2013年高考真题分类汇编：考点21 数系的扩充与复数的引入 Word版含解析

一、选择题1．“20>z ”是“z 是非零实数”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要2．已知()2155 2i z i -=+，则z 的虚部是（ ） A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-33．设复数(1)i(,)z x y x y =-+∈R ，若||1z ，记事件A ：实数x y ，满足10x y --，则事件A 的概率为（ ）A ．14B ．12C ．12πD ．1π4．已知复数12z z ，在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-（i 为虚数单位），则12z z =（ ） A ．4355i - B ．4355i -+ C ．4355i -- D ．4355i + 5．已知i 为虚数单位，若(1)2z i i ⋅+=，则复数z 的模等于（ ）． A ．1i + B ．1i - C ．2 D6．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2)(1)z a i i =-+在复平面内对应的点为M ，则“1a =”是“点M 在第四象限”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知i 是虚数单位，复数212i z i +=-，则复数z =（ ） A ．1B ．1-C ．i -D ．i 8．下列3个命题：①若12,z z C ∈，22120z z +=，则120z z ==； ②若z 是纯虚数，则20z <；③若12,z z C ∈，且120z z ->，则12z z >.其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．复数()23z i i =-+（i 是虚数单位）的虚部是( ) A ．2-B ．2i -C ．3D ．3i 10．复数1323i i+的共轭复数为（ ） A ．32i +B ．32i -C ．23i +D ．23i -11．已知a 是实数，1a i i +-是纯虚数，则 a 等于（ ） A ．2- B ．1-C ．2D ．1 12．已知复数()()211i a bi i -+=+（i 是虚数单位，,a b ∈R ），则a b +=（ ） A ．2- B ．-1C ．0D ．2 二、填空题13．若121ai i i+=--（其中i 是虚数单位），则实数a =_____. 14．i 为虚数单位，若复数22(23)()m m m m i +-+-是纯虚数，则实数m =_______. 15．设复数211z z iz =-(其中表示复数1z 的共轭复数),若2z 的实部是-1,则2z 的虚部是__________.16．已知方程240x px ++=()p R ∈有两个虚根,αβ，则22αβ+的取值范围是________17．复数(12)(3),z i i =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________________. 18．已知z a bi =+(a b R i ∈，，是虚数单位),12z z C ∈，，定义:()()1212D z z a b D z z z z ==+=-，，，给出下列命题:(1)对任意z C ∈，都有()0D z ＞；(2)若z 是z 的共轭复数,则()()D z D z =恒成立；(3)若()()()1212D z D z z z C =∈，，则12z z =；(4)对任意123z z z C ∈，，，结论()()()131223+D z z D z z D z z ≤，，，恒成立.则其中所有的真命题的序号是_____________.19．已知i 为虚数单位，23i -是关于x 的方程220x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +=__________．20．如果复数z =421i i-+（其中i 为虚数单位），那么Im z （即的虚部）为__________． 三、解答题21．已知复数Z 满足23z i z i -=++（其中i 为虚数单位）（1）求z ；（2）若2a i z+为纯虚数，求实数a 的值． 22．已知复数1z i =-. （1）设(1)13w z i i =+--，求w ；（2）如果21z az b i i++=+，求实数a ，b 的值. 23．已知z 是复数，且z i +，2z 1+i 均为实数(i 为虚数单位). （Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）若z i a +=a 的值.24．已知x 为实数，复数i x x x x z )23()2(22+++-+=.（1）当x 为何值时，复数z 为纯虚数？（2）当0=x 时，复数z 在复平面内对应的点Z 落在直线n mx y +-=上，其中0>mn ，求nm 11+的最小值及取得最值时的m 、n 值. 25．已知复数z 满足(1)13i z i +=-（i 是虚数单位）. （1）求复数z 的虚部；（2）若复数(1)ai z +是纯虚数，求实数a 的值；（3）若复数z 的共轭复数为z ，求复数1z z +的模. 26．（1）对于复数12,z z ，若()121z i z -⋅=，则称1z 是2z 的“错位共轭”复数，求复数12i -的“错位共轭”复数； （2）设复数[]()cos sin 0,2z i θθθπ=+∈，其中i 为虚数单位，若212z <，求θ.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】设(),,z a bi a b R =+∈，由题意结合复数的运算及性质可得0a =或0b =，分类讨论即可得0a ≠、0b =；当z 是非零实数，则20>z ；由充分条件和必要条件的概念即可得解.【详解】设(),,z a bi a b R =+∈，则2222z a b abi =-+，若20>z ，则0a =或0b =，当0a =时，220z b =->不存在，当0b =时，220z a =>即0a ≠，所以若20>z ，则z 是非零实数；若z 是非零实数，则20>z ；所以“20>z ”是“z 是非零实数”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算及复数性质的应用，考查了充分条件、必要条件的判断，属于中档题.2．D解析：D【分析】根据复数的运算，求得13z i =-，进而取得复数的虚部，得到答案．【详解】由题意，复数()()()()()215534155155 133434342i i i i z i i i i i ----====-++-+，所以复数z 的虚部为3-，故选D ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的基本概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．B解析：B【解析】【分析】先计算复数表示的圆面22(1)1x y -+，由于直线10x y --=过()2211x y -+=的圆心，概率为12【详解】由(1)i z x y =-+得到||1z =，22(1)1x y -+， 又直线10x y --=过()2211x y -+=的圆心，所以事件A 的概率为12p =． 故选B ．【点睛】本题考查了几何概型，判断直线10x y --=过()2211x y -+=的圆心是解题的关键. 4．A解析：A【分析】由题意，求得13z i =-，则23z i =+，再根据复数的除法运算，即可求解．【详解】由题意，复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-，则23z i =+， 则根据复数的运算，得12343355z i i z i -==-+.故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的表示，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．5．D解析：D【分析】结合复数的四则运算,计算复数z ，计算模长，即可．【详解】()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，z =，故选D. 【点睛】本道题考查了复数的乘除运算法则，复数的模的求法，难度中等．6．A解析：A【解析】因为(2i)(1+i)=a+2+(a-2)i z a =-，则点M 在第四象限时，满足2>a>-2,因此可知“1a =”是“点M 在第四象限”的充分而不必要条件，选A7．D解析：D【解析】分析：利用复数的运算法则，分子和分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化，化简求得结果. 详解：()222(2)(12)252512(12)12145i i i i i i z i i i i i +++++=====--+-, 故选D.点睛：该题考查的是有关复数的运算，涉及到的知识点有复数的除法运算以及复数的乘法运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键，属于简单题目.8．B解析：B【解析】分析：通过举反例可判断①错误，由复数的乘法法则判断②正确，由复数的概念可判断③错误.详解：令1z i =，21z =，满足22120z z +=，故①错误.z 是纯虚数,即(0)z bi b =≠，则220z b =-<，故②正确.只有当12,z z R ∈时，才可以比较大小，故③错误.综上,真命题有1个.故选B.点睛：本题以命题的真假判断为载体考查了复数的基本概念和性质，特殊值排除法常可用于此类问题的求解.9．A解析：A【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简后得到答案.详解：因为2(23)2332z i i i i i =-+=-+=--，所以其虚部为2-，故选A.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算，复数的虚部的概念，一定要注意复数的虚部是i 的系数. 10．B解析：B【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则可知：()()()23231323322323i i i i i i i i i+-==-=+++， 则复数1323i i+的共轭复数为32i -. 本题选择B 选项. 点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．D解析：D【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可知：()()()()()()1111112a i i a a i a i i i i ++-+++==--+， 1a i i +-为纯虚数，则：1010a a -=⎧⎨+≠⎩，据此可知1a =.本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．A解析：A【解析】分析：由题意首先求得等式右侧的复数，然后结合复数相等的充分必要条件整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则可得：()()()()2121222111112i i i i i i ii i i ------====--+++-， 结合题意可得：1a bi i +=--，即：1,1a b =--=-，据此可得：2a b +=-.本题选择A 选项. 点睛：本题主要考查复数的综合运算，复数相等的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．【解析】【分析】由可知根据复数的乘法运算及复数相等的概念即可求解【详解】因为所以所以【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算复数相等的概念属于中档题解析：3-【解析】【分析】 由121ai i i+=--可知1(1)(2)ai i i +=--，根据复数的乘法运算，及复数相等的概念即可求解.