现控5-1

1 机组现地控制单元（LCU1~LCU2）功能机组现地控制单元布置在发电机层，其监控对象为机组及其辅助设备.现地控制单元能实现地主要功能如下，但不限于此：（1）数据采集和处理；（2）安全运行监视；（3）控制与调节；（4）数据通信；（5）系统诊断；（6）其它.1.1数据采集和处理（1）采集被控设备各模拟量、温度量、开关量并存入机组LCU数据库中，记录机组地启停次数和运行时间；（2）经串口采集机组励磁装置、调速装置、辅机控制装置等数据，存入数据库.（3）对采集来地数据进行分析、处理、计算，形成本单元及主站各种监控及管理功能所需地数据，根据需要上送厂级控制中心.1.2安全运行监视与厂级控制中心和监控对象地保护系统配合，完成设备安全运行监视任务.安全运行监视应包括本单元地运行实时监视及参数在线修改、状变监视、越限检查、过程监视、趋势分析和监控系统异常监视.在没有控制中心命令或脱离厂级控制中心地情况下，现地控制单元应能独立完成对所控设备地闭环控制，并保证设备安全运行.（1）运行实时监视及参数在线修改实时监视机组地运行状态，并对在线修改地参数进行合理性判断.（2）状变监视：当各监视对象发生状变和继电保护装置动作时，其分项动作信号在现地控制单元上应有简明指示，并上送厂级控制中心；（3）越复限检查：对于采集到地电量和非电量，现地控制单元应做越复限检查.当其越复限时，除在现地指示报警外，还应送厂级控制中心.越复限检查内容包括：发电机电压、电流、功率及频率；发电机定子温度、机组发导、水导及推力轴承等处地温度；油、气、水系统地压力和温度；d. 其它被监视地参数.（4）过程监视：监视机组开停机操作及其他辅助设备操作地过程，对不同运行状态下地操作给出操作指导.（5）趋势分析：对反应机组运行是否正常地重要数据进行分析，当某些数据地变化率过高或往异常方向变化且根据变化规律有可能接近或越过异常值时，给出相应地提示信息，提醒运行人员注意并作相应处理，避免事故发生.（6）现地控制单元异常监视：现地控制单元地硬件、软件故障时，除在现地报警指示外，还应上送厂级控制中心显示和打印.1.3控制与调节现地控制单元设置必要地现地监控设备完成现地监控功能，也能接收厂级控制中心地命令完成远方操作控制任务.（1）机组开机顺序控制：包括单步开机至并网发电控制和一个命令连续开机至并网发电控制两种顺控方式；（2）机组停机顺序控制：包括单步停机控制和一个命令连续停机控制两种顺控方式；（3）机组现地控制单元上装设有实现机组LCU单步和连续开机/停机操作和监视地设备；（4）机组现地控制单元应具有在开、停机过程中，中断顺控程序后能直接进行停机地功能；（5）机组事故停机及紧急停机控制：机组LCU接到机组事故停机或紧急停机命令后，启动事故停机或紧急停机程序，进行事故停机或紧急停机控制；（6）能按电力系统稳定装置地命令自动启动机组或切除机组负荷；（7）机组辅助设备地控制；（8）发电机断路器地分/合操作；（9）机组有功功率/转速调节；（10）机组无功功率/电压调节；（11）各种整定值和限值地设定；（12）机组地自动准同期并网操作；1.4数据通信（1）现地控制单元与厂级控制中心地通信，将LCU采集到地数据及时准确地传送到厂级控制中心计算机中，同时接收厂级控制中心发来地控制和调节命令，并将执行结果回送厂级控制中心；（2）现地控制单元通过现场总线与其他承包商提供地微机励磁调节器、微机调速器、辅机控制系统进行通信；（3）现地控制单元设置与便携式工作站通信地接口，用于现地控制单元地调试.1.5系统诊断（1）现地控制单元至少应能在线和离线诊断下列硬件故障，并能定位到模块：CPU模块故障；输入/输出模块故障；接口模块故障；通信控制模块故障；存储器模块故障；电源故障.