立体几何-直线与平面的位置关系(习题)

第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系［考纲解读]1。

理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解可以作为推理依据的公理和定理，并运用它们证明一些空间图形的位置关系的简单命题．(重点)2.主要考查平面的基本性质，空间两直线的位置关系及线面、面面的位置关系，能正确求出异面直线所成的角．(重点、难点) [考向预测］从近三年高考情况来看，尽管空间点、线、面的位置关系是立体几何的理论基础,但却很少独立命题．预测2021年高考会有以下两种命题方式：①以命题形式考查空间点、线、面的位置关系;②以几何体为载体考查线、面的位置关系或求异面直线所成的角．题型为客观题，难度一般不大，属中档题型.1．空间两条直线的位置关系（1）位置关系分类错误!错误!（2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的□04锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．②范围:错误!(0°，90°]．(3）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角错误!相等或互补．2．空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交错误!a∩α＝A□021个平行错误!a∥α错误!0个在平面内错误!a⊂α错误!无数个续表图形语言符号语言公共点平面与平面平行错误!α∥β错误!0个相交错误!α∩β＝l错误!无数个3．必记结论（1)唯一性定理①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．②过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．④过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)异面直线的判定定理平面外一点A与平面内一点B的连线与平面内不经过B点的直线互为异面直线．1．概念辨析(1)两两相交的三条直线最少可以确定三个平面．（)（2)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．()(3)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b 不可能是平行直线．(）（4)两个平面α,β有一个公共点A,就说α，β相交于过A点的任意一条直线．()答案(1)×(2）×（3）√（4)×2．小题热身（1）对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（）A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线答案C解析不论l∥α，l⊂α还是l与α相交，α内都存在直线m 使得m⊥l。

2018高中数学第1章立体几何初步第二节点、直线、面的位置关系1 平面的基本性质及推论习题苏教版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018高中数学第1章立体几何初步第二节点、直线、面的位置关系1 平面的基本性质及推论习题苏教版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018高中数学第1章立体几何初步第二节点、直线、面的位置关系1 平面的基本性质及推论习题苏教版必修2的全部内容。

平面的基本性质及推论（答题时间:40分钟）＊1。

（福州检测）下列说法正确的是________。

①三点可以确定一个平面②一条直线和一个点可以确定一个平面 ③四边形是平面图形④两条相交直线可以确定一个平面*2.(扬州检测）经过空间任意三点可以作________个平面.＊＊3.（1）三条直线两两平行，但不共面，它们可以确定______个平面。

(2)共点的三条直线可以确定________个平面. ＊4。

（宿迁检测)空间中可以确定一个平面的条件是________.（填序号） ①两条直线；②一点和一直线；③一个三角形;④三个点 ＊＊5。

（梅州检测)如图所示的正方体中，P 、Q 、M 、N 分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图形是________。

（把正确图形的序号都填上）＊＊6。

（福建师大附中检测)三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有________条. **7。

证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.*＊8. 如图所示，已知四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ,H 分别是BC ，CD 上的点,且HCDHGC BG＝2。

