[配套K12]2017-2018学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 导数同步导学案 新人教B

3.1.3导数的几何意义1．理解导数的几何意义会求曲线上某点处的切线方程．(重点)2．理解在某点处与过某点的切线方程的区别．(难点、易混点)[基础·初探]教材整理1导数的几何意义阅读教材P83例1以上部分，完成下列问题．1．设点P(x0，f(x0))，P n(x n，f(x n))是曲线y＝f(x)上不同的点，当点P n(x n，f(x n))(n ＝1,2,3,4…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过点P的切线，且PT的斜率k＝f(x n)－f(x0) x n－x0＝f′(x0).2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，在点P的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点．()(2)过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点．()(3)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线．()【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2导函数的概念阅读教材P81导函数部分，完成下列问题．导函数的概念从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数；当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称为f(x)的导函数，即f′(x)＝y′＝limΔx→0 f(x＋Δx)－f(x)Δx.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)之间是有区别的．()(2)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．()(3)函数f(x)＝x2的导数是f′(x)＝2x.()(4)函数f(x)＝0没有导函数．()【答案】(1)√(2)×(3)√(4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_______________________________________________________[小组合作型]的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的()图3-1-3【自主解答】函数的定义域为(0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．故选D.【答案】 D函数在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出函数升降的快慢．因此，研究复杂的函数问题，可以考虑通过研究其切线来了解函数的性质．[再练一题]1.函数y＝f(x)的图象如图3-1-4所示，根据图象比较曲线y＝f(x)在x＝x1，x ＝x2附近的变化情况. 【导学号：25650102】图3-1-4【解】当x＝x1时，曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线l1的斜率f′(x1)＞0，因此在x＝x1附近曲线呈上升趋势，即函数y＝f(x)在x＝x1附近单调递增．同理，函数y＝f(x)在x＝x2附近单调递增，但是，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这表明曲线y＝f(x)在x ＝x1附近比在x＝x2附近上升得缓慢．(1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6x ＋5＝0； (3)倾斜角为135°.【精彩点拨】 本题考查曲线的切线的有关问题．解题的关键是设出切点的坐标，求出切线的斜率．【自主解答】 f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点． (1)∵切线与直线y ＝4x －5平行，∴2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)是满足条件的点． (2)∵切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直， ∴2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94是满足条件的点．(3)∵切线的倾斜角为135°， ∴其斜率为－1.即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14是满足条件的点．解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等．[再练一题]2．已知曲线y ＝2x 2＋a 在点P 处的切线方程为8x －y －15＝0，求切点P 的坐标和实数a 的值. 【导学号：25650104】【解】 设切点P (x 0，y 0)，切线斜率为k . 由y ′＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0[2(x ＋Δx )2＋a ]－(2x 2＋a )Δx＝lim Δx →0(4x ＋2Δx )＝4x ，得k ＝y ′|x ＝x 0＝4x 0，根据题意4x 0＝8，x 0＝2，分别代入y ＝2x 2＋a 和y ＝8x －15得y 0＝8＋a ＝1，得⎩⎨⎧a ＝－7，y 0＝1.故所求切点为P (2,1)，a ＝－7.[探究共研型]探究1【提示】 不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．探究2 怎样求曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程？【提示】 根据导数的几何意义，求出函数y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程．探究3 曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与曲线过某点(x 0，y 0)的切线有何不同？【提示】 曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线，点(x 0，f (x 0))一定是切点，只要求出k ＝f ′(x 0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线f (x )过某点(x 0，y 0)的切线，给出的点(x 0，y 0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．(1)y ＝－1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线方程是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x －12 C ．y ＝4x －4D ．y ＝4x －2【自主解答】 先求y ＝－1x 的导数：Δy ＝－1x ＋Δx ＋1x ＝Δx x (x ＋Δx )，ΔyΔx ＝1x (x ＋Δx )，lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →01x (x ＋Δx )＝1x 2，即y ′＝1x 2，所以y ＝－1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝12＝4.所以切线方程是y ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝4x －4.【答案】 C(2)已知曲线C ：y ＝x 3－x ＋2，求曲线过点P (1,2)的切线方程．