【详解】 因为121ai i i+=-- 所以1(1)(2)13ai i i i +=--=- 所以 3a =-【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，复数相等的概念，属于中档题.14．-3【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解详解：∵复数是纯虚数解得故答案为-3点睛：本题考实数值的求法是基础题解题时要认真审题注意纯虚数的定义的合理运用解析：-3【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解．详解：∵复数()()2223m m m m i +-+-是纯虚数，222300m m m m ⎧+-∴⎨-≠⎩＝ ，解得3m =- ．故答案为-3． 点睛：本题考实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意纯虚数的定义的合理运用．15．1【解析】设则∴∵的实部是∴的虚部是故答案为解析：1【解析】设()1,z a bi a b R =+∈，则1z a bi =-. ∴()()()211z z iz a bi i a bi a bi b ai a b a b i =-=+--=+--=---∵2z 的实部是1-∴2z 的虚部是1故答案为1.16．【解析】因为为方程两个根所以方程有虚根所以故故填解析：[0,8)【解析】因为,αβ为方程两个根，所以p αβ+=-，4αβ⋅=，方程有虚根，所以2160,44p p ∆=-<-<<，故2222()28[0,8)p αβαβαβ+=+-⋅=-∈，故填[0,8).17．5【解析】试题分析：故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念属于基本题首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数的相关概念如复数的实 解析：5【解析】试题分析：(12i)(3i)55i z =+-=+．故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),,,,a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈，其次要熟悉复数的相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a ，虚部为ba bi -18．（2）（4）【分析】由新定义逐一核对四个命题得答案【详解】解：对于（1）当时命题（1）错误；对于（2）设则则命题（2）正确；对于（3）若则错误如满足但；对于（4）设则由得恒成立（4）正确∴正确的命题解析：（2），（4）【分析】由新定义逐一核对四个命题得答案．【详解】解：对于（1），当0z =时，()|0||0||0|0D z ==+=，命题（1）错误；对于（2），设z a bi =+，则z a bi =-， 则()||||D z z a ==||||||||()b a b z D z +-=+==，命题（2）正确；对于（3），若()()()1212,z z z D D z C =∈，则1z =2z 错误，如121,1z i z i =+=-，满足()()12D z D z = ()12,z z C ∈，但12z z ≠；对于（4），设123,,z a bi z c di z e fi =+=+=+，则()1212,()()||||D z z a c b d i c b z a d z =-=-+-=-+-，()2323,()()||||D z z c e d f i e d z c f z =-=-+-=-+-，()1313,()()||||D z z a e b f i e b z a f z =-=-+-=-+-，由|||()()|||||,|||()()|||||a e a c c e a c c e b f b d d f b d d f -=-+-≤-+--=-+-≤-+-，得()()()131223+D z z D z z D z z ≤，，，恒成立，（4）正确．∴正确的命题是（2）（4）．故答案为（2），（4）．【点睛】本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了绝对值的不等式，是中档题． 19．38【解析】分析：把代入方程得再化简方程利用复数相等的概念得到pq 的值即得p+q 的值详解：把代入方程得所以所以所以所以p+q=38故答案为38点睛：（1）本题主要考查解方程和复数相等的根意在考查学生解析：38【解析】分析：把23i -代入方程得22(23)(23)0i p i q -+-+=，再化简方程利用复数相等的概念得到p,q 的值，即得p+q 的值.详解：把23i -代入方程得22(23)(23)0i p i q -+-+=，所以2(4912)230i pi p q -+-+-+=，所以1024230,(224)1030i pi p q p i p q -+-+=∴-+-+=， 所以2240,12,24.1030p p q p q -=⎧∴==⎨-+=⎩所以p+q=38.故答案为38. 点睛：（1）本题主要考查解方程和复数相等的根，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数相等:(,,,)a bi c di a b c d R a c b d +=+∈⇔==且.20．－3【分析】对复数进行化简得到的虚部即为答案【详解】所以其虚部为【点睛】本题考查复数的运算虚部的概念属于简单题解析：－3【分析】对复数z 进行化简，得到z 的虚部，即为答案.【详解】z =421i i -+()()421132i i i --==- 所以其虚部为3-【点睛】本题考查复数的运算，虚部的概念，属于简单题.三、解答题21．（1）34z i =+；（2）83a =-. 【分析】 (1) 设(),z x yi x y R =+∈，可得2040x y -=-=⎪⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩从而可得结果；(2) 由（1）知()3864225a a i a i z ++-+=，利用2a i z +为纯虚数可得380640a a +=⎧⎨-≠⎩，从而可得结果.【详解】（1）设(),z x yi x y R =+∈， 由于23z i z i -=++23i x yi i =-++()240x y i -+-=2040x y -=∴-=⎪⎩解得：34x y =⎧⎨=⎩34z i ∴=+ （2）由（1）知()()()()23422343434a i i a i a i z i i i +-++==++- ()386425a a i++-=又2a i z+为纯虚数， 380640a a +=⎧∴⎨-≠⎩ 83a ∴=- 【点睛】本题主要考查的是复数的分类、复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.22．(1) w =32a b =-⎧⎨=⎩ 【解析】分析：（1）根据复数的除法运算得到13w i =-，进而得到模长；（2）根据复数相等的概念得到()121a b a +=-⎧⎨-+=⎩，进而求得参数. 详解：（1）因为1z i =-，所以()()111313w i i i i =-+--=-.∴w =（2）由题意得：()()2211z az b i a i b ++=-+-+ ()2a b a i =+-+； ()11i i i +=-+，所以()121a b a +=-⎧⎨-+=⎩， 解得32a b =-⎧⎨=⎩. 点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.23．（1）1z i ，=--（2）3a =或1a =-【解析】试题分析:（1）设R z x yi x y =+∈，、,根据复数为实数条件列方程组100y y x +=⎧⎨-=⎩,解得1x y ==-（2）根据复数模的定义得方程()()221+15a --=,解方程可得实数a 的值.试题解：（1）设R z x yi x y =+∈，、则()++1R z i x y i x y =+∈，、；()()221+1+x yi z x y y x i i i+==++- 2+1+z z i i，均为实数， 100y y x +=⎧∴⎨-=⎩ 1x y ∴==- 1z i ∴=--，（2）由z i a +=得1i i a --+=()()221+15a ∴--= 3a ∴=或1a =-24．（1）1；（2）32+22-=m 且222-=n . 【解析】试题分析：（1）运用纯虚数的概念建立方程求解；（2）运用题设条件建立方程，再运用基本不等式求解.试题（1）令022=-+x x ，则2-=x 或1=x又0232≠++x x ，所以1=x（2）当0=x 时，Z(-2,2)，又Z 落在直线n mx y +-=上，所以22=+n m ，又0>mn ， 所以223223)2)(11(11+≥++=++=+m n n m n m n m n m ，当且仅当222m n =时等号成立，又22=+n m ，所以22-=m 且222-=n .考点：复数的概念和运算．25．（1）2-；（2）12；（3 【分析】 （1）131i z i-=+ ，利用四则法则计算； （2）利用复数(1)ai z +是纯虚数，则可知实部为零得到a 的值 （3）利用因为z 的共轭复数为12z i =-+，计算复数1z z +和其模.【详解】（1）因为(1)13i z i +=-，∴13121i z i i-==--+， 则12z i =--，复数z 的虚部为2-（2）因为复数(1)ai z +是纯虚数，则 (1)(12)12(2)ai i a a i +-=++-∴120a +=实数a 的值为12（3）因为z 的共轭复数为12z i =-+，复数1112z i z =--+，12z z =+， 【点睛】 本题考查复数的代数运算，基本概念，属于基础题型，本题重点复数的四则运算. 26．（1）132z i =+；（2）2πθ=或32πθ= 【分析】 （1）由错位共轭的概念可得()11122z i i ⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭，计算即可得解；（2）由题意结合虚数不能比较大小可得221cos sin 22sin cos 0θθθθ⎧-<⎪⎨⎪=⎩，根据三角函数的性质即可得解.【详解】（1）由()1112z i i ⎫-⋅=⎪⎪⎝⎭得112z i i -==+，所以132z i =. （2）()()2222cos sin cos sin 2sin cos z i i θθθθθθ=+=-+， ∵212z <， ∴221cos sin 22sin cos 0θθθθ⎧-<⎪⎨⎪=⎩，由2sin cos 0θθ=得sin 0θ=或cos 0θ=，当sin 0θ=时，所以cos 1θ=或cos 1θ=-，均不满足，当cos 0θ=时，所以sin 1θ=或sin 1θ=-，均满足，故2πθ=或32πθ=. 【点睛】 本题考查了新概念在复数中的应用，考查了复数不能比较大小的性质和三角函数的性质，属于中档题.。

2013高考真题分类汇编：复数1．【2013新课标】设复数z 满足()12i z i -=，则=z ( )（A ）1i -+ （B ）1i -- （C ）1i + （D ）1i -2．【2013山东】若复数z 满足()()325z i --=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为( )（A ）2i + （B ）2i - （C ）5i + （D ）5i -3．【2013广东】若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( ) （A ）()2,4 （B ）()2,4- （C ）()4,2- （D ）()4,24．【2013湖南】复数()1z i i =+（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于( )（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限5．【2013辽宁】复数的11z i =-模为( ) （A ）12（B）2 （C（D ）2 6．【2013湖北】复平面内，复数21i z i=+的共轭复数对应的点位于( )14．【2013北京】在复平面内，复数()22i -对应的点位于( )（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限15．【2013重庆】已知复数512i z i=+(i 是虚数单位)，则||z =_________。