专题1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系4种常见考法归类（80题）题型一 求直线的方向向量题型二 求平面的法向量题型三 用空间向量证明平行问题（一）判断直线、平面的位置关系（二）已知直线、平面的平行关系求参数（三）证明直线、平面的平行问题（1）利用向量方法证明线线平行（2）利用向量方法证明线面平行（3）利用向量方法证明面面平行（4）与平行有关的探索性问题题型四 利用空间向量证明垂直问题（一）判断直线、平面的位置关系（二）已知直线、平面的垂直关系求参数（三）证明直线、平面的垂直问题（1）利用向量方法证明线线垂直（2）利用向量方法证明线面垂直（3）利用向量方法证明面面垂直（4）与垂直有关的探索性问题在空间中,我们取一定点O 作为基点,那么空间中任意一点P 就可以用向量OP 表示.我们把向量OP称为点P 的位置向量.如图.注：线段中点的向量表达式：对于AP → ＝tAB →，当t ＝12时，我们就得到线段中点的向量表达式．设点M 是线段AB 的中点，则OM → ＝12(OA → ＋OB →)，这就是线段AB 中点的向量表达式．2、直线的方向向量如图①,a 是直线l 的方向向量,在直线l 上取AB a =,设P 是直线l上的任意一点,则点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使得AP ta = ，即AP t AB=3、空间直线的向量表示式如图②,取定空间中的任意一点O ,可以得到点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使OP OA ta =+ ①或OP OA t AB =+ ②①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.4、用向量表示空间平面的位置根据平面向量基本定理，存在唯一实数对(,)x y ，使得AP xa yb =+，如图；取定空间任意一点O ，空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x ，y ，使OP OA xAB y AC =++ .5.直线的方向向量若A 、B 是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量．【注意】①在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量；②在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算．6.平面的法向量定义：AB l ABl直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，我们称向量a 为平面α的法向量.给定一个点A 和一个向量a ，那么过点A ，且以向量a.注：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量.7.平面法向量的性质（1）平面a 的一个法向量垂直于平面a 内的所有向量；（2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．8.平面的法向量的求法求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:设向量：设平面a 的法向量为(,,)n x y z =选向量：选取两不共线向量,AB AC列方程组：由00n AB n AC ì×=ïí×=ïî列出方程组解方程组：解方程组00n AB n AC ì×=ïí×=ïî赋非零值：取其中一个为非零值（常取±1)得结论：得到平面的一个法向量.题型一 求直线的方向向量解题策略：1、理解直线方向向量的概念(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．(2)直线的方向向量不唯一．（空间中一条直线的方向向量有无数个）．2.求直线的方向向量，首先是找到直线上两点，然后用坐标表示以这两点为起点和终点的向量，该向量就是直线的一个方向向量．1.（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知一直线经过点()()2,3,2,1,0,1A B --，下列向量中是该直线的方向向量的为（ ）A ．()1,1,1a =-B ．()1,1,1a =-C ．()1,1,1a =-D ．()1,1,1a =2．【多选】（2024·湖北十堰·高二校联考阶段练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC上不与1C ，C 重合的任意一点，则能作为直线1AA 的方向向量的是（ ）A ．1AAB ．1C EC ．ABD ．1A A3．（2024·高二课时练习）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD的中点，AB ＝AP ＝1，AD PC 的一个方向向量．4．（2024·高二课时练习）已知直线1l 的一个方向向量为()5,3,2-，另一个方向向量为(),,8x y ，则x =________，y = ________.5．（2024·江苏常州·高二校联考期中）已知直线l 的一个方向向量()2,1,3m =-，且直线l 过A (0，y ，3)和B (－1，2，z )两点，则y －z 等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36.（23-24高二上·江西赣州·期中）已知直线1l 的方向向量是()2,2,a x =-，直线2l 的方向向量是()2,,2b y =-，若3a = ，且12l l ^，则x y -的值是（ ）A ．-4或0B ．4或1C ．-4D ．07.（23-24高二上·湖北武汉·期中）两条不同直线1l ，2l 的方向向量分别为()1,1,2m =-，()2,2,1n =- ，则这两条直线（ ）A ．相交或异面B ．相交C ．异面D ．平行题型二 求平面的法向量解题策略:1.求平面法向量的方法①设出平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )；②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)；③依据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组00{=×=×b n a n ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．注：利用待定系数法求平面的法向量，求出向量的横、纵、竖坐标是具有某种关系的，而不是具体的值，可设定某个坐标为常数，再表示其他坐标．2.求平面法向量的三个注意点（1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量（2）取特值：在求n 的坐标时，可令x ，y ，z 中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量（3）注意0：提前假定法向量n ＝(x ，y ，z )的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为08.【多选】（23-24高二上·浙江绍兴·期中）直线l 的方向向量是(1,2,0)a =，若l a ^，则平面a 的法向量可以是（ ）A ．()1,2,0n = B ．()2,4,0n =--C ．()2,1,0n =-D ．()2,1,2n =-9.（2024·江苏淮安·高二校考阶段练习）空间直角坐标系O xyz -中，已知点()2,0,2A ，()2,1,0B ，()0,2,0C ，则平面ABC 的一个法向量可以是（ ）．A ．()2,1,2B ．()1,2,1-C ．()2,4,2D ．()2,1,2-10．（2024·高二课时练习）已知()()()1,1,0,1,0,1,0,1,1A B C ，则平面ABC 的一个单位法向量是（ ）A ．()1,1,1B ．C ．111(,,)333D ．11.（2023秋·湖北荆州·高二沙市中学校考期末）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为 1， 以D 为原点， {}1,,DA DC DD为单位正交基底， 建立空间直角坐标系， 则平面1AB C 的一个法向量是（ ）A ．(1,1,1)B ．(1,1,1)-C ．(1,1,1)-D ．(1,1,1)-12．（2024·高二课时练习）在如图所示的坐标系中，1111ABCD A B C D -为正方体，给出下列结论：①直线1DD 的一个方向向量为(0,0,1)；②直线1BC 的一个方向向量为(0,1,1)；③平面11ABB A 的一个法向量为(0,1,0)；④平面1B CD 的一个法向量为(1,1,1).其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13.（2023春·高二课时练习）已知四边形ABCD 是直角梯形，90ABC ∠= ，SA ^平面ABCD ，1SA AB BC ===，12A D =，求平面SCD 的一个法向量．14．（2024·高二课时练习）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1111,A D A B 的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面11BDD B 的一个法向量；(2)平面BDEF 的一个法向量.15．（2024·福建龙岩·高二校联考期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑A BCD -中，AB ^平面BCD ，=90BDC ∠°，BD AB CD ==.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面ACD 的一个法向量为（ ）A ．()0,1,0B ．()0,1,1C ．()1,1,1D ．()1,1,016．（2024·全国·高三专题练习）放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD 中，H 是底面中心，DH ^平面ABC ，写出：平面BHD 的一个法向量___________；17.（2023春·高二课时练习）如图的空间直角坐标系中，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，2,AB PB =与平面xDy 的所成角为4p，E 为PB 中点，则平面ABE 的单位法向量0n =______．（用坐标表示）18．【多选】（2024·福建宁德·高二校联考期中）已知空间中三个向量()2,1,0AB =，()1,2,1AC =- ，()3,1,1BC =-，则下列说法正确的是（ ）A ．AB与AC 是共线向量B ．与AB同向的单位向量是ö÷÷øC ．BC 在AB方向上的投影向量是()2,1,0--D ．平面ABC 的一个法向量是()1,2,5-19．（2024·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）已知()2,0,2a =，()3,0,0= b 分别是平面a ，b 的法向量，则平面a ，b 交线的方向向量可以是（ ）A ．()1,0,0B ．()0,1,0C ．()0,0,1D ．()1,1,120．（2024·湖北·高二校联考阶段练习）已知点()2,6,2A -在平面a 内，()3,1,2=n 是平面a 的一个法向量，则下列点P 中，在平面a 内的是（ ）A ．()1,1,1P -B ．31,3,2P æöç÷èøC ．31,3,2P æö-ç÷èøD ．31,3,4P æö---ç÷èø(1)线线平行的向量表示：设u 1，u 2分别是直线l 1，l 2的方向向量，则l 1∥l 2⇔u 1∥u 2⇔∃λ∈R ，使得u 1＝λu 2.(2)线面平行的向量表示：设u 是直线 l 的方向向量，n 是平面α的法向量，l ⊄α，则l ∥α⇔u ⊥n ⇔u ·n ＝0.注：（1）在平面a 内取一个非零向量a ，若存在实数x ，使得u xa =，且l a Ë，则//l a ．（2）在平面a 内取两个不共线向量,a b ，若存在实数,x y ，使得u xa yb =+，且l a Ë，则//l a ．(3)面面平行的向量表示：设n 1 ，n 2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔∃λ∈R ，使得n 1＝λn 2 .2．利用向量证明线线平行的思路：证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可．3．证明线面平行问题的方法：(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；(2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内；(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．4．证明面面平行问题的方法：(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．题型三 用空间向量证明平行问题（一）判断直线、平面的位置关系21．（2024·湖北黄石·高二校考阶段练习）若直线l 的一个方向向量为()257，，a =，平面α的一个法向量为()111，，u ®=-，则（ ）A ．l ∥α或l ⊂αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α斜交22．（2024·高二单元测试）若平面a 与b 的法向量分别是()1,0,2a =- ，()1,0,2b =-r，则平面a 与b 的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．相交不垂直D ．无法判断23．（2024·山东菏泽·高二统考期末）已知平面a 与平面ABC 是不重合的两个平面，若平面α的法向量为(2,1,4)m =-，且(2,0,1)AB =- ，(1,6,1)AC = ，则平面a 与平面ABC 的位置关系是________.24．（2024·陕西宝鸡·高二统考期末）在长方体ABCD A B C D -¢¢¢¢中，222AA AB AD ¢===，以点D 为坐标原点，以,,DA DC DD ¢分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设对角面ACD ¢所在法向量为(,,)x y z ，则::x y z =__________．25．【多选】（2024·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考期中）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是（ ）A ．若两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =- ，()2,3,1b =--，则12//l l B ．若直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面a 的法向量是()0,5,0m =-，则l //a C ．若两个不同平面a ，b 的法向量分别为()12,1,0n =- ，()24,2,0n =-，则//a bD ．若平面a 经过三点()1,0,1A -，()0,1,0B ，()1,2,0C -，向量()11,,n u t =是平面a 的法向量，则1u t +=（二）已知直线、平面的平行关系求参数26.（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知直线l 的方向向量为1,2,4)m (-=，平面a 的法向量为,1,2)n x =(-，若直线l 与平面a 平行，则实数x 的值为（ ）A ．12B ．12-C ．10D ．10-27．（2024·广东广州·高二广州市第九十七中学校考阶段练习）直线l 的方向向量是()1,1,1s =-，平面a 的法向量()222,,n x x x =+- ，若直线//l 平面a ，则x =______．28．（2024·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）已知直线l 的一个方向向量为(1,2,1)d =-，平面a 的一个法向量(,4,2)n x =-，若//l a ，则实数x =_______．29．（2024·天津蓟州·高二校考期中）直线l 的方向向量是()1,1,1s ®=，平面a 的法向量()21,,n x x x ®=--，若直线l a ∥，则x =___________.30.（2023·全国·高三专题练习）在长方体1111ABCD A B C D -中，E 是1BB 的中点，111B F B D l =，且//EF 平面1ACD ，则实数l 的值为（ ）A ．15B ．14C ．13D ．1231.【多选】（2023春·高二课时练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 中点，若直线//EF 平面11A BC ，则点F 的位置可能是（ ）A ．线段1CC 中点B ．线段BC 中点C ．线段CD 中点D ．线段11C D 中点32．（2024·上海·高二校联考阶段练习）已知平面a 的一个法向量为()11,2,3n =-，平面b 的一个法向量为()22,4,n k =--，若//a b ，则k 的值为______（三）证明直线、平面的平行问题（1）利用向量方法证明线线平行解题策略：向量法证明两条直线平行的方法：两直线的方向向量共线时，两直线平行或共线，否则两直线相交或异面．33.（2023·江苏·高二专题练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1A D 上，点Q 在线段AC 上，线段PQ 与直线1A D 和AC 都垂直，求证：1PQ BD .34.（2023·江苏·高二专题练习）已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，13AA =，点S 、P 在棱1CC 、1AA 上，且112CS SC =，12AP PA =，点R 、Q 分别为AB 、11D C 的中点．求证：直线PQ ∥直线RS ．35.（2023·江苏·高二专题练习）已知在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =,12AA =，点E 为1CC 的中点，点F 为1BD 的中点．(1)求证：1EF BD ^ 且1EF CC ^ ；(2)求证：EF AC ∥．（2）利用向量方法证明线面平行解题策略：1.利用向量法证明平行问题的两种途径(1)利用三角形法则、平行四边形法则和空间向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系．(2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．2.利用向量法证明线面平行的三种思路（1）与法向量垂直：设直线l 的方向向量是a ,平面α的法向量是u , 则要证明l //α,只需证明u a ^,即0=×u a .（2）与平面内一个向量平行：在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.（3）用平面内两个不共线向量线性表示：证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.注：证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量共线，再说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量的运算．36．（2022春·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校联考期末）如图，三棱柱11ABC AB C -中侧棱与底面垂直，且AB ＝AC ＝2，AA 1＝4，AB ⊥AC ，M ，N ，P ，D 分别为CC 1，BC ，AB ，11B C 的中点．求证：PN ∥面ACC 1A 1；37．（2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ^平面ABC ，D ，E 分别为棱AB ，11B C 的中点，2BC =，AB =114A C =.证明：//DE 平面11ACC A ；38.（2023春·高二课时练习）如图，在四面体A BCD -中，AD ^平面BCD ，BC CD ^，2AD =，BD =．M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =．证明：PQ 平面BCD ；39.（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中//AD BC .,3,2,AD AB AD AB BC PA ^===^平面ABCD ，且3PA =，点M 在棱PD 上，点N 为BC 中点.若2DM MP =，证明：直线//MN 平面PAB .40．（2024·天津和平·耀华中学校考二模）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形，线段AD 的中点为O 且PO ^底面ABCD ，112AB BC AD ===，π2BAD ABC ∠==∠，E 是PD 的中点．证明：CE ∥平面PAB ；41．（2024·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ^底面ABC ，90BAC ∠=°．点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，2PA AC ==，1AB =．求证：//MN 平面BDE ；42．（2024·天津南开·南开中学校考模拟预测）在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，且2PA =，四边形ABCD 是直角梯形，且AB AD ^，//BC AD ，2AD AB ==，4BC =，M 为PC 中点，E 在线段BC 上，且1BE =.求证：//DM 平面PAB ；43.（2024·高二课时练习）如图所示，在直角梯形ABCP 中，AP BC ∥，AP AB ^，122AB BC AP ===，D 是AP 的中点，,,E F G 分别为,,PC PD CB 的中点，将PCD V 沿CD 折起，使得PD ^平面ABCD ，试用向量方法证明AP 平面EFG .（3）利用向量方法证明面面平行解题策略：(1)由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为证明相应的线面平行、线线平行即可；(2)若能求出平面b a ，的法向量υm ，,则要证明b a //,只需证明υm //.值得注意的是，虽然空间向量的坐标运算比线性运 算更为简单，但法向量的求解有时比较烦琐，有时在 平面内找与直线平行的向量也不直观，因此求解时，需要灵活选择解题方法.44．（2024·高二课时练习）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别在棱1A A ，11A B ，11A D 上，1111A E A F A G ===；点P ，Q ，R 分别在棱1CC ，CD ，CB 上，1CP CQ CR ===．求证：平面//EFG 平面PQR ．45．（2024·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）如图所示，正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面边长1，侧棱长4，AA 1中点为E ，CC 1中点为F ．求证：平面BDE ∥平面B 1D 1F ；46.（2023春·高二课时练习）如图所示，平面PAD ^平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PAD ∆是直角三角形，且2PA AD ==，E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点，求证：平面EFG 平面PBC ．47.（23-24高二上·新疆·期末）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，M ，N ，E ，F 分别是棱11A D ，11A B ，11D C ，11B C 的中点．求证：平面//AMN 平面BDEF ．（4）与平行有关的探索性问题解题策略：平行关系中的探究性问题探究点的位置时，可先设出对应点的坐标，然后根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线，建立与所求点的坐标有关的方程，通过解方程可得点的坐标．48.（2023秋·高二课时练习）如图，已知空间几何体P ABCD -的底面ABCD 是一个直角梯形，其中90BAD ∠=,//AD BC ,BA BC a ==,2AD a =，且PA ^底面ABCD ，PD 与底面成30 角．(1)若8BC PD ×= ，求该几何体的体积；(2)若AE 垂直PD 于E ，证明：BE PD ^；(3)在（2）的条件下，PB 上是否存在点F ，使得//EF BD ，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．49.（2023·全国·高三专题练习）如图，在斜三棱柱111ABC A B C - 中，已知ABC ∆为正三角形，四边形11ACC A 是菱形，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，平面11ACC A ⊥平面ABC .(1)求证：1A C ^平面BDE ；(2)若160C CA ∠= ，在线段1DB 上是否存在点M ，使得//AM 平面BDE ？若存在，求1DM DB 的值，若不存在，请说明理由．50.（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，14AA =.(1)求证：1AC BC ^；(2)在AB 上是否存在点D ，使得1//AC 平面1CDB ，若存在，确定D 点位置并说明理由，若不存在，说明理由．51.（2022·高二课时练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，P 是1DD 的中点．在棱1CC 上是否存在一点Q ，使得平面1//D BQ 平面PAO ？若存在，指出点Q 的位置；若不存在，请说明理由．(1)线线垂直的向量表示：设 u 1，u 2 分别是直线 l 1 , l 2 的方向向量，则l 1⊥l 2⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.(2)线面垂直的向量表示：设u 是直线 l 的方向向量，n 是平面α的法向量， l ⊄α，则l ⊥α⇔u ∥n ⇔∃λ∈R ，使得u ＝λn .注：在平面a 内取两个不共线向量,a b ，若0a u b u ×=×= .则l a ^．(3)面面垂直的向量表示：设n 1，n 2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0.2.利用向量法证明空间中的平行、垂直可以通过建立空间直角坐标系，把要证的空间中的平行与垂直问题转化为证明空间向量之间的平行和垂直问题．破解此类题的关键点如下：①合理建系，抓住空间几何体的结构特征，充分利用图形中的垂直关系(或在图形中构造垂直关系)建立空间直角坐标系．②确定坐标，利用题设条件写出相关点的坐标，进而获得相关向量的坐标．③准确运算，验证两向量平行或垂直的条件成立．④得出结论，由运算结果说明原问题得证．题型四 利用空间向量证明垂直问题（一）判断直线、平面的位置关系52．（2021秋·北京·高二校考期中）直线12,l l 的方向向量分别为(1,3,1),(8,2,2)a b =--= ，则（ ）A ．12l l ^B ．1l ∥2lC ．1l 与2l 相交不平行D ．1l 与2l 重合53．（2024·北京·高二校考阶段练习）若直线l 的方向向量为e (2,3,1)=- ，平面a 的法向量为311,,22n æö=--ç÷èø ，则直线l 和平面a 位置关系是（ ）A ．l a ^B ．//l a C ．l a ÌD ．不确定54．【多选】（2024·广东珠海·高二珠海市斗门区第一中学校考期末）已知v 为直线l 的方向向量,12,n n 分别为平面a ,b 的法向量（a ,b 不重合）,那么下列说法中正确的有（ ）．A ．12n n a bÛ∥∥ B ．12n n a b ^Û^ C ．1v n l Û a ∥∥D ．1v n l ^Û^ a55.（23-24高二上·浙江·期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，不能互相垂直的两条直线是（ ）A ．1AB 和1AC B ．1A B 和1CD C ．1C D 和1B C D ．1A B 和11B C 56．（2024·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（ ）A ．两条不重合直线12,l l 的方向向量分别是()()2,3,1,2,3,1a b =-=-- ，则12l l ∥B ．直线l 的方向向量()112a ,,=- ，平面a 的法向量是()6,4,1u =- ，则l a^C ．两个不同的平面,a b 的法向量分别是()()2,2,1,3,4,2u v =-=- ，则a b^D ．直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面a 的法向量是()0,5,0u =- ，则l a∥57．【多选】（2024·高二课时练习）下列命题是真命题的有( )A ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面B ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =- ，直线m 的方向向量12,1,2b æö=-ç÷èør 为，则l 与m 垂直C ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =- ，平面α的法向量为10,1,2n æö=ç÷èø ，则l ⊥αD ．平面α经过三点()()()1,0,1,0,1,0,1,2,0A B C --，()1,,=r n u t 是平面α的法向量，则u +t ＝1（二）已知直线、平面的垂直关系求参数58.（2023·全国·高三专题练习）设直线12,l l 的方向向量分别为(1,2,2),(2,3,)a b m =-=- ，若12l l ^，则实数m等于（）A ．1B ．2C ．3D ．459．（2024·北京海淀·高二中央民族大学附属中学校考开学考试）已知平面a 的法向量为()1,2,0n = ，直线l的方向向量为v ，则下列选项中使得l a ^的是（ ）A ．()2,1,0v =- B ．()2,1,0v = C ．()2,4,0v = D ．()1,2,0v =- 60．（江苏省扬州市2023-2024学年高二下学期6月期末数学试题）已知直线l 的方向向量为()2,1,2e =- ，平面a 的法向量为()()2,,,n a b a b a b =--+ÎR .若l a ^，则3a b +的值为（ ）A ．5-B ．2-C ．1D ．461．（2024·高二课时练习）已知()()3,,,R u a b a b a b =-+Î 是直线l 的方向向量，()1,2,4n =r 是平面a 的法向量．若l a ^，则ab =______．62．（2024·广东珠海·高二珠海市实验中学校考阶段练习）若直线l 方向向量为()2,1,m ，平面a 的法向量为11,,22æöç÷èø，且l a ^，则m 为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．54-63.（2023秋·北京石景山·高二统考期末）已知(2,,)(,)=-+-Î m a b a b a b R 是直线l 的方向向量，(2,1,2)=- n 是平面a 的法向量．若l a ^，则下列选项正确的是（ ）A ．340a b --=B ．350a b --=C ．13,22a b =-=D ．13,22a b ==-64．（2024·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）如图，在正三棱锥D -ABC 中，AB =2DA =，O 为底面ABC 的中心，点P 在线段DO 上，且PO DO l =uuu r uuu r ，若PA ^平面PBC ，则实数l =（ ）A ．12B ．13-C D 65.（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11B C ，1BB 的中点，G 为面对角线1A D 上的一点，且1(01)DG DA l l =££ ,若1A C ^平面EFG ，则l =（ ）A ．14B ．13C D ．1266.（2023·江苏·高二专题练习）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ADE ^平面ABCD ，O ，M 分别为AD ，DE 的中点，四边形BCDO 是边长为1的正方形，AE DE =，AE DE ^．点N 在直线AD 上，若平面BMN ^平面ABE ，则线段AN 的长为_________．（三）证明直线、平面的垂直问题（1）利用向量方法证明线线垂直解题策略：利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤(1)基向量法：①选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．(2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；③计算两直线方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．67.【多选】（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）点P 在正方体1111ABCD A B C D -的侧面11CDD C 及其边界上运动，并保持1BP A C ^，若正方体边长为，则1A P 的可能取值是（ ）A B C D 68.（2023秋·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1DD BD 、的中点，建立适当的空间直角坐标系，证明：1EF B C ^．69.（2023·江苏·高二专题练习）如图，在直棱柱111ABC A B C -中，12AA AB AC ===，π2BAC ∠=，,,D E F 分别是11A B ，1CC ，BC 的中点．求证：AE DF ^；70.（2023·四川雅安·统考模拟预测）已知下面给出的四个图都是各棱长均相等的直三棱柱，A 为一个顶点，D ，E ，F 分别是所在棱的中点．则满足直线AD EF ^的图形个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（2）利用向量方法证明线面垂直解题策略：向量法证明线面垂直的两种思路(1)根据线面垂直的判定定理证明：求出直线的方向向量，在平面内找两条相交直线，并分别求出表示它们的方向向量，计算两组向量的数量积为0，得到该直线与平面内的两条相交直线都垂直．(2)法向量法：求出直线的方向向量与平面的法向量，用向量法判断直线的方向向量与平面的法向量平行．71．（2024·高二课时练习）如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3，试证明AM ⊥平面BMC .72.（2023春·高二课时练习）如图所示，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 的中点．求证：1AB ^平面1A BD .73．（2024·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC V 是等腰三角形，且π,26ACB AB AC ∠===，又侧棱1BB =面对角线116A C A B ==，点,D F 分别是棱11,A B CB 的中点，11344AE AC AC =+ .证明：1B E ^平面AEF ；74．（2024·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，平面11ADD A ^平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2AD =，11111DD D A A A ===.求证：1AD ^平面11CDD C .（3）利用向量方法证明面面垂直解题策略：证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．75．（2024秋·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期末）已知：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ^平面ABCD ，点M 为PD 中点，1PA AD ==．求证：平面MAC ^平面PCD ；76．（2024·高二课时练习）如图所示，△ABC 是一个正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝CA ＝2BD .求证：平面DEA ⊥平面ECA .77．（2024·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^平面ABCD ，底面ABCD 是梯形，点E 在BC 上，,,22248AD BC AB AD BC AB AD AP BE ^=====∥．求证：平面PDE ^平面PAC ；（4）与垂直有关的探索性问题解题策略：解决立体几何中探索性问题的基本方法(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理．(2)探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为(x ，y ，z )；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如xOy 面上的点为(x ，y,0)；③坐标轴上的点两个坐标为0，如z 轴上的点为(0,0，z )；④直线(线段)AB 上的点P ，可设为AP → ＝λAB →，表示出点P 的坐标，或直接利用向量运算．78．（2024·江苏连云港·高二统考期中）如图，在多面体ABCDE 中，ABC V ，BCD △，CDE V 都是边长为2的等边三角形，平面ABC ^平面BCD ，平面CDE ^平面BCD ．(1)判断A ，B ，D ，E 四点是否共面，并说明理由；(2)在ABC V 中，试在边BC 的中线上确定一点Q ，使得DQ ^平面BCE ．79.（2023春·广东汕尾·高二陆丰市龙山中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，E 是PA 的中点．(1)求证：//PC 平面BDE ．(2)若2PA =，线段PC 上是否存在一点F ，使AF ^平面BDE ？若存在，求出PF 的长度；若不存在，请说明理由．80.（2023春·高二课时练习）如图1，在边长为2的菱形ABCD 中，60,BAD DE AB ∠=^ 于点E ，将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A D BE ^，如图2．(1)求证：1A E ^平面BCDE ；(2)在线段BD 上是否存在点P ，使平面1A EP ^平面1A BD ？若存在，求BP BD 的值；若不存在，说明理由．。