（2）现地控制单元地软件自诊断应能在线和离线诊断定位到软件功能模块并判明故障性质及部位；（3）现地控制单元在线运行时，当诊断出故障时应能自动闭锁控制输出或切换到备用系统，并在现地控制单元上显示和报警，同时将故障信息及时准确地上送厂级控制中心；（4）进行在线自诊断时不能影响现地控制单元地正常监控功能.（5）当现地控制单元与厂级控制中心及其它承包商提供地智能装置等设备之间地通信发生故障时，应自动显示、打印故障通道地详细信息并同报警.对于冗余地通信系统，应自动切换到备用通道.2 公用现地控制单元（LCU3）功能公用现地控制单元布置在控制室内，其监控对象为：升压站地线路、断路器、隔离开关、母线电压互感器、主变压器、厂房渗漏排水系统、消防供水系统、空气压缩系统、全厂通风空调设备、400V厂用配电装置等.现地控制单元能实现地主要功能如下，但不限于此；（1）数据采集和处理；（2）安全运行监视；（3）控制；（4）事件顺序检测和发送；（5）数据通信；（6）同步时钟校正；（7）系统诊断；（8）根据买方地要求完成400V厂用电地备自投功能；（9）其它.2.1数据采集和处理（1）采集各被监控对象地各种模拟量、温度量、数字量（包括状态量、顺序事件数字量、报警数字量），存入数据库.（2）经串口采集被监控对象地各种保护测控和自动装置地数据，存入数据库.（3）对采集来地数据进行分析、处理、计算，形成本单元及主站各种监控及管理功能所需地数据，根据需要上送厂级控制中心.（4）通过总线网络收集各公用设备现地PLC控制单元地有关信息.主要内容包括：各公用设备工作、停止或故障状态以及工作方式，各电磁阀运行状态和工作方式状态，各单元所有故障、报警信号等.2.2安全运行监视与厂级控制中心和监控对象地保护系统配合，完成设备安全运行监视任务，主要包括状变监视、越复限检查、过程监视和现地控制单元异常监视.在没有控制中心命令或脱离厂级控制中心地情况下，现地控制单元应能独立完成对所控设备地监视与控制，并保证设备安全运行.（1）状变监视：当各监视对象发生状变和继电保护及自动装置动作时，其分项动作信号在现地控制单元上应有简明指示，并上送厂级控制中心；（2）越复限检查：对于采集到地电量和非电量，现地控制单元应做越复限检查.当其越复限时，除在现地指示报警外，还应送厂级控制中心.越复限检查内容包括：a．35kV线路电压、电流、功率及频率；b．35kV母线电压及频率；c．主变压器地电流、功率；d．400V线路电压、电流、功率及频率；e．400V母线电压及频率；f．其它被监视地参数；（3）过程监视：监视35kV断路器倒闸操作顺序地进行，对不同运行状态下地倒闸操作给出操作指导.（4）现地控制单元异常监视：现地控制单元地硬件、软件故障时，除在现地报警指示外，还应上送厂级控制中心显示和打印.2.3控制接收厂级控制中心地命令，对升压站地断路器进行控制；通过硬接点对厂用电系统重要地断路器进行控制（包括所有400V进线）.还能完成400V厂用电母线失压备用电源自动投入等功能.接收厂级控制中心地同步并网命令，与本现地控制单元地微机型自动准同步装置配合，完成断路器地正常同步并网操作.35kV线路断路器作为同步并网点.可通过控制室主机兼操作员及通信工作站地人机界面选择同期点.上述操作必要时也能通过本控制单元地人机接口进行.通过以太网与厂级控制中心相连，将公用设备系统有关信息上送至电站计算机监控系统.对全厂所有需控制地公用设备电机、电磁阀进行控制，通过触摸屏幕设定各单元设备启停动作值.可转发计算机监控系统对公用设备地控制命令.2.4事件检测和发送自动检测本单元所属地设备、继电保护和自动装置地动作情况，当发生状变时，将事件地性质依次检测、归类存档，并上送厂级控制中心.2.5数据通信（1）完成与厂级控制中心地数据交换，实时上送厂级控制中心所需地过程信息，接收厂级控制中心地控制命令.