16．【2013江苏】设()22z i =-（i 为虚数单位），则复数z 的模为_________。

17．【2013上海】设m R ∈，()2221m m m i +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m =_________。

18．【2013天津】设,a b R ∈，i 是虚数单位。

若()()1a i i bi ++=，则a bi +=______。

附答案ADCBB DBCDA BDAD 1516．5；17．2-；18．12i +。

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第十一章11.6 数系的扩充与复数的引入练习一、选择题1．复数i(2＋i)1－2i等于( )．A ．iB ．－iC ．1D ．－12．i 是虚数单位，41+i 1i ⎛⎫⎪-⎝⎭＝( )．A ．iB ．－iC ．1D ．－1 3．已知a ，b ，c ，d ∈C ，定义运算＝(a ＋b )(c ＋d )－a ＋cb ＋d，z ＝，则z ＝( )．A ．4＋3iB ．4－3iC ．－4－3iD ．－4＋3i4．设复数z 1＝i ，z 2＝1＋i ，则复数z ＝z 1·z 2在复平面内对应的点位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．在复平面内，复数21＋i 对应的点与原点的距离是( )．A ．1B ． 2C ．2D ．2 26．在复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是( )．A ．(0,3)B ．(－∞，－2)C ．(－2,0)D ．(3,4) 二、填空题7．(2011湖南长郡中学月考)若复数z ＝(m 2＋2m －3)＋(m －1)i 是纯虚数，则实数m 的值为__________．8．(2012北京海淀练习)对于任意两个复数z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i(x 1，y 1，x 2，y 2为实数)，定义运算“⊙”为：z 1⊙z 2＝x 1x 2＋y 1y 2.设非零复数w 1，w 2在复平面内对应的点分别为P 1，P 2，点O 为坐标原点．如果w 1⊙w 2＝0，那么在△P 1OP 2中，∠P 1OP 2的大小为__________．9．设t 是实数，且t 1－3i ＋1－3i2是实数，则t ＝________.三、解答题10．(2011上海高考，文19)已知复数z 1满足(z 1－2)·(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.11．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (1)与复数2－12i 相等；(2)与复数12＋16i 互为共轭复数； (3)对应的点在x 轴的上方．12．设z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．参考答案一、选择题1．D 解析：i(2＋i)1－2i ＝－1＋2i 1－2i ＝(－1＋2i)(1＋2i)5＝－1.2．C 解析：1＋i 1－i ＝(1＋i)2(1－i)(1＋i)＝2i 2＝i ，所以41+i 1i ⎛⎫ ⎪-⎝⎭＝i 4＝1，故选C. 3．A 解析：由题意知z ＝(1－i)(2＋2i)－1＋2－i ＋2i＝4＋3i.4．B5．B 解析：21＋i＝1－i ，点(1，－1)与原点(0,0)的距离为 2.6．D 解析：整理得z ＝(m 2－4m )＋(m 2－m －6)i ，由复数z 的对应点在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m <0，m 2－m －6>0，解得3＜m ＜4. 二、填空题 7．－38．π2解析：设1OP ＝(x 1，y 1)，2OP ＝(x 2，y 2)(x 1，y 1，x 2，y 2为实数)， 则w 1＝x 1＋y 1i ，w 2＝x 2＋y 2i.∵w 1⊙w 2＝0，由定义知x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴OP 1⊥OP 2.∴∠P 1OP 2＝π2.9．2 解析：t 1－3i＋1－3i 2＝t (1＋3i)4＋1－3i 2＝2＋t 4＋3(t －2)4i ，当t ＝2时，该数为实数1. 三、解答题10．解：∵1(2)(1i)z －＋＝1－i ，∴1z ＝2－i. 设2z ＝a ＋2i ，a ∈R .12z z ⋅＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. ∵12·z z ∈R ，∴a ＝4， ∴2z ＝4＋2i.11．解：(1)根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝2，m 2－2m －15＝－12.解得m ＝－1.(2)根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16.解得m ＝1.(3)根据复数z 的对应点在x 轴的上方可得m 2－2m －15＞0，解得m ＜－3或m ＞5.12．解：z ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i ＝(3－i)(2－i)5＝1－i.于是z 2＋az ＋b ＝(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝(a ＋b )－(2＋a )i.由(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，2＋a ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4. 即实数a ，b 的值分别为－3,4.。

第五节 数系的扩充、复数的概念与四则运算题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案1．(2013·福建卷)已知复数z 的共轭复数z －＝1＋2i(i 为虚数单位)，则在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：z 的共轭复数z －＝1＋2i ，则z ＝1－2i ，对应点的坐标为(1，－2)，故答案为D. 答案：D2．(2012·湛江二中月考)设i 为虚数单位，复数a ＋i1＋i是纯虚数，则实数a 等于( )A ．－1B ．1 C. 2 D ．－ 2解析：a ＋i 1＋i ＝a ＋i 1－i 2＝a ＋12＋1－a i 2，当复数为纯虚数时，a ＝－1.故选A.答案：A3．(2013·揭阳一模)已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为A (0,1)，B (－1,3)，则z 2z 1＝( )A ．－1＋3iB ．－3－iC ．3＋iD ．3－i解析：由题意可得z 1＝i ，z 2＝－1＋3i.∴z 2z 1＝－1＋3i i ＝－i －1＋3i－i2＝i ＋3.故选C.答案：C4．(2013·揭阳二模)若(1＋2a i)i ＝1－b i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝( )A.12B. 5C.52D.54解析：∵(1＋2a i)i ＝1－b i ，∴i－2a ＝1－b i ，∴－2a ＝1，b ＝－1，∴a ＝－12，b ＝－1，∴|a ＋b i|＝52，故选C. 答案：C5．(2013·韶关二模)若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋52－i，则a ＋b ＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：∵若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋52－i， ∴a i ＋i 2＝b ＋52＋i2－i 2＋i，化为－1＋a i ＝b ＋2＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝b ＋2，a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，∴a ＋b ＝－2.故选A.答案：A6．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(a －2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a ＝1”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A7．(2012·湖南师大附中月考)已知0≤θ＜2π，复数icos θ＋isin θ>0，则θ的值是( )A.π2B.3π2C ．(0，π)内的任意值D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π内的任意值解析：∵icos θ＋isin θ＝i(cos θ－isin θ)＝sin θ＋icos θ>0，∴cos θ＝0，sin θ＞0.又0≤θ＜2π，∴θ＝π2.故选A.答案：A8．(2012·江门一模)已知复数z ＝1－i(i 是虚数单位)，若a ∈R ，使得a z＋z ∈R ，则a ＝( )A.12 B ．－12 C ．2 D ．－2解析：a z ＋z ＝a 1－i ＋1－i ＝a 2(1＋i)＋1－i ＝a ＋22＋a －22i ，当a ＝2时，复数为实数．故选C.答案：C9．已知复数z ＝1－ 3 i 3＋i， z －是z 的共轭复数，则z －的模等于( )A ．4B ．2C ．1 D.14答案：C10．(2013·上海卷)设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________.解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0，解得m ＝－2.答案：－211．(2013·福州模拟)已知M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数a ＝________.解析：由题意知3∈M ，故(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，解得a ＝－1.答案：－112．在复平面内，复数1－2i2＋i对应的点的坐标为________．解析：1－2i 2＋i ＝1－2i 2－i 2＋i 2－i ＝－5i5＝－i ，所以对应点的坐标为(0，－1)．答案：(0，－1)13．若复数z 满足|z －i|＝1(其中i 为虚数单位)，则|z |的最大值为________．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由|z －i|＝1，得x 2＋(y －1)2＝1，由画图可知|z |的最大值为2.答案：214．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若z －1＋z 2是实数，求实数a 的值．解析：z －1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13a ＋5a －1＋(a 2＋2a －15)i.∵z －1＋z 2是实数， ∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.又(a ＋5)(a －1)≠0，∴a ≠－5且a ≠1，故a ＝3.。

