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4.3对数4.3.1对数的概念学习目标核心素养1.理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算．(重点、难点)2．理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化．(重点)3．理解常用对数、自然对数的概念及记法.借助指数式与对数式的互化及应用对数的性质解题，培养数学运算素养.1．对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是a>0，且a≠1. 2．常用对数与自然对数3．对数的基本性质(1)负数和零没有对数．(2)log a 1＝0(a>0，且a≠1)．(3)log a a＝1(a>0，且a≠1)．思考：为什么零和负数没有对数？提示：由对数的定义：a x ＝N (a >0且a ≠1)，则总有N >0，所以转化为对数式x ＝log a N 时，不存在N ≤0的情况．1．若a 2＝M (a >0且a ≠1)，则有( ) A ．log 2M ＝a B ．log a M ＝2 C ．log 22＝MD ．log 2a ＝MB [∵a 2＝M ，∴l o g a M ＝2，故选B.] 2．若log 3x ＝3，则x ＝( ) A ．1 B ．3C ．9D ．27D [∵l o g 3x ＝3，∴x ＝33＝27.]3．在b ＝log a (5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a >5或a <0 B ．0<a <1或1<a <5 C ．0<a <1 D ．1<a <5B [由对数的定义可知⎩⎨⎧5－a >0，a >0，a ≠1，解得0<a <5且a ≠1，故选B.] 4．ln 1＝________，lg 10＝________.0 1 [∵l o g a 1＝0，∴l n 1＝0，又l o g a a ＝1，∴lg 10＝1.]指数式与对数式的互化【例1】 将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式： (1)2－7＝1128；(2)log 1232＝－5；(3)lg 1 000＝3；(4)ln x ＝2.[解] (1)由2－7＝1128，可得log 21128＝－7.(2)由log 12 32＝－5，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝32.(3)由lg 1 000＝3，可得103＝1 000. (4)由ln x ＝2，可得e 2＝x .指数式与对数式互化的方法(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)3－2＝19； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2＝16；(3)log 1327＝－3; (4)logx 64＝－6.[解] (1)log 319＝－2；(2)log 14 16＝－2； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫13－3＝27；(4)(x )－6＝64. 利用指数式与对数式的关系求值【例2】 求下列各式中的x 的值： (1)log 64x ＝－23； (2)log x 8＝6； (3)lg 100＝x; (4)－ln e 2＝x . [解] (1)x ＝(64)－23＝(43)－23＝4－2＝116.(2)x6＝8，所以x＝(x 6)16＝816＝(23)16＝212＝ 2.(3)10x＝100＝102，于是x＝2.(4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2，所以x＝－2.求对数式log a N(a>0，且a≠1，N>0)的值的步骤(1)设log a N＝m；(2)将log a N＝m写成指数式a m＝N；(3)将N写成以a为底的指数幂N＝a b，则m＝b，即log a N＝b.2．计算：(1)log9 27；(2)log 43 81；(3)log354625.[解](1)设x＝log9 27，则9x＝27,32x＝33，∴x＝32.(2)设x＝log 4381，则(43)x＝81,3x4＝34，∴x＝16.(3)令x＝log 354625，∴(354)x＝625,543x＝54，∴x＝3.应用对数的基本性质求值[探究问题]1．你能推出对数恒等式a log a N＝N(a>0且a≠1，N >0)吗？提示：因为a x＝N，所以x＝log a N，代入a x＝N可得a log a N＝N.2．若方程log a f(x)＝0，则f(x)等于多少？若方程log a f(x)＝1呢？(其中a>0且a≠1)提示：若log a f(x)＝0，则f(x)＝1；若log a f(x)＝1，则f(x)＝a.【例3】设5log5(2x－1)＝25，则x的值等于()A．10B．13 C．100 D．±100(2)若log3(lg x)＝0，则x的值等于________．[思路点拨](1)利用对数恒等式a log a N＝N求解；(2)利用log a a＝1，log a1＝0求解．(1)B(2)10[(1)由5log5(2x－1)＝25得2x－1＝25，所以x＝13，故选B.(2)由log3(lg x)＝0得lg x＝1，∴x＝10.]1．若本例(2)的条件改为“ln(log3x)＝1”，则x的值为________．