专题01空间点、直线、平面之间的位置关系综合题专练一、单选题1．（2021·上海市松江二中高二月考）已知直线a ，b 及平面 α，有下列命题：①//a b a b αα⊥⎧⇒⎨⊥⎩；②//a b a b αα⊥⎧⇒⊥⎨⎩；③//////a b a b αα⎧⇒⎨⎩；④//a b a b αα⎧⇒⊥⎨⊥⎩.则其中正确命题的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个2．（2021·上海杨浦·复旦附中高二期中）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60°；④DM 与BN 垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（）A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④3．（2021·长宁区·上海市延安中学高二期中）已知正方体1111ABCD A B C D -，P 为1CC 中点，对于下列两个命题：（1）过点P 有且只有一条直线与直线AB ，11A D 都相交；（2）过点P 有且只有一条直线与直线AB ，11A D 都成45°角．则以下判断正确的是（）A ．（1）为真命题；（2）为真命题B ．（1）为真命题；（2）为假命题C ．（1）为假命题；（2）为真命题D ．（1）为假命题；（2）为假命题4．（2021·上海普陀·曹杨二中高二月考）下列图形中，一定可以确定一个平面的是（）A ．四边形B ．空间三点C ．两两相交且交点均不相同的四条直线D ．交于同一点的三条直线5．（2021·上海市大同中学）已知a 和b 是成80 角的两条直面直线，则过空间一点且与a b 、都成50 角的直线共有（）A ．2条B ．3条C ．4条D ．无数条6．（2021·上海市杨浦高级中学高二期末）已知直线a 、b 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A ．若a α⊥，a β⊥，则//αβB ．若//a α，//b β，//αβ，则//a bC ．若a b ⊥r r ，b α⊥，//a β，则//αβD ．若//αβ，a 与α所成角和b 与β所成角相等，则//a b7．（2021·上海市洋泾中学高二月考）关于直线l 、m 及平面α、β，下列命题中正确的是（）A ．若//l α，m αβ= ，则//l mB ．若l α⊥，//m α，则l m ⊥C ．若//l α，//m α，则//l mD ．若//l α，m l ⊥，则m α⊥8．（2021·上海市建平中学高二月考）ABC 的三边长分别3､4､5，P 为ABC 所在平面外一点，令集合Q ={P P 为ABC 所在平面外一点，且到三边所在直线的距离都是3}，则集合Q 的子集个数为（）A ．2B ．4C ．8D ．169．（2021·上海市亭林中学高二期中）设直线,a b 与平面α所成的角相等，则直线,a b 的位置关系为（）A ．平行B ．平行或异面C ．平行或相交D ．平行、相交或异面10．（2021·上海市进才中学高二期中）已知平面l αβ= ，B ，C l ∈，A α∈，且A l ∉，D β∈，且D l ∉，则下列叙述错误的是（）A ．直线AD 与BC 是异面直线B ．直线CD 在α上的射影可能与AB 平行C ．过AD 有且只有一个平面与BC 平行D ．过AD 有且只有一个平面与BC 垂直二、填空题11．（2021·上海奉贤区·高二期末）在《九章算术》中定义“底面为直角三角形而有一侧棱垂直于底面的三棱锥为鳖臑”．如图，在鳖臑ABCD 中，侧棱AB ⊥底面BCD ，1AB =，2BC =，1CD =，则异面直线AC 与BD 所成角的大小为______．12．（2021·上海市建平中学高二期中）已知圆锥的轴截面PAB 是等边三角形，C 为底面弧AB 的中点，D 为母线PB 的中点，则异面直线PA 和CD 所成角的大小为________13．（2021·上海静安·高二期末）如图，三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，底面ABC 是边长为2的正三角形，且23PA =，若M 是BC 的中点，则异面直线PM 与AC 所成角的大小是__________（结果用反三角函数值表示）14．（2021·上海市复兴高级中学）四面体ABCD 中，2AB CD ==，4AC AD BC BD ====，则异面直线AB 与CD 的距离为________15．（2021·上海普陀区·曹杨二中高二期末）已知空间四边形ABCD ，2AB CD ==，且AB 与CD 所成的角为3π，设E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则EF 的长度为______．16．（2021·徐汇区·上海中学高二月考）下列判断中：①三点确定一个平面；②一条直线和一点确定一个平面；③两条直线确定一个平面；④三角形和梯形一定是平面图形；⑤四边形一定是平面图形；⑥六边形一定是平面图形；⑦两两相交的三条直线确定一个平面.其中正确的是___________.17．（2021·上海市中国中学高二月考）一个正方体的展开图如图所示，B 、C 、D 为原正方体的顶点，A 为原正方体一条棱的中点，在原来的正方体中，直线CD 与AB 所成角的余弦值为______．18．（2021·上海市洋泾中学高二月考）如图，1111ABCD A B C D -是棱长为1的正方体，一个质点从A 出发沿正方体的面对角线运动，每走完一条面对角线称为“走完一段”，质点的运动规则如下：运动第i 段与第2i +所在直线必须是异面直线(其中i 是正整数)，质点走完的第99段与第1段所在的直线所成的角是___________.19．（2021·上海徐汇区·位育中学）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M N 、分别是111A B CC 、的中点，用过D M N 、、三点的平面截正方体，则截面图像的周长为__________20．（2021·上海市建平中学高二月考）已知异面直线,a b 所成角为3π，过空间一点P 有且仅有2条直线与,a b 所成角都是θ，则θ的取值范围是___________.三、解答题21．（2021·上海市松江二中高二月考）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB =2，过1A 、1C 、B 三点的平面截去正四棱柱的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD A C D -，且这个几何体的体积为203，点P ，Q 分别是1A D 和AC 的中点.（1）求异面直线1D P 与1C Q 所成角的大小；（2）求直线C 1D 与平面11A C B 所成角的大小.（用反三角函数表示）22．（2021·上海市西南位育中学高二期中）长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AB AA AD ===，点E 是棱BC 的中点.（1）求异面直线1BB 与1D E 所成角的大小；（2）求点A 到平面1A DE 的距离.23．（2021·上海杨浦·复旦附中高二期中）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若M ，N 分別是111,CC A D 的中点，作出过M ，N ，B 三点的截面，并求出这截面的周长.24．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2BC =，15CC =，M 为棱1CC 上一点．（1）若132C M =，求异面直线1A M 和11CD 所成角的正切值；（2）若11C M =．试证明：BM ⊥平面11A B M ．25．（2021·宝山区·上海交大附中高二期中）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，侧棱长为1．（1）求直线1A C 与直线1AD 所成角的余弦值；（2）求二面角11D A C A --平面角大小的余弦值；（3）在直线1A C 上是否存在一个动点P ，使得P 在平面1D AC 的投影恰好为1D AC 的重心，若存在，求线段PC 的长度，若不存在，说明理由．26．（2021·上海市大同中学）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，2,7AB BC AD CD ====，3,120,PA ABC G =∠=︒为线段PC 上的点.（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）若G 是PC 的中点，求DG 与平面PAC 所成的角的正切值；（3）在（2）的条件下求异面直线BG 与PD 所成角的余弦值.27．（2021·上海市大同中学）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AA1和AB的中点．求证：（1）D1，M，N，C四点共面；（2）D1M、DA、CN三线共点．28．（2021·上海市中国中学高二月考）已知空间四边形SABC各边及对角线的长都是1．（1）求边SA、BC的距离；（2）求异面直线SB与AC所成角大小．29．（2021·上海市建平中学高二月考）如图，已在正四棱锥P ABCD -，4PA =，底面边长为4，Q 为PB 的中点.（1）求作平面QAD 与正四棱锥P ABCD -的截面；（2）求二面角Q AD B --的大小.30．（2021·上海徐汇区·位育中学）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠= ，12CA CB CC ===.点1D D ，分别是棱11AC A C ，的中点.（1）求证：11、、、D B B D 四点共面；（2）求直线1BC 与平面11DBB D 所成角的大小.。