2013年全国各省市理科数学—复数1、2013全国理T2．()3=（A ）8- （B ）8 （C ）8i - （D ）8i 2、2013新课标I 理T2.若复数z 满足()i 34i 43+=-z（A ）4- （B ）54-（C ）4 （D ）543、2013新课标Ⅱ理T2.设复数z 满足,2)1(i z i =-则z ＝（ ）（A ）i +-1 （B ）i --1 （C ）i +1 （D ）i -1 4、2013辽宁理T1.复数的11Z i =-模为 （A ）12（B）2 （C（D ）25、2013山东理T1.复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( ) A. 2+i B.2-i C. 5+i D.5-i6、2013北京理T2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限 7、2013四川理T2.如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ）（A ）A （B ）B （C ）C （D ）D8、2013浙江理T1．已知i 是虚数单位，则=-+-)2)(1(i iA ．i +-3 B. i 31+- C. i 33+- D.i +-19、2013福建理T1.已知复数的共轭复数i 21z +=（i 为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10、2013广东理T3．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )A . ()2,4B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,211、2013安徽理T1.设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若|()>0I x f x =+2=2z zi ，则z =（A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i - 12、2013陕西理T6. 设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是 (A) 若12||0z z -=, 则12z z = (B) 若12z z =, 则12z z = (C) 若||||21z z =, 则2112··z z z z =(D) 若12||||z z =, 则2122z z =13、2013湖南理T1.复数()()1z i i i =+ 为虚数单位在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 14、2013湖北理T1.在复平面内，复数21iz i=+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 15、2013重庆理T11.已知复数512iz i=+（i 是虚数单位），则_________z = 16、2013天津理T9. 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi= . 17、2013上海理T2．设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m = 18、2013江苏T2．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ．参考答案：1—5、A D A B D 6—10、D B B D C 11—14、A D B D15、12i + 17、2- 18、5。

2013年高考试题数学分类汇编：复数一、选择题 1、（2013年高考浙江卷（文））已知i 是虚数单位,则(2+i)(3+i)=（ ）A ．5-5iB ．7-5iC ．5+5iD ．7+5i2、（2013年高考课标Ⅱ卷（文））||=（ ）A ．2B ．2C ．D ．13、（2013年高考湖南（文））复数z=i ·(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于___ ____ （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4、（2013年高考四川卷（文））如图,在复平面内,点A 表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是（ ）A ．AB ．BC ．CD ．D5、（2013年高考课标Ⅰ卷（文））212(1)ii +=- （ ）A ．112i --B ．112i -+C ．112i +D ．112i -6、（2013年高考北京卷（文））在复平面内,复数(2)i i -对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7、（2013年高考辽宁卷（文））复数的11Z i =-模为 （ ）A ．12B CD ．28、（2013年高考江西卷（文））复数z=i(-2-i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9、（2013年高考安徽（文））设i 是虚数单位,若复数10()3a a R i-∈-是纯虚数,则a 的值为 （ ） A ．-3 B ．-1C ．1D ．310、（2013年高考福建卷（文））复数i z 21--=(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11、（2013年高考广东卷（文））若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．512、（2013年高考山东卷（文））复数)()2(2为虚数单位i ii z -=,则=||z （ ）A ．25B ．41C ．5D ．5二、填空题13、（2013年高考湖北卷（文））i 为虚数单位,设复数1z ,2z 在复平面内对应的点关于原点对称,若123i z =-,则2z =__________.[14、（2013年高考天津卷（文））i 是虚数单位. 复数(3 + i )(1-2i ) = ______.15、（2013年高考重庆卷（文））已知复数12z i =+(i 是虚数单位),则z =____________.16、（2013年上海高考数学试题（文科））设m ∈R ,()2221i m m m +-+-是纯虚数,其中i 是虚数单位,则m =________.以下是答案 一、选择题 1、C2、C3、B4、B5、B6、A7、B8、D9、D10、C11、D12、C二、填空题13、23i-+-14、55i15、m=-16、2。

2013版高考数学二轮复习专题训练：数系的扩充与复数的引入 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数i i a 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．2B ．2-C ．6D ．6-【答案】D2．在复平面内，复数2)31(1i i i+++对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B3．已知复数z=1322i -+，则21z z ++=( )A ．0B ．1322i -- C ． 1322i + D ．1322i -【答案】A4．若,是虚数单位,且,则在复平面内,复数所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限 C.第三象限 D ．第四象限【答案】C5．复数1a ii --的实部与虚部的和为-1，则实数a 的值为( )A ．-1B ．-2C ．lD ．2【答案】A6．已知复数i z 311-=，i z 2322-=，则21z z ⋅等于( )A ． 8B ． 8-C ． i 8D ． i 8-【答案】C7．复数512ii -=( )A ．2i -B ．12i -C ．2i -+D ．12i -+【答案】C8．若a 、b 、c 都是复数，则“222c b a >+”是“0222>-+c b a ” 的( )A ． 充要条件B ． 既非充分条件又非必要条件C ． 充分而非必要条件D ． 必要而非充分条件【答案】C9．已知,1a ia R i -∈+为纯虚数，则a 的值为( )A ．1B ．－1C 2D ．2-【答案】A10．2(1)i i -=( )A ．2－2iB ．2+2iC ．－2D ．2 【答案】D 11．在复平面内复数65i +、23i -+对应的点分别为A 、B ，若复数z 对应的点C 为线段AB 的中点，则z z ⋅的值为( )A ． 61B ． 13C ． 20D ． 10 【答案】C 12．复平面内,若复数2(1)(4)6z m i m i i =+-+-(其中i 为虚数单位)所对应的点在第二象限,则实数m 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(2,0)-C ．(3,4)D ．(,2)-∞-【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知复数w 满足24(3)w w i -=+ (i 为虚数单位），则||w i +u r ＝____________【答案】214．如果C z ∈，且1=z ，则i z 21--的最大值为【答案】15+15．下列命题（为虚数单位）中①已知R b a ∈,，则a ＝b 是i b a b a )()(++-为纯虚数的充要条件； ②当z 是非零实数时，21≥+zz 恒成立； ③复数3)1(i z -=的实部和虚部都是－2；④如果i i a +-<+22，则实数a 的取值范围是11<<-a ；⑤复数i z-=1，则i z z 21231+=+其中正确的命题的序号是 。

一、选择题1．若复数1a iz i+=+(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．0C ．12- D ．1-2．已知复数13aiz i+=+为纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a =（ ） A ．3- B ．3C ．13-D ．133．若12i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ） A ．2,3b c ==B ．2,1b c ==-C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-=4．若复数z 满足2z i z i ++-=，则复数z 在复平面上所对应的图形是（ ） A ．椭圆B ．双曲线C ．直线D ．线段5．下列关于复数z 的四个命题中，正确的个数是（ ） （1）若|1||1|2z z -++=，则复数z 对应的动点的轨迹是椭圆； （2）若|2||2|2z z --+=，则复数z 对应的动点的轨迹是双曲线； （3）若|1||Re 1|z z -=+，则复数z 对应的动点的轨迹是抛物线； （4）若|2|3z -≤，则||z 的取值范围是[1,5] A ．4B ．1C ．2D ．36．已知()2155 2i z i -=+，则z 的虚部是（ ）A ．1B ．-1C ．3D ．-37．若复数1a iz i+=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1B ．-1C ．12 D ．12- 8．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2)(1)z a i i =-+在复平面内对应的点为M ，则“1a =”是“点M 在第四象限”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．设复数3422i iz +-=, 则复数z 的共轭复数是（ ）A ．5-2i B ．52i + C ．5-2i + D ．5--2i 11．已知实数[1,1]a ∈-，实数[1,2]b ∈-，则复数2a biz i+=-在复平面内对应的点位于第一象限的概率为（ ） A ．524B ．14C ．724D ．1312．在复平面内满足11z -=的动点z 的轨迹为（ ） A ．直线B ．线段C ．两个点D ．圆二、填空题13．已知复数z 满足方程||2z i +=，则|2|z -的最小值为____________． 14．若复数2018,1z i i=+-则z 的虚部为__________． 15．复数212iz i-=+的虚部为__________． 16．设复数211z z iz =-(其中表示复数1z 的共轭复数),若2z 的实部是-1,则2z 的虚部是__________.17．已知R b ∈，若()()12bi i +-为纯虚数，则1bi +=________．18．若复数z 满足4z i z i ++-=，则z 在复平面内对应点的轨迹方程是__________（结果要求化简）19．