3e[由l n(l o g3x)＝1得l o g3x＝e，∴x＝3e.]2．在本例(2)条件不变的前提下，计算x－12的值．[解]∵x＝10，∴x－12＝10－12＝1010.1．利用对数性质求解的两类问题的解法(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求log a(log b c)的值，先求log b c的值，再求log a(log b c)的值．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．2．性质a log a N＝N与log a a b＝b的作用(1)a log a N＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．(2)log a a b＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．1．对数的概念：a b＝N⇔b＝log a N(a>0且a≠1)是解决指数、对数问题的有利工具．2．指数式、对数式的互化反映了数学上的等价转化思想，在涉及到对数式求值问题时，常转化为指数幂的运算问题．3．对数恒等式a log a N＝N，其成立的条件是a>0，a≠1，N>0.1．思考辨析(1)log a N 是log a 与N 的乘积．( ) (2)(－2)3＝－8可化为log (－2)(－8)＝3.( ) (3)对数运算的实质是求幂指数．( )(4)在b ＝log 3(m －1)中，实数m 的取值范围是(1，＋∞)．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．100＝1与lg 1＝0B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．log 39＝2与912＝3 D ．log 55＝1与51＝5C [C 不正确，由l o g 39＝2可得32＝9.] 3．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝________.3 [由l o g 2(l o g x 9)＝1可知l o g x 9＝2，即x 2＝9，∴x ＝3(x ＝－3舍去)．] 4．求下列各式中的x 值： (1)log x 27＝32； (2)log 2 x ＝－23； (3)x ＝log 2719； (4)x ＝log 1216.[解] (1)由log x 27＝32，可得x 32＝27，∴x ＝2723＝(33)23＝32＝9. (2)由log 2x ＝－23，可得x ＝2－23，∴x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＝314＝322.(3)由x ＝log 2719，可得27x ＝19，∴33x＝3－2，∴x＝－2 3.(4)由x＝log 1216，可得⎝⎛⎭⎪⎫12x＝16，∴2－x＝24，∴x＝－4.。
对数的概念知识点总结一、对数的概念1.1 对数的定义对数是指数的倒数。
设a和b是正实数，且a≠1，a的x次幂等于b，那么x叫做以a为底数的对数，记作loga b=x。
其中，a称为底数，b称为真数，x称为对数。
1.2 对数的性质（1）对数的基本性质：①对数的法则：loga (MN) = loga M + loga N。
②对数的乘积法则：loga(M/N) = loga M − loga N。
③对数的幂法则：loga (M^x) = x loga M。
④对数的换底公式：loga b = logc b / logc a。
（2）对数的特殊性：loga 1 = 0。
1.3 对数函数对数函数是以对数为自变量的函数，一般记作y = loga x。
对数函数是单调递增的，其图像是一个不断向上增长的曲线。
1.4 对数的应用对数在实际生活中有着广泛的应用，比如在科学和工程领域，对数可以用来简化和解决复杂的计算问题。
在财务和经济领域，对数可以用来描述复利和增长速度。
此外，在信息论和统计学中，对数也有着重要的应用。
二、对数的运算2.1 对数的运算规则（1）对数方程的求解：利用对数的性质和公式，可以将对数方程转化为指数方程，从而求解未知数的值。
（2）对数的应用：利用对数的特性和公式，可以将复杂的计算问题简化为更容易处理的形式，从而提高计算的效率和精度。
2.2 对数的反运算对数的反运算是指数运算，即将以a为底数的对数转化为以a为底数的指数形式，从而得到真数的值。
2.3 对数的实际应用对数在实际中有广泛的应用，比如在科学和工程领域中，对数可以用来描述复杂的物理现象和工程问题。
在金融和经济领域中，对数可以用来描述复利和增长速度。
在信息论和统计学中，对数可以用来处理大量数据和计算概率。
三、对数的性质3.1 对数的底数对数的底数一般取为10，自然对数的底数为e。
对数的底数不同，其计算和性质都有所不同。
3.2 对数的长度对数的长度是指对数所具有的位数，一般取整数部分。