第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系【2014年高考会这样考】1．本讲以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．2．有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题． 【复习指导】1．掌握平面的基本性质，在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位置关系及等角定理．2．异面直线的判定与证明是本部分的难点，定义的理解与运用是关键．基础梳理1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 5．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．6．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．两种方法异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 三个作用(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)下列命题是真命题的是( )． A ．空间中不同三点确定一个平面B ．空间中两两相交的三条直线确定一个平面C ．一条直线和一个点能确定一个平面D ．梯形一定是平面图形解析 空间中不共线的三点确定一个平面，A 错；空间中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面，B 错；经过直线和直线外一点确定一个平面，C 错；故D 正确．答案 D2．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b ( )． A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线解析 由已知直线c 与b 可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b ∥c ，则a ∥b ，与已知a 、b 为异面直线相矛盾. 答案 C3．(2011·浙江)下列命题中错误的是( )．A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析 对于D, 若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，甚至可能平行于平面β，其余选项均是正确的． 答案 D4．(2011·武汉月考)如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( )．A ．12对B ．24对C ．36对D ．48对 解析如图所示，与AB 异面的直线有B 1C 1；CC 1，A 1D 1，DD 1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线12×42＝24(对)． 答案 B5．两个不重合的平面可以把空间分成________部分． 答案 3或4考向一平面的基本性质【例1】►正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是()．A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形[审题视点] 过正方体棱上的点P、Q、R的截面要和正方体的每个面有交线．解析如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB交于M，连接MR 交BB1于E，连接PE、RE为截面的部分外形．同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG.∴截面为六边形PQFGRE.答案 D画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定．作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快的确定交线的位置．【训练1】下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．解析在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．答案①②③考向二异面直线【例2】►如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．[审题视点] 第(1)问，连结MN，AC，证MN∥AC，即AM与CN共面；第(2)问可采用反证法．解(1)不是异面直线．理由如下：连接MN、A1C1、AC.∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又∵A1A綉C1C，∴A1ACC1为平行四边形，∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：∵ABCDA1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，∴D1，B、C、C1∈α，与ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾．∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．证明两直线为异面直线的方法(1)定义法(不易操作)．(2)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．【训练2】在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．解析如题干图(1)中，直线GH∥MN；图(2)中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图(3)中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图(4)中，G、M、N共面，但H∉面GMN，∴GH与MN异面．所以图(2)、(4)中GH与MN异面．答案(2)(4)考向三异面直线所成的角【例3】►(2011·宁波调研)正方体ABCDA1B1C1D1中．(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．[审题视点] (1)平移A1D到B1C，找出AC与A1D所成的角，再计算．(2)可证A1C1与EF垂直．解(1)如图所示，连接AB1，B1C，由ABCDA1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)如图所示，连接AC、BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，∵E、F分别为AB、AD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．【训练3】A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．(1)证明假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)解如图，取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝12AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.考向四点共线、点共面、线共点的证明【例4】►正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．[审题视点] (1)由EF∥CD1可得；(2)先证CE与D1F相交于P，再证P∈AD.证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P ∈平面ADD 1A 1.又平面ABCD ∩平面ADD 1A 1＝DA ， ∴P ∈直线DA ，∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用平面的基本性质3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在此直线上．【训练4】 如图所示，已知空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，求证：三条直线EF 、GH 、AC 交于一点．证明 ∵E 、H 分别为边AB 、AD 的中点， ∴EH 綉12BD ，而CF CB ＝CG CD ＝23， ∴FG BD ＝23，且FG ∥BD .∴四边形EFGH 为梯形，从而两腰EF 、GH 必相交于一点P . ∵P ∈直线EF ，EF ⊂平面ABC ，∴P ∈平面ABC . 同理，P ∈平面ADC .∴P 在平面ABC 和平面ADC 的交线AC 上，故EF 、GH 、AC 三直线交于一点．阅卷报告10——点、直线、平面位置关系考虑不全致误【问题诊断】 由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断． 【防范措施】 借助正方体、三棱锥、三棱柱模型来分析．【示例】►(2011·四川)l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()．A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面错因受平面几何知识限制，未能全面考虑空间中的情况．实录甲同学：A乙同学：C丙同学：D.正解在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．答案 B【试一试】(2010·江西)过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作()．A．1条B．2条C．3条D．4条[尝试解答]如图，连结体对角线AC1，显然AC1与棱AB、AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为 2.联想正方体的其他体对角线，如连结BD1，则BD1与棱BC、BA、BB1所成的角都相等，∵BB1∥AA1，BC∥AD，∴体对角线BD1与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，同理，体对角线A1C、DB1也与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1、A1C、DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条．答案 D。

