三角函数图像性质应用

高中三角函数在几何中的应用解析三角函数是数学中重要的概念之一，它不仅在代数中有广泛的应用，也在几何中发挥着重要的作用。

本文将从几何的角度解析高中三角函数在几何中的应用，包括图形的旋转、角度的测量和直角三角形的性质等方面。

1. 图形的旋转与三角函数在几何中，我们经常需要讨论图形的旋转问题。

三角函数可以帮助我们描述旋转过程中图形的位置与形状的变化。

以单位圆为例，如果我们将单位圆绕原点逆时针旋转一个角度θ，那么圆上某一点P(x, y)在旋转后的位置可以通过三角函数来表示。

假设旋转后的点为P'(x', y')，则有以下关系：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ通过这些关系，我们可以利用三角函数来计算图形在旋转过程中的位置坐标，进而研究图形的旋转性质。

2. 角度的测量与三角函数在几何中，我们经常需要测量角度大小，而三角函数可以帮助我们进行角度的测量。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

我们可以利用这些函数来计算角度的值。

例如，在直角三角形中，角度的正弦值可以表示为对边与斜边的比值，余弦值可以表示为邻边与斜边的比值，而正切值可以表示为对边与邻边的比值。

通过三角函数的计算，我们可以准确地获得各种角度的大小，进而帮助我们解决几何中的问题。

3. 直角三角形的性质与三角函数直角三角形是几何中最基础的三角形，而三角函数恰好与直角三角形的性质相对应。

在直角三角形中，根据勾股定理可知，两个直角边的平方和等于斜边的平方。

利用三角函数的关系，我们可以用三角函数的数值表达式来表示这一关系。

以正弦函数为例，根据定义，正弦函数的值可以表示为对边与斜边的比值，而根据勾股定理，这一比值可以表示为直角边与斜边的比值的平方。

通过这种关系，我们可以发现三角函数与直角三角形的性质之间存在着紧密的联系。

综上所述，高中三角函数在几何中的应用是广泛而重要的。

常见三角函数图像及其性质三角函数介绍正弦函数主词条：正弦函数格式：sin（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是csc（θ）的倒数函数图像：波形曲线值域：[]1,1-余弦函数主词条：余弦函数格式：cos（θ）作用：在直角三角形中，将大小为（单位为弧度）的角邻边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sec（θ）的倒数函数图像：波形曲线值域：[]1,1-正切函数主词条：正切函数格式：tan（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cot（θ）的倒数。

函数图像：上图平面直角坐标系反映值域：()∞-∞，+余切函数主词条：余切函数格式：cot（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度比对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是tan（θ）的倒数值域：()∞-∞，+正割函数主词条：正割函数格式：sec（θ）作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cos（θ）的倒数函数图像：上图平面直角坐标系反映值域：(][)∞-1-，1∞，+余割函数主词条：余割函数格式：csc（θ）作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sin（θ）的倒数值域：(][)∞-1-∞，+，1。