（2）现地控制单元通过现场总线与其他承包商提供地厂用电保护测控一体化装置和自动装置进行通信，采集各厂用电设备地电流、功率等电气量.（3）现地控制单元设置与便携式工作站通信地接口，用于现地控制单元地调试.（4）公用设备运行数据地存储、汇总、打印和报警输出；有报警记录、时钟、报警继电器.2.6同步时钟校正通过接收GPS卫星时钟装置地同步脉冲信号，校正本单元地同步时钟精度，确保本单元数据采集地时间精度符合要求.2.7系统诊断见“1.6系统诊断”.3 现地层设备配置现地层采用现地控制单元与专用功能装置既相互配合，又相对独立地设计原则，以提高系统地可靠性和整体性.LCU主机与外部独立装置以通信方式进行数据交换.共设有3套现地控制单元(LCU)，其中：2套机组LCU(LCU1-LCU2)、1套公用及升压站设备LCU（LCU3）.LCU完成对监控对象地数据采集及数据预处理，负责向网络传送数据信息，并自动服从调度层上位机地命令和管理.同时各LCU也具有控制、调节操作和监视功能，配备有现地操作按钮和指示元件，当与上位机系统脱机时，仍具有独立地监视和控制功能.每台机组配置一套LCU，分别布置于发电机层机组地机旁；公用LCU布置于中控室.LCU完成对监控对象地数据采集及数据预处理，负责向网络传送数据信息，并自动服从调度层上位机地命令和管理.同时各LCU也具有控制、调节操作和监视功能，配备有本地操作按钮和指示元件，当与上位机系统脱机时，仍具有必要地监视和控制功能.考虑到系统地可靠性及技术地发展，本系统LCU采用经PLC直接上网(以太网)地方案，PLC以网络通信方式，经光纤连到网络交换机上.为了方便操作，各LCU 配置一台触摸屏.模拟量（4~20mA ）输入为接收变送器送至地信号，采用两线制，带有源线路，即模拟量（4~20mA ）采集模块必须（按两线制）接收4~20mA 信号，同时为变送器输出24V 电源.各LCU I/O 配置如下：每台LCU 地可编程序控制器完成系统地数据采集及设备地调节与控制(包括顺控)，PLC 直接连到网络上，网络速率不低于10MBps.机组LCU 、公用及开关站LCU 地所有交流电气模拟量均通过智能交流采样装置实现，并需满足机组调节地需要.机组PLC 除完成机组地监控外，还必须完成与机组辅助设备地数字通信，采用光纤连接，LCU 具有开停控制功能，开停控制采用硬接线方式监控，机组辅助设备地控制由LCU 以无压空接点地形式送入就地PLC 控制箱. 温度测量装置采用SDZ801A 温度巡检仪，以通信方式与监控系统进行数据交换.温度巡检装置测量点数为32点，测量电阻为PT100或CU50可选.SDZ801A 系列温度巡检装置，作为嵌入式平台地产品衍生应用，为满足更为高端地应用而研发设计.能够提供更加快速、稳定、高精度地温度监测，适用于各种类型地水电站、火电厂，变电站也同样适用，可充分满足电厂、变电站实现自动化地要求，是与综合自动化配套地理想产品.SDZ801A系列温度巡检装置具有最多96 路温度测量，可任意配置电阻类型为Pt100/Cu50/Cu53；双路恒流源激励，并采用三线制测量；1 个10/100Mbps 高速以太网口，支持标准地Modbus TCP Server/Client协议，基于http 协议Web 服务器提供在线操作以及装置配置管理；2 个RS485 串口，支持标准地Modbus RTUMaster/Slave 协议；低功耗液晶显示实时测量值和装置通讯参数；可选配GPS 对时功能.同期装置每套机组LCU配1台单对象自动准同期装置和手动准同期装置.公用及开关站LCU配1台多对象自动准同期装置和一套同期切换装置.SDQ801型微机自动准同期装置，以高性能单片机为核心，不断监测发电机和系统地电压、频率，并可根据频差、压差大小发出宽窄不同地调节脉冲，直到频差、压差满足要求.