高三数学二轮复习(文科数学) 抛物线 专题卷(全国通用) (6)

2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（抛物线）练习一. 基础小题练透篇1．已知点P 到点F (0，1)的距离比它到直线l ：y ＋2＝0的距离小1，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＝－4yB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x2．[2023ꞏ江西省南昌市摸底]设F 为抛物线C ：x 2＝16y 的焦点，直线l ：y ＝－1，点A 为C 上一点且|AF |＝5，过点A 作AP ⊥l 于P ，则|AP |＝( )A.4 B ．3 C ．2 D ．13．已知抛物线y 2＝8x 的准线为l ，点P 是抛物线上的动点，直线l 1的方程为2x －y ＋3＝0，过点P 分别作PM ⊥l ，垂足为M ，PN ⊥l 1，垂足为N ，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．655 B ．755C ．5D ．2＋3554．已知抛物线y 2＝16x ，过点M (2，0)的直线交抛物线于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若|AF |＝12，O 为坐标原点，则四边形OAFB 的面积是( )A.202 B ．102 C ．52 D ．5225．[2023ꞏ湖南省湘潭市一模]已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点T 在C 上，且|FT |＝52 ，若点M 的坐标为(0，1)，且MF ⊥MT ，则C 的方程为( )A ．y 2＝2x 或y 2＝8xB ．y 2＝x 或y 2＝8xC ．y 2＝2x 或y 2＝4xD ．y 2＝x 或y 2＝4x6．已知直线l ：y ＝k (x －2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若AF → ＝2FB →，则k 的值是( )A ．13 B ．223 C ．22 D ．247．[2023ꞏ江苏省高三月考]已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，在C 上有一点P ，||PF ＝8，则点P 到x 轴的距离为____________．8．[2023ꞏ广东省深圳市月考]已知抛物线C ：y 2＝2px 的焦点为F ，点A 为抛物线C 上横坐标为3的点，过点A 的直线交x 轴的正半轴于点B ，且△ABF 为正三角形，则p ＝________．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ广西柳州市摸底考试]已知F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，直线l 是抛物线的准线，则F 到直线l 的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．82．[2023ꞏ陕西省西安市高三模拟]已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A 是抛物线E 的准线与坐标轴的交点，点P 在抛物线E 上，若∠P AF ＝30°，则sin ∠PF A ＝( )A ．12B ．33C ．34D ．323．[2023ꞏ四川大学模拟]设点P 是抛物线C 1：x 2＝4y 上的动点，点M 是圆C 2：(x －5)2＋(y ＋4)2＝4上的动点，d 是点P 到直线y ＝－2的距离，则d ＋|PM |的最小值是( )A ．52 －2B ．52 －1C ．52D ．52 ＋14．[2023ꞏ四川省高三模拟]已知△ABC 的三个顶点都在抛物线y 2＝4x 上，点M (2，0)为△ABC 的重心，直线AB 经过该抛物线的焦点，则线段AB 的长为( )A ．8B ．6C ．5D ．45．[2023ꞏ广东省开平市高三检测]已知F 是抛物线C ：y 2＝16x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若3FM → ＝2MN →，则||FN ＝__________．6．[2023ꞏ江苏省南京模拟]已知圆C: (x －3)2＋y 2＝4，点M 在抛物线T ：y 2＝4x 上运动，过点M 引直线l 1，l 2与圆C 相切，切点分别为P ，Q ，则|PQ |的取值范围为________．三. 高考小题重现篇1.[2022ꞏ全国乙卷]设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3，0)，若||AF ＝||BF ，则||AB ＝( )A ．2B ．2 2C ．3D ．322．[2020ꞏ全国卷Ⅰ]已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．93．[2020ꞏ全国卷Ⅲ]设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫14，0B ．⎝⎛⎭⎫12，0C ．(1，0)D ．(2，0)4．[2020ꞏ北京卷]设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线( )A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP5．[2021ꞏ北京卷]已知抛物线C ：y 2＝4x ，C 的焦点为F ，点M 在C 上，若|FM |＝6，则M 的横坐标是________．6．[2021ꞏ山东卷]已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP ，若|FQ |＝6，则C 的准线方程为________．四. 经典大题强化篇1.[2023ꞏ湖北省高三联考]记以坐标原点为顶点、F (1，0)为焦点的抛物线为C ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．(1)已知点M 的坐标为(－2，0)，求∠AMB 最大时直线AB 的倾斜角；(2)当l 的斜率为12 时，若平行l 的直线m 与C 交于M ，N 两点，且AM 与BN 相交于点T ，证明：点T 在定直线上．2．[2023ꞏ山西省运城市模拟]已知P (1，2)在抛物线C ：y 2＝2px 上． (1)求抛物线C 的方程；(2)A ，B 是抛物线C 上的两个动点，如果直线P A 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：B答案解析：由题意，点P 到点F （0，1）的距离等于它到直线y ＝－1的距离，则点P的轨迹是以F 为焦点，y ＝－1为准线的抛物线，则点P 的轨迹方程为x 2＝4y .2．答案：C答案解析：抛物线方程C ：x 2＝16y ，准线方程为：y ＝－4，因为|AF |＝5，所以点A 到准线的距离为5，且y A ＞0，直线l ：y ＝－1与准线方程的距离为d ＝3，所以|AP |＝5－3＝2 .3．答案：B答案解析：令抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，则F （2，0），连接PF ，如图，因为l 是抛物线y 2＝8x 的准线，点P 是抛物线上的动点，且PM ⊥l 于M ，于是得|PM |＝|PF |，点F （2，0）到直线l 1：2x －y ＋3＝0的距离d ＝|2×2－0＋3|22＋（－1）2＝755 ，又PN ⊥l 1于N ，显然点P 在点F 与N 之间，于是有|PM |＋|PN |＝|PF |＋|PN |≥d ，当且仅当F ，P ，N三点共线时取“＝”，所以|PM |＋|PN |的最小值为d ＝755.4．答案：A答案解析：抛物线y 2＝16x 的准线方程为x ＝－4，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由抛物线的定义可知，x 1＋4＝12，x 1＝8，y 21 ＝16×8，由抛物线的对称性，不妨令y 1＝82 ，设直线AB 的方程为x ＝my ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝16x ， 得y 2－16my －32＝0，y 1y 2＝－32，∴y 2＝－22 ，四边形OAFB 的面积S ＝12 |OF |·|y 1－y 2|＝12×4×102 ＝202 .5．答案：A答案解析：设T （x 0，y 0），则MT → ＝（x 0，y 0－1），又由F （p 2 ，0），所以MF →＝（p 2，－1），因为MF ⊥MT ，所以MF → ·MT →＝0，可得p 2x 0－y 0＋1＝0，由y 20 ＝2px 0，联立方程组，消去x 0，可得y 20 －4y 0＋4＝0，所以y 0＝2，x 0＝2p，故T（2p，2），又由|FT |＝x 0＋p 2 ＝52 ，所以52 －p 2 ＝2p ，即p 2－5p ＋4＝0，解得p ＝1或p ＝4，所以C 的方程为y 2＝2x 或y 2＝8x .6．答案：C答案解析：直线l ：y ＝k （x －2）（k ＞0）过（2，0），即直线l 过抛物线的焦点F （2，0），画出图象如图所示，过A 作直线垂直于抛物线的准线，垂足为D ；过B 作直线垂直于抛物线的准线，垂足为C ，过B 作BE ⊥AD ，交AD 于E .依题意AF → ＝2FB →，设|AF |＝2|BF |＝2t （t ＞0）， 则|AE |＝|AD |－|BC |＝t ，|AB |＝|AF |＋|BF |＝3t ，|BE |＝（3t ）2－t 2＝22 t ，所以直线l 的斜率k ＝|BE ||AE | ＝22 . 7．答案：43答案解析：由抛物线的定义可知：||PF ＝x p ＋2＝8，所以x p ＝6，代入y 2＝8x 中，得y 2p ＝48，所以||y p ＝43 ，故点P 到x 轴的距离为43 . 8．答案：2答案解析：由题意可知，当B 在焦点F 的右侧时，|AF |＝3＋p 2 ，|FD |＝3－p2，又|FD |＝12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋p 2 ，所以12 ⎝⎛⎭⎪⎫3＋p 2 ＝3－p2 ，解得p ＝2；当B 在焦点F 的左侧时，同理可得p ＝18，此时点B 在x 轴的负半轴，不合题意．二 能力小题提升篇1．答案：B答案解析：由y 2＝8x 得p ＝4，所以F 到直线l 的距离为p ＝4. 2．答案：B答案解析：过P 作准线的垂线，垂足为Q ，由∠PAF ＝30°，可得∠APQ ＝30°，由题意如图所示：在Rt△AQP 中，cos ∠APQ ＝|QP ||PA | ＝32， 由抛物线的性质可得|PQ |＝|PF |，所以|PF ||PA | ＝32 ， 在△PAF 中，由正弦定理可得：|PA |sin ∠PFA ＝|PF |sin ∠PAF ，所以sin ∠PFA ＝|AP ||PF | ·sin ∠PAF ＝23·12 ＝33 . 故选B.3．答案：B答案解析：由题知圆C 2：（x －5）2＋（y ＋4）2＝4， ∴C 2()5，－4 ，r ＝2F （0，1）为抛物线焦点，y ＝－1为抛物线准线， 则过点P 向y ＝－1作垂线垂足为D ，如图所示：则d ＝1＋||PD ，根据抛物线定义可知||PD ＝||PF ， ∴d ＝1＋||PF ，∴d ＋|PM |＝1＋||PF ＋||PM ，若求d ＋|PM |的最小值，只需求||PF ＋||PM 的最小值即可， 连接FC 2与抛物线交于点P 1，与圆交于点M 1，如图所示，此时||PF ＋||PM 最小，为||FC 2 －r ，()d ＋||PMmin＝1＋||FC 2 －r ，∵F （0，1），C 2()5，－4 ，∴||FC 2 ＝52 ，∴()d ＋||PM min ＝1＋||FC 2 －r ＝52 －1. 故选B. 4．答案：B答案解析：设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，则F （1，0）.根据题意可知，点M （2，0）为△ABC 的重心，若直线AB 的斜率不存在， 则不妨取A （1，2），B （1，－2），则结合重心可得C 为（4，0），不合题意； 故直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k （x －1），k ≠0，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （m ，n ），则有y 21 ＝4x 1，y 22 ＝4x 2，n 2＝4m ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －1）， 得ky 2－4y －4k ＝0，Δ＝16（1＋k 2）>0， 则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，因为点M （2，0）为△ABC 的重心，所以n ＋y 1＋y 23＝0， 即n ＝－()y 1＋y 2 ，所以m ＋x 1＋x 23 ＝2，∴m ＋x 1＋x 2＝n 2＋y 21 ＋y 22 4＝2()y 1＋y 22－2y 1y 24 ＝6，即32k2 ＋8＝24，解得k 2＝2，则||AB ＝x 1＋x 2＋p ＝()y 1＋y 22－2y 1y 24＋2＝4k2 ＋4＝6，故线段AB 的长为6，故选B.5．答案：16答案解析：易知焦点F 的坐标为（4，0），准线l 方程为x ＝－4，如图， 抛物线准线与x 轴交点为A ，作MB ⊥l 于B ，NC ⊥l 于C ，AF ∥MB ∥NC ，则||MN ||NF ＝||BM －||CN ||OF ，由3FM → ＝2MN →，得||MN ||NF ＝35，又||CN ＝4，||OF ＝4，所以||BM －44 ＝35 ，||BM ＝325 ，||MF ＝||BM ＝325 ，||MF ||NF ＝25，所以||FN ＝16.6．答案：[22 ，4）答案解析：如图，连接CP ，CQ ，CM ，依题意，CP ⊥MP ，CQ ⊥MQ ，而|CP |＝|CQ |＝2，而|MP |＝|MQ |，则CM 垂直平分线段PQ ，于是得四边形MPCQ 的面积为Rt△CPM 面积的2倍，从而得12 |PQ |·|CM |＝2·12 |CP |·|MP |，即|PQ |＝2|CP |·|MP ||CM | ＝4|CM |2－|CP |2|CM | ＝41－4|CM |2 ，设点M （t ，s ），而C （3，0），s 2＝4t （t ≥0），则|CM |2＝（t －3）2＋s 2＝t 2－2t ＋9＝（t －1）2＋8≥8，当且仅当t ＝1时取“＝”，∀t ≥0，|CM |2∈[8，＋∞），因此得0<4|CM |2 ≤12 ，即12 ≤1－4|CM |2 <1，得22 ≤|PQ |<4， 所以|PQ |的取值范围为[22 ，4）.三 高考小题重现篇1．答案：B答案解析：由题意得，F （1，0），则||AF ＝||BF ＝2，即点A 到准线x ＝－1的距离为2，所以点A 的横坐标为－1＋2＝1， 不妨设点A 在x 轴上方，代入得，A （1，2）， 所以||AB ＝（3－1）2＋()0－22＝22 .故选B.2．答案：C答案解析：设焦点为F ，点A 的坐标为（x 0，y 0），由抛物线定义得|AF |＝x 0＋p2，∵点A 到y 轴距离为9，∴x 0＝9， ∴9＋p2 ＝12，∴p ＝6. 3．答案：B答案解析：由抛物线的对称性不妨设D 在x 轴上方、E 在x 轴下方．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y 2＝2px得D （2，2p ），E （2，－2p ），∵OD ⊥OE ，∴OD → ·OE → ＝4－4p ＝0，∴p ＝1，∴C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 . 4．答案：B 答案解析：不妨设抛物线的方程为y 2＝2px （p >0），P （x 0，y 0）（x 0>0），则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，y 0 ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ，直线FQ 的斜率为－y 0p ，从而线段FQ 的垂直平分线的斜率为p y 0 ，又线段FQ 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 02 ，所以线段FQ 的垂直平分线的方程为y －y 02 ＝py 0 （x －0），即2px －2y 0y ＋y 2＝0，将点P 的横坐标代入，得2px 0－2y 0y ＋y 20 ＝0，又2px 0＝y 20 ，所以y ＝y 0，所以点P 在线段FQ 的垂直平分线上．5．答案：5答案解析：设点M 的坐标为（x 0，y 0），则有|FM |＝x 0＋1＝6，解得x 0＝5.6．答案：x ＝－32答案解析：不妨设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋p2，0 ， PQ →＝（6，－p ），因为PQ ⊥OP ，所以p2×6－p 2＝0，∵p >0，∴p ＝3，∴C 的准线方程为x ＝－32.四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）设直线的方程为x ＝my ＋1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）()y 1>0，y 2<0 . 记∠AMF ＝α，∠BMF ＝β，则tan α＝y 1x 1＋2＝y 1my 1＋3， tan β＝－y 2x 2＋2 ＝－y 2my 2＋3， 则tan ∠AMB ＝tan ()α＋β ＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3()y 1－y 2()m 2＋1y 1y 2＋3m ()y 1＋y 2＋9. 由题设得抛物线方程为y 2＝4x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x x ＝my ＋1 消去x 得y 2－4my －4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0y 1＋y 2＝4m y 1y 2＝－4，y 1－y 2＝4m 2＋1 ，∴tan ∠AMB ＝12m 2＋18m 2＋5，令t ＝m 2＋1 ，则t ≥1，∴tan ∠AMB ＝12t 8t 2－3 ＝128t －3t. 由单调性得当t ＝1时，tan ∠AMB 最大为125，此时m ＝0，直线AB 的倾斜角为90°. （2）设T ()x 0，y 0 ，TM → ＝λTA → ()λ≠1 则由AB ∥MN 得TN → ＝λTB →， ∴⎩⎨⎧y M －y 0＝λ()y A －y 0y N －y 0＝λ()y B －y 0 ，∴y M ＋y N －2y 0＝λ()y A ＋y B －2y 0 . 又∵k AB ＝12，∴y A －y B x A －x B ＝4y A ＋y B ＝12 ⇒y A ＋y B ＝8，同理y M ＋y N ＝8，∴8－2y 0＝λ()8－2y 0 ，又∵λ≠1，∴8－2y 0＝0，∴y 0＝4， ∴点T 在定直线y ＝4上．2．答案解析：（1）将P 点坐标代入抛物线方程y 2＝2px 得4＝2p ，即p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ；（2）设AB ：x ＝my ＋t ，将AB 的方程与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4t ＝0，Δ>0＝16m 2＋16t >0⇒m 2＋t >0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，k PA ＝y 1－2x 1－1 ＝y 1－2y 21 4－1 ＝4y 1＋2，同理：k PB ＝4y 2＋2 ， 由题意：4y 1＋2 ＋4y 2＋2＝2，4（y 1＋y 2＋4）＝2（y 1y 2＋2y 1＋2y 2＋4），解得y 1y 2＝4，有－4t ＝4，即t ＝－1， 故直线AB ：x ＝my －1恒过定点（－1，0）.。

