4.3.1对数的概念

4.3.1 对数的概念【引入】1．庄子曰：一尺之棰，日取其半，万世不竭．(1)取5次，还有多长？(2)取多少次，还有0.125尺？2．细胞分裂问题，经过几次分裂后细胞的个数为4 096个？2x＝4 096．【新课】一、对数的概念一般地，如果a (a＞0且a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么幂指数b叫做以a为底N的对数．“以a为底N的对数b”记作b＝log a N (a＞0且a≠1)，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．注意：(1) 底数的限制：a＞0且a≠1；(2)对数的书写格式；(3)对数的真数大于零．二、对数式与指数式的关系由对数的定义可知，a b＝N与b＝log a N两个等式所表示的是a，b，N三个量之间的同一关系的两种不同表示形式．例如：32＝9⇔2＝log39．对数式与指数式的互化：a b＝N ⇔b＝log a N练习1(1) 将下列指数式写成对数式：22＝4；62＝36；7.60＝1；34＝81．(2) 将下列对数式写成指数式：log39＝2；log416＝2；log5125＝3；log749＝2．练习2 将下列指数式写成对数式 ( 其中 a ＞0且 a ≠1)：21＝2； a 1＝a ；60＝1； a 0＝1．三、对数的性质(1) log a a ＝1，即底数的对数等于1；(2) log a 1＝0，即1的对数等于零；(3) 0和负数没有对数．例1 求log 22，log 21，log 216，log 212． 解 (1) 因为 21＝2，所以 log 22＝1；(2) 因为 20＝1，所以 log 21＝0；(3) 因为 24＝16，所以 log 216＝4；(4) 因为 2－1＝12，所以 log 212＝－1． 四、常用对数以10为底的对数叫做常用对数．为了简便，log 10N 简记作 lg N ． 例2 求lg 10，lg 100，lg 0.01．解 (1) 因为 101＝10，所以 lg10＝1；(2) 因为 102＝100，所以 lg100＝2；(3) 因为 10－2＝0.01，所以lg0.01＝－2．例 3 利用计算器求对数(精确到0.000 1)．lg2 001； lg0.618；lg0.004； lg396.5．练习3 求下列各式的值(1) lg1＋lg10＋lg100；(2) lg0.1＋lg0.01＋lg0.001．【小结】一、对数二、指数式与对数式的关系式a b ＝N b ＝log a N三、常用对数以10为底的对数叫做常用对数，简记作 lg N ．。

4．3.1 对数的概念(一)教材梳理填空 (1)对数的概念一般地，如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)对数的基本性质①当a ＞0，且a ≠1时，a x ＝N ⇔x ＝log a N . ②负数和0没有对数．③特殊值：1的对数是0，即log a 1＝0(a ＞0，且a ≠1)；底数的对数是1，即log a a ＝1(a ＞0，且a ≠1)．(3)常用对数与自然对数名称 定义记法 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数lg_N 自然对数 以无理数e ＝2.718 28…为底的对数称为自然对数ln_N(二)基本知能小试 1．判断正误(1)因为(－2)2＝4，所以2＝log (－2)4.( ) (2)log a N 是log a 与N 的乘积( )(3)使对数log 2(－2a ＋1)有意义的a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12.( ) 2．若a 2＝M (a ＞0且a ≠1)，则有( ) A ．log 2M ＝a B ．log a M ＝2 C ．log a 2＝MD ．log 2a ＝M3．log 21＋log 22＝( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0 4．已知log 32x －15＝0，则x ＝________.题型一指数式与对数式的互化[学透用活](1)对数的概念的实质是指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部分的“去向”：(2)定义中规定a＞0，且a≠1.理由：①当a＜0且N为某些数值时，x不存在，如式子(－2)x＝3没有实数解，所以log(－2)3不存在，因此，规定a不能小于0.由指数函数的定义也可知a不能小于0.②当a＝0，且N≠0时，log a N不存在；当a＝0，且N＝0时，x可取无数个值，因此规定a≠0.③当a＝1，且N不为1时，x不存在；而a＝1且N＝1时，x可以为任何实数，因此规定a≠1.[典例1]将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：(1)33＝27；(2)log128＝－3；(3)⎝⎛⎭⎫14－2＝16；(4)lg 1 000＝3.[对点练清]1．3b＝5化为对数式是()A．log b3＝5B．