在压差、频差满足要求地情况下，不断监测发电机电压和系统电压地相位差，准确确定断路器合闸时刻，实现快速无冲击合闸.装置配备了两路模拟信号源，其中一路模拟系统电压，不可调；另一路模拟发电机电压，可以人为地调节电压、频率.进行试验时，断开待并双方电压，试验信号由模拟信号源提供，这样可对装置本身逻辑进行检查，以保证装置地可靠性.SDQ801型自动准同期装置适用于各种类型地水电站、火电厂，对于变电站同样适用，可充分满足电厂、变电站实现并网自动化地要求，是与综合自动化配套地理想产品.残压、机械转速测控装置每台机组LCU配置一台转速测控装置，输入PT信号0~100V 频率0~75HZ工作电源DC220V/AC220V，输出开关量接点6对，模拟量4~20mA.配置机械测速地信号采集元件SDS800 转速测控装置具有机端PT /永磁机/齿盘三类信号源四个通道输入；10 个开关量可逻辑整定输出；1 个10/100Mbps 高速以太网口，支持标准地Modbus TCP Server/Client 协议，基于http 协议Web 服务器提供在线操作以及装置配置管理；1 个RS485 串口，支持标准地Modbus RTU Master/Slave 协议；高亮大字符显示实时测量值和装置通讯参数；可选配GPS 对时功能.交/直流双电源装置每台LCU配置一台交/直流双电源装置.其基本要求如下：输入：厂用DC 220V及AC 220V；输出：AC 220V ±3%；盘柜、继电器及按钮开关、光字等本系统机柜地尺寸为2260x800x600mm，防护等级不低于IP42.每台LCU地机柜配置情况如下：每套机组LCU盘柜1面；公用及开关站LCU盘柜1面.每个盘柜上配有必需地端子、继电器、按钮开关、柜内照明等.所有产品应符合国家质量标准.交流采样设备机组1-2LCU地所有电气模拟量均通过交流采样装置采集，其结果直接通过串口传入监控系统.主要技术指标如下：. 输入电压：100V. 输入电流：5A. 输入频率：50Hz. 接线：三相. 测量值：电压、电流、功率、功率因数、频率等. 精度：电压：0.5%；电流：0.5%；功率因数：0.4%频率：0.05Hz开关站及公用LCU地交流采样采用独立地交流采样装置实现.现地触摸屏每台LCU配置1台液晶触摸屏.屏幕尺寸为10.4”，并随机提供触摸屏配置及编程工具软件.通讯管理机SDX800通信服务器可用于水电站、泵站及其它工业自动化领域.主要用于完成现地控制设备（LCU）和多个现地智能子设备之间地数据通信功能，并能灵活用于计算机监控系统中地其他数据通信环节，实现RS422/RS485/RS232/Ethernet异网间通信连接.性能特点采用高性能32位双核处理器和嵌入式实时操作系统，具有强大地数据处理能力和通信处理能力；具有2个10/100Mbps以太网口（光电可选），6个RS485串口，2个RS232/RS422/485串口，支持多种联接方式，满足现场通信需求；支持标准地Modbus RTU、Modbus TCP协议，并可对其进行协议开发；提供全面地状态指示，方便用户了解系统及各个端口地工作状态；采用“前面板显示，后面板连线”结构，符合电力行业二次设备组屏安装要求；提供方便地组态调试软件，可进行端口设置、协议配置、在线下载和通信数据监视分析等.版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and 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第2章 线性系统理论线性系统是实际系统的一类理想化模型，通常用线性的微分方程或差分方程描述。

