第八章 存储论8.3-8.4

（8.3.9）
为此求驻点，令 dE ( C ( Q )) =0 dQ 由（8.3.8）两边求导得
− p∫
∞ Q
（8.3.10）
f ( r )dr + C 1 ∫
Q
0
f ( r )dr + k = 0
（8.3.11）
记
F (Q ) =
则有（8.3.11）变为
∫
Q
0
f ( r )dr ，
− p [1 − F ( Q )] + C 1 F ( Q ) + k = 0
（8.3.3）经化简得：
Q (k + h)∑P(r) − k ≥ 0 r =0 Q−1 (k + h) P(r) − k ≤ 0 ∑ r= r =0
（8.3.4）
从而报童准备得最佳数量 Q 满足下列不等式：
Q k ∑P(r) < k + h ≤ ∑P(r) r =0 r =0 Q−1
有库容限制的存储问题
已知仓库的最大容量为 L，仓库的期初存储量为 I，计划在 m 个周期内确定一个合理的进货量与销售 量，使总收入达到最大？
若已知第 i 个周期出售一个单位货物的收入为 ai ，订 购一个单位的货物费为 bi , i = 1, 2,..., m ， xi , yi 分别表示第 i 设 个周期的进货量与售货量，则有：
E ( C ( Q )) = C 2 ∫ ( r − Q ) f ( r )d r + C 1 ∫ ( Q − r ) f ( r )d r + kQ
Q 0
∞
Q
（8.3.14） 同理可得驻点 Q * 满足下式 C2 − k * F (Q ) = C1 + C 2
（8.3.15）
对于多阶段定购问题， 设本阶段期初贮量为 I， 若使用 （t， S）存储策略，上式确定的 Q * 与 I 比较，当 I < Q * 时，本阶 段的定货量 Q = Q * − I ，当 I ≥ Q * 时，本阶段不订货，此时 采用此种定期订货，但定货量不定的存储策略可使期望损 失值最小。
0 s s ∞
≤ C 3 + kS + C1 ∫ ( S − r ) f ( r )dr + C 2 ∫ * ( r − S * ) f ( r )dr
* * 0 S
S*
∞
设使上式成立的最小的 s 记为 s * ，则 s * 即为(s，S)存储策略 的订货点。
§8.4其他类型的存储问题 其他类型的存储问题
其中 F (Q) =
∫
Q − 60 3 0
Q − 60 * = −0.515 ， 所以 Q = 58.455 吨 ， 可使获利 3
期望值达到最大。 期望值达到最大。
1 e 2π
r2 − 2
dr ， 由正态分布表得 ： 由正态分布表得：
8.3.3 需求为连续型随机变量得(s，S)存储策略 需求为连续型随机变量得 ， 存储策略
§8.3 随机型存储问题
在随机型存储问题中， 在随机型存储问题中，常假设货物的需求为随机变 量其概率分布是已知的， 量其概率分布是已知的，因此讨论随机型存储问题的 策略时，常采用期望损失最小或期望利润最大的准则。 策略时，常采用期望损失最小或期望利润最大的准则。 下面讨论单周期的随机存储问题。 下面讨论单周期的随机存储问题。
所以
（8.3.12）
p−k F (Q ) = C1 + p
（8.3.13）
由 （8.3.13） 式解出的 Q， 记为 Q * ， * 即为 E ( C ( Q )) 的驻点。 Q 又因为
d 2 E ( C ( Q )) = C1 f (Q ) + p f (Q ) > 0 2 dQ
所以 E ( C ( Q )) 在 Q * 处为极小值点。 p−k 若 p − k ≤ 0 时， F ( Q ) = 不成立，此时 Q * 取为 0。 C1 + p 即售价低于成本价时，无需订货，若缺货时，需付出的费 用 C 2 > p ，此时期望损失为
S
C ( S ) 的最小值，可见 S * 与定货点 s 无关。 的最小值， 无关。
下面考虑定货点 s，由 s 的定义当初存储量 I=s 失值，则有：
时，
不订货造成的期望损失应该不超过订货所造成的期望损
C1 ∫ ( s − r ) f ( r )dr + C 2 ∫ ( r − s ) f ( r )dr
设货物单位成本为 k， 单位存储费为 C1 ， 单位缺货费为 C2 ， 每次定购费为 C3 ，其初存储量为 I，需求量 r 为连续型随机变 量 ， 其 密 度 函 数 为 f (r ) ，
x 0
∫
∞
0
f (r )dr = 1 ， 分 布 函 数 为
