1_微积分习题答案(下)

习题1—1解答 1． 设y x xy y x f +=),(，求),(1),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解yxxy y x f +=--),(；x xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f +=+=+=222),(1;),(;1)1,1(2． 设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++=),(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=⋅+⋅+⋅+⋅=++=⋅=3． 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）;11),(22-+-=y x y x f（2）;)1ln(4),(222y x y x y x f ---=（3）;1),(222222cz b y a x y x f ---=（4）.1),,(222zy x z y x z y x f ---++=解（1）}1,1),{(≥≤=y x y x D （2）}{xy y x y x D 4,10),(222≤<+<=（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤++=1),(222222c z b y a x y x D（4）{}1,0,0,0),,(222<++≥≥≥=z y x z y x z y x D4．求下列各极限：（1）22101limy x xy y x +-→→=11001=+- （2）2ln 01)1ln(ln(lim022)01=++=++→→e yx e x y y x（3）41)42()42)(42(lim 42lim000-=+++++-=+-→→→→xy xy xy xy xy xy y x y x（4）2)sin(lim )sin(lim202=⋅=→→→→x xy xy y xy y x y x5．证明下列极限不存在：（1）;lim 00yx y x y x -+→→ （2）2222200)(lim y x y x y x y x -+→→ （1）证明 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0( 则322lim lim0020-=-+=-+→→=→x x xx y x y x x x y x ；如果动点),(y x P 沿y x 2=趋向)0,0(，则33lim lim 0020==-+→→=→y yy x y x y y x y所以极限不存在。

第 1 页 共 8 页1、在二元函数的极限中，(,)P x y 趋于点000(,)P x y 的方式是任意的； （ √ ）2、若(,)z f xy =在00(,)x y 处存在一阶偏导数，则(,)z f x y =在00(,)x y 处可微（ × ）3、“对二元函数),(y x f z =，求其在条件0),(=y x ϕ下的极值”问题的拉格朗日函数为：),(),(),,(y x y x f y x F λϕλ+=； （ √ ）4、设22:14D x y ≤+≤，则3D d x d y π=⎰⎰；（ √ ） 5、若级数1nn a∞=∑收敛，级数1nn b∞=∑发散，则级数1()nn n ab ∞=+∑必发散； （ √ ）6、级数1nn ∞= （ × ）7、级数21n n x n ∞=∑的收敛半径是2； （ × ）8、2()20x y y x ''-+=是一阶微分方程． （ √ ） 1、若函数(,)f x y 点00(,)x y 处连续，则0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=； （ √ ）2、若(,)z f xy=在00(,)x y 处可微，则(,)z f x y =在00(,)x y 处存在连续偏导数（ √ ）3、若在驻点00(,)x y 处00(,)xx f x y ''和00(,)yy f x y ''异号，则00(,)f x y 是函数极值；（ × ）4、设22(,)1f x y x y =--，则(0,)是函数的极大值点； （ √ ）5、(,)(cos ,sin )DDf x y d f r r drd σθθθ=⎰⎰⎰⎰；（ × ） 6、若级数1nn u∞=∑收敛，则级数12nn u∞=+∑也收敛； （ √ ）7、级数1(1)2nnn ∞=-∑是条件收敛； （ × ） 8、2()20y y ''-=是二阶微分方程． （ × ）第 2 页 共 8 页二、填空题 1、设x z y =，则zx∂=∂ ln x y y ； 2、设22xy z e +=，则dz = 222()xy e xdx ydy ++ ；3、在极坐标系下计算二重积分有公式(,)Df x y dxdy =⎰⎰(cos ,sin )Df r r rdrd θθθ⎰⎰ ；4、设0a ≠，则当q 满足：q 1> 时，几何级数1n n aq ∞=∑收敛； 5、对任意级数1nn u∞=∑，如果1nn u∞=∑收敛，则称级数1nn u∞=∑为 绝对 收敛级数；6、1()1f x x =-展开成x 的幂级数是_______0(11)nn x x ∞=-<<∑______。

中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案06年A 卷1、已知22(,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x 0 21 ___________.π=⎰∞+∞--dx e x 2 3、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值.4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________.二、选择题(每小题3分,共15分)6 知dx e x p ⎰∞+- 0 )1(与⎰-ep x x dx 1 1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( ).(A) 在原点无定义(B) 在原点二重极限不存在(C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( ).(A) 123I I I >> (B) 213I I I >>(C) 123I I I << (D) 213I I I <<9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ).(A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+=(C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n n a 收敛，则∑∞=-1)1(n nn a ( ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限11lim222200-+++→→y x y x y x .13、),(y x z z =由xy e z z =+确定，求y x z∂∂∂2.14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值.15、计算⎰⎰1212dxedy yyyx.16、计算二重积分22()Dx y dxdy+⎰⎰，其中D是由y轴及圆周221x y+=所围成的在第一象限内的区域.17、解微分方程x y y +'=''.18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.19、将函数x 31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间..根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=，求最优广告策略.四、证明题(每小题5分,共10分)21、设1133ln()z x y =+，证明：13z zx y x y ∂∂+=∂∂.22、若∑=12n n u 与∑∞=12n n v 都收敛,则∑∞=+12)(n n n v u 收敛.答案一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 2 3、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=.二、选择题(每小题3分,共15分)6、(C ).7、 (B).8、(A ) .9、(D). 10、(D).三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积. 解：32y x =的反函数为23,0x y y =>。

“微积分”知识要点及答案（最后一页）一、单项选择1．函数24x x f -=)(有界且单调增加的区间是（ ）． A ．),(22- B ．),(02- C ．)2,0( D ． ),(+∞22．当0→x 时，x x sin +2是关于x 的（ ）． A ．高阶无穷小量 B ．低阶无穷小量 C ．同阶但不等价无穷小量 D ．等价无穷小量 3．=+'⎰dx x f x f 24)]([)(（ ）．A ．C x f +221)(arctanB ．C x f +441)(arctan C ．C x f ++)(ln 221D ． C x f ++)(ln 24．设10=')(x f ，则=∆-∆-→∆x x f x x f x )()3(lim 000（ ）． A ． 4- B ．3- C ． 2-D ．1-45．在] ,[11-上满足罗尔定理的函数是（ ）． A ．2x e y -=B ．32x y =C ．211xy -=D ．xxy sin =6． 下列等式中正确的是（ ）． A ．C x f dx x f +='⎰)(])([ B ．)()(x f x df =⎰C ．)(])([x f dx x f d =⎰D ．C x f dx x f +='⎰)()(7．由曲线21x y -=与直线x y =，y 轴所围平面图形绕x 轴旋转一周生成的旋转体体积等于（ ）． A ．dx x x 222021)(--⎰πB ．dx x x 222021)(⎰--π C ．dx x x ])[(2222021--⎰πD ．dx x x ])([2222201--⎰π8．函数x x x f arctan )sin()(+=2在),(+∞-∞内是（ ）． A ．无界奇函数 B ．无界偶函数 C ．有界奇函数 D ．有界偶函数9．当0→x 时，x x arcsin -3是关于x 的（ ）． A ．高阶无穷小量 B ．低阶无穷小量 C ．同阶但不等价无穷小量 D ．等价无穷小量 10．设10=')(x f ，则=∆-∆-→∆x x f x x f x )()3(lim 000（ ）． A ． 4- B ．3- C ． 2-D ．1-411． 下列命题中正确的是（ ）．A ．极小值必小于极大值B ．若)(x f 在0x x =处有00=')(x f ，则)(0x f 必为极值 C. 若)(0x f 为)(x f 的极值，则必有00=')(x fD. 若)(0x f 为可导函数)(x f 的极值，则必有00=')(x f12．=+'⎰dx x f x f 24)]([)(（ ）．A ．C x f +221)(arctan B ．C x f +441)(arctan C ．C x f ++)(ln 221D ． C x f ++)(ln 213．函数x x x f arctan )sin()(+=2在),(+∞-∞内是（ ）． A ．无界奇函数 B ．无界偶函数 C ．有界奇函数 D ．有界偶函数 14．设00=)(f ，10=')(f ，则=→xx f x 2)(lim（ ）． A ． 0 B ．21 C ． 1D ．不存在15．当0→x 时，x x arcsin -3是关于x 的（ ）． A ．高阶无穷小量 B ．低阶无穷小量 C ．同阶但不等价无穷小量 D ．等价无穷小量16．设x sin 是)(x f 一个原函数，则='⎰dx x f x )(（ ）．A ．C x x x +-sin cosB ．C x x x +-sin cos C ．C x x x +-cos sinD ．C x x x +-cos sin17．设10=')(x f ，则=∆-∆-→∆x x f x x f x )()3(lim 000（ ）． A ． 4- B ．3- C ． 2-D ．1-418． 下列命题中正确的是（ ）． A ．极小值必小于极大值B ．若)(x f 在0x x =处有00=')(x f ，则)(0x f 必为极值 C. 若)(0x f 为)(x f 的极值，则必有00=')(x fBWME200901D. 若)(0x f 为可导函数)(x f 的极值，则必有00=')(x f19． 下列等式中正确的是（ ）． A ．C x f dx x f +='⎰)(])([ B ．)()(x f x df =⎰C ．)(])([x f dx x f d =⎰D ．