4.4.1对数函数的概念(原卷版)

对数函数的概念与计算数学中，对数函数是一种非常重要的函数，它与指数函数密切相关。

本文将介绍对数函数的概念及其计算方法。

一、对数函数的概念对数函数是数学中一种常用的函数，它是指数函数的逆运算。

数学中常用的对数函数有自然对数函数 ln(x) 和常用对数函数 log(x)。

1. 自然对数函数 ln(x)自然对数函数 ln(x) 是以常数 e 为底的对数函数。

其中，常数 e 是一个重要的数学常数，它的近似值约为2.71828。

自然对数函数的定义域为正实数集合(0, +∞)，值域为实数集合。

2. 常用对数函数 log(x)常用对数函数 log(x) 是以常数 10 为底的对数函数。

常用对数函数的定义域为正实数集合(0, +∞)，值域为实数集合。

二、对数函数的计算对数函数的计算方法主要涉及对数的性质和运算规则。

1. 对数的性质（1） ln(1) = 0，即以 e 为底的对数函数 ln(x) 在 x = 1 时取值为 0。

（2） ln(e) = 1，即以 e 为底的对数函数 ln(x) 在 x = e 时取值为 1。

（3） log(1) = 0，即以 10 为底的对数函数 log(x) 在 x = 1 时取值为0。

（4） log(10) = 1，即以 10 为底的对数函数 log(x) 在 x = 10 时取值为 1。

2. 对数的运算规则（1） ln(a * b) = ln(a) + ln(b)，即以 e 为底的对数函数 ln(x) 的乘法运算可以转化为两个对数的加法运算。

（2） ln(a / b) = ln(a) - ln(b)，即以 e 为底的对数函数 ln(x) 的除法运算可以转化为两个对数的减法运算。

（3） log(a * b) = log(a) + log(b)，即以 10 为底的对数函数 log(x) 的乘法运算可以转化为两个对数的加法运算。

（4） log(a / b) = log(a) - log(b)，即以 10 为底的对数函数 log(x) 的除法运算可以转化为两个对数的减法运算。

对数函数的定义和基本性质1. 对数函数的定义对数函数是实数域上的一个函数，通常用符号y = log_a(x)（其中a是底数，x是真数）表示。

对数函数是对数arithmetic和函数function的组合。

对数函数是一类重要的数学函数，在数学分析、高等数学、工程学等领域中都有广泛的应用。

2. 对数函数的基本性质（1）单调性对数函数y = log_a(x)在定义域（即真数集）内是单调递增的。

当底数a > 1时，随着真数x的增加，对数函数的值也增加；当底数0 < a < 1时，随着真数x的增加，对数函数的值减少。

（2）反函数对数函数y = log_a(x)（其中a是底数，x是真数）和函数y = a^x（其中a是底数，x是真数）是互为反函数的关系。

也就是说，对于任意一个正实数y，都存在一个正实数x使得log_a(y) = x，则有a^x = y。

（3）对数恒等式对数恒等式是指对数函数在不同底数之间可以进行转换。

具体来说，有以下两个恒等式：•对数换底公式：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)（其中a, b, c 都是正实数，且a != 1, c != 1）。

•对数性质公式：log_a(b^c) = c * log_a(b)（其中a, b, c都是正实数，且a != 1）。

（4）对数函数的图像对数函数的图像是一条经过点(1, 0)，且斜率在0和+∞之间的曲线。

当底数a > 1时，图像位于第一象限；当底数0 < a < 1时，图像位于第二象限。

（5）对数函数的渐近线对数函数没有水平渐近线，但有一条垂直渐近线，即x = 0。

当x趋近于0时，对数函数的值趋近于负无穷；当x趋近于正无穷时，对数函数的值趋近于正无穷。

（6）对数函数与指数函数的关系对数函数和指数函数是互为逆运算的关系。

具体来说，对于任意一个正实数y，如果y = log_a(x)，则有x = a^y。

第9讲 对数函数（原卷版）考点内容解读要求 常考题型 1．对数函数的图像和性质 理解对数函数的定义图象及性质 Ⅰ 选择题，填空题 2．对数函数的应用 对数函数性质的归纳与运用Ⅱ选择题，填空题1．对数1．对数的概念：一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：Nx a log =（a — 底数，N — 真数，Na log — 对数式）说明：① 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ②xN N a a x =⇔=log ；③ 注意对数的书写格式． 两个重要对数：① 常用对数：以10为底的对数N lg ；② 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 2．对数函数的特征特征⎩⎪⎨⎪⎧log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数log a x 的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log7x 是对数函数，而函数y ＝－3log4x 和y ＝logx2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点． 3．对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ①Ma (log ·=)N ；②=N M alog ；③ n a M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式a bb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b m n b a na m log log =；（2）a b b a log 1log =．2．对数函数及其性质 1．对数函数的定义：函数 x y a log =)10(≠>a a 且叫做 。

2．对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数x y a log =)10(≠>a a 且的定义域为 ，值域为 ．（2）图象：由于对数函数是指数函数的 ，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于 的对称图形，即可获得。