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线[做高考真题·明命题趋向][做真题—高考怎么考]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：选D.依题意得p2＝3p －p ，解得p ＝8，故选D.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( )A ．2sin 40°B ．2cos 40° C.1sin 50°D.1cos 50°解析：选D.依题意知，－ba ＝tan 130°＝tan(130°－180°)＝－tan 50°，两边平方得c 2－a 2a 2＝tan 250°＝e 2－1，e 2＝1＋tan 250°＝1cos 250°，又e >1，所以e ＝1cos 50°，选D.3．(2016·高考全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选D.易知抛物线的焦点为F (1，0)，设P (x P ，y P )，由PF ⊥x 轴可得x P ＝1，代入抛物线方程得y P ＝2(－2舍去)，把P (1，2)代入曲线y ＝kx(k ＞0)得k ＝2.4．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知F 是双曲线C ：x 24－y 25＝1的一个焦点，点P 在C 上，O为坐标原点．若|OP |＝|OF |，则△OPF 的面积为( )A.32B.52C.72D.92解析：选B.因为c 2＝a 2＋b 2＝9，所以|OP |＝|OF |＝3.设点P 的坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2＝9，把x 2＝9－y 2代入双曲线方程得|y |＝53，所以S △OPF ＝12|OF |·|y P |＝52.故选B.5．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2 B ．2 C.322D ．2 2解析：选D.法一：由离心率e ＝ca ＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.故选D.法二：离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，由点到直线的距离公式得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.故选D.[明考情—备考如何学]圆锥曲线的标准方程与几何性质一直是高考的命题热点，其中求解圆锥曲线的标准方程，直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系是高考解答题的常考内容，离心率问题、双曲线的渐近线问题等常出现在选择题、填空题中．[研考点考向·破重点难点]考点1 圆锥曲线的定义及标准方程(综合型)[知识整合] 名称 椭圆 双曲线 抛物线定义|PF 1|＋|PF 2|＝ 2a (2a >|F 1F 2|)||PF 1|－|PF 2||＝2a (0<2a <|F 1F 2|) |PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M 标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)y 2＝2px (p ＞0)图形(1)(2019·广东六校第一次联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为2，若经过F 和P (0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A ．x 2－y 2＝1B.x 22－y 22＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 28－y 28＝1 (2)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 【解析】 (1)由题意，得双曲线的左焦点为F (－c ，0)．由离心率e ＝ca ＝2，得c ＝2a ，c 2＝2a 2＝a 2＋b 2，即a ＝b ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，则经过F 和P (0，4)两点的直线的斜率k ＝4c ＝1，得c ＝4，所以a ＝b ＝22，所以双曲线的方程为x 28－y 28＝1，故选D.(2)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝1a .在等腰三角形ABF 1中，cos 2θ＝a 23a 2＝13，所以13＝1－2(1a )2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B. 【答案】 (1)D (2)B ■ 规律方法(1)圆锥曲线定义的应用①已知椭圆、双曲线上一点及焦点，首先要考虑使用椭圆、双曲线的定义求解． ②应用抛物线的定义，灵活将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化使问题得解．(2)圆锥曲线方程的求法求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”．①定型．就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． ②计算．即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．[对点训练]1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( ) A ．±3 B ．±1 C ．±34D ．±33解析：选A.设M (x ，y )，由题意知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，由抛物线的定义，可知x ＋p 2＝2p ，故x ＝3p 2，由y 2＝2p ×3p 2，知y ＝±3p .当M ⎝⎛⎭⎫3p 2，3p 时，k MF ＝3p －03p 2－p2＝3，当M ⎝⎛⎭⎫3p 2，－3p 时，k MF ＝－3p －03p 2－p 2＝－3，故k MF ＝± 3.故选A.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5，从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若△AFO 的面积为1，则双曲线C 的方程为( )A.x 22－y 28＝1 B.x 24－y 2＝1 C.x 24－y 216＝1 D ．x 2－y 24＝1 解析：选D.因为双曲线C 的右焦点F 到渐近线的距离|F A |＝b ，|OA |＝a ，所以ab ＝2，又双曲线C 的离心率为5，所以 1＋b 2a2＝5，即b 2＝4a 2，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1，故选D. 3．已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线左支上任意一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( )A ．1B ．2C ．4D.12解析：选A.如图所示，延长F 1H 交PF 2于点Q ，由PH 为∠F 1PF 2的平分线及PH ⊥F 1Q ，可知|PF 1|＝|PQ |.根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2，即|PF 2|－|PQ |＝2，从而|QF 2|＝2.在△F 1QF 2中，易知OH 为中位线，则|OH |＝1.考点2 圆锥曲线的几何性质(综合型)[知识整合]1. 椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c a ＝ 1－⎝⎛⎭⎫b a 2. (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2.2. 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．[典型例题](1)P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，A 为左顶点，F 为右焦点，PF ⊥x 轴，若tan ∠P AF ＝12，则椭圆的离心率e 为( )A.23 B.22C.33D.12(2)(一题多解)(2019·东北四市联合体模拟(一))已知矩形ABCD ，AB ＝12，BC ＝5，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的双曲线的离心率为______．【解析】 (1)如图，不妨设点P 在第一象限，因为PF ⊥x 轴，所以x P ＝c ，将x P ＝c 代入椭圆方程得y P ＝b 2a ，即|PF |＝b 2a ，则tan ∠P AF ＝|PF ||AF |＝b 2aa ＋c ＝12，结合b 2＝a 2－c 2，整理得2c 2＋ac －a 2＝0，两边同时除以a 2得2e 2＋e －1＝0，解得e ＝12或e ＝－1(舍去)．故选D.(2)通解：取AB 的中点O 为坐标原点，线段AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则焦距2c ＝12，所以c ＝6，将点C (6，5)代入双曲线方程，得62a 2－52b 2＝1①，又因为a 2＋b 2＝62②，由①②解得a ＝4，b ＝25，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝64＝32.优解：设双曲线的实半轴长为a ，虚半轴长为b ，则根据双曲线的性质得c ＝6，b 2a ＝5，所以a 2＋b 2＝36，b 2＝5a ，即a 2＋5a －36＝0，解得a ＝4或a ＝－9(舍去)，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝64＝32.【答案】 (1)D (2)32■ 规律方法(1)椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca的值．(2)双曲线的渐近线的求法及用法①求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． ②用法：(i)可得b a 或ab的值．(ii)利用渐近线方程设所求双曲线的方程．[对点训练]1．(2019·福建省质量检查)已知双曲线C 的中心在坐标原点，一个焦点(5，0)到渐近线的距离等于2，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±23xC ．y ＝±32xD ．y ＝±2x解析：选D.设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则由题意得c ＝ 5.双曲线C 的渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，所以5bb 2＋a 2＝2，又c 2＝a 2＋b 2＝5，所以b ＝2，所以a ＝c 2－b 2＝1，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，故选D.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(53，2]B ．(1，53]C ．(1，2]D ．[53，＋∞)解析：选B.由|PF 1|＝4|PF 2|，得|PF 2|＝|PF 1|－|PF 2|3＝2a 3≥c －a ，故c ≤2a 3＋a ＝5a3，则e＝c a ≤53，又因为双曲线的离心率e >1，所以1<e ≤53. 3．已知正三角形AOB (O 为坐标原点)的顶点A ，B 在抛物线y 2＝3x 上，则△AOB 的边长是________．解析：如图，设△AOB 的边长为a ，则A (32a ，12a )，因为点A 在抛物线y 2＝3x 上，所以14a 2＝3×32a ，所以a ＝6 3. 答案：6 3考点3 直线与圆锥曲线(综合型) [知识整合]1. 直线与圆锥曲线位置关系与“Δ”的关系将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量(如y )得到方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0. ①若A ＝0，则：圆锥曲线可能为双曲线或抛物线，此时直线与圆锥曲线只有一个交点． ②若A ≠0，则：当Δ>0时，直线与圆锥曲线有两个交点(相交)；当Δ＝0时，直线与圆锥曲线有一个交点(相切)；当Δ<0时，直线与圆锥曲线没有交点(相离)．2. 直线与圆锥曲线相交时的弦长设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入，即当直线与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|， 其中|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.[典型例题]已知O 为坐标原点，点R (0，2)，F 是抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点，|RF |＝3|OF |. (1)求抛物线C 的方程；(2)过点R 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，与直线y ＝－2交于点M ，抛物线C 在点A ，B 处的切线分别记为l 1，l 2，l 1与l 2交于点N ，若△MON 是等腰三角形，求直线l 的方程．【解】 (1)因为F 是抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点， 所以点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，p2. 因为点R (0，2)，|RF |＝3|OF |，所以2－p 2＝3×p2，解得p ＝1.所以抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)依题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2(k ≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2，y ＝kx ＋2解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4k ，y ＝－2，所以M ⎝⎛⎭⎫－4k ，－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2y ，y ＝kx ＋2消去y 并整理得，x 2－2kx －4＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k ，① x 1x 2＝－4.