高考数学一轮复习第七篇立体几何()第5节直线、平面垂直的判定与性质习题理(含解析)

第五节直线、平面垂直的判定与性质2019考纲考题考情1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直。

(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理续表1．与线面垂直相关的两个常用结论：(1)两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直。

(2)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直。

2．三种垂直关系的转化：线线垂直判定定理性质线面垂直判定定理性质定理面面垂直一、走进教材1．(必修2P 73A 组T 1改编)下列命题中不正确的是( )A ．如果平面α⊥平面β，且直线l ∥平面α，则直线l ⊥平面βB ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ解析 根据面面垂直的性质，知A 不正确，直线l 可能平行平面β，也可能在平面β内。

故选A 。

答案 A2．(必修2P 67练习T 2改编)在三棱锥P －ABC 中，点P 在平面ABC 中的射影为点O 。

(1)若PA ＝PB ＝PC ，则点O 是△ABC 的________心；(2)若PA ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥PA ，则点O 是△ABC 的________心。

解析(1)如图，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心。

(2)如图，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G。

因为PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB ＝P，所以PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，所以PC⊥AB，因为AB⊥PO，PO∩PC＝P，所以AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，所以AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高。

直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1．已知m ，n ，l 是直线，α，β是平面，α⊥β，α∩β＝l ，n ⊂β，n ⊥l ，m ⊥α，则直线m 与n 的位置关系是()A．异面B．相交但不垂直C．平行D．相交且垂直C[因为α⊥β，α∩β＝l ，n ⊂β，n ⊥l ，所以n ⊥α．又m ⊥α，所以m ∥n ．]2．(2021·白银市第十中学高三期末)设α，β，γ为不同的平面，m ，n ，l 为不同的直线，则下列条件一定能得到m ⊥β的是()A．α∩γ＝m ，α⊥γ，β⊥γB．α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l C．n ⊥α，n ⊥β，m ⊥αD．α⊥γ，β⊥γ，m ⊥αC[在A 中，因为α∩γ＝m ，所以m ⊂α，m ⊂γ，而β⊥γ，m 并不垂直于β内的所有直线，所以β和m 可能不垂直，故A 错误；在B 中，m 只垂直于β内的一条直线，所以不能推出m ⊥β，故B 错误；在C 中，因为n ⊥α，n ⊥β，所以α∥β，又m ⊥α，所以m ⊥β，故C 正确；在D 中，由α⊥γ，β⊥γ，不能推出α∥β，所以由m ⊥α不能推出m ⊥β，故D 错误．]3．(2021·河南鹤壁高三二模)如图，在正四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 1，BC 1的中点，则以下结论中不成立的是()A．EF 与BB 1垂直B．EF 与BD 垂直C．EF 与CD 异面D．EF 与A 1C 1异面D[如图所示，连接A 1B ，由几何关系可得点E 为A 1B 的中点，且BF ＝FC 1，由三角形中位线的性质可得：EF ∥A 1C 1，即EF 与A 1C 1不是异面直线，很明显，EF 与CD 异面，由几何关系可得：A 1C 1⊥BB 1，A 1C 1⊥BD ，则EF ⊥BB 1，EF ⊥BD ，综上可得，选项D 中的结论不成立．故选D．]4．(2021·南宁模拟)在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PA ＝AB ＝2，则直线PB 与平面PAC 所成角为()A．π6B．π4C．π3D．π2A[连接BD ，交AC 于点O ．因为PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以BD ⊥AC ，BD ⊥PA ．又因为PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC ，故BO ⊥平面PAC ．连接OP ，则∠BPO 即为直线PB 与平面PAC 所成角．又因为PA ＝AB ＝2，所以PB ＝22，BO ＝2．所以sin∠BPO ＝BO PB ＝12，所以∠BPO ＝π6．故选A．]5．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CD 的中点，则()A．A 1E ⊥DC 1B．A 1E ⊥BD C．A 1E ⊥BC 1D．A 1E ⊥ACC[如图，∵A 1E 在平面ABCD 上的投影为AE ，而AE 不与AC ，BD 垂直，∴选项B，D 错误；∵A 1E 在平面BCC 1B 1上的投影为B 1C ，且B 1C ⊥BC 1，∴A 1E ⊥BC 1，故选项C 正确；(证明：由条件易知，BC 1⊥B 1C ，BC 1⊥CE ，又CE ∩B 1C ＝C ，∴BC 1⊥平面CEA 1B 1．又A 1E ⊂平面CEA 1B 1，∴A 1E ⊥BC 1．)∵A 1E 在平面DCC 1D 1上的投影为D 1E ，而D 1E 不与DC 1垂直，故选项A 错误．故选C．]6．如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°．将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A ­BCD ，则在三棱锥A ­BCD 中，下列结论正确的是()A．平面ABD ⊥平面ABC B．平面ADC ⊥平面BDC C．平面ABC ⊥平面BDC D．平面ADC ⊥平面ABC D[∵在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，∴BD ⊥CD ．又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，故CD ⊥平面ABD ，则CD ⊥AB ．又AD ⊥AB ，AD ∩CD ＝D ，AD ⊂平面ADC ，CD ⊂平面ADC ，故AB ⊥平面ADC ．又AB ⊂平面ABC ，∴平面ADC ⊥平面ABC ．]二、填空题7．已知四边形ABCD 为平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，当平行四边形ABCD 满足条件时，有PC ⊥BD (填上你认为正确的一个条件即可)．四边形ABCD 是菱形(答案不唯一)[四边形ABCD 为平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，∴BD ⊥PA ，当四边形ABCD 是菱形时，BD ⊥AC ，又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC ，∴PC ⊥BD ．故答案为四边形ABCD 是菱形．]8．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，在下列命题①α∥β∥α∥β；②α⊥β⊥α∥β；③a ∥b ∥a ∥b ；④a ⊥b ⊥a ∥b 中，正确的命题是(只填序号)．②④[①：与同一条直线平行的两个平面不一定平行，在本题的条件下，两平面可能相交，所以①是假命题；②：根据直线与平面的位置关系可得：由a⊥α，a⊥β可得出α∥β，所以②是真命题．③：根据直线与平面的位置关系可得：a与b可以是任意的位置关系，所以③是假命题；④：垂直于同一个平面的两条直线平行，所以④是真命题；故答案为②④．]9．如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为．