【自主解答】 设切点为(x 0，x 30－x 0＋2)，则得y ′|x ＝x 0 ＝lim Δx →0[(x 0＋Δx )3－(x 0＋Δx )＋2]－(x 30－x 0＋2)Δx＝lim Δx →0((Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20－1)＝3x 20－1. 所以切线方程为y －(x 30－x 0＋2)＝(3x 20－1)(x －x 0)．将点P (1,2)代入得：2－(x 30－x 0＋2)＝(3x 20－1)(1－x 0)，即(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，所以x 0＝1或x 0＝－12，所以切点坐标为(1,2)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，198，所以当切点为(1,2)时，切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x ，当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，198时，切线方程为y －198＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12， 即x ＋4y －9＝0，所以切线方程为y ＝2x 或x ＋4y －9＝0.利用导数的几何意义求切线方程的方法1．若已知点(x 0，y 0)在已知曲线上，则先求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．2．若题中所给的点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．[再练一题]3．(1)已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________. 【导学号：25650103】【解析】limΔx→0a(1＋Δx)2－aΔx＝limΔx→0(a·Δx＋2a)＝2a＝2，∴a＝1，又3＝a×12＋b，∴b＝2，即ba＝2.【答案】 2(2)求曲线y＝f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程．【解】因为y＝2 x，所以y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx＝limΔx→02x＋Δx－2xΔx＝limΔx→0－2·Δxx(x＋Δx)Δx＝－2x2，因此曲线f(x)在点(－2，－1)处的切线的斜率k＝－2(－2)2＝－12.由点斜式可得切线方程为y＋1＝－12(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.[构建·体系]1．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么() A．f′(x0)＞0B．f′(x0)＜0C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在【解析】由x＋2y－3＝0知，斜率k＝－1 2，∴f′(x0)＝－12＜0.【答案】 B2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则() A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1【解析】由题意，知k＝y′|x＝0＝limΔx→0(0＋Δx)2＋a(0＋Δx)＋b－bΔx＝1，∴a＝1.又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.【答案】 A3．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________．【解析】设点P(x0,2x20＋4x0)，则f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→02(Δx)2＋4x0·Δx＋4ΔxΔx＝4x0＋4，令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30)．【答案】 (3,30)4．曲线y ＝x 2－2x ＋2在点(2,2)处的切线方程为______．【导学号：25650105】【解析】 Δy ＝(2＋Δx )2－2(2＋Δx )＋2－(22－2×2＋2)＝2Δx ＋(Δx )2， ∴ΔyΔx ＝2＋Δx .∴y ′|x ＝2＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2.∴曲线在点(2,2)处的切线斜率为2. ∴切线方程为y －2＝2(x －2)， 即2x －y －2＝0. 【答案】 2x －y －2＝05.函数f (x )的图象如图3-1-5所示，试根据函数图象判断0，f ′(1)，f ′(3)，f (3)－f (1)2的大小关系．图3-1-5【解】 设x ＝1，x ＝3时对应曲线上的点分别为A ，B ，点A 处的切线为AT ，点B 处的切线为BQ ，如图所示．则f (3)－f (1)3－1＝k AB ，f ′(3)＝k BQ ，f ′(1)＝k AT ，由图可知切线BQ 的倾斜角小于直线AB 的倾斜角，直线AB 的倾斜角小于切线AT 的倾斜角，即k BQ ＜k AB ＜k AT ，∴0＜f ′(3)＜f (3)－f (1)2＜f ′(1)．。

第三章 导数及其应用 第3讲 定积分与微积分基本定理教师用书理 新人教版(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A.e ＋2B.e ＋1C.eD.e －1解析 ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪10)＝1＋e 1－1＝e.故选C.答案 C2.若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( )A.2B.3C.4D.6解析 ⎠⎛1a⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )⎪⎪⎪a1＝a 2＋ln a －1，∴a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，则a ＝2. 答案 A3.从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( ) A.12g B.gC.32g D.2g解析 电视塔高h ＝⎠⎛12gt d t ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12gt 221＝32g . 答案 C4.如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( ) A.⎠⎛02|x 2－1|d xB.⎪⎪⎪⎪⎠⎛02（x 2－1）d x C.⎠⎛02(x 2－1)d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x解析 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即⎠⎛02|x 2－1|d x .答案 A5.若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121xd x ，S 3＝⎠⎛12e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A.S 1<S 2<S 3B.S 2<S 1<S 3C.S 2<S 3<S 1D.S 3<S 2<S 1解析S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e 2－e ，∵e 2－e ＝e(e －1)＞e ＞73＞ln 2，∴S 2＜S 1＜S 3. 