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对数总结知识点一、对数的定义1.1 对数的基本概念对数是指数的倒数，它描述了某个数在底数为固定值时的指数。
设a和b是两个实数，并且a>0且a≠1，若a的x次幂等于b，即a^x=b，则称x是以a为底b的对数，记作x=loga(b)。
其中，a称为对数的底数，b称为真数，x称为指数。
对数的底数a通常取2、e或者10。
1.2 对数的特性对数有几个重要的特性：（1）当b=a^1时，对数的值为1，即loga(a)=1；（2）当b=1时，对数的值为0，即loga(1)=0；（3）当b=a^0时，对数的值不存在，即loga(0)是无意义的，因为0没有对数；（4）当b=a^(-1)时，对数的值等于-1，即loga(a^(-1))=-1；（5）当a=1时，对数不存在，因为1的任何次幂都是1，没有唯一的对数。
以上就是对数的基本概念和特性，通过这些概念，我们可以初步了解对数的意义和性质。
接下来，我们将介绍对数的性质和运算规则。
二、对数的性质和运算规则2.1 对数的性质对数具有一些重要的性质，这些性质在对数的运算中起着重要的作用。
下面我们来介绍对数的性质：（1）对数的反函数性质：指数函数和对数函数是互为反函数的，即a^loga(x)=x，loga(a^x)=x；（2）对数的除法性质：loga(x/y)=loga(x)-loga(y)，即对数的商等于对数的差；（3）对数的乘法性质：loga(xy)=loga(x)+loga(y)，即对数的积等于对数的和；（4）对数的幂性质：loga(x^k)=k*loga(x)，即对数的幂等于指数与对数的乘积。
通过以上性质，我们可以在对数的运算中简化表达式，更方便地进行计算和推导。
接下来，我们来介绍对数的运算规则。
2.2 对数的运算规则对数的运算规则主要包括：换底公式、对数的乘除法、对数的幂运算等。
（1）换底公式：当底数相同时，不同的对数可以相互转化，即loga(b)=logc(b)/logc(a)，其中a、b、c为正数，且a≠1，c≠1。
对数函数是数学中的一种特殊函数，它的概念和性质在数学和实际应用中都起着重要的作用。
下面我们来详细阐述关于对数函数对数的概念及相关内容。
首先，我们来谈谈对数函数的定义。
对数函数是指以一个固定正数为底数的对数函数，一般用符号“log”表示，其一般形式为y = loga(x)，其中a为底数，x为真数，y为对数。
对数函数的定义域为所有正实数，值域为实数，且底数不等于1。
其次，我们需要了解对数函数的性质。
对数函数的性质包括对数的底数、对数的运算法则以及对数函数的图像特征。
首先是对数的底数，对数函数的底数必须是一个正实数且不等于1，常用的对数底数有10、e等。
其次是对数的运算法则，对数函数的运算法则包括对数的乘法法则、对数的除法法则、对数的幂法则等，这些法则在数学和实际应用中都有重要作用。
最后是对数函数的图像特征，对数函数的图像特征是一条斜率逐渐减小的曲线，其渐近线为y轴，对数函数的图像特征在实际应用中有着重要的意义。
接下来，我们来探讨对数函数的应用。
对数函数在实际应用中有着广泛的应用，比如在生物学、天文学、经济学、工程学等领域都有对数函数的应用。
在生物学中，对数函数可以描述生物种群的增长规律；在天文学中，对数函数可以描述星等和光度的关系；在经济学中，对数函数可以描述复利计算；在工程学中，对数函数可以描述振动的衰减规律等。
最后，我们需要了解对数函数的推广。
除了常见的对数函数loga(x)外，还有自然对数函数ln(x)和常用对数函数lg(x)等。
自然对数函数ln(x)是以e为底数的对数函数，常用对数函数lg(x)是以10为底数的对数函数，它们在实际应用中有着重要的作用。
综上所述，对数函数对数的概念及相关内容涉及对数函数的定义、性质、应用和推广，对数函数在数学和实际应用中都有重要作用。
希望通过本文的介绍，读者对对数函数有了更深入的了解。
对数的概念对数是一种数学概念，用来描述一个数在某个底数下所表示的幂次。
它在很多领域都有应用，特别是在科学、工程和经济等领域。
对数被广泛使用是因为它可以以很方便的方式处理大数和小数的乘除运算。
一、基本概念1.1 对数的定义对数是指一个数在某个正实数底数下的幂次。
如果 $a>0$，$b>0$ 且 $a \ eq 1$ ，则满足下列等式中 $x$ 的值称为以 $a$ 为底的 $b$ 的对数，记做$\\log_a b=x$。
$a^x=b$在上式中，$a$ 是底，$b$ 是真数，$x$ 是指数，$\\log_a b$ 表示底为$a$ ，真数为 $b$ 的对数。
在这里，我们也可以将对数的定义改写为以下两种形式：$\\log_{a}b=x \\Leftrightarrow a^x=b$$a^{\\log_a b}=b$1.2 对数的性质对数有以下基本性质：（1）$\\log_a a=1$ (底的幂次为 1)（2）$\\log_a (a^x)=x$ (底和真数的幂次相等 )（3）$a^{\\log_a b}=b$ (对数及其底的幂次被破坏)（4）$\\log_a b = \\frac{\\log_c b}{\\log_c a}$ （任何底数都可以转化成要求的底数）（5）$\\log_a (bc)=\\log_a b+\\log_a c$（底数为a、因数分解）（6）$\\log_a \\frac{b}{c}=\\log_a b-\\log_a c$ （底数为a、因数分解）1.3 常用对数人们在计算中常用的底数是10的对数，它称为常用对数，记作 $\\log$ 或$\\lg$，它和以e为底的自然对数 $\\ln$ （$\\ln x$ 是以 e （Euler 数 / Napier 常数）为底的对数函数）一样，都是有很多重要性质和计算公式的。