②对y ＝x 22求导，得y ′＝x ，则抛物线C 在点A 处的切线l 1的方程为y －y 1＝x 1(x －x 1)． 由于点A 在抛物线C 上，则y 1＝x 212，所以l 1的方程为y ＝x 1x －x 212.③同理可得l 2的方程为y ＝x 2x －x 222.④由①②③④得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝－2，即点N 的坐标为(k ，－2)．所以k OM ·k ON ＝k 2×(－2k )＝－1，则OM ⊥ON .又△MON 是等腰三角形， 所以|OM |＝|ON |，即16k2＋4＝k 2＋4，解得k ＝±2. 所以直线l 的方程为y ＝2x ＋2或y ＝－2x ＋2. ■ 规律方法解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤(1)设方程及点的坐标．(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)． (3)利用根与系数的关系及判别式．(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解．[对点训练]1．过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于( )A.12 B.22 C.32D.33解析：选B.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1， 两式相减得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2＝0，变形得－b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）＝y 1－y 2x 1－x 2，即－2b 22a 2＝－12，b 2a 2＝12.所以，e ＝ca＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝22.2．(2019·成都市第二次诊断性检测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为42，离心率为13.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A ，B ，点M ，N 为椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且F 1M ∥F 2N ，直线F 1M 的斜率为26，记直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，求3k 1＋2k 2的值．解：(1)由题意，得2b ＝42，c a ＝13.又a 2－c 2＝b 2，所以a ＝3，b ＝22，c ＝1. 所以椭圆C 的标准方程为x 29＋y 28＝1.(2)由(1)可知A (－3，0)，B (3，0)，F 1(－1，0)． 由题意得，直线F 1M 的方程为y ＝26(x ＋1)．记直线F 1M 与椭圆C 的另一个交点为M ′.设M (x 1，y 1)(y 1>0)，M ′(x 2，y 2)． 因为F 1M ∥F 2N ，所以根据对称性，得N (－x 2，－y 2)．联立得⎩⎪⎨⎪⎧8x 2＋9y 2＝72y ＝26（x ＋1），消去y ，得14x 2＋27x ＋9＝0.由题意知x 1>x 2，所以x 1＝－37，x 2＝－32，k 1＝y 1x 1＋3＝26（x 1＋1）x 1＋3＝469，k 2＝－y 2－x 2－3＝26（x 2＋1）x 2＋3＝－263，所以3k 1＋2k 2＝3×469＋2×⎝⎛⎭⎫－263＝0，即3k 1＋2k 2的值为0.[练典型习题·提数学素养]一、选择题1．(2019·高考北京卷)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，则( )A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b解析：选B.由题意得，c a ＝12，所以c 2a 2＝14，又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2－b 2a 2＝14，b 2a 2＝34，所以4b 2＝3a 2.故选B.2．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：选D.设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，12×2cb＝1⇒bc ＝1，2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22，当且仅当b ＝c ＝1时，等号成立．故选D.3．若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) A ．2 B.12C.14D.18解析：选D.由题意知x 2＝12y ，则F (0，18)，设P (x 0，2x 20)，则|PF |＝x 20＋（2x 20－18）2＝4x 40＋12x 20＋164 ＝2x 20＋18， 所以当x 20＝0时，|PF |min ＝18. 4．(2019·高考天津卷)已知抛物线y 2＝4x的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C. 2D. 5解析：选D.由题意知F (1，0)，l ：x ＝－1，双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，则|AB |＝4|OF |＝4，而|AB |＝2×b a ，所以b a ＝2，所以e ＝ca＝a 2＋b 2a＝a 2＋4a 2a＝5，故选D. 5．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5解析：选A.通解：依题意，记F (c ，0)，则以OF 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －c 22＋y 2＝c 24，将圆⎝⎛⎭⎫x －c 22＋y 2＝c 24与圆x 2＋y 2＝a 2的方程相减得cx ＝a 2，即x ＝a2c，所以点P ，Q 的横坐标均为a 2c .由于PQ 是圆x 2＋y 2＝a 2的一条弦，因此⎝⎛⎭⎫a 2c 2＋⎝⎛⎭⎫|PQ |22＝a 2，即⎝⎛⎭⎫a 2c 2＋⎝⎛⎭⎫c 22＝a 2，即c 24＝a 2⎝⎛⎭⎫1－a 2c 2＝a 2b 2c 2，所以c 2＝2ab ，即a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2＝0，所以a ＝b ，因此C 的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2，故选A.优解一：记F (c ，0)．连接OP ，PF ，则OP ⊥PF ，所以S △OPF ＝12|OP |·|PF |＝12|OF |·12|PQ |，即12a ·c 2－a 2＝12c ·12c ，即c 2＝2ab ，即a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2＝0，所以a ＝b ，因此C 的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2，故选A.优解二：记F (c ，0)．依题意，PQ 是以OF 为直径的圆的一条弦，因此OF 垂直平分PQ .又|PQ |＝|OF |，因此PQ 是该圆与OF 垂直的直径，所以∠FOP ＝45°，点P 的横坐标为c2，纵坐标的绝对值为c 2，于是有2×c 2＝a ，即e ＝ca＝2，即C 的离心率为2，故选A.6．已知直线l ：y ＝kx ＋2过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 和虚轴的上端点B (0，b )，且与圆x 2＋y 2＝8交于点M ，N ，若|MN |≥25，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，6]B ．(1，62] C ．[62，＋∞) D ．[6，＋∞)解析：选C.设圆心到直线l 的距离为d (d >0)，因为|MN |≥25，所以28－d 2≥25，即0<d ≤ 3.又d ＝21＋k 2，所以21＋k 2≤3，解得|k |≥33.由直线l ：y ＝kx ＋2过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 和虚轴的上端点B (0，b )，得|k |＝b c .所以b c ≥33，即b 2c 2≥13，所以c 2－a 2c 2≥13，即1－1e 2≥13，所以e ≥62，即双曲线的离心率e 的取值范围是[62，＋∞)．故选C.二、填空题7．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为______．解析：根据对称性，不妨设A 在第一象限，A (x ，y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b 2x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4b 2＋4，y ＝4b 2＋4·b 2，所以xy ＝16b 2＋4·b 2＝b 2⇒b 2＝12，故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.答案：x 24－y 212＝18．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线l ，过M (1，0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为点B ，若AM →＝MB →，则p ＝________．解析：设直线AB ：y ＝3x －3，代入y 2＝2px 得：3x 2＋(－6－2p )x ＋3＝0，又因为AM →＝MB →，即M 为A ，B 的中点，所以x B ＋(－p 2)＝2，即x B ＝2＋p2，得p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2，p ＝－6(舍去)． 答案：29．(2019·昆明市质量检测)已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到准线的距离为d 1，到直线l ：4x －3y ＋11＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．解析：如图，设抛物线的准线为m ，焦点为F ，分别过点P ，F 作P A ⊥m ，PM ⊥l ，FN ⊥l ，垂足分别为A ，M ，N .连接PF ，因为点P 在抛物线上，所以|P A |＝|PF |，所以(d 1＋d 2)min ＝(|PF |＋|PM |)min ＝|FN |.点F (1，0)到直线l 的距离|FN |＝|4＋11|42＋（－3）2＝3，所以(d 1＋d 2)min＝3.答案：3 三、解答题10．(2019·长春市质量监测(二))已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的中心是坐标原点O ，左、右焦点分别为F 1，F 2，设P 是椭圆C 上一点，满足PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝12，椭圆C 的离心率为32. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的左焦点且倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．解：(1)由题意知，离心率e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝32，|PF 2|＝b 2a ＝12，得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由条件可知F 1(－3，0)，直线l ：y ＝x ＋3，联立直线l 和椭圆C 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3x 24＋y 2＝1，消去y 得5x 2＋83x ＋8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－835，x 1·x 2＝85，所以|y 1－y 2|＝|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝425，所以S △AOB ＝12·|y 1－y 2|·|OF 1|＝265.11．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.解：设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝⎛⎭⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32，由题设可得x 1＋x 2＝52. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x 可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－12（t －1）9.从而－12（t －1）9＝52，得t ＝－78.所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0. 所以y 1＋y 2＝2.从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13.故|AB |＝4133. 12．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其中一个顶点是抛物线x 2＝－43y 的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2，1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得b ＝3，c a ＝12，解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为过点P (2，1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在， 故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）＋1，得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.① 因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0. 整理，得2k ＋1＝0，解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32.。