答案 B 二、填空题6.已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝________.解析 由⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8得，(x 2－2x ) ⎪⎪⎪t0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去).答案 47.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围成的面积为________.解析 根据f (x )的图象可设f (x )＝a (x ＋1)·(x －1)(a <0). 因为f (x )的图象过(0，1)点， 所以－a ＝1，即a ＝－1.所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2. 所以S ＝⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43. 答案 438.(2017·济南模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析 封闭图形如图所示，则⎠⎛0a x d x ＝＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.答案 49三、解答题 9.计算下列定积分：(1)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x ； (2)⎠⎛02－x 2＋2x d x ；(3)2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4d x ；(4)⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x ；(5)⎠⎛－22|x 2－2x |d x .解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x ⎪⎪⎪21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ln 1＝32－ln 2；(2)由定积分的几何意义知，所求定积分是由x ＝0，x ＝2，y ＝－x 2＋2x ，以及x 轴围成的图象的面积，即圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的一半，∴⎠⎛02－x 2＋2x ＝π2；(3)原式＝ (sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )＝⎝⎛⎭⎪⎫－cos π2＋sin π2－(－cos 0＋sin 0)＝2；(4)原式＝⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3)d x ＋⎠⎛－111d x ＝0＋x ⎪⎪⎪1-1＝2；(5)∵|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，－2≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2，∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪0-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2⎪⎪⎪20＝8. 10.求曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 围成的图形的面积.解 作出曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 的图象，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得交点(1，1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝3x ，得交点(3，9)，因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(3x －x )d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x ＝x 2⎪⎪⎪1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2－13x 3⎪⎪⎪31＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32×32－13×33－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×12－13×13＝133.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A.－1B.－13C.13D.1解析 由题意知f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，设m ＝⎠⎛01f (x )d x ，∴f (x )＝x 2＋2m ，⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2mx ⎪⎪⎪1＝13＋2m ＝m ，∴m ＝－13. 答案 B12.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A.1＋25ln 5B.8＋25ln 113C.4＋25ln 5D.4＋50ln 2解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）⎪⎪⎪4＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m). 答案 C13.(2017·郑州调研)⎠⎛－11(1－x 2＋e x－1)d x ＝________.解析 ⎠⎛－11(1－x 2＋e x－1)d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11(e x－1)d x .因为⎠⎛－111－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积，则⎠⎛－111－x 2d x ＝π2，又⎠⎛－11(e x －1)d x ＝(e x －x )|1－1＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e－2，所以⎠⎛－11(1－x 2＋e x－1)d x ＝π2＋e －1e －2.答案π2＋e －1e－214.在区间[0，1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值.解 S 1面积等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3.S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t 2，1－t 的面积，即S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13.所以阴影部分的面积S (t )＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1).令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12.t ＝0时，S (t )＝13；t ＝12时，S (t )＝14；t ＝1时，S (t )＝23.所以当t ＝12时，S (t )最小，且最小值为14.。

