2021年高三暑假自主学习测试(9月)数学试题含答案

2021届江苏省徐州市市区部分学校高三上学期9月学情调研考试数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3A =，{220B x x x =--<且}x Z ∈，则AB =（ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1,2,3,D ．{}1,0,1,2,3-【答案】A【解析】先求解出一元二次不等式的解集为集合B ，然后根据交集运算直接求解出A B 的结果.【详解】由题意{}{}12,0,1B x x x Z =-<<∈=，所以{}1A B ⋂=， 故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集运算，其中涉及到一元二次不等式的解法，难度较易.2．某大学4名大学生利用假期到3个山村参加基层扶贫工作，每名大学生只去1个山村，每个山村至少有1人去，则不同的分配方案共有（ ） A ．6种 B ．24种 C ．36种 D ．72种【答案】C【解析】由题意可知先从4名大学生中选出两名作伴，再分配到每个山村，得到结果. 【详解】根据题意有两个人是分到同一个地方的， 先选出两人作伴，之后再进行全排，则由分步计数原理有234336C A ⋅=（种），故选：C. 【点睛】该题考查的是有关排列组合的问题，涉及到的知识点有分步乘法计数原理，属于基础题目.3．甲、乙、丙、丁四位同学被问到谁去过长城时，甲说：“我没去过”，乙说：“丁去过”，丙说：“乙去过”，丁说：“我没去过”，假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【解析】由题设可得乙和丁说的话矛盾，从而可得二人中必有一个人的话为假话，从而可判断其余的人为真话，故可得正确的选项. 【详解】由题意可知乙与丁说的话矛盾，故说假话的人必然在他们二人之中，再由题意只有一个人说的话为假话，则丙必定说了真话，则可判断一定去过长城的是乙， 故选：B. 【点睛】本题考查推理与论证，注意利用矛盾律来帮助推理，本题属于容易题.4．天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus ，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(..M R Pogson )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()1221 2.5lg lg m m E E -=-.其中星等为i m 的星的亮度为()1,2i E i =.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是(当x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++)A ．1.24B ．1.25C ．1.26D ．1.27【答案】C【解析】根据题意，代值计算，即可得r ，再结合参考公式，即可估算出结果. 【详解】 根据题意可得：()211 1.25 2.5lgE lgE -=-可得12110E lgE =，解得1110210E r E ==， 根据参考公式可得111 2.3 2.7 1.25710100r ≈+⨯+⨯=， 故与r 最接近的是1.26.故选：C. 【点睛】本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题.5．设,,a b c 为单位向量，且0a b ⋅=，则()()a cbc -⋅-的最小值为（ ） A ．－2 B2C ．－1D ．1【答案】D【解析】先根据条件计算出a b +的值，然后将()()a cbc -⋅-展开计算，根据余弦函数的取值范围求解出()()a cbc -⋅-的最小值. 【详解】由题意可知0a b ⋅=，所以2222a b a a b b +=+⋅+=，所以()()()21cos ,a c b c a b a b c c a b c a b c -⋅-=⋅-+⋅+=-+⋅⋅<+>，所以()()12cos ,12a c b c a b c -⋅-=-⋅<+>≥-,a c b +同向，所以()()a c b c -⋅-的最小值为1故选：D. 【点睛】本题考查根据向量的数量积运算求解最小值，难度一般.求解和向量有关的最值问题时，可以借助向量夹角的余弦值的 “有界性”去分析问题.6．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为n π，那么用圆的内接正2n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值加2n π可表示成（ ）A ．360sinnnπ︒B ．360cosnnπ︒ C ．180cosnnπ︒ D ．90cosnnπ︒ 【答案】C【解析】设圆的半径为r ，由内接正n 边形的面积无限接近圆的面积可得：180180sincosn n n nπ⨯=⨯，由内接正2n 边形的面积无限接近圆的面积可得：2180sinn n nπ⨯=，问题得解. 【详解】设圆的半径为r ，将内接正n 边形分成n 个小三角形， 由内接正n 边形的面积无限接近圆的面积可得：221360sin2r n r n π≈⨯⨯，整理得：1360sin 2n nπ≈⨯⨯， 此时1360sin 2n n n π⨯⨯=，即：180180sin cosn n n nπ⨯=⨯ 同理，由内接正2n 边形的面积无限接近圆的面积可得：2213602sin22r n r n π≈⨯⨯，整理得：13601802sin sin 22n n n nπ≈⨯⨯=⨯ 此时2180sinn n nπ⨯= 所以2180sin180cosnn n nnππ==⨯ 故选C 【点睛】本题主要考查了圆的面积公式及三角形面积公式的应用，还考查了正弦的二倍角公式，考查计算能力，属于中档题．7．用一平面截正方体，所得截面的面积最大时，截面的几何形状为（ ） A ．正六边形 B ．五边形C ．矩形D ．三角形【答案】C 【解析】1 【详解】由题意用一平面截正方体，所得截面可以为正六边形、五边形、矩形、三角形，而当截面为矩形时，为体对角线为长、正方体棱长为宽的矩形，可知该截面为最大面积. 故答案选C.8．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若∀x ∈R ，都有2f (x )＋xf ′(x )＜2，则使x 2f (x )－f (1)＜x 2－1成立的实数x 的取值范围是（ ） A ．{x |x ≠±1}B ．(－1，0)∪(0，1)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【答案】D【解析】根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出0x <的取值范围． 【详解】解：当0x >时，由2()()20f x xf x +'-<可知：两边同乘以x 得：22()()20xf x x f x x +'-< 设：22()()g x x f x x =-则2()2()()20g x xf x x f x x '=+'-<，恒成立：()g x ∴在(0,)+∞单调递减，由()()21x f x f -21x <-()()2211x f x x f ∴-<-即()()1g x g < 即1x >；当0x <时，函数是偶函数，同理得：1x <-综上可知：实数x 的取值范围为(-∞，1)(1-⋃，)+∞， 故选：D ． 【点睛】主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，属于中档题．二、多选题9．若01,1c a b <<>>，则（ ） A ．log log a b c c > B ．c c ab ba >C ．log log b a a c b c>D ．()()a b c b a c ->-【答案】AB【解析】由对数函数的知识可判断A 、C ，由幂函数的知识可判断B ，根据不等式的性质可判断D. 【详解】因为01,1c a b <<>>，所以由对数函数得单调性得log log 0c c a b <<， 则由换底公式有110log log c c a b>>，即0log log a b c c >>，则选项A 正确；由题意1c y x-=为减函数，所以11c c b a -->，且0ab >，则由不等式的基本性质得c c ab ba >，则选项B 正确；由题意0log log a b c c >>，又a ＞b ＞1，则log log b a a c b c <，则选项C 错误； 由题意,ac bc ac bc >-<-，所以ab ac ab bc -<-，即()()a b c b a c -<-，则选项D 错误； 故选：AB 【点睛】本题考查的是对数函数、幂函数和不等式的性质，考查了学生的基础知识水平，较综合. 10．下列四个命题中，真命题为（ ） A ．若复数z 满足z R ∈，则z R ∈ B ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ C ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，则12z z =【答案】AB【解析】利用特值法依次判断选项即可得到答案. 【详解】对选项A ，若复数z 满足z R ∈，设z a =，其中a R ∈，则z R ∈，则选项A 正确； 对选项B ，若复数z 满足1R z ∈，设1a z=，其中a R ∈，且0a ≠， 则1z R a=∈，则选项B 正确； 对选项C ，若复数z 满足2z ∈R ，设z i ，则21z R =-∈，但z i R =∉，则选项C 错误；对选项D ，若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，设1z i =，2z i =，则121z z ⋅=-∈R ， 而21z i z =-≠，则选项D 错误； 故答案选：AB 【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共轭复数，特值法为解决本题的关键，属于简单题.11．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则（ ） A ．C 的准线方程为y ＝1 B ．线段PQ 长度的最小值为4 C ．M 的坐标可能为(3，2) D ．OP OQ ＝－3【答案】BCD【解析】根据条件可得出2p =，易得A 、B 的正误，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x =my +1，联立x =my +1，y 2＝2px ，算出12121212,,,x x x x y y y y ++即可得出C 、D 的正误. 【详解】焦点F 到准线的距离为p =2，所以抛物线C 的焦点为(1，0)，准线方程为x=－1，则选项A 错误；当PQ 垂直于x 轴时长度最小，此时P (1，2)，Q (1，－2)，所以|PQ|=4，则选项B 正确； 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x =my +1，联立x =my +1，y 2＝2px ， 消去y 可得x 2－(4m 2+2)x+1=0，消去x 可得y 2－4my －4=0，所以x 1+x 2=4m 2+2，y 1+y 2=4m ， 当m =1时，可得M (3，2)，则选项C 正确；又x 1x 2=1，y 1y 2=－4，所以OP OQ ＝x 1x 2+y 1y 2=－3，则选项D 正确； 故选：BCD 【点睛】本题考查的是直线与抛物线的位置关系，考查了学生的分析能力，属于中档题. 12．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021 B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1 C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021 D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0【答案】ABD【解析】对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】 由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误； 由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确； 故选：ABD. 【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题三、填空题13．某公司的广告费支出x (单位：万元)与营业额y (单位：万元)之间呈线性相关关系，收集到的数据如下表：由最小二乘法求得回归直线方程为0.67y x a =+，则a 的值为__________． 【答案】54.9【解析】算出x 、y 后可求a 的值. 【详解】由线性回归方程的定义及表数据可得x =30，y =75，所以a =54.9． 故答案为：54.9 【点睛】本题考查线性回归方程的性质，注意回归直线必定经过样本中心(),x y ，本题属于基础题.14．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m n ⊥；②αβ⊥；③n β⊥；④m α⊥.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：______. 【答案】①③④⇒②（或②③④⇒①）【解析】m α⊥，n β⊥，αβ⊥，由面面垂直的性质定理得m n ⊥；m n ⊥，m α⊥，n β⊥，由面面垂直的判定定理得αβ⊥．【详解】∵α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同的直线， 若①m n ⊥，③n β⊥，则m β. 又∵④m α⊥， ∴②αβ⊥. 即①③④⇒②.若②αβ⊥，③n β⊥，则n α.又∵④m α⊥， ∴①m n ⊥. 即②③④⇒①.故答案为：①③④⇒②（或②③④⇒①） 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，属于中档题．15．已知P 是直线3x ＋4y －10＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为________． 【答案】22【解析】圆的标准方程为()()22121x y -++=，则圆心为()12C -，，半径为1，则直线与圆相离，如图：PACB PACPBCS SS=+四边形，而1122PACSPA CA PA =⋅=，1122PBCS PB CB PB =⋅=，又21PA PC =-21PB PC =-PC 取最小值时，PA PB =取最小值，即PACPBC SS=取最小值，此时CP l ⊥，2232410153534CP -⨯-===+，则23122PA =-=122122PACPBCSS==⨯=PACB 面积的最小值是22故答案为22四、双空题16．在ABC 中，()sin sin sin A B C B -=-，则cos A =__________；点D 是BC 上靠近点B 的一个三等分点，记sin sin ABDBADλ∠=∠，则当λ取最大值时，tan ACD ∠=__________．【答案】122+ 【解析】根据题意，由三角恒等变换将原式化简，即可求出1cos 2A =；设BD x =，BAD θ∠=，πθ0,3，则2DC x =，sin sin B t =θ，根据正弦定理，得到AD x =λ，sin sin23Cπλθ，求出cos cos 3B ⎛⎫=+⎪⎝⎭πλθ，得到222222sin cos sin cos 13B B ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭πλθλθ，表示出2221sin cos 3=⎛⎫++ ⎪⎝⎭λπθθ，求出最值，即可得出结果.【详解】因为()sin sin sin A B C B -=-，所以()sin sin sin B C A B =--， 即()()sin sin sin 2cos sin B A B A B A B =+--=， 又因为sin 0B ≠，所以1cos 2A =； 设BD x =，BAD θ∠=，πθ0,3， 则2DC x =，sin sin B =λθ， 由正弦定理可得AD x =λ，sin sin sin23AD DACCDCπθλ，又313sin sincos sin cos sin 222223C B B BB λθπ，由sin sin 2223B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭λλπθθ，得cos cos 3B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πλθ．因为222222sin cos sin cos 13B B ⎛⎫+=++=⎪⎝⎭πλθλθ， 所以222122sin cos 1cos 21cos 233==⎛⎫⎛⎫++-+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭λππθθθθ2226=⎛⎫-⎪⎝⎭πθ，因为πθ0,3，所以2,662πππθ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，所以当206πθ-=时，λ1，此时)sin142B⨯==，所以4Bπ=，tan tan234ACD⎛⎫∠=--=+⎪⎝⎭πππ答案为：12；2.【点睛】本题主要考查由三角恒等变换求函数值，考查三角函数的性质，考查正弦定理的应用，属于常考题型.五、解答题17．记S n为等比数列{}n a的前n项和，已知S2=2，S3=-6.（1）求{}n a的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．【答案】（1）(2)nna=-；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由等比数列通项公式解得2q=-，12a=-即可求解；（2）利用等差中项证明S n+1，S n，S n+2成等差数列．试题解析：（1）设{}n a的公比为q.由题设可得()()1211216a qa q q⎧+=⎪⎨++=-⎪⎩，解得2q=-，12a=-.故{}n a的通项公式为()2nna=-.（2）由（1）可得()()111221133n nnna qSq+-==-+--.由于()()321214222212123333n n n n n n n n S S S +++++⎡⎤-+=-+-=-+-=⎢⎥⎣⎦，故1n S +，n S ，2n S +成等差数列.点睛:等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．18，且经过点(3，4)；②一条准线方程为x ＝4，且焦距为2．这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的直线l 存在，求出l 的方程；若问题中的直线l 不存在，说明理由．问题：已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1(m ，n ≠0)的焦点在x 轴上，____________，是否存在过点P (－1，1)的直线l ，与曲线C 交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点？ 注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】答案见解析【解析】先根据所选的条件求解出曲线C 的方程，根据直线的斜率是否存在作分类讨论；当直线的斜率不存在时直接进行求解并判断，当直线的斜率存在时，联立直线方程与曲线方程，并利用根的判别式以及坐标特点判断出结果. 【详解】选条件①：由题设得曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线，设21m a =，21n b =-(a ＞0，b ＞0)，所以C 的方程为22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)，由题设得229161a b =⎪-=⎪⎩，解得a 2＝1，b 2＝2，所以C 的方程为2212y x -=，1° 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，与曲线C 有且仅有一个交点(－1，0)，不符合题意；2° 当直线l 的斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y －1＝k (x ＋1)，即y ＝k (x ＋1)＋1，代入2212y x -=得(2－k 2)x 2－2k (k ＋1)x －(k 2＋2k ＋3)＝0 ()，若220k -=，即k =±时，方程()有且仅有一解，不符合题意；若22k -≠0，即k ≠±时，其判别式Δ＝[2k (k ＋1)]2－4(k 2－2)(k 2＋2k ＋3)＝8(2k＋3)＞0，则32k >-， 所以方程()有两个不同实数解时，32k >-且k≠ 于是1222(1)2(1)22k k x x k -++=-=⋅-=--，解得k ＝－2，与32k >-且k ±≠所以不存在直线l ，与曲线C 交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点． 选条件②：由题设得曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，设21m a =，21n b =(a ＞b ＞0)，所以C 的方程为22221x y a b+=(a ＞b ＞0)，由题设得242==⎩，解得a 2＝4，b 2＝3，所以C 的方程为22143x y +=，1° 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，代入22143x y +=得32y =±，P (－1，1)不是线段AB 的中点，不符合题意；2° 当直线l 的斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y －1＝k (x ＋1)，即y ＝k (x ＋1)＋1，代入22143x y +=得(3＋4k 2)x 2＋8k (k ＋1)x ＋4(k 2＋2k －2)＝0，其判别式Δ＝[8k (k ＋1)]2－4·(3＋4k 2)·4(k 2＋2k －2)＝16(5k 2－6k ＋6)＞0， 于是1228(1)2(1)234k k x x k ++=-=⋅-=-+，解得34k =，故337(1)1444y x x =++=+，即3x －4y ＋7＝0，所以存在直线l ：3x －4y ＋7＝0，与曲线C 交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点． 【点睛】本题考查圆锥曲线的综合应用，其中涉及到圆锥曲线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，难度一般.19．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量m =(2sin (x －A )，sin A )，n =(cos x ，1)，f (x )＝m n ⋅，且对任意x ∈R ，都有f (x )≤512f π⎛⎫⎪⎝⎭． （1）求f (x )的单调递增区间； （2）若a＝sin B ＋sin C＝2△ABC 的面积．【答案】（1）π5ππ,π1212⎡⎤''-+⎢⎥⎣⎦k k (k ′∈Z)；（2【解析】（1）根据向量的数量积并借助三角恒等变换的知识化简()f x ，再根据条件求解出()f x 的具体表达式，最后利用整体代换法求解出()f x 的单调递增区间； （2）先根据正弦定理求解出b c +的值，然后再根据余弦定理求解出bc 的值，最后利用三角形的面积公式求解出三角形面积. 【详解】（1）由题意得f (x )＝m n ⋅＝2sin (x －A )·cos x ＋sin A ＝2(sin x ·cos A －cos x ·sin A )·cos x ＋sin A ＝2sin x ·cos x ·cos A －2cos 2x ·sin A ＋sin A ＝2sin x ·cos x ·cos A －(2cos 2x －1)·sin A ＝sin 2x ·cos A －cos 2x ·sin A ＝sin (2x －A )， 由题意知5π5π()sin()1126f A =-=，所以5ππ2π62A k -=+(k ∈Z)， 因为A ∈ (0，π)，所以5ππ5π(,)666A -∈-，所以5ππ62A -=，即π3A =， 所以π()sin(2)3f x x =-，令πππ2π22π232k x k ''--+≤≤(k ′∈Z)，解得π5πππ1212k x k ''-≤≤+(k ′∈Z)， 所以f (x )的单调递增区间为π5ππ,π1212⎡⎤''-+⎢⎥⎣⎦k k (k ′∈Z)． （2）在△ABC 中由正弦定理得sin sin sin a b c A B C==sin sin sin 3b cB C+==+解得b c +=22224b c bc ++=，在△ABC 中由余弦定理得2222cos b c a bc A +-=，于是2212b c bc +-=，解得bc ＝4，所以△ABC的面积为11sin 422bc C =⋅=【点睛】本题考查三角函数的图象与性质、解三角形基本应用，要求学生能熟练的掌握的公式以及利用三角恒等变换进行化简，难度较易.20．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是圆内接四边形，1CB CD CE ===，AB AD AE ===，EC BD ⊥.(1)求证：平面BED ⊥平面ABCD ；(2)若点P 在平面ABE 内运动，且//DP 平面BEC ，求直线DP 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）427【解析】（1）连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ，先通过证明OE BD ⊥，EO AC ⊥得出EO ⊥平面ABCD ，再根据面面垂直的判定定理由EO ⊂平面BED 证明平面BED ⊥平面ABCD 即可；（2）取AE 的中点M ，AB 的中点N ，先通过平面DMN //平面EBC 得出点P 在线段MN 上，然后建立空间直角坐标系并设()01MP MN λλ=≤≤，从而求出平面ABE 的法向量n 及DP 的坐标，设直线DP 与平面ABE 所成的角为θ，则sin n DP n DPθ⋅=，最后根据01λ≤≤即可求出sin θ的最大值. 【详解】(1)证明：如图，连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ，因为AD AB =，CD CB =，AC AC =， 所以ADC ABC ∆≅∆，易得ADO ABO ∆≅∆， 所以90AOD AOB ∠=∠=︒， 所以AC BD ⊥.又EC BD ⊥，EC AC C ⋂=，所以BD ⊥平面AEC ， 又EO ⊂平面AEC ，所以OE BD ⊥.又底面ABCD 是圆内接四边形， 因为90ADC ABC ∠=∠=︒， 在Rt ADC ∆中，由3AD =，1CD =，可得2AC =，32AO =， 所以90AEC ∠=︒，32AE AO AC AF ==， 易得AEO ∆与ACE ∆相似，所以90AOE AEC ∠=∠=︒， 即EO AC ⊥.又AC 、BD ⊂平面ABCD ，AC BD O =，所以EO ⊥平面ABCD ，又EO ⊂平面BED ，所以平面BED ⊥平面ABCD .(2)解：如图，取AE 的中点M ，AB 的中点N ，连接MN ，ND ，DM ， 则//MN BE ，由(1)知，30DAC BAC ∠=∠=︒，即60DAB ∠=︒，所以ABD ∆为正三角形，所以DN AB ⊥，又BC AB ⊥， 所以平面DMN //平面EBC ， 所以点P 在线段MN 上.以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则3,0,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，32B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,0,2E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，33,0,44M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，33,44N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以33,,022AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，332⎛=- ⎝⎭AE ， 3334DM ⎛= ⎝⎭，33MN ⎛= ⎝⎭， 设平面ABE 的法向量(),,n x y z =，则00AB n AE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，则(1,3,n =， 设()01MP MN λλ=≤≤，可得3,,42444DP DM MP λ⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭， 设直线DP 与平面ABE 所成的角为θ，则sin 42n DP n DPθ⋅==，因为01λ≤≤，所以当0λ=时，sin θ取得最大值7. 故直线DP 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值为7. 【点睛】本题第一问主要考查由线线垂直证明线面垂直，再由面面垂直的判定定理证明面面垂直，第二问先确定点P 在线段MN 上，然后建立空间直角坐标系并求出平面的法向量及直线的方向向量的坐标即可研究线面角的正弦值的最值问题，本题综合性强、计算量大，属中等难度题. 21．已知()ln af x x x x x=-+，其中a ∈R ． （1）讨论f (x )的极值点的个数；（2）当n ∈N 时，证明：2222341ln 2lnln ln 2324n n n n ++++⋅⋅⋅++＞． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】（1）f (x )的定义域为(0，＋∞)，求导得到22()ln 11ln a af x x x x x '=+--=-，再令2()ln ag x x x =-，x ＞0，用导数法研究其不等零点，求导233122()a x ag x x x x +'=+=，然后分0a =、0a >和0a <三种情况讨论求解.（2）根据（1）a ＝0时，f (x )≥f (1)＝－1，即1ln 1x x -≥，进而有221ln (1)x x-≥，然后令1n x n+=得到22111111ln ()11212n n n n n n n +⋅=-+++++≥＞求解.【详解】（1）f (x )的定义域为(0，＋∞)，则22()ln 11ln a a f x x x x x '=+--=-， 令2()ln a g x x x =-，x ＞0，则233122()a x ag x x x x+'=+=， ①当0a =时，()ln f x x '=，令()0f x '=，则1x =， 当0＜x ＜1时，()0f x '<，f (x )单调递减， 当x ＞1时，()0f x '>，f (x )单调递增， 所以f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个极值点．②当0a >时，()0g x '>，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又(1)0g a =-<，221(e )(1)0e eaa a a g a a =-=-> 所以g (x )在(1，e a )上存在唯一零点，记为x 0，列表：所以f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个极值点． ③当0a <时，令()0g x '=，得x =当0＜x时，()0g x '<，g (x )单调递减，当x ()0g x '>，g (x )单调递增，所以g (x )min ＝g )＝12， 当a ≤12e-时，g (x )min ≥0，故f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(0，＋∞)上无极值点， 当12e-＜a ＜0时，g (x )min ＝g ＝12＜0，又(1)0g a =->，021a <-<，下面证1(2)ln(2)04g a a a-=-->， 令1()ln(2)4a a a ϕ=--(12e -＜a ＜0)，222212141e ()02444a a a a a a ϕ--+'=+=>>-， 所以()a ϕ在(12e-，0)上单调递增，所以11e e(2)()()ln 102e e 22g a a ϕϕ-=>-=+=->，所以g (x )在(0，＋∞)上有且仅有两个零点，记为,()αβαβ<，列表：所以f (x )在(0，＋∞)上有且仅有两个极值点． 综上所述，当a ≤12e-时，f (x )无极值点； 当12e-＜a ＜0时，f (x )有两个极值点； 当a ≥0时，f (x )有一个极值点．（2）由（1）知，当a ＝0时，f (x )≥f (1)＝－1， 所以ln 1x x x -≥，即1ln 1x x-≥， 所以221ln (1)x x-≥，令1n x n+=得 故22111111ln ()11212n n n n n n n +⋅=-+++++≥＞，所以2222341ln 2ln ln ln 23n n ++++⋅⋅⋅+＞111111233412n n -+-+⋅⋅⋅+-++，112224nn n =-=++． 【点睛】本题主要考查函数的极值点与导数、构造不等式放缩证明，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于较难题.22．某中学开展劳动实习，学生前往电子科技产业园，学习加工制造电子元件．已知学生加工出的每个电子元件正常工作的概率都是p (0＜p ＜1)，且各个电子元件正常工作的事件相互独立．现要检测k (k ∈N)个这样的电子元件，并将它们串联成元件组进行筛选检测，若检测出元件组正常工作，则认为这k 个电子元件均正常工作；若检测出元件组不能正常工作，则认为这k 个电子元件中必有一个或多个电子元件不能正常工作，须再对这k 个电子元件进行逐一检测．（1）记对电子元件总的检测次数为X ，求X 的概率分布和数学期望；（2）若p ＝0.99，利用(1－α)β (0＜α <<1，β∈N)的二项展开式的特点，估算当k 为何值时，每个电子元件的检测次数最小，并估算此时总的检测次数；（3）若不对生产出的电子元件进行筛选检测，将它们随机组装入电子系统中，不考虑组装时带来的影响．已知该系统配置有2n －1(n ∈N)个电子元件，如果系统中有多于一半的电子元件正常工作，该系统就能正常工作．将系统正常工作的概率称为系统的可靠性，现为了改善该系统的性能，拟向系统中增加两个电子元件．试分析当p 满足什么条件时，增加两个电子元件能提高该系统的可靠性？【答案】（1）答案见解析；（2）k ＝10；2；（3）p ＞12. 【解析】（1）根据题意，分析出X 可能的取值为1，k ＋1，求得其概率，得到分布列，进而求得其期望；（2）根据题意，列出式子，结合基本不等式求得最值；（3）列出式子，利用作差比较法，求得结果.【详解】（1）X 可能的取值为1，k ＋1，P (X ＝1)＝p k ，P (X ＝k ＋1)＝1－p k ，X 的概率分布为：所以X 的数学期望E (X )＝1·p k ＋(k ＋1)(1－p k )＝k ＋1－kp k ． （2）根据(1－α)β (0＜α <<1，β∈N)的二项展开式的特点，可知(1)1βααβ--≈， 记每个电子元件的检测次数为Y ，p ＝0.99＝1－0.01，所以()111111(10.01)110.01k k k E X k kp Y p k k k k k k +-===+-=+--+-+≈10.010.2k k =+≥，当且仅当10.01k k =，即k ＝10时取等， 故当k ＝10时每个电子元件的检测次数最小，此时总的检测次数kY ＝10×0.2＝2． （3）记当系统配置有2n －1(n ∈N)个电子元件时，系统正常工作的概率为21n P -， 当系统配置有2n ＋1(n ∈N)个电子元件时，系统正常工作的概率为21n P +，若前2n －1个电子元件中恰有n －1个正常工作，此时后两个元件必须同时正常工作； 若前2n －1个电子元件中恰有n 个正常工作，此时后两个元件至少须有1个正常工作； 若前2n －1个电子元件中恰有n ＋1个正常工作，此时系统必定正常工作；可以求得：112121121212122121[C ][C ][C (1)][C ](1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n P p p P p p p p p p p p ----+----=⋅⋅+-+--+--故11121212121212C C [C (1)1](1)(1)n n n n n n n n n n P P p p pp p p p -+-+----=⋅+---+-21C (21)(1)nn n n p p p -=--，令21210n n P P +-- ＞，得2p －1＞0，即p ＞12， 所以当p ＞12时，增加两个电子元件能提高该系统的可靠性． 【点睛】 该题考查的是有关随机变量的概率问题，有期望、分布列、二项式综合应用，属于较难题目.。

