ABCD ，且1ED FB ==，G 为线段EC 上的动点，则下列结论中正确的是（ ）A ．EC AF ⊥B ．该几何体外接球的体积为3πC ．若G 为EC 中点，则//GB 平面AEFD ．22AG BG +的最小值为11412．如图，过双曲线222:1(0)y C x b b-=>右支上一点P 作双曲线的切线l 分别交两渐近线于A 、B 两点，交x 轴于点D ，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）A ．2min ||21AB b =+B ．OAP OBP S S =△△C ．AOB S b =△D ．若存在点P ，使121cos 4F PF ∠=，且122F D DF =，则双曲线C 的离心率2e = 三、填空题(每小题5分,共20分)13．设1271a a a -=≤≤⋯≤，其中1a ，3a ，5a ，7a 成公差为d 的等差数列，2a ，4a ，6a 成公比为3的等比数列，则d 的最小值为______. 14．空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点,,E F G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则FG AB ⋅的值为___________.15．已知12,F F 分别为双曲线:C 22145x y-=的左、右焦点，点P 在双曲线上，,G I 分别为12F PF △的重心、内心，若GI 平行于x 轴，则12F PF △的外接圆面积为___________.16．已知函数()()3ln ln 3e ,x a xf xg x a a=+=，其中0a >．若()()f x g x ≥恒成立，则a 的取值范围是_________．四、解答题(共70分)17．在①2cos cos c b B a A -=，②2cos 2a C c b +=，③1sin cos sin 23cos 2a A C c Ab A +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.问题：锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a bc ，且______. (1)求A ；(2)求cos cos B C +的取值范围.18．数列{}n a 满足11a =，()()()111N n n na n a n n n ++-+=+∈．(1)证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．(2)若211n n n n b a a a ++=⋅⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 19．四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，1AA ⊥面ABCD ，点M ，N ，Q 分别为棱11,,DD AD BB 的中点．(1)求证：平面MNQ ∥平面1BC D ；(2)若12AA AB =，棱11A B 上存在点P ，使得二面角P MN Q --的余弦值为132163，求111A P A B 的值．20．多年来，清华大学电子工程系黄翔东教授团队致力于光谱成像芯片的研究，2022年6月研制出国际首款实时超光谱成像芯片，相比已有光谱检测技术，实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越，为制定下一年的研发投入计划，该研发团队为需要了解年研发资金投入量x （单位：亿元）对年销售额y （单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量x ，和年销售额y ，的数据（1i =，2，，12），该团队建立了两个函数模型：①2y x αβ=+②e x t y λ+=，其中,,,t αβλ均为常数，e 为自然对数的底数，经对历史数据的初步处理，得到散点图如图，令()2ln 1212i i i i u x v y i ===,,,,，计算得如下数据：xy()1221ii x x =-∑()1221ii y y =-∑()()121iii x x v v =--∑2066770 20014u v()1221ii u u =-∑()1221ii v v =-∑()()121iii u u y y =--∑4604.2031250000.30821500(1)设{}i u 和{}i y 的相关系数为{1,i r x ∣和{}i v 的相关系数为2r ，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；(2)（i ）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01）； （ii ）若下一年销售额y 需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量x 是多少亿元？附：①相关系数()()()()12211ni i i nni i i i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑，回归直线ˆya bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-；②参考数据：4.3820308774,808.9443,e 80=⨯≈≈.21．已知圆22(1)16x y ++=的圆心为A ，点P 是圆A 上的动点，点B 是抛物线24y x =的焦点，点G 在线段AP 上，且满足GP GB =. (1)求点G 的轨迹E 的方程；(2)不过原点的直线与（1）中轨迹E 交于,M N 两点，若线段MN 的中点Q 在抛物线24y x =上，求直线的斜率k 的取值范围.22．已知函数321()4f x x x x =-+.