3.3导数的应用3．3.1利用导数判断函数的单调性1．理解在某区间上函数的单调性与导数的关系．(难点)2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)3．能够根据函数的单调性求参数．(难点)[基础·初探]教材整理函数的单调性与导数阅读教材P93例1以上部分，完成下列问题．1．函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)2.一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．()(4)在区间(a，b)内，f′(x)>0是f(x)在此区间上单调递增的充要条件．()【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_______________________________________________________[小组合作型](1)f(x)＝x3－2x2＋x；(2)f(x)＝3x2－2ln x；(3)f(x)＝12x2＋a ln x(a∈R，a≠0). 【导学号：25650121】【精彩点拨】在定义域内解不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0)，确定单调区间．【自主解答】(1)函数的定义域为R，∵f(x)＝x3－2x2＋x，∴f′(x)＝3x2－4x＋1.令f′(x)＞0，解得x ＞1或x ＜13.因此f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13，(1，＋∞)．令f ′(x )＜0，解得13＜x ＜1. 因此f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.(2)函数的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x .令f ′(x )＞0，即2·3x 2－1x ＞0， 解得－33＜x ＜0或x ＞33. 又x ＞0，∴x ＞33；令f ′(x )＜0，即2·3x 2－1x ＜0， 解得x ＜－33或0＜x ＜33， 又x ＞0，∴0＜x ＜33.∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，33.(3)函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋ax .①当a ＞0时，f ′(x )＝x ＋ax ＞0恒成立，这时函数只有单调递增区间为(0，＋∞)；②当a ＜0时，由f ′(x )＝x ＋a x ＞0，得x ＞－a ；由f ′(x )＝x ＋ax ＜0，得0＜x ＜－a ，所以当a ＜0时，函数的单调递增区间是()－a ，＋∞，单调递减区间是(0，－a )．综上，当a ＞0时，单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a ＜0时，单调递增区间为(－a ，＋∞)，单调递减区间为(0，－a )．利用导数求单调区间，实质上是在定义域内求不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0的解集．如果在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )是常函数；如果在某个区间内只有有限个点使f ′(x )＝0，其余点恒有f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)，则f (x )仍为增函数(减函数)．[再练一题]1．(1)(2016·惠州高二检测)函数y ＝x 3－x 2－x 的单调递增区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13和(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13 (2)函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为________．【解析】 (1)y ′＝3x 2－2x －1，令y ′>0，得x <－13或x >1，所以函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13和(1，＋∞)．(2)令f ′(x )＝1－2cos x >0，则cos x <12，又x ∈(0，π)，解得π3<x <π，所以函数的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π.【答案】 (1)A (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，πf (x )的图象只可能是( )图3-3-1【自主解答】 由导函数图象知，在[a ，b ]上，f ′(x )＞0.故f (x )在[a ，b ]上单调递增，又在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，a ＋b 2上，|f ′(x )|越来越大，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，a ＋b 2上增长越来越快，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 上，|f ′(x )|越来越小，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 上增长越来越慢，故选D.【答案】 D研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．[再练一题]2．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图3-3-2所示，则导函数y ＝f ′(x )可能为( ) 【导学号：25650122】图3-3-2【解析】由函数的图象知：当x＜0时，函数单调递增，导数应始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，导数应先正后负再正，对照选项，只有D正确．【答案】 D[探究共研型]也成立吗？【提示】不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)＞0是y＝f(x)在某个区间上递增的充分不必要条件．探究2一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有什么关系？【提示】(1)若f(x)在区间(1，＋∞)内为增函数，求a的取值范围；(2)若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的值．【精彩点拨】(1)转化为f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，求a的范围；(2)由f′(x)＜0，求单调减区间，对比已知，求a的值．【自主解答】(1)因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，即a≤3.(2)f′(x)＝3x2－a.①当a ≤0时，f ′(x )≥0，无减区间，不满足条件． ②当a ＞0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a3； 当－3a 3＜x ＜3a3时，f ′(x )＜0. 因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数． ∴3a3＝1，即a ＝3.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路1．将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．2．先令f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f (x )是否满足题意．[再练一题]3．(1)若函数f (x )＝x 2－ax 在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＞－2B ．