2021年高三9月测试数学（文）试题含答案本试卷分选择题和非选择题两部分共24题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡.第Ⅰ卷选择题（60分）一、选择题（共60分，每小题5分）1.设集合，，，则=A． B． C． D．2.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A. B. C. D.3．设函数，若，则A. B. C. D.4. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．其中，“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程.则在这段时间内，该车每千米平均耗油量为A．升 B．升 C．升 D．升5. 下列命题，正确的是A. 命题“，使得”的否定是“，均有”B. 命题“存在四边相等的空间四边形不是正方形”，该命题是假命题C. 命题“若，则”的逆否命题是真命题D. 命题“若，则”的否命题是“若，则”6.已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是A.若，垂直于同一平面，则与平行B.若，平行于同一平面，则与平行C.若，不平行，则在内不存在与平行的直线D.若，不平行，则与不可能垂直于同一平面7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是A. B.C. D.58. 设R，定义符号函数则函数的图象大致是正视图侧视图9．若函数图象上的任意一点的坐标满足条件，则称函数具有性质，那么下列函数中具有性质的是A． B． C． D．10. 如图，在正方体中，、分别是、的中点，则下列说法错误的是A． B．C． D．平面11．已知函数，，则是的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．不是充分条件，也不是必要条件12.已知函数是定义在上的函数, 若存在区间，使函数在上的值域恰为，则称函数是型函数．给出下列说法：①函数不可能是型函数；②若函数是型函数, 则，；③设函数是型函数, 则的最小值为；④若函数是型函数, 则的最大值为．下列选项正确的是A．①③ B．②③ C．①④ D．②④第Ⅱ卷非选择题（90分）二、填空题（共20分，每小题5分）13. 函数的定义域为．14. 若定义在R上的可导函数是奇函数，且对，恒成立．如果实数满足不等式，则的取值范围是 .15. 三棱锥中，三条侧棱,底面三边,则此三棱锥外接球的表面积是 .16. 若函数有且只有一个零点，则的取值范围是 .三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知命题：“方程恰好有两个不相等的负根”；命题：“不等式存在实数解”．若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．18.（本小题满分12分）已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间和极值；(Ⅱ)求函数闭区间上的最小值.19.（本小题满分12分）已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万只还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款手机万只并全部销售完，每万只的销售收入为万元，且(Ⅰ) 写出年利润(万元)关于年产量(万只)的函数解析式；(Ⅱ) 当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．20.（本小题满分12分）在三棱柱中，侧棱底面，为的中点，，，.(Ⅰ)求证：平面；（Ⅱ）求多面体的体积.21.（本小题满分12分）已知函数， (为常数)．(Ⅰ) 函数的图象在点)处的切线与函数的图象相切，求实数的值；(Ⅱ) 若函数在定义域上存在单调减区间，求实数的取值范围；(Ⅲ) 若，，且，都有成立，求实数的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，是⊙的一条切线，切点为，都是⊙的割线，(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)证明：∥.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，射线与曲线交于（不包括极点）三点.(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)当时，求三角形的面积．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲(Ⅰ) 求证：；(Ⅱ) 若是不全相等的实数，求证：.答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D B BDDCCA A C D13. 14. 15. 16.19.解：(1) 当0<x ≤40，W ＝xR(x)－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40；当x>40，W ＝xR(x)－(16x ＋40)＝－40 000x －16x ＋7 360.所以，W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x>40.(2) ① 当0<x ≤40，W ＝－6(x －32)2＋6 104，所以W max ＝W(32)＝6 104；② 当x>40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600， 当且仅当40 000x ＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，W 取最大值为5 760.综合①②知，当x ＝32时，W 取最大值为6 104. 20．(Ⅰ) 证明：连接B 1C 交BC 1于O ，连接OD ．∵ O ，D 分别为B 1C 与AC 的中点， OD 为△AB 1C 的中位线， OD//AB 1．又∵ AB 1平面BDC 1， OD 平面BDC 1，∴ AB 1//平面BDC 1．（Ⅱ）解：连接A 1B ，取BC 的中点E ，连接DE ，如图． ∵ A 1C 1=BC 1，∠A 1C 1B=60º， ∴ △A 1C 1B 为等边三角形． ∵ 侧棱BB 1⊥底面A 1B 1C 1， ∴ BB 1⊥A 1B 1，BB 1⊥B 1C 1， ∴ A 1C 1=BC 1=A 1B ==．∴ 在Rt △BB 1C 1中， B 1C 1==2，于是，A 1C 12= B 1C 12+A 1B 12， ∴ ∠A 1B 1C 1=90º，即A 1B 1⊥B 1C 1， ∴ A 1B 1⊥面B 1C 1CB ． 又∵ DE//AB//A 1B 1，∴ DE ⊥面B 1C 1CB ，即DE 是三棱锥D-BCC 1的高． ∴ = ==．∴ 321111111-⨯=-=∆--BB S V V V C B A C BC D ABC C B A =．21．解：(1) 因为f(x)＝lnx ，所以f ′(x)＝1x ，因此f ′(1)＝1，所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y ＝x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝12x 2－bx ，得x 2－2(b ＋1)x ＋2＝0.由Δ＝4(b ＋1)2－8＝0，得b ＝－1± 2. (还可以通过导数来求b)(2) 因为h(x)＝f (x)＋g(x)＝lnx ＋12x 2－bx(x ＞0)，所以h ′(x)＝1x ＋x －b ＝x 2－bx ＋1x，由题意知h ′(x)＜0在(0，＋∞)上有解，因为x ＞0，设u(x)＝x 2－bx ＋1，因为u(0)＝1＞0， 则只要⎩⎪⎨⎪⎧b 2＞0，－b 2－4＞0，解得b ＞2，OE所以b的取值范围是(2，＋∞)．(3) 不妨设x1＞x2，因为函数f(x)＝lnx在区间[1,2]上是增函数，所以f(x1)＞f(x2)，函数g(x)图象的对称轴为x＝b，且b＞2.当b≥2时，函数g(x)在区间[1,2]上是减函数，所以g(x1)＜g(x2)，所以|f(x1)－f(x2)|＞|g(x1)－g(x2)|等价于f(x1)－f(x2)＞g(x2)－g(x1)，即f(x1)＋g(x1)＞f(x2)＋g(x2)，等价于h(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx＋12x2－bx在区间[1,2]上是增函数，等价于h′(x)＝1x＋x－b≥0在区间[1,2]上恒成立，等价于b≤x＋1x在区间[1,2]上恒成立，所以b≤2. 又b≥2，所以b＝2；Z25554 63D2 插 r]38056 94A8 钨25108 6214 戔22875 595B 奛23684 5C84 岄29657 73D9 珙?24Y。

徐州市2021届高三学情调研考试数学徐州市高考研究中心命制2020.9.29一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2－x－2＜0且x∈Z}，则A∩B＝A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3} 2．某大学4名大学生利用假期到3个山村参加基层扶贫工作，每名大学生只去1个山村，每个山村至少有1人去，则不同的分配方案共有A．6种B．24种C．36种D．72种3．甲、乙、丙、丁四位同学被问到谁去过长城时，甲说：“我没去过”，乙说：“丁去过”，丙说：“乙去过”，丁说：“我没去过”，假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是A．甲B．乙C．丙D．丁4．天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，天体就越亮；星等的数值越大，天体就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森（M.R.Pogson）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 1－m 2＝2.5(lg E 2－lg E 1)，其中星等为m i 的的星的亮度为E i (i ＝1，2)．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25．“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则r 的近似值为（当|x |较小时，10x ≈1＋2.3x ＋2.7x 2） A ．1.23B ．1.26C ．1.51D ．1.575．设a ，b ，c 为单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为 A ．－2B ．2－2C ．－1D ．1－ 26．我国古代数学家刘徽于公元263年在《九章算术注》中提出“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率．如果用圆的内接正n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为πn ，那么用圆的内接正2n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值π2n 可以表示为A ．π180cosnn ︒ B ．π360cosnn ︒ C ．π180sinnn ︒ D ．π90sinnn︒ 7．用一平面截正方体，所得截面的面积最大时，截面的几何形状为A ．正六边形B ．五边形C ．矩形D ．三角形8．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若∀x ∈R ，都有2f (x )＋xf ′(x )＜2，则使x 2f (x )－f (1)＜x 2－1成立的实数x 的取值范围是 A ．{x |x ≠±1} B ．(－1，0)∪(0，1) C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年高三暑假自主学习效果抽测（二）数学试题含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|x<－1或x>1}，B＝{x|㏑x>0}，则A∩B＝ ( )A．{x| x>1} B．{x|x>0} C．{x|x<－1} D．{x|x<－1或x>1}2．（1）复数（）（A）（B）（C）（D）3．给出命题：若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．04．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5 }，B={x|3≤x≤22}，则使成立的所有a的集合（）A.{a|1≤a≤9}B.{a|6≤a≤9}C.{a|a≤9}D.5．已知，其中，则下列不等式成立的是（）A B.C．D．6．函数是单调函数的充要条件是（）A．B．C．D．7．设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A. B. C. D.8．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )A．(0,2) B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)9．)若变量满足约束条件则的最大值为（）(A)4 (B)3 (C)2 (D)110．函数是定义域为R 的奇函数，当时，，则当时，的表达式为（ ）A ．B ．C ．D ．11．定义在R 上的偶函数，在上是增函数，则 （ ）A ．B ．C ．D ．12．设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图1所示，则导函数y=f (x)可能为（ ）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13、函数 的图象必经过定点____________．14、设函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的递增区间为 。