空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系【知识梳理】1．直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号暗示a⊂αa∩α＝A a∥α图形暗示2．两个平面的位置关系位置关系图示暗示法公共点个数两平面平行α∥β没有公共点两平面相交α∩β＝l 有无数个公共点(在一条直线上)【常考题型】题型一、直线与平面的位置关系【例1】下列说法：①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中说法正确的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个[解析]对于①，直线a在平面α外包孕两种情况：a∥α或a与α相交，∴a和α纷歧定平行，∴①说法错误．对于②，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a纷歧定平行于α.∴②说法错误．对于③，∵a∥b，b⊂α，∴a⊂α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行．∴③说法正确．[答案] B【类题通法】空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．【对点训练】1．下列说法中，正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；③经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条必然与这个平面平行．A．0 B．1C．2 D．3解析：选C①正确；②错误，如图1所示，l1∥m，而m⊂α，l1⊂α；③正确，如图2所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1C1与直线BD异面，A1C1⊂平面A1B1C1D1，且BD∥平面A1B1C1D1，故③正确；④错误，直线还可能与平面相交．由此可知，①③正确，故选C.题型二、平面与平面的位置关系【例2】(1)平面α内有无数条直线与平面β平行，问α∥β是否正确，为什么？(2)平面α内的所有直线与平面β都平行，问α∥β是否正确，为什么？[解](1)不正确．如图所示，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，…，a n，…，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n，…与平面β都平行(因为a1，a2，…，a n，…与平面β无交点)，但此时α与β不平行，α∩β＝l.(2)正确．平面α内所有直线与平面β平行，则平面α与平面β无交点，符合平面与平面平行的定义．【类题通法】两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行．这样我们可以得出两个平面的位置关系：①平行——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线．若平面α与β平行，记作α∥β；若平面α与β相交，且交线为l，记作α∩β＝l.【对点训练】2．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面．与其中一个侧面相交的面共有________个．解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共有8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系．答案：4 63．如图所示，平面ABC与三棱柱ABC－A1B1C1的其他面之间有什么位置关系？解：∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点，∴平面ABC与平面A1B1C1平行．∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，∴平面ABC与平面ABB1A1相交．同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交．【练习反馈】1．M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有()A．l∥αB．l⊂αC．l与α相交D．以上都有可能解析：选C由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．2.如图所示，用符号语言可暗示为()A．α∩β＝lB．α∥β，l∈αC．l∥β，l⊄αD．α∥β，l⊂α解析：选D显然图中α∥β，且l⊂α.3．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是________．答案：平行4．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．解析：若平面外两点所在直线与该平面相交，则过这两个点不存在平面与已知平面平行；若平面外两点所在直线与该平面平行，则过这两个点存在独一的平面与已知平面平行．答案：0或15．三个平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b.(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．解：(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又c⊂β，所以c与α无公共点，则c∥α.(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，所以a，b没有公共点．由于a、b都在平面γ内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.。