C x f dx x f +='⎰)()(20．=+'⎰dx x f x f 24)]([)(（ ）．A ．C x f +221)(arctan B ．C x f +441)(arctan C ．C x f ++)(ln 221D ． Cx f ++)(ln 2 21． 曲线x xe x f 2)(=在)1,2(--内（ ）．A. 单减且凹B. 单减且凸C. 单增且凹D. 单增且凸22.在] ,[11-上满足罗尔定理的函数是（ ）． A ．2x e y -=B ．32x y =C ．211x y -=D ．xxy sin =二、判断题（每题3分，共30分）1．若k xx e x =-→201)(lim ，则=k 2． 答案：2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0021x a x x e x f x , ,)(在点0=x 连续，则=a 1． 答案：3．微分方程y x e dxdy+=的通解是C e e y x =+- 答案：4．曲线x xe y 2-=的拐点坐标是),(211e ． 答案：5.3 122 1cos (3)11x xx dx x -+=+⎰ 答案：6．设yxe z =，则=∂∂∂y x z 2y xe y x y)(+-31． 答案：7. 设平面区域D 由直线x y =，1=x 与x 轴所围，则12Ddxdy =⎰⎰． 答案：8． 132 11(cos )2x x x dx -+=⎰． 答案：9．更换积分次序，dy y x f dx dx y x f dy xx yy⎰⎰⎰⎰=10102),(),(． 答案：10．微分方程y x e dxdy-=满足初始条件01=)(y 的特解是)ln(e e y x -+=1． 答案：11．若13lim(13)xx x e-→-=． 答案：12．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<≤-=10 20 3x axx x x e x f x ,tan sin ,cos )(在点0=x 连续，则0a =． 答案:13．曲线352)(-=x y 的拐点坐标是（2,1）． 答案:14．设)sin(2+=y x z ，则=∂∂∂yx z2)cos(2+y ． 答案:15．微分方程y x e dxdy-=满足初始条件01=)(y 的特解是)ln(e e y x -+=1 答案: 16．3 1421sin 2()31x x x dx x -+=+⎰． 答案:17．设平面区域D 由直线x y =，1=x 与x 轴所围，则12Ddxdy =⎰⎰． 答案:18．若k xx e x =-→201)(lim ，则2k =. 答案:19．微分方程y x e dxdy+=的通解是dx e dy e x y =-． 答案:20、曲线x xe y 3-=的拐点坐标是),(23232-e . 答案:21、若1lim()1n n n n e-→∞=-． 答案:22、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-+≤+=0 ,110,)(2x xx x x x a x f 在点0=x 连续，则1a =． 答案:23、设平面区域D 由直线x y =，1=y 与y 轴所围，则21Ddxdy =⎰⎰． 答案:24、曲线x xe y 3-=的拐点坐标是),(23232-e ． 答案:25、13lim(13)xx x e-→-=答案:26、设2y x e z +=，则=∂∂∂yx z22x y ye +． 答案:27、更换积分次序，dy y x f dxdx y x f dyxx yy⎰⎰⎰⎰=112),(),(． 答案:28、3 1221cos (3)11x x x dx x -+=+⎰答案：29、微分方程y x y x '=-)(22的通解是222x eCx y -=． 答案:30、曲线352)(-=x y 的拐点坐标是（2,1）． 答案:三、解答题1、求微分方程122--='xy x y x 满足初始条件11=)(y 的特解．2、求极限.arctan lim2x tdt xx ⎰→3、求曲线)sin(xy e e y x =-在),(00点的切线方程．4、设函数),(y x z z =由方程xyz z =sin 确定，求dz ．5、求微分方程x y x y =-'1的通解．6、求函数x x x f 2332-=)(在],[21-上的最大值和最小值．7、计算.dx e x ⎰-18、计算dxdy y x D⎰⎰+22sin，其中{}22224ππ≤+≤=y x y x D ),(．9、求极限.limcos 212x dt e xt x ⎰-→10、求曲线0=-+e e xy y 在),(10点的切线方程．11、设函数),(y x z z =由方程333a xyz z =-确定，求dz ．12、求微分方程xxx y y sin =+'满足初始条件1=)(πy 的特解． 13、求函数1)(2+=x x x f 在]1,21[-的最大值和最小值．14、求dx x x ⎰-123 .15、计算D dxdy y yD其中,sin ⎰⎰由曲线x y x y ==,所围的闭区域. 16、求极限.sin lim3x tdt t xx ⎰→17、求曲线021=+-y y x sin 在),(00点的切线方程．18、设函数),(y x z z =由方程y x e xyz -=确定，求.dz19、求微分方程122--='xy x y x 满足初始条件11=)(y 的特解．20、求函数)1ln(2+=x y 在]3,1[-的最大值和最小值． 21、求dx x x ⎰-23231.22、计算,⎰⎰Ddxdy xy其中D 由21x ≤+2y 4≤，x x y ,=轴所围一、选择题答案 1 2 3 4 5 6 78 9 10 B D A B A D C CC B 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22D A C B C A B DDABA二、判断题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 × × √ √ × √ √ × √ √ √ × × √ √ 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 × √ × √ √ √ × √ √ √ × √ × √ ×三、简答题答案1、解：将所求微分方程变形为，212xx y x y -=+'此方程为一阶非齐次线性微分方程.,)(x x P 2=,)(21xx x Q -=)())(()()())((ln )()(C x x x C dx x x C dx x x x e C dx e xx e C dx e x Q e y x dx x dx xdx x P dxx P +-=+-=+⋅-=+-=+=⎰⎰⎰⎰---⎰⎰⎰⎰211111222222222将初始条件11=)(y 代入上式，得23=C故所求微分方程在初始条件11=)(y 下的特解为：223121xx y +-=2、解：.lim arctan lim arctan lim2121122002=+==→→→⎰x x x x tdt x x xx3、解： 方程)sin(xy e e y x =-两边同时对x 求导，可得))(cos(y x y xy y e e y x '+='⋅-化简可得yx e xy x xy y e y +-='cos cos100000000=+-='ee y cos cos ),( 故曲线)sin(xy e e y x =-在),(00点的切线方程为 )(010-=-x y即 x y =.4、解：设xyz z z y x F -=sin ),,(,yz F x-='，,xz F y -=',cos xy z F z -=' xyz yz F F x zz x -=''-=∂∂cos ； xyz xz F F y z z y -=''-=∂∂cos ; 所以dy xyz xz dx xy z yz dz -+-=cos cos5、解：由题意知，,)(xx P 1-=x x Q =)(， 则 )()())(()()()()(C x x C dx xe e C dx e x Q e y dx x dx x dxx P dxx P +=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰----11所以原方程通解为：.Cx x y +=26、解：求函数的一阶导数，得)()(3131311222x xxx f -=-='--因此x x x f 2332-=)(在),(21-内有不可导点01=x 和唯一的驻点12=x ， 比较下列值：044325111003>-==-==)( ,)( ,)( ,)(f f f f故x x x f 2332-=)(在],[21-上的最大值为,)(51=-f 最小值为00=)(f .7、解：令,x t -=则,,tdt dx t x 22==且x 从10→时，t 从10-→. ee e dt e tetde tdt e dx ett tt tx421222210110111-=--=-===------⎰⎰⎰⎰)()(8、解：积分区域D 的图形为上图阴影所示圆环域，在极坐标下{}πππθθ220≤≤≤≤='r r D ,),(=+⎰⎰dxdy y x D22sin =⎰⎰'θdrd r r D sin ⎰⎰πππθ220rdr r d sin =.)cos (sin 2262ππππ-=-r r r9、解：.)sin (limlimcoscos ex x e x dt e xx xt x 2122221=-⋅-=-→-→⎰10、解： 方程0=-+e e xy y 两边同时对x 求导，可得:0='+'+y e y x y y化简可得ye x yy +-=' e ey 101110-=+-='),( 故曲线0=-+e e xy y在),(10点的切线方程为：)0(11--=-x ey即 .ex y -=111、解：设333a xyz z z y x F --=),,(,yz F x3-='，,xz F y 3-=',xy z F z 332-=' xyz yz xy z yz F F x zz x -=---=''-=∂∂22333； xyz xz xy z xz F F y z z y -=---=''-=∂∂22333. 所以 )(xdy ydx xyz zdz +-=2.12、解：由题意可知，所求微分方程变形为一阶非齐次线性微分方程，,)(xx P 1=,sin )(x xx Q =)cos ()sin ()sin ()sin ())((ln )()(C x xC xdx x C xdx x x e C dx e xx e C dx e x Q e y x dx x dx xdx x P dxx P +-=+=+=+=+=⎰⎰⎰⎰---⎰⎰⎰⎰1111将初始条件1=)(πy 代入上式，得 1-=πC故所求微分方程在初始条件11=)(y 下的特解为： )cos (x xy --=11π13、解：求函数的一阶导数，得22)1(2)(++='x x x x f因此1)(2+=x x x f 在)1,21(-内有唯一的驻点0=x .比较下列值：21)1(,0)0(,21)21(===-f f f故1)(2+=x x x f 在]1,21[-上的最大值为,21)1()21(==-f f 最小值为.0)0(=f14、解：令x t 23-=，则232t x -=，.tdt dx -=0=x 时，3=t ；1=x 时，1=t ..5233102)3(21)(2323315313314221 321 0 -=-=-=--=-⎰⎰⎰t t dt t t dt t t dx x x15、解：积分区域为右图所示阴影部分，则=⎰⎰dxdy y yD sin dyy y y dy y y y y dx y y dy y y ⎰⎰⎰⎰-=-==121 0 1 0 )sin (sin )(sin sin 21sin 1sin 1cos 1cos 1cos cos cos cos sin 10110101 01-=-+-=-+-=+=⎰⎰⎰y ydyy y y yyd ydy16、解：=⎰→3sin limx tdt t xx .313sin lim 3sin lim020==→→x x x x x x x17、解： 方程021=+-y y x sin 两边同时对x 求导，可得:0211='⋅+'-y y y cos化简可得yy cos -='22202200=-='cos ),(y故曲线021=+-y y x sin 在),(00点的切线方程为：)(020-=-x y 即 .x y 2=18、解：设y x e xyz z y x F --=),,(,y x xe yz F --='，,y x y e xz F -+=',xy F z =' xz xz xy yz xyz xy yz e xy e yz F F x zy x y x z x -=-=-=--=''-=∂∂--； yyz z xy xyz xz xy e xz F F y z y x z y +-=+-=+-=''-=∂∂-. 