－φ－φ1．y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R振幅A周期2πT＝ω频率1ωf＝T＝2π相位ωx＋φ初相φ2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x0－φωπ2ωπ－φω3π2ω2π－φωωx＋φy＝A sin(ωx＋φ)π2Aπ3π2－A2π0 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤如下：【思考辨析】(2)y ＝sin ⎝x －4⎭的图象是由 y ＝sin ⎝x ＋4⎭的图象向右平移个单位得到的．(√ )1．y ＝2sin ⎝2x －4⎭的振幅、频率和初相分别为2．已知函数 f (x )＝sin ⎝2x ＋6⎭.若 y ＝f (x －φ) (0<φ< )是偶函数，则 φ＝解析 因为 y ＝f (x －φ)＝sin ⎣2(x －φ)＋6⎦＝sin ⎝2x －2φ＋6⎭是偶函数，所以－2φ＋ ＝ ＋k π， k ∈Z ，得 φ＝－ － ，k ∈Z .又 0<φ< ，所以 φ＝ .3．(2015· 湖南改编)将函数 f (x )＝sin 2x 的图象向右平移 φ⎝0＜φ＜2⎭个单位后得到函数 g (x )的]判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1) 利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( × )⎛ π⎫ ⎛ π⎫ π 2(3)由图象求解析式时，振幅 A 的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的．( √ )(4)函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( × )(5)函数 y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为 T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ )⎛ π⎫1 π答案 2，π，－4．⎛ π⎫ π 2.答案π3⎡ π⎤ ⎛ π⎫ π π 6 2π k π π π6 2 2 3⎛ π⎫π图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2 的 x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝3，则 φ＝.答案π6解析 因为 g (x )＝sin [2 x －φ ＝sin(2x －2φ)，所以|f (x 1)－g (x 2)|＝|sin 2x 1－sin(2x 2－2φ)|＝2.因为－1≤sin 2x 1≤1，－1≤sin(2x 2－2φ)≤1，所以 sin 2x 1 和 sin(2x 2－2φ)的值中，一个为 1，另一个为－1，不妨取 sin 2x 1＝1，sin(2x 2－2φ)π π＝－1，则 2x 1＝2k 1π＋2，k 1∈Z,2x 2－2φ＝2k 2π－2，k 2∈Z,2x 1－2x 2＋2φ＝2(k 1－k 2)π＋π，(k 1⎪⎪因为0<φ<，所以0<－φ<，则φ＝.答案y＝10sin⎝8x＋4⎭＋20，x∈[6,14]所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20，所以ω＝.又×10＋φ＝2π，4所以y＝10sin⎝8x＋4⎭＋20，x∈[6,14]．5．(2014·安徽)若将函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，答案3π－k2)∈Z，π得|x1－x2|＝⎪(k1－k2)π＋2－φ⎪.πππ222ππ故当k1－k2＝0时，|x1－x2|min＝2－φ＝3，π64．(教材改编)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin(ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式为．⎛π3π⎫解析从图中可以看出，从6～14时的是函数y＝A sin(ωx＋φ)＋b的半个周期，121212π又2×ω＝14－6，π8π83π解得φ＝，⎛π3π⎫π4则φ的最小正值是．8解析∵函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移φ个单位得到g(x)＝sin[2(x－φ)＋]＝sin(2x＋又∵g(x)是偶函数，∴－2φ＝kπ＋(k∈Z)．∴φ＝－－(k∈Z)．当k＝－1时，φ取得最小正值.例1已知函数y＝2sin⎝2x＋3⎭.(3)说明y＝2sin⎝2x＋3⎭的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．解(1)y＝2sin⎝2x＋3⎭的振幅A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝.(2)令X＝2x＋，则y＝2sin⎝2x＋3⎭＝2sin X.6y＝2sin⎝2x＋3⎭πππ444－2φ)，ππ42kππ283π8题型一函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及变换⎛π⎫(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；⎛π⎫⎛π⎫2ππ23π⎛π⎫3列表如下：xXy＝sinX⎛π⎫π－π12π212π3π7π123π2－1－25π62π描点画出图象，如图所示：(3)方法一 把 y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移 个单位长度，得到 y ＝sin ⎝x ＋3⎭的图象； 再把 y ＝ sin ⎝x ＋3⎭ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的sin ⎝2x ＋3⎭的图象；最后把 y ＝sin ⎝2x ＋3⎭上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变 )，即可得到 y ＝2sin ⎝2x ＋3⎭的图象．方法二 将 y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变)，得到 y ＝sin 2x再将 y ＝sin 2x 的图象向左平移 个单位长度，得到 y ＝sin ⎣2⎝x ＋6⎭⎦＝sin ⎝2x ＋3⎭的图象；再将 y ＝sin ⎝2x ＋3⎭的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍(横坐标不变)，即得到 y ＝2sin ⎝2x ＋3⎭的图象．