15、设函数则的值为 。

2024-2025学年高三数学第一学期9月月考试卷一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，（ ）A ．B ．C ． D. 2.已知函数，则下列区间中含零点的是（ ）A. B. C. D. 3若，，，则，，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 4. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D.5．已知等差数列的公差不为0，且，，成等比数列，其前项和为，则（ ）A ．B．C ．D ．6.已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则 min 后物体的温度满足公式（其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）．某天小明同学将温度是80℃的牛奶放在20℃空气中，冷却2 min 后牛奶的温度是50℃，则{}2,1,0,1,2M =--202x N xx ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭M N = {}2,1,0,1--{}0,1,2{}2-{}2,2-()()2ln 16f x x x =++-()f x ()0,1()1,2()2,3()3,40.302a =.0.20.3b =0.5log 0.3c =a b c c a b <<b a c<<a b c<<a c b<<ln(2)()1x f x x +=-{}n a 11a =2a 4a 8a n n S 20234045a =5434a a a a <119462a a a a +=+1112n S n n ++=+℃1θ℃0θt ℃θkt e --+=)(010θθθθk下列说法正确的是( )A ．B ．C ．牛奶的温度降至35℃还需4 minD ．牛奶的温度降至35℃还需2 min7．在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为（ ）要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．9．下列说法正确的是（ ）A ．样本数据4，4，5，5，7的平均数为6B ．若随机变量满足，则C ．若随机变量服从两点分布，，则D ．若随机变量X 服从正态分布，且，则10. 若正数，满足，则（ ）A. B. C. D. 11．已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（）A ．的图象关于点对称B ．是以8为周期的周期函数2ln =k 2ln 2=k ζ()2E ζ=()213ζ-=E ζ()304ζ==P ()316ζ=D ()22,N σ()120.3P X <<=()30.2P X >=a b 1a b +=22log log 2a b +≤-22a b +≥ln 0+<a b 2212a b +≤R ()f x ()g x ()()21f x g x ++-=()f x ()2,1()f xC ．D ．存在函数,使得对，都有三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．12．已知的展开式中，的系数为__________.13.已知函数在区间上单调递减，则的最小值为__________.14.如下图，正方形 A 1B 1C 1D 1 的边长为 14 cm ，A 2 ，B 2 ，C 2，D 2 依次将 A 1B 1 ，B 1C 1 ，C 1D 1，D 1A 1 分为3:4的两部分得到正方形A 2B 2 C 2D 2，依照相同的规律，得到正方形A 3B 3 C 3D 3 、A 4B 4 C 4D 4 、 …、A n B n C n D n . 一只蚂蚁从A 1 出发，沿着路径A 1A 2A 3…A n 爬行，设其爬行的长度为x ，K 为正整数，且x 与K 恒满足不等式 x ≤K ，则K 的最小值是______________.四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知数列{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }是公比为2的等比数列，且a 2+a 4=b 4+2， a 1+a 3=b 2+b 3.（1）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（2）设数列的前n 项和为，求证：.16．(13分)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．(1)证明：函数是奇函数，并写出函数的对称中心；(2)判断函数的单调性(不用证明)，若，求实数的取值范围．17．(15分)大学毕业生入职某国企需要笔试，笔试题目分为A ，B 两种类型，且两种类型的题目数量20241(42)2024k f k =-=∑()h x x R ∀∈()()||hg x x =32)1)(1(-++x x x 4x )2(2)(x x x f -=),[+∞a a }9{1+n n a a n S 121<≤n S ()y f x =()y f x =()y f x =(),P a b ()y f x a b =+-()1212xf x -=+1)1()(-+=x f x g )(x f ()f x 0)24()1(2>-+--a g a g a相同，每个笔试者选择2题作答，第1题从A ，B 两类试题中随机选择1题作答，笔试者若答对第1题，则第2题选择同一类试题作答的概率为，若答错第1题，则第2题选择同一类试题作答的概率为，试题不重复选择．已知甲答对A 类试题的概率均为，答对B 类试题的概率均为，且每道试题答对与否相互独立．(1)求甲两题均选择A 类试题作答的概率；(2)若甲第1题选择B 类试题作答，设甲答对的试题数为，求的分布列与期望．18．(17分)设函数，(1) 当时，求曲线在点处的切线方程；(2) 讨论函数的单调性；(3) 设，当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.19．(17分)代数基本定理是数学中最重要的定理之一，其内容为：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根．由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积．进而，一元次复系数多项式方程有个复数根（重根按重数计）．例如: 对于一元二次实系数方程，在时的求根公式为;在时的求根公式为．所以由代数基本定理，任意一个一元二次实系数多项式可以因式分解为．(1) 在复数集中解方程：；23131223X X ()()e 0mxf x x m =≠1=m ()y f x =()()1,1f ()f x ()224g x x bx =-+1m =1R x ∈[]21,2x ∈()()12f x g x ≥b ()*N n n ∈()0f x =()*N n n ∈()f x n ()*N n n ∈n 20(a 0)++=≠ax bx c 0∆≥x =0∆<ai ac b b x 242⋅--±-=）（2(0)ax bx c a ++≠()()212++=--ax bx c a x x x x C 210x x ++=(2)（i ）在复数集中解方程：；（ii ）写出一个以、、、为根的一元六次实系数多项式方程；（结果表示为不超过二次的实系数的多项式的乘积，不需要写证明过程）；(3) 已知一元十次实系数多项式满足，求的值．C 4322x x x +-=12-13i +1i -2()f x )10,,2,1,0(11)( =+=k k k f ()11f2024-2025学年高三数学第一学期9月月考试卷参考答案12．-2 13．1 14．2115.解：（1）由题意得，解得：……………………………4分因为数列{a n }是公差为3，数列{b n }是公比为2，所以， …………………………6分（2）由（1）得： ……………………………8分……………………………10分易知在上单调递增，故当时，取最小值，又恒成立，所以，. ………………………………………13分16.解（1）：由题意，令， …………………1分显然函数的定义域为全体实数，它关于原点对称，…………………2分且， …………………4分所以函数是奇函数， …………………5分所以函数的图象关于点对称. …………………6分（2）由复合函数单调性可知在上单调递增（定义域不写也可以）， ……………9分由（1）知函数是奇函数， ………………11分又，即，，所以，函数在上单调递增，所以，，， …………………13分解得，所以实数的取值范围为.…………………15分17．（1）若甲第1题选择类试题作答并且答错，则第2题选择类试题作答的概率， 题号1234567891011答案CCCDCDBDBCDABCABC⎩⎨⎧=++=+111166228122b a b a 2,311==b a nn n b n a 2,3==111)1(1)1(33991+-=+=+⋅=+n n n n n n a a n n 111111)4131()3121()2111(+-=+-++-+-+-=n n n S n ）（ 111+-=n y *N 1=n n S 21)(1*N n S n ∈<121<≤n S ()1212x f x -=+()()211112xg x f x -=+-=-+()g x ()()12222112012122112x x x x xg x g x +-⎛⎫⎛⎫+-=-+-=+-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭()2112xg x -=-+()f x ()1,1()1212x f x -=+R ()2112xg x -=-+)42()24(-=--a g a g 0)24()1(2>-+--a g a g )42()1(2->--a g a g ()2112xg x -=-+R 4212->--a a 2230a a +-<31a -<<a ()3,1-A A 1111122312P =⨯⨯=若甲第1题选择类试题作答并且答对，则第2题选择类试题作答的概率，故甲2题均选择类试题作答的概率； ...........................................6分（2）由题可知，的所有可能取值为0，1，2，则， .......................................8分， .......................................10分， .......................................12分故的分布列为：012...................................................13分则． ...................................................15分18．（1） ， .................................................1分所以，切线斜率，切点坐标为 .................................................3分则曲线在点处的切线方程为，即，............................................4分（2）令，所以，当时，，此时在上单调递减，在上单调递增;.......................................6分当时，，此时在上单调递增，在上单调递减........................................8分A A 211212236P =⨯⨯=A 1111264P =+=X 1111214(0)33333227P X ==⨯⨯+⨯⨯=2212111121214(1)3333323333329P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=22221111(2)33333227P X ==⨯⨯+⨯⨯=X XP427491127441134()0122792727E X =⨯+⨯+⨯=x xe x f =)(x e x x f )1()('+=e f k 2)1('==),1(e ()y f x =()()1,1f )1(2-=-x e e y 02=--e y ex ()()1e 0mxf x mx '=+>10mx +>0m >1x m>-()f x 1,m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭0m <1x m <-()f x 1,m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（3）当时，在上单调递减，在上单调递增，所以对任意，有，.......................................9分又已知存在，使， 所以，即存在，使，.......................................10分解法1：函数的对称轴，①当时，在区间上单调递增，所以，，，不存在；.......................................12分②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，，，不存在；....................................14分③当时，在区间上单调递减，所以，，； ....................................16分综上，实数的取值范围是........................................17分解法2：分离参数得：，设，.......................................11分因为， .......................................12分所以，当时，，;当时，或，即函数的减区间为，，所以，当时，函数为减函数，（直接先写出函数在区间上导数为负，也可以）.......................................14分1m =()f x (),1∞--()1,-+∞1R x ∈()11(1)ef x f ≥-=-[]21,2x ∈()()12f xg x ≥()221,[1,2]eg x x -≥∈[]1,2x ∈21()24eg x x bx =-+≤-)(x g b x =1≤b )(x g ]2,1[e b g x g 125)1()(min -≤-==1215>+≥ee b b 21<<b )(x g ),1[b ]2,(b e b b g x g 14)()(2min -≤-==214>+≥eb b 2≥b )(x g ]2,1[e b g x g 148)2()(min -≤-==2412>+≥eb b 12,4e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭14e 2b x x -+≥+14e y x x-+=+()211224e 4e 1x y x x---++'=-=0'>y x >x <)+∞(,-∞0'<y 0x <<0x <<()([1,2]x ∈14e y x x-+=+]2,1[所以，，所以，，即实数取值范围是. .......................................16分所以，实数的取值范围是........................................17分19．（1）方程，则，所以、即原方程在复数集.......................................4分（2）（i ）因为，所以，即，即，所以，，，即原方程在复数集中解为，.......................................6分（ii ）因为为该方程（实系数）为根，则也为方程的根，为该方程（实系数）为根，则也为方程的根，又与可为方程的两个虚根；与可为方程的两个虚根；所以以、、、为根的一元六次实系数多项式方程可以为........................................8分（3）依题意可得，令，因为十一次多项式方程有个根， ............................10分令， ......................................12分所以， 令，可得，所以， 所以, .......................................14分14e 11[1,2],4,52e e x x x -+⎡⎤∈+∈++⎢⎥⎣⎦1242e b ≥+b 124eb ≥+b 12,4e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭210x x ++=214113∆=-⨯⨯=-1x =2x =C 4322x x x +-=()()3220x x x +-+=()()3210x x +-=()()()22110x x x x +-++=32x =-41x =5x =6x =C 2-11i +1i -2i -2i +1i +1i -2220x x +=-2i -2i +2450x x -+=12-131i +2i -()()()()22213122450x x x x x x +--+-+=()()()1100,1,2,,10k f k k +-== ()()()11g x x f x =+-()()()110g x x f x =+-=110,1,2,,10x = ()()()()1210g x ax x x x =--- ()0a ≠()()()()()111210x f x ax x x x +-=--- =1x -()()()()112311a -=-⨯-⨯-- 111!a =()()()()1121011!g x x x x x =---所以,， .......................................15分因为,，所以, ......................................17分()()()()()1111121011111!f x g x x x x x x x ⎡⎤=+=---+⎡⎤⎣⎦⎢⎥++⎣⎦()11111101111!g =⨯⨯⨯⨯= 61)1)11((121)11(=+=g f。

2021年高三数学9月月考试题文（含解析）【试卷综析】注重基础知识，基本技能的考查，符合新课程标准和命题的意图及宗旨。

解答题中，梯度明显，考查的都是集合与函数中的基本概念和基本方法，在关注学生基本能力的考查的同时，仍然紧扣双基。

总体感觉试题对学生双基的考查既全面又突出重点，对教师的教和学生的学检测到位，同时对后续的教与学又起到了良好的导向和激励.第1卷（选择题共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．设集合M={1,2,3}，N={x|），则=( )A．{3} B．{2,3} C．{1,3} D．{1,2,3}【知识点】解不等式；集合运算. E1 A1【答案解析】A 解析：N={x|x>2}，所以={3}，故选A.【思路点拨】解出集合N中的不等式，从而求得.【题文】2．已知等比数列{}满足：．等，则=( )A． B． C．± D．±【知识点】等比数列的性质. D3【答案解析】B 解析：，所以，所以cos=，故选B.【思路点拨】由等比数列的性质得，所以cos=.【题文】3．已知，则的值为( )A． B． C． D．【知识点】诱导公式；二倍角公式. C2 C6【答案解析】D 解析：由得，所以，故选D.【思路点拨】由诱导公式得，再由二倍角公式得.【题文】4．已知命题，命题,则( )A．命题是假命题 B．命题是真命题C．命题是真命题 D．命题是假命题【知识点】基本逻辑连结词及量词. A3【答案解析】C 解析：因为命题p是真命题，命题q是假命题，所以命题是真命题，所以命题是真命题，故选C.【思路点拨】先判断题干中各命题的真假，再确定正确选项.【题文】5．若x>0, y>0且，则的最小值为( )A．3 B． C．2 D．3+【知识点】基本不等式求最值. E6【答案解析】D 解析：因为，所以x=-2y+1,即x+2y=1，又x>0, y>0，所以=（x+2y）（）=3+，当且仅当时等号成立，故选D.【思路点拨】由已知条件得到x+2y=1，又x>0, y>0，所以=（x+2y）（）=3+，当且仅当时等号成立.【题文】6．函数的大致图象是( )【知识点】导数的应用. B12【答案解析】B 解析：因为函数的定义域，所以得，经检验在上递增，在上递减，且最大值，故选B.【思路点拨】利用导数确定函数的单调性和最大值，从而求得正确选项.【题文】7．若是奇函数，且是函数的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点( ) A． B． C． D．【知识点】奇函数定义；函数零点的意义. B4 B9【答案解析】C 解析：因为是函数的一个零点，所以，把，代入个选项得，选项C中，成立，故选C.【思路点拨】由已知得，把，代入个选项得，选项C正确.【题文】8．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知，，则cosA=( ) A． B． C． D．【知识点】解三角形. C8【答案解析】A 解析：由已知得，代入得，故选A.【思路点拨】根据已知条件可得a,b关于c的表达式，将其代入得所求结果.【题文】9．已知为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，的最大值是( )A．6 B．0 C．2 D．【知识点】线性规划. E5【答案解析】A 解析：画出可行域，由可行域面积为4得a=2，平移目标函数为0的直线y=2x，得使目标函数取得最大值的最优解是点（2，-2），所以的最大值是6，故选A.【思路点拨】画出可行域，根据已知得a=2，平移目标函数为0的直线y=2x，得使目标函数取得最大值的最优解是点（2，-2），所以的最大值是6.【题文】10．在△ABC中，E，F分别在边AB,AC上，D为BC的中点，满足，,则 cos A = ( ) A．0 B． C． D．【知识点】向量的线性运算；向量的数量积. F1 F3【答案解析】D 解析：AC=b, ,则AB=2b,根据题意得：= ,同理,因为，所以,整理得,即,所以，故选D.【思路点拨】把已知中涉及到的线段所对应的向量，都用向量表示，再用，得向量间的等量关系，从而求得cos A的值.第Ⅱ卷（非选择题共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小l15分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．【题文】11．已知，其中i为虚数单位，则=____________.【知识点】复数的运算. L4【答案解析】5 解析：由得，所以a=2,b=3,所以a+b=5.【思路点拨】利用复数乘法变形已知等式，得，所以a=2,b=3,所以a+b=5.【题文】12．已知等差数列{}的前n项和为，若，则=____________.【知识点】等差数列的性质及前n项和公式. D2【答案解析】36 解析：由已知得，所以.【思路点拨】利用等差数列的性质及前n项和公式求解.【题文】13.已知为单位向量，,则____________.【知识点】向量的坐标运算. F2【答案解析】23 解析：设，因为为单位向量，所以①，又,所以②，由①②得3x+4y=23,所以3x+4y=23.【思路点拨】设，利用已知得到关于x,y的方程组求得x,y的值，或x,y的关系，代入关于x,y的表达式即可.【题文】14．设m，n，p∈R，且，，则p的最大值和最小值的差为__ __．【知识点】直线与圆有公共点的条件. H4【答案解析】解析：把m,n看成变量p看成字母常数，则方程有解的条件是，把直线代入圆消去n整理得：,由判别式得，解得，所以p的最大值和最小值的差为.【思路点拨】把m,n看成变量p看成字母常数，利用直线与圆有公共点的条件得p的最大值与最小值，从而求得p的最大值和最小值的差.【题文】15．函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤≤>-=,1)21(2,2sin2),1(log)(2015xxxxxxfxπ，若a,b,c,d是互不相等的实数，且，则a+b+c+d的取值范围为___ .【知识点】分段函数. B1【答案解析】(4，xx) 解析：设=m，a<b<c<d，由函数的图像可知，平移直线y=m可得：当m趋向于0时，a、b都趋向于0，c、d都趋向于2，a+b+c+d趋向于0+0+2+2=4；当m趋向于1时，a趋向于-1，b、c都趋向于1，而d趋向于xx，a+b+c+d趋向于-1+1+1+xx=xx，所以a+b+c+d的取值范围为(4，xx).【思路点拨】作函数的图像，设=m，a<b<c<d，由函数的图像可知，平移直线y=m可得结论. 三．解答题：本大题6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】16．（13分）等差数列{}满足：，，其中为数列{}前n项和．(I)求数列{}通项公式；(II)若，且，，成等比数列，求k值．【知识点】等差数列；等比数列. D2 D3【答案解析】（Ⅰ）n；（Ⅱ）4. 解析：（Ⅰ）由条件，；（Ⅱ），∵22329(21)4 k k ka a S k k k k k=⋅⇒=⋅+⇒=．【思路点拨】（Ⅰ）把等差数列的通项公式、前n项和公式，代入已知等式得关于的方程组，求得，进而求；（Ⅱ）利用等差数列的通项公式、前n项和公式，求得，，，代入得关于k的方程解出k值.【题文】17．（13分）某中学高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86．求出x，y的值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差、，并根据结果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？(II)从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名．求至少有1名来自甲班的概率．【知识点】茎叶图；一组数据的数字特征；古典概型；I2 K2【答案解析】(Ⅰ)x=5，y=6，，，应选甲班参加；(Ⅱ) .解析：(Ⅰ)甲班的平均分为1748284(80)908355xx x+++++==⇒=，易知．；又乙班的平均分为，∴；∵，，说明甲班同学成绩更加稳定，故应选甲班参加．(Ⅱ) 分及以上甲班有人，设为；乙班有人，设为，从这人中抽取人的选法有：，共种，其中甲班至少有名学生的选法有种，则甲班至少有名学生被抽到的概率为.【思路点拨】(Ⅰ)根据平均数、中位数、方差的计算公式求得各值，通过比较平均数、方差得选派参加比赛的班；(Ⅱ) 分及以上甲班有人，乙班有人，用列举法写出，从这人中抽取人的选法共种，其中甲班至少有名学生的选法有种，则甲班至少有名学生被抽到的概率为. 【题文】18．（13分）已知函数(I)当a=2时，求曲线在点A(1，f（1）)处的切线方程；(II)讨论函数f(x)的单调性与极值．【知识点】导数的应用. B12【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）①当时，在上单调递增，无极值；②当时，在上单调递减，在上单调递增，，无极大值.解析：（Ⅰ）时，，，∴，又，故切线方程为：即.（Ⅱ）函数的定义域为，令①当时，在上单调递增，无极值；②当时，在上单调递减，在上单调递增，，无极大值.【思路点拨】（Ⅰ）根据导数的几何意义求得曲线在点A处切线的斜率，从而写出切线方程；（Ⅱ）先确定函数的定义域，再求函数的导函数，由导函数大于0得，所以，①当时，在上单调递增，无极值；②当时，在上单调递减，在上单调递增，，无极大值.【题文】19．（12分）设函数)0(41coscos)6sin()(2>-+⋅-=ϖϖϖπϖxxxxf图像上的一个最高点为A，其相邻的一个最低点为B，且|AB|=．(I)求的值；(II)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b+c=2，，求的值域．【知识点】函数的图像与性质；解三角形. C4 C8【答案解析】(Ⅰ) ；(Ⅱ) . 解析：(Ⅰ) ，由条件得，.(Ⅱ)由余弦定理：bcbccbAbccba343)(cos22222-=-+=-+=又，故，又，故由，，所以的值域为.【思路点拨】(Ⅰ)由二倍角公式、两角和与差的三角函数得，再由相邻最高点与最低点间距离为得周期T=2，从而求得的值；(Ⅱ)由已知条件及余弦定理得，又，故，又，故，由，，所以的值域为：.【题文】20.（12分）已知数列{}的前n 项和为，且满足．(I)证明：数列为等比数列，并求数列{}的通项公式；(II)数列{}满足，其前n 项和为，试求满足的最小正整数n ．【知识点】数列综合问题. D5【答案解析】（Ⅰ）证明数列为等比数列.略, ；（Ⅱ）8.解析：（Ⅰ）当时，；当时，1111212221(1)2n nn n n n n n n S n a a a a a a S n a ----+=⎫⇒+=-⇒=+⎬+-=⎭；即（），且，故为等比数列（）.（Ⅱ）设 ………………① 23121222(1)22n n n K n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯… …………② ①②：231112(12)222222(1)2212n n n n n n K n n n +++--=++++-⨯=-⨯=-⨯--…∴， ∴，21(1)22201582n n n n T n n +++=-⨯+>⇒≥，∴满足条件的最小正整数【思路点拨】（Ⅰ）利用公式将已知递推公式转化为关于的递推公式，从而证得数列为等比数列，由此进一步求得；（Ⅱ）由条件求得，从而求得数列的前n 项和，所以21(1)22201582n n n n T n n +++=-⨯+>⇒≥，∴满足条件的最小正整数.【题文】21.（12分）对于函数与常数a ，b ，若恒成立，则称（a ，b ）为函数的一个“P 数对”：设函数的定义域为，且f(1)=3．(I)若（a ，b ）是的一个“P 数对”，且，，求常数a ，b 的值；(Ⅱ)若(1，1)是的一个“P 数对”，求；(Ⅲ)若()是的一个“P 数对”，且当时，，求k 的值及在区间上的最大值与最小值．【知识点】函数综合问题. B14【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）当时，在上的最大值为，最小值为3；当且为奇数时，在上的最大值为，最小值为；当为偶数时，在上的最大值为，最小值为．解析：（Ⅰ）由题意知，即，解得：（Ⅱ）由题意知恒成立，令，可得，∴是公差为1的等差数列故，又，故．（Ⅲ）当时，，令，可得，解得，所以，时，，故在上的值域是．又是的一个“数对”，故恒成立，当时，，…，故为奇数时，在上的取值范围是；当为偶数时，在上的取值范围是．所以当时，在上的最大值为，最小值为3；当且为奇数时，在上的最大值为，最小值为；当为偶数时，在上的最大值为，最小值为．【思路点拨】（Ⅰ）根据“P数对”的定义及已知得，关于a,b的方程组，求得a,b值；（Ⅱ）因为(1，1)是的一个“P数对”，所以恒成立，令，可得，∴是公差为1的等差数列，因为，故.（Ⅲ）因为当时，，又f(1)=3，所以，所以，时，，故在上的值域是．又是的一个“数对”，故恒成立，当时，，…，故为奇数时，在上的取值范围是；当为偶数时，在上的取值范围是．所以当时，在上的最大值为，最小值为3；当且为奇数时，在上的最大值为，最小值为；当为偶数时，在上的最大值为，最小值为． 22768 58F0 声J21875 5573 啳29828 7484 璄i 34377 8649 虉j 34293 85F5 藵25978 657A 敺20705 50E1 僡 +。