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m ++-=的一个虚根，则z 的取值范围是____.20．若复数z 满足(1)1z i i i -=-+，则z 的虚部为__________．三、解答题21．设复数n n n z x i y =+⋅，其中n x n y ∈R ，*n ∈N ，i 为虚数单位，1(1)n n z i z +=+⋅，134z i =+，复数n z 在复平面上对应的点为n Z .（1）求复数2z ，3z ，4z 的值；（2）是否存在正整数n 使得n OZ ∥1OZ ？若存在，求出所有满足条件的n ；若不存在，请说明理由；（3）求数列{}n n x y ⋅的前102项之和.22．（1）已知非零复数z 满足22z +=，4z R z +∈，求复数z .（2）已知虚数z 使21z z +和21z z +都是实数，求虚数z .23．已知复数1z 满足()11i 13i z -=+，()2i z a a R =-∈（其中i 是虚数单位），若121z z ->，求a 的取值范围．24．已知复数1z i =，22z =，212z z ⨯是虚部为正数的纯虚数.（1）求212z z ⨯的模； （2）求复数2z .25．已知复数z 满足(1)13i z i +=-（i 是虚数单位）. （1）求复数z 的虚部；（2）若复数(1)ai z +是纯虚数，求实数a 的值； （3）若复数z 的共轭复数为z ，求复数1zz +的模. 26．已知复数22(232)(32)z m m m m i =--+-+，（其中i 为虚数单位）. （1）当复数z 是纯虚数时，求实数m 的值；（2）若复数z 对应的点在直线y x =上，求实数m 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】直接利用复数的除法运算结合复数定义得到答案. 【详解】()()()()()1+1+11112a i i a a i a i z i i i +--+===++-为纯虚数，故1010a a +=⎧⎨-≠⎩，故1a =-.故选：D. 【点睛】本题考查了复数的除法，根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.2．A解析：A 【分析】化简复数z 的代数形式，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解. 【详解】 由题意，复数()()()()1313313331010ai i ai a a z i i i i +-++-===+++-，因为复数z 为纯虚数，可得30310a a +=⎧⎨-≠⎩，解得3a =-.故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的分类及其应用，着重考查计算能力，属于基础题.3．D解析：D 【分析】由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b的方程组10b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项【详解】由题意1是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0∴﹣2+b bi +c ＝0，即()10b c i -+++=∴10b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ． 【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题4．D解析：D 【分析】根据复数的几何意义知，复数z 对应的动点P 到,i i -对应的定点12(0,1),(0,1)F F -的距离之和为定值2，且12||2F F ，可知动点的轨迹为线段. 【详解】设复数z ，,i i -对应的点分别为12,,P F F , 则由2z i z i ++-=知：12||||2PF PF +=, 又12||2F F ，所以动点P 的轨迹为线段1F F .故选D 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，动点的轨迹，属于中档题.5．B解析：B【分析】（1）根据椭圆的定义来判断；（2）根据双曲线的定义来判断；（3）根据抛物线的定义来判断；（4）利用圆的有关知识点判断. 【详解】（1）|1||1|2z z -++=，表示复平面内到点()()1,0,1,0-距离之和为2的点的轨迹，是由点()()1,0,1,0-构成的线段，故错误；（2）|2||2|2z z --+=，表示复平面内到点()2,0的距离比到点()2,0-的距离大2的点的轨迹，是双曲线的左支，故错误；（3）|1||Re 1|z z -=+，表示复平面内到点()1,0的距离等于到直线1x =-的距离的点的轨迹（点()1,0不在直线1x =-上），所以轨迹是抛物线，故正确；（4）|2|3z -≤，表示点的轨迹是圆心为()2,0，半径为3的圆及其内部（坐标原点在圆内），且z 表示轨迹上的点到原点的距离，所以min 0=，此时z 对应的点为原点，max 325r d =+=+=（d 表示原点到圆心的距离），所以 ||z 的取值范围是[0,5]，故错误. 故选B. 【点睛】复数对应的轨迹方程：（1）122z z z z a -+-=，当122a z z >-时，此时z 对应的点的轨迹是椭圆； （2）()1220z z z z a a ---=>，当122a z z <-时，此时z 对应的点的轨迹是双曲线.6．D解析：D 【分析】根据复数的运算，求得13z i =-，进而取得复数的虚部，得到答案． 【详解】由题意，复数()()()()()2155******** 133434342i i i i z i i i i i ----====-++-+，所以复数z 的虚部为3-，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的基本概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．A解析：A 【分析】由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可. 【详解】()()()()()i 1i 11i i 1i 1i 1i 2a a a a z ++-+++===--+，所以3·z i =()()()()341i 1i 1i 122a a a a -++--++=，因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --= 可得1a =，1a =时3,?10z i =>,符合题意，故选A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.8．A解析：A 【解析】因为(2i)(1+i)=a+2+(a-2)i z a =-，则点M 在第四象限时，满足2>a>-2,因此可知“1a =”是“点M 在第四象限”的充分而不必要条件，选A9．D解析：D 【解析】分析：先化复数为代数形式，再根据几何意义得对应点，即得点所在象限. 详解：复数，其对应的点是，位于第四象限．故选．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为10．B解析：B 【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：342525222i ii z i +--===-， 则其共轭复数为：52z i =+. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．A解析：A 【解析】分析：化简复数z ，得()()225a b a b i z -++=，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，则2020a b a b ->+>，结合[]1,1a ∈-，[]1,2b ∈-，画出可行域，利用几何概型即可求出答案.详解：化简复数z ，得()()225a b a b i z -++=，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，则2020a b a b ->+>，又[] 1,1a ∈-，[]1,2b ∈-，故在平面直角坐标系上画出可行域，如图所示：∴复数z 在复平面内对应的点位于第一象限的概率1515222324P ⨯⨯==⨯. 故选：A.点睛：应用几何概型求概率的方法建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型．12．D解析：D 【分析】由题意把|1|2||z z -=平方可得关于x 、y 的方程，化简方程可判其对应的图形． 【详解】解：设z x yi =+，|1|1z -=，2|1|1z ∴-=， 2|1|1x yi ∴-+=，22(1)1x y ∴-+=，故该方程表示的图形为圆， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查复数的代数形式及其几何意义，考查圆的方程，涉及复数的模长公式，属于中档题．二、填空题13．【分析】设复数根据复数的几何意义可知的轨迹为圆；再根据点和圆的位置关系及的几何意义即可求得点到圆上距离的最小值即为的最小值【详解】复数满足方程设（）则在复平面内轨迹是以为圆心以2为半径的圆；意义为圆2【分析】设复数,z a bi =+根据复数的几何意义可知(),a b 的轨迹为圆；再根据点和圆的位置关系，及|2|z -的几何意义即可求得点到圆上距离的最小值，即为|2|z -的最小值. 【详解】复数z 满足方程||2z i +=， 设,z a bi =+（,a b ∈R ），则|||(1)|2z i a b i +=++=，(),a b 在复平面内轨迹是以()0,1-为圆心，以2为半径的圆；()|2||2|z a bi -=-+=()2,0的距离，由点与圆的几何性质可知，|2|z -22=，2. 【点睛】本题考查了复数几何意义的综合应用，点和圆的位置关系及距离最值的求法，属于中档题.14．1010【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果详解：由复数的运算法则可知：则的虚部为1010点睛：本题主要考查复数的运算法则意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：1010 【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则可知：()()()20181201820182018100910091112i ii i i i ++===+--+， 则2018100910101z i i i=+=+-， z 的虚部为1010.点睛：本题主要考查复数的运算法则，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．【解析】分析：利用复数除法的运算法则化简复数为的形式即可得到复数虚部详解：则复数的虚部故答案为点睛：本题主要考查的是复数的乘法除法运算属于中档题解题时一定要注意和以及运算的准确性否则很容易出现错误 解析：1-【解析】分析：利用复数除法的运算法则化简复数212iz i-=+为a bi +的形式，即可得到复数虚部. 详解：()()()()212251212125i i i iz i i i i ----====-++-，则复数z 的虚部1-，故答案为1-. 点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.16．1【解析】设则∴∵的实部是∴的虚部是故答案为解析：1 【解析】设()1,z a bi a b R =+∈，则1z a bi =-.∴()()()211z z iz a bi i a bi a bi b ai a b a b i =-=+--=+--=--- ∵2z 的实部是1- ∴2z 的虚部是1 故答案为1.17．【详解】试题分析：为纯虚数；考点：1复数的分类；2复数的模长；【详解】试题分析：()()12=2(21)bi i b b i +-++-为纯虚数，=2b ⇒-，112bi i ⇒+=-；考点：1．复数的分类；2．复数的模长；18．