第二章综合素能检测本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为错误!（）A．5B．4C．9D．1［答案] D[解析］由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．2．教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线错误!（)A．平行B．垂直C．相交D．异面[答案] B[解析］当直尺垂直于地面时，A不对;当直尺平行于地面时,C不对；当直尺位于地面上时，D不对．3．已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题正确的是错误!(）A．若α、β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m、n平行于同一平面，则m与n平行C．若α、β不平行．．．与β平行的直线．．．,则在α内不存在D．若m、n不平行．．．垂直于同一平面．．．，则m与n不可能[答案］ D［解析]A项，α、β可能相交，故错误；B项，直线m、n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面,故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n,m∥n，则m∥β，故错误;D项，假设m、n垂直于同一平面,则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．4．已知α、β是两个平面,直线l⊄α，l⊄β,若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中两个为条件,另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有错误!（)A．①③⇒②；①②⇒③B．①③⇒②；②③⇒①C．①②⇒③；②③⇒①D．①③⇒②；①②⇒③;②③⇒①［答案] A［解析]因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m，使m⊥α，又因为l⊥α,所以l∥m.又因为l⊄β，所以l∥β,即①③⇒②；因为l∥β，所以过l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n，又因为l⊥α，所以n⊥α，又因为n⊂β，所以α⊥β，即①②⇒③.5．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，若过C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H一定在导学号 92180601（)A．直线AC上B．直线AB上C．直线BC上D．△ABC的内部[答案] B[解析］∵∠BAC＝90°,∴BA⊥AC．又∵BC1⊥AC,∴AC⊥平面ABC1，∴平面ABC⊥平面ABC1.∵平面ABC∩平面ABC1＝AB，∴C1在面ABC上的射影在直线AB上．6．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有错误!（) A．1条B．2条C．3条D．4条[答案] B［解析］如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线,当∠ABC＝∠ACB＝30°且BC∥l时，直线AC，AB都满足条件，故选B．7．（2016·浙江文）已知互相垂直的平面α、β交于直线l.若直线m、n满足m∥α，n⊥β，则错误!(）A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n[答案］ C[解析]选项A，只有当m∥β或m⊂β时,m∥l；选项B,只有当m⊥β时,m∥n；选项C,由于l⊂β,∴n⊥l；选项D，只有当m∥β或m⊂β时，m⊥n,故选C．8．（2016·南安一中高一检测)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱BC 和棱CC1的中点，则异面直线AC与MN所成的角为错误!（）A．30°B．45°C．60°D．90°[答案] C[解析］如图，连接A1C1、BC1、A1B．∵M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，∴MN∥BC1。