设 z ＝ωx ＋φ，由 z 取 0， ，π， π，2π 来求出相应的 x ，通过列表，计算得出五点坐标，描(1)把函数 y ＝sin(x ＋ )图象上各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，再将图象向右平移 个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为(填正确的序号)．①x ＝－ ；②x ＝－ ；③x ＝ ；④x ＝ .(2)设函数 f (x )＝cos ωx ( ω>0)，将 y ＝f (x )的图象向右平移 个单位长度后，所得的图象与原图π ⎛ π⎫ 3⎛ π⎫ 1 2倍 ( 纵坐标不变 ) ，得到 y ＝⎛ π⎫⎛ π⎫⎛ π⎫12的图象；π ⎡ ⎛ π⎫⎤ ⎛ π⎫ 6⎛ π⎫⎛ π⎫思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作 y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，π 3 2 2点后得出图象．(2)图象变换：由函数 y ＝sin x 的图象通过变换得到 y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．π 162π3π π π π2 4 8 4π3象重合，则 ω 的最小值等于．答案 (1)① (2)6解析(1)将y＝sin(x＋)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(2x＋)；再将图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin[2(x－)＋]＝sin(2x－)，故x 2(2)由题意可知，nT＝(n∈N*)，例2(1)已知函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象上一个最高点的坐标为(2，2)，答案(1)y＝2sin⎝8x＋4⎭(2)f(x)＝2sin(2x＋)⎫解析(1)由题意得A＝2，＝6－2，所以T＝16，ω＝＝.又sin⎝8×2＋φ⎭＝1，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)．又因为|φ|<，所以φ＝.41234π162πππππ63362π＝－是其图象的一条对称轴方程．π32ππ∴n·ω＝3(n∈N*)，∴ω＝6n(n∈N*)，∴当n＝1时，ω取得最小值6.题型二由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式π2由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x轴交于点(6,0)，则此函数的解析式为．(2)函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为．⎛ππ⎫π3T2ππ⎛ππ4T84πππ224(2)由题图可知A＝2，T7πππ＝－＝，所以T＝π，故ω＝2，因此f(x)＝2sin(2x＋φ)，又⎝12π，－ 2⎭为最小值点， ∴2× π＋φ＝2k π＋ ，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋ ，k ∈Z ，∴φ＝ .故 f (x )＝ 2sin(2x ＋ )．则 A ＝ ，b ＝ .(2)求 ω，确定函数的最小正周期 T ，则可得 ω＝ . “最大值点”(即图象的“峰点”)时 ωx ＋φ＝ ；“最小值点”(即图象的“谷点”)时 ωx ＋φ＝ .函数 f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ω＞0，－2＜φ＜2⎭的部分图象如图所示，则 φ＝3解析 ∵ ＝ π－ π，⎛ 7 ⎫7 3π12 2π3又|φ|＜π，π3π3思维升华 确定 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求 A ，b ，确定函数的最大值 M 和最小值 m ，M －m M ＋m2 22πT(3)求 φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时 A ，ω，b 已知)或代入图象与直线 y ＝b 的交点求 解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定 φ 值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：π23π 2π答案 －T 1152 12 12∴T ＝π.2π又 T ＝ ω (ω＞0)，2π∴ ω ＝π，⎛ ππ⎫.由五点作图法可知当x＝π时，2即2×π＋φ＝，∴φ＝－.y)．若初始位置为P0⎝2，⎭，当秒针从P(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐答案y＝sin⎝－30t＋6⎭位是.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T＝⎪ω⎪＝60，所以|ω|＝π⎪2π⎪ππ63030所以y＝sin⎝－30t＋6⎭.例4已知关于x的方程2sin2x－3sin2x＋m－1＝0在⎝2，π⎭上有两个不同的实数根，则m ∴ω＝2.512πωx＋φ＝，5π122π3题型三三角函数图象性质的应用命题点1三角函数模型的应用例3如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，⎛31⎫2标y与时间t的函数关系式为．⎛ππ⎫解析设点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为y＝sin(ωt＋φ)．由题意可得，函数的初相，即ω＝－，⎛ππ⎫命题点2方程根(函数零点问题)⎛π⎫的取值范围是．答案(－2，－1)解析方程2sin2x－3sin2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋3sin2x＝cos2x＋3sin2x＝2sin⎝2x＋6⎭，x∈⎝2，π⎭.设2x＋＝t，则t∈⎝6π，6π⎭，6＝sin t，t∈⎝6π，6π⎭，有两个不同的实数根．