log35＝b C．log5b＝3 D．log53＝b 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是() A．100＝1与lg 1＝0B．27-13＝13与log2713＝－13C．log39＝2与912＝3D．log55＝1与51＝5题型二对数的计算[学透用活][典例2]求下列各式的值．(1)log1381；(2)lg 0.000 1；(3)log(5－2)(5＋2)．求对数式log a N的值的步骤[对点练清]1．求下列对数的值：(1)log 28；(2)log 919；(3)ln e ；(4)lg 1.2．求下列各式中x 的值：(1)⎝⎛⎭⎫13x ＝5；(2)log 64x ＝－23；(3)log x 8＝6；(4)lg 100＝x .题型三 对数的性质及对数恒等式[学透用活][典例3] 求下列各式中x 的值： (1)log 2(log 5x )＝0； (2)log 3(lg x )＝1； (3)log 3(log 4(log 5x ))＝0.[对点练清]1．[变条件]本例(3)中若将“log 3(log 4(log 5x ))＝0”改为“log 3(log 4(log 5x ))＝1”，又如何求解x 呢？2．[变设问]在本例(3)条件下，计算625log x 3的值．3．[变条件]本例(3)中若将“log 3(log 4(log 5x ))＝0”改为“3log 3(log 4(log 5x ))＝1”，又如何求解x 呢？[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．已知log x 16＝2，则x 等于( ) A ．4B ．±4C ．256D ．22．2－3＝18化为对数式为( )A ．log 182＝－3B ．log 18(－3)＝2C ．log 218＝－3D ．log 2(－3)＝183．求值：lg 1 000＝________；lg 0.001＝________. 4．已知log 2x ＝3，则x -12＝________.二、创新应用题5．先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值．[课下双层级演练过关] A 级——学考水平达标练1．若a ＞0，且a ≠1，c ＞0，则将a b ＝c 化为对数式为( ) A ．log a b ＝c B ．log a c ＝b C ．log b c ＝aD ．log c a ＝b2．若对数log (2a －1)(6－2a )有意义，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，3) B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫12，1∪(1,3)3．若log x 7y ＝z ，则x ，y ，z 之间满足( ) A ．y 7＝x z B ．y ＝x 7z C ．y ＝7x zD ．y ＝z 7x4．对于a ＞0，且a ≠1，下列说法中，正确的是( ) ①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2. A ．①③ B ．②④ C ．②D ．①②③④5．(2018·河北辛集中学高一期中)若x log 23＝1，则3x ＋9x 的值为( ) A ．6 B ．3 C ．52D ．126．若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 7．若a ＝lg 2，b ＝lg 3，则1002b a 的值为________．8．给出下列各式：①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④由log 25x ＝12，得x ＝±5. 其中，正确的是________(把正确的序号都填上)． 9．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)53＝125； (2)4－2＝116； (3)log 3127＝－3. 10．若log 12x ＝m ，log 14y ＝m ＋2，求x 2y的值．B 级——高考水平高分练1．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x -12等于( ) A.13 B.36 C.24D.332．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2(x ＋1)，x ≥0，2x －1，x ＜0，则f (f (3))＝________.3．已知log 2(log 3(log 4x ))＝0，且log 4(log 2y )＝1.求x ·y 34的值．4．分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把一很小的声压P 0＝2×10－5 帕作为参考声压，把所要测量的声压P 与参考声压P 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料，列出分贝y 与声压P 的函数关系式；(2)某地声压P ＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区，声音环境是否优良？。