则 dy yz yz dx x zxz dz +--=.19、解：将所求微分方程变形为，212xx y x y -=+'此方程为一阶非齐次线性微分方程.,)(x x P 2=,)(21xx x Q -=)())(()()())((ln )()(C x x xC dx x x C dx x x x e C dx e xx e C dx e x Q e y xdx x dx xdx x P dxx P +-=+-=+⋅-=+-=+=⎰⎰⎰⎰---⎰⎰⎰⎰211111222222222将初始条件11=)(y 代入上式，得23=C故所求微分方程在初始条件11=)(y 下的特解为：223121xx y +-=20、解：求函数的一阶导数，得12)(2+='x xx f 因此)1ln(2+=x y 在)3,1(-内有唯一的驻点0=x .比较下列值：10ln )3(,0)0(,2ln )1(===-f f f ,故)1ln(2+=x y 在]3,1[-上的最大值为,10ln )3(=f 最小值为0)0(=f .21、解：令,sin t x = 则.cos tdt dx =0=x 时，0=t ；23=x 时，3π=t .2453221241)cos 3cos (cos )1(cos cos )sin (cos cos sin 13033023023032323=+-=-=-=-==-⎰⎰⎰⎰ππππt t t d t t d t tdt t t dx x x22、解：积分区域如下图所示，在极坐标系下，122=+y x 的方程化为1=r ， 422=+y x 的方程化为2=r ，由图可知，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤='40 ,21 ),(πθθr r D=⎰⎰Ddxdy xy⎰⎰''D dr rd θθtan ⎰⎰⋅=4021tan πθθrdr d.2ln 43cos ln 23cos cos 232cos sin 404021240=-=-=⋅=⎰⎰πππθθθθθθd rd。

微积分下试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 在区间 \( (0, \infty) \) 上是：A. 有界函数B. 无界函数C. 单调递增函数D. 单调递减函数答案：B2. 若函数 \( g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 在 \( x = 3 \) 处取极值，则 \( g(x) \) 在 \( x = 3 \) 处为：A. 极大值B. 极小值C. 不是极值D. 不确定答案：A3. 曲线 \( y = x^2 \) 与直线 \( y = 2x \) 在第一象限内的交点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B4. 已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \) 等于：A. 1B. 2C. 4D. 无法确定答案：C5. 若函数 \( h(x) = \sin x + \cos x \) 的导数 \( h'(x) \) 在区间 \( [0, \frac{\pi}{2}] \) 上为：A. 非正函数B. 非负函数C. 正值函数D. 负值函数答案：B6. 函数 \( F(x) = \int_0^x e^t dt \) 的值域是：A. \( (-\infty, 1] \)B. \( [1, \infty) \)C. \( (0, \infty) \)D. \( (-\infty, 0] \)答案：C7. 已知 \( \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2x \)，且 \( y(2) = 4 \)，则 \( y \) 的一个可能表达式是：A. \( y = x^3 - \frac{4}{3}x^3 + 4 \)B. \( y = x^3 - x^2 + C \)C. \( y = x^3 - 2x + C \)D. \( y = x^3 - \frac{10}{3}x^3 + C \)答案：A8. 函数 \( G(x) = e^x \) 的 \( n \) 阶导数 \( G^{(n)}(x) \) 是：A. \( e^x \)B. \( ne^x \)C. \( n!e^x \)D. \( 0 \)答案：A9. 曲线 \( y = \ln x \) 的水平渐近线方程是：A. \( y = 0 \)B. \( y = 1 \)C. \( y = -1 \)D. \( x = 1 \)答案：C10. 若 \( \int_{-1}^{1} x^2 dx = \frac{2}{3} \)，则\( \int_{-1}^{1} x^3 dx \) 等于：A. \( -\frac{2}{4} \)B. \( \frac{2}{4} \)C. \( -\frac{1}{4} \)D. \( \frac{1}{4} \)答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数 \( f(x) = \sqrt{x} \) 的最小值是 ________。

《微积分（下）》作业本课程作业由二部分组成：第一部分为“客观题部分”，由15个选择题组成，每题1分，共15分； 第二部分为“主观题部分”，由4个解答题组成，第1、2题每题2.5分，第3、4题每题5分，共15分。

作业总分30分，将作为平时成绩记入课程总成绩。

客观题部分一、选择题（每题1分，共15分）1．级数1n n u ∞=∑收敛的充要条件是（ C ）A 、lim 0nn u →∞= B 、1lim1n n n u r u +→∞=<C 、lim n n S →∞存在，()12n n S u u u =++…+ D 、21nu n≤2．下列级数中，绝对收敛的是（ C ）A 、()111n n ∞-=-∑B 、()1121nn n n ∞=--∑C 、1213nn ∞=∑D 、()()1111ln 1n n n ∞-=-+∑3．二元函数z=B ）A 、0x y +>B 、1x y +>C 、()ln 0x y +≠D 、1x y +≠4．级数()()112121n n n ∞=-+∑的和是（ A ）A 、12B 、2C 、3D 、135．若级数1n n u ∞=∑发散，则级数()10n n au a∞=≠∑（ A ）A. 一定发散 B 、一定收敛C 、可能收敛也可能发散D 、0a>时收敛，0a <时发散6．级数()123nnn x n ∞=-⋅∑的收敛半径是（ D ）A 、2B 、12C 、13D 、37．