常用对数的底数是10，因此常用对数表现为 $f(x)=\\log_{10} x$ ，常写作 $\\log x$ 或 $\\lg x$ 。
4．3.1 对数的概念(一)教材梳理填空 (1)对数的概念一般地，如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)对数的基本性质①当a ＞0，且a ≠1时，a x ＝N ⇔x ＝log a N . ②负数和0没有对数．③特殊值：1的对数是0，即log a 1＝0(a ＞0，且a ≠1)；底数的对数是1，即log a a ＝1(a ＞0，且a ≠1)．(3)常用对数与自然对数名称 定义记法 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数lg_N 自然对数 以无理数e ＝2.718 28…为底的对数称为自然对数ln_N(二)基本知能小试 1．判断正误(1)因为(－2)2＝4，所以2＝log (－2)4.( ) (2)log a N 是log a 与N 的乘积( )(3)使对数log 2(－2a ＋1)有意义的a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12.( ) 2．若a 2＝M (a ＞0且a ≠1)，则有( ) A ．log 2M ＝a B ．log a M ＝2 C ．log a 2＝MD ．log 2a ＝M3．log 21＋log 22＝( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0 4．已知log 32x －15＝0，则x ＝________.题型一指数式与对数式的互化[学透用活](1)对数的概念的实质是指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部分的“去向”：(2)定义中规定a＞0，且a≠1.理由：①当a＜0且N为某些数值时，x不存在，如式子(－2)x＝3没有实数解，所以log(－2)3不存在，因此，规定a不能小于0.由指数函数的定义也可知a不能小于0.②当a＝0，且N≠0时，log a N不存在；当a＝0，且N＝0时，x可取无数个值，因此规定a≠0.③当a＝1，且N不为1时，x不存在；而a＝1且N＝1时，x可以为任何实数，因此规定a≠1.[典例1]将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：(1)33＝27；(2)log128＝－3；(3)⎝⎛⎭⎫14－2＝16；(4)lg 1 000＝3.[对点练清]1．3b＝5化为对数式是()A．log b3＝5B．log35＝b C．log5b＝3 D．log53＝b 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是() A．100＝1与lg 1＝0B．27-13＝13与log2713＝－13C．log39＝2与912＝3D．log55＝1与51＝5题型二对数的计算[学透用活][典例2]求下列各式的值．(1)log1381；(2)lg 0.000 1；(3)log(5－2)(5＋2)．求对数式log a N的值的步骤[对点练清]1．求下列对数的值：(1)log 28；(2)log 919；(3)ln e ；(4)lg 1.2．求下列各式中x 的值：(1)⎝⎛⎭⎫13x ＝5；(2)log 64x ＝－23；(3)log x 8＝6；(4)lg 100＝x .题型三 对数的性质及对数恒等式[学透用活][典例3] 求下列各式中x 的值： (1)log 2(log 5x )＝0； (2)log 3(lg x )＝1； (3)log 3(log 4(log 5x ))＝0.[对点练清]1．[变条件]本例(3)中若将“log 3(log 4(log 5x ))＝0”改为“log 3(log 4(log 5x ))＝1”，又如何求解x 呢？2．[变设问]在本例(3)条件下，计算625log x 3的值．3．[变条件]本例(3)中若将“log 3(log 4(log 5x ))＝0”改为“3log 3(log 4(log 5x ))＝1”，又如何求解x 呢？[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．已知log x 16＝2，则x 等于( ) A ．4B ．±4C ．256D ．22．2－3＝18化为对数式为( )A ．log 182＝－3B ．log 18(－3)＝2C ．log 218＝－3D ．log 2(－3)＝183．求值：lg 1 000＝________；lg 0.001＝________. 4．已知log 2x ＝3，则x -12＝________.二、创新应用题5．