【分析】设复数z 对应的点为Z 由知点Z 到点A （01）点B （0-1）的距离和大于|AB|由此可得结论求出方程即可【详解】设复数z 对应的点为Z 则表示点Z 到点A （01）的距离表示点Z 到点B 的距离又|AB|=解析：22143y x +=【分析】设复数z 对应的点为Z ，由4z i z i ++-=，知点Z 到点A （0，1）、点B （0，-1）的距离和大于|AB |，由此可得结论，求出方程即可． 【详解】设复数z 对应的点为Z ，则z i -表示点Z 到点A （0，1）的距离，z i +表示点Z 到点B (0,1)-的距离， 又|AB |=2，由4z i z i ++-=知点Z 到点A 、B 的距离和大于|AB |，z 在复平面内对应点的轨迹为椭圆，所以a =4，c =1，则b =椭圆的焦点就是A ，B ，所以z 在复平面内对应的点的轨迹方程是：22143y x +=，故答案为：22143y x +=【点睛】本题主要考查了复数的模、复数的几何意义，正确理解复数的几何意义是解题关键，属于中档题．19．【解析】【分析】设z=a+bi(ab ∈R)则也是此方程的一个虚根由方程有虚根可知判别式为负数据此可求出m 的范围再利用根与系数的关系可得从而求出结果【详解】设z=a+bi(ab ∈R)则也是此方程的一个解析：⎫∞⎪⎪⎝⎭【解析】 【分析】设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，由方程有虚根可知，判别式为负数，据此可求出m 的范围，再利用根与系数的关系可得||z =. 【详解】设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，z 是关于x 的方程x 2+mx +m 2−1=0的一个虚根，可得()22410m m ∆=--<，即243m >， 则由根与系数的关系，2221z z a b m ⋅=+=-，则||z =>， 所以z的取值范围是：3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为⎫∞⎪⎪⎝⎭.【点睛】本题考查实系数多项式虚根成对定理，以及复数的模的求解，属中档题.20．【解析】分析：利用复数的运算法则虚部的定义即可得出详解：复数满足则故的虚部为点睛：题考查了复数的运算法则虚部的定义考查了推理能力与计算能力属于基础题【解析】分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．详解：复数z 满足()11z i i i -=-+，则)()()()111.11122i i i z i ii i ⋅+===+--⋅+ 故z点睛：题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．三、解答题21．（1）217z i =-+，386z i =-+，4142z i =--.（2）存在，41n k =+，k ∈N .（3）10212+【分析】（1）根据()11n n z i z +=+⋅，依次代入1,2,3n =计算即可得到结果；（2）根据平行关系可知1n z z λ=⋅，从而得到()11n i λ-+=为实数，根据复数乘方运算可知1n -为4的倍数，进而得到结果；（3）由44n n z z +=-可知4416n n n n x y x y ++=，利用此特点化简所求式子，结合等比数列求和公式可求得结果.【详解】（1）()()213417z i i i =++=-+；()()311786z i i i =+-+=-+；()()4186142z i i i =+-+=--.（2）若1//n O Z Z O ，则存在实数λ，使得1n OZ OZ λ=，故1n z z λ=⋅即()()11,,n n x y x y λ=又()11n n z i z +=+，故()111n n z i z -=+，即()11n i λ-+=为实数故1n -为4的倍数，即14n k -= 41n k ∴=+，k ∈N（3）()4414n n n z i z z +=+=-，故44n n x x +=-，44n n y y +=- 4416n n n n x y x y ++∴= 又1112x y =，227x y =-，3348x y =-，4428x y =()()1122331001001122334455667788x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ∴+++⋅⋅⋅+=+++++++()979798989999100100x y x y x y x y +⋅⋅⋅++++()25100116127482812116-=--+⨯=-- 又251001011011116122x y x y ==⨯，25100102102221672x y x y ==-⨯所以数列{}n n x y 的前102项之和为：100100100102121227212-+⨯-⨯=+【点睛】本题考查复数知识的综合应用问题，涉及到复数的乘法和乘方运算、复数运算的周期性、等比数列求和的问题；关键是能够灵活运用复数乘方运算的特点，将所求式子转化为类似周期运算的形式，从而将所求式子化简，利用等比数列求和的方法求得结果.22．（1）1z =-±；（2）12z =-±； 【分析】 （1）设z a bi =+，根据复数运算表示出4z z+，令虚部为零可求得0b =或224a b +=；当0b =时，可验证不满足题意；当224a b +=时，利用22z +=可得关于,a b 的方程，联立可求得,a b ，从而得到z ；（2）令21z m z =+，21z n z =+，得到()21z m z =+，()21z n z =+，设z a bi =+，代入整理后，根据复数相等条件可分别得到关于,a b 的方程，解方程组求得,a b ，进而得到z .【详解】（1）设,(,)z a bi a b R =+∈ 则()()22222244444a b z a bi a bi a bi a b i z a bi a b a b a b ⎛⎫+=++=++-=++- ⎪++++⎝⎭4z R z +∈ 22224410b b b a b a b ⎛⎫∴-=-= ⎪++⎝⎭0b ∴=或224a b += 当0b =时，z a = 22a ∴+=，解得：0a =，与z 为非零复数矛盾，不合题意 当224a b +=时，由222z a bi +=++=得：()22222444a b a b a ++=+++= 844a ∴+=，解得：1a=- b ∴=1z ∴=-±（2）21z z +与21z z +都是实数 ∴可设21z m z =+，21z n z =+ ()21z m z ∴=+，()21z n z =+设()0(,)z a bi b a b R =+≠∈由()21z m z =+得：()()21a bi m a bi +=++，即()2221a b abi m a mbi -+=++ ()2212a b m a ab mb ⎧-=+∴⎨=⎩22220m a a b a =⎧∴⎨++=⎩ 由()21z n z =+得：()2212a bi n a b abi +=-++，即()2212a bi n a b abni +=-++ ()2212a n a b b abn ⎧=-+⎪∴⎨=⎪⎩ 221210n a a b ⎧=⎪∴⎨⎪+-=⎩ 21a ∴=-，解得：12a =-b ∴==12z ∴=-± 【点睛】本题考查复数的定义及运算，涉及到实数的定义、复数的模长、复数相等的条件、复数运算等知识，关键是能够采用待定系数法，通过实数定义和复数相等构造出方程组求得未知数，进而得到所求复数.23．4a或2a >【解析】试题分析：化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共轭复数，化简为a bi +的形式即可得到1z ，根据模长之间的关系，得到关于a 的不等式，解出a 的范围.试题 112z i =-+，2z a i =+， ()21125a --+>⋅即()219a +>，解得4a <-或2a >24．（1）8；（2）2)z i =±.【分析】（1）由复数的模的性质，知|221212z z z z ⨯=⋅ ，由此利用题设条件能够求出212z z ⨯的模；（2）由212z z ⨯是虚部为正数的纯虚数，212z z ⨯的模是8，知2128z z i ⨯=，设复数()2,z a bi a b R =+∈，利用复数相等的性质能求出复数z 2．【详解】（1）2221212128z z z z z z ⨯===； （2）212z z ⨯是虚部为正数的纯虚数2128z z i ∴⨯=,)22824i i z ==+，设复数()2,z a bi a b R =+∈，2222a b abi -+=+，2222a b ab ⎧-=⎪⎨=⎪⎩1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，∴2)z i =±.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘除法运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 25．（1）2-；（2）12；（3【分析】 （1）131i z i-=+ ，利用四则法则计算； （2）利用复数(1)ai z +是纯虚数，则可知实部为零得到a 的值 （3）利用因为z 的共轭复数为12z i =-+，计算复数1z z +和其模. 【详解】（1）因为(1)13i z i +=-，∴13121i z i i-==--+， 则12z i =--，复数z 的虚部为2-（2）因为复数(1)ai z +是纯虚数，则(1)(12)12(2)ai i a a i +-=++-∴120a +=实数a 的值为12 （3）因为z 的共轭复数为12z i =-+，复数1112z i z =--+，51z z =+， 【点睛】本题考查复数的代数运算，基本概念，属于基础题型，本题重点复数的四则运算. 26．（1）12m =-,（2）=2m ± 【分析】 （1）复数z 是纯虚数，其实部为0，虚部不为0，解方程与不等式组222320320m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩即可求得答案；（2）依题意，可得2223232m m m m --=-+，解出即可求得实数m 的取值．【详解】（1）由题意有222320320m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩①②时， 解①得12m =-或2m =，解②得 1 m ≠且2m ≠， 综合可得12m =-时，复数为纯虚数. （2）由题意复数z 对应的点在直线y x =上， 则有：2223232m m m m --=-+，解得：=2m ±，所以当=2m ±时，复数对应的点在y x =上.【点睛】本题考查复数的概念及几何意义，解题关键是根据复试的几何意义列出不等式及等式求解，属于中等题.。

