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1.5 极限存在的准则 两个重要极限准则Ⅰ（夹逼准则）若数列{}n x 、{}n y 、{}n z 满足如下条件，存在正整数0N 使得，当0n N >时，,n n n x z y ≤≤ （1）且lim lim ,n n n n x y a →∞→∞==则lim .n n z a →∞=证 0ε∀>，由lim n n x a →∞=得，存在正整数1N 使得，当1n N >时，n x a ε-<即.n a x a εε-<<+ （2） 又由lim n n y a →∞=得，存在正整数2N 使得当2n N >时，n y a ε-<，即.n a y a εε-<<+ （3） 取正整数{}012max ,,N N N N =，则当n N >时，（1），（2），（3）同时成立，此时，n n n a x z y a εε-<≤≤<+.于是,当n N >时,.n z a ε-< 故lim .n n z a →∞='则准Ι（夹逼准则）若函数()()(),,f x g x h x 满足如下条件,在点0x 的某个邻域内, ()()()f x h x g x ≤≤, 且()()0lim lim x x x x f x g x A →→==,则()0lim .x x h x A →=作为准则'I 的应用，我们证明如一个重要极限： 0sin lim1.x xx→=DCB A1Ox如上图，当02x π<<时，因OABOAD OAB SS S<<扇形，故111sin tan ,222sin tan ,11,sin cos x x x x x x x x x<<<<<<sin cos 1.xx x<< （4） 因当x 用x -代替时，cos x 与sin x x 都不变，故（4）式对开区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭内的一切x 也成立.下面证明0limcos 1.x x →=当02x π<<时,22220cos 11cos 2sin 212sin 2.222xx x x x x <-=-==≤=于是, 当02x π<<时,201cos .2x x <-<因200lim 0lim02x x x →→==,故由准则'I 得 ()0lim 1cos 0,limcos 1.x x x x →→-==又因0lim11,x →=故由(4)式及准则'I 得0sin lim1.x xx→=例1—5—1 求sin lim.x xxππ→-解()()00sin sin sin lim lim lim 1.x t t t x tx t t πππππ→→→-===--- 例1—5—2 求201cos lim .x xx →-解222220002202sin sin 1cos 122limlim lim 22sin 1112lim 1.2222x x x x x xxxx x x x →→→→-==⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭例1—5—3证明1.n =证令n x =则当1n >时， 1.n x >设1,n n x h =+则当1n >时，0.n h >故()()211.2!nn n n n n n n n n n x h nh h h -==+=++++故当1n >时，()2212,0,02!1n n n n n n h h h n -><<<<-故当1n >时111n n x h <=+<但lim11,lim 11,n n →∞→∞⎛== ⎝（注：证lim 11,n →∞⎛= ⎝0,ε∀>要使11,ε⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭ 只需222222,1,11n n n εεε<->>+-） 故由夹逼准则得，lim 1.n n n x →∞==准则'ΙΙ 单调有界数列必有极限.下面用该准则证明,极限1lim 1nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭存在.证 设11nn x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则由二项式定理得,()()()()()231111211111!2!3!111!11112111112!3!1121111,!nn nx n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭---=+⋅+⋅+⋅+--++⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+--+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是,()111112111112!13!111121111!111112111.1!111n x n n n nn n n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+--+ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--- ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--- ⎪⎪⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭比较n x 、1n x +的展开式，有1,1,2,n n x x n +<=从n x 的展开式还可以看出，21111111111112!3!!2221112133,1212n n nn x n --<+++++<+++++-=+=-<-故数列{}n x 有界.于是,有准则ΙΙ'得,数列{}n x 的极限是存在的,它的极限通常用字母e 表示,即1lim 1 e.nn n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭可以证明,1lim 1 e.xx x →+∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭于是,1111lim 1lim 1lim 11lim lim 11111111lim 1lim 1lim 1 e.yyxx y y yyy y u uu u u y x y y y y u u u --→-∞→+∞→+∞-→+∞→+∞+→+∞→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎛⎫⎪==+ ⎪- ⎪⎝⎭+ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是，可得如下重要极限1lim 1 e.xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭由此可得()10lim 1 e.xx x →+=这是因为()111011lim 1lim 1lim 1 e.yyxx y y x y y →→∞→∞⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 例1—5—4 求()1lim 12.xx x →+ 解()()()21212000lim 12lim 1lim 1e .xyy x y y x y y →→→⎡⎤+=+=+=⎢⎥⎣⎦例1—5—5 求()10lim 1.xx x →-解 令x u =-，则当0x →时，0u →，故()()()11100011lim 1lim 1lim .e1x u x u u u x u u -→→→-=+==+作业 P43:1.（3）.2. （2）习题1—5选解1. 计算下列极限：（1）0sin limx axx→；解 当0a =时，显然有0000sin sin 00lim lim lim lim 00.x x x x ax x x x x →→→→==== 当0a ≠时，000sin sin sin lim lim lim 1.x x x ax ax ax a a a a x ax ax→→→===⋅= （3）2201cos lim x x x→-； 解2222200020112sin 2sin 1cos 22lim lim lim sin 112lim .222x x x x x x x x x x x x →→→→⎛⎫-- ⎪-⎝⎭==⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭2. 计算下列极限： （2）()1lim 12x x x →+；解 令2x u =，则12x u =，当0x →时，0.u →于是 ()()()21212000lim 12lim 1lim 1e .xuux u u x u u →→→⎡⎤+=+=+=⎢⎥⎣⎦ （4）lim .xx x a x a →∞+⎛⎫⎪-⎝⎭解 当0a =时，显然有0lim lim lim1 1.0xxx x x x x a x x a x →∞→∞→∞++⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 当0a ≠时，因221x a x a a a x a x a x a +-+==+---，故令2a u x a =-，则2ax a u=+，当x →∞时，0u →，于是()()()20212202lim lim 1lim 1lim 1lim 1e 1e .x xaa u x x u aa a a uu u x a a u x a x a u u +→∞→∞→→→+⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎡⎤=++=⋅=⎢⎥⎣⎦3. 利用极限存在的准则证明： （1）1n =； 证令n x = 1,1,2,n n x x n +>=且 2.n x <故数列{}n x 是一个单调有界数列，从而该书列必有极限.设lim .n n x a →∞=在n x =211.n x n =+则21lim lim 1 1.n n n x n →∞→∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭另一方面，()222lim lim ,n nn n x x a →∞→∞==故21, 1.a a ==±但易知1,1,2,n x n >=，故1a =-是不可能的，于是 1.a =（2）222111lim 12n n n n n n πππ→∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭; 证 因2222222222111111,n n n n n n n n n n n n n n n n ππππππππ⎛⎫=+++ ⎪++++⎝⎭⎛⎫≤+++ ⎪+++⎝⎭≤+而222221lim lim 1,11lim lim 1,1n n n n n n n n n n nππππ→∞→∞→∞→∞==++==++从而222111lim 1.2n n n n n n πππ→∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭。