先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值．[课下双层级演练过关] A 级——学考水平达标练1．若a ＞0，且a ≠1，c ＞0，则将a b ＝c 化为对数式为( ) A ．log a b ＝c B ．log a c ＝b C ．log b c ＝aD ．log c a ＝b2．若对数log (2a －1)(6－2a )有意义，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，3) B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫12，1∪(1,3)3．若log x 7y ＝z ，则x ，y ，z 之间满足( ) A ．y 7＝x z B ．y ＝x 7z C ．y ＝7x zD ．y ＝z 7x4．对于a ＞0，且a ≠1，下列说法中，正确的是( ) ①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2. A ．①③ B ．②④ C ．②D ．①②③④5．(2018·河北辛集中学高一期中)若x log 23＝1，则3x ＋9x 的值为( ) A ．6 B ．3 C ．52D ．126．若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 7．若a ＝lg 2，b ＝lg 3，则1002b a 的值为________．8．给出下列各式：①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④由log 25x ＝12，得x ＝±5. 其中，正确的是________(把正确的序号都填上)． 9．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)53＝125； (2)4－2＝116； (3)log 3127＝－3. 10．若log 12x ＝m ，log 14y ＝m ＋2，求x 2y的值．B 级——高考水平高分练1．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x -12等于( ) A.13 B.36 C.24D.332．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2(x ＋1)，x ≥0，2x －1，x ＜0，则f (f (3))＝________.3．已知log 2(log 3(log 4x ))＝0，且log 4(log 2y )＝1.求x ·y 34的值．4．分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把一很小的声压P 0＝2×10－5 帕作为参考声压，把所要测量的声压P 与参考声压P 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料，列出分贝y 与声压P 的函数关系式；(2)某地声压P ＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区，声音环境是否优良？。
对数的知识点总结一、对数的定义对数是指数运算的逆运算，它与指数的概念密切相关。
在指数的定义中，我们知道指数运算是一个以底数为基的运算，而对数运算则是求解指数运算的逆运算。
对数的定义如下：设a是一个大于0且不等于1的实数，且a≠1，b是一个大于0的实数，则称实数x满足a^x=b时x为以a为底，b为真数的对数，记作x=loga(b)。
其中，a称为对数的底，b称为真数，x称为对数。
在对数的定义中，需要注意的是对数的底a必须是一个大于0且不等于1的实数，同时真数b必须是一个大于0的实数。
二、对数的性质对数具有一些重要的性质，这些性质对于我们理解和运用对数都有着重要的作用。
下面是对数的一些基本性质：1. 对数的底对数的底是一个大于0且不等于1的实数，它在对数函数中起着至关重要的作用。
同一个真数根据不同的对数底，对数的值是不同的。
对数的底可以是任意正实数，但常用的有以10为底的常用对数、以e为底的自然对数等。
2. 对数的值对数的值是一个与真数相关的非常重要的概念。
对数是一个运算符，它的作用是求解一个数的指数。
对数的值可以是整数、分数或无理数，它与真数之间存在着一定的关系。
3. 对数函数对数函数是指以对数为自变量，并且以对数为函数的函数。
对数函数的性质与普通函数有所不同，它在数学和科学中具有着广泛的应用。
对数函数在数学分析、微积分、概率论、统计学、物理学、工程学等领域中都有着广泛的应用。
4. 对数的运算法则对数的运算法则是指对数与指数之间的运算规则，有加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则等。
这些法则对于我们进行对数运算和化简有着重要的作用。
5. 对数的性质定理对数具有许多重要的性质定理，这些定理为我们理解和运用对数提供了重要的基础。
常见的对数性质定理有对数函数的导数与积分、对数函数的求导公式、对数函数的特性等。
6. 对数方程对数方程是指包含对数的方程，解对数方程是对数学能力的一种重要体现。
解对数方程的关键是要将对数方程化为指数方程，然后进行求解。