4．3对数4．3.1对数的概念学习目标1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．知识点一 对数的有关概念 对数的概念：一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 常用对数与自然对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e ＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，log 10N 可简记为lg N ，log e N 简记为ln N . 知识点二 对数与指数的关系 一般地，有对数与指数的关系： 若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝x . 对数恒等式：log a Na＝N ；log a a x ＝x (a >0，且a ≠1)．知识点三 对数的性质 1．1的对数为零． 2．底的对数为1. 3．零和负数没有对数．1．若3x ＝2，则x ＝log 32.( √ )2．因为a 1＝a (a >0且a ≠1)，所以log a a ＝1.( √ ) 3．log a N >0(a >0且a ≠1，N >0)．( × ) 4．若ln N ＝12，则N ＝⎝⎛⎭⎫12e .( × )一、指数式与对数式的互化 例1 将下列指数式与对数式互化： (1)2－2＝14；(2)102＝100；(3)e a＝16；(4)1364-＝14；(5)log 39＝2；(6)log x y ＝z (x >0且x ≠1，y >0)． 解 (1)log 214＝－2.(2)log 10100＝2，即lg 100＝2. (3)log e 16＝a ，即ln 16＝a . (4)log 6414＝－13.(5)32＝9. (6)x z ＝y .反思感悟 指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 跟踪训练1 将下列指数式与对数式互化： (1)log 216＝4；(2)13log 27＝－3；(3)43＝64；(4)⎝⎛⎭⎫14－2＝16.解 (1)由log 216＝4，可得24＝16. (2)由13log 27＝－3，可得⎝⎛⎭⎫13－3＝27.(3)由43＝64，可得log 464＝3. (4)由⎝⎛⎭⎫14－2＝16，可得14log 16＝－2.二、利用对数式与指数式的关系求值 例2 求下列各式中x 的值：(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg 100＝x .考点 对数式与指数式的互化 题点 对数式化为指数式 解 (1)2233364(4)x --==＝4－2＝116.(2)因为x 6＝8，所以1111636662()8(2)2x x =====(3)10x ＝100＝102，于是x ＝2.反思感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．跟踪训练2 (1)计算log 927；的值； (2)求下列各式中x 的值： ①log 27x ＝－23；②log x 16＝－4.解 (1)设x ＝log 927，则9x ＝27,32x ＝33， ∴2x ＝3，x ＝32.设81x =，则x＝81,43x ＝34，∴x4＝4，x ＝16.(2)①∵log 27x ＝－23，∴2233327(3)x --==＝3－2＝19.②∵log x 16＝－4，∴x －4＝16，即x 4＝116＝⎝⎛⎭⎫124，∴x ＝12.三、利用对数性质及对数恒等式求值 例3 求下列各式中x 的值：(1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1；(3)71log 57.x －＝考点 对数式与指数式的互化 题点 对数式化为指数式解 (1)∵log 2(log 5x )＝0，∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5. (2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1 000. (3)771log 5log 5777775.5x ÷÷－＝＝＝＝反思感悟 (1)此类题型应利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．log a N ＝0⇒N ＝1；log a N ＝1⇒N ＝a 使用频繁，应在理解的基础上牢记． (2)符合对数恒等式的，可以直接应用对数恒等式：log log .a NN a a N a N ＝，＝跟踪训练3 (1)设3(log 21)327x ＋＝，则x ＝ .答案 13(2)若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 考点 对数式与指数式的互化 题点 对数式化为指数式 答案 A解析 ∵log 2(log 3x )＝0，∴log 3x ＝1. ∴x ＝3.