∴y＝和y＝sin t，t∈⎝6π，6π⎭的图象有两个不同交点，如图：2由图象观察知，的范围为(－1，－)，解析由例4知，的范围是⎣－1，2⎭，∴－2≤m<1，图象的两相邻对称轴间的距离为.(1)求f⎝8⎭的值；(2)求函数y＝f(x)＋f⎝x＋4⎭的最大值及对应的x的值．＝2⎣2＝2sin⎝ωx＋φ－6⎭.⎛π⎫⎛π⎫π⎛713⎫∴题目条件可转化为m⎛713⎫2m⎛713⎫m122故m的取值范围是(－2，－1)．引申探究例4中，“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是．答案[－2,1)m⎡1⎫2∴m的取值范围是[－2,1)．命题点3图象性质综合应用例5已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y＝f(x)π2⎛π⎫⎛π⎫解(1)f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)⎡31⎤sin(ωx＋φ)－2cos(ωx＋φ)⎦⎛π⎫因为f(x)是偶函数，则 φ－ ＝ ＋k π(k ∈Z )，所以 φ＝ ＋k π(k ∈Z )，又因为 0＜φ＜π，所以 φ＝ ，ωx ＋＝2cos ωx .所以 f (x )＝2sin 2⎭⎝因此 f ＝2cos ＝ 2.⎝8⎭x ＋(2)y ＝2cos 2x ＋2cos 2⎣ ⎝ 4⎭⎦2x ＋＝2cos 2x ＋2cos 2⎭⎝－2x ＝2 2sin ⎝4 ⎭2x －＝－2 2sin4⎭⎝令 2x － ＝2k π－ (k ∈Z )，y 有最大值 2 2，所以当 x ＝k π－ (k ∈Z )时，y 有最大值 2 2.设函数 f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－ <φ< )的图象关于直线 x ＝ 对称，它的周期①f (x )的图象过点(0， )；π π6 22π32π3⎛ π⎫ 2π π由题意得 ω ＝2· 2，所以 ω＝2.故 f (x )＝2cos 2x .⎛π⎫ π4⎡ ⎛ π⎫⎤⎛ π⎫＝2cos 2x －2sin 2x⎛π ⎫⎛ π⎫ π π4 2π8思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题．(2)方程 根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究 y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将 ωx ＋φ 视 为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．π π 2π2 2 3是 π，则下列说法正确的是．(填序号)32②f (x )在[ ， ]上是减函数；③f (x )的一个对称中心是( ，0)；∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，f ( )＝3sin( ＋φ)，则 sin( ＋φ)＝1 或－1.又 φ∈(－ ， )， ＋φ∈( ， π)，∴ ＋φ＝ ⇒φ＝ ，∴f (x )＝3sin(2x ＋ )．①：令 x ＝0⇒f (x )＝ ，正确．②：令 2k π＋ <2x ＋ <2k π＋ ，k ∈Z⇒k π＋ <x <k π＋ ，k ∈Z .令 k ＝0⇒ <x < ，即 f (x )在( ， )上单调递减，而在( ， )上单调递增，错误．③：令 x ＝ ⇒f (x )＝3sin π＝0，正确．④：应平移 个单位长度，错误．典例 (14 分)已知函数 f (x )＝2 3sin( ＋ )·cos( ＋ )－sin(x ＋π)．π 2π12 35π12④将 f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数 y ＝3sin ωx 的图象．答案 ①③2π解析 ∵周期为 π，∴ ω ＝π⇒ω＝2，2π 4π3 34π3π π 4π 5π 112 23 6 64π 3π π3 2 6π 632π π 3π2 6 2π 2π6 3π 2π63π 2π π π6 3 12 65π12π124．三角函数图象与性质的综合问题x π x π2 4 2 4(1)求 f (x )的最小正周期；(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上(2)将f(x)解析式中的x换成x－，得g(x)，然后利用整体思想求最值．解(1)f(x)＝23sin(＋)·cos(＋)－sin(x＋π)＝3cos x＋sin x[4分]＝2sin(x＋)，[6分]于是T＝＝2π.[7分](2)由已知得g(x)＝f(x－)＝2sin(x＋)，[9分]∵x∈[0，π]，∴x＋∈[，]，∴sin(x＋)∈[－，1]，[12分]∴g(x)＝2sin(x＋)∈[－1,2]．[13分]a sinα＋b cosα＝a2＋b2sin(α＋φ)(其中tanφ＝)，或a sinα＋b cosα＝a2＋b2cos(α－φ)(其中tanφ＝)，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注．(sin x·aπ6的最大值和最小值．思维点拨(1)先将f(x)化成y＝A sin(ωx＋φ)的形式再求周期；π6规范解答xπxπ2424π32π1ππ66ππ7π666π162π6故函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[14分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤：第一步：(化简)将f(x)化为a sin x＋b cos x的形式；第二步：(用辅助角公式)构造f(x)＝a2＋b2·b＋cos x·)；a2＋b2a2＋b2第三步：(求性质)利用f(x)＝a2＋b2sin(x＋φ)研究三角函数的性质；第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．温馨提醒(1)在第(1)问的解法中，使用辅助角公式baab(2)求g(x)的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解．±1．函数y＝cos⎝2x－3⎭的部分图象可能是⎫[方法与技巧]1．五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化．2．由图象确定函数解析式由图象确定y＝A sin(ωx＋φ)时，φ的确定是关键，尽量选择图象的最值点代入；若选零点代入，应根据图象升降找“五点法”作图中第一个零点．3．