2021年高三上学期9月调研数学（文）试卷含解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合A={x|x≤0}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=__________．2．命题：“∀x∈R，3x＞0”的否定是__________．3．已知复数z=（1﹣i）i（i为虚数单位），则|z|=__________．4．计算÷=__________．5．“α=”是“tanα=1”的__________条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）6．正弦曲线y=sinx在处的切线的斜率为__________．7．设函数，则f（x）≤2时x的取值范围是__________．8．曲线y=和y=x2在它们的交点处的两条切线互相垂直，则a的值是__________．9．设数列{a n}满足a1=3，a n+1=a n2﹣2na n+2，n=1，2，3，…，通过计算a2，a3，a4，试归纳出这个数列的通项公式a n=__________．10．已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为__________时，log2a•log2（2b）取得最大值．11．已知集合A={（x，y）|y≤x}，集合B={（x，y）|（x﹣a）2+y2≤3}，若A∩B=B，则实数a 的取值范围为__________．12．已知点P是函数y=lnx的图象上一点，在点P处的切线为l1，l1交x轴于点M，过点P 作l1的垂线l2，l2交x轴于点N，MN的中点为Q，则点Q的横坐标的最大值为__________．13．已知函数f（x）=．若存在x1，x2，当1≤x1＜x2＜3时，f（x1）=f（x2），则的取值范围是__________．14．设函数f（x）=若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围__________．二、解答题：15．（14分）函数f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的定义域为集合A，函数g（x）=2x﹣a（x≤2）的值域为集合B．（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）若集合A，B满足A∩B=B，求实数a的取值范围．16．（14分）设命题p：函数f（x）=lg（x2+ax+1）的定义域为R；命题q：函数f（x）=x2﹣2ax﹣1在（﹣∞，﹣1]上单调递减．（1）若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围；（2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题p为真命题时，a的取值集合为N．当M∪N=M时，求实数m的取值范围．17．设a为实数，记函数的最大值为g（a）．（1）设t=，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；（2）求g（a）．18．如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？19．（16分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x ﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．20．（16分）已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．xx学年江苏省泰州市兴化一中高三（上）9月调研数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合A={x|x≤0}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B={﹣1，0}．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由A与B，求出两集合的交集即可．解答：解：∵A={x|x≤0}，B={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={﹣1，0}，故答案为：{﹣1，0}．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．命题：“∀x∈R，3x＞0”的否定是∃x0∈R，使得≤0．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题，直接写出该命题的否定即可．解答：解：根据全称命题的否定是特称命题，得；命题：“∀x∈R，3x＞0”的“”的否定是：“∃x0∈R，使得≤0”．故答案为：∃x0∈R，使得≤0．点评：本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，解题时应熟记全称命题与特称命题的关系是什么，是基础题．3．已知复数z=（1﹣i）i（i为虚数单位），则|z|=．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数模的计算公式即可求得复数z的模．解答：解：z=（1﹣i）i=1+i，∴|z|==，故答案为：．点评：本题考查复数求模，属于基础题．4．计算÷=﹣20．考点：有理数指数幂的化简求值；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：计算题．分析：利用对数的商的运算法则及幂的运算法则求出值．解答：解：=lg=﹣20故答案为：﹣20点评：本题考查对数的四则运算法则、考查分数指数幂的运算法则．5．“α=”是“tanα=1”的充分不必要条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件、必要条件的概念，以及tanα=1时α的取值情况即可判断是tanα=1的什么条件．解答：解：时，tanα=1；tanα=1时，，所以不一定得到；∴是tanα=1的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．点评：考查充分条件、必要条件以及充分不必要条件的概念，以及根据tanα=1能求α．6．正弦曲线y=sinx在处的切线的斜率为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求出y=sinx的导数，将代入，由特殊角的三角函数值，即可得到所求．解答：解：y=sinx的导数为y′=cosx，即有曲线在处的切线的斜率为k=cos=．故答案为：．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率，主要考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键．7．设函数，则f（x）≤2时x的取值范围是[0，+∞）．考点：对数函数的单调性与特殊点；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数的表达式，解不等式即可，注意要对x进行分类讨论．解答：解：由分段函数可知，若x≤1，由f（x）≤2得，21﹣x≤2，即1﹣x≤1，∴x≥0，此时0≤x≤1，若x＞1，由f（x）≤2得1﹣log2x≤2，即log2x≥﹣1，即x，此时x＞1，综上：x≥0，故答案为：[0，+∞）．点评：本题主要考查分段函数的应用，利用分段函数的表达式讨论x的取值范围，解不等式即可．8．曲线y=和y=x2在它们的交点处的两条切线互相垂直，则a的值是a=．考点：曲线与方程；两条直线垂直的判定．专题：计算题．分析：先求出它们交点的横坐标，再求出它们的斜率表达式，由两条切线互相垂直、斜率之积等于﹣1，解出a的值．解答：解：曲线y=和y=x2的交点的横坐标是，它们的斜率分别是=﹣和2x=2，∵切线互相垂直，∴﹣•2=﹣1，∴a=±，故答案为a=±．点评：本题考查曲线与方程、两条直线垂直的条件．9．设数列{a n}满足a1=3，a n+1=a n2﹣2na n+2，n=1，2，3，…，通过计算a2，a3，a4，试归纳出这个数列的通项公式a n=2n+1．考点：数列的概念及简单表示法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：先由递推公式求a2，a3，a4，再猜想通项公式；解答：解：∵a1=3，a n+1=a n2﹣2na n+2，∴a2=a12﹣2a1+2=9﹣6+2=5，a3=a22﹣2×2a2+2=25﹣20+2=7，a4=a32﹣2×3a3+2=49﹣42+2=9，即a2=5，a3=7，a4=9，由归纳推理猜想an=2n+1．故答案为：2n+1．点评：本题主要考查数列的通项公式的猜想，根据数列的递推关系求出a2，a3，a4是解决本题的关键．10．已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为4时，log2a•log2（2b）取得最大值．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：由条件可得a＞1，再利用基本不等式，求得当a=4时，log2a•log2（2b）取得最大值，从而得出结论．解答：解：由题意可得当log2a•log2（2b）最大时，log2a和log2（2b）都是正数，故有a＞1．再利用基本不等式可得log2a•log2（2b）≤===4，当且仅当a=2b=4时，取等号，即当a=4时，log2a•log2（2b）取得最大值，故答案为：4．点评：本题主要考查基本不等式的应用，注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件，属于中档题．11．已知集合A={（x，y）|y≤x}，集合B={（x，y）|（x﹣a）2+y2≤3}，若A∩B=B，则实数a 的取值范围为[2，+∞）．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：先根据集合A、B的关系，画出满足条件的平面区域，结合点到直线的距离从而求出a 的范围．解答：解：集合B={（x，y）|（x﹣a）2+y2≤3}，∴集合B是以（a，0）为圆心，以为半径的圆，若A∩B=B，画出图象，如图示：，显然，直线和圆相切时是临界值，∴圆心（a，0）到直线的距离d==，解得：a=2，∴a≥2，故答案为：[2，+∞）．点评：本题考查了集合之间的关系，考查点到直线的距离公式，数形结合思想，是一道中档题．12．已知点P是函数y=lnx的图象上一点，在点P处的切线为l1，l1交x轴于点M，过点P 作l1的垂线l2，l2交x轴于点N，MN的中点为Q，则点Q的横坐标的最大值为．考点：对数函数的图像与性质．专题：导数的综合应用．分析：设切点为（a，b），利用导数求出直线PM的方程，继而求出M点的横坐标，再根据直线PM⊥直线PN，求出直线PN的方程，继而求出N点的横坐标，根据中点坐标公式，求出Q点的横坐标，再利用导数求出最值，问题得以解决．解答：解：设P点的坐标为（a，b），如图所示，∵f（x）=lnx，∴f′（x）=，∴直线PM的斜率k PM=f′（a）=，∴直线PM的方程为y﹣b=（x﹣a），令y=0，解得x M=a﹣ab，∵直线PM⊥直线PN，∴k PN=﹣=﹣a，直线PN的方程为y﹣b=﹣a（x﹣a），令y=0，解得x N=a+，∵MN的中点为Q，∴x Q=（x M+x N=）=（a﹣ab+a+），又b=lna，∴x Q=（a﹣alna+a+），令g（a）=a﹣alna+a+，∴g′（a）=1﹣（lna+1）+1+=（1﹣lna）（1+），令g′（a）=0，解的a=e，当0＜a＜e时，g′（a）＞0，g（a）单调递增；当a＞e时，g'（a）＜0，g（a）单调递减，当a=e时取得极大值，即为最大值，最大值为g（e）=e﹣e+e+=，故点Q的横坐标的最大值为故答案为：点评：本题主要考查了曲线的切线方程和导数与最值得关系，关键是把点的坐标问题转化为求函数的最值问题，培养了学生的转化能力，属于中档题．13．已知函数f（x）=．若存在x1，x2，当1≤x1＜x2＜3时，f（x1）=f（x2），则的取值范围是（，]．考点：分段函数的应用．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：作函数f（x）的图象，结合图象可得+≤x1＜；化简==1+；从而求取值范围．解答：解：作函数f（x）=的图象如下，f（）=+1=1+；故令x+=1+得，x=+；故+≤x1＜；又∵==1+；＜≤=﹣1；＜1+≤；故答案为：（，]．点评：本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用，属于中档题．14．设函数f（x）=若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围或a≥2．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a 的范围．解答：解：设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），若在x＜1时，h（x）=2x﹣a与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2故答案为：或a≥2．点评：本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．二、解答题：15．（14分）函数f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的定义域为集合A，函数g（x）=2x﹣a（x≤2）的值域为集合B．（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）若集合A，B满足A∩B=B，求实数a的取值范围．考点：交集及其运算；函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：（I）对数的真数＞0求解函数f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的定义域得到集合A，再根据指数函数的值域求解B即可；（II）由题意A，B满足A∩B=B得B是A的子集，建立关于a的不等关系，可解出实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）A={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|（x﹣3）（x+1）＞0}={x|x＜﹣1，或x＞3}，..…..…B={y|y=2x﹣a，x≤2}={y|﹣a＜y≤4﹣a}．…..…..（Ⅱ）∵A∩B=B，∴B⊆A，..…．∴4﹣a＜﹣1或﹣a≥3，…∴a≤﹣3或a＞5，即a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪（5，+∞）．…．（13分）点评：本题考查集合的求法，对数函数的定义域、值域的求解是解题的关键，考查计算能力．16．（14分）设命题p：函数f（x）=lg（x2+ax+1）的定义域为R；命题q：函数f（x）=x2﹣2ax﹣1在（﹣∞，﹣1]上单调递减．（1）若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围；（2）若关于x的不等式（x﹣m）（x﹣m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题p为真命题时，a的取值集合为N．当M∪N=M时，求实数m的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：（1）先分别求出p真，q真时的x的范围，再通过讨论p真q假或p假q真的情况，从而求出a的范围；（2）根据M、N的关系，得到不等式组，解出即可．解答：解：（1）若p真：即函数f（x）的定义域为R∴x2+ax+1＞0对∀x∈R恒成立，∴△=a2﹣4＜0，解得：﹣2＜a＜2，若q真，则a≥﹣1，∵命题“p∨q”为真，“p∧q”为假∴p真q假或p假q真∵或，解得：﹣2＜a＜﹣1或a≥2．（2）∵M∪N=M∴N⊆M，∵M=（m﹣5，m），N=（﹣2，2）∴，解得：2≤m≤3．点评：本题考查了集合之间的关系，考查复合命题的性质，本题是一道中档题．17．设a为实数，记函数的最大值为g（a）．（1）设t=，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；（2）求g（a）．考点：二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；分类讨论．分析：（1）令，由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，再由，且t≥0…①，可得t的取值范围是，进而得m（t）的解析式．（2）由题意知g（a）即为函数m（t）=，的最大值，直线是抛物线m（t）=的对称轴，分a ＞0、a=0、a＜0三种情况利用函数的单调性求出函数f（x）的最大值为g（a）．解答：解：（1）∵，∴要使t有意义，必须1+x≥0且1﹣x≥0，即﹣1≤x≤1．∵，且t≥0…①，∴t的取值范围是．由①得：，∴=，．（2）由题意知g（a）即为函数m（t）=，的最大值，∵直线是抛物线m（t）=的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：1）当a＞0时，函数y=m（t），的图象是开口向上的抛物线的一段，由知m（t）在上单调递增，故g（a）=m（2）=a+2；2）当a=0时，m（t）=t，在上单调递增，有g（a）=2；3）当a＜0时，函数y=m（t），的图象是开口向下的抛物线的一段，若即时，g（a）=，若即时，g（a）=，若∈（2，+∞）即时，g（a）=m（2）=a+2．综上所述，有g（a）=．点评：本题主要考查二次函数在闭区间上的最值的求法，函数解析式求解的方法，体现了分类讨论的数学思想．18．如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？考点：基本不等式；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：（Ⅰ）求当t=时，直路l所在的直线方程，即求抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）在x=时的切线方程，利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；（Ⅱ）求出x=t时的抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0＜t＜）上的极大值，也就是最大值．解答：解：（I）∵y=﹣x2+2，∴y′=﹣2x，∴过点M（t，﹣t2+2）的切线的斜率为﹣2t，所以，过点M的切线方程为y﹣（﹣t2+2）=﹣2t（x﹣t），即y=﹣2tx+t2+2，当t=时，切线l的方程为y=﹣x+，即当t=时，直路l所在的直线方程为12x+9y﹣22=0；（Ⅱ）由（I）知，切线l的方程为y=﹣2tx+t2+2，令y=2，得x=，故切线l与线段AB交点为F（），令y=0，得x=，故切线l与线段OC交点为（）．地块OABC在切线l右上部分为三角形FBG，如图，则地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积为S=（2﹣）×2=4﹣t﹣=4﹣（t+）≤2．当且仅当t=1时，取等号．∴当t=100米时，地块OABC在直路l不含游泳池那侧的面积最大，最大值为xx0平方米．点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，在实际问题中，函数在定义域内仅含一个极值，该极值往往就是最值．属中档题型．19．（16分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x ﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h（x）max；解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx+，∵f（x）＞1，∴e x lnx+＞1，∴lnx＞﹣，∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．设函数h（x）=xe﹣x﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．点评：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．20．（16分）已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由1+x≥0且1﹣x≥0可求得定义域，先求[f（x）]2的值域，再求f（x）的值域；（2）F（x）=a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，由此可转化为关于t的二次函数，按照对称轴t=﹣与t的范围[，2]的位置关系分三种情况讨论，借助单调性即可求得其最大值；（3）先由（2）求出函数g（x）的最小值，﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）恒成立，从而转化为关于t的一次不等式，再根据一次函数的单调性可得不等式组，解出即可．解答：解：（1）由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，所以函数的定义域为[﹣1，1]，又[f（x）]2=2+2∈[2，4]，由f（x）≥0，得f（x）∈[，2]，所以函数值域为[，2]；（2）因为F（x）==a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，∴F（x）=m（t）=a（﹣1）+t=，t∈[，2]，由题意知g（a）即为函数m（t）=，t∈[，2]的最大值．注意到直线t=﹣是抛物线m（t）=的对称轴．因为a＜0时，函数y=m（t），t∈[，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，①若t=﹣∈（0，]，即a≤﹣，则g（a）=m（）=；②若t=﹣∈（，2]，即﹣＜a≤﹣，则g（a）=m（﹣）=﹣a﹣；③若t=﹣∈（2，+∞），即﹣＜a＜0，则g（a）=m（2）=a+2，综上有g（a）=，（3）易得，由﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）=恒成立，⇒m2﹣2tm≥0，令h（t）=﹣2mt+m2，对所有的t∈[﹣1，1]，h（t）≥0成立，只需，解得m的取值范围是m≤﹣2或m=0，或m≥2．点评：本题考查函数恒成立问题，考查函数定义域、值域的求法，考查学生对问题的转化能力，恒成立问题往往转化为函数最值问题解决．24565 5FF5 念26435 6743 权)39299 9983 馃X32324 7E44 繄737513 9289 銉q227775 6C7F 汿733495 82D7 苗H40277 9D55 鵕。