设积分区域D 是由曲线2,1x y ==所围成的平面图形，则Ddxdy ⎰⎰=（ A ）A 、8B 、 4C 、 2D 、4-8．下列级数中，绝对收敛的是（ C ）A 、()111n n ∞+=-∑B 、()()110nn a n a∞=->+∑C 、()()121121n n n -∞=--∑D 、()1111nn n n ∞=--+∑9．设12y xz-⎛⎫= ⎪⎝⎭，则z x∂∂=（ D ）A. 1ln 22y x-⎛⎫ ⎪⎝⎭B 、22yxy x-⋅C 、112y xy x -⎛⎫-- ⎪⎝⎭D 、22ln 2yxy x-⋅10．微分方程'3xy y +=的通解为（ A ）A 、3C y x=+ B 、3y Cx =+ C 、3C yx=-- D 、3C yx=-11．已知级数1n n u ∞=∑，1n n v ∞=∑，n n u v 0≤≤，则（ C ）A 、当1n n u ∞=∑收敛时，1n n v ∞=∑发散B 、当1n n v ∞=∑发散时，1n n u ∞=∑发散C 、当1n n u ∞=∑发散时，1n n v ∞=∑发散D 、当1n n v ∞=∑发散时，1n n u ∞=∑收敛12．设()ln xyze e=+，则2z x y∂∂∂=（ B ）A 、yxyee e+ B 、()2xy x ye ee e-+C 、()2x y xye eee+ D 、xxyee e+13． ()()//0000,,,x y f x y f x y 存在，则函数(),f x y 在点()00,x y （ C ）A 、一定不可微B 、一定可微C 、连续D 、有定义14．设(),z f x y =在点()00,x y 处可微，且()()//0000,0,,0x y f x y f x y ==，则函数(),f x y 在点()00,x y 处（ D ）A 、必有极值B 、必有极大值C 、必有极小值D 、不一定有极值15．交换二重积分()10,y I dy f x y dx=⎰⎰的积分次序，则I =（ B ）A 、()10,xdx f x y dy⎰⎰ B 、()11,xdx f x y dy⎰⎰C 、()10,y dx f x y dy⎰⎰D 、()10,y dx f x y dy⎰⎰主观题部分二、解答题（第1、2题每题2.5分，第3、4题每题5分，共15分）1. 判断交错级数()22111lnnn n n∞=+-∑的敛散性. 若收敛，请指出是条件收敛，还是绝对收敛，注明理由.2. 求幂级数11n n nx∞-=∑的和（注：利用逐项积分）.3. 设2lnx y z ++=，求.z x∂∂4．求微分方程1'y y x x+=的通解.。

第六章 定积分§6.1~6.2 定积分的概念、性质一、填空题1、设()f x 在[,]a b 上连续，n 等分011[,]:n n a b a x x x x b -=<<<<=，并取小区间左端点1i x -，作乘积1()i b af x n --⋅，则11lim ()ni n i b a f x n -→∞=-⋅=∑()d b af x x⎰.2、根据定积分的几何意义，20d x x =⎰2，1x -=⎰2π，sin d x x ππ-=⎰0.3、设()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则()d ()d b baaf x x f t t -=⎰⎰0.二、单项选择题1、定积分()d b af x x ⎰(C) .(A) 与()f x 无关 (B) 与区间[,]a b 无关 (C) 与变量x 采用的符号无关 (D) 是变量x 的函数 2、下列不等式成立的是 (C) . (A) 222311d d x x x x >⎰⎰ (B) 22211ln d (ln )d x x x x <⎰⎰(C)110d ln(1)d x x x x >+⎰⎰ (D) 11e d (1)d xx x x <+⎰⎰3、设()f x 在[,]a b 上连续，且()d 0b af x x =⎰，则 (C) .(A) 在[,]a b 的某小区间上()0f x = (B) [,]a b 上的一切x 均使()0f x = (C) [,]a b 内至少有一点x 使()0f x = (D) [,]a b 内不一定有x 使()0f x = 4、积分中值公式()d ()()b af x x f b a ξ=-⎰中的ξ是 (B) .(A) [,]a b 上的任一点 (B) [,]a b 上必存在的某一点(C) [,]a b 上唯一的某一点 (D) [,]a b 的中点5、d arctan d d bax x x =⎰ (D) .析：arctan d b ax x ⎰是常数(A) arctan x (B)211x+ (C) arctan arctan b a - (D) 06、设244123d ,s i n d I x x Ix x ππ===⎰⎰⎰，则123,,I I I 的关系为 (B) .(A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 312I I I >> (D) 132I I I >> 7、设41I x =⎰，则I 的值 (A) . (A) 0I ≤≤(B) 115I ≤≤ (C) 1165I ≤≤ (D) 1I ≥析：4()f x =[]0,1上的最大值是2，最小值是0，所以0I ≤≤.三、估计定积分220e d x x I x -=⎰的值.解 记2()e ,[0,2]xxf x x -=∈，则2()(21)e x x f x x -'=-，令()0f x '=，得12x =. 因为1241e ,(0)1,(2)e 2f f f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以()f x 在[0,2]上的最大值为2e ，最小值为14e -，从而 212242ee d 2e x x I x --≤=≤⎰.四、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且1()d ()baf x x f b b a =-⎰.求证：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=.证明 由积分中值定理，存在一点[,]a b η∈，使得()d ()()b af x x f b a η=-⎰，即1()d ()b af x x f b a η=-⎰.又由题设可知，()f x 在[,]b η上连续，在(,)b η内可导，且有()()f f b η=，根据罗尔定理，存在一点(,)(,)b a b ξη∈⊂，使得()0f ξ'=.