对称问题函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x，A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)．[失误与防范]1．由函数y＝sin x的图象经过变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要把x前面的系数提取出来．2．复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看做一个整体．若ω<0，要先根据诱导公式进行转化．3．函数y＝A sin(ωx＋φ)在x∈[m，n]上的最值可先求t＝ωx＋φ的范围，再结合图象得出y ＝A sin t的值域．A组专项基础训练(时间：40分钟)⎛π．2x －，∴当2x － ＝0，解析∵y ＝cos 3⎭⎝即 x ＝ 时，函数取得最大值 1，结合图象看，可使函数在 x ＝ 时取得最大值的只有④. 解析 取 K ，L 中点 N ，则 MN ＝ ，因此 A ＝ .由 T ＝2 得 ω＝π.∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝ ，∴f (x )＝ cos πx ，3.已知函数 f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|< )的部分图象如图所示，则函数 解析 由函数的图象可得 T ＝ π－ π，又图象过点( π，2)，∴2sin(2× π＋φ)＝2， ∴φ＝－ ＋2k π，k ∈Z ，∵|φ|< ，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则 f ( )的值为．答案3 ∴f ( )＝ cos ＝ .答案 [k π－ ，k π＋ ]，k ∈Z答案 ④⎛ π⎫ π 3π π6 62．设偶函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，1641212π 2121 1 π 3 62 6 4π2f (x )的单调递增区间是．π 5π12 121 2 54 3 12∴T ＝π，则 ω＝2.5 512 12π3π2∴取 k ＝0，则 φ＝－ ，即得 f (x )＝2sin(2x － )，∴f (x )的单调增区间为 2k π－ ≤2x － ≤2k π＋ ，k ∈Z ，即单调递增区间为[k π－ ，k π＋ ]，k ∈Z .4．已知曲线 f (x )＝sin ωx ＋ 3cos ωx (ω＞0)相邻的两条对称轴之间的距离为 ，且曲线关于点 (x 0,0)中心对称，若 x 0∈⎣0，2⎦，则 x 0＝＝2⎝ sin ωx ＋ ＝2sin ⎝ωx ＋3⎭.∵曲线 f (x )＝2sin ⎝ωx＋3⎭相邻的两条对称轴之间的距离为 ，∴f (x )＝2sin ⎝2x ＋3⎭. 又 x 0∈⎣0，2⎦，∴x 0＝ . 5．函数 f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝|φ|＜2⎭的图象向左平移 个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数 f (x )在⎣0，2⎦上的最小值为 答案 － 3解析 由函数 f (x )的图象向左平移 个单位得 g (x )＝sin ⎝2x ＋φ＋3⎭的图象，π π3 3π π π2 3 2π 5π12 12π2⎡ π⎤.答案π3解析 f (x )＝sin ωx ＋ 3cos ωx⎛1 2 3 ⎫ 2 cosωx ⎭⎛ π⎫⎛ π⎫ π 22π∴最小正周期 T ＝π＝ ω ，∴ω＝2，⎛ π⎫∵曲线关于点(x 0,0)中心对称；π∴2x 0＋3＝k π(k ∈Z )，k π π∴x 0＝ 2 －6(k ∈Z )，⎡ π⎤ π 3⎛ π⎫ π 6⎡ π⎤．2π ⎛ π⎫ 6因为是奇函数，所以 φ＋ ＝k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜ ，所以 φ＝－ ，2x －.所以 f (x )＝sin 3⎭⎝0，，所以 2x － ∈ － ，，又 x ∈⎣ 2⎦ ⎣ 33 ⎦ ∴ω＝ ＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．，10 ，∵图象过点⎝300⎭∴sin( ＋φ)＝1， ＋φ＝2k π＋ ，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋ ，k ∈Z ，又∵0<φ< ，∴φ＝ .100πt ＋，∴I ＝10sin6⎭⎝所以当 x ＝0 时，f (x )取得最小值为－ 3.ω>0,0<φ< ) 的图象如右图所示，则当 t ＝秒时，电流强度是解析由图象知 A ＝10， ＝ － ＝ ， ∴10sin(100π× ＋φ)＝10，当 t ＝ 秒时，I ＝－5 安．7．若函数 f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0 且|φ|< )在区间⎣6， 3 ⎦上是单调递减函数，且函数从 1 减小2到－1，则 f ⎝4⎭＝ .答案3π3π π2 3⎛ π⎫⎡ π⎤ π ⎡ π 2π⎤ 326. 电流强度 I ( 安 ) 随时间 t ( 秒 ) 变化的函数I ＝ A sin(ωt ＋ φ)(A >0 ，π 12 100安．答案 －5T4 1 12 300 300 1002πT⎛ 1 ⎫ 1300π π π3 3 2π6π π2 6⎛ π⎫1100π ⎡π 2π⎤⎛π⎫2解析由题意可得，函数的周期为2×⎝3－6⎭＝π，⎛⎫∴f(x)＝sin⎝2x＋6⎭，∴f⎝4⎭＝sin⎝2＋6⎭＝cos＝.8．已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)在一个周期内的图象如图所示．若方程可得φ＝答案或π解析由图象可知y＝m和y＝f(x)图象的两个交点关于直线x＝或x＝π对称，9．(2015·天津)已知函数f(x)＝sin2x－sin2⎝x－6⎭，x∈R.(2)求f(x)在区间⎣－3，4⎦上的最大值和最小值．1－cos⎝2x－3⎭解(1)由已知，有f(x)＝－⎛sin2x－所以f(x)的最小正周期T＝＝π.⎛2ππ⎫2π即ω＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)．πππ由sin⎝2×6＋φ⎭＝1，|φ|<26，⎛π⎫⎛π⎫⎛ππ⎫π362π2f(x)＝m在区间[0，π]上有两个不同的实数x1，x2，则x1＋x2的值为．π433π263π4∴x1＋x2＝3或3π.