衡水万卷作业卷二十七文数圆锥曲线抛物线作业专练姓名： __________班级： __________ 考号： __________题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分。

在每题给出的四个选项中，只有一个选项是切合题目要求的）1.抛物线y28x 的焦点到直线 x 3 y0 的距离是（）（A）23（B）2（ C）3（D）12.已知椭圆的中心在原点,离心率e1,且它的一个焦点与抛物线y2 4 x 的焦点重合,则此椭圆方程为2().A. x2y21B. x2y214386C. x2y21D. x2y21243.O 为坐标原点， F 为抛物线 C： y2=42x 的焦点， P 为 C 上一点，若 |PF|=4 2，则△ POF 的面积为 ()（A） 2（B）2 2（C）2 3（D）44.点 M 是抛物线y＝x2上的动点，点M 到直线 2x－y－ a＝ 0（ a 为常数）的最短距离为 5 ，则实数a的值为（）A.－3B.－ 4C.5D.65.已知直线 x y 10 与抛物线y ax2相切,则a等于()A. 1B.1C.1D.4 2346.已知点P在抛物线y24x 上，那么 P 到点 Q2, 1 的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和获得最小值时，点 P 的坐标为（）A.1, 1 B.1,1 C. 1,2 D.1,2447.已知点 P 是长方体 ABCD－ A 1B 1C1D1底面 ABCD 内一动点，此中 AA 1＝AB ＝ 1，AD ＝ 2 ，若A1P与 A 1C 所成的角为 30°，那么点 P 在底面的轨迹为（）A. 圆弧B.椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D.抛物线的一部分8.抛物线 C1 : y1x2 ( p 0) 的焦点与双曲线 C2 :x2y2 1 的右焦点的连线交C1于第一2 p3象限的点 M. 若 C1在点 M 处的切线平行于 C2的一条渐近线 , 则 p＝3(B)32343(A)8(C)(D)31639.已知点 A （ 2， 0），抛物线C： x2=4y 的焦点为F，射线 FA 与抛物线 C 订交于点M ，与其准线订交于点 N ，则 |FM| ： |MN|=A. 2:5B.1:2C.1:5D. 1:310.设抛物线y2=2x的焦点为F M（）的直线与抛物线订交于A，B两点，与抛物线的准，过点 3 ，线订交于 C，BF =2，则BCF 与SBCF=（）ACF 的面积之比SACF12C.44A. B.7D.23511.已知点 P 是抛物线y2 4 x 上的一点，设点P到此抛物线的准线的距离为d1，到直线 x 2 y10 0的距离为 d 2，则 d1 d2的最小值 ()A.5B.4C.11511D.5512.已知抛物线 C： y1x2 ( p0)的焦点与双曲线C： x2y21的右焦点的连线交 C 于第一1 2 p231象限的点 M 。

抛物线高考试题考点一 抛物线的定义和标准方程1。

(2013年新课标全国卷Ⅰ，文8)O 为坐标原点,F 为抛物线C:y 2x的焦点，P 为C 上一点，若｜PF ｜=4,则△POF的面积为( ）(A ）2（D)4解析:设P(xP ，y P ）（y P >0）由抛物线定义知，x P ，∴xP ，y P ，因此S△POF =12×.故选C.答案：C2。

(2012年四川卷，文9)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M （2，y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则｜OM ｜等于( ） （A ）（C ）4 解析:由题意设抛物线方程为y 2=2px （p 〉0），则M 到焦点的距离为x M +2p =2+2p =3,∴p=2，∴y 2=4x.∴2y =4×2，∴｜OM ｜。

故选B.答案:B3.(2011年辽宁卷,文7)已知F 是抛物线y 2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,｜AF|+｜BF ｜=3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ )(A ）34（B ）1 (C) 54（D)74解析：∵｜AF|+|BF ｜=x A +x B +12=3，∴x A +x B =52。

∴线段AB 的中点到y 轴的距离为2AB xx +=54。

故选C 。

答案：C 4.（2010年四川卷，文3)抛物线y 2=8x 的焦点到准线的距离是（ ) (A)1 （B)2 (C ）4 （D ）8 解析:抛物线y 2=8x 的焦点为（2，0)，准线方程为x=—2，焦点到准线的距离为4.故选C. 答案：C5.(2010年湖南卷，文5）设抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是（ ) (A ）4 （B)6 (C ）8 (D ）12解析：如图所示,抛物线的焦点为F(2,0）,准线方程为x=—2,由抛物线的定义知:|PF|=｜PE|=4+2=6.故选B 。