(填序号)①[符合条件的轨迹为线段PC的垂直平分面与平面AC的交线，③④不正确．根据题意可知PD＝DC，则点D符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC”，设AB的中点为N，连接PN、DN，取PC的中点E，连接NE、DE，所以DE⊥PC，因为平面PAD⊥底面ABCD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PA，因为PA＝BC，AN＝NB，∠PAB＝∠CBN，所以△PAN≌△CBN，∴PN＝CN，点N也符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC”，且NE⊥PC，所以PC⊥平面EDN，当M点在线段DN上运动时，都有PC⊥ME，且E是中点，总有MP＝MC，所以点M在正方形ABCD内的轨迹是线段DN，所以①正确②不正确．]三、解答题10．(2021·江苏徐州一中高三期中)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面PCD ，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：(1)直线MN ∥平面PAD ；(2)直线CD ⊥平面PAD ．[证明](1)根据题意，取PD 的中点G ，连接NG 、AG ，G 是PD 的中点，N 是PC 的中点，则NG ∥DC 且NG ＝12DC ，则四边形MNGA 是平行四边形，则有MN ∥AG ，又由MN ⊄平面PAD 中，而AG ⊂平面PAD 中，则有直线MN ∥平面PAD ．(2)PA ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以PA ⊥CD ，又由底面ABCD 是矩形，则CD ⊥AD ，而PA ∩AD ＝A ，PA ，AD ⊂平面PAD ，所以直线CD ⊥平面PAD ．11．(2021·茂名一模)如图，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，点D 是AB 的中点，BC ＝AC ，AB ＝2DC ＝2，AA 1＝3．(1)求证：平面A 1DC ⊥平面ABB 1A 1；(2)求点A 到平面A 1DC 的距离．[解](1)证明：∵在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，点D 是AB 的中点，BC ＝AC ，CD ⊂平面ABC ，∴CD ⊥AB ，CD ⊥AA 1，∵AB ∩AA 1＝A ，∴CD ⊥平面ABB 1A 1，∵CD ⊂平面A 1DC ，∴平面A 1DC ⊥平面ABB 1A 1．(2)点D 是AB 的中点，BC ＝AC ，AB ＝2DC ＝2，AA 1＝3．设点A 到平面A 1DC 的距离为d ，∵VA 1­ACD ＝VA ­A 1CD，∴13×S △ACD ×AA 1＝13×S △DCA 1×d ，∴13×12×1×1×3＝13×12×1×2×d ，解得d ＝32，∴点A 到平面A 1DC 的距离为32．1．(2021·武汉模拟)如图所示，在斜三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则点C1在平面ABC 上的射影H 必在()A．直线AB 上B．直线BC 上C．直线AC 上D．△ABC 的内部A[连接AC 1(图略)，因为AC ⊥AB ，AC ⊥BC 1，AB ∩BC 1＝B ，所以AC ⊥平面ABC 1，又AC⊂平面ABC ，所以平面ABC 1⊥平面ABC ，所以点C 1在平面ABC 上的射影H 必在两平面的交线AB 上，故选A．]2．已知圆锥的顶点为P ，母线PA ，PB 所成角的余弦值为34，PA 与圆锥底面所成角为60°，若△PAB 的面积为7，则该圆锥的体积为．263π[作示意图如图所示，设底面半径为r ，PA 与圆锥底面所成角为60°，则∠PAO＝60°，则PO ＝3r ，PA ＝PB ＝2r ，又PA ，PB 所成角的余弦值为34，则sin∠APB ＝74，则S △PAB ＝12PA ·PB ·sin∠APB＝12·2r ·2r ·74＝7，解得r ＝2，故圆锥的体积为13·π·(2)2·6＝263π．]3．如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面四边形ABCD 是菱形，点E 在线段PC 上，PA ∥平面EBD ．(1)证明：点E 为线段PC 中点；(2)已知PA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝60°，点P 到平面EBD 的距离为1，四棱锥P ­ABCD 的体积为23，求PA ．[解](1)证明：连接AC ，与BD 相交于点O ，连接EO ，则经过PA 的平面PAC 与平面EBD 交线为EO ．因为PA ∥平面EBD ，所以PA ∥EO ．因为四边形ABCD 是菱形，所以O 为AC 的中点，所以EO 是△PAC 中位线，于是E 为线段PC 中点．(2)因为PA ∥平面EBD ，所以点A 到平面EBD 的距离等于点P 到平面EBD 的距离等于1．因为PA ⊥平面ABCD ，所以EO ⊥平面ABCD ，所以平面EBD ⊥平面ABCD ，平面EBD ∩平面ABCD ＝BD ．因为AO ⊥BD ，所以AO ⊥面EBD ，因此AO ＝1．因为∠ABC ＝60°，所以四边形ABCD 是边长为2的菱形，面积为2×2×sin 60°＝23，所以四棱锥P ­ABCD 的体积为V P ­ABCD ＝13·23·PA ，由13·23·PA ＝23，得PA ＝3．1．(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为．2[如图，过点P 作PO ⊥平面ABC 于O ，则PO 为P 到平面ABC 的距离．再过O 作OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ，连接PC ，PE ，PF ，则PE ⊥AC ，PF ⊥BC ．又PE ＝PF ＝3，所以OE ＝OF ，所以CO 为∠ACB 的平分线，即∠ACO ＝45°．在Rt△PEC 中，PC ＝2，PE ＝3，所以CE ＝1，所以OE ＝1，所以PO ＝PE 2－OE 2＝32－12＝2．]2．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ­ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，过棱PC 的中点E ，作EF ⊥PB 交PB 于点F ，连接DE ，DF ，BD ，BE ．(1)证明：PB ⊥平面DEF ．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(2)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DC BC的值．[解](1)证明：因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC ，由底面ABCD 为长方形，有BC ⊥CD ，而PD ∩CD ＝D ，所以BC ⊥平面PCD ．而DE ⊂平面PCD ，所以BC ⊥DE ．又因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ⊥PC ．而PC ∩BC ＝C ，所以DE ⊥平面PBC ．而PB ⊂平面PBC ，所以PB ⊥DE ．又PB ⊥EF ，DE ∩EF ＝E ，所以PB ⊥平面DEF ．由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB ，∠DEF ，∠EFB ，∠DFB ．(2)如图，在面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线．由(1)知，PB ⊥平面DEF ，所以PB ⊥DG ．又因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥DG ．而PD ∩PB ＝P ，所以DG ⊥平面PBD ．故∠BDF 是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设PD ＝DC ＝1，BC ＝λ，有BD ＝1＋λ2，在Rt△PDB 中，由DF ⊥PB,得∠DPF ＝∠FDB ＝π3，则tanπ3＝tan∠DPF ＝BD PD＝1＋λ2＝3，解得λ＝2．所以DC BC ＝1λ＝22．故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC ＝22．。