第十四章 数系的扩充与复数的引入考纲展示 命题探究1 复数的定义形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中实部是a ，虚部是b . 2 复数的分类 3 复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． 4 复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点表示纯虚数．5 复数的几何意义6 复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，则|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R )，即复数a ＋b i 的模表示点Z (a ，b )与原点O 的距离．特别地，b ＝0时，z ＝a ＋b i 是实数a ，则|z |＝|a |. 注意点 复数概念的理解的注意事项 (1)两个不全是实数的复数不能比较大小． (2)复平面内虚轴上的单位长度是1，而不是i.(3)复数与向量的关系：复数是数的集合，而向量是有大小和方向的量，二者是不同的概念．为了令复数更好地发挥解决实际问题的作用，所以用向量来表示复数.1．思维辨析(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ，∈R )中，虚部为b i.( )(2)在实数范围内的两个数能比较大小，因而在复数范围内的两个数也能比较大小．( )(3)一个复数的实部为0，则此复数必为纯虚数．( ) (4)复数的模就是复数在复平面内对应向量的模．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 实部为－2，虚部为1的复数在复平面内对应的点的坐标为(－2,1)，位于第二象限．3．在复平面内，已知6＋5i 对应的向量为OA →，AB →＝(4,5)则OB →对应的复数为________．答案 10＋10i解析 由AB →＝OB →－OA →得：OB →＝OA →＋AB →又∵AB →＝(4,5) ∴AB →对应的复数为4＋5i. ∴OB →对应的复数为：4＋5i ＋6＋5i ＝10＋10i.[考法综述] 复数的分类、实部、虚部、复数相等的条件、共轭复数、复数的模都会结合复数的运算一起考查．难度一般不大．命题法1 复数的概念与分类典例1 设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D ．12 [解析] 解法一：设1＋a i2－i ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则1＋a i ＝b i(2－i)＝b ＋2b i ，所以b ＝1，a ＝2b ＝2.解法二：1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2－a 5＋1＋2a 5i ，令2－a 5＝0且1＋2a5≠0，得a ＝2.[答案] A【解题法】 与复数概念及分类题型的解题步骤第一步，先把题目中的复数z 的代数形式设出，即设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．第二步，把非标准代数形式的复数通过复数的运算法则化为代数形式的标准形式，即化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式．第三步，紧扣复数的分类： 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )根据分类列出相应的方程，如：若题目要求该复数是实数，则根据虚部b ＝0列出相关方程(组)．第四步，解方程(组)，求得结果． 命题法2 复数相等典例2 若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( )A ．3＋5iB ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i[解析] 解法一：令z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(a ＋b i)(2－i)＝(2a ＋b )＋(2b －a )i ＝11＋7i ，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝11，2b －a ＝7，解得a ＝3，b ＝5，故选A.解法二：z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )5 ＝22－7＋(14＋11)i 5＝3＋5i. [答案] A【解题法】 复数相等问题的解题策略两复数相等的充要条件，即a ＋b i ＝c ＋d i ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c ，b ＝d ，(a ，b ，c ，d ∈R )．解决此类问题的本质就是分离出实部与虚部，使之分别相等，得到方程组，从而解决问题．命题法3 复数的模及几何意义典例3 (1)若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( )A ．(2,4)B ．(2，－4)C ．(4，－2)D ．(4,2)(2)a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( ) A ．2 B ． 3 C. 2D ．1[解析] (1)由i z ＝2＋4i ，得z ＝2＋4ii ＝4－2i ，所以z 对应的点的坐标是(4，－2)．(2)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|a ＋i||i|＝a 2＋1＝2，∴a ＝±3，又a >0，∴a ＝ 3.故选B.[答案] (1)C (2)B【解题法】 与复数几何意义、模有关的解题技巧(1)只要把复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与向量OZ →对应起来，就可以根据平面向量的知识理解复数的模、加法、减法的几何意义，并根据这些几何意义解决问题．(2)有关模的运算要注意灵活运用模的运算性质． 1．若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2i D ．3－2i答案 A解析 因为z ＝i(3－2i)＝2＋3i ，所以z ＝2－3i.2.设i 是虚数单位，则复数2i1－i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析2i1－i＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝－1＋i，其在复平面内所对应的点位于第二象限．3．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝()A．－5 B．5C．－4＋i D．－4－i答案 A解析由题意知：z2＝－2＋i.又z1＝2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.故选A.4．设z＝10i3＋i，则z的共轭复数为() A．－1＋3i B．－1－3i C．1＋3i D．1－3i 答案 D解析z＝10i3＋i＝10i(3－i)(3＋i)(3－i)＝30i＋1032＋12＝1＋3i，z＝1－3i，选D.5．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋b i互为共轭复数，则(a＋b i)2＝()A．5－4i B．5＋4iC．3－4i D．3＋4i答案 D解析由a－i与2＋b i互为共轭复数，可得a＝2，b＝1.所以(a＋b i)2＝(2＋i)2＝4＋4i－1＝3＋4i.6. i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．答案－2解析由题意知，复数(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i是纯虚数，则实部a＋2＝0，虚部1－2a≠0，解得a＝－2.7．设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________． 答案5解析 设复数z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，a ，b ∈R ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝32ab ＝4，a ，b ∈R ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1，则z＝±(2＋i)，故|z |＝ 5.8．已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________． 答案 21解析 由题意，得z ＝(5＋2i)2＝25＋20i －4＝21＋20i ，其实部为21.1 复数的加法(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )是任意两复数，那么z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i.(2)运算律：交换律、结合律．(3)几何意义：复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数，其中OZ 1→，OZ 2→分别为z 1，z 2所对应的向量．2 复数的减法(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i.(2)几何意义：复数z 1－z 2是从向量OZ 2→的终点指向向量OZ 1→的终点的向量Z 2Z 1→所对应的复数．3 复数的乘法(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.(2)运算律：交换律、结合律、分配律． 4 共轭复数(1)定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．用z 表示z 的共轭复数，若z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i.特别地，实数的共轭复数还是它本身．(2)几何意义：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称．实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上．(3)性质：z ·z ＝(a ＋b i)·(a －b i)＝a 2＋b 2＝|z |2(a ，b ∈R )． 5 复数的除法运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化，以简化运算．注意点 虚数单位i 的周期性计算得i 0＝1，i 1＝i ，i 2＝－1，i 3＝－i ，继续计算可知i 具有周期性，且最小正周期为4，故有如下性质(n ∈N )：(1)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ； (2)i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0. 1．思维辨析(1)若a ∈C ，则a 2≥0.( ) (2)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点．( ) (4)z ＝z ⇔z ∈R .( )(5)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．复数z 满足(z ＋2)(1＋i 3)＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1－i D ．－1＋i答案 D解析 由题意得：(z ＋2)(1＋i 3)＝2，(z ＋2)(1－i)＝2，z ＝21－i－2＝1＋i －2＝－1＋i ，故选D.3．已知实数m 是方程x 2＋(2＋i)x ＋n ＋2i ＝0，n ∈R 的一个根，则m ＋n ＝________.答案 －2解析 由题意知：m 2＋(2＋i)m ＋n ＋2i ＝0， 即m 2＋2m ＋n ＋(m ＋2)i ＝0，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m ＋n ＝0m ＋2＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ＝0，即m ＋n ＝－2[考法综述] 复数的四则运算法则及其加减法的几何意义(平行四边形法则、三角形法则)，尤其除法运算及i 的运算规律为命题热点．命题法 复数的四则运算典例 (1)下面是关于复数z ＝2－1＋i 的四个命题：p 1：|z |＝2，p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i ，p 4：z 的虚部为－1， 其中的真命题为( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4(2)已知复数z ＝3＋i (1－3i )2，z －是z 的共轭复数，则z ·z －＝________. [解析] (1)z ＝2(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－1－i ，故|z |＝2，p 1错误；z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，p 2正确；z 的共轭复数为－1＋i ，p 3错误；p 4正确．