a ≥－2C ．a ≤－2D ．a ＜－2【解析】 f ′(x )＝2x ＋ax 2.令f ′(x )≥0，即2x ＋ax2≥0，a ≥－2x 3，由于g (x )＝－2x 3在(1，＋∞)上满足g (x )＜g (1)＝－2， ∴要使a ≥－2x 3在(1，＋∞)上恒成立，应有a ≥－2.故选B. 【答案】 B(2)若函数f (x )＝ax 3＋x －5在(－∞，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围. 【导学号：25650123】【解】 f ′(x )＝3ax 2＋1.①当a ＝0时，f (x )＝x －5在R 上是单调递增的；②当a ≠0时，f ′(x )＝0的根为有限个，因此要使函数f (x )在R 上单调递增，只需f ′(x )＝3ax 2＋1≥0在R 上恒成立即可．则⎩⎨⎧ a ＞0，Δ≤0，即⎩⎨⎧a ＞0，0－12a ≤0， 所以a ＞0. 综上，a ≥0.[构建·体系]1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是()A．y＝－x2B．y＝x e xC．y＝x2－x D．y＝－x＋ln x【解析】对于y＝x e x，y′＝e x＋x e x＝e x(1＋x)>0，∴y＝x e x在(0，＋∞)内为增函数．【答案】 B2．已知二次函数f(x)的图象如图3-3-3所示，则其导函数f′(x)的图象大致形状是()图3-3-3【解析】根据图象可设f(x)＝a(x＋1)(x－1)(a<0)，则f′(x)＝2ax(a<0)．故选B.【答案】 B3．函数f(x)＝(x－1)e x的单调递增区间是________．【解析】f′(x)＝(x－1)′e x＋(x－1)(e x)′＝x e x，令f′(x)＞0，解得x＞0，故f(x)的增区间为(0，＋∞)．【答案】(0，＋∞)4．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________．【解析】∵f′(x)＝3x2＋2x＋m，由题意知f(x)在R上单调递增，∴Δ＝4－12m≤0，∴m≥1 3.【答案】m≥1 35．设f(x)＝e x1＋ax2，其中a为正实数．若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围. 【导学号：25650124】【解】对f(x)求导得f′(x)＝e x 1＋ax2－2ax (1＋ax2)2，若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a＞0，知0＜a≤1.即a的取值范围为(0,1]．。

第三章 导数及其应用1.了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义． 3．能根据导数的定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数．4．能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．①常见的基本初等函数的导数公式： (C )′＝0(C 为常数); (x n)′＝nx n -1(n ∈N ＋)； (sin x )′＝cos x; (cos x )′＝-sin x ； (e x)′＝e x;(a x)′＝a xln a (a >0，且a ≠1)； (ln x )′＝1x；(log a x )′＝1xlog a e(a >0，且a ≠1)．②常用的导数运算法则： 法则1：′＝u ′(x )±v ′(x )． 法则2：′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )． 法则3：⎣⎢⎡⎦⎥⎤u （x ）v （x ）′＝u ′（x ）v （x ）-u （x ）v ′（x ）v （x ）(v (x )≠0)．5．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．6．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．7．会用导数解决实际问题．3．1 导数的概念及运算1．导数的概念 (1)定义如果函数y ＝f (x )的自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx )-f (x 0)，比值ΔyΔx就叫函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，即Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）-f （x 0）Δx.如果当Δx →0时，ΔyΔx有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处 ，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作 或y ′0|x x =，即f ′(x 0)＝0lim →∆x Δy Δx＝0lim →∆xf （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx(2)导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即 f ′(x )＝y ′＝0lim →∆xf （x ＋Δx ）-f （x ）Δx.(3)用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处导数的方法 ①求函数的增量Δy ＝ ； ②求平均变化率ΔyΔx ＝ ；③取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim →∆x ΔyΔx .2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 ．相应的切线方程为 ．3．基本初等函数的导数公式 (1)c ′＝ (c 为常数)， (x α)′＝ (α∈Q *)； (2)(sin x )′＝____________， (cos x )′＝____________； (3)(ln x )′＝ ， (log a x )′＝ ； (4)(e x )′＝____________， (a x)′＝ . 4．导数运算法则(1)′＝__________________. (2)′＝____________________；当g (x )＝c (c 为常数)时，即′＝ . (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝(g (x )≠0)．自查自纠1．(1)可导 f ′(x 0) (3)①f (x 0＋Δx )-f (x 0)②f （x 0＋Δx ）-f （x 0）Δx2．f ′(x 0) y -y 0＝f ′(x 0)(x -x 0) 3．(1)0 αxα-1(2)cos x -sin x (3)1x1x ln a(4)e xa xln a4．(1) f ′(x )±g ′(x ) (2) f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) cf ′(x )(3) f ′（x ）g （x ）-f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2( ((1)y＝13 B ．-23 C.73 D ．-13或53 解：因为f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2-1，所以f ′(的图象开口向上，则排除②④.若f ′(x )的图象为①，此时a ＝0，f (-1)＝53；若f ′(x )的图象为③，轴交点为(0，2)，可知曲线等于-13，即fg′(x)＝f(x)＋(3)，由题图可知＝0.故填0.＝x3-4x＋4图象上斜率为解：设切点坐标为(x0，y0)，＝3x20-4＝-1，所以1)或(-1，7)．-2＝0或x＋y-6，g(x)＝ln x，x列两个条件：。