第5讲 直线、平面垂直的判定与性质)1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理(1)直线与平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠PAO 就是斜线AP 与平面α所成的角．②线面角θ的范围：θ∈⎣⎢⎡⎥⎤0，π2．(2)二面角①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面．如图的二面角，可记作：二面角α­l ­β或二面角P ­AB ­Q ．②二面角的平面角如图，过二面角α­l ­β的棱l 上一点O 在两个半平面内分别作BO ⊥l ，AO ⊥l ，则∠AOB 就叫做二面角α­l ­β的平面角．③二面角的范围设二面角的平面角为θ，则θ∈． ④当θ＝π2时，二面角叫做直二面角．1．辨明三个易误点(1)注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交． (2)注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”．(3)注意对平面与平面垂直性质的理解． 2．学会三种垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．1．(2016·高考浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( )A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥nC 因为α∩β＝l ，所以l ⊂β，又n ⊥β，所以n ⊥l .2.教材习题改编线段AB 的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB 所在直线与平面α所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°C 如图，AC ⊥α，AB ∩α＝B ，则BC 是AB 在平面α内的射影，则BC ＝12AB ，所以∠ABC ＝60°，它是AB 与平面α所成的角．3．(2017·邢台摸底考试)已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( )A ．α⊥β且m ⊥αB ．α⊥β且m ∥αC ．m ∥n 且n ⊥βD ．m ⊥n 且n ∥βC 依题意，对于A ，注意到直线m 可能位于平面β内，因此选项A 不正确；对于B ，注意到直线m 可能位于平面β内且与它们的交线平行，因此选项B 不正确；对于C ，由定理“若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”得知，C 正确；对于D ，注意到直线m 可能位于平面β内，因此选项D 不正确．综上所述，选C.4．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的________条件．(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”)若α⊥β，因为α∩β＝m ，b ⊂β，b ⊥m ，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b ⊥α，又a ⊂α，所以a ⊥b ；反过来，当a ∥m 时，因为b ⊥m ，且a ，m 共面，一定有b ⊥a ，但不能保证b ⊥α，所以不能推出α⊥β.充分不必要5.教材习题改编P 为△ABC 所在平面外一点，且PA 、PB 、PC 两两垂直，则下列命题：①PA ⊥BC ；②PB ⊥AC ；③PC ⊥AB ；④AB ⊥BC ，其中正确的个数是________．如图所示．因为PA ⊥PC ，PA ⊥PB ，PC ∩PB ＝P ， 所以PA ⊥平面PBC . 又因为BC ⊂平面PBC ， 所以PA ⊥BC .同理，PB ⊥AC ，PC ⊥AB ．但AB 不垂直于BC .3线面垂直的判定与性质(高频考点)直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容，题型多为解答题，属中档题．高考对直线与平面垂直的判定与性质的考查常有以下两个命题角度：(1)证明线面垂直；(2)证明线线垂直．(2016·高考浙江卷)如图，在三棱台ABC DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.(1)求证：BF⊥平面ACFD；(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．【解】(1)证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示．因为平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，因此BF⊥AC.又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.所以BF⊥平面ACFD．(2)因为BF⊥平面ACK，所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角．在Rt△BFD中，BF＝3，DF＝32，得cos∠BDF＝217，所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为217.角度一 证明线面垂直1.(2015·高考全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD ．(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E ­ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积．(1)证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ． 因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE . 故AC ⊥平面BED ． 又AC ⊂平面AEC ， 所以平面AEC ⊥平面BED ．(2)设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝32x ，GB ＝GD ＝x 2. 因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x . 由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x . 由已知得，三棱锥E ­ACD 的体积V 三棱锥E ­ACD ＝13×12·AC ·GD ·BE ＝624x 3＝63，故x ＝2.从而可得AE ＝EC ＝ED ＝ 6.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5. 故三棱锥E ­ACD 的侧面积为3＋2 5.角度二 证明线线垂直2.如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)CD ⊥AE ； (2)PD ⊥平面ABE .(1)在四棱锥P ­ABCD 中， 因为PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，因为AC ⊥CD ，且PA ∩AC ＝A ， 所以CD ⊥平面PAC ，而AE ⊂平面PAC ， 所以CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA . 因为E 是PC 的中点，所以AE ⊥PC . 由(1)知AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ， 所以AE ⊥平面PCD ．而PD ⊂平面PCD ，所以AE ⊥PD ． 因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥AB ． 又因为AB ⊥AD 且PA ∩AD ＝A ，所以AB ⊥平面PAD ，而PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥PD ． 又因为AB ∩AE ＝A ，所以PD ⊥平面ABE .面面垂直的判定与性质(2016·高考四川卷)如图，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD ．(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由； (2)证明：平面PAB ⊥平面PBD ．【解】 (1)取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点．理由如下： 因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM ， 所以四边形AMCB 是平行四边形， 从而CM ∥AB ．又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ，所以CM ∥平面PAB ．(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)证明：由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交．所以PA ⊥平面ABCD ， 从而PA ⊥BD ． 连接BM ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ． 所以四边形BCDM 是平行四边形． 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB ．又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB ． 又BD ⊂平面PBD ， 所以平面PAB ⊥平面PBD ．(1)判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)． (2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．1．如图，将边长为2的正六边形ABCDEF 沿对角线BE 翻折，连接AC ，FD ，形成如图所示的多面体，且AC ＝ 6.证明：平面ABEF ⊥平面BCDE .在正六边形ABCDEF 中，连接AC ，BE ，交点为G ，易知AC ⊥BE ，且AG ＝CG ＝3，在多面体中，由AC ＝6，知AG 2＋CG 2＝AC 2，故AG ⊥GC ，又GC ∩BE ＝G ，GC ，BE ⊂平面BCDE ， 故AG ⊥平面BCDE ，又AG ⊂平面ABEF ，所以平面ABEF ⊥平面BCDE .2.(2017·云南省第一次统一检测)如图，四棱锥P ­ABCD ，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是∠ABC ＝60°的菱形，M 为PC的中点．(1)求证：PC ⊥AD ；(2)求点D 到平面PAM 的距离．(1)证明：法一：取AD 中点O ，连接OP ，OC ，AC ， 依题意可知△PAD ，△ACD 均为正三角形， 所以OC ⊥AD ，OP ⊥AD ，又OC ∩OP ＝O ，OC ⊂平面POC ，OP ⊂平面POC ， 所以AD ⊥平面POC ，又PC ⊂平面POC ，所以PC ⊥AD ．法二：连接AC ，AM ，DM ，依题意可知△PAD ，△ACD 均为正三角形， 又M 为PC 的中点，所以AM ⊥PC ，DM ⊥PC ， 又AM ∩DM ＝M ，AM ⊂平面AMD ，DM ⊂平面AMD ， 所以PC ⊥平面AMD ，又AD ⊂平面AMD ，所以PC ⊥AD ．(2)由题意可知，点D 到平面PAM 的距离即点D 到平面PAC 的距离， 由(1)可知PO ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面PAD ， 所以PO ⊥平面ABCD ，即PO 为三棱锥P ­ADC 的高． 在Rt △POC 中，PO ＝OC ＝3，PC ＝6，在△PAC 中，PA ＝AC ＝2，PC ＝6，边PC 上的高AM ＝PA 2－PM 2＝102， 所以S △PAC ＝12PC ·AM ＝12×6×102＝152，设点D 到平面PAC 的距离为h ，由V D ­PAC ＝V P ­ACD 得 13S △PAC ·h ＝13S △ACD ·PO ， 又S △ACD ＝34×22＝3， 所以13×152·h ＝13×3×3，解得h ＝2155，所以点D 到平面PAM 的距离为2155.空间位置关系的综合应用(2016·高考北京卷)如图，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；(3)设点E为AB的中点．在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．【解】(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.(2)证明：因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB．又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.(3)棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.理由如下：如图，取PB中点F，连接EF，CE，CF.又因为E为AB的中点，所以EF∥PA.又因为PA⊄平面CEF，且EF⊂平面CEF，所以PA∥平面CEF.线线平行(垂直)、线面平行(垂直)和面面平行(垂直)是空间中三种基本平行(垂直)关系，它们之间可以相互转化，其转化关系如下：(2016·高考山东卷)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．(1)已知AB＝BC，AE＝EC.求证：AC⊥FB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC.(1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF.连接DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF，因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB．(2)设FC的中点为I，连接GI，HI.在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥DB，所以GI∥DB．在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC，又HI∩GI＝I，所以平面GHI ∥平面ABC . 因为GH ⊂平面GHI ， 所以GH ∥平面ABC .)——立体几何中的翻折问题(本题满分12分)如图(1)，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图(2)中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1­BCDE .