进一步讨论 如果取消假设(H2)的“转动时工件上每一点与S 的距离保持不变”的限制，这就使我们的问题更加 困难，但同时也给我们增加了自由度。我们从两个 方面考虑问题，一方面工件可以在弯道上自由转动， 这样就需增加l，另一方面我们可以根据需要随时调 整工件的方位，有可能减少l。具体留给读者自学。
21
原则上，只要r取得足够大总能保证不碰撞。但 由于流水线的费用和场地限制，一般都希望弯道半径 不要过大，这样就有必要决定不发生碰撞的r的确切 范围。
此时需解不等式 l0 L(r )
通常的做法是，先求（例如用二分法）函数方程
f (r ) L(r ) l0 0
的所有零点，将 ( b , ) 划分成若干区间，然后 找出一切使 f ( r ) 0 成立的区间。 18
易知
arctg
ad r b
此时
D ' (d ) 1
D ( d ) d 2 r arctg
2r (r b) (a d ) (r b )
2 2
a d r b
11
解得驻点 d a
a r b
2 2
r b
2
2
a
r b
2 2
取驻点 d 0 a 图 6 来自2若发生如（c）的碰撞应有
x D a , y D (r b)
8
a cos ( r b ) sin a
即有
a sin ( r b ) cos ( r b )
上式的第一式等于
sin 1 cos a rb ,
（C2）相邻两工件中心分别位于弯道和直道上时， 不碰撞条件为：
若b r a
2
2
b ，
2
l L 2 ( r );
l L1 ( r )
若r
a
b
2
,
不难证明，
当r a
2
b 时，
2
L2（r）≥L1（r），
于是（C2）就成为在任何情况下均不碰撞的条件。
16
引入
L ( r ), b r a 2 b 2 2 L(r ) 2 2 L1 ( r ), r a b
即 tg
2
a r b
但第二式等价于
1 cos sin a rb ,
即
tg
2
a r b
这就产生了矛盾，即形如（c）的碰撞是不可能的。 情形（d）- （f）亦可用类型的方法排除。
9
（ⅱ）碰撞（a）不发生的条件
设发生形如（a）的碰撞时位于直道 的工件中心C2距弯道入口的距离为d。由 于r>b，当d>a时此类碰撞不可能发生， 而当d≤0退化为两工件中心皆进入弯道的 情形。因此只需考虑0<d<a。 如图 设此时两工件中心C1 与C2间的轨道长D，它是d 的一个函数，记为D（d）， 为保证在任何情形下 不发生碰撞， 应取工件中心距满足
图6.10
4
显然有
tg a r b
a r b
( 6 .4 3 )
arctg
易知，
( 6 .4 4 )
当 l L1 ( r ) 2 rarctg
a rb
时，
相邻两工件中心同在弯道上时不会发生碰撞。
5
2．相邻两工件中心分别位于弯道和直道上的情形
设流水线是逆时针运行的。一个工件中心已进入 弯道而相邻的后继工件尚未进入弯道的碰撞和一个工 件已离开弯道进入直道但相邻的后继工件中心仍在弯 道上的碰撞是对称的，我们仅就前者进行讨论。 假设一个工件的中心已经进入弯道而相邻的后继 工件的中心离弯道入口的距离为d。 下面分三个步骤讨论。 （ⅰ）碰撞的位置分析 不难列举出中心分别位于弯道和直道上的两工件 发生碰撞时的所有相对位置。 用（H2）并根据初等几何排除明显不可能发生的 情形后，尚有图6-11所示的六种可能。 6
第四节 流水线的设计
问题：某厂要设计一条生产流水线，它由两条直 道和两条弯道构成（弯道呈半圆形，见图6.8）。流 水线上等距地安装随传送带运动的工作台，在工作 台上安放工件，在流水作业中完成生产过程。设计 者十分关心的一个问题：如何设计弯道和布置工作 台使工件在流水线上运动时不至于发生碰撞。
图6.8
1
工件的形状可能是比较复杂的，在流水线运 动时可能会超出工作台的边缘，但从流水线上方 俯视，它总是位于以工作台的中心为中心的一个 矩形之内，于是我们可以假设：
（H1）工件的俯视图是长2a，宽2b的矩形，在流水线 的直道上，矩形工件的边分别平行或垂直于流水线； （H2）工件中心进入弯道后工件绕道中心作刚体运动， 运动时，工件上每一点和弯道中心距离保持不变。 若引入r表示弯道半径， l 表示两相邻工作台中心 的距离（保持不变，见图6.9）。
设计时 r 和 l 是相互关联的，若工件中心距 l 给 定，可以适当选择弯道半径r，使工件不发生碰撞， 给定了r也可适当选取 l 使碰撞不发生，以下我们假 设r给定，设法给定不碰撞的 l 应满足的条件。 1．相邻两工件中心均在弯道上的情形
此时若相邻两工件发生了接触（见图6.10 ）， 由于工件的形状与大小都 相同，容易求得两工件中心C1， C- 之间的轨道长。 2 L L ( r ) 2 r ( 6 .4 2 ) 其中 为弯道中心与工件中心的 连线 SC 1和弯道中心与接触点A连线 SA的夹角弧度，
arctg rb ad
2
4
从而有
D (d ) d r
2
2
D (d ) D (d )
所以只要不发生情形（a）的碰撞，情形（b） 的碰撞就不可能发生。
3．综合各种情形建立模型
综合前面的讨论，我们有如下结论：
15
（C1）相邻两工件中心均在弯道上时，不发生碰 撞的条件为l > L 1 ( r )；
图6.9
2
显然应有 l 2 a ，此外若 r b 必然发生碰撞， 因此我们假设 (6.4-1) （H3）l 2 a , r b .