§1对数的概念学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．知识点一对数的概念1．对数的概念：一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么数b称为以a为底N的对数，记作log a N＝b.其中a叫作对数的底数，N叫作真数．思考log a N中N满足什么条件？答案N>0.因为a b＝N>0，所以N>0.2．两种特殊对数名称定义记法常用对数以10为底的对数lg N自然对数以无理数e＝2.718 281…为底的对数ln N知识点二对数与指数的关系1．对数与指数的关系：若a>0，且a≠1，则a b＝N⇔log a N＝b.a＝N；log a a x＝x(a>0，且a≠1)．2．对数恒等式：log a N思考任何一个指数式都可以化为对数式吗？答案不是，如(－3)2＝9，不能写成log(－3)9＝2.知识点三对数的性质1．log a1＝0；2．log a a＝1；3．零和负数没有对数．1．log a N是log a与N的乘积．(×)2．(－2)3＝－8可化为log (－2)(－8)＝3.( × ) 3．若3x ＝2，则x ＝log 32.( √ ) 4．对数lg N 没有底数．( × )一、指数式与对数式的互化 例1 将下列指数式与对数式互化： (1)2－2＝14；(2)102＝100；(3)e a＝16；131(4)64;4- (5)log 39＝2；(6)log x y ＝z (x >0且x ≠1，y >0)． 解 (1)log 214＝－2.(2)log 10100＝2，即lg 100＝2. (3)log e 16＝a ，即ln 16＝a . (4)log 6414＝－13.(5)32＝9. (6)x z ＝y .(学生)反思感悟 指数式与对数式互化的思路跟踪训练 1 (多选)下列指数式与对数式互化正确的有( ) A ．e 0＝1与ln 1＝0 B ．138-＝12与log 812＝－13C ．log 416＝2与1216＝4 D ．log 77＝1与71＝7 答案 ABD解析 C 选项中，由log 416＝2，得42＝16，故C 错误，ABD 均正确． 二、利用对数式与指数式的关系求值 例2 求下列各式中x 的值：(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg 1 000＝x ；(4)log 5125＝x .解 (1)()2232331644=4=16x ==.--- (2)因为x 6＝8，且x >0，()()1111636266=82=2x x===所以(3)10x ＝1 000＝103，所以x ＝3. (4)5x ＝125＝5－2，所以x ＝－2.反思感悟 求对数式log a N 的值的步骤 (1)设元：设log a N ＝m ；(2)互化：将log a N ＝m 写成指数式a m ＝N ；(3)求值：将N 写成以a 为底的指数幂N ＝a b ，则m ＝b ，即log a N ＝b . 跟踪训练2 求下列各式的值． (1)log 981＝ ； (2)log 0.41＝ ； (3)ln e 2＝ . 答案 (1)2 (2)0 (3)2解析 (1)设log 981＝x ，所以9x ＝81＝92，故x ＝2，即log 981＝2； (2)设log 0.41＝x ，所以0.4x ＝1＝0.40，故x ＝0， 即log 0.41＝0；(3)设ln e 2＝x ，所以e x ＝e 2，故x ＝2，即ln e 2＝2. 三、利用对数性质及对数恒等式求值 例3 求下列各式中x 的值： (1)ln (log 5x )＝0； (2)log 3(lg x )＝1；71log 5()37.x －＝解 (1)∵ln (log 5x )＝0， ∴log 5x ＝1，∴x ＝51＝5. (2)∵log 3(lg x )＝1， ∴lg x ＝3，∴x ＝103＝1 000.771log 5log 57(3)7=77=75=5x ÷÷=.-反思感悟 利用对数性质及对数恒等式求值(1)对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质：log a 1＝0和log a a ＝1(a >0且a ≠1)，进行变形求解．(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式：log a NaN ＝的应用．跟踪训练3 (1)若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 答案 A解析 ∵log 2(log 3x )＝0， ∴log 3x ＝1，∴x ＝3，同理y ＝4，z ＝2， ∴x ＋y ＋z ＝9.31log 42(2)9＝ .答案 4 解析 ()33311log 4log 4log 42229=3=3=4.51log 2(5)3＋＝ .答案 10 解析 551log 2log 25555210.⨯⨯＋＝＝＝1．log a b ＝1成立的条件是( ) A ．a ＝b B ．a ＝b 且b >0 C ．a >0，a ≠1D ．a >0，a ＝b ≠1答案 D解析 由log a b ＝1得a >0，且a ＝b ≠1. 2．将⎝⎛⎭⎫13－2＝9写成对数式，正确的是( ) A ．log 913＝－2B ．13log 9=2-C ．()13log 2=9-D ．log 9(－2)＝13答案 B解析 根据对数的定义，得13log 9= 2.-3．若log 3x ＝3，则x 等于( ) A ．1 B ．3 C ．9 D ．27 答案 D解析 ∵log 3x ＝3，∴x ＝33＝27. 4．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝ . 答案 3解析 由log 2(log x 9)＝1可知log x 9＝2，即x 2＝9， ∴x ＝3(x ＝－3舍去)． 5．求值：51log 42(1)25＝ ；31log 2(2)3＋＝ .答案 (1)4 (2)6 解析 (1)()5511log 4log 422225=5=4.(2)331log 2log 233332 6.⨯⨯＋＝＝＝1．知识清单： (1)对数的概念．(2)两种特殊对数：自然对数、常用对数． (3)指数式与对数式的互化．(4)对数恒等式及对数的性质． 