(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1­BCDE 的体积为362，求a 的值．(1)(2)(1)证明：在题图(1)中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC .(2分)即在题图(2)中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ，(3分) 从而BE ⊥平面A 1OC .(4分)又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC .(6分) (2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，又由(1)可得A 1O ⊥BE ，所以A 1O ⊥平面BCDE .即A 1O 是四棱锥A 1­BCDE 的高．(9分) 由题图(1)知，A 1O ＝AO ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2，(10分) 从而四棱锥A 1­BCDE 的体积为V ＝13S ·A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3. 由26a 3＝362，得a ＝6.(12分)解决由平面图形翻折为空间图形问题的关键是看翻折前后线面位置关系的变化情况，根据翻折的过程，把翻折前后一些线线位置关系中没有变化和发生变化的量准确找出来，这些不变和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征．另外，在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，常通过三角形的中位线找平行线．1．“直线a 与平面M 内的无数条直线都垂直”是“直线a 与平面M 垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B 根据直线与平面垂直的定义知“直线a 与平面M 内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a 与平面M 垂直”，反之可以，所以应该是必要不充分条件．2.如图，O 为正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 的中心，则下列直线中与B 1O 垂直的是( )A ．A 1DB ．AA 1C ．A 1D 1D ．A 1C 1D 由题易知A 1C 1⊥平面BB 1D 1D ．又B 1O ⊂平面BB 1D 1D ，所以A 1C 1⊥B 1O .3．(2017·九江模拟)如图，在三棱锥D ­ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列命题中正确的是( )A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BCDC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ACD ⊥平面BDE D ．平面ABC ⊥平面ACD ，且平面ACD ⊥平面BDEC 因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理，DE ⊥AC ，由于DE ∩BE ＝E ，于是AC ⊥平面BDE .因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE .又AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE .故选C.4．已知l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是( )A ．l ⊂α，m ⊂β，且l ⊥mB ．l ⊂α，m ⊂β，n ⊂β，且l ⊥m ，l ⊥nC ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，且l ⊥mD ．l ⊂α，l ∥m ，且m ⊥βD 对于A ，l ⊂α，m ⊂β，且l ⊥m ，如图(1)，α，β不垂直；对于B ，l ⊂α，m ⊂β，n ⊂β，且l ⊥m ，l ⊥n ，如图(2)，α，β不垂直；对于C ，m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，且l ⊥m ，直线l 没有确定，则α，β的关系也不能确定；对于D ，l ⊂α，l ∥m ，且m ⊥β，则必有l ⊥β，根据面面垂直的判定定理知，α⊥β.5．(2017·河北名师俱乐部模拟)在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，BA ⊥AD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2，PA ＝3，PA ⊥底面ABCD ，E 是棱PD 上异于P ，D 的动点，设PEED＝m ，则“0<m <2”是“三棱锥C ­ABE 的体积不小于1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B 过E 点作EH ⊥AD ，H 为垂足，则EH ⊥平面ABCD ．因为VC ­ABE ＝V E ­ABC ，所以三棱锥C ­ABE 的体积为23EH .若三棱锥C ­ABE 的体积不小于1，则EH ≥32，又PA ＝3，所以PE ED＝m ≤1，故选B ．6.如图，直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E ，要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为( )A.12 B ．1 C.32D ．2A 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可以得A 1B 1＝ 2.设Rt △AA 1B 1的斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h .又2×2＝h 22＋（2）2，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝66. 由面积相等得66×x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22x ，得x ＝12.7.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝8，∠ABC ＝60°，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，M 是AB 上的一个动点，则PM 的最小值为________．作CH ⊥AB 于H ，连接PH .因为PC ⊥平面ABC ，所以PH ⊥AB ，PH 为PM 的最小值，等于27.278.如图所示，在四面体ABCD 中，AB ，BC ，CD 两两垂直，且BC ＝CD ＝1.直线BD 与平面ACD 所成的角为30°，则线段AB 的长度为________．如图，过点B 作BH ⊥AC ，垂足为点H ，连接DH .因为CD ⊥AB ，CD ⊥BC ，所以平面ACD ⊥平面ABC ，所以BH ⊥平面ACD ． 所以∠BDH 为直线BD 与平面ACD 所成的角． 所以∠BDH ＝30°， 在Rt △BDH 中，BD ＝2， 所以BH ＝22. 又因为在Rt △BHC 中，BC ＝1，所以∠BCH ＝45°. 所以在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝1. 19．(2016·高考全国卷甲)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA′为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平面为α，ABC′D′所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但α⊥β不成立．命题②正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面α相交于直线l，则l∥n，由m⊥α知m⊥l，从而m⊥n，结论正确．由平面与平面平行的定义知命题③正确．由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确．②③④10．已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，l⊄α，则l⊥α.其中正确命题的序号是________．若平面α、β、γ两两相交于三条直线，则有交线平行，故①不正确．因为a、b相交，假设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确．由面面垂直的性质定理知③正确．当a∥b时，l垂直于平面α内两条不相交直线，不能得出l⊥α，④错误．②③11.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，所以△ADS≌△BDS.所以SD⊥BD．又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD ⊥BD ，又SD ∩AC ＝D ， 所以BD ⊥平面SAC .12．(2017·南昌市第一次模拟测试)如图，四棱锥S ­ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ＝1，DC ＝SD ＝2，M ，N 分别为SA ，SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且SE ＝2EB ．(1)证明：MN ∥平面ABCD ； (2)证明：DE ⊥平面SBC .(1)连接AC ，因为M ，N 分别为SA ，SC 的中点，所以MN ∥AC ，又MN ⊄平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ．所以MN ∥平面ABCD ．(2)连接BD ，因为BD 2＝12＋12＝2，BC 2＝12＋(2－1)2＝2，BD 2＋BC 2＝2＋2＝4＝DC 2，所以DB ⊥BC ，又SD ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ， 所以SD ⊥BC ，因为SD ∩DB ＝D ，所以BC ⊥平面SDB ， 因为DE ⊂平面SDB ，所以BC ⊥DE ， 又SB ＝SD 2＋DB 2＝4＋2＝6， 当SE ＝2EB 时，EB ＝63， 在△EBD 与△DBS 中，EB BD＝632＝33，DB BS ＝26＝33， 所以EB BD ＝DBBS，又∠EBD ＝∠DBS ，所以△EBD ∽△DBS ， 所以∠DEB ＝∠SDB ＝90°，即DE ⊥SB ， 因为SB ∩BC ＝B ， 所以DE ⊥平面SBC .13．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ∶BC ∶AB ＝2∶3∶4，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将四边形ADFE 沿直线EF 进行翻折，给出下列四个结论：①DF ⊥BC ；②BD ⊥FC ；③平面BDF ⊥平面BCF；④平面DCF ⊥平面BCF ，则上述结论可能正确的是( )A．①③B．②③C．②④D．③④B 对于①，因为BC∥AD，AD与DF相交但不垂直，所以BC与DF不垂直，则①不成立；对于②，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，所以②正确；对于③，当点D在平面BCF上的射影P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以③正确；对于④，因为点D在平面BCF上的射影不可能在FC上，所以④不成立．14.点P在正方体ABCD­A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列四个命题：①三棱锥A­D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DB⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是________．连接BD交AC于点O，连接DC1交D1C于点O1，连接OO1，则OO1∥BC1.所以BC1∥平面AD1C，动点P到平面AD1C的距离不变，所以三棱锥P­AD1C的体积不变．又VP­AD1C＝VA­D1PC，所以①正确．连接A1B，A1C1，因为平面A1C1B∥平面AD1C，A1P⊂平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1，②正确．由于DB不垂直于BC1，显然③不正确；连接B1D，由于DB1⊥D1C，DB1⊥AD1，D1C∩AD1＝D1，所以DB1⊥平面AD1C，DB1⊂平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面ACD1，④正确．①②④15．(2016·高考江苏卷)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.(1)在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.又DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D．又B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.16.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点．(1)求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB；(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．(1)证明：在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BG⊥平面PAD．(2)证明：如图，连接PG.因为△PAD为正三角形，G为AD的中点，所以PG⊥AD．由(1)知，BG⊥AD，又PG∩BG＝G，所以AD⊥平面PGB．因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB．(3)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD．证明如下：取PC的中点F，连接DE、EF、DF.在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE.而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，PB⊂平面PGB，GB⊂平面PGB，PB∩GB＝B，所以平面DEF∥平面PGB．因为BG⊥平面PAD，PG⊂平面PAD，所以BG⊥PG. 又因为PG⊥AD，AD∩BG＝G，所以PG⊥平面ABCD．又PG⊂平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD．。