2021年高三上学期9月月考数学试卷含解析一、填空题：（每题5分，共计70分）1．已知A={﹣1，0，2}，B={﹣1，1}，则A∪B= ．2．已知复数z=，（i为虚数单位）则复数z的实部为．3．写出命题：“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题：．4．一位篮球运动员在最近的5场比赛中得分的茎叶图如图，则他在这5场比赛中得分的方差是．5．如图所示的流程图，输出的n= ．6．已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为．7．若实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最大值为．8．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为．9．在等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，若a3=8，S3=20，则S5= ．10．将y=sin2x的图象向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图象仍过点（），则φ的最小值为．11．若直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，则a= ．12．已知函数f（x）=，为奇函数，则不等式f（x）＜4的解集为．13．在三角形ABC中，已知AB=3，A=120°，△ABC的面积为，则•的值= ．14．设点P，M，N分别在函数y=2x+2，y=，y=x+3的图象上，且=2，则点P横坐标的取值范围为．二、解答题：（满分90分，作答请写出必要的解答过程）15．已知f（x）=sinx+acosx，（1）若a=，求f（x）的最大值及对应的x的值．（2）若f（）=0，f（x）=（0＜x＜π），求tanx的值．16．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D为PB中点，E为PC的中点，（1）求证：BC∥平面ADE；（2）求证：平面AED⊥平面PAB．17．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若点B在椭圆上，点D在y轴上，且=2，求直线AB方程．19．已知数列{a n}满足a1=1，a2=a＞0，数列{b n}满足b n=a n•a n+1（1）若{a n}为等比数列，求{b n}的前n项的和s n；（2）若b n=3n，求数列{a n}的通项公式；（3）若b n=n+2，求证：++…+＞2﹣3．20．已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx，（1）求证：f（x）≥x+1；（2）设x0＞1，求证：存在唯一的x0使得g（x）图象在点A（x0，g（x0））处的切线l与y=f（x）图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a，总存在正数x，使得|﹣1|＜a成立．xx学年江苏省淮安市淮阴中学高三（上）9月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每题5分，共计70分）1．已知A={﹣1，0，2}，B={﹣1，1}，则A∪B= {﹣1，0，1，2} ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：利用并集的性质求解．解答：解：∵A={﹣1，0，2}，B={﹣1，1}，∴A∪B{﹣1，0，1，2}，故答案为：{﹣1，0，1，2}．点评：本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题．2．已知复数z=，（i为虚数单位）则复数z的实部为 1 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．解答：解：∵复数z===i+1．∴复数z的实部为1．故答案为：1．点评：本题考查了复数的运算法则、实部的定义，属于基础题．3．写出命题：“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题：“若x≠3则x2﹣2x﹣3≠0”．考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：若原命题的形式是“若p，则q”，它的否命题是“若非p，则非q”，然后再通过方程根的有关结论，验证它们的真假即可．解答：解：原命题的形式是“若p，则q”，它的否命题是“若非p，则非q”，∴命题：“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3则x2﹣2x﹣3≠0”．故答案为：“若x≠3则x2﹣2x﹣3≠0”．点评：写四种命题时应先分清原命题的题设和结论，在写出原命题的否命题、逆命题、逆否命题，属于基础知识．4．一位篮球运动员在最近的5场比赛中得分的茎叶图如图，则他在这5场比赛中得分的方差是 2 ．考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：先求得数据的平均数，再利用方差计算公式计算．解答：解：==10，∴方差Dx=×（4+1+0+1+4）=2．故答案为：2．点评：本题考查了由茎叶图求数据的方差，熟练掌握方差的计算公式是解题的关键．5．如图所示的流程图，输出的n= 4 ．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：当n=1时，S=1，不满足退出循环的条件，故n=2，S=4；当S=4，不满足退出循环的条件，故n=3，S=9；当S=9，不满足退出循环的条件，故n=4，S=16；当S=16，满足退出循环的条件，故输出的n值为4，故答案为：4点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．6．已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程，算出它的焦点为F（2，0），即为双曲线的右焦点，由此建立关于a的等式并解出a值，进而可得此双曲线的渐近线方程．解答：解：∵抛物线方程为y2=8x，∴2p=8，=2，可得抛物线的焦点为F（2，0）．∵抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点，∴双曲线的右焦点为（2，0），可得c==2，解得a2=1，因此双曲线的方程为，可得a=1且b=，∴双曲线的渐近线方程为y=x，即．故答案为：点评：本题给出双曲线的右焦点与已知抛物线的焦点相同，求双曲线的渐近线方程．着重考查了抛物线的简单性质、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．7．若实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最大值为 6 ．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组对应的平面区域如图，将直线l：z=x+2y进行平移，并观察它在轴上截距的变化，可得当l经过区域的右上顶点A时，z达到最大值．由此求出A点坐标，不难得到本题的答案．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如右图，是位于△ABO及其内部的阴影部分．将直线l：z=x+2y进行平移，可知越向上平移，z的值越大，当l经过区域的右上顶点A时，z达到最大值由解得A（2，2）∴z max=F（2，2）=2+2×2=6故答案为：6点评：本题给出线性约束条件，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单线性规划等知识点，属于基础题．8．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为6π．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由圆柱的轴截面是边长为2的正方形可得圆柱底面圆的直径长为2，高为2．解答：解：∵圆柱的轴截面是边长为2的正方形，∴圆柱底面圆的直径长为2，高为2．则圆柱的表面积S=2•π•2+2•π•12=6π．故答案为6π．点评：考查了学生的空间想象力．9．在等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，若a3=8，S3=20，则S5= 40 ．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等差数列的首项和公差，由已知列式求出首项和公差，则答案可求．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由若a3=8，S3=20，得，解得：．∴．故答案为：40．点评：本题考查了等差数列的前n项和，考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题．10．将y=sin2x的图象向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图象仍过点（），则φ的最小值为．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：利用正弦函数的函数值相等，结合三角函数的图象的平移，判断平移的最小值即可．解答：解：因为y=sin2×=sin=，所以函数y=sin2x的图象向右平移单位，得到的图象仍过点（），所以φ的最小值为．故答案为：．点评：本题考查三角函数的值与函数的图象的平移，考查计算能力．11．若直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，则a= ﹣2 ．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：由圆的方程，得到圆心与半径，根据直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，可得直线l：y=x+a过圆心，即可求出a的值．解答：解：∵圆（x﹣2）2+y2=1，∴圆心为：（2，0），半径为：1∵直线l：y=x+a被圆（x﹣2）2+y2=1截得的弦长为2，∴直线l：y=x+a过圆心，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题主要考查直与圆的位置关系及其方程的应用，是常考题型，属中档题．12．已知函数f（x）=，为奇函数，则不等式f（x）＜4的解集为（﹣∞，4）．考点：其他不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的定义，求出a，b，即可得到结论．解答：解：若x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x）=bx2+3x，∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即bx2+3x=﹣x2﹣ax，则b=﹣1，a=﹣3，即f（x）=，若x≥0，则不等式f（x）＜4等价x2﹣3x＜4，即x2﹣3x﹣4＜0，解得﹣1＜x＜4，此时0≤x＜4，若x＜0，不等式f（x）＜4等价﹣x2﹣3x＜4，即x2+3x+4＞0，此时不等式恒成立，综上x＜4．即不等式的解集为（﹣∞，4）．点评：本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．13．在三角形ABC中，已知AB=3，A=120°，△ABC的面积为，则•的值= ．考点：平面向量数量积的运算．专题：解三角形．分析：利用三角形面积公式列出关系式，将c，sinA及已知面积代入求出b的值，再利用余弦定理列出关系式，把b，c，cosA的值代入计算即可求出a的值，然后利用余弦定理求cosB，结合数量积的定义求•的值．解答：解：∵AB=c=3，A=120°，△ABC的面积为，∴S△ABC=bcsinA=b=，即b=5，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=25+9+15=49，则BC=a=7．由余弦定理得cosB=•=accosB=7×3×=．点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式以及向量的数量积的运算，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．14．设点P，M，N分别在函数y=2x+2，y=，y=x+3的图象上，且=2，则点P横坐标的取值范围为．．考点：向量数乘的运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，由=2，可得点P是线段MN的中点．设M（x1，y1），P（x，y），N（x2，y2）．可得，，，（0≤x1≤4），y2=x2+3，y=2x+2．化为2x=﹣1﹣x1（0≤x1≤4）．令f（t）=（0≤t≤4）．利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出．解答：解：如图所示，∵=2，∴点P是线段MN的中点．设M（x1，y1），P（x，y），N（x2，y2）．∴，，，（0≤x1≤4），y2=x2+3，y=2x+2．化为2x=﹣1﹣x1（0≤x1≤4）．令f（t）=（0≤t≤4）．f′（t）=﹣1，当2≤t≤4时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减．当0≤t＜2时，f′（t）=0，解得，则当时，函数f（t）单调递增；当时，函数f（t）单调递减．而极大值即最大值=﹣3，又f（0）=﹣1，f（4）=﹣5．∴点P横坐标的取值范围为．故答案为：．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、向量的共线、分类讨论思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、解答题：（满分90分，作答请写出必要的解答过程）15．（14分）（xx秋•泗洪县校级期中）已知f（x）=sinx+acosx，（1）若a=，求f（x）的最大值及对应的x的值．（2）若f（）=0，f（x）=（0＜x＜π），求tanx的值．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数线．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）a=时，利用两角和的正弦值化简f（x），求出x取何值时f（x）有最大值；（2）由f（）=0求出a的值，再由f（x）=，求出cosx、sinx的值，从而求出tanx的值．解答：解：（1）a=时，f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），…（2分）当sin（x+）=1，即x+=+2kπ（k∈Z），∴x=+2kπ（k∈Z）时，f（x）有最大值2；…（6分）（2）∵f（）=sin+acos=+a=0，∴a=﹣1；…（8分）∴f（x）=sinx﹣cosx=，∴，∴，即（cosx+）cosx=；整理得，25cos2x+5cosx﹣12=0，解得，cosx=，或cosx=﹣；当cosx=时，sinx=，当cosx=﹣时，sinx=﹣；又∵x∈（0，π）∴取；∴tanx=．…（14分）点评：本题考查了三角恒等变换的应用问题以及三角函数求值的问题，也考查了一定的计算能力，是较基础题．16．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D为PB中点，E为PC的中点，（1）求证：BC∥平面ADE；（2）求证：平面AED⊥平面PAB．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）由中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（2）由线面垂直的性质和判定定理，以及通过面面垂直的判定定理，即可得证．解答：（1）证明：∵PE=EC，PD=DB，∴DE∥BC，∵DE⊂平面ADE，BC⊄平面ADE，∴BC∥平面ADE；（2）证明：∵PA⊥平面PAC，BC⊂平面PAC，∴PA⊥CB，∵AB⊥CB，AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB，∵DE∥BC∴DE⊥平面PAB，又∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面PAB．点评：本题考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定定理，注意定理的条件的全面，属于基础题．17．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入﹣总支出）考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）求出第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论；（2）利用利润=累计收入+销售收入﹣总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论．解答：解：（1）设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，则y=25x﹣[6x+x（x﹣1）]﹣50=﹣x2+20x﹣50（0＜x≤10，x∈N）由﹣x2+20x﹣50＞0，可得10﹣5＜x＜10+5∵2＜10﹣5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出，∴二手车出售后，小张的年平均利润为=19﹣（x+）≤19﹣10=9当且仅当x=5时，等号成立∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．点评：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若点B在椭圆上，点D在y轴上，且=2，求直线AB方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知得，，由此能求出椭圆方程．（2）设B（x0，y0），D（0，m），则，，由此能求出直线方程．解答：解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（1，），∴，∴a=2c，…（2分）∴b2=a2﹣c2=3c2设椭圆方程为：，∴∴椭圆方程为：…（7分）（2）设B（x0，y0），D（0，m），则，，∴﹣x0=2，m﹣y0=3﹣2m，即x0=﹣2，y0=3m﹣3，代入椭圆方程得m=1，∴D（0，1），…（14分）∴．…（16分）点评：本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线与椭圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．19．已知数列{a n}满足a1=1，a2=a＞0，数列{b n}满足b n=a n•a n+1（1）若{a n}为等比数列，求{b n}的前n项的和s n；（2）若b n=3n，求数列{a n}的通项公式；（3）若b n=n+2，求证：++…+＞2﹣3．考点：数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（1）分a=1和a≠1求出等比数列{a n}的通项公式，进一步求得{b n}是等比数列，则其前n项和s n可求；（2）把b n=3n代入b n=a n•a n+1，然后分n为奇数和偶数得到数列{a n}的偶数项和奇数项为等比数列，由等比数列的通项公式得答案；（3）由b n=n+2得到a n a n+1=n+2，进一步得到，代入++…+整理后利用基本不等式证得结论．解答：（1）解：由a1=1，a2=a＞0，若{a n}为等比数列，则，∴．当a=1时，b n=1，则s n=n；当a≠1时，．（2）解：∵3n=a n•a n+1，∴3n﹣1=a n﹣1•a n（n≥2，n∈N），∴．当n=2k+1（k∈N*）时，∴；当n=2k，（k∈N*）时，∴．∴．（3）证明：∵a n a n+1=n+2 ①，∴a n﹣1a n=n+1（n≥2）②，①﹣②得∴=（a3﹣a1）+（a4﹣a2）+…+（a n+1﹣a n﹣1）=a n+a n+1﹣a1﹣a2∴=．∵，∴＞﹣3．点评：本题是数列与不等式综合题，考查了等比关系的确定，考查了首项转化思想方法，训练了放缩法证明数列不等式，是压轴题．20．已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx，（1）求证：f（x）≥x+1；（2）设x0＞1，求证：存在唯一的x0使得g（x）图象在点A（x0，g（x0））处的切线l与y=f（x）图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a，总存在正数x，使得|﹣1|＜a成立．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．分析：（1）构造函数F（x）=e x﹣x﹣1，求函数的导数即可证明f（x）≥x+1；（2）求函数的导数，利用导数的几何意义即可证明存在唯一的x0使得g（x）图象在点A （x0，g（x0））处的切线l与y=f（x）图象也相切；（3）求函数的导数，利用导数和不等式之间的关系即可证明对任意给定的正数a，总存在正数x，使得|﹣1|＜a成立．解答：解：（1）令F（x）=e x﹣x﹣1，x∈R，∵F'（x）=e x﹣1=0得x=0，∴当x＞0时F'（x）＞0，F（x）递增；当x＜0时F'（x）＜0，F（x）递减；∴F（x）min=F（0）=0，由最小值定义得F（x）≥F（x）min=0即e x≥x+1．（2）g（x）在x=x0处切线方程为①设直线l与y=e x图象相切于点，则l：②，由①②得，∴⑤下证x0在（1，+∞）上存在且唯一．令，，∴G（x）在（1，+∞）上递增．又，G（x）图象连续，∴存在唯一x0∈（1，+∞）使⑤式成立，从而由③④可确立x1．故得证．（1）由（1）知即证当a＞0时不等式e x﹣1﹣x＜ax即e x﹣ax﹣x﹣1＜0在（0，+∞）上有解．令H（x）=e x﹣ax﹣x﹣1，即证H（x）min＜0，由H'（x）=e x﹣a﹣1=0得x=ln（a+1）＞0．当0＜x＜ln（a+1）时，H'（x）＜0，H（x）递减，当x＞ln（a+1）时，H'（x）＞0，H（x）递增．∴H（x）min=H（ln（a+1））=a+1﹣aln（a+1）﹣ln（a+1）﹣1．令V（x）=x﹣xlnx﹣1，其中x=a+1＞1则V'（x）=1﹣（1+lnx）=﹣lnx＜0，∴V（x）递减，∴V（x）＜V（1）=0．综上得证．点评：本题主要考查导数的综合应用，综合性较强，运算量较大．25479 6387 掇36279 8DB7 趷h31814 7C46 籆31899 7C9B 粛c>37172 9134 鄴638874 97DA 韚21629 547D 命Q23777 5CE1 峡。

2021年高三9月调研考试（理数）一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知集合,则集合的子集个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知数列满足，则数列一定是（）A．公差为的等差数列B．公差为的等差数列C．公比为的等比数列D．公比为的等比数列3．函数的最小正周期是，则（）A．B．C．D．4．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（）A．B．C．D．5．已知函数在定义域内可导，其导函数的图象如右图，则函数的单调递增区间为（）A．B．C．D．6．为了解一片经济树林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm），根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数n是（）A．30 B．60C．70 D．807．如图，平面内有三个向量其中与的夹角为60°, 与、与的夹角都为30°,且∣∣=∣∣=1, ∣∣=,若=+,则的值为（）A．4 B．C．D．28．奇函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共30分）9．已知向量且，则10．已知函数的图象经过点和原点，则．11．若执行如右图所示的程序框图，则输出的= ．12．在中，已知,则的最大角的大小为．13．在区间上随机取两个实数，，则事件“”的概率为_____ 14．若直线始终平分圆：的周长，则的最小值为_________. 三、解答题15．（本题满分12分）已知，且．（1）求实数的值；（2）求函数的最大值和最小值．16．（本题满分12分）某项竞赛分别为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题.规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰.已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，且各阶段通过与否相互独立.（1）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；（2）设该选手在竞赛中回答问题的个数为，求的分布列、数学期望和方差.17．（本小题满分12分）如图，在正方体中，分别为棱的中点.（1）试判截面的形状，并说明理由；（2）证明：平面平面．18．（本小题满分14分）等差数列中，，前项和为，等比数列各项均为正数，，且，的公比（1）求与；（2）求数列的前项和19．（本小题满分14分）已知函数图象上一点处的切线方程为．（1）求的值；（2）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底数）；20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若动点满足且点的轨迹与抛物线交于两点.（1）求证：；（2）在轴上是否存在一点，使得过点的直线交抛物线于两点，并以线段为直径的圆都过原点。