(2)∵z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i －2－23i ＝3＋i－2(1＋3i )＝(3＋i )(1－3i )－2(1＋3i )(1－3i )＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ·z ＝⎝⎛⎭⎪⎫－34＋14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－14i ＝316＋116＝14.故填14.[答案] (1)C (2)14【解题法】 复数四则运算中常用技巧 (1)巧用“分母实数化”，求解复数除法运算．复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简．其原理是(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a 、b ∈R )．(2)巧用“结论”，求解复数的乘方运算．记忆结论(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i ＝－i ，在化简复数的过程中构造出结论的形式，便可直接代入进行计算．1．设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1B ． 2 C. 3 D ．2答案 A解析 由题意知1＋z ＝i －z i ，所以z ＝i －1i ＋1＝(i －1)2(i ＋1)(i －1)＝i ，所以|z |＝1.2．若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 B解析 由于(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0a 2－4＝－4，解得a ＝0.故选B. 3.若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i答案 A解析 由已知z ＝i(1－i)＝i －i 2＝i ＋1，所以z ＝1－i.故选A. 4.设i 是虚数单位，则复数i 3－2i ＝( )A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i答案 C解析 i 3－2i ＝－i －2ii 2＝－i ＋2i ＝i ，选C.5.已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i答案 D解析 z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－i.6.(1＋i )3(1－i )2＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i 答案 D解析 (1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )2(1＋i )(1－i )2＝2i (1＋i )－2i ＝－1－i.故选D.7．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i＋i·z ＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i答案 C解析 原式＝1＋ii ＋i(1－i)＝－(i ＋i 2)＋i(1－i)＝1－i ＋i ＋1＝2. 8．设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 答案 3解析 复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为a 2＋b 2＝3，则a 2＋b 2＝3，则(a ＋b i)(a －b i)＝a 2－(b i)2＝a 2－b 2·i 2＝a 2＋b 2＝3.9．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫z ＋1z ·z ＝________. 答案 6解析 ∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫z ＋1z ·z ＝z ·z ＋1＝5＋1＝6. 10．复数2－2i 1＋i ＝________.答案 －2i解析 2－2i 1＋i ＝(2－2i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－2－4i 2＝－2i. 已知复数z 满足z ＝2i 1＋3i (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数的虚部是( )A.32 B ．－32 C ．－12 D ．－12i [错解][错因分析] 对虚部的概念理解不清，将复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的虚部错误地认为是b i.[正解] z ＝2i 1＋3i ＝2i (1－3i )(1＋3i )(1－3i )＝23＋2i 4＝32＋12iz 的共轭复数为32－12i ，∴z 的共轭复数的虚部为－12，故选C. [答案] C [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1.[2016·冀州中学期末]设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z ＝( ) A ．i B ．2－i C ．1－i D ．0答案 C解析 因为2z ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i ，故选C.2．[2016·衡水中学周测]i 为虚数单位，若a1－i ＝1＋i i ，则a 的值为( )A ．iB ．－iC ．－2iD ．2i 答案 C解析 由已知a 1－i ＝1＋i i 得，a i ＝(1－i)(1＋i)，a i ＝2，a ＝2i ＝－2i ，故选C.3．[2016·冀州中学月考]设复数z ＝2－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则在复平面内i z 对应的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(－1,1)C ．(1，－1)D ．(－1，－1)答案 C解析 ∵z ＝2－1－i ＝－1＋i ，∴i z ＝i(－1－i)＝1－i ，其在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)．4．[2016·武邑中学周测]在复平面内，复数z 和2i2－i 表示的点关于虚轴对称，则复数z ＝( )A.25＋45i B ．25－45i C ．－25＋45i D ．－25－45i答案 A解析 由2i 2－i ＝－25＋45i 可知该复数对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，45，其关于虚轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45，故复数z ＝25＋45i ，故选A.5．[2016·衡水中学月考]已知i 是虚数单位，则2＋i3－i ＝( )A.12－12i B ．72－12i C.12＋12i D ．72＋12i答案 C解析 2＋i 3－i ＝(2＋i )(3＋i )(3－i )(3＋i )＝5＋5i 10＝12＋12i.6．[2016·枣强中学猜题]若复数z ＝(2－i)i(其中i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．2－iB ．1＋2iC ．－1＋2iD ．1－2i答案 D解析 z ＝(2－i)i ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，选D.7．[2016·衡水中学期中]已知复数z ＝3＋4i ，z 表示复数z 的共轭复数，则|zi |＝( )A. 5 B ．5 C. 6 D ．6答案 B解析 由z ＝3＋4i ，得z ＝3－4i ，所以|z i |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－4i i ＝|(3－4i)(－i)|＝|－4－3i|＝(－4)2＋(－3)2＝5.8. [2016·武邑中学期中]复数z ＝2i 20141－2i (i 是虚数单位)在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 ∵i 2014＝(i 2)1007＝(－1)1007＝－1，∴z ＝2i 20141－2i ＝－21－2i ＝－2(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝－2＋2i 3，∴z 在复平面内的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－23，－23，故选C.9．[2016·衡水中学期末]若(1＋2a i)i ＝1－b i ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋b i|＝( )A.12＋i B ． 5 C.52 D ．54答案 C解析 因为(1＋2a i)i ＝1－b i ，所以－2a ＋i ＝1－b i ，a ＝－12，b＝－1，所以|a ＋b i|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－i ＝52，选C.10．[2016·衡水二中期中]复数z ＝1－i ，则1z ＋z ＝( ) A.12＋32i B ．12－32i C.32－32i D ．32－12i答案 D解析 ∵z ＝1－i ，∴1z ＋z ＝11－i ＋1－i ＝1＋i (1－i )(1＋i )＋1－i ＝1＋i 2＋1－i ＝32－12i ，故选D.11. [2016·枣强中学模拟]设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z |＝( )A.10 B ．2 C. 2 D ．1 答案 A解析 解法一：|(1－z )·z |＝|1－z ||z |＝|2＋i||－1＋i|＝22＋12·(－1)2＋(1)2＝10.解法二：|(1－z )·z |＝|z －z ·z |＝|－1＋i －2|＝|－3＋i|＝(－3)2＋12＝10.12．[2016·衡水二中期末]若a 为实数，i 为虚数单位，2＋a i 1＋2i ＝－2i ，则a 等于________．答案 － 2解析 由已知2＋a i1＋2i ＝－2i ，得2＋a i ＝－2i(1＋2i)，即2＋a i ＝－2i ＋2，∴a ＝－ 2.能力组13.[2016·武邑中学猜题]复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤916，7答案 C解析 由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.14. [2016·冀州中学仿真]已知复数z ＝1＋2i1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2014为( )A ．1＋iB ．1－iC ．iD ．1答案 C解析 z ＝1＋2i1－i＝1＋2i (1＋i )2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z 2014＝1×(1－z 2015)1－z ＝1－i 20151－i ＝1－i4×503＋31－i＝1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i2＝i. 15．[2016·武邑中学预测]已知x 1＝1－i(i 是虚数单位)是关于x 的实系数一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根，则实数a ＝________，b ＝________.答案 －2 2解析 由题意，知x 2＝1＋i 是方程的另一根，因此－a ＝x 1＋x 2＝2，a ＝－2，b ＝x 1x 2＝(1－i)(1＋i)＝2.16．[2016·衡水二中模拟]已知复数 z ＝4＋2i(1＋i )2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则m ＝________.答案 －5解析 z ＝4＋2i (1＋i )2＝4＋2i 2i ＝(4＋2i )i2i 2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5.。