第五节直线、平面垂直的判定及其性质【最新考纲】 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．(4)直线和平面垂直的性质：①垂直于同一个平面的两条直线平行．②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任意直线．③垂直于同一条直线的两平面平行．2．直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°．3．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．4．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( )(2)垂直于同一个平面的两平面平行．( )(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．( )(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( ) 答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．下列命题中不正确的是( )A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ.解析：根据面面垂直的性质定理，A项中l⊂β，l∥β或l⊥β.答案：A3．(2015·浙江卷)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β.( )A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m解析：∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．答案：A4．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．解析：∵PA⊥平面ABC∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC则△PAB，△PAC为Rt△由BC⊥AC，且AC∩PA＝A∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC因此△ABC，△PBC也是Rt△.答案：45．如果正四棱锥的底面边长为2，侧面积为42，则它的侧面与底面所成的(锐)二面角的大小为________．解析：如图，O为底面正方形的中心，据题意易得，该正四棱锥的一个侧面三角形PBC 的高PE的长为2，因此正四棱锥的高PO＝PE2－OE2＝1.∵∠PEO的大小为侧面与底面所成的(锐)二面角的大小，∴侧面与底面所成的(锐)二面角的大小为45°.答案：45°一种关系垂直问题的转化关系．三类证法1．证明线线垂直的方法．(1)定义：两条直线所成的角为90°； (2)平面几何中证明线线垂直的方法； (3)线面垂直的性质：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ； (4)线面垂直的性质：a⊥α，b ∥α⇒a⊥b. 2．证明线面垂直的方法．(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α； (2)判定定理1：⎭⎪⎬⎪⎫m 、n ⊂α，m ∩n ＝A l⊥m，l ⊥n ⇒l ⊥α； (3)判定定理2：a∥b，a ⊥α⇒b ⊥α； (4)面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；(5)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β. 3．证明面面垂直的方法．(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β.A 级 基础巩固一、选择题1．(2016·佛山一中期中)设α、β、γ为不同的平面，m、n、l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件为( )A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥l B．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α D．n⊥α，n⊥β，m⊥α解析：A中，缺少条件m⊂α，不满足面面垂直的性质定理，不正确．在选项B，C中，平面α与β可能平行或相交，推不出m⊥β.在D中，n⊥α，n⊥β，则α∥β，根据m⊥α，得m⊥β，D正确．答案：D2．(经典再现)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析：根据所给的已知条件作图，如图所示．由图可知α与β相交，且交线平行于l，因此选项D正确．答案：D3．如图，在正四面体P ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立．．．的是( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC解析：因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC，∴BC⊥平面PAE，则DF⊥平面PAE，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B、C均正确．答案：D4．(2014·浙江卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．( ) A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α解析：A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．答案：C5．如图所示，AB是⊙O的直径，VA垂直于⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B 的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是( )A．MN∥ABB．MN与BC所成的角为45°C．OC⊥平面VACD．平面VAC⊥平面VBC解析：由圆的性质，BC⊥AC.又VA⊥平面ABC，则VA⊥BC.从而BC⊥平面VAC，平面VAC⊥平面VBC.因此C不正确，D正确．由于MN∥AC，BC⊥AC，所以A，B不正确．答案：D二、填空题6．如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD.又PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)7．(2016·石家庄调研)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是________．解析：取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，则AE⊥平面BB 1C 1C.所以∠ADE 为直线AD 与平面BB 1C 1C 所成的角． 设三棱柱的所有棱长为a ， 在Rt △AED 中， AE ＝32a ，DE ＝a 2. 所以tan ∠ADE ＝AE DE ＝3，则∠ADE＝π3.故AD 与平面BB 1C 1C 所成的角为π3.答案：π38．如图所示，在三棱锥D ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列命题中正确的是________(填序号)．①平面ABC ⊥平面ABD ； ②平面ABC⊥平面BCD ；③平面ABC⊥平面BDE ，且平面ACD⊥平面BDE ； ④平面ABC⊥平面ACD ，且平面ACD⊥平面BDE. 解析：由AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 为AC 中点， 则AC⊥DE，AC ⊥BE ，又DE∩BE＝E ，从而AC⊥平面BDE.所以平面ABC⊥平面BDE ，平面ACD⊥平面BDE ，③正确． 答案：③ 三、解答题9．(2016·西安质检)如图所示，在三棱锥P ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB的中点．已知PA⊥AC，PA ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：(1)直线PA∥平面DEF ； (2)平面BDE⊥平面ABC.证明：(1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE∥PA. 又因为PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， 所以直线PA∥平面DEF.(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，PA ＝6，BC ＝8，所以DE∥PA，DE ＝12PA＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2， 所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF. 又PA⊥AC，DE ∥PA ，所以DE⊥AC.因为AC ∩EF＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ， 所以DE⊥平面ABC.又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE⊥平面ABC. 10．(2014·湖南卷)如图所示，已知二面角αMNβ的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A ，B 两点在棱MN 上，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，DO⊥面α，垂足为O.(1)证明：AB⊥平面ODE ；(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值．(1)证明：如图，因为DO⊥α，AB ⊂α，所以DO⊥AB.连结BD ，由题设知，△ABD 是正三角形．又E 是AB 的中点，所以DE⊥AB.而DO∩DE＝D ，故AB⊥平面ODE.(2)解：因为BC∥AD，所以BC 与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角，即∠ADO 是BC 与OD 所成的角(或其补角)．由(1)知，AB ⊥平面ODE ，所以AB⊥OE.又DE⊥AB，于是∠DEO 是二面角αMN β的平面角，从而∠DEO＝60°.不妨设AB ＝2，则AD ＝2，易知DE ＝ 3.在Rt △DOE 中，DO ＝DE·sin 60°＝32. 连结AO ，在Rt △AOD 中，cos ∠ADO ＝DO AD ＝322＝34. 故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34. B 级 能力提升1．如图，在正四棱锥S ABCD 中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥面SBD ；④EP⊥面SAC 中恒成立的为()A ．①③B ．③④C ．①②D ．②③④解析：∵E，M ，N 是BC ，CD ，SC 的中点，∴EN ∥SB ，EM ∥BD ，从而可得EN∥平面SBD ，EM ∥平面SBD.又EN 与EM 是平面EMN 内的两条相交直线，∴平面EMN∥平面SBD ，故EP∥平面SBD ，因此③正确，当点P 与M 不重合时，②不正确．在正四棱锥S ABCD 中，AC ⊥平面SBD.从而AC⊥平面EMN ，由EP⊂平面EMN，得AC⊥EP，①正确．又易知EM⊥平面SAC，因此④不恒成立．答案：A2．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.解析：∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D.为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)．设AF＝x，则CD2＝DF2＋FC2，∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝2a.答案：a或2a3．(2015·天津卷)如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝25，AA1＝7，BB1＝27，点E和F分别为BC和A1C的中点．(1)求证：EF∥平面A1B1BA；(2)求证：平面AEA 1⊥平面BCB 1；(3)求直线A 1B 1与平面BCB 1所成角的大小．(1)证明：如图，连接A 1B.在△A 1BC 中，因为E 和F 分别是BC 和A 1C 的中点，所以EF∥BA 1.又因为EF ⊄平面A 1B 1BA ，所以EF∥平面A 1B 1BA.(2)证明：因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE⊥BC.因为AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，所以BB 1⊥平面ABC ，从而BB 1⊥AE.又因BC∩BB 1＝B ，所以AE⊥平面BCB 1.由于AE ⊂平面AEA 1，所以平面AEA 1⊥平面BCB 1.(3)解：取BB 1的中点M 和B 1C 的中点N ，连接A 1M ，A 1N ，NE. 因为N 和E 分别为B 1C 和BC 的中点，所以NE∥B 1B ，NE ＝12B 1B ，故NE∥A 1A 且NE ＝A 1A ，所以A 1N ∥AE ，且A 1N ＝AE. 又因为AE⊥平面BCB 1，所以A 1N ⊥平面BCB 1，从而∠A 1B 1N 为直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角．在△ABC 中，可得AE ＝2，所以A 1N ＝AE ＝2.因为BM∥AA 1，BM ＝AA 1，所以A 1M ∥AB ，A 1M ＝AB.又由AB⊥BB 1，有A 1M ⊥BB 1.在Rt △A 1MB 1中，可得A 1B 1＝B 1M 2＋A 1M 2＝4.在Rt △A 1NB 1中，sin ∠A 1B 1N ＝A 1N A 1B 1＝12，因此∠A 1B 1N ＝30°.所以，直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°.。