【考点2:空间直线、平面的平行与垂直关系证明】题型1：直线、平面平行的判断及性质【典型例题】[例1]►(1)如图,在四面体P ABC中,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.求证：DE∥平面BCP .►(2)(2013福建改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC, AB＝6,DC＝3,若M为P A的中点,求证：DM∥平面PBC . ►(3)如图,在四面体A-BCD中,F,E,H分别是棱AB,BD,AC 的中点,G为DE的中点.证明：直线HG∥平面CEF .[例2]►(1)如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证：①B,C,H,G四点共面；②平面EF A1∥平面BCHG .►(2)如图E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证：①EG∥平面BB1D1D；②平面BDF∥平面B1D1H .【变式训练】1.(2014·衡阳质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为______.2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH .3.如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,E,H分别为棱A1B1,D1C1上的点,且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F,G,求证：FG∥平面ADD1A1.4.如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E 在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE＝FC1＝B1G＝1,H是B1C1的中点.(1)求证：E,B,F,D1四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F .题型2：直线、平面垂直的判断及性质【典型例题】[例1]►(1)如图,在四棱锥P-ABCD中, P A⊥底面ABCD, AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,P A＝AB＝BC,E是PC中点. 证明：①CD⊥AE；②PD⊥平面ABE .►(2)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面P AD,AB∥CD,PD＝AD,E是PB的中点,F是DC上的点且DF＝12AB,PH为△P AD中AD边上的高.①证明：PH⊥平面ABCD；②证明：EF⊥平面P AB.[例2]►(1)[2014·辽宁文]如图所示,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB＝BC＝BD＝2,∠ABC＝∠DBC＝120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.(I)求证：EF⊥平面BCG；(II)求三棱锥D -BCG的体积.►(2)(2012·课标全国)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB＝90°,AC＝BC＝12AA1,D是棱AA1的中点.(I)证明：平面BDC1⊥平面BDC；(II)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.►(3)(2015·大庆质检) 如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD＝DC＝BC＝1,AB＝2,AB∥DC,∠BCD＝90°.①求证：PC⊥BC；②求点A到平面PBC的距离.【变式训练】1.如图,四棱锥P—ABCD中,P A⊥底面ABCD,AB⊥AD,点E 在线段AD上,且CE∥AB. (1)求证：CE⊥平面P AD；(2)若P A=AB=1,AD=3,CD=2,∠CDA=45°,求四棱锥P-ABCD的体积.2.[2014·福建文]如图所示,三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A -MBC的体积.3.(2015·唐山统考)如图,在三棱锥P-ABC中,P A＝PB＝AB ＝BC,∠PBC＝90°,D为AC的中点,AB⊥PD.(1)求证：平面P AB⊥平面ABC；(2)如果三棱锥P-BCD的体积为3,求P A.4.[2014·课标Ⅰ文]如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明：B1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1,∠CBB1＝60°,BC＝1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.☆题型3：直线、平面平行与垂直关系的综合【典型例题】[例1]►(1)已知l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中真命题是(写出序号).①若l⊂α,m⊂α,l∥β,m∥β,则α∥β；②若l⊂α,l∥β,α∩β＝m,则l∥m；③若α∥β,l∥α,则l∥β；④若l⊥α,m∥l,α∥β,则m⊥β.►(2)(2014·辽宁)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α►(3)(2015·江西七校联考)已知直线a和平面α,β,α∩β＝l,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是()A.相交或平行B.相交或异面C.平行或异面D.相交、平行或异面►(4)(2013·课标Ⅱ)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则()A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l►(5)(2016·课标Ⅱ)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题：①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号) [例2]►(1)(2014·北京)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1＝AC＝2,BC＝1,E,F分别为A1C1,BC的中点.(I)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(II)求证：C1F∥平面ABE；(III)求三棱锥E-ABC的体积.►(2)[2014江苏文]如图,三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知P A⊥AC,P A＝6,BC＝8,DF＝5. 求证：(I)直线P A∥平面DEF；(II)平面BDE⊥平面ABC.[例3]►(1)[2014·陕西文]四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(I)求四面体ABCD的体积；(II)证明：四边形EFGH是矩形.►(2)(2012·北京)如图1,在Rt△ABC中,∠C＝90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2.(I)求证：DE∥平面A1CB；(II)求证：A1F⊥BE；(III)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ？说明理由.【变式训练】1.(2016·浙江联考)已知a,b,c为三条不同的直线,α,β是空间两个平面,且a⊂α,b⊂β,α∩β＝c.给出下列命题：①若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交；②若a不垂直于c,则a与b一定不垂直；③若a∥b,则必有a∥c；④若a⊥b,a⊥c,则必有α⊥β. 其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.32.(2012·四川)下列命题正确的是()A.若两直线和同一平面所成的角相等,则这两条直线平行B.若一平面内有三点到另一平面的距离相等,则这两平面平行C.若一直线平行于两相交平面,则这条直线与这两平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行3.(2015·福建)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(2016·山东济南一模)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.()A.若m⊥n,n∥α,则m⊥αB.若m∥β,β⊥α,则m⊥αC.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥αD.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α5.(2016·浙江温州联考)关于直线a,b,l及平面α,β,下列命题中正确的是()A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a∥α,b⊥a,则b⊥αC.若a ⊂α,b ⊂α,且l ⊥a ,l ⊥b ,则l ⊥αD.若a ⊥α,a ∥β,则α⊥β 6.(2015·山东二模)设m ,n 是空间两条直线,α,β是空间两个平面,则下列命题中不正确的是( ) A.当n ⊥α时,“n ⊥β”是“α∥β”的充要条件B.当m ⊂α时,“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C.当m ⊂α时,“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件D.当m ⊂α时,“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件 7.(2016·浙江)已知互相垂直的平面α,β交于直线l ,若直线m ,n 满足m ∥α,n ⊥β,则( )A.m ∥lB.m ∥nC.n ⊥lD.m ⊥n 8.(2013北京)如图,四棱锥P -ABCD 中,AB ∥CD ,AB ⊥AD ,CD ＝2AB ,平面P AD ⊥底面ABCD ,P A ⊥AD .E 和F 分别是CD 和PC 的中点.求证： (1)P A ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面P AD ；(3)平面BEF ⊥平面PCD .9.[2014·山东文]如图,四棱锥P -ABCD 中,AP ⊥平面PCD , AD ∥BC ,AB ＝BC＝12AD ,E ,F 分别为线段AD ,PC 的中点. (1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：BE ⊥平面P AC .10.(2013全国Ⅱ文)如图,直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,D ,E 分别是AB ,BB 1的中点.(Ⅰ)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(Ⅱ)设AA 1=AC =CB =2,AB =22,求三棱锥C -A 1DE 的体积.11.(2013·辽宁)如图,AB 是圆O 的直径,P A 垂直圆O 所在的平面,C 是圆O 上的点. (1)求证：BC ⊥平面P AC ； (2)设Q 为P A 的中点,G 为△AOC 的重心,求证：QG ∥平面PBC .12.[2014·课标Ⅱ文]如图,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为矩形,P A ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点. (1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1,AD ＝3,三棱锥P - ABD 的体积V ＝34,求A到平面PBC 的距离.13.(2015江苏)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,已知AC ⊥BC ,BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ,B 1C ∩BC 1＝E . 求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.14.(2015广东文)如图,三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,PD =PC ＝4,AB ＝6,BC ＝3. (1)证明：BC ∥平面PDA ； (2)证明：BC ⊥PD ；(3)求点C 到平面PDA 的距离.15.(2015课标Ⅱ)如图,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB ＝16, BC =10,AA 1=8,点E ,F 分别在A 1B 1,D 1C 1上,A 1E =D 1F =4.过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．16.(2015陕西)如图,直角梯形ABCD 中,AD ∥B C,∠BAD =π2, AB =BC =12AD =a ,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到如图2中△A 1BE 的位置,得到四棱锥A 1﹣BCDE ． (Ⅰ)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(Ⅱ)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时,四棱锥A 1﹣BCDE 的体积为362,求a 的值．17.(2016·课标Ⅱ文)如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,点E ,F 分别在AD ,CD 上,AE ＝CF ,EF 交BD 于点H ,将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置． (1)证明：AC ⊥HD ′(2)若AB =5,AC =6,AE =54,OD ′=22,求五棱锥D ′­ABCFE 的体积．18.(2016·课标Ⅲ文)如图,四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,AD ∥BC ,AB ＝AD ＝AC ＝3,P A ＝BC ＝4,M 为线段AD 上一点,AM ＝2MD ,N 为PC 的中点． (1)证明MN ∥平面P AB ；(2)求四面体N -BCM 的体积．19.[2017全国I 文]如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB//CD ,且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ； (2)若PA =PD =AB =DC ,∠ADP ＝90°,且四棱锥P-ABCD 的体积为83,求该四棱锥的侧面积.20.[2017全国II 文]如图,四棱锥P-ABCD 中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,AB =BC =12AD , ∠BAD =∠ABC =90°.(1)证明：直线BC ∥平面PAD ;(2)若△PCD 面积为27,求四棱锥P-ABCD 的体积.21.[2017全国III 文]在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为棱CD 的中点,则( )A.A 1E ⊥DC 1B.A 1E ⊥BDC.A 1E ⊥BC 1D.A 1E ⊥AC22.[2017全国III 文]如图,四面体ABCD 中,△ABC 是正三角形,AD =CD .(1)证明：AC ⊥BD ；(2)已知△ACD 是直角三角形,AB =BD .若E 为棱BD 上与D 不重合的点,且AE ⊥EC ,求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比.。