抛物线1、已知抛物线()220y px p =>的准线经过点()1,1-，则该抛物线的焦点坐标为（ ）A. ()1,0-B. ()1,0C. ()0,1-D. ()0,12、已知抛物线()22420y x x py p ==>与的焦点间的距离为2，则p 的值为（ ）A.23B.12C.4D.63、抛物线214x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ） A.1716B.1516C.0D.784、过抛物线24x y =的焦点F 作直线交抛物线于()()111222,,,P x y P x y 两点，若126y y +=，则12PP 的值为（ ）A.5B.6C.8D.105、如图，已知点(22,0)Q 及抛物线24x y =上的动点(,)P x y ，则y PQ +的最小值是（ ）A.2B.3C.4D.226、设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =<的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若OAF △（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ） A.216y x =- B.22y x =- C.24y x =-D.28y x =-7、若抛物线22(0)y px p =>上一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6，则点M 的横坐标和p 的值分别为（ ）A.9，2B.1，18C.9，2或1，18D.9，18或1，28、设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，M 为抛物线C 上的一点，O 为坐标原点，若OFM △为等腰三角形，则OFM △的周长为（ ）A.4B.12或41或49、如果12,,...,n P P P 是抛物线2:4C y x =上的点，它们的横坐标依次为12,,...,n x x x ，F 是抛物线C 的焦点.若12...10n x x x +++=，则12||||...||n PF P F P F +++=（ ） A.10n + B.20n + C.210n + D.220n +10、已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，而且6OA OB ⋅=u u u r u u u r(O 为坐标原点)，若ABO △与AFO △的面积分别为1S 和2S ，则124S S +最小值是（ ）A.2B.6C.132D.11、已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点F 倾斜角为60︒的直线l 与抛物线C 在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则AF BF的值等于__________.12、已知点()01A ，，抛物线()2:0C y ax a =>的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若:1:3FM MN =，则实数a 的值为__________. 13、已知点(1,1)M -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点.若90AMB ∠=︒，则k =__________.14、已知抛物线24y x =的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，则当4AF BF ＋取得最小值时，直线AB 的倾斜角的正弦值为________.15、如图所示，斜率为1的直线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，与抛物线交于两点,A B . M 为抛物线上的弧AB 上的动点.（1）若8AB =，求抛物线的方程； （2）求ABM S ∆的最大值.答案以及解析1答案及解析： 答案：B解析：∵()220y px p =>准线方程为2px =-，且准线过点()1,1-， ∴12p-=-，∴2p =，故抛物线方程为24y x =， ∴焦点坐标为()1,0.故选B.2答案及解析： 答案：A解析：两抛物线的焦点分别为(1,0)和(0,)2p ，2=且0p >，解得p =故选A.3答案及解析： 答案：B解析：抛物线214x y =的准线方程为116y =-，设点M 的纵坐标是y ， ∵抛物线214x y =上一点M 到焦点的距离为1， ∴根据抛物线的定义可知，点M 到准线的距离为1， 1116y ∴+=，1516y ∴=，∴点M 的纵坐标是1516.故选B.4答案及解析： 答案：C解析：设抛物线的准线为l ，则:1l y =-，过点12,P P 分别作112,PM l P M l ⊥⊥，交l 于,M N 两点，如图.由抛物线定义知1212PP PF P F =+=121211628PM P N y y +=+++=+=，故选C.5答案及解析： 答案：A解析：如图所示，过点P 作PM 垂直准线于点M ，则由抛物线的定义可知11y PQ PM PQ PF PQ +=-+=+-，当且仅当,,P F Q 三点共线时，PF PQ +最小，最小值为22(220)(01)3QF =-+-=，则y PQ +的最小值为312-=.故选A.6答案及解析： 答案：D解析：抛物线2(0)y ax a =<的焦点坐标是(,0)4a ，故直线l 的方程为2()4ay x =-，令0x =，得2a y =-，则OAF △的面积为21()()424216a a a ⨯-⨯-==，所以8a =-.故选D.7答案及解析： 答案：C解析：因为点M 到对称轴的距离为6，所以不妨设0(,6)M x .因为点M 到准线的距离为10，所以2062102px px ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得092x p =⎧⎨=⎩或0118x p =⎧⎨=⎩，故选C.8答案及解析：解析：①若MO MF =，即M 在直线12x =上，得1(,2M ，所以OFM △的周长132142L =⨯+=；②若OM OF =，设200(,)4y M y ，则4200116y y +=，解得208y =-+2,M ±，所以1MF =，所以OFM △的周长21111L =++=.故选D.9答案及解析： 答案：A解析：∵12,,...,n P P P 是抛物线2:4C y x =上的点，它们的横坐标依次为12,,...,n x x x ，F 是抛物线C 的焦点，且12...10n x x x +++=，由抛物线的性质以及焦半径公式得到||12n n n pP F x x =+=+， ∴121212||||...||(1)(1)...(1)...10n n n PF P F P F x x x x x x n n +++=++++++=++++=+.故选A.10答案及解析： 答案：B解析：设直线AB 的方程为x ty m =+，点1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 与x 轴的交点为(,0)M m .联立2x ty m y x=+⎧⎨=⎩，可得20y ty m --=.根据根与系数的关系，得12y y m ⋅=-.∵6OA OB ⋅=u u u r u u u r，∴12126x x y y +=，即21212()60y y y y ⋅+⋅-=.∵,A B 位于x 轴的两侧，∴123y y ⋅=-.∴3m =. 设点A 在x 轴的上方，则10y >.∵1(,0),4F ∴1212111143()4224S S y y y +=⨯⋅-+⨯⨯111113319()26222y y y y y =++=+≥，当且仅当11922y y =，即132y =时，取等号. ∴124S S +的最小值是6.故选B11答案及解析： 答案：3解析：设1122(,),(,)A x y B x y ，易知12x x >， 由直线l 的倾斜角为60°，且过点,02P F ⎛⎫⎪⎝⎭，得直线l的方程为02p y x ⎫-=-⎪⎭，即y p =，联立22y p y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 消去y 并整理，得22122030x px p -+=， 则1231,26x p x p ==， 则31||22311||62p pAF BF p p+==+，12答案及解析：解析：由抛物线2:C y ax =，焦点,04a F ⎛⎫⎪⎝⎭，设M 在准线上的射影为K ， 由抛物线的定义||||MF MK =， 由||:||1:3FM MN =， 则||:||1:3KM MN =，∴||:||KN KM =， 则01404FN k a a --==-，||||FN KN k KM =-=-∴4a-=-解得2a =.13答案及解析： 答案：2解析：由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为(1)(0)y k x k =-≠，由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，消去y 得22(1)4k x x -=，即2222(24)0k x k x k -++=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则21212224,1k x x x x k ++==.由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，消去x 得214(1)y y k =+，即2440y y k --=，则12124,4y y y y k+==-，由90AMB ∠=︒，得112212121212(1,1)(1,1)1()10MA MB x y x y x x x x y y y y ⋅=+-⋅+-=++++-++=u u u r u u u r，将21212224,1k x x x x k++==与12124,4y y y y k +==-代入，得2k =.14答案及解析： 答案：223解析：由题意知()1,0F ，当直线的斜率存在时， 设直线方程为()()10y k x k =-≠，由214y kx y x=-⎧⎨=⎩，消去y ，得222224()=+0k x k x k -+. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，10x >，20x >，则212224k x x k ++=，①121x x =， ②1212121221111111x x AF BF x x x x x x +++=+=+++++222224212411k k k k ++==+++.当直线的斜率不存在时，易知2AF BF ==， 故111AF BF+=. 设AF a =，BF b =，则111a b+=， 所以()11444459b a AF BF a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭+=，当且仅当2a b =时取等号， 故4a b +的最小值为9，此时直线的斜率存在，且12(1)12x x ++=， ③ 联立①②③得，12x =，212x =，k =± 故直线AB.15答案及解析：答案：（1）由条件知:2AB p l y x =-与22y px =联立消去y 得221304x px p -+=， 则123x x p +=，由抛物线定义得124AB x x p p =++=， 又因为8AB =，所以2p =，所以抛物线的方程为24y x =. （2）方法一：由（1）知4AB p =，且2:222AB p y x p l y x y px ⎧=-⎪=-⎨⎪=⎩，，消去 x 得2220y py p --=，可得(1y p =±，设200,2y M y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则((011p y p -<<+，M 在直线AB的距离d =.因为点M 在直线AB 的上方，所以200022y py p --<，所以()20022002y p y d y py p --==⋅-++，当0y p =时，max 2d p =. 则()2max 142ABM S p p ∆=⨯⨯=. 方法二：由（1）知4AB p =，且:2AB p l y x =-， 设与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为y x m =+，代入抛物线方程，得()2220x m p x m +-+=.由()22440m p m ∆=--=，得2p m =. 与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为2p y x =+，两直线间的距离为d p ==， 故ABM S ∆的最大值为21422p p ⨯⨯.。

2019届二轮（文科数学）抛物线专题卷（全国通用）1．已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，垂直于点分别为，的中点，与轴相交于点，若，则等于（）A．B．1 C．2 D．4【答案】B2．抛物线的焦点坐标是( )A．(0,1) B．(1,0) C．(0,2) D．(0,)【答案】D【解析】抛物线可化为，所以抛物线的焦点为(0,)，答案选D。

3．抛物线的焦点坐标是A．(0,1) B．(1,0) C．(0,2) D．(0,)【答案】D【解析】∵抛物线的标准方程为x2=y，∴p=，开口向上，故焦点坐标为（0，），故选：D．4．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若点是的中点，且，则线段的长为（）A．5 B．6 C．D．【答案】C【点睛】本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，平面几何知识，转化化归的思想方法.5．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上两点，，则的中点到准线的距离为A．B．2C．3 D．4【答案】C6．已知抛物线（）与双曲线（，）有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，且轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分析：因为抛物线与双曲线有相同的焦点，所以可得p与c之间的关系，7．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设与x轴的交点为M，过Q向准线作垂线，垂足为N，，，又，，8．若下图程序框图在输入时运行的结果为，点为抛物线上的一个动点，设点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；结束循环，输出，抛物线的焦点因此d1+d2=．故选：B．9．抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点，且不在直线上，为周长的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C10．抛物线的焦点与双曲线右焦点重合，又为两曲线的一个公共交点，且，则双曲线的实轴长为( )A．1 B．2 C．D．6【答案】B11．已知点，过点恰存在两条直线与抛物线有且只有一个公共点，则抛物线的标准方程为（）A．B．或C．D．或【答案】D【解析】过，过点恰存在两条直线与抛物线有且只有一个公共点，若抛物线焦点在轴上，设抛物线方程为，12．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示：由题意：在抛物线上，则，则，（1）由抛物线的性质可知，，则，因为被直线截得的弦长为，则，由，则在中，，即，代入整理得，（2），由（1）（2），解得，所以，故选B.13．已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点F，与抛物线Γ相交于A、B两点，且．（1）求抛物线Γ的方程；（2）过点的两条直线、分别交抛物线 于点C、D和E、F，线段CD和EF的中点分别为M、N．如果直线与的倾斜角互余，求证：直线MN经过一定点．【答案】（1）；（2）见解析由14．如图，已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为1. 过A点作抛物线C的两条动弦AD、AE，且AD、AE的斜率满足（1）求抛物线C的方程；（2）直线DE是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由.【答案】（1）；（2）过定点15．已知抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为3时，为正三角形.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若直线，且和抛物线有且只有一个公共点，试问直线（为抛物线上异于原点的任意一点）是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（Ⅰ）；(II)见解析.当时，直线的方程为，过点，所以直线恒过定点.16．已知抛物线的焦点，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于两点.（1）求抛物线的方程以及的值；（2）记抛物线的准线与轴交于点，若，，求的值.【答案】（1）y2=4x，2（2）则（m2+1）（16m2+8）+4m•4m+8=16m4+40m2+16，当16m4+40m2+16=40，解得，故．17．已知抛物线的焦点为，过点垂直于轴的直线与抛物线相交于两点，抛物线在两点处的切线及直线所围成的三角形面积为.(1)求抛物线的方程；(2)设是抛物线上异于原点的两个动点，且满足，求面积的取值范围.【答案】（1）；（2）.∴18．已知动圆经过定点，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设过点的直线，分别与曲线交于，两点，直线，的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线的斜率为定值.【答案】（1）；（2）【解析】19．设是坐标原点,是抛物线的焦点,是该抛物线上的任意一点，当它与轴正方向的夹角为60°时,.(1)求抛物线的方程;(2)已知,设是该抛物线上的任意一点,是轴上的两个动点,且，当取得最大值时,求的面积.【答案】(1) .(2)4.20．已知在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，，点在抛物线上，则的最小值为.【答案】21．已知抛物线的焦点为，准线为，过点斜率为的直线与抛物线交于点（在轴的上方），过作于点，连接交抛物线于点，则.【答案】2.【解析】由抛物线定义可得MF=MN，又斜率为的直线倾斜角为，,所以,即三角形MNF为正三角形，因此NF倾斜角为，由解得，即22．已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为，则此抛物线的标准方程为．【答案】.【解析】由抛物线的焦点坐标，设抛物线方程为，由，所以抛物线方程为。