第五讲 直线、平面垂直的判定与性质知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直①定义：若直线l 与平面α内的_任意__一条直线都垂直，则直线l 与平面α垂直．②判定定理：一条直线与一个平面内的两条_相交__直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a ⊂α，_b ⊂α__，l ⊥a ，l ⊥b ，a∩b＝P ⇒l ⊥α.③性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_平行__.即：a ⊥α，b ⊥α⇒_a ∥b__. (2)直线与平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_锐角__，叫做这条斜线和这个平面所成的角． 若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为_0__，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为_π2__.②线面角θ的范围：θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.知识点二 平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的_两个半平面__所组成的图形叫做二面角．②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱_垂直__的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．③二面角θ的范围：θ∈[0，π]． (2)平面与平面垂直①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是_直二面角__，就说这两个平面互相垂直． ②判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a ⊂α，a ⊥β⇒_α⊥β__. ③性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于_交线__的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a ⊂α，α∩β＝b ，a ⊥b ⇒_a ⊥β__.重要结论1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．2．若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．3．垂直于同一条直线的两个平面平行．4．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．( ×)(3)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( √)(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(×)(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．( √)(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(×)题组二走进教材2．(多选题)(必修2P73T1)下列命题中正确的是( ABC )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β[解析] 对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．题组三走向高考3．(2017·课标全国Ⅲ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( C )A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC[解析] ∵A1B1⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，又BC1⊥B1C，且B1C∩A1B1＝B1，∴BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，∴BC1⊥A1E.故选C．4．(2019·北京)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_若l⊥α，l⊥m，则m∥α.(或若l⊥α，m∥α，则l⊥m)__.[解析] 由l，m是平面α外的两条不同直线，及线面平行的判定定理得：若l⊥α，l⊥m，则m∥α，若l⊥α，m∥α，则由线面垂直的性质和线面平行的性质得l⊥m，∴若l⊥α，m∥α，则l⊥m，故答案为：若l⊥α，l⊥m，则m∥α.(或若l⊥α，m∥α，则l⊥m)．5．(2020·全国Ⅱ(节选))如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F.[证明] ∵M，N分别为BC，B1C1的中点，∴MN∥BB1又AA1∥BB1，∴MN∥AA1在等边△ABC中，M为BC中点，则BC⊥AM.又∵侧面BB1C1C为矩形，∴BC⊥BB1∵MN∥BB1，MN⊥BC由MN∩AM＝M，MN，AM⊂平面A1AMN∴BC⊥平面A1AMN又∵B1C1∥BC，且B1C1⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴B1C1∥平面ABC又∵B1C1⊂平面EB1C1F，且平面EB1C1F∩平面ABC＝EF∴B1C1∥EF，∴EF∥BC又∵BC⊥平面A1AMN∴EF⊥平面A1AMN∵EF⊂平面EB1C1F∴平面EB1C1F⊥平面A1AMN.考点突破·互动探究考点一空间垂直关系的基本问题——自主练透例1 (1)(2021·河北保定七校联考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，p：m⊥n，若p是q的必要条件，则q可能是( B )A．q：m⊥α，n∥β，α⊥βB．q：m⊂α，n⊥β，α∥βC．q：m⊥α，n⊥β，α∥βD．q：m⊂α，n∥β，α⊥β(2)(2019·陕西汉中质检一)已知l ，m 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，l ⊥α，m ⊂β，则有下面四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ，②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β.其中所有正确的命题是( A )A ．①③B ．①④C ．②③D ．①②③④(3)(多选题)(2021·四川成都诊断改编)已知α，β是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则下列说法错误的是( ABD )A ．若m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥nB ．若m ∥α，n ∥β，且α⊥β，则m ∥nC ．若m ⊥α，n ∥β，且α∥β，则m ⊥nD ．若m ⊥α，n ∥β，且α⊥β，则m ⊥n[解析] (1)由题知q 能推出p ：m ⊥n.对A ，当m ∥n 时仍然可以有m ⊥α，n ∥β，α⊥β.故A 错误．对B ，n ⊥β，α∥β，则n ⊥α，又m ⊂α，则m ⊥n.故B 正确．对C ，m ⊥α，α∥β则m ⊥β，又n ⊥β，故m ∥n.故C 错误．对D ，当α⊥β且相交于m 时，若n ∥m ，也满足m ⊂α，n ∥β.故D 错误．⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫2l ⊥α α∥β⇒l ⊥βm ⊂β⇒l ⊥m ，①对；⎭⎬⎫⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m l ⊥α⇒m ⊥α m ⊂β⇒α⊥β，③对；由图可知②④错．故选A ．(3)由m ∥α，n ∥β，且α∥β，得m ∥n 或m 与n 相交，或m 与n 异面，故A 错误；由m ∥α，n ∥β，且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故B 错误；由m ⊥α，α∥β，得m ⊥β，又n ∥β，则m ⊥n ，故C 正确；由m ⊥α，n ∥β且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故D 错误，故选A 、B 、D ．名师点拨解决空间中线面、面面垂直的问题有以下三种方法：(1)依据相关定理得出结论．(2)结合符合题意的模型(如构造正方体、长方体)作出判断，或借助笔、纸、桌面进行演示，注意能平移或旋转的线，让其动动再判断．(3)否定命题时只需举一个反例即可．〔变式训练1〕(1)(2021·东北三省三校模拟)已知α，β是不重合的平面，m ，n 是不重合的直线，则m ⊥α的一个充分条件是( C )A ．m ⊥n ，n ⊂αB ．m ∥β，α⊥βC ．n ⊥α，n ⊥β，m ⊥βD ．α∩β＝n ，α⊥β，m ⊥n(2)(2021·福建福州调研)已知两条直线m ，n 和两个平面α，β，下列命题正确的是( A ) A ．若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β B ．若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β C ．若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β D ．若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β[解析] (1)对于答案A ：m ⊥n ，n ⊂α，得出m 与α是相交的或是垂直的，或m ⊂α，故A 错；答案B ：m ∥β，α⊥β，得出m 与α是相交的、平行的都可，故B 错；答案C ：n ⊥α，n ⊥β，得出α∥β，再m ⊥β得出m ⊥α，故C 正确．⎭⎪⎬⎪⎫2m ⊥αm ⊥n⇒n ⊂α或n ∥α.若n ⊂α，又n ⊥β，∴α⊥β；若n ∥α，则存在l ⊂α且l ∥n ，又n ⊥β，∴l ⊥β，∴α⊥β，故A 正确；事实上，在B 中条件下，α、β可能相交；在C 中条件下，α、β可能平行；在D 的条件下，α⊥β，故选A ．考点二 直线与平面垂直的判定与性质——多维探究角度1 线、面垂直的判定例2 如图所示，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD ． [证明] 解法一：(1)连接AC ，AN ，BN ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AC ，在Rt △PAC 中，N 为PC 中点． ∴AN ＝12PC ．∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC ． 又BC ⊥AB ，PA∩AB＝A ， ∴BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥PB ．从而在Rt △PBC 中，BN 为斜边PC 上的中线， ∴BN ＝12PC ．∴AN ＝BN ，∴△ABN 为等腰三角形． 又M 为底边AB 的中点，∴MN ⊥AB ，又AB ∥CD ，∴MN ⊥CD ． (2)∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD ． 又∠PDA ＝45°，∴AP ＝AD ．∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ，∴PA ＝BC ． 连接PM ，CM ，又∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM. 而∠PAM ＝∠CBM ＝90°，∴Rt △PAM ≌Rt △CBM. ∴PM ＝CM ，又N 为PC 的中点，∴MN ⊥PC ． 由①知MN ⊥CD ，PC∩CD＝C ，∴MN ⊥平面PCD ． 解法二：∵PA ⊥平面ABCD ， ∴PA ⊥AD ，PA ⊥AB ，又AB ⊥AD ，∴PA 、AB 、AD 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，不妨设C(a ，b,0)，P(0,0，c)，则D(0，b,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，c 2， (1)由MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2，c 2，CD →＝(－a,0,0)，∴MN →·CD →＝0，∴MN ⊥CD ． (2)∵∠PDA ＝45°，∴b ＝c ， 又PC →＝(a ，b ，－b)，∴MN →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2，b 2·(a，b ，－b)＝0，∴MN ⊥PC ，又MN ⊥CD ， ∴MN ⊥平面PCD ． 