同理y ＝4，z ＝2.∴x ＋y ＋z ＝9.1．将⎝⎛⎭⎫13－2＝9写成对数式，正确的是( ) A ．log 913＝－2B ．13log 9＝－2C ．13log (2)-＝9D ．log 9(－2)＝13答案 B解析 根据对数的定义，得13log 9＝－2，故选B.2．若log a x ＝1，则( )A ．x ＝1B ．a ＝1C ．x ＝aD ．x ＝10 考点 对数式与指数式的互化 题点 对数式化为指数式 答案 C 3．方程3log 2x＝14的解是( ) A ．x ＝19 B ．x ＝33 C ．x ＝ 3 D ．x ＝9考点 对数式与指数式的互化 题点 对数式与指数式的互化 答案 A 解析 ∵3log 2x＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.4．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．e 0＝1与ln 1＝0B．138 ＝12与log812＝－13C．log39＝2与129＝3D．log77＝1与71＝7考点对数式与指数式的互化题点对数式与指数式的互化答案 C5．已知log x16＝2，则x＝.答案 4解析log x16＝2化成指数式为x2＝16，所以x＝±4，又因为x>0且x≠1，所以x＝4.1．知识清单：(1)对数的概念．(2)自然对数、常用对数．(3)指数式与对数式的互化．(4)对数的性质．2．方法归纳：(1)根据对数的概念进行指数式与对数式的互化．(2)利用对数的性质及对数恒等式进行对数的化简与求值．3．常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围．1．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．其中正确说法的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4考点对数的概念题点对数的概念答案 C解析①③④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，a x＝N才能化为对数式．2．已知－ln e2＝x，则x等于()A．－1 B．－2 C．1 D．2 答案 B解析因为－ln e2＝x，所以ln e2＝－x，e2＝e－x，x＝－2.3．若log a 5b＝c，则下列等式正确的是()A．b5＝a c B．b＝a5c C．b＝5a c D．b＝c5a 答案 B解析由log a 5b＝c，得a c＝5b，所以b＝a5c.4．下列四个等式：①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若lg x＝10，则x＝10；④若ln x＝e，则x＝e2. 其中正确的是()A．①③B．②④C．①②D．③④考点对数式与指数式的互化题点对数式化为指数式答案 C解析①lg(lg 10)＝lg 1＝0；②lg(ln e)＝lg 1＝0；③若lg x＝10，则x＝1010；④若ln x＝e，则x＝e e.故只有①②正确．5．若log a3＝m，log a5＝n，则a2m＋n的值是()A．15 B．75 C．45 D．225考点对数式与指数式的互化题点对数式化为指数式答案 C解析由log a3＝m，得a m＝3，由log a5＝n，得a n＝5，∴a2m＋n＝(a m)2·a n＝32×5＝45.6．＝.考点对数式与指数式的互化题点对数式化为指数式答案8解析设81＝t ，则(3)t ＝81,23t ＝34，t2＝4，t ＝8. 7．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么12x -＝ .考点 对数式与指数式的互化 题点 对数式化为指数式 答案24解析 ∵log 7[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，∴23＝x ， ∴12x-＝()1322-＝18＝122＝24. 8．若对数log (x －1)(2x －3)有意义，则x 的取值范围是 ． 答案 ⎝⎛⎭⎫32，2∪(2，＋∞) 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>0，x －1≠1，2x －3>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x ≠2，x >32，得x >32且x ≠2.9．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)53＝125； (2)4－2＝116；(3)12log 8＝－3；(4)log 3127＝－3. 解 (1)∵53＝125，∴log 5125＝3. (2)∵4－2＝116，∴log 4116＝－2.(3)∵12log 8＝－3，∴⎝⎛⎭⎫12－3＝8.(4)∵log 3127＝－3，∴3－3＝127.10．