§6.3微积分的基本公式一、填空题1、若20()x f x t t =⎰，则()f x '=32x .2、32d d x x x⎰23、极限0sin 3d lim1cos x x t tx→=-⎰3.4、定积分412d x x -=⎰52.5、设,0()sin ,0x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，则11()d f x x -=⎰1cos12-.6、由方程2d cos d 0e y xt t t t +=⎰⎰所确定的隐函数()y y x =的导数d d y x=2cos ey x-.7、设()f x 是连续函数，且31()d x f t t x -=⎰，则(7)f =112.8、设13201()()d 1f x x f x x x =++⎰，则10()d f x x =⎰3π.析：设10()d f x x A =⎰，则等式两端同时积分得111320001()d d d 1f x x x x A x x =+⋅+⎰⎰⎰ 1013arctan |,,4443A x A A A ππ=+⋅∴==. 9、设()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()0f x >，则方程1()d d 0()x x abf t t t f t +=⎰⎰在开区间(,)a b 内有1个实根.析：设1()()d d ()x x abF x f t t t f t =+⎰⎰，则有 1()d 0,()()d 0()a b ba F a t Fb f t t f t =<=>⎰⎰,由根的存在定理知至少有存在一个(),a b ξ∈使得()0F ξ=；若方程有两个根，不妨设1,2ξξ即12()0,()0F F ξξ==,则由罗尔定理知,(),a b ξ∃∈使得()0F ξ'=, 即使得1()0()f x f x +=成立，这与()0f x >矛盾， 所以方程又且只有一个根.二、单项选择题1、下列积分中能用微积分基本公式的只有 (C) .(A) 11d x x -⎰ (B) 31e d ln x x x ⎰(C) 1-⎰(D) 1-⎰2、设2()()d xa x F x f t t x a=-⎰，其中()f x 是连续函数，则lim ()x a F x →= (B) . (A) 2a (B) 2()a f a (C) 0 (D) 不存在3、设561cos 2()sin d ,()56x x x f x t t g x -==+⎰，则当0x →时，()f x 是()g x 的 (B) .(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小 (C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小 析: 1cos 42056450004()sin d ()2limlimlim 0()56xx x x x xt tf x x xg x x x-→→→⋅===++⎰. 三、求020(e 1)d limsin x t x t t x x→-⎰.解 根据洛必得法则，得202322000(e 1)d (e 1)d (e 1)1limlimlim lim sin 333x x t t x x x x x t t t t x x x xx x x →→→→---====⎰⎰.四、求函数20()e d xtI x t t -=⎰的极值.解 2()e x I x x -'=，()2222()ee (2)12e x x x I x x x x ---''=+-=-.令()0I x '=，得驻点0x =,又(0)10I ''=>，所以0x =是()I x 得极小值点，极小值为(0)0I =.五、求x .解x x x ==⎰()()24204sin cos d cos sin d sin cos d x x x x x x x x x ππππ=-=-+-⎰⎰⎰()()42042sin cos cos sin x x x x πππ=++--=.六、已知0()()d 1cos xx t f t t x -=-⎰，证明：20()d 1f x x π=⎰.证明 原式可化为 0()d ()d 1cos x xx f t t tf t t x -=-⎰⎰，两边对x 求导，得()d ()()sin xf t t xf x xf x x +-=⎰，即0()d sin xf t t x =⎰，令2x π=，得20()d sin12f t t ππ==⎰，即 20()d 1f x x π=⎰.§6.4 定积分的换元积分法一、填空题1、设()f x 在区间[,]a a -上连续，则2[()()]d a ax f x f x x ---=⎰.2、91x =⎰2ln 2. 3、09912(21)d x x -+=⎰1200.4、31e =⎰2. 5、(211d x x -=⎰2.6、222d 2x xx x -+=+⎰ln3. 7、x =⎰4π.8、设211e ,22()11,2x x x f x x ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩，则212(1)d f x x -=⎰12-.二、单项选择题1、设()f x 是连续函数，()d ()d b baaf x x f a b x x -+-=⎰⎰ (A) .(A) 0 (B) 1 (C) a b + (D) ()d b af x x ⎰析：令a b x y +-=，则()d ()d ()d ()dy 0b bbaaaabf x x f a b x x f x xg x -+-=+=⎰⎰⎰⎰2、设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则 (A) . (A) 若()f x 是奇函数，()F x 必为偶函数 (B) 若()f x 是偶函数，()F x 必为奇函数 (C) 若()f x 是周期函数，()F x 必为周期函数 (D) 若()f x 是单调增函数，()F x 必为单调增函数 析：(B)反例：()cos ,()sin 1f x x F x x ==+(C)反例：()1,()f x F x x ==(D)反例：212(),()f x x F x x == 三、计算下列定积分1、()234332011311211222d 3d 32233t t t t t t t t -+⎛⎫⋅=+=+= ⎪⎝⎭⎰⎰. 2、()1ln 1122000021d 21d 2arctan 2112t t t t t t t t π⎛⎫⋅=-=-=- ⎪++⎝⎭⎰⎰.3、d d t t t t =⎰1t=-=.