⎛π⎫(1)求f(x)的最小正周期；⎡ππ⎤⎛π⎫1－cos2x221⎛13＝2⎝2cos2x＋2⎫1sin2x⎭－2cos2x＝311π⎫44cos2x＝2sin⎝2x－6⎭.2π2⎡ππ⎤⎡ππ⎤⎛π⎫1 (2)因为f(x)在区间⎣－3，－6⎦上是减函数，在区间⎣－6，4⎦上是增函数，且f⎝－3⎭＝－4，4 所以 f (x )在区间⎣－3，4⎦上的最大值为 最小值为－ .10．设函数 f (x )＝ 3－ 3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且 y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近 的对称轴的距离为 .(2)求 f (x )在区间⎣π， 2 ⎦上的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝ 3－ 3sin 2ωx －sin ωx cos ωx＝ － 3× － sin 2ωx ＝ 3 cos 2ωx － sin 2ωx＝－sin ⎝2ωx －3⎭.依题意知 ＝4× ，ω>0，所以 ω＝1.(2)由(1)知 f (x )＝－sin ⎝2x －3⎭.当 π≤x ≤ 时， ≤2x － ≤ .⎛2 故 f (x )在区间⎣π， 2 ⎦上的最大值和最小值分别为 ，－1.11．已知函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|< ，ω>0)的图象的一部分如图所⎛ π⎫1⎛π⎫3f ⎝－6⎭＝－2，f ⎝4⎭＝，⎡ π π⎤34 ，1 22π 4(1)求 ω 的值； ⎡ 3π⎤231－cos 2ωx 1 2 2 2 12 2⎛π⎫2π π 2ω 4⎛ π⎫3π 5π π 8π 2 3 3 3 所以－ 3 π⎫2 ≤sin ⎝2x －3⎭≤1.所以－1≤f (x )≤ 3.⎡ 3π⎤3 2B 组 专项能力提升(时间：20 分钟)π 2示，则该函数的解析式为 ．答案 f (x )＝2sin ⎝2x ＋6⎭∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即 sin φ＝ .∵|φ|< ，∴φ＝ .又∵ π 是函数的一个零点，且是图象递增穿过 x 轴形成的零点，∴ ω＋ ＝2π，∴ω＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝2x ＋6⎭. 的交点中，若相邻交点距离的最小值为 ，则 f (x )的最小正周期为．解析 f (x )＝ 3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋ )(ω>0)．由 2sin(ωx ＋ )＝1 得 sin(ωx ＋ )＝ ，∴ωx ＋ ＝2k π＋ 或 ωx ＋ ＝2k π＋ π(k ∈Z )．故 f (x )的最小正周期 T ＝ ＝π.13．已知函数 f (x )＝cos ⎝3x ＋3⎭，其中 x ∈⎣6，m ⎦，若 f (x )的值域是⎣－1，－ 答案 ⎣ 9 ，18⎦⎛ π⎫解析 观察图象可知：A ＝2 且点(0,1)在图象上，1 π π2 2 611 11π π12 12 6⎛ π⎫12．(2014· 天津改编)已知函数 f (x )＝ 3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线 y ＝f (x )与直线 y ＝1π3答案 ππ6π π 16 6 2π π π 56 6 6 6π π π 5令 k ＝0，得 ωx 1＋6＝6，ωx 2＋6＝6π，2π∴x 1＝0，x 2＝3ω.π 2π π由|x 1－x 2|＝3，得3ω＝3，∴ω＝2.2π2值范围是．⎡2π 5π⎤解析 画出函数的图象．⎛ π⎫ ⎡π ⎤ ⎡ 3⎤ 2 ⎦ ，则 m 的取由 x ∈⎣6，m ⎦，可知 ≤3x ＋ ≤3m ＋ ，且 f ⎝ 9 ⎭＝cos π＝－1，＝－ 要使 f (x )的值域是⎣－1，－2 ⎦ 所以 π≤3m ＋ ≤ π，则 ≤m ≤ ，即 m ∈⎣ 9 ，18⎦.14．已知 f (x )＝sin ⎝ωx ＋3⎭ (ω>0)，f ⎝6⎭＝f ⎝3⎭，且 f (x )在区间⎝6，3⎭上有最小值，无最大值， 答案 146 3 π解析 依题意，x ＝ ＝ 时，y 有最小值，∴sin ⎝4ω＋3⎭＝－1，∴ ω＋ ＝2k π＋ (k ∈Z )，∴ω＝8k ＋ (k ∈Z )，∵f (x )在区间⎝6，3⎭上有最小值，无最大值， 15．已知函数 f (x )＝ 3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx － (ω>0)，其最小正周期为 . (2)将函数 f (x )的图象向右平移 个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到函数 y ＝g (x )的图象，若关于 x 的方程 g (x )＋k ＝0 在区间[0， ]上有且只有一解 (1)f (x )＝ 3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －⎡π ⎤ 5π π π 6 3 3⎛π⎫ 5π 3 因为 f ⎝6⎭＝cos 6 2⎛2π⎫，⎡ 3⎤ ，π 7 2π 5π3 6 9 18⎡2π 5π⎤⎛ π⎫ ⎛π⎫ ⎛π⎫ ⎛π π⎫则 ω＝.3π π ＋ 2 4⎛π π⎫π π 3π4 3 2143⎛π π⎫π π π 14 ∴3－4<ω，即 ω<12，令 k ＝0，得 ω＝ 3 .1 π2 2(1)求 f (x )的表达式；π8π2个实数解，求实数 k 的取值范围．12＝sin2ωx＋－＝sin(2ωx＋)，所以ω＝2，所以f(x)＝sin(4x＋)．(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝sin(4x－)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(2x－)的图象，所以g(x)＝sin(2x－)，因为0≤x≤，所以－≤2x－≤，cos2ωx＋11所以g(x)∈[－3又g(x)＋k＝0在区间[0，]上有且只有一个实数解，即函数y＝g(x)与y＝－k在区间[0，]上≤－k<或－k＝1，解得－3<k≤或k＝－1，，]∪{－1}.3π2226π2πππ由题意知f(x)的最小正周期T＝2，T＝2ω＝ω＝2，π6ππ83ππ33πππ2π23332，1]．ππ22有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32233 22所以实数k的取值范围是(－33 22。