山东省堂邑中学xx届高三上学期9月假期自主学习反馈检测文科数学试题2021年高三上学期9月假期自主学习反馈检测文科数学试题含答案一、选择题1．设函数(x∈R)满足，，则的图象可能是2．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为A． B． C． D．3．设m,n是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是A．若m//B．若m//C．若m//D．若m//4．函数的部分如图所示,点A、B是最高点,点C是最低点,若是直角三角形,则的值为A． B． C． D．5．命题“，”的否定是（）（A），（B），（C），（D），6．若是空间三条不同的直线，是空间中不同的平面，则下列命题中不正确的是（）（A）若，，则（B）若，，则（C）当且是在内的射影，若，则（D）当且时，若，则7．如下图，矩形ABCD中，点E为边CD上任意一点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE 内部的概率等于（）（A）（B）（C）（D）8．若数列的通项为，则其前项和为（）（A）（B）（C）（D）9．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）（A）（B）（C）（D）10．设圆锥曲线的两个焦点分别为、，若曲线上存在点满足：：=4：3：2，则曲线的离心率等于（）（A）（B）（C）（D）11．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若，则” 的否命题为“若，则”B．“”是“”的必要而不充分条件C．命题“存在，使得”的否定是“对任意，均有”D．命题“若，则”的逆否命题为真命题12．下列命题中正确的是（1）已知为纯虚数的充要条件（2）当是非零实数时，恒成立（3）复数的实部和虚部都是（4）设的共轭复数为，若A. （1）（2）B. （1）（3）C. （2）（3）D. （2）（4）第II 卷（非选择题）二、填空题13．若某程序框图如图所示，则运行结果为．14．在中，,, 则的面积是_ _15．如图，在正方形中，已知，为的中点，若为正方形 内（含边界）任意一点，则的取值范围是 .16．已知实数、满足，则的最大值是 ．三、解答题17．如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ， AB//CD ，∠DAB=90°，PA=AD=DC=1，AB=2，M 为PB 的中点．（I ）证明：MC//平面PAD ；（II ）求直线MC 与平面PAC 所成角的余弦值． 18．如图，已知抛物线的焦点在抛物线上．开始i输出结束是否?49<s 1=i 0=s is s 1+= 1+=i i（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）过抛物线上的动点作抛物线的两条切线、，切点为、．若、的斜率乘积为，且，求的取值范围．19．在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC=AD=CD=DE=2，AB=1．EBFA DC（Ⅰ）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积．20．已知椭圆C：的离心率为，其中左焦点．（Ⅰ）求出椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线与曲线C交于不同的A、B两点，且线段AB的中点M在圆上，求m的值．21．已知函数，在点处的切线方程为．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若对于区间上任意两个自变量的值，都有，求实数的最小值；（Ⅲ）若过点，可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．22．一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：画出散点图，并通过散点图确定变量y对x是否线性相关；（2）如果y对x有线性相关关系，求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？(精确到0.0001)文科数学参考答案1．B【解析】试题分析：根据题意，由于函数(x∈R)满足，，可知函数为偶函数，且周期为2，那么可知排除A,C,对于B,D来说，就看周期性可知，满足周期为2的为B，故答案为B ,考点：函数图象点评：主要是考查了函数图象以及函数性质的运用，属于基础题。

2021年高三九月考试试卷（数学）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上）1. 设则A． B．（1，3）C．（1，）D．（3，）2．下列四组函数中，表示同一函数的是A． B．C．D．3．函数（）的反函数是A．（） B.（）C．（） D.（）4．设P＝{x|x2－4x＋3≤0}，Q＝{x|y＝x＋1＋3－x}，则“x∈P”是“x∈Q”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5．下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是A. B. C. D.6．（理）已知函数是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3, 且A．4 B．2 C．－2 D．（文）已知函数是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3, 且则A．4 B．2 C．D．7．函数在定义域R内可导，若，若则的大小关系是A．B．C．D．8．函数的图像关于A．轴对称B．直线对称C．坐标原点对称D．直线对称9．函数的图象的大致形状是10．（理）下列关于函数的判断正确的是①②是极小值，是极大值③有最小值，没有最大值④有最大值，没有最小值A．①③B．①②③ C．②④D．①②④（文）若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是A．B．C．D．11．已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意都有，当时f(x)=2x+1，若函数f(x)在区间[－2，0]上的反函数为f－1(x)，则f－1(19)=A．B．C．D．12．函数值域为R，且f(x)在,上是增函数，则实数a的取值范围是A．［0，2］B．C．(－4，0) D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13.（理）函数在时有极值10，则的值分别为。

（文）函数在区间上的最小值是。

14．函数的对称中心是。

15．若定义运算，则函数的值域是。

16. 设函数，给出下列命题：⑴有最小值；⑵当时，的值域为；⑶当时，在区间上有单调性；；⑷若在区间上单调递增，则实数a的取值范围是.其中正确的命题是_____________________（写上所有正确命题的序号）三、解答题：（本大题共6小题，满分７0分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）. 17．（本小题满分10分）已知曲线上一点。

2021届卓越联盟新高考省份高三9月份检测数学试题一、单选题1.若全集U={1,2,3,4}, " = {1,2}, N = {2,3},则《知)4以%)=()A. {4}B. {1,2,3}C. {2}D. {1,3,4} 【答案】A【解析】根据集合的运算法则运算即可.【详解】因为全集。

={1,2,3,4}, M={1,2}, N = {2,3},所以LM = {3,4}, ” = {1,4},则（。

加用（。

%）={4}.故选：A.【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，属于简单题.2.已知1为虚数单位，若色（。

£用为纯虚数，则实数。

的值为（）a + i1 1A. 2B. -2C. -D.--2 2 【答案】B【解析】先由更数的除法运算，化简上上」，再由纯虚数的概念，即可得出结果. a + i【详解】(l + 2z)(a-z) a + 2 +(2”l)i+ a2 +1又上吆（awR）为纯虚数，所以。

+ 2 = 0,即。

=一2. a + i故选：B.【点睛】本题主要考查由更数类型求参数，考查复数的运算，属于基础题型.3.将函数y = 2sin12x-gj图象上的点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变,则所得函数图象的解析式为（）【答案】D【解析】根据三角函数的伸缩变换原则，可直接得出结果.【详解】函数y = 2sm(2x-g)图象上的点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变,乃所得函数图像的解析式为y = 2sin x--. \ ')故选：D.【点睛】本题主要考查求三角函数图像变换后的解析式，属于基础题型.4.已知点4(0,3), 6(3,2),向量云= (—6,2),则向量而与记()A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向【答案】D【解析】由向量的坐标运算法则计算出而，再判断而与正的关系.【详解】而=(3,-1) = 一^/，所以向量丽芳与何平行且反向.故选：D.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算及向量垂直、共线的判断，属于简单题.5.若f(x)是偶函数且在［0,+8)上为增函数，又"—2) = 1,则不等式/(工一1)<1的解集为()A. {止1cx<3}B. 或x>3}C. {小<-1 或0cx〈3}D. {x|x>l或一3vx〈0}【答案】A【解析】利用函数y = /(x)为偶函数将所求不等式变形为f(卜一力</(2),利用该函数在区间［0,+s)上的单调性可得出卜―1| <2 ,解此不等式即可得解.【详解】由于函数y = f(x)为偶函数，则〃2)= 〃-2)= 1,且函数y = /(x)在［0,+8)上为增函数,由/(x-i)vi,可得〃卜一1|)</(2), /.|x-l|<2,即一2vx—lv2,解得一l<x<3.因此，不等式的解集为{止l<x<3}.故选：A.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，考查计算能力，属于中等题.6.股票价格上涨10%称为“涨停”，下跌10%称为“跌停”.某位股民购进某只股票, 在接下来的交易时间内，这只股票先经历了3次跌停，又经历了3次涨停，则该股民在这只股票上的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况【答案】B【解析】根据题中条件，直接计算，即可得出结果.【详解】由题意，该股民在经历了3次跌停，又经历了3次涨停后，股票价格为原来的(1 —0.1)3 (1 + 0.1)3 = 0.993、0.97 ,即略有节损；故选：B.【点睛】本题主要考查指数运算，属于基础题型.7.已知A(—3,o), 3是圆/+。

2021年高三9月学情调研数学试题含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，知。

分．请把答案填写在答题卡相应位置上．过落1.已知集合A={}，集合B={}，则＝＿＿＿＿2.命题“”的否定是＿＿＿＿＿3.已知复数z满足（i为虚数单位），则｜z｜＝＿＿＿4.石图是某算法的流程图，其输出值a是＿＿＿＿＿5.口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为＿＿＿＿.6.若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为＿＿＿＿7.已知点P（x,y）在不等式表示的平面区域上运动，则的最大值是＿＿＿＿8.曲线y=x+sinx在点(0，0)处的切线方程是＿＿＿＿．9.在等差数列{}中，，则数列{}的前n项和＝＿＿＿10.如图，在△ABC中，D，E分别为边BC，AC的中点. F 为边AB上.的，且，则x+y的值为＿＿＿＿11.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x) =＋1.若f(a)=3，则实数a的值为＿＿＿12.已知四边形ABCD是矩形，AB=2，AD=3，E是线段BC上的动点，F是CD的中点．若∠AEF为钝角，则线段BE长度的取值范围是＿＿＿＿13.如图，已知过椭圆的左顶点A(－a,0)作直线1交y轴于点P，交椭圆于点Q.，若△AOP是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为＿＿＿＿14.已知函数若存在实数a，b，c，d,满足f(a)=f(b)＝f(c)＝f(d )，其中d>c>b>a>0，则abcd的取值范围是＿＿＿＿二、解答题：本大匆共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步璐．15.（本小题满分14分）在锐角△ABC中，A,B,C所对的边分别为a，b，c．已知向量(1）求角A的大小；(2）若a＝7，b=8，求△ABC的面积．16.（本小题满分14分）如图，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M为PC中点．(1)求证：AP∥平面MBD；（2)若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD；17.（本小题满分14分）如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），．道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积。

2021年高三上学期9月调研数学试卷含解析一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．1．设集合A={1，2，3}，B={1，3，5}，则A∪B中的元素个数是．2．若复数z满足z﹣2=i（1+i）（i为虚数单位），则z= ．3．双曲线x2﹣=1的离心率为．4．已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差s2．5．如图，边长为2的正方形内有一个半径为1的半圆．向正方形内任投一点（假设该点落在正方形内的每一点都是等可能的），则该点落在半圆内的概率为．6．已知||=2，||=1，•=﹣1，则，的夹角大小为．7．已知4张卡片（大小，形状都相同）上分别写有1，2，3，4，从中任取2张，则这2张卡片中最小号码是2的概率为．8．等比数列{an }中，若a3=3，a6=24，则a8的值为．9．已知钝角α满足cosα=﹣，则tan（α+）的值为．10．已知函数f（x）=，则f（0）的值为．11．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=2，AD=3，PA=4，E为棱CD上一点，则三棱锥E﹣PAB的体积为．12．如图是一个算法流程图，则输出的x的值为．13．若曲线C1：y=ax3﹣6x2+12x与曲线C2：y=e x在x=1处的两条切线互相垂直，则实数a 的值为．14．设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且满足f（﹣x）=f（x），则函数f（x）的单调增区间为．二．解答题：本大题共六小题，共计90分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知，计算：（1）；（2）．16．如图，在三棱锥S﹣ABC，平面EFGHBC，CA，AS，SB交与点E，F，G，H，且SA ⊥平面EFGH，SA⊥AB，EF⊥FG．（1）AB∥平面EFGH；（2）GH∥EF；（3）GH⊥平面SAC．17．已知函数f（x）=2sin（+）cos（+）﹣sin（x+π）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．18．如图所示，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC；另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD是以O为顶点，x轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC 是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜），x∈[4，8]时的图象，图象的最高点为B （5，），DF⊥OC，垂足为F．（I）求函数y=Asin（ωx+φ）的解析式；（II）若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园PMFE，问点P落在曲线OD上何处时，水上乐园的面积最大？19．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=64，圆O1与圆O相交，圆心为O1（9，0），且圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21．（1）求圆O1的标准方程；（2）过定点P（a，b）作动直线l与圆O，圆O1都相交，且直线l被圆O，圆O1截得的弦长分别为d，d1．若d与d1的比值总等于同一常数λ，求点P的坐标及λ的值．20．已知a为正实数，函数（e为自然对数的底数）．（1）若f（0）＞f（1），求a的取值范围；（2）当a=2时，解不等式f（x）＜1；（3）求函数f（x）的单调区间．xx学年江苏省宿迁市沭阳县潼阳中学高三（上）9月调研数学试卷参考答案与试题解析一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．1．设集合A={1，2，3}，B={1，3，5}，则A∪B中的元素个数是4．【考点】并集及其运算．【分析】利用并集的定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={1，3，5}，∴A∪B={1，2，3，5}，∴A∪B中的元素个数为4个．故答案为：4．2．若复数z满足z﹣2=i（1+i）（i为虚数单位），则z=1+i．【考点】虚数单位i及其性质．【分析】直接利用复数的基本性质计算得答案．【解答】解：由z﹣2=i（1+i），得z=i+i2+2=1+i．故答案为：1+i．3．双曲线x2﹣=1的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的方程为标准形式，求出a、b、c 的值，即得离心率的值．【解答】解：双曲线，a=1，b=，∴c=，∴双曲线的离心率为e==，故答案为：．4．已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差s2=0.8．【考点】极差、方差与标准差．【分析】先计算数据的平均数，然后利用方差公式直接计算即可．【解答】解：8，9，10，10，8的平均分为9∴该组数据的方差s2= [（8﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（8﹣9）2]= =0.8故答案为：0.85．如图，边长为2的正方形内有一个半径为1的半圆．向正方形内任投一点（假设该点落在正方形内的每一点都是等可能的），则该点落在半圆内的概率为．【考点】几何概型．【分析】先明确是几何概型中的面积类型，再分别求出半圆与正方形的面积，进而由概率公式求得要应面积的比值即可得到答案．【解答】解：根据题意可得此问题是几何概型，因为半圆的半径为1，所以其面积为：，因为正方形的边长为2，所以其面积为4所以该点落在正方形内的概率为：故答案为：6．已知||=2，||=1，•=﹣1，则，的夹角大小为．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据平面向量数量积的定义求出夹角即可．【解答】解：∵||=2，||=1，且•=﹣1，∴||×||×cosθ=2×1×cosθ=﹣1，解得cosθ=﹣；又θ∈[0，π]，∴θ=，即，的夹角为．故答案为：．7．已知4张卡片（大小，形状都相同）上分别写有1，2，3，4，从中任取2张，则这2张卡片中最小号码是2的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】所有的取法有=6种，其中这2张卡片中最小号码是2的取法有两种，由此求得2张卡片中最小号码是2的概率．【解答】解：所有的取法有=6种，其中这2张卡片中最小号码是2的取法有两种：2、3；2、4．故这2张卡片中最小号码是2的概率为=．故答案为．8．等比数列{a n}中，若a3=3，a6=24，则a8的值为96．【考点】等比数列的通项公式．【分析】设公比为q，则由题意可得24=3q3，解得q=2，由此根据a8=a6•q2求得结果．【解答】解：∵等比数列{a n}中，若a3=3，a6=24，设公比为q，则有24=3q3，解得q=2，∴a8=a6•q2=24×4=96，故答案为96．9．已知钝角α满足cosα=﹣，则tan（α+）的值为．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由同角三角函数关系得到sinα=，易得tanα=﹣，所以结合两角和与差的正切函数解答即可．【解答】解：∵钝角α满足cosα=﹣，∴sinα==，∴tanα===﹣，∴tan（α+）===﹣．故答案是：．10．已知函数f（x）=，则f（0）的值为27．【考点】函数的值．【分析】由已知得f（0）=f（1）=f（2）=f（3），由此能求出f（0）的值．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（0）=f（1）=f（2）=f（3）=33=27．故答案为：27．11．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=2，AD=3，PA=4，E为棱CD上一点，则三棱锥E﹣PAB的体积为4．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由V E﹣PAB =V P﹣ABE，利用等积法能求出三棱锥E﹣PAB的体积．【解答】解：∵四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=2，AD=3，PA=4，E为棱CD上一点，∴S△ABE==，∴三棱锥E﹣PAB的体积：V E﹣PAB =V P﹣ABE===4．故答案为：4．12．如图是一个算法流程图，则输出的x的值为．【考点】程序框图．【分析】模拟执行算法流程，依次写出每次循环得到的x，n的值，当n=6时，满足条件n ＞5，退出循环，输出x的值为．【解答】解：模拟执行算法流程，可得n=1，x=1x=，n=2不满足条件n＞5，x=，n=3不满足条件n＞5，x=，n=4不满足条件n＞5，x=，n=5不满足条件n＞5，x=，n=6满足条件n＞5，退出循环，输出x的值为．故答案为：．13．若曲线C1：y=ax3﹣6x2+12x与曲线C2：y=e x在x=1处的两条切线互相垂直，则实数a 的值为﹣．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分别求出两个函数的导函数，求得两函数在x=1处的导数值，由题意知两导数值的乘积等于﹣1，由此求得a的值．【解答】解：由y=ax3﹣6x2+12x，得y′=3ax2﹣12x+12，∴y′|x=1=3a，由y=e x，得y′=e x，∴y′|x=1=e．∵曲线C1：y=ax3﹣6x2+12x与曲线C2：y=e x在x=1处的切线互相垂直，∴3a•e=﹣1，解得：a=﹣．故答案为：﹣．14．设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且满足f（﹣x）=f（x），则函数f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ]，k∈Z．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．【分析】化简函数解析式可得f（x）=2sin（ωx+φ+），由最小正周期为π，可求ω，由f（﹣x）=f（x），且|φ|＜，可解得φ，由2kπ﹣≤2x≤2kπ+，k∈Z，可解得函数f（x）的单调增区间．【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=2sin[（ωx+φ）+]=2sin（ωx+φ+），最小正周期为π，∴ω==2，∵f（﹣x）=f（x），∴可得：φ+=kπ+，k∈Z，∵|φ|＜，∴解得：φ=，∴f（x）=2cos2x，∴由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，可解得：kπ﹣≤x≤kπ，k∈Z故答案为：[kπ﹣，kπ]，k∈Z．二．解答题：本大题共六小题，共计90分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知，计算：（1）；（2）．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据题意，先解出tanα值，（1）把所求的式子的分子分母同时除以cosα，把tanα值代入进行运算．（2）把所求的式子的分子分母同时除以cos2α，把tanα值代入进行运算．【解答】解：∵，∴．（1）．（2）==．16．如图，在三棱锥S﹣ABC，平面EFGHBC，CA，AS，SB交与点E，F，G，H，且SA ⊥平面EFGH，SA⊥AB，EF⊥FG．（1）AB∥平面EFGH；（2）GH∥EF；（3）GH⊥平面SAC．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质．【分析】（1）根据线面垂直的性质，得SA⊥GH，结合在同一个平面SAB内SA⊥AB，得AB∥GH，结合线面平行判定定理，得AB∥平面EFGH；（2）由线面平行的性质，得AB∥EF，结合AB∥GH，得EF∥GH；（3）由面面垂直的判定定理，得平面SAC⊥平面EFGH，而直线GH在平面EFGH内与交线FG垂直，根据面面垂直的性质定理，得GH⊥平面SAC．【解答】解：（1）∵SA⊥平面EFGH，GH⊆平面EFGH，∴SA⊥GH又∵在平面SAB内，SA⊥AB，∴AB∥GH∵AB⊈平面EFGH，GH⊆平面EFGH，∴AB∥平面EFGH；…（2）∵AB∥平面EFGH，AB⊆平面ABC，平面ABC∩平面EFGH=EF∴AB∥EF又∵AB∥GH，∴EF∥GH…（3）∵SA⊥平面EFGH，SA⊆平面SAC∴平面SAC⊥平面EFGH，交线为FG∵EF∥GH，EF⊥FG，∴GH⊥FG∵GH⊆平面EFGH，∴GH⊥平面SAC．…17．已知函数f（x）=2sin（+）cos（+）﹣sin（x+π）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）利用二倍角公式、诱导公式、两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，即可求f（x）的最小正周期；（2）将f（x）的图象向右平移个单位，求出函数g（x）的解析式，然后在区间[0，π]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）===．所以f（x）的最小正周期为2π．（2）∵将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，∴=．∵x∈[0，π]时，，∴当，即时，，g（x）取得最大值2．当，即x=π时，，g（x）取得最小值﹣1．18．如图所示，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC；另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD是以O为顶点，x轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC 是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜），x∈[4，8]时的图象，图象的最高点为B （5，），DF⊥OC，垂足为F．（I）求函数y=Asin（ωx+φ）的解析式；（II）若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园PMFE，问点P落在曲线OD上何处时，水上乐园的面积最大？【考点】利用导数研究函数的单调性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；已知三角函数模型的应用问题．【分析】（I）利用函数的解析式，结合函数的图象求出A，ω，通过函数经过B，求出φ，即可求函数y=Asin（ωx+φ）的解析式；（II）求出D（4，4），曲线OD的方程为y2=4x，（0≤x≤4）．推出矩形的面积的表达式，利用函数的导数求出面积的最大值，推出P的位置即可．【解答】解：（Ⅰ）对于函数y=Asin（ωx+φ）由图象可知，A=，ω==，将（5，），代入y=sin（x+φ）得：，|φ|＜，所以φ=，所以函数的解析式为y=sin（x）．（Ⅱ）在y=sin（x）中，令x=4，得D（4，4）从而得曲线OD的方程为y2=4x，（0≤x≤4）．设点P（）（0≤t≤4），则矩形PMFE的面积为S=，0≤t≤4．因为S′=4﹣，由S′=0得t=，且t∈时S′＞0，S递增，t∈时S′＜0，S递减，所以当t=，S最大，此时点P的坐标．19．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=64，圆O1与圆O相交，圆心为O1（9，0），且圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21．（1）求圆O1的标准方程；（2）过定点P（a，b）作动直线l与圆O，圆O1都相交，且直线l被圆O，圆O1截得的弦长分别为d，d1．若d与d1的比值总等于同一常数λ，求点P的坐标及λ的值．【考点】直线和圆的方程的应用；圆的标准方程．【分析】（1）圆O1的半径为4，圆心为O1（9，0），从而可得圆O1的标准方程；（2）当直线l的斜率存在时，设方程为y﹣b=k（x﹣a），求出O，O1到直线l的距离，从而可得d与d1的值，利用d与d1的比值总等于同一常数λ，建立方程，从而利用等式对任意实数k恒成立，得到三个方程，由此可得结论．【解答】解：（1）∵圆O：x2+y2=64，圆O1与圆O相交，圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21，∴圆O1的半径为4，∵圆心为O1（9，0），∴圆O1的标准方程为（x﹣9）2+y2=16；（2）当直线l的斜率存在时，设方程为y﹣b=k（x﹣a），即kx﹣y﹣ka+b=0∴O，O1到直线l的距离分别为，∴，∵d与d1的比值总等于同一常数λ，∴64﹣=λ2[16﹣]∴[64﹣a2﹣16λ2+λ2（a﹣9）2]k2+2b[a﹣λ2（a﹣9）]k+64﹣b2﹣λ2（16﹣b2）=0由题意，上式对任意实数k恒成立，所以64﹣a2﹣16λ2+λ2（a﹣9）2=0，2b[a﹣λ2（a﹣9）]=0，64﹣b2﹣λ2（16﹣b2）=0同时成立，①如果b=0，则64﹣16λ2=0，∴λ=2（舍去负值），从而a=6或18；∴λ=2，P（6，0），P（18，0）②如果a﹣λ2（a﹣9）=0，显然a=9不满足，从而，3a2﹣43a+192=0，△=432﹣4×3×192=﹣455＜0，故方程无解，舍去；当点P的坐标为（6，0）时，直线l的斜率不存在，此时d=，，∴也满足综上，满足题意的λ=2，点P有两个，坐标分别为（6，0），（18，0），斜率不存在时P（18，0），直线与圆外离，舍去．20．已知a为正实数，函数（e为自然对数的底数）．（1）若f（0）＞f（1），求a的取值范围；（2）当a=2时，解不等式f（x）＜1；（3）求函数f（x）的单调区间．【考点】利用导数研究函数的单调性；指、对数不等式的解法．【分析】（1）根据f（0）＞f（1），可得，利用a＞0，可求a的取值范围；（2）确定f（x）在（﹣∞，﹣2）及（﹣2，+∞）上均为减函数，从而可解不等式；（3）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，即可得到函数的单调区间．【解答】解：（1）∵f（0）＞f（1），∴∵a＞0，∴a（e﹣1）＜e+1∵e﹣1＞0，∴∵a＞0，∴；（2）当a=2时，，定义域为{x|x≠﹣2}∵∴f（x）在（﹣∞，﹣2）及（﹣2，+∞）上均为减函数∵x∈（﹣∞，﹣2），f（x）＜0，∴x∈（﹣∞，﹣2）时，f（x）＜1；x∈（﹣2，+∞）时，f（0）=1，∴由f（x）＜f（0）得x＞0综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）；（3）当x≠﹣a时，令f′（x）=0，可得x2=a2﹣2a①a=2时，由（2）知，函数的单调减区间为（﹣∞，﹣2），（﹣2，+∞）；②0＜a＜2时，a2﹣2a＜0，f′（x）＜0恒成立，故函数的单调减区间为（﹣∞，﹣a），（﹣a，+∞）；③a＞2时，a2﹣2a＞0令f′（x）＞0，得x2＜a2﹣2a，∴；令f′（x）＜0，得x2＞a2﹣2a，∴或∴函数的单调增区间为，单调减区间为（﹣∞，﹣a），（﹣a，），（，+∞）．xx年12月26日u36949 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2021年高三暑假自主学习调查试卷（数学）xx.9一、填空题1、已知集合U＝{0，1，2，3，4}，M＝{0， 4}，N＝{2，4}，则＝＿＿＿2、某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n ＝＿＿3、抛物线C：y2=4x的焦点为F，点P在抛物线上，且PF= 3，则点P到直线x ＝一1的距离为＿＿＿＿4、设复数z＝（i为虚数单位），则复数z的虚部是＿＿＿＿5、根据如图所示的流程图，若输入x的值为－5.5，则输出y的值为＿＿＿＿＿6、函数y＝的值域为＿＿＿＿＿＿7、有5条线段，其长度分别为1, 3, 5, 7,9.现从中任取3条，则能构成三角形的概率为＿＿8．已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为，则双曲线的方程为＿＿＿9.设P,A,B,C 是球O 表面上的四个点,PA,PB,PC 两两垂直，且PA ＝PB=1，PC=2，则球O 的表面积是＿＿＿＿＿＿10、已知函数y ＝sin （）（＞0，0＜）的部分图象如图所示，则的值为＿＿＿11．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ＋4）＝f （x ），当x （0，2）时，f (x) ＝x ＋2，则f （7）＝＿＿＿＿12、在直角△ABC 中，∠C ＝ 90°，∠A ＝ 30°，BC ＝1，D 为斜边AB 的中点，则＝＿＿＿＿＿13、已知二次不等式ax 2＋2x ＋b ＞ 0的解集｛x ｜x ｝，且a ＞b ，则的最小值为＿＿＿＿ 14.已知数列｛｝的各项均为正整数，Sn 为其前n 项和，对于n=1,2,3，…，有1135,n n n n a a a k a ++⎧⎪=⎨⎪⎩nn ＋k 为奇数a ，a 为偶数，其中为使为奇数的正整数2则当＝1时，S 1＋S 2＋ S 3十…十S 20＝＿＿＿＿＿二、解答题（本大题共6小题，共90分、解等应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15、（本题满分14分）在△ABC 中，角A;B,C 的对边分别为a 、b 、c ，若B =60°，且cos(B+C)＝－． （I ）求cosC 的值；（II ）若a ＝5，求△ABC 的面积，16.（本题满分14分） 如图，三棱锥P －ABC 中，PB ⊥底面ABC,，∠BCA= 90°,PB ＝BC, E 为PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且AF=2FP 。