模型的建立
只要（6.4-1）式满足，工件在直道上就不会 发生碰撞 因此我们只须选取合适的 r 和 l ，避免相邻两 工件中心均在弯道上或一个进入弯道另一个在直道上 发生碰撞的情形就可保证工件在任何时候都不碰撞。 3
当r
由
a b 时，
2 2
2
0<d0<a，
2 2
D ( d )
4 r ( r b )( a d ) [( a d ) ( r b ) ]
r b
2 2
0,
r b r b
max D ( d ) D ( d 0 ) a
0d a
2 rarctg
l sup D ( d )
0d a
10
其中sup表示上确界，即D（d）在区域（0,a ] 内的最小上界。
设两工件的接触点为A，弯道中心S与工件中心C1 的 连线和该工件的上侧交于B，S与弯道入口E的连线和 直道工件上侧交于F， 易知直角三角形SBA和SFA全等。 易知直角三角形SBA和SFA全等。 若记β=∠FSA， ∠ASB=∠FSA =β
不碰撞条件简化为
l L(r ) 这就是我们需要的数学模型。
模型的求解及说明
若给定工件的长、宽分别为2a和2b，又给 定了流水线弯道的半径r0，那么容易由上式 求出 l0 = L ( r0 ), 只要取相邻工件中心间轨道长l>l0 即可 保证不发生碰撞。
17
而对于给定了相邻工件中心间轨道长 l = l0,决 定弯道半径r0 就复杂一些。 当然若r趋于无穷，弯道转化为直道，不会发生碰撞。
13
（ⅲ）碰撞（b）不发生的条件
同样记直道工件中心到弯道入口的距离为 d， 如图所示， 接触时两工件中心间的轨道长
D D (d ) d r
2 注意到情形（a）中D（d）的 表达式可改写为
D ( d ) d r 2 rarctg r b ad
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以及（参见上图）
例如，对于a 20 , b 10 , l 0 57 的情形，
a b
2 2
25 . 6
可求得 f ( r ) 的零点 r0 33 . 9
l 当r r0 时，0 L ( r ) ，工件不会相互碰撞，
下图给出l L ( r )与 l 57
的交点。
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另一做法是先解不等式 l 0 L1 ( r ) 求得满足不等式的r的两个区间为（16，25.6）和 （33.9,+∝），
定义
L2 (r ) a r b
2 2
2 rarctg
rb rb
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不发生碰撞的条件成为
l L2 ( r )
若r
0d a
a b ，
2 2
sup D ( d ) D ( 0 ) 2 rarctg
a rb
L1 ( r )
此时不碰撞条件与相邻两工件中心均在弯道 上时的条件完全相同。
但因r∈（16，25.6）时， a 2 b 2 ，应该用 r 条件l0=L2 ( r )判据，但此时L2（r）>l0 ，(16，25.6) 必须舍去。 注意到l=L（r）不是单调的，对某些特定的l0可 能会出现弯道半径r较小时，工件不碰撞，r增大反 而会碰撞的有趣现象。
如对 l 0 =57.5，r的不碰撞区间为（21.30,25.33） 和（30.94，+ ）（参见上图），当r=25时工件 不会碰撞，但取r=27时工件反而发生碰撞，当 r>30.94又不会发生碰撞。 20