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值．①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13. (2)已知6a ＝8，试用a 表示下列各式．①log 68；②log 62；③log 26.考点 对数式与指数式的互化题点 对数式化为指数式解 (1)①因为log 2x ＝－25，所以x ＝252-＝582. ②因为log x 3＝－13，所以13x -＝3，所以x ＝3－3＝127. (2)①log 68＝a .②由6a ＝8得6a ＝23，即36a ＝2，所以log 62＝a 3. ③由36a ＝2得32a＝6，所以log 26＝3a .11．方程lg(x 2－1)＝lg(2x ＋2)的根为( )A ．－3B ．3C ．－1或3D ．1或－3答案 B解析 由lg(x 2－1)＝lg(2x ＋2)，得x 2－1＝2x ＋2，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.经检验x ＝－1是增根，所以原方程的根为x ＝3. 12.0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( )A ．6 B.72 C ．8 D.37答案 C解析 0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭＝⎝⎛⎭⎫12－1·12log 412⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2×4＝8.13．若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝ . 答案 －3解析 由log (1－x )(1＋x )2＝1，得(1＋x )2＝1－x ， ∴x 2＋3x ＝0，∴x ＝0或x ＝－3.注意到⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－x ≠1，∴x ＝－3. 14．若x 满足(log 2x )2－2log 2x －3＝0，则x ＝ .答案 8或12解析 设t ＝log 2x ，则原方程可化为t 2－2t －3＝0， 解得t ＝3或t ＝－1，所以log 2x ＝3或log 2x ＝－1，所以x ＝23＝8或x ＝2－1＝12.15．若a >0，23a ＝49，则23log a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 B解析 因为23a ＝49，a >0， 所以a ＝3249⎛⎫ ⎪⎝⎭＝⎝⎛⎭⎫233， 设23log a ＝x ，所以⎝⎛⎭⎫23x ＝a .所以x ＝3.16．若12log x ＝m ，14log y ＝m ＋2，求x 2y 的值． 解 因为12log x ＝m ，所以⎝⎛⎭⎫12m ＝x ，x 2＝⎝⎛⎭⎫122m . 因为14log y ＝m ＋2，所以⎝⎛⎭⎫14m ＋2＝y ，y ＝⎝⎛⎭⎫122m ＋4. 所以x 2y ＝⎝⎛⎭⎫122m ⎝⎛⎭⎫122m ＋4＝⎝⎛⎭⎫122m －(2m ＋4)＝⎝⎛⎭⎫12－4＝16.。

4.3.1对数的概念新知初探知识点对数1．对数的概念(1)定义如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数叫做以为底的对数，记作x＝log a N.(2)相关概念①底数与真数其中，叫做对数的底数，叫做真数．②常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作；以无理数e＝2.718 28…为底数的对数称为自然对数，并且把log e N记为.状元随笔log a N是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．2．对数与指数间的关系当a＞0，a≠1时，a x＝N⇔x＝log a N.前者叫指数式，后者叫对数式．3．对数的性质状元随笔指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表：教材解难对数式与指数式的关系(1)对数式是指数式的另一种表达形式，对数运算是指数运算的逆运算，常用符号“log”表示对数．(2)对数的概念中出现了两个等式：指数式a x ＝N 和对数式x ＝log a N ，这两个等式是等价的，它们之间的关系如图所示．根据这个关系可以将指数式化成对数式，也可将对数式化成指数式． 基础自测1．把指数式a b ＝N 化为对数式是( ) A ．log b a ＝N B ．log a N ＝b C ．log N b ＝aD ．log N a ＝b2．把对数式log a 49＝2写成指数式为( ) A ．a 49＝2 B ．2a ＝49 C ．492＝aD ．a 2＝493．已知log x 16＝2，则x 等于( ) A ．±4 B ．4 C ．256D ．24．下列各式： ①lg(lg 10)＝0； ②lg(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10； ④由log 25x ＝12，得x ＝±5.