2024届高考数学复习：精选好题专项（抛物线）练习[基础巩固]一、选择题1．抛物线y＝14x2的焦点到其准线的距离为()A．1 B．2C．12D．182．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为() A．(－1，0) B．(1，0)C．(0，－1) D．(0，1)3．动点M到点F(2，1)的距离和到直线l：3x＋4y－10＝0的距离相等，则动点M的轨迹为()A．抛物线B．直线C．线段D．射线4．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线x23－y2＝1的右焦点重合，则p的值为()A．－4 B．4C．－2 D．25．[2022ꞏ全国乙卷(文)，6] 设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝()A.2 B．22C．3 D．326．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p＝()A．2 B．3C．4 D．87.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为()A．y2＝8x B．y2＝4xC．y2＝2x D．y2＝x8．设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA → ꞏOB →等于( )A ．34B ．－34C ．3D ．－39．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，当A 点坐标为(3，y 0)时，△AEF 为正三角形，则此时△OAB 的面积为( )A ．433 B ．3C ．233D ．33二、填空题10．[2021ꞏ新高考Ⅰ卷]已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP ，若|FQ |＝6，则C 的准线方程为________．11．[2023ꞏ全国乙卷(理)]已知点A ()1，5 在抛物线C ：y 2＝2px 上，则A 到C 的准线的距离为________．12．已知直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为________．[强化练习]13．(多选)[2023ꞏ新课标Ⅱ卷]设O 为坐标原点，直线y ＝－3 (x －1)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则( )A ．p ＝2B ．|MN |＝83C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．△OMN 为等腰三角形 14．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点M (3，1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则△ABM 的周长为( )A ．7112 ＋26 B ．9＋26C ．9＋10D ．8312 ＋2615．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，抛物线C 有一点P ，过点P 作PM ⊥l ，垂足为M ，若等边△PMF 的面积为43 ，则p ＝________．16．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A ，B两点(点A 在x 轴上方)，则|AF ||BF | ＝________.参考答案1．B y ＝14 x 2可化为x 2＝4y ，则焦点到准线的距离为12 ×4＝2.2．B ∵y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2 ，又准线过点(－1，1)，∴－p2 ＝－1，∴p ＝2，故其焦点坐标为(1，0).3．B ∵F (2，1)在直线l ：3x ＋4y －10＝0上，∴动点M 的轨迹为过点F 且与直线l 垂直的直线．4．B ∵x 23 －y 2＝1的右焦点为(2，0)，∴p2 ＝2，p ＝4.5．B 由已知条件，易知抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.又B (3，0)，则|AF |＝|BF |＝2.不妨设点A 在第一象限，则A (x 0，2x 0 ).根据抛物线的定义可知x 0－(－1)＝2，所以x 0＝1，所以A (1，2)，所以|AB |＝（1－3）2＋（2－0）2 ＝22 .故选B.6．D 由题意，知抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0 ，椭圆的焦点坐标为(±2p ，0)，所以p 2 ＝2p ，解得p ＝8，故选D.7．B如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设准线与x 轴交于点G ，设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在Rt △ACE 中，∵|AF |＝4，|AC |＝4＋3a ，∴2|AE |＝|AC |，∴4＋3a ＝8，从而得a ＝43 ，∵AE ∥FG ，∴FG AE ＝CF AC ，即p 4 ＝48 ，得p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x .故选B.8．B 当AB 与x 轴垂直时，A ⎝⎛⎭⎫12，1 ，B ⎝⎛⎭⎫12，－1 ，OA → ꞏOB → ＝12 ×12 ＋1×(－1)＝－34 ；当AB 与x 轴不垂直时，设l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12 ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，y 2＝2x ，得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24 ＝0 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由韦达定理得x 1＋x 2＝k 2＋2k 2 ，x 1x 2＝14 ，∴OA → ꞏOB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2⎝⎛⎭⎫x 1－12 ⎝⎛⎭⎫x 2－12 ＝(1＋k 2)x 1x 2－12 k 2(x 1＋x 2)＋k 24 ＝－34 . 9．A 不妨设点A 在第一象限，如图所示，过点F 作AE 的垂线，垂足为H ，由题知当A 的坐标为(3，y 0)时△AEF 为正三角形，此时H 为AE 的中点，|AE |＝3＋p 2 ，|EH |＝p ，∴2p ＝3＋p2 ，解得p ＝2，∴y 2＝4x ，A (3，23 )，F (1，0)，∴k AF ＝3 ，直线AF 的方程为y ＝3 (x －1)，代入抛物线方程得3(x －1)2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，解得x 1＝3，x 2＝13 ，此时y 1＝23 ，y 2＝－233 ，∴S △AOB ＝S △OFB ＋S △OF A ＝12 ×1×⎝⎛⎭⎫233＋23 ＝433 ，故选A. 10．x ＝－32答案解析：抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 ，∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为p2 ，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为±p ，不妨设P (p2 ，p )，因为Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP ，所以Q 在F 的右侧， 又∵|FQ |＝6，∴Q (6＋p 2 ，0)，∴PQ →＝(6，－p )因为PQ ⊥OP ，所以PQ → ꞏOP →＝p 2 ×6－p 2＝0， ∵p >0，∴p ＝3，所以C 的准线方程为x ＝－32 . 11.94答案解析：将点A 的坐标代入抛物线方程，得5＝2p ，于是y 2＝5x ，则抛物线的准线方程为x ＝－54 ，所以A 到准线的距离为1－⎝⎛⎭⎫－54 ＝94. 12．0或1答案解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ， 得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0， 若k ＝0，满足题意；若k ≠0，则Δ＝(4k －8)2－4×4k 2＝0，得k ＝1.综上得k ＝0或k ＝1.13．AC 由题意，易知直线y ＝－3 (x －1)过点(1，0).对于A ，因为直线经过抛物线C 的焦点，所以易知焦点坐标为(1，0)，所以p2 ＝1，即p ＝2，所以A 选项正确．对于B ，不妨设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，x 1<x 2，联立方程得⎩⎨⎧y ＝－3（x －1）y 2＝4x，消去y并整理得3x 2－10x ＋3＝0，解得x 1＝13 ，x 2＝3.所以M (13 ，233 )，N (3，－23 )，所以由两点间距离公式可得|MN |＝（3－13）2－（－23－233）2 ＝163 ，故B 选项错误．对于C ，由以上分析易知，l 的方程为x ＝－1，以MN 为直径的圆的圆心坐标为(53 ，－233)，半径r ＝12 |MN |＝83 ＝53 ＋1，所以以MN 为直径的圆与l 相切，故C 选项正确． 对于D ，由两点间距离公式可得|MN |＝163 ，|OM |＝133 ，|ON |＝21 ，故D 选项错误．综上，选AC.14．B 令y ＝1，得x ＝14 ，即A ⎝⎛⎭⎫14，1 . 由抛物线的光学性质可知AB 经过焦点F ，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x .消去y ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0.则x A x B ＝1，所以x B ＝1x A＝4.|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝254 .将x ＝4代入y 2＝4x 得y ＝±4，故B (4，－4). 故|MB |＝（4－3）2＋（－4－1）2 ＝26 .故△ABM 的周长为|MA |＋|MB |＋|AB |＝⎝⎛⎭⎫3－14 ＋26 ＋254 ＝9＋26 .故选B. 15．2答案解析：设准线l 和x 轴交于N 点，PM 平行于x 轴，∠PMF ＝∠MFN ＝60°，由抛物线的定义得到|NF |＝p ，故|MF |＝2p ，故34 (2p )2＝43 ，∴p ＝2.16．3答案解析：如图所示，由题意得准线l ：x ＝－p2 .作AC ⊥l 于点C ，BD ⊥l 于点D ，BH ⊥AC 于点H ，则|AF |＝|AC |，|BF |＝|BD |，|AH |＝|AC |－|BD |＝|AF |－|BF |，因为在Rt △AHB 中，∠HAB ＝60°，所以cos 60°＝|AH ||AB | ＝|AF |－|BF ||AF |＋|BF |，即12 (|AF |＋|BF |)＝|AF |－|BF |，得|AF ||BF | ＝3.。