角度2 线、面垂直的性质例3 (2021·河北“五个一联盟”联考，节选)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，D 是AA 1的中点，△ACD 是边长为1的等边三角形．证明：CD ⊥B 1D ．[证明] ∵△ACD 是边长为1的等边三角形， ∴∠ADC ＝60°，∠DA 1C 1＝120°. ∵D 是AA 1的中点，△ACD 的边长为1， ∴AD ＝A 1D ＝A 1C 1＝1，即△A 1C 1D 是等腰三角形， ∴∠A 1DC 1＝30°，从而∠CDC 1＝90°，即CD ⊥C 1D ． ∵B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，且CD ⊂平面AA 1C 1C ， ∴B 1C 1⊥CD ．∵B 1C 1∩C 1D ＝C 1，B 1C 1⊂平面B 1C 1D ，C 1D ⊂平面B 1C 1D ， ∴CD ⊥平面B 1C 1D ．∵B 1D ⊂平面B 1C 1D ，∴CD ⊥B 1D ．名师点拨1．证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊图形中的垂直关系． (2)利用等腰三角形底边中线的性质． (3)利用勾股定理的逆定理． (4)利用直线与平面垂直的性质． (5)向量法：a ⊥b ⇔a·b＝0. 2．证明线面垂直的常用方法(1)利用判定定理，它是最常用的思路．(2)利用线面垂直的性质：若两平行线之一垂直于平面，则另一条线必垂直于该平面． (3)利用面面垂直的性质：①两平面互相垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面．②若两相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面． (4)向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量平行． 〔变式训练2〕(1)(角度1)(2020·河南六市一模)在如图所示的几何体中，ABC －A 1B 1C 1为三棱柱，且AA 1⊥平面ABC ，四边形ABCD 为平行四边形，AD ＝2CD ．∠ADC ＝60°，若AA 1＝AC ，求证：AC 1⊥平面A 1B 1CD ．(2)(角度2)(2021·湖南炎德英才大联考，节选)如图，圆柱OQ 的上，下底面圆的圆心分别为Q ，O ，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的下底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的直径AB ＝4，母线AD ＝AP ＝2 3.求证：AG ⊥BD ．[证明] (1)证法1：∵AD ＝2CD ，∠ADC ＝ 60°， ∴DC ⊥AC ，又AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥DC ． ∴DC ⊥平面AA 1C 1C ，又AC 1⊂平面AA 1C 1C ， ∴DC ⊥AC 1，∵AA 1＝AC ，∴四边形AA 1C 1C 为菱形，∴AC 1⊥A 1C ， 而DC∩A 1C ＝C ，∴AC 1⊥平面A 1B 1CD ． 证法2：∵AD ＝2CD ，∠ADC ＝60°，∴∠ACD ＝90°，则CD ，CA ，CC 1两两垂直．如图，建立空间直角坐标系C －xyz.不妨设CD ＝1，则C(0,0,0)，D(1,0,0)，A(0，3，0)，C 1(0,0，3)，A 1(0，3，3)． ∴AC 1→＝(0，－3，3)，CD →＝(1,0,0)，CA 1→＝(0，3，3)．易得AC 1→·CD →＝0，AC 1→·CA 1→＝0.∴AC 1⊥CD ，AC 1⊥CA 1，又∵CD∩CA 1＝C ， ∴AC 1⊥平面A 1B 1CD ．(2)证法1：∵AD ＝AP ，又G 是DP 的中点， ∴AG ⊥DP.①∵AB 为圆O 的直径，∴AP ⊥BP ，易知DA ⊥底面ABP ，∴DA ⊥BP ，而AD∩AP＝A ， ∴BP ⊥平面ADP ，又AG ⊂平面ADP ，∴BP ⊥AG ，②∴由①②可知：AG ⊥平面BDP ，又BD ⊂平面BDP ， ∴AG ⊥BD ．证法2：∵AB 为⊙O 的直径，∴PA ⊥PB ，如图建立空间直角坐标系，由题意知P(0,0,0)，A(0,23，0)，B(2,0,0)，D(0,23，23)，G(0，3，3)， ∴AG →＝(0，－3，3)，BD →＝(－2,23，23)， ∴AG →·BD →＝0，即AG ⊥BD ．考点三 两个平面垂直的判定与性质——师生共研例4 (2020·四川成都二诊)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6，E ，F 分别为BB 1，AC 的中点．(1)求证：平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1； (2)求几何体AA 1EBC 的体积．[解析] (1)证明：如图，连接AC 1交A 1C 于点O ，连接OE ，OF ，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为矩形，所以OA ＝OC 1.又因为F 为AC 的中点， 所以OF ∥CC 1且OF ＝12CC 1.因为E 为BB 1的中点，所以BE ∥CC 1且BE ＝12CC 1.所以BE ∥OF 且BE ＝OF.所以四边形BEOF 是平行四边形，所以BF ∥OE. 因为AB ＝CB ，F 为AC 的中点， 所以BF ⊥AC ，所以OE ⊥AC ．因为AA 1⊥底面ABC ，所以AA 1⊥BF ，所以OE ⊥AA 1. 又AA 1，AC ⊂平面ACC 1A 1，且AA 1∩AC＝A ， 所以OE ⊥平面ACC 1A 1.因为OE ⊂平面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1. (2)四棱锥A 1－EB 1C 1C 的高为h ＝4sin 60°＝23， 底面为直角梯形，面积为S ＝12×(3＋6)×4＝18，得VA 1－EB 1C 1C ＝13×23×18＝123，故几何体AA 1EBC 的体积为VAA 1EBC ＝VABC －A 1B 1C 1－VA 1－EB 1C 1C ＝12×4×4×32×6－123＝12 3.例5 (2021·黑龙江大庆市质检)在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ＝PD ＝2，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，E 是AD 的中点．(1)求证：BE ⊥平面PAD ； (2)求点E 到平面PAB 的距离．[解析] (1)连接BD ，在△PAD 中，PA ＝PD ＝2，E 是AD 的中点， ∴PE ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ， ∴PE ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥BE ，又∵四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形， ∴BE ⊥AD ，又∵PE∩AD＝E ，PE ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴BE ⊥平面PAD ．(2)在△PAB 中，PA ＝AB ＝2，PB ＝6，则S △PAB ＝152， 在△ABE 中，AB ＝2，AE ＝1，BE ＝3，则S △ABE ＝32， 由PE ⊥面ABCD ，PE ＝3，得 V P －ABE ＝13×3×12×1×3＝12，由V P －ABE ＝V E －PAB ，设点E 到平面PAB 的距离为h ， 则13×152×h＝13×32×3，则h ＝155， 即点E 到平面PAB 的距离为155.名师点拨(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)．(2)在已知面面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．(3)〔变式训练3〕(1)(2020·湖南娄底模拟)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝π3，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为棱PC 上一点，若平面EBD ⊥平面ABCD ，则PE EC ＝_12__.(2)(2021·云南玉海一中期中)已知三棱锥P －ABC(如图1)的展开图如图2，其中四边形ABCD 为边长等于2的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形．证明：平面PAC ⊥平面ABC ．[解析] (1)取AD 的中点O ，连接OC 交BD 于F 点，连接EF ，∵△PAD 是等边三角形，∴PO ⊥AD ，∵OD ∥BC ，BC ＝2OD ，∴FC ＝2OF. 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PO ⊥AD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，又∵平面BDE ⊥平面ABCD ，∴PO ∥平面BDE. ∴OP ∥EF ，∴PE EC ＝OF FC ＝12.故答案为：12.(2)证明：如图取AC 的中点O ，连接BO ，PO.由题意可知PA ＝PB ＝PC ＝2，∴PO ＝1，AO＝BO＝CO＝1，∵在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，∴PO⊥AC．∵在△POB中，PO＝1，OB＝1，PB＝2，∴PO2＋OB2＝PB2，∴PO⊥OB．∵AC∩OB＝O，AC，OB⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC，∵PO⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．名师讲坛·素养提升立体几何中的轨迹问题例6 (多选题)(2021·山东青岛模拟)在如图所示的棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P 在侧面BCC1B1所在的平面上运动，则下列命题中正确的为( ABD )A．若点P总满足PA⊥BD1，则动点P的轨迹是一条直线B．若点P到点A的距离为2，则动点P的轨迹是一个周长为2π的圆C．若点P到直线AB的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆D．若点P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹是双曲线[解析] A．∵PA⊥BD1，∴P在过A且与BD1垂直的平面ACB1上，又P∈平面BCC1B，∴P的轨迹是平面ACB1与平面BCC1B1的交线B1C，故A正确；B．点P的轨迹是以A为球心，半径为2的球面与平面BCC1B1的交线，即点P的轨迹为小圆，设小圆的半径为r，球心A到平面BCC1B1的距离为1，则r＝22－1＝1，所以小圆周长l＝2πr＝2π，故B正确；C．点P到直线AB的距离就是点P到点B的距离，即平面BCC1B1内的点P满足|PB|＋|PC|＝1＝|BC|，即满足条件的点P的轨迹就是线段BC，不是椭圆，故C不正确；D．如图，过P分别作PM⊥BC于点M，PE⊥CC1于点E，则PM⊥平面ABCD，所以PM⊥AD，过M作MN⊥AD，连接PN，PM∩MN＝M，所以AD⊥平面PMN，所以PN⊥AD，如图建立平面直角坐标系，设P(x，y)，PM＝y，则PN2＝1＋y2，PE2＝(1－x)2，即1＋y2＝(1－x)2，整理为：(x－1)2－y2＝1，则动点P的轨迹是双曲线，故D正确．故选ABD．[引申](1)本例中，若点P到直线AB的距离与到直线CC1的距离相等，则点P的轨迹为_以B为焦点、CC1为准线的抛物线__.(2)本例中，若点P到直线AB的距离与到直线AD的距离相等，则点P的轨迹为_与BC距离为1的两条平行线__.名师点拨立体几何中的轨迹面是常转化为两面的交线，或在某面内建立坐标系通过求轨迹方程求解．〔变式训练4〕(2021·安徽蚌埠质检)平面α的一条斜线AP交平面α于P点，过定点A的直线l与AP垂直，且交平面α于M点，则M点的轨迹是( A )A．一条直线B．一个圆C．两条平行直线D．两个同心圆[解析] 由题意知M在过A且与PA垂直的平面β内，∴点M的轨迹为平面α与β的交线，故选A．。