2．方法归纳：转化化归．3．常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围．1．(多选)下列选项中，可以求对数的是( ) A ．0 B ．－5 C ．π D ．x 2＋1 答案 CD解析 根据对数的定义，得0和负数没有对数，所以选项A ，B 没有对数，π>0，选项C 有对数．又x 2＋1≥1，所以选项D 有对数． 2．已知ln x ＝2，则x 等于( ) A ．±2 B ．e 2 C ．2e D ．2e答案 B解析 由ln x ＝2得，e 2＝x ，所以x ＝e 2.3．使对数log a (5－a )有意义的a 的取值范围为( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,5) C ．(0,1)∪(1,5) D ．(－∞，5)答案 C解析 由对数的概念可知a 需满足a >0且a ≠1且5－a >0，解得0<a <5且a ≠1. 4．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x 等于( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 答案 B解析 由条件知，log 3(log 2x )＝1，所以log 2x ＝3，所以x ＝8. 5．设()5log 21525x －＝，则x 的值等于( )A ．10B ．13C ．100D ．±100 答案 B 解析 由()5log 21525x －＝得2x －1＝25，所以x ＝13.6．若log 3181＝x ，则x ＝ .答案 －4解析 ∵log 3181＝log 33－4，∴3x ＝3－4，∴x ＝－4.7．计算：2log 32－3ln e ＋2lg 1＝ .答案 0解析 原式＝3－3×1＋2×0＝0.8．若a ＝log 92，则9a ＝ ，3a ＋3－a ＝ . 答案 2322解析 a ＝log 92，则9a ＝2， 所以3a ＝2，3a ＋3－a ＝2＋12＝322.9．将下列指数式与对数式进行互化．12(1)55=.-2(2)log 4=4.(3)lg 0.001＝－3. 解 (1)由125-＝15，可得log 515＝－12.(2)由2log4=4,可得(2)4＝4. (3)由lg 0.001＝－3，可得10－3＝0.001. 10．求下列各式的值：5log 4(1)5； 3log 4(2)32－； 24log 5(3)2.＋解 (1)5log 45 4.＝(2)3log 434＝，∵33log 42log 42333⨯－－＝∴＝4×19＝49.222log 54log 5log 54(3)2522216580.⨯⨯＋＝，＝＝＝∵∴11．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则log x(y x)的值是() A．1 B．0 C．x D．y答案 B解析由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则(x－2)2＋(y－1)2＝0，∴x＝2，y＝1，∴log x(y x)＝log2(12)＝0.12．方程lg(x2－1)＝lg(2x＋2)的根为()A．－3 B．3C．－1或3 D．1或－3答案 B解析由lg(x2－1)＝lg(2x＋2)，得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.经检验x＝－1是增根，所以原方程的根为x＝3.13.0.51log412⎛⎫⎪⎝⎭＋-的值为()A．6 B.72C．8 D.37答案 C解析0.12511log4log411·2122248.⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⨯⎝＋＝＝--14．若a>0，a2＝49，则23log a＝ .答案 1解析由a>0，a2＝49＝⎝⎛⎭⎫232，可知a＝23，22332log=log=1.3a∴15．已知二次函数f(x)＝(lg a)x2＋2x＋4lg a的最大值是3，则a的值为．答案1410-解析 因为二次函数f (x )有最大值，所以lg a <0. 又[f (x )]max ＝16lg 2a －44lg a ＝4lg 2a －1lg a ＝3，所以4lg 2a －3lg a －1＝0. 所以lg a ＝1或lg a ＝－14.因为lg a <0， 所以lg a ＝－14，14=10a .-所以16．若()()21231323log log log =log log log x y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()5155=log log log =0,z ⎡⎤⎢⎥⎣⎦试比较x ，y ，z 的大小关系．解 由5155log log log =0,z ⎡⎤()⎢⎥⎣⎦得()5551log log 115log z z ＝，＝，()116530=5=5z ，()3133log log log =0,y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦由得()133log log =1y ，log 3y ＝13，()001113333.y ＝＝()2122log log log =0x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，又由得()122log log =1x ，()111523021log ==2=22x x .，因为310>215>56，所以y>x>z.。