（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ），当M （a ）最小时，求a 的值． ．12.24参考答案：BACBBBCBBDBDACDBCD138714．14.15．256π1516．1,3e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭18.(2) ()()221116412n n =-++. 19．（1）∵,M Q 分别为棱11,DD BB 中点，//MD BQ ∴，MD BQ =，∴四边形MQBD 为平行四边形，//MQ BD ∴，又BD ⊂平面1BC D ，MQ ⊄平面1BC D ，//MQ ∴平面1BC D ，∵N 为棱AD的中点，1//MN AD ∴，又11//AD BC ，1//MN BC ∴，∵1BC ⊂平面1BC D ，MN ⊄平面1BC D ，//MN ∴平面1BC D . 又MN MQ M ⋂=，,MN MQ ⊂平面MNQ ，∴平面MNQ ∥平面1BC D .（2）由题意知1DA DC DD 、、两两垂直，以为原点，1,,DA DC DD 方向分别为,,x y z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 设111A P A B λ=（01λ<<），1AB =，则11(1,0,0),(,0,0),(0,0,1),(1,1,1),(1,0,2),(1,1,2)2A N M Q AB ，故1(,0,1)2MN →=-，(1,1,0)MQ →=，设(,,)P x y z ，则由111A P A B λ→→=可得1020x y z λ-=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，(1,,2)P λ∴，则(1,,1)MP λ→=设平面PMN 的一个法向量为111(,,)m a b c →=，则11111100,200,m MN a c m MP a b c λ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩++=⎩，取11c =，则3(2,,1)m λ→-=，设平面MNQ 的一个法向量为222(,,)n a b c →=，则2222100,200,n MN a c n MQ a b ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩+=⎩，取21c =，则(2,2,1)n →=-，由题知2132164252153063m nm nλλ⋅==⇒-+=⋅， 解得34λ=或5116（与01λ<<矛盾，舍去），故34λ=，即11134A P A B =. 20．(1)模型21e x y +=的拟合程度更好(2)（i ）0.02 3.84ˆe x y+=（ii ）预测下一年的研发资金投入量是27.1亿元 21．（1）易知()1,0A -，点B 是抛物线24y x =的焦点，()1,0B ∴，依题意42GA GB AP AB +==>=，所以点G 轨迹是一个椭圆，其焦点分别为,A B ，长轴长为4，设该椭圆的方程为22221(0)x ya b a b +=>>，则24,22,2,1a c a c ==∴==，2223b a c ∴=-=，故点G 的轨迹E 的方程为22143x y +=.（2）易知直线1的斜率存在，设直线1：()()()()1122000,,,,,,y kx t t M x y N x y Q x y =+≠，由223412y kx t x y =+⎧⎨+=⎩得：()2224384120k x ktx t +++-=，()()222Δ(8)4344120kt k t =-+->， 即24k -230t +>①又122843kt x x k +=-+，212241243t x x k -⋅=+故2243,4343kt t Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，将2243,4343kt t Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，代24y x λ=，得：()()21643,09k k t k +=-≠②，将②代入①，得：()2222422164381,416316810k k k k +<⨯+⨯-<，即242390432k k ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，即2232703232k k ⎛⎫⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即23032k -<，k <<0k ≠，即:0k <<或0k << 22．（Ⅰ）0x y -=和2727640x y --=.（Ⅱ）设321()()4g x f x x x x =-=-，23()24g x x x '=-，令23()204g x x x '=-=得0x =或者83x =，所以当[2,0]x ∈-时，()0g x '≥，()g x 为增函数；当8(0,)3x ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数；当8[,4]3x ∈时，()0g x '≥，()g x 为增函数；而(0)(4)0g g ==，所以()0g x ≤，即()f x x ≤；同理令321()()664h x f x x x x =-+=-+，可求其最小值为(2)0h -=，所以()0h x ≥，即()6f x x ≥-，综上可得6()x f x x -≤≤. （Ⅲ）由（Ⅱ）知6()0f x x -≤-≤，所以()M a 是,6a a +中的较大者，若6a a ≥+，即3a ≤-时，()3M a a a ==-≥； 若6a a <+，即3a >-时，()663M a a a =+=+>； 所以当()M a 最小时，()3M a =，此时3a =-. ．。