对数函数的定义与性质1. 定义对数函数是指可以将正实数映射到实数集上的函数。

常用的对数函数有自然对数函数和常用对数函数。

自然对数函数以数学常数e为底的对数函数，通常以ln(x)表示，其中x为正实数。

常用对数函数以10为底的对数函数，通常以log(x)表示，其中x为正实数。

2. 性质2.1 对数函数的定义域和值域自然对数函数ln(x)的定义域是正实数集(0, +∞)，值域是实数集(-∞, +∞)。

常用对数函数log(x)的定义域是正实数集(0, +∞)，值域是实数集(-∞, +∞)。

2.2 对数函数的性质（1）对数函数的图像：自然对数函数ln(x)和常用对数函数log(x)的图像都是单调递增的曲线。

（2）基本性质：对数函数具有以下基本性质：•ln(1) = 0，即自然对数函数ln(x)在x=1处的函数值为0。

•ln(e) = 1，即自然对数函数ln(x)在x=e处的函数值为1。

•log(1) = 0，即常用对数函数log(x)在x=1处的函数值为0。

•log(10) = 1，即常用对数函数log(x)在x=10处的函数值为1。

（3）对数函数的性质：对数函数具有以下性质：•ln(x y) = ln(x) + ln(y)，即自然对数函数ln(x y)等于自然对数函数ln(x)和ln(y)的和。

•ln(x/y) = ln(x) - ln(y)，即自然对数函数ln(x/y)等于自然对数函数ln(x)和ln(y)的差。

•ln(x^n) = n * ln(x)，即自然对数函数ln(x^n)等于n乘以自然对数函数ln(x)。

•log(x y) = log(x) + log(y)，即常用对数函数log(x y)等于常用对数函数log(x)和log(y)的和。

•log(x/y) = log(x) - log(y)，即常用对数函数log(x/y)等于常用对数函数log(x)和log(y)的差。

•log(x^n) = n * log(x)，即常用对数函数log(x^n)等于n乘以常用对数函数log(x)。

对数函数知识点总结对数函数是指可以用对数形式表示的函数，它的定义域为正实数集合，值域为实数集合。

对数函数具有一些特殊的性质和运算规则，在数学中得到广泛应用。

本文将对对数函数的定义、性质、运算规则以及常见的应用进行总结。

一、对数函数的定义与性质：1. 对数的定义：对于任意的正实数a和b (a ≠ 1)，对数函数 y = loga(b) 表示满足 a^y = b 的唯一实数y。

2.对数函数的定义域为正实数集合，值域为实数集合。

3. 常见的对数函数是以自然常数e为底的自然对数函数 y = ln(x)和以常数10为底的常用对数函数 y = log10(x)。

4. 对数函数与指数函数是互逆变换关系，即 loga(a^x) =a^(loga(x)) = x。

5. 对数函数的图像特点：以对数函数 y = loga(x) 为例，当 a > 1 时，函数图像过点(1,0)，在区间(0,+∞)上是单调递增的，当x趋于0时，y趋于负无穷；当 a < 1 时，函数图像过点(1,0)，在区间(0,+∞)上是单调递减的，当x趋于0时，y趋于正无穷。

6. 对数函数具有对称性，即 loga(a/x) = -loga(x)。

二、对数函数的运算规则：1. 对数的乘法规则：loga(mn) = loga(m) + loga(n)。

2. 对数的除法规则：loga(m/n) = loga(m) - loga(n)。

3. 对数的幂次规则：loga(m^p) = p * loga(m)。

4. 对数的换底公式：loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中c为任意的正实数（c ≠ 1）。

5. 对数函数的反函数：对于对数函数 y = loga(x)，其反函数为指数函数 x = a^y。

三、对数函数的应用：1.解指数方程和指数不等式：对于形如a^x=b或a^x<b的方程或不等式，可以通过取对数将其转化为对数方程或对数不等式进行求解。

对数函数的基本概念对数函数是数学中常见且重要的一种函数类型。

它在各个领域中广泛应用，包括科学、工程、经济等。

本文将介绍对数函数的基本概念，包括对数的定义、性质以及常见的对数函数。

1. 对数的定义对数是数学中一个重要的概念，它描述了某个数在指定底数下的幂运算结果。

常见的对数有自然对数（以常数e为底数）和常用对数（以常数10为底数）。

自然对数常用符号ln表示，定义为ln(x) = y，其中x是指数，y是底数为e的对数。

常用对数常用符号log表示，定义为log(x) = y，其中x是指数，y是底数为10的对数。

对数函数将指数和底数之间的关系转化为指数和对数之间的关系，更加方便进行数值计算和问题求解。

2. 对数的性质对数具有一些特定的性质，便于在数学计算中应用。

（1）对数的底数必须大于0且不等于1，指数必须大于0；（2）对数的底数越大，对数的值越小；（3）对数的底数在(0,1)之间时，对数的值为负数；（4）对数的底数为1时，对数的值为0；（5）对数的底数为0时，对数的值是无穷大；（6）对数的指数乘积可以转化为对数之间的和；（7）对数的指数相除可以转化为对数之间的差；（8）对数的指数幂可以转化为对数之间的乘法；（9）对数的指数幂可以转化为对数之间的除法。

通过这些性质，可以方便地化简和计算对数的表达式。

3. 常见的对数函数（1）自然对数函数自然对数函数是以自然常数e为底数的对数函数，通常用符号ln表示。

自然对数函数在数学中有广泛的应用，尤其在微积分和指数函数中。

自然对数函数的图像是一个上升的曲线，其特点是具有水平渐进线y=0和y轴为渐进线。

它的导数是它自身的倒数，即(ln x)' = 1/x。

（2）常用对数函数常用对数函数是以常数10为底数的对数函数，通常用符号log表示。

常用对数函数在实际应用中比较常见，尤其在计算中常被使用。

常用对数函数的图像也是一个上升的曲线。

与自然对数函数不同的是，常用对数函数有一个特殊的点log(1) = 0。