F ( x) = ∫ f (r )dr ，若采用(s，S)策略，问如何确定定货量 Q 若采用(s S)策略 (s， 策略，
0 x
何值时，能时使期望盈利达到最大？
设定购数量为 Q，实际的销售量为 min( r , Q ) ，所以盈利 W(Q)为： W(Q)=销售收入－货物进货成本－存储费用
= p min( r , Q ) − kQ − C1 (Q )
其中
（8.3.6）
C1 (Q − r ), r ≤ Q C1 (Q ) = 0, r > Q
累积概率值得： 累积概率值得：
F (6) = 0.6023 < 0.623 < F (7) = 0.7440
件商品，可得期望损失值达到最小。 所以商品应采购 7 件商品，可得期望损失值达到最小。
8.3.2 需求为连续型随机变量的存储模型
上例中若该货物的单位进价为 k，售价为 p，存储费 用为 C1，货物的需求 r 为连续型随机变量，其密度函数为 f(r)，分布函数 F ( x ) = ∫ f (r )dr ，( x > 0) 。问货物定购 Q 为
∑ h(Q − r ) P(r )
（2）若供不应求，即 r > Q ，此时因缺货而少赚钱的期 若供不应求， 望损失为： 望损失为：
r =Q +1 r =0
Q
∑ k (r − Q) P(r )
8.3.1） ∑ k (r − Q) P(r )（8.3.1）
∞
∞
综合上述两种情形， 时总的期望损失为： 综合上述两种情形，订购量为 Q 时总的期望损失为：
C (Q ) = ∑ h(Q − r ) P ( r ) +
r =0
Q
r =Q +1
要使 C (Q ) 达到最小，则期望损失 C (Q ) 应满足
C (Q) ≤ C (Q + 1) C (Q) ≤ C (Q − 1)
把（8.3.1）代入（8.3.2）得：
（8.3.2）
∞ Q h ∑ (Q − r ) P ( r ) + k ∑ ( r − Q ) P ( r ) r = Q +1 r =0 Q +1 ∞ ≤ h ∑ ( Q + 1 − r ) P ( r ) + k ∑ ( r − Q − 1) P ( r ) r =0 r =Q + 2 Q ∞ h (Q − r ) P ( r ) + k ∑0 ∑+1 ( r − Q ) P ( r ) r= r =Q Q −1 ∞ ≤ h ∑ ( Q − 1 − r ) P ( r ) + k ∑ ( r − Q + 1) P ( r ) r =0 r =Q
（8.3.5）
若按期望利润最大化的准则，同理可获得上述结论。
例 8.3.1 某商品每件进价 40 元，售价 73 元，商品过期后 削价为 20 元并一定可以出售，该商品的销售量 r 服从 Poisson 分布：
e− λ λ r P(r ) = ， r! 根据经验，平均销售量 λ = 6 件，问该商店应采购多少件
0 s
s
∞
≤ C 3 + k ( S − s ) + C1 ∫ ( S − r ) f ( r )dr + C 2 ∫ * ( r − S * ) f ( r )dr
* * 0 S
S*
∞
（8.3.19） 即 ks + C1 ∫ ( s − r ) f ( r )dr + C 2 ∫ ( r − s ) f ( r )dr
E (C (Q)) = ∫ p (r − Q) f (r )dr + ∫ C1 (Q − r ) f (r )dr + kQ
Q 0
∞
Q
8.3.8）
则 E (C (Q )) 表示含进货成本的期望损失，且有
E (W (Q )) + E (C (Q)) = pE (r ) = 常数 所以 max E (W (Q)) 等价于 min E (C (Q))
max ξ = ∑ (ai yi −bi xi )
i =1 S I + ∑ ( xi − yi ) ≤ L, i = 1,2,..., m i =1 S −1 s.t yS ≤ I + ∑ ( xi − yi ), S = 1,2,..., m i =1 xi ≥ 0, yi ≥ 0, i = 1,2,..., m
Q Q 0
∞
∞
Q
∞ p (r − Q) f (r )dr + Q C (Q − r ) f (r )dr + kQ = pE (r ) − ∫ （8.3.7） ∫0 1 Q 上式第一项表示平均盈利，与 Q 无关，中括号内第一项为缺货损失 期望值， 它只考虑了失去销售机会而未实现的收入， 第二项为滞销损 失期望值，它只考虑了存储费，第三项为进货成本， 记