其中，正确的是________．(把正确的序号都填上)课堂探究题型一 指数式与对数式互化例1 把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： 利用a b ＝N ⇔log a N ＝b. (1)54＝625； (2)2－6＝164；(3)⎝⎛⎭⎫13m ＝5.73;(4)log 1216＝－4；(5)lg 0.01＝－2； (6)ln 10＝2.303. 教材反思指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 跟踪训练1 将下列指数式与对数式互化： (1)25＝32； (2)⎝⎛⎭⎫12－2＝4； (3)log 381＝4； (4)log 134＝m .题型二 对数基本性质的应用例2求下列各式中的x的值．利用性质log a a＝1，log a1＝0求值．(1)log2(log3x)＝0；(2)log5(log2x)＝1；log x.(3)方法归纳利用对数性质求值的方法(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求log a(log b c)的值，先求log b c的值，再求log a(log b c)的值．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．跟踪训练2求下列各式中的x的值．(1)log8[log7(log2x)]＝0；(2)log2[log3(log2x)]＝1.题型三对数恒等式a log a N＝N(a＞0，且a≠1，N＞0)的应用例3求下列各式的值：(1)22log 3＋33log 2；(2)22＋log 213；(3)101＋lg 2；(4)e －1＋ln 3.方法归纳利用对数恒等式化简的关键是利用指数幂的相关运算性质把式子转化为alog a N的形式．跟踪训练3 计算：(1)931log 42＝________；(2)⎝⎛⎭⎫1331log 2－＋＝________.课时训练一、选择题 1．对于下列说法： (1)零和负数没有对数；(2)任何一个指数式都可以化成对数式； (3)以10为底的对数叫做自然对数； (4)以e 为底的对数叫做常用对数． 其中错误说法的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．42．将⎝⎛⎭⎫13－2＝9写成对数式，正确的是( )A ．log 913＝－2B ．log 139＝－2C ．log 13(－2)＝9D ．log 9(－2)＝133．若log a2b ＝c 则( )A ．a 2b ＝cB ．a 2c ＝bC ．b c ＝2aD ．c 2a ＝b4．33log 4－2723－lg 0.01＋ln e 3等于( ) A ．14 B ．0 C ．1D ．6二、填空题5．求下列各式的值： (1)log 636＝________. (2)ln e 3＝________. (3)log 50.2＝________. (4)lg 0.01＝________. 6．ln 1＋1)log (2－1)＝________.7．10lg 2－ln e＝________.三、解答题8．将下列指数式与对数式互化： (1)log 216＝4; (2)log 1327＝－3；(3)log 3x ＝6; (4)43＝64；(5)3－2＝19； (6)⎝⎛⎭⎫14－2＝16.9．求下列各式中x 的值： (1)log 3(log 2x )＝0； (2)log 2(lg x )＝1；(3)552log 3－＝x .10．计算下列各式：(1)2ln e ＋lg 1＋33log 2；(2)33log 4lg 10－＋2ln 1.参考答案新知初探 知识点 对数1．(1)x a N (2)①a N ②lg N ln N3．零和负数 0 0 1 1 基础自测 1．【答案】B【解析】根据对数定义知a b ＝N ⇔log a N ＝b . 2．【答案】D【解析】根据指数式与对数式的互化可知，把log a 49＝2化为指数式为a 2＝49. 3．【答案】B【解析】由log x 16＝2可知x 2＝16，所以x ＝±4， 又x ＞0且x ≠1，所以x ＝4. 4．【答案】①②【解析】因为lg 10＝1，所以lg(lg 10)＝lg 1＝0，①正确； 因为ln e ＝1，所以lg(ln e)＝lg 1＝0，②正确； 若10＝lg x ，则x ＝1010，③错误； 由log 25x ＝12，得x ＝2512＝5，④错误．课堂探究题型一 指数式与对数式互化 例1 解：(1)log 5625＝4；(2)log 2164＝－6；(3) log 135.73＝m ； (4)⎝⎛⎭⎫12－4＝16；(5)10－2＝0.01；(6)e 2.303＝10. 跟踪训练1 解：(1)log 232＝5； (2)log 124＝－2；(3)34＝81； (4)⎝⎛⎭⎫13m ＝4.底数不变，指数与对数，幂与真数相对应．题型二 对数基本性质的应用 例2 解：(1)因为log 2(log 3x )＝0， 所以log 3x ＝1， 所以x ＝3.