四、设()f x 是连续函数，证明：02(sin )d (sin )d xf x x f x x πππ=⎰⎰.证明(sin )d ()(sin )(d )=()(sin )d x txf x xt f t t t f t t ππππππ=-=---⎰⎰⎰令(sin )d (sin )d (sin )d (sin )d f t t tf t t f x x xf x x ππππππ=-=-⎰⎰⎰⎰.从而 02(sin )d (sin )d xf x x f x x πππ=⎰⎰，即 02(sin )d (sin )d xf x x f x x πππ=⎰⎰.五、设(),()f x g x 在[,](0)a a a ->上连续，且()f x 满足条件()()f x f x A +-=（A 为常数）,()g x 为偶函数. （1）证明:()()d ()d a aaf xg x x A g x x -=⎰⎰；（2）利用（1）的结论计算定积分22sin arctan e d xx x ππ-⎰.(1)证明00()()d ()()d ()()d a aaaf xg x x f x g x x f x g x x --=+⎰⎰⎰,而000()()d ()()(d )()()d ()()d a aaax tf xg x xf tg t t f t g t t f x g x x -=----=-=-⎰⎰⎰⎰令,所以()()d ()()d ()()d a aaaf xg x x f x g x x f x g x x -=-+⎰⎰⎰[]0()()()d ()d a af x f xg x x A g x x =-+=⎰⎰.(2)解 取()arctan e ,()sin ,2xf xg x x a π===，令 ()()()arctan earctan e xx F x f x f x -=-+=+，则 ()2222e e e e ()arctan e arctan e 01e 1e 1e 1e x x x x xx x x x xF x -----''=+=+=+=++++，所以 ()F x A =（常数），又(0)arctan1arctan12arctan12F π=+==，即 ()()2f x f x A π-+==.于是有22202sin arctan e d sin d sin d 222xx x x x x x πππππππ-===⎰⎰⎰.§6.5 定积分的分部积分法一、填空题1、cos d x x x π=⎰2-.2、已知()f x 的一个原函数是2ln x ，则1e()d xf x x '=⎰1.3、11()e d xx x x --+=⎰124e --.4、设0sin ()d xtf x t t π=-⎰，则0()d f x x π=⎰2. 析：0000sin sin ()d ()|d ()d x x f x x xf x x x x x x xπππππππ=-=---⎰⎰⎰0(cos )|2x π=-=. 二、计算下列定积分1、2001d arccos 122x x x x =+=-⎰⎰12==+. 2、1e111e1e 1e 1111eeee11ln d (ln )d ln d ln d ln d x x x x x x x x x x x x x x x x =-+=-+⋅+-⋅⎰⎰⎰⎰⎰1121e e 12e e e=-+-+-+=-. 3、ln 2ln 2ln 20ln 2ln 211e d d(e )e e d ln 2e (1ln 2)22x x xx xx x x x x -----=-=-+=--=-⎰⎰⎰. 4、2222200001cos 211sin d d d cos 2d 222x x x x x x x x x x x ππππ-=⋅=-⎰⎰⎰⎰22220022011d(sin 2)sin 2sin 2d 44164x x x x x x x πππππ⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰22201110cos 21642164x πππ⎛⎫ ⎪=-+=+ ⎪⎝⎭. 5、1102x x =⎰⎰（被积函数为偶函数）方法一 ：122arcsin dx =-⎰1202arcsin x x ⎫=--⎪⎪⎝⎭212x ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭1202d 1x ⎫=--=-⎪⎪⎝⎭⎰. 方法二：166sin arcsin cos dt cos t txt x t t ππ-=⎰⎰602d(-cos )1t t π==-⎰. 6、111120000ln(1)1ln(1)1d ln(1)d d ln(1)(2)222x x x x x x x x x ++⎛⎫=+=-+ ⎪----⎝⎭⎰⎰⎰ 11001111ln 2d ln 2d (2)(1)321x x x x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪-+-+⎝⎭⎰⎰[]1121ln 2ln(2)ln(1)ln 2ln 2ln 2333x x =---++=-=.三、设()f x 是连续函数，证明：000()d d ()()d x u xf t t u x u f u u ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰.证明()0000()d d ()d d()d ()d ()d xx u u x u x xf t t u u f t t u f t t x f t t uf u u ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()d ()d ()d ()d xxx xx f u u uf u u xf u u uf u u =-=-⎰⎰⎰⎰()()d xx u f u u =-⎰.§6.6 广义积分与Γ函数一、单项选择题1、下列广义积分收敛的是 (D) . (A)e d xx +∞⎰(B) e1d ln x x x +∞⎰(C) 1x +∞⎰ (D) 321d x x +∞-⎰2、以下结论中错误的是 (D) .(A) 201d 1x x +∞+⎰收敛 (B) 20d 1x x x +∞+⎰发散 (C) 2d 1x x x +∞-∞+⎰发散 (D) 2d 1x x x +∞-∞+⎰收敛 3、1211d x x -=⎰ (D) .(A) 0 (B) 2 (C) 2- (D) 发散析：1101222210101111d d d ,d x x x x x x x x --=+⎰⎰⎰⎰发散，0211d x x-⎰也发散。