高中数学高考总复习抛物线习题(附参考答案)一、选择题1．(2010·湖北黄冈)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p 的x 26y 22值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4[答案]　D[解析]　椭圆中，a 2＝6，b 2＝2，∴c ＝＝2，a 2－b 2∴右焦点(2,0)，由题意知＝2，∴p ＝4.p22．已知点M 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，F 为抛物线的焦点，若以|MF |为直径作圆，则这个圆与y 轴的关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上三种情形都有可能[答案]　B[解析]　如图，由MF 的中点A 作准线l 的垂线AE ，交直线l 于点E ，交y 轴于点B ；由点M 作准线l 的垂线MD ，垂足为D ，交y 轴于点C ，则MD ＝MF ，ON ＝OF ，∴AB ＝＝OF ＋CM 2ON ＋CM2＝＝，DM 2MF 2∴这个圆与y 轴相切．3．(2010·山东文)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[答案]　B[解析]　设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点(，)，x 1＋x 22y 1＋y 22∴＝2，∵A 、B 在抛物线y 2＝2px 上，y 1＋y 22∴Error!①－②得y 12－y 22＝2p (x 1－x 2)，∴k AB ＝＝＝，∵k AB ＝1，∴，p ＝2y 1－y 2x 1－x 22py 1＋y 2p2∴抛物线方程为y 2＝4x ，∴准线方程为：x ＝－1，故选B.4．双曲线－＝1的渐近线上一点A 到双曲线的右焦点F 的距离等于2，抛物线x 29y 24y 2＝2px (p >0)过点A ，则该抛物线的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝4xC ．y 2＝xD ．y 2＝x4131321313[答案]　C[解析]　∵双曲线－＝1的渐近线方程为y ＝±x ，F 点坐标为(，0)，设A 点坐x 29y 242313标为(x ，y )，则y ＝±x ，由|AF |＝2⇒＝2⇒x ＝，y ＝±，代入23(x －13)2＋(23x )2913613y 2＝2px 得p ＝，所以抛物线方程为y 2＝x ，所以选C.21313413135．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A. B ．3 172C. D.592[答案]　A[解析]　记抛物线y 2＝2x的焦点为F ，准线是l ，由抛物线的定义知点P 到焦点(12，0)F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F 与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于＝，选A.(12)2＋221726．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3 1，则点A 的坐标为( )A ．(2,2)B ．(2，－2)22C ．(2，±)D ．(2，±2)22[答案]　D[解析]　如图，由题意可得，|OF |＝1，由抛物线定义得，|AF |＝|AM |，∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，∴＝＝3，S △AMFS △AOF 12×|AF |×|AM |×sin ∠MAF12×|OF |×|AF |×sin (π－∠MAF )∴|AM |＝3，设A ，∴＋1＝3，(y 024，y 0)y 024解得y 0＝±2，∴＝2，2y 024∴点A 的坐标是(2，±2)，故选D.27．(2010·河北许昌调研)过点P (－3,1)且方向向量为a ＝(2，－5)的光线经直线y ＝－2反射后通过抛物线y 2＝mx ，(m ≠0)的焦点，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝－2xB ．y 2＝－x 32C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x[答案]　D[解析]　设过P (－3,1)，方向向量为a ＝(2，－5)的直线上任一点Q (x ，y )，则∥a ，∴PQ→ ＝，∴5x ＋2y ＋13＝0，此直线关于直线y ＝－2对称的直线方程为5x ＋2(－4－y )x ＋32y －1－5＋13＝0，即5x －2y ＋5＝0，此直线过抛物线y 2＝mx的焦点F ，∴m ＝－4，故选D.(m4，0)8．已知mn ≠0，则方程是mx 2＋ny 2＝1与mx ＋ny 2＝0在同一坐标系内的图形可能是( )[答案]　A[解析]　若mn >0，则mx 2＋ny 2＝1应为椭圆，y 2＝－x 应开口向左，故排除mn C 、D ；∴mn <0，此时抛物线y 2＝－x 应开口向右，排除B ，选A.mn 9．(2010·山东聊城模考)已知A 、B 为抛物线C ：y 2＝4x 上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若＝－4，则直线AB 的斜率为( )FA → FB→ A ．±B ．±2332C ．±D ．±3443[答案]　D[解析]　∵＝－4，∴||＝4||，设|BF |＝t ，则FA → FB → FA → FB→ |AF |＝4t ，∴|BM |＝|AA 1|－|BB 1|＝|AF |－|BF |＝3t ，又|AB |＝|AF |＋|BF |＝5t ，∴|AM |＝4t ，∴tan ∠ABM ＝，由对称性可知，这样的直线AB 有两条，其斜率为±.434310．已知抛物线C 的方程为x 2＝y ，过点A (0，－4)和点B (t,0)的直线与抛物线C 没有12公共点，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B.∪(－∞，－22)(22，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)22D ．(－∞，－2)∪(，＋∞)22[答案]　B[解析]　由题意知方程组Error!无实数解由②得y ＝－4，代入①整理得，4xt 2x 2－＋4＝0，∴Δ＝－32<0，4xt 16t 2∴t >或t <－，故选B.2222[点评]　可用数形结合法求解，设过点A (0，－4)与抛物线x 2＝y 相切的直线与抛物线12切点为M (x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)，∵过A 点，∴－4－2x 02＝4x 0(0－x 0)，∴x 0＝±，∴y 0＝4，2∴切线方程为y －4＝±4x －8，2令y ＝0得x ＝±，即t ＝±，2222由图形易知直线与抛物线无公共点时，t <－或t >.2222二、填空题11．已知点A (2,0)、B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x上运动，则·取得最小值时AP→ BP → 的点P 的坐标是______．[答案]　(0,0)[解析]　设P，则＝，＝，·＝(－y 24，y)AP → (－y 24－2，y )BP → (－y 24－4，y )AP → BP → (－y 24－2)＋y 2＝＋y 2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)．(－y 24－4)y 4165212．(文)(2010·泰安市模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，交抛物线于A 、B 两点，且|FA |＝3，则抛物线的方程是________．[答案]　y 2＝3x[解析]　设抛物线准线为l ，作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，FQ ⊥l ，垂足分别为A 1、B 1、Q ，作BM ⊥AA 1垂足为M ，BM 交FQ 于N ，则由条件易知∠ABM ＝30°，设|BF |＝t ，则|NF |＝，|MA |＝，∵|AM |＝|QN |，∴3－＝p －，∴p ＝，∴抛物线方程为y 2＝3x .t2t ＋32t ＋32t232(理)(2010·泰安质检)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是________．[答案]　y 2＝3x[解析]　解法1：过A 、B 作准线垂线，垂足分别为A 1，B 1，则|AA 1|＝3，|BB 1|＝|BF |，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴|AC |＝2|AA 1|＝2|AF |＝6，∴|CF |＝3，∴p ＝|CF |＝，∴抛物线方程为y 2＝3x .1232解法2：由抛物线定义，|BF |等于B 到准线的距离，由|BC |＝2|BF |得∠BCB 1＝30°，又|AF |＝3，从而A在抛物线上，代入抛物线方程y 2＝2px ，解得p ＝.(p2＋32，332)32点评：还可以由|BC |＝2|BF |得出∠BCB 1＝30°，从而求得A 点的横坐标为|OF |＋|AF |＝＋或3－，∴＋＝3－，∴p ＝.12p232p2p 232p23213．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A 、B 两点．设|FA |>|FB |，则|FA |与|FB |的比值等于________．[答案]　3＋22[解析]　分别由A 和B 向准线作垂线，垂足分别为A 1，B 1，则由条件知，Error!，解得Error!，∴＝3＋2，即＝3＋2.|AA 1||BB 1|2|FA ||FB |214．(文)若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________.[答案]　2[解析]　设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则Error!，两式相减得，＝＝2，y 1－y 2x 1－x 22py 1＋y 2∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.(理)(2010·衡水市模考)设抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，经过点P (2,1)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝________.[答案]　8[解析]　过A 、B 、P 作准线的垂线AA 1、BB 1与PP 1，垂足A 1、B 1、P 1，则|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1|＝2|PP 1|＝2[1－(－3)]＝8.三、解答题15．(文)若椭圆C 1：＋＝1(0<b <2)的离心率等于，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦x 24y 2b 232点在椭圆C 1的顶点上．(1)求抛物线C 2的方程；(2)若过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C 2的切线l 1、l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．[解析]　(1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝，4－b 2由离心率e ＝＝＝得，b 2＝1.ca 4－b 2232∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，∴p ＝2，抛物线的方程为x 2＝4y .(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，∵y ＝x 2，∴y ′＝x ，1412∴切线l 1，l 2的斜率分别为x 1，x 2，1212当l 1⊥l 2时，x 1·x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4，1212由Error!得：x 2－4kx －4k ＝0，由Δ＝(－4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0.又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1.∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0.(理)在△ABC 中，⊥，＝(0，－2)，点M 在y 轴上且＝(＋)，点C CA → CB → OA → AM → 12AB→ CD → 在x 轴上移动．(1)求B 点的轨迹E 的方程；(2)过点F的直线l 交轨迹E 于H 、E 两点，(H 在F 、G 之间)，若＝，(0，－14)FH → 12HG → 求直线l 的方程．[解析]　(1)设B (x ，y )，C (x 0,0)，M (0，y 0)，x 0≠0，∵⊥，∴∠ACB ＝，CA → CB→ π2∴·＝－1，于是x 02＝2y 0①2x 0y 0－x 0M 在y 轴上且＝(＋)，AM → 12AB→ AC → 所以M 是BC 的中点，可得Error!，∴Error!把②③代入①，得y ＝x 2(x ≠0)，所以，点B 的轨迹E 的方程为y ＝x 2(x ≠0)．(2)点F，设满足条件的直线l 方程为：(0，－14)y ＝kx －，H (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，14由Error!消去y 得，x 2－kx ＋＝0.14Δ＝k 2－1>0⇒k 2>1，∵＝，即＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，FH → 12HG → (x 1，y 1＋14)12∴x 1＝x 2－x 1⇒3x 1＝x 2.1212∵x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝，∴k ＝±，14233故满足条件的直线有两条，方程为：8x ＋4y ＋＝0和8x －4y －＝0.333316．(文)已知P (x ，y )为平面上的动点且x ≥0，若P 到y 轴的距离比到点(1,0)的距离小1.(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点M (m,0)的直线交曲线C 于A 、B 两点，问是否存在这样的实数m ，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点．[解析]　(1)由题意得：－x ＝1，化简得：y 2＝4x (x ≥0)．(x －1)2＋y 2∴点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)．(2)设直线AB 为y ＝k (x －m )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Error!，得ky 2－4y －4km ＝0，∴y 1＋y 2＝，y 1·y 2＝－4m .∴x 1·x 2＝m 2，4k ∵以线段AB 为直径的圆恒过原点，∴OA ⊥OB ，∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝0.即m 2－4m ＝0⇒m ＝0或4.当k 不存在时，m ＝0或4.∴存在m ＝0或4，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点．[点评]　(1)点P 到定点F (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，即点P 到定点F (1,0)的距离与到定直线l ：x ＝－1的距离相等．∴P 点轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，∴p ＝2，∴方程为y 2＝4x .(理)已知抛物线y 2＝4x ，过点(0，－2)的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点．(1)若·＝4，求直线AB 的方程．OA→ OB → (2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点(n,0)，求n 的取值范围．[解析]　(1)设直线AB 的方程为y ＝kx －2　(k ≠0)，代入y 2＝4x 中得，k 2x 2－(4k ＋4)x ＋4＝0①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝.4k ＋4k 24k 2y 1y 2＝(kx 1－2)·(kx 2－2)＝k 2x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝－.8k ∵·＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝－＝4，∴k 2＋2k －1＝0，解得k ＝－1±.OA → OB→ 4k 28k 2又由方程①的判别式Δ＝(4k ＋4)2－16k 2＝32k ＋16>0得k >－，∴k ＝－1＋，122∴直线AB 的方程为(－1)x －y －2＝0.2(2)设线段AB 的中点的坐标为(x 0，y 0)，则由(1)知x 0＝＝，y 0＝kx 0－2＝，x 1＋x 222k ＋2k 22k ∴线段AB 的垂直平分线的方程是y －＝－.2k 1k (x －2k ＋2k 2)令y ＝0，得n ＝2＋＝＋＋22k ＋2k 22k 22k ＝22＋.(1k ＋12)32又由k >－且k ≠0得<－2，或>0，121k 1k ∴n >22＋＝2.∴n 的取值范围为(2，＋∞)．(0＋12)3217．(文)(2010·全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点K (－1,0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .(1)证明：点F 在直线BD 上；(2)设·＝，求△BDK 的内切圆M 的方程．FA → FB → 89[解析]　设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 1，－y 1)，l 的方程为x ＝my －1(m ≠0)(1)将x ＝my －1(m ≠0)代入y 2＝4x 并整理得y 2－4my ＋4＝0，从而y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4①直线BD 的方程为y －y 2＝(x －x 2)y 2＋y 1x 2－x 1即y －y 2＝4y 2－y 1(x －y 224)令y ＝0，得x ＝＝1，所以点F (1,0)在直线BD 上．y 1y 24(2)由(1)知，x 1＋x 2＝(my 1－1)＋(my 2－1)＝4m 2－2，x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝1因为＝(x 1－1，y 1)，＝(x 2－1，y 2)，·＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)FA → FB → FA → FB → ＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4＝8－4m 2，故8－4m 2＝，解得m ＝±，8943直线l 的方程为3x ＋4y ＋3＝0,3x －4y ＋3＝0.从而y 2－y 1＝±＝±，(4m )2－4×4437故＝±4y 2－y 137因而直线BD 的方程为3x ＋y －3＝0,3x －y －3＝0.77因为KF 为∠BKD 的角平分线，故可设圆心M (t,0)，(－1<t <1)，M (t,0)到直线l 及BD的距离分别为，，3|t ＋1|53|t －1|4由＝得t ＝或t ＝9(舍去)，故圆M 的半径为r ＝＝，3|t ＋1|53|t －1|4193|t ＋1|523所以圆M 的方程为2＋y 2＝.(x －19)49(理)(2010·揭阳市模考)已知点C (1,0)，点A 、B 是⊙O ：x 2＋y 2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P 为弦AB 的中点．AC → BC → (1)求点P 的轨迹T 的方程；(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：它到直线x ＝－1的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．[解析]　(1)法一：连结CP ，由·＝0知，AC ⊥BC ，∴|CP |＝|AP |＝|BP |＝|AB |，AC → BC → 12由垂径定理知|OP |2＋|AP |2＝|OA |2，即|OP |2＋|CP |2＝9，设点P (x ，y )，有(x 2＋y 2)＋[(x －1)2＋y 2]＝9，化简得，x 2－x ＋y 2＝4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，根据题意知，x 12＋y 12＝9，x 22＋y 22＝9,2x ＝x 1＋x 2,2y ＝y 1＋y 2，∴4x 2＝x 12＋2x 1x 2＋x 22,4y 2＝y 12＋2y 1y 2＋y 22故4x 2＋4y 2＝(x 12＋y 12)＋(2x 1x 2＋2y 1y 2)＋(x 22＋y 22)＝18＋2(x 1x 2＋y 1y 2)①又∵·＝0，∴(1－x 1，－y 1)·(1－x 2，－y 2)＝0AC → BC → ∴(1－x 1)×(1－x 2)＋y 1y 2＝0，故x 1x 2＋y 1y 2＝(x 1＋x 2)－1＝2x －1，代入①式得，4x 2＋4y 2＝18＋2(2x －1)，化简得，x 2－x ＋y 2＝4.(2)根据抛物线的定义，到直线x ＝－1的距离等于到点C (1,0)的距离的点都在抛物线y 2＝2px 上，其中＝1，∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ，p 2由方程组Error!得，x 2＋3x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－4，由于x ≥0，故取x ＝1，此时y ＝±2，故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．。