2021年高三9月阶段考数学理试题 含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项. 1．已知集合{}{}1,1A x R y x B y R y x =∈=-=∈=-，则A.B. C. D.2. 若命题p ：，则p 是A ．B ．C ．D ． 3．函数的零点位于A ．B ．C ．D ．4．“”是“”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5． 设，函数的图像可能是6. 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)(ω＞0)的最小正周期为4π，则 A ．函数f (x )的图像关于点对称； B ．函数f (x )的图像关于直线x ＝π3对称；C ．函数f (x )的图像向右平移π3个单位后，图像关于原点对称； D ．函数f (x )在区间上单调递增.7. 设函数的反函数是.如果，则有A . B .C .D .8．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是A ．[－5，－3] B.⎣⎡⎦⎤－6，－98 C ．[－6，－2] D ．[－4，－3]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．请将答案填在答题卡相应位置. 9．已知函数则 . 10. 如图是函数()sin(),(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><在一个周期内的的图象，则函数的解析式是 . （第10题图） 11. 已知函数，则方程解的个数为 . 12. 如图,由0,,0.,ln ,x xx e y y e y x y e ======六条曲线共同围成的面积为 ． （第12题图）13．如果函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图像关于直线x ＝－π8对称，则实数a 的值为 .14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2， x ≥0.则不等式的解集为 ．三、解答题:本题共有6个小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，格式要规范．15.（本小题满分12分）完成下列各题：（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）求函数的值域； 16. （本小题满分12分）求y ＝(sin x －2)(cos x －2)的最大值和最小值.xy π6π35π63- 3O17. （本小题满分14分）已知函数.（Ⅰ） 求函数的最小正周期和单调递增区间．（Ⅱ）将的图像向右平移π12个单位长度，得到函数的图像；再将得到函数的图像向下平移1个单位，同时将周期扩大1倍，得到函数的图像，分别写出函数与解析式；18. （本小题满分14分）已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,. （Ⅰ）证明:且时; （Ⅱ）证明: 在R 上单调递减;（Ⅲ）设A=,B={},若= ,试确定的取值范围.19. （本小题满分14分） 已知，其中是自然常数， （Ⅰ）讨论时, 的单调性、极值； （Ⅱ）当时，求证：;（Ⅲ）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.20. （本小题满分14分）已知函数 （I ）求函数的单调区间； （II ）若函数的取值范围；（III ）当.2)()(34:,10,1<--<≤<≤-=ba b f a f a b m 证明时且珠海一中xx 届高三阶段考试数学（理）试题参考答案一、选择题：1-8 C D B B C C C C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．请将答案填在答题卡相应位置. 9．. 10. . 11. 2. 12.．13．-1. 14．．三、解答题:本题共有6个小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，格式要规范．15.解：（Ⅰ）由3－tan x ≥0，得tan x ≤3， ……………………………………3分.∴k π－π2x ≤k π＋π3(k ∈Z)，∴的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π＋π3(k ∈Z)．……………………………6分.（Ⅱ）由y ＝1＋sin x3＋cos x得sin x －y cos x ＝3y －1，∴y 2＋1sin(x ＋φ)＝3y －1，这里cos φ＝11＋y 2， sin φ＝－y 1＋y 2.…………………………………8分.∵|sin(x ＋φ)|≤1，∴|3y －1|≤y 2＋1， ………………………………………10分.解得0≤y ≤34，∴原函数的值域为． ………………………………………12分. 16.解：原函数可化为y ＝sin x cos x －2(sin x ＋cos x )＋4. ……………………………2分. 令sin x ＋cos x ＝t (|t |≤2)，则sin x cos x ＝t 2－12，……………………………………4分. ∴y ＝t 2－12－2t ＋4 ……………………………………………………………6分. ＝12(t －2)2＋32 ………………………………………………………………7分. ∵t ＝2∉[－2，2]，且函数在[－2，2]上为减函数， ……………………………8分. ∴当t ＝2，即x ＝2k π＋π4(k ∈Z)时，y min ＝92－22； ……………………………10分. 当t ＝－2，即x ＝2k π－3π4(k ∈Z)时，y max ＝92＋2 2. …………………………12分.17.解：（Ⅰ）1)62sin(21)2cos 212sin 23(212cos 2sin 3)(++=++=++=πx x x x x x f ……3分 的最小正周期为。