(2)因为log 5(log 2x )＝1， 所以log 2x ＝5， 所以x ＝25＝32. (3)23－1＝2(3＋1)2＝3＋1，所以1)log 1)log 1)+＝1，所以x ＝1.跟踪训练2 解：(1)由log 8[log 7(log 2x )]＝0 得log 7(log 2x )＝1， 所以log 2x ＝7， 所以x ＝27＝128.(2)由log 2[log 3(log 2x )]＝1得 log 3(log 2x )＝2， 所以log 2x ＝32， 所以x ＝29＝512.已知多重对数式的值求变量，先外到内，利用性质逐一求值． 题型三 对数恒等式a log a N ＝N (a ＞0，且a ≠1，N ＞0)的应用 例3 解：(1)因为22log 3＝3,33log 2＝2，所以原式＝3＋2＝5.(2)原式＝22×221log 3＝4×13＝43.(3)原式＝10×10lg 2＝10×2＝20. (4)原式＝e －1×e ln 3＝1e ×3＝3e .化成a log a N ＝N 形式，再求值．跟踪训练3 【答案】(1)4 (2)32【解析】(1)931log 42＝(912)3log 4＝33log 4＝4.(2)原式＝⎝⎛⎭⎫13－1×⎝⎛⎭⎫133log 2＝3×(3－1)3log 2＝3×(33log 2)－1＝3×2－1＝32.课时训练一、选择题 1．【答案】C【解析】只有符合a ＞0，且a ≠1，N ＞0，才有a x ＝N ⇔x ＝log a N ，故(2)错误．由定义可知(3)(4)均错误．只有(1)正确． 2．【答案】B【解析】根据对数的定义，得log 139＝－2，故选B.3．【答案】B【解析】log a 2b ＝c ⇔(a 2)c ＝b ⇔a 2c ＝b . 4．【答案】B【解析】33log 4－2723－lg 0.01＋ln e 3＝4－3272－lg 1100＋3＝4－32－(－2)＋3＝0.选B.二、填空题5．【答案】(1)2 (2)3 (3)－1 (4)－2 【解析】(1)log 636＝2. (2)ln e 3＝3.(3)log 50.2＝log 55－1＝－1. (4)lg 0.01＝lg 10－2＝－2. 6．【答案】1 【解析】ln 1＋1)log (2－1)＝0＋1＝1.7．【答案】15【解析】ln e ＝1，所以原式＝10lg2－1＝10lg 2×10－1＝2×110＝15. 三、解答题8．解：(1)24＝16; (2)⎝⎛⎭⎫13－3＝27； (3)(3)6＝x; (4)log 464＝3；(5)log 319＝－2; (6)log 1416＝－2. 9．解：(1)∵log 3(log 2x )＝0，∴log 2x ＝1.∴x ＝21＝2.(2)∵log 2(lg x )＝1，∴lg x ＝2.∴x ＝102＝100.(3)x ＝552log 3－＝5255log 3＝253. 10．解：(1)原式＝21＋0＋2＝2＋2＝4.(2)原式＝33log 41－＋20 ＝33log 4÷31＋1＝43＋1＝73.。

4.3.1对数的概念教学目标:1）理解对数的概念；2）能够说明对数与指数的关系；3）掌握对数式与指数式的相互转化． 学习过程：（一）自主探究思考1：=42 __________， =2-2 ______思考2：(1)若162=x，则x= ，(2)若412x=，则x=(3)若84=x ,则x=（4）若32=x ，则x=？ 那么如何表示x 呢？阅读课本P122页：1、对数定义：一般地，如果 ，那么数 叫做以a 为底 N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做 。

注意：对数的定义中要求底数0>a ，且1≠a ；对于（4）中的x 表示为_______________.常用对数：以10为底的对数（10log N ）叫做 ， 10log N 记作 .自然对数：以 e 为底的对数（log e N ）叫做 ， log e N 记作 .（二）巩固练习 （1）、将下列指数式写成对数式62554= 64126=- 373=a 73.5)31(=m（2）、将下列对数式写成指数式416log 21-= a =27log 3 303.210ln = 201.0lg -=根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当时，1,0≠>a a ⇔=N a x （三）、常用的对数关系式： （1）负数和零没有对数；(2) log 1___a =； log ___a a =．(3) 对数恒等式：=N a a log _______________ =n a a log _____________（4）求下列各式的值:25log 5= ， 161log 2= ， 1000lg = ，001.0lg = ， 15log 15= ， 1log 4.0= ，81log 9= ， 25.6log 5.2= ， 243log 3= ，343log 7=(5) 求下列各式中x 的值：()32log 164-=x , ()68log 2=x , ()x =100lg 3 , ()x e =-2ln 4练习：P123: 1、2、3题小结：（四）课后作业 课本p126习题1、2（1）题。