专题9.5 抛物线1.（2020·全国高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ）A ．2B ．3C ．6D ．9【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p =.故选：C.2．（2020·北京高三二模）焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（ ）A ．x 2＝4yB ．y 2＝4xC ．x 2＝8yD ．y 2＝8x【答案】D 【解析】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，设其标准方程为22(0)y px p =>，又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4，故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ，故选：D.3.（全国高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=，故选D.4．（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ）A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)练基础【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线22y px =的准线为圆2240x y x ++=的一条切线，则抛物线的方程为（ ）A.216y x =- B.28y x=- C.216y x= D.24y x=【答案】C 【解析】∵抛物线22y px =的准线方程为x=2p-，垂直于x 轴．而圆2240x y x ++=垂直于x 轴的一条切线为4x =-，则42p=，即8p =．故抛物线的方程为216y x =．故选：C ．6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】(x -1)2+y 2=4.【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.7.（2019·山东高三月考（文））直线l 与抛物线22x y =相交于A ，B 两点，当AB 4=时，则弦AB 中点M 到x 轴距离的最小值为______.【答案】32【解析】由题意，抛物线22x y =的焦点坐标为（0，12），根据抛物线的定义如图，所求d=111A B AF BF 113M 2222A B AB M ++--==≥=故答案为：32．8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且直线AB 的倾斜角为4π，则线段AB 的长是____，焦点F 到A ，B 两点的距离之积为_________.【答案】8 8【分析】由题意可得直线AB 的方程为1y x =-，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去y 后，利用根与系数的关系，结合抛物线的定义可求得答案【详解】解：由题意得(1,0)F ，则直线AB 的方程为1y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2610x x -+=，所以12126,1x x x x +==，所以12628AB x x p =++=+=，因为11221,122=+=+=+=+p pAF x x BF x x ，所以()()1212121116118AF BF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++=++=，故答案为：8，89．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点(),3A m -到焦点F 的距离为5，则m 的值为__________；抛物线方程为__________.【答案】答案见解析 答案见解析【分析】由于抛物线的开口方向未定，根据点(),3A m -在抛物线上这一条件，抛物线开口向下，向左、向右均有可能，以此分类讨论，利用焦半径公式列方程可得p 的值，根据点(),3A m -在抛物线上可得m 的值.【详解】根据点(),3A m -在抛物线上，可知抛物线开口向下，向左、向右均有可能，当抛物线开口向下时，设抛物线方程为22x py =-（0p >），此时准线方程为2p y =，由抛物线定义知(3)52p--=，解得4p =.所以抛物线方程为28x y =-，这时将(),3A m -代入方程得m =±当抛物线开口向左或向右时，可设抛物线方程为22y ax =（0a ≠），从p a =知准线方程为2ax =-，由题意知()25232am am⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解此方程组得11192a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，22192a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，33912a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，44912a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，综合（1）、（2）得92m =，22y x =；92m =-，22y x =-；12m =，218y x =；12m =-，218y x =-；m =±28x y =-.故答案为：92，92-，12，12-，±22y x =，22y x =-，218y x =，218y x =-，28x y =-.10.（2019·广东高三月考（理））已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.【答案】（1）10（2）3240x y +-=【解析】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.（2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()3.3FC =-- ，由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC=又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC = g g ，整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-，所以直线l 的方程为3240x y +-=.1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知M 是抛物线24y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，若以Fx 为始边，FM 为终边的角60xFM ∠=o ，则FM 等于（ ）A ．2BC．D ．4【答案】D 【分析】练提升设点200,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取()1,0a = ，可得1cos ,2FM a <>= ，求出20y 的值，利用抛物线的定义可求得FM 的值.【详解】设点()00,M x y ，其中2004y x =，则()1,0F ，2001,4y FM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取()1,0a =，则21cos ,2FM a <= ，可得4200340480y y -+=，因为20104y ->，可得204y >，解得2012y =，则20034y x ==，因此，014MF x =+=.故选：D.2.（2017·全国高考真题（文））过抛物线2:4C y x =的焦点F ，C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则点M 到直线NF 的距离为（ ）A.B.D.【答案】A 【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ，与直线MN 相交于点Q ，(1,0)F ，设||||MN MF m ==，因为||2,30PF NQM =∠= ，所以||4,||2QF QM m ==，所以42m m +=，解得：4m =，设00(,)M x y ，由焦半径公式得：014x +=，所以03x =，0y =，所以sin sin NP MNF NFP NF ∠=∠===所以点M 到直线NF 的距离为||sin 4NM MNF ⋅∠=⋅=3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=【答案】B 【解析】过Q 点作QH PM ⊥于H ，因为PQ =，由抛物线的定义得PQ =，所以在Rt PQH ∆中，4PQH π∠=，所以4PFM π∠=，所以直线PF 的斜率为1k =-，所以直线PF 的方程为()()012y x -=--，即20x y +-=，故选B.4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ，又直线l 经过1C 的焦点F ，设直线:(1)l y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则121=x x 由题意可得：1111=-=+-=AB AF BF x x ，同理2=CD x ，所以12cos 01︒⋅=⋅⋅== AB CD AB CD x x .故选C5．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线21:C y mx =与双曲线222:13y C x -=有相同的焦点，点()02,P y 在抛物线1C 上，则下列结论正确的有（ ）A ．双曲线2C 的离心率为2B ．双曲线2C 的渐近线为y x =C ．8m =D ．点P 到抛物线1C 的焦点的距离为4【答案】ACD 【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A 、B 、C 的正误，根据所得抛物线方程求0y ，即知D 的正误.【详解】双曲线2C 的离心率为2e =，故A 正确；双曲线2C 的渐近线为y =，故B 错误；由12,C C 有相同焦点，即24m=，即8m =，故C 正确；抛物线28y x =焦点为()2,0，点()02,P y 在1C 上，则04y =±，故()2,4P 或()2,4P -，所以P 到1C 的焦点的距离为4，故D 正确．故选：ACD ．6．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（）A ．当a 为任意实数时，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是243x y =B ．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x -y =0，则双曲线的标准方程为221205x y -=C ．抛物线y =ax 2(a ≠0)的准线方程14y a=-D ．已知双曲线2214x y m+=，其离心率()1,2e ∈，则m 的取值范围(-12，0)【答案】ACD 【分析】求出直线定点设出抛物方程即可判断A ；根据渐近线方程与焦点坐标求出,a b 即可判断B ；根据抛物线方程的准线方程公式即可判断C ；利用双曲线离心率公式即可判断D ．【详解】对A 选项，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点为()2,3P -，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程设为22x py =，将点()2,3P -代入可得23p =，所以243x y =，故A 正确；对B 选项，知5,2bc a==，又22225a b c +==，解得225,20a b ==，所以双曲线的标准方程为221520x y -=，故B 错；对C 选项，得21x y a =，所以准线方程14y a=-，正确；对D 选项，化双曲线方程为2214x y m-=-，所以()1,2e =，解得()12,0m ∈-，故正确．故选：ACD7．（2021·全国高二课时练习）已知点M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，若点M 到两定点(,)A p p ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和最小，则点M 的坐标为______．【答案】,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，根据抛物线的定义可得||||MF MB =，易知当A ，B ，M 三点共线时||MB MA +取得最小值且为||AB ，进而可得结果.【详解】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，由抛物线的定义，知点M 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点M 到准线的距离相等，即||||MF MB =，所以||||||||MF MA MB MA +=+，易知当A ，B ，M 三点共线时，||MB MA +取得最小值，所以min 3(||||)||2p MF MA AB +==，此时点M 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭．故答案为：2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，8．（2021·全国高二课时练习）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为______.【分析】设=AF a ，=BF b ，根据中位线定理以及抛物线定义可得()12MN a b =+，在AFB △中，)a b +，即可求得MN AB 的最大值．【详解】设=AF a ，=BF b ，作AQ 垂直抛物线的准线于点Q ，BP 垂直抛物线的准线于点P .由抛物线的定义，知AF AQ =，BF BP =.由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab =+=︒=++=+-.又22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()()22221344a b ab a b a b a b +-≥+-+=+，当且仅当a b =时，等号成立，∴)a b +=，即MN AB的最大值为9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________.【答案】1,02⎛⎫⎪⎝⎭9【解析】抛物线C ：22y x =的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭．过A 作AM ⊥准线交准线于M ，过B 作BN ⊥准线交准线于N ，过P 作PK ⊥准线交准线 于K ，则由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+．再根据P 为线段AB 的中点，119(||||)||4222AM BN PK +==+=，∴9AF BF +=，故答案为：焦点坐标是1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，9AF BF +=．10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，抛物线过点(),1P p .（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；（Ⅱ）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上.【答案】（Ⅰ）抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）由221p p =⨯，得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-.（Ⅱ）根据题意直线AB 的斜率一定存在，又焦点()0,1F ，设过F 点的直线方程为1y kx =+，联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，得，2440x kx --=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x =-.∴()22221212122168x x x x x x k +=+-=+.由214y x =得，1'2y x =，过A ，B 的抛物线的切线方程分别为()()1112221212y y x x x y y x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相加，得()()2212121148y x x x x x =+-+，化简，得()221y kx k =-+，即()21y k x k =--，所以，两条切线交于点()2,1k -，该点显然在抛物线C 的准线l ：1y =-上.1．（2021·全国高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+p =（ ）A ．1B ．2C．D ．4【答案】B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值.【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d 解得：2p =(6p =-舍去).故选：B.2．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D|AB ．则双曲线的离心率为（ ）ABC ．2D ．3练真题【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22bAB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.3．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）．A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP【答案】B 【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.4.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______.【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果.【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±,不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧，又||6FQ = ，(6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=-u u u r 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅= 2602p p ⨯-=,0,3p p >∴=Q ，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.5．（2020·山东海南省高考真题）C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =-代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-=解法二：10036640∆=-=>设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=,过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1636．（2020·浙江省高考真题）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【答案】（Ⅰ）1(,0)32；【解析】（Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩，1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++，由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++，又22222()220y pxy p y m y p y pm x y m λλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩，012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142, 22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-+222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤，所以，p，此时A .法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m x m+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…，所以当m t ==时，p .。