2021年高三数学暑期自主学习调查试题苏教版参考公式：柱体的体积公式：V 柱体=，其中S 是柱体的底面积，h 是高．直棱柱的侧面积公式：S 直棱柱侧=ch ，其中c 是直棱柱的底面周长，h 是高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．． 1．已知集合，，，则= ▲ ．2．若（其中表示复数z 的共轭复数），则复数z 的模为 ▲ ． 3．在区间内随机选取一个实数，则该数为正数的概率是 ▲ ． 4．已知等差数列满足，则该数列的前9项和▲ ．5. 命题：的否定是 ▲ ．6．某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：g ） 数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[96，106]， 样本中净重在区间[96，100)的产品个数是24，则样本中净重在区间[98，104)注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后请将答题卡交回．2．答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷的产品个数是 ▲ ．7. 运行如图所示的流程图，则输出的结果是 ▲ ．8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为，，体积分别为，，若它们的侧面 积相等，且，则的值是 ▲ ． 9．函数（x ≤1）的值域为 ▲ ．10. 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a ＞0，b ＞0) 的焦点到渐近线的距离是a ，则双曲线的离心率的值是 ▲ ．11. 若的最小值为，其图象相邻的最高点与最低点横坐标之差为，且图象过点，则其解析式是 ▲ .12．已知点E ，F 是正△ABC 的边BC 上的两个三等分点，若AB = 3，则= ▲ ． 13．已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a i +b j =a k +b l ， 则的值是 ▲ ．14．定义在上的函数满足：①；②当时，，则集合中的最小元素是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，已知． （1）求的值；（2）当a = 2，时，求b 的长．16．（本题满分14分）如图，已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点． （1）若平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，求证：AD ⊥DC 1； （2）求证：A 1B//平面ADC 1．ABC DA 1B 1C 1(第16题)17．（本小题满分14分）已知矩形纸片ABCD 中，AB = 6，AD = 12，将矩形纸片的右下角折起，使该角的顶点B 落在矩形的边AD 上，记该点为E ，且折痕MN 的两端点M 、N 分别位于边AB 、BC 上，设∠MNB = ，MN = l ，△EM 的面积为S .（1）将l 表示成 的函数，并确定 的取值范围；（2）问当为何值时，△EMN 的面积S 取得最小值？并求出这个最小值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：，点为圆上的一个动点，现将坐标平面折叠，使得圆心恰与点重合，折痕与直线交于点． （1）求动点的轨迹方程；（2）过动点作圆的两条切线，切点分别为，求MN 的最小值；（3）设过圆心的直线交圆于点，以点分别为切点的两条切线交于点，求证：点在定直线上．θE N DCBA19．（本小题满分16分）数列的前n项和为，存在常数，，，使得对任意正整数n都成立.（1）若数列为等差数列，求的值；（2）若，设数列的前ｎ项和为，求；（3）若，是首项为1的等差数列，设，求不超过M的最大整数的值.20．（本小题满分16分）已知函数，．（1）若直线与曲线相切，求实数a的值．（2）若对一切实数x[1，]恒成立，求实数a的取值范围．常青藤实验中学xx届高三暑期自主学习调查数学II （附加题）试题 xx. 8（何睦）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题．．卡指定区域．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，已知AB 为圆O 的直径，BC 切圆O 于点B ，AC 交圆O 于点P ，E为线段BC 的中点．求证：OP ⊥PE ．B ．选修4—2：矩阵与变换已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1，设曲线y ＝sin x 在矩阵MN 对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线m 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t y ＝－3＋ 22t （t 为参数）；在以O为极点、射线Ox为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cosθ．若直线m与曲线C交于A、B两点，求线段AB的长．D．选修4—5：不等式选讲设x，y均为正数，且x＞y，求证：2x＋1x2－2xy＋y2≥2y＋3．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE＝13BB1，C1F＝13CC1.（1）求异面直线AE与A1 F所成角的大小；（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值.23．（本小题满分10分）一个口袋中装有大小和质地都相同的白球和红球共7个，其中白球个数不少于红球个数．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为随机变量X．若P(X＝2)＝27．（1）求口袋中的白球个数；1（2）求X 的概率分布与数学期望．参考答案常青藤实验中学xx 届高三暑期自主学习调查 数学I 试题 xx. 8参考公式：柱体的体积公式：V 柱体=，其中S是柱体的底面积，h 是高．直棱柱的侧面积公式：S 直棱柱侧=ch ，其中c 是直棱柱的底面周长，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．已知集合，，，则= ▲ ．2．若（其中表示复数z 的共轭复数），则复数z 的模为 ▲ ．3 3．在区间内随机选取一个实数，则该数为正数的概率是 ▲ ． 4．已知等差数列满足，则该数列的前9项和 ▲ ．455. 命题：的否定是 ▲ ．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后请将答题卡交回．2．答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整笔迹清楚．4．如需作图须用2B 铅笔绘、写清楚线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．6．某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：g ） 数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[96，106]， 样本中净重在区间[96，100)的产品个数是24，则样本中净重在区间[98，104) 的产品个数是 ▲ ．607. 运行如图所示的流程图，则输出的结果是 ▲ ．28. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为，，体积分别为，，若它们的侧面 积相等，且，则的值是 ▲ ． 9．函数（x ≤1）的值域为 ▲ ．10. 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a ＞0，b ＞0) 的焦点到渐近线的距离是a ，则双曲线的离心率的值是 ▲ ．211. 若的最小值为，其图象相邻的最高点与最低点横坐标之差为，且图象过点，则其解析式是 ▲ .12．已知点E ，F 是正△ABC 的边BC 上的两个三等分点，若AB = 3，则= ▲ ． 13．已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a i +b j =a k +b l ， 则的值是 ▲ ．xx14．定义在上的函数满足：①；②当时，，则集合中的最小元素是 ▲ ．12二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，已知． （1）求的值；（2）当a = 2，时，求b 的长． 解：（1）由，得． …………2分∴． ………… 4分（2）由及正弦定理，得c = 2a = 4． ………… 6分 由，得． ………… 8分 利用，得，即．………… 10分∴．………… 12分∵b > 0，∴．………… 14分16．（本题满分14分）如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，D为BC的中点．（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；（2）求证：A1B//平面ADC1．证明：（1）因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD ⊥BC．因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AD平面ABC，所以AD⊥平面BCC1B1．…………………5分因为DC1平面BCC1B1，所以AD⊥DC1．…………………7分（2）(证法一)连结A1C，交AC1于点O，连结OD，则O为A1C的中点．因为D为BC的中点，所以OD//A1B．…………………11分因为OD平面ADC1，A1B/平面ADC1，所以A1B//平面ADC1．…………………14分(证法二)取B1C1的中点D1，连结A1D1，D1D，D1B．则D1C1＝∥BD．所以四边形BDC1D1是平行四边形．所以D1B// C1D．因为C1D平面ADC1，D1B/平面ADC1，所以D1B//平面ADC1．同理可证A1D1//平面ADC1．因为A1D1平面A1BD1，D1B平面A1BD1，A1D1∩D1B＝D1，所以平面A1BD1//平面ADC1．…………………11分因为A1B平面A1BD1，所以A1B//平面ADC1．…………………14分A1B1 C1ABCDA1B1C1(第16题)17．（本小题满分14分）已知矩形纸片ABCD 中，AB = 6，AD = 12，将矩形纸片的右下角折起，使该角的顶点B 落在矩形的边AD 上，记该点为E，且折痕MN的两端点M、N分别位于边AB、BC上，设∠MNB = ，MN= l ，△EM的面积为S.（1）将l 表示成的函数，并确定的取值范围；（2）问当为何值时，△EMN 的面积S取得最小值？并求出这个最小值．解：（1）如图所示，∠AEM = 902，则MB = l sin，AM = l sin sin(90 2) = l sin cos2，由题意得l sin l sin cos 2 = lsin(1cos 2)．∴ 2lsin cos2 = 6，则．………… 4分由BN = ≤12，BM = ≤6及0≤≤，得≤≤．………… 6分故l表示成的函数为（≤≤）．（2）△EMN的面积S = l2sin cos = （≤≤）．…… 8分．设t = cos 2（≤≤），则≤t≤．…………………… 10分记，则．令，得t =，则f(t)在[，]上单调递增，在[，]上单调递减，………… 12分∴当t =，即 =时，f(t)取得最大值为，S =取最小值．…… 14分θE ND CB A18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：，点为圆上的一个动点，现将坐标平面折叠，使得圆心恰与点重合，折痕与直 线交于点．（1）求动点的轨迹方程；（2）过动点作圆的两条切线，切点分别为，求MN 的最小值；（3）设过圆心的直线交圆于点，以点分别为切点的两条切线交于点，求证：点在定直线上． 解：（1）由题意得，故P 点的轨迹是以C 1、C 2为焦点，4为长轴长 的椭圆，则，所以，， 故P 点的轨迹方程是．（5分） （2）法1（几何法） 四边形SMC 2N 的面积，所以2222cos SM MN MSC SC ==∠=（9分）从而SC 2取得最小值时，MN 取得最小值， 显然当时，SC 2取得最大值2， 所以．（12分）法2（代数法） 设S (x 0，y 0)，则以SC 2为直径的圆的标准方程为，该方程与圆C 2的方程相减得，，（8分） 则圆心到直线MN 的距离， 因为，所以， 从而，， 故当时d max ，因为，所以=．（12分）（3）设，则“切点弦”AB 的方程为，将点（-1，0）代入上式得， 故点Q 在定直线上．（16分）19．（本小题满分16分）数列的前n 项和为，存在常数，，，使得对任意正整数n 都成立. （1）若数列为等差数列，求的值； （2）若，设数列的前ｎ项和为，求；（3）若，是首项为1的等差数列，设，求不超过M 的最大整数的值.解．（1）因为为等差数列，设公差为，由，得2111(1)(1)2a n d na n n d An Bn C +-++-=++， 即2111()()()022dd A n a B n a d C -++-+--=对任意正整数都成立．所以1110,210,20,d A a d B a d C ⎧-=⎪⎪⎪+-=⎨⎪--=⎪⎪⎩所以．（2）因为，所以， 当时，，，即，所以，而，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以． ． 所以①，，② 由①②，得23111111[1()]1111112221()11222222222212n n n n n n n n n n n n T -=-=-=--=--+++++++++． 所以．（3）因为是首项为的等差数列，由⑴知，公差，所以．而2222222211(1)(1)1(1)(1)n n n n n n n n ++++++=++， 所以111111111(1)(1)(1)(1)101122334100101101M =+-++-++-+++-=-， 所以，不超过M 的最大整数为10020．（本小题满分16分）已知函数，．（1）若直线与曲线相切，求实数a 的值． （2）若对一切实数x[1，]恒成立，求实数a 的取值范围．（1）设切点为（x 0，y 0），∵， ∴切线方程为． ………… 2分 ∵切线过原点，∴．则，．即切点为． ………… 4分代入，即，得． ………… 6分 （2），即．也即，此式对一切实数x [1，]恒成立．设，∵>0在x[1，]恒成立．∴在[1，]上是增函数，． ………… 8分 ∴，此式对一切实数x [1，]恒成立． ………… 10分设，则221(22)(ln )(21)(1)()(ln )x x x x x x u x x x ------'=- ． ………………13分 当x(1，)时，> 0．则> 0．而在[1，]是图象不间断，∴的最小值为= 2．∴a ≤2． ……………… 16分常青藤实验中学xx 届高三暑期自主学习调查数学II （附加题）试题 xx. 821．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题．．卡指定区域．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后请将答题卡交回．2．答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整笔迹清楚．4．如需作图须用2B 铅笔绘、写清楚线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．A ．选修4—1：几何证明选讲如图，已知AB 为圆O 的直径，BC 切圆O 于点B ，AC 交圆O 于点P ，E为线段BC 的中点．求证：OP ⊥PE ．解：因为AB 是圆O 的直径，所以∠APB ＝90°，从而∠BPC ＝90°． …………2分 在△BPC 中，因为E 是边BC 的中点，所以BE ＝EC ，从 而BE ＝EP ，因此∠1＝∠3． …………5分 又因为B 、P 为圆O 上的点，所以OB ＝OP ，从而∠2＝ ∠4． ……………7分 因为BC 切圆O 于点B ，所以∠ABC ＝90°，即∠1+∠2=90°，从而∠3+∠4=90°，于是∠OPE ＝90°． ………………9分 所以OP ⊥PE ． ………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1，设曲线y ＝sin x 在矩阵MN 对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．解：由题设得. ………………4分设所求曲线F 上任意一点的坐标为（x ,y ），上任意一点的坐标为，则MN ＝，解得 . ………………7分把代入，化简得.所以，曲线F 的方程为. ………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线m 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋ 22t y ＝－3＋ 22t （t 为参数）；在以O 为极点、射线Ox为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝8cos θ．若直线m 与曲线C 交于A 、B 两点，求线段AB 的长．解：直线m 的普通方程为. ………………2分曲线C 的普通方程为. ………………4分 由题设直线m 与曲线C 交于A 、B 两点，可令,. 联立方程，解得，则有，.………………7分于是AB ====.故 . ………………10分D ．选修4—5：不等式选讲设x ，y 均为正数，且x ＞y ，求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3．证明：由题设x ＞0，y ＞0，x ＞y ，可得x －y ＞0. ………………2分因为2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1 (x －y )2＝(x －y )＋(x －y )＋1 (x －y )2.………………5分又(x －y )＋(x －y ) ＋1(x －y )2，等号成立条件是x －y ＝1 .………………9分所以，2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ≥3，即2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3． (10)分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE＝13BB1，C1F＝13CC1.（1）求异面直线AE与A1 F所成角的大小；（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值.解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则,,,，从而,. ………………2分记与的夹角为，则有.由异面直线与所成角的范围为，得异面直线与所成角为60º. ……4分（2）记平面和平面的法向量分别为n和m，则由题设可令，且有平面的法向量为, ,.由，得；由，得.所以，即. ………………8分记平面与平面所成的角为，有.由题意可知为锐角，所以. ………………10分23．（本小题满分10分）一个口袋中装有大小和质地都相同的白球和红球共7个，其中白球个数不少于红球个数．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为随机变量X．若P(X＝2)＝27．（1）求口袋中的白球个数；1（2）求X 的概率分布与数学期望．解：（1）设口袋中白球数为，则由，得：即： 解得：，因为白球数不少于红球数，故白球个数为4. （2）因为 ， 所以的分布列为6.1355635143543722741)(==⋅+⋅+⋅+⋅=x E . 即：的数学期望为常青藤实验中学xx 届高三暑期自主学习调查（学生版）习题深度整合、引申与探究 xx copyright By He mu填空题部分：10. 引申与探究：（1）双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a ＞0，b ＞0) 的焦点到渐近线的距离为____________.（2）若双曲线中半实轴长与半虚轴长，则这样的双曲线称为__________，离心率为________. （3）若双曲线为等轴双曲线，则等轴双曲线的方程可设为_____________.13．引申与探究：（1）已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a i -b j =a k -b l ，则的值是 _____．（2）数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a i b j =a k b l ，记c n =，则{c n }的通项公式为 ____ .14. 引申与探究：（1）定义在上的函数满足：①(为正常数)；②当时， .若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则 _____.变式2：定义在上的函数f (x )满足：①f (2x )=cf (x )(c 为正常数)；②当2≤x ≤4时，f (x )=1-|x -3|．若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条以原点为顶点的抛物线上，则常数c = _____ ．解答题部分：18．习题引申：已知圆方程为，则过圆上一点的圆的切线方程是____________. 引申1：已知圆方程为，过圆上一点的圆的切线方程为____________. 引申2：已知圆方程为，过圆上一点的圆的切线方程为___________. 引申3：椭圆方程为，则过椭圆上一点的椭圆的切线方程为___________. 引申4：双曲线方程为，则过双曲线上一点的双曲线的切线方程为___________. 引申5：抛物线方程为，则过抛物线一点的抛物线的切线方程为___________. 引申6：已知圆方程为，则过圆外一点作圆的两条切线，切点分别是，则相 交弦直线的方程为___________.习题探究：如图，在平面直角坐标系xoy 中，圆C ：，点F （1，0），E 是圆C 上的一个动点，EF 的垂直平分线PQ 与CE 交于点B ，与EF 交于点D .（1）求点B 的轨迹方程；（2）当D 位于y 轴的正半轴上时，求直线PQ 的方程；（3）若G 是圆上的另一个动点，且满足FG ⊥FE . 记线段EG 的中点为M ，试判断线段OM 的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.yxD FE BCQPO19．习题探究1：已知数列中，，前项和为，且．（1）求；（2）求证：数列为等差数列，并写出其通项公式；（3）设，，求不超过的最大整数．习题探究2：设数列的前项和为，满足（）．（1）若，，求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）已知数列是等差数列，求的值．20．习题探究1：设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若存在,,求实数的取值范围习题探究2：已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若函数的图像在点处的切线的斜率为1，且对于任意的，函数在区间上总存在极值，求实数的取值范围；（3）当时，设函数，若在区间上至少存在一个,使得成立，求实数的取值范围.常青藤实验中学xx届高三暑期自主学习调查（教师版）习题深度整合、引申与探究 xx copyright By He mu填空题部分：10. 引申与探究：（1）双曲线x2a2－y2b2＝1 (a＞0，b＞0) 的焦点到渐近线的距离为____________.（2）若双曲线中半实轴长与半虚轴长，则这样的双曲线称为__________，离心率为________. （3）若双曲线为等轴双曲线，则等轴双曲线的方程可设为_____________.13．引申与探究：（1）已知数列{a n}，{b n}满足a1=1，a2=2，b1=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时都有a i-b j=a k-b l，则的值是 _____．（2）数列{a n}，{b n}满足a1=1，a2=2，b1=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时都有a i b j=a k b l，记c n=，则{c n}的通项公式为 ____ .14. 引申与探究：（1）定义在上的函数满足：①(为正常数)；②当时，.若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则 _____.解1 由题意可知，当时，，顶点为；当时，，顶点为；当时，，顶点为；当时，，顶点为；……当时，，顶点为.那么，若函数的所有极大值点都落在同一条直线上，则必有点，，三点共线，即由∥可解得或.经检验，当时，所有极大值点都在直线上；当时，所有极大值点都在直线上.解2 可求得，当≤x≤(n∈N*)时，f(x) =．记函数f(x) =(≤x≤，n∈N*)图象上极大值的点为P n(x n，y n)．令，即x n=时，y n=，故P n(，)．分别令n=1，2，3，得P1(，)，P2(3，1)，P3(6，c)．由(k表示直线的斜率)得，c=2或c=1．当c=2时，所有极大值的点均在直线上；当c=1时，y n=1对n∈N*恒成立，此时极大值的点均在直线y=1上．变式2：定义在上的函数f(x)满足：①f(2x)=cf(x)(c为正常数)；②当2≤x≤4时，f(x)=1-|x-3|．若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条以原点为顶点的抛物线上，则常数c= _____ ．略解以原点为顶点的抛物线方程可设为x2=py(p≠0)或y2=qx(q≠0)．若P n(，)在抛物线x2=py(p≠0)上，则()2=，即对n∈N*恒成立，从而c=4；若P n(，)在抛物线y 2=qx (q ≠0)上，则()2=，即对n ∈N*恒成立，从而c =．综上，c =4或． 解答题部分：18．习题引申：已知圆方程为，则过圆上一点的圆的切线方程是_____ 引申1：已知圆方程为，过圆上一点的圆的切线方程为____________. 引申2：已知圆方程为，过圆上一点的圆的切线方程为___________. 引申3：椭圆方程为，则过椭圆上一点的椭圆的切线方程为___________. 引申4：双曲线方程为，则过双曲线上一点的双曲线的切线方程为___________. 引申5：抛物线方程为，则过抛物线一点的抛物线的切线方程为___________. 引申6：已知圆方程为，则过圆外一点作圆的两条切线，切点分别是，则相 交弦直线的方程为___________.习题探究：如图，在平面直角坐标系xoy 中，圆C ：，点F （1，0），E 是圆C 上的一个动点，EF 的垂直平分线PQ 与CE 交于点B ，与EF 交于点D .（1）求点B 的轨迹方程；（2）当D 位于y 轴的正半轴上时，求直线PQ 的方程；（3）若G 是圆上的另一个动点，且满足FG ⊥FE . 记线段EG 的中点为M ，试判断线段OM 的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.（1）由已知，所以，所以点的轨迹是以，为焦点，长轴为4的椭圆，所以点的轨迹方程为； ……………………………………………4分 （2）当点位于轴的正半轴上时，因为是线段的中点，为线段的中点，yxD FE BCQPO所以∥，且，所以的坐标分别为和， ………………………………………7分 因为是线段的垂直平分线，所以直线的方程为，即直线的方程为． ……………………………………10分 （3）设点的坐标分别为和，则点的坐标为， 因为点均在圆上，且， 所以 ①②③ …………………………………………13分 所以，，．所以2222112212121[()()2()]4x y x y x x y y =+++++，即点到坐标原点的距离为定值，且定值为．………………………………16分 19．习题探究1：已知数列中，，前项和为，且． （1）求；（2）求证：数列为等差数列，并写出其通项公式； （3）设，，求不超过的最大整数． 解：（1）令，，即． （2）由（1），．① 当时，，②①－②得，， 即．③ 所以．④ ④－③得，， 即（），所以（）． 所以数列为等差数列．因为，所以公差，其通项公式为．（3）由（2）得，．所以[]22222221222222(1)111(1)(1)11(1)(1)(1)n nn nn n n nb bn n n n n n+++++++++=++==+++，所以221(1)1111111(1)(1)1n nn nb bn n n n n n+++++==+=+-+++．所以20142211111111 12004(1)()()2005223201420152015i iiP b b+==++=+-+-++-=-∑．所以不超过的最大整数为．习题探究2：设数列的前项和为，满足（）．（1）若，，求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）已知数列是等差数列，求的值．20．习题探究1：设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若存在,,求实数的取值范围对于第二问的研究：可直接参数分离得：,所以222)()12)(2(ln ))(12()(x x x x x x x x x g +++-++='而后对分子提取公因式； 习题探究2：已知函数 （1）求函数的单调区间；（2）若函数的图像在点处的切线的斜率为1，且对于任意的， 函数在区间上总存在极值，求实数的取值范围； （3） 当时，设函数，若在区间上至少存在一个 ,使得成立，求实数的取值范围.在第2问的解决中：注重对含参曲直线问题的定的特征的分析，导函数图象过定点， 且开口向上，充要条件为，根据下一个不等式解得的参数的取值范围易得（3）问：分子负项较多，可猜想恒为负值21155 52A3 劣39823 9B8F 鮏40632 9EB8 麸31255 7A17 稗40270 9D4E 鵎23749 5CC5 峅31171 79C3 秃H38484 9654 陔28576 6FA0 澠+35358 8A1E 訞36698 8F5A 轚33403 827B 艻22048 5620 嘠。

江苏省徐州市（市区部分学校）2021届高三9月学情调研考试数学试题含答案徐州市2021届高三学情调研考试数学2020。

9。

29一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A＝{1,2，3},B＝{x|x2－x－2＜0且x∈Z｝,则A∩B＝A．{1} B．｛1，2} C．{0，1，2，3｝D．｛－1,0，1，2，3｝2．某大学4名大学生利用假期到3个山村参加基层扶贫工作,每名大学生只去1个山村，每个山村至少有1人去，则不同的分配方案共有A．6种B．24种C．36种D．72种3．甲、乙、丙、丁四位同学被问到谁去过长城时，甲说:“我没去过”，乙说：“丁去过"，丙说：“乙去过"，丁说：“我没去过”，假定四人中只有一人说的是假话,由此可判断一定去过长城的是A．甲B．乙C．丙D．丁4．天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus,又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小,天体就越亮；星等的数值越大，天体就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M.R。

Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1－m2＝2.5(lg E2－lg E1)，其中星等为m i的的星的亮度为E i (i＝1，2）．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25．“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则r的近似值为（当|x|较小时，10x≈1＋2。

3x＋2.7x2)A．1.23 B．1.26 C．1。

51 D．1.575．设a，b，c为单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为A．－2 B．错误!－2 C．－1 D．1－错误!6．我国古代数学家刘徽于公元263年在《九章算术注》中提出“割圆术"：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．即通过圆内接正多边形细割圆,并使正多边形的面积无限接近圆的面积,进而来求得较为精确的圆周率．如果用圆的内接正n边形逼近圆,算得圆周率的近似值记为πn，那么用圆的内接正2n边形逼近圆，算得圆周率的近似值π2n可以表示为A．π180cosnn︒B．π360cosnn︒C．π180sinnn︒D．π90sinnn︒7．用一平面截正方体，所得截面的面积最大时，截面的几何形状为A．正六边形B．五边形C．矩形D．三角形8．定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f′（x)，若∀x∈R，都有2f(x)＋xf′（x）＜2，则使x2f（x)－f（1)＜x2－1成立的实数x的取值范围是A．｛x｜x≠±1｝B．(－1，0）∪（0，1)C．(－1，1) D．（－∞，－1)∪（1，＋∞）二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。