三角函数的图像与性质一、知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )π3.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.(3).对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( )解析 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条. (2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A.T ＝π，A ＝1 B.T ＝2π，A ＝1 C.T ＝π，A ＝2D.T ＝2π，A ＝2解析 最小正周期T ＝2π2＝π，最大值A ＝2－1＝1.故选A. 答案 A3.函数y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________.解析 由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )， 得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )，所以y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ). 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2解析 由题意T ＝2π2＝π. 答案 C5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65B.1C.35D.15解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65. 答案 A6.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________.解析 由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.所以2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝－π6. 答案 －π6考点一 三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ） D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 解析 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎨⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56 π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8. 答案 (1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8【训练1】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________. (2)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为______.解析 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]上，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z .(2)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .答案(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z考点二 三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________. (3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.解析 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. (2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤2，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2 .所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1【训练2】 (1)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A.4B.5C.6D.7(2)(2019·临沂模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1，1]，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.因为x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π. 答案 (1)B(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π考点三 三角函数的单调性 角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________. 解析 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . 答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z角度2 利用单调性比较大小【例3－2】 已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c解析 令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 答案 A角度3 利用单调性求参数【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π解析 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.答案 A【训练3】 (1)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，则以下结论正确的是( )A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减B.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增 C.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减 D.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π上单调递增(2)cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________.(3)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－π3，此时函数f (x )先减后增；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，此时函数f (x )先增后减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，此时函数f (x )单调递减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，5π3，此时函数f (x )先减后增.(2)sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数，∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.(3)法一 由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二 由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝32＋6k (k ∈Z )，所以当k ＝0时，ω＝32.答案 (1)C (2)sin 68°>cos 23°>cos 97° (3)32考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2019·杭州调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( ) A.－π6 B.π6 C.－π3 D.π3解析 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3， 由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ). ∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6. 答案 (1)B (2)A角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称 C.关于直线x ＝π3对称 D.关于直线x ＝π6对称解析 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33，所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称. 规律方法 1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练4】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4B.π2C.πD.2π(2)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减解析 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .f (x )＝sin x cos x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)A 项，因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确.B 项，因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，当k ＝3时，直线x ＝8π3是其对称轴，B 项正确.C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0，所以x ＝π6是f (x＋π)的一个零点，C 项正确.D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误.答案 (1)C (2)D三、课后练习1.若对于任意x ∈R 都有f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，则函数f (2x )图象的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，0(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ) 解析 因为f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，所以f (－x )＋2f (x )＝3cos x ＋sin x .解得f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π8(k ∈Z ).所以f (2x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ). 答案 D2.(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( ) A.ω＝23，φ＝π12 B.ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D.ω＝13，φ＝7π24解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12(k ∈Z )， 又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.答案 A3.已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的单调递减区间是________.解析 因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6(k ∈Z ). 不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ). 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z )4.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3， 又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23， 故cos(x 1－x 2)＝23.5.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，若对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，则实数m 的最小值是________.解析 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，所以α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－2π3，则f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，因为对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，所以f (β)在[0，m ]上单调，且f (β)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即实数m 的最小值是π2. 答案 π26.(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π解析 ∵y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π.答案 C7.(2019·石家庄检测)若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( )A.2B.4C.6D.8解析 因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6.答案 C8.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C.2 D.3解析 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.答案 B9.(2019·湖南十四校联考)已知函数f (x )＝2sin ωx －cos ωx (ω>0)，若f (x )的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|min ＝2，则f (1)的值为( ) A.102 B.－102 C.2 D.－2解析 依题意可得函数的最小正周期为2πω＝2|x 1－x 2|min ＝2×2＝4，即ω＝π2，所以f (1)＝2sin π2－cos π2＝2.答案 C10.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.解析 由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23. 答案 2311.(2019·北京通州区质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性. 解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π， ∴ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ). 注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8； 同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.。