第八章立体几何第二讲空间点、直线、平面之间的位置关系练好题·考点自测1。

下列说法正确的是()A.梯形一定是平面图形B.过三点确定一个平面C.三条直线两两相交确定一个平面D。

若两个平面有三个公共点,则这两个平面重合2.［广东高考,5分]若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内，l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（)A。

l与l1，l2都不相交B。

l与l1，l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D。

l至少与l1，l2中的一条相交3.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA⃗⃗⃗⃗⃗ 与O1A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向相同，则下列结论中正确的是（）A。

OB∥O1B1且OB⃗⃗⃗⃗⃗ 与O1B1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向相同B。

OB∥O1B1C。

OB与O1B1不平行D.OB与O1B1不一定平行4.[2017全国卷Ⅰ，6,5分]如图,在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是（）A B C D5.［2020长春市第四次质量监测]已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2,点N是棱CC1的中点，则异面直线AN与BC所成角的余弦值为。

6.[2016全国卷Ⅱ,14，5分］［理］α，β是两个平面，m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n，m⊥α,n∥β,那么α⊥β。

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β。

④如果m∥n，α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等。

其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）拓展变式1。

如图8-2-4所示，E,F分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱CC1，AA1的中点，试画出平面BED1F与平面ABCD的交线。

2.如图8—2-7为正方体表面的一种展开图,则在原正方体的四条线段AB，CD，EF,GH所在直线中,互为异面直线的有对。