第五讲直线、平面垂直的判定与性质A组基础巩固一、选择题1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是(C)A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α,b⊥β，α∥βD．a⊂α,b∥β，α⊥β[解析］对于C项,由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b.故选C．2．（2021·北京延庆统测）已知直线a，平面α，β，a∥α，那么“a⊥β”是“α⊥β”的（A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析］过a作平面γ∩α＝b,∵a∥α，∴a∥b,若a⊥β，则b⊥β，又b⊂α，∴α⊥β，但α⊥β，a∥α时,a∥β或a与β相交，不一定a⊥β,故选A．3．（2021·浙江省模拟）已知α，β是两个相交平面，其中l⊂α,则（B）A．β内一定能找到与l平行的直线B．β内一定能找到与l垂直的直线C．若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行D．若β内有无数条直线与l垂直,则β与α垂直[解析]由α，β是两个相交平面，其中l⊂α,知:在A中，当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线,故A 错误；在B中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线,故B正确；在C中，β内有一条直线与l平行,则该直线与α平行或该直线在α内，故C错误；在D中，β内有无数条直线与l垂直，则β与α不一定垂直，故D错误，故选B.4．(2021·东北三省四市教研联合体模拟）已知直线m，n 和平面α，β，γ,有如下四个命题：①若m⊥α,m∥β，则α⊥β；②若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；③若n⊥α，n⊥β,m⊥α，则m⊥β；④若m⊥α,m⊥n，则n∥α.其中真命题的个数是(C）A．1B．2C．3D．4[解析]①若m⊥α,m∥β，则一定有α⊥β,故①正确；②若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又因为n⊂β，故可得α⊥β,故②正确；③若n⊥α，n⊥β，故可得α∥β，又因为m⊥α，故可得m⊥β，故③正确；④若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α,故④错误；综上所述,正确的有①②③.故选:C．5．(2021·安徽省皖江名校联盟联考）对于不重合的直线m,l 和平面α，β，下列可以推出α⊥β成立的是(A)A．m∥l，m⊂β，l⊥αB．m⊥l，α∩β＝l，m⊂αC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．m∥l,l⊥α，m⊥β[解析］对于A，m∥l，l⊥α，得m⊥α，又m⊂β，∴α⊥β；对于B，当直线m在平面α内部，且垂直于两个平面的交线l时，也会出现面α、β相交不垂直的情况，故错；对于C,错误!，故错；对于D，l∥m，l⊥α,m⊥β，则α、β应该为平行关系，故D错误．故选A．6．(2021·福建泉州质检）如图，在下列四个正方体ABCD－A1B1C1D1中，E,F，G均为所在棱的中点,过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是（D）[解析]如图，在正方体中，E，F，G，M，N,Q均为所在棱的中点，易知E，F，G，M，N，Q六个点共面，直线BD1与平面EFMNQG垂直,并且选项A、B、C中的平面与这个平面重合，不满足题意，只有选项D中的直线BD1与平面EFG不垂直，满足题意．故选D.7．(2021·宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD,则BC⊥AD;④若AB⊥CD,AC⊥BD，则BC⊥AD.其中为真命题的是（D)A．①②B．②③C．②④D．①④[解析］①如图,取BC的中点M,连接AM，DM，由AB＝AC⇒AM⊥BC，同理DM⊥BC⇒BC⊥平面AMD，而AD⊂平面AMD，故BC⊥AD：④设A在平面BCD内的射影为O,连接BO,CO，DO，由AB⊥CD⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD 的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC．8。