三角函数的图像与性质三角函数是高中数学中的重要内容，它们在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。

本文将围绕三角函数的图像与性质展开讨论，探究它们的特点和应用。

一、正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像是一条连续的曲线，呈现周期性变化。

在单位圆上，正弦函数的值等于对应角的纵坐标。

因此，正弦函数的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。

正弦函数的图像呈现出一种波浪状的形态，具有对称性。

当角度为0时，正弦函数的值为0；当角度为90°时，正弦函数的值为1；当角度为180°时，正弦函数的值为0；当角度为270°时，正弦函数的值为-1。

以此类推，正弦函数的图像在每个周期内都会经过这些特殊点。

正弦函数的周期是360°或2π，即在一个周期内，正弦函数的图像会重复出现。

这种周期性变化在许多自然现象中都有体现，比如波动、震动等。

因此，正弦函数在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。

二、余弦函数的图像与性质余弦函数也是一种常见的三角函数，它的图像也是一条连续的曲线，同样呈现周期性变化。

在单位圆上，余弦函数的值等于对应角的横坐标。

因此，余弦函数的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。

余弦函数的图像与正弦函数的图像非常相似，只是在横轴上的位置有所不同。

当角度为0时，余弦函数的值为1；当角度为90°时，余弦函数的值为0；当角度为180°时，余弦函数的值为-1；当角度为270°时，余弦函数的值为0。

同样地，余弦函数的图像在每个周期内都会经过这些特殊点。

余弦函数的周期也是360°或2π，与正弦函数相同。

正弦函数和余弦函数之间存在着一种互补关系，即正弦函数的图像和余弦函数的图像在横轴上对称。

这种互补关系在许多数学问题中都有重要的作用。

三、正切函数的图像与性质正切函数是另一种常见的三角函数，它的图像也是一条连续的曲线，但与正弦函数和余弦函数不同，正切函数的图像并没有周期性变化。

三角函数的图像和性质1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 2 sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值 当22x k ππ=+时，max 1y =；当22x k ππ=- 时，min 1y =-．当2x k π=时，max 1y =；当2x k ππ=+时，min1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是增函数； 在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上是减函数． 在[]2,2k k πππ-上是增函数； 在[]2,2k k πππ+上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭上是增函数．对称性 对称中心(),0k π 对称轴2x k ππ=+对称中心,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对称轴x k π=对称中心,02k π⎛⎫⎪⎝⎭无对称轴函数 性质例作下列函数的简图(1)y=|sinx|，x ∈[0，2π]， (2)y=-cosx ，x ∈[0，2π]例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：21sin )1(≥x 21cos )2(≤x3、周期函数定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

注意： 周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一般称为周期）正弦函数、余弦函数：ωπ=2T 。