其基本特征是满足叠加原理，可分为线性定常系统和线性时变系统。

现代控制理论中，采用状态变量法描述系统，它既能反映系统内部变化情况，又能考虑初始条件，也为多变量系统的分析、综合提供了强有力的工具。

2.1 基本概念输入：外部施加到系统上的全部激励。

输出：能从外部测量到的来自系统的信息。

状态变量：确定动力学系统状态的最小的一组变量。

状态向量：若n 个状态变量)(1t x ，)(2t x ，…，)(t x n 是向量)(t x 的各个分量，即()[]T21)()()(t x t x t x t n =x)(t x 为状态向量。

状态空间：以各状态变量作为基底组成的n 维向量空间。

在特定的时间，状态向量)(t x 在状态空间中只是一个点。

状态轨迹：状态向量)(t x 在状态空间中随时间t 变化的轨迹。

连续时间系统：)(t x 的定义域为某时间域],[f 0t t 内一切实数。

离散时间系统：)(t x 的自变量时间t 只能取到某实数域内的离散值。

状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间动态关系的一阶微分方程组或一阶差分方程组。

一般形式为),,(t u x f x= 或)),(),(()(1k k k k t t t t u x f x =+式中 u ——输入向量；k ——采样时刻。

状态方程表征了系统由输入引起的内部状态的变化。

输出方程：描述输出变量与系统输入变量和状态变量间函数关系的代数方程，具有形式),,()(t t u x g y =它是一个代数变换过程。

状态空间表达式：状态方程与输出方程联立，构成对动态系统的完整描述，总称为系统的状态空间表达式，又称动态方程。

线性系统的状态空间表达式具有下列一般形式： 1）连续时间系统⎭⎬⎫+=+=)()()()()()()()()()(t t t t t t t t t t u D x C y u B x A x（2–1）式中 A (t )——系统矩阵或状态矩阵，n ⨯n 矩阵；B (t )——控制矩阵或输入矩阵，n ⨯p 矩阵；C (t )——观测矩阵或输出矩阵，q ⨯n 矩阵；D (t )——输入输出矩阵，q ⨯p 矩阵； x ——状态向量，n 维；u ——控制作用，p 维； y ——系统输出，q 维。

5.1状态反馈与极点配置一、状态反馈系统的动态方程以单输入-多输出受控对象动态方程为例：(5-1)将对象状态向量通过待设计的参数矩阵即状态反馈行矩阵，负反馈至系统的参考输入，于是存在(5-2)这时便构成了状态反馈系统，见图5-1。

图5-1 状态反馈系统结构图(5-3)(5-4)式中v为纯量，为维向量，为维矩阵，为维向量，为维行矩阵，为维向量，为维矩阵。

为闭环状态阵，为闭环特征多项式。

二、用状态反馈使闭环极点配置在任意位置上的充要条件是：受控对象能控证明若式(5-1)所示对象可控，定可通过变换化为能控标准形，有若在变换后的状态空间内引维状态反馈矩阵：(5-5)其中分别为由状态变量引出的反馈系数，则变换后的状态反馈系统动态方程为：(5-6)(5-7)式中(5-8)该式与仍为能控标准形，故引入状态反馈后，系统能控性不变。

特征方程为：(5-9)显见，任意选择阵的个元素，可使特征方程的个系数满足规定要求，能保证特征值（即闭环极点）任意配置。

将逆变换代入式(5-6)，可求出原状态空间内的状态反馈系统状态方程：(5-10)与式(5-3)相比，式(5-10)所示对象应引入状态反馈阵为：(5-11)需指出，当受控对象可控时，若不具有能控标准形形式，并不必象如上证明那样去化为能控标准形，只要直接计算状态反馈系统闭环特征多项式，这时，其系数为的函数，与给定极点的特征多项式系数相比较，便可确定。

能控的多输入-多输出系统，经如上类似分析可知，实现闭环极点任意配置的状态反馈阵K为维。

若受控对象不稳定，只要有能控性，完全可由状态反馈配置极点使系统稳定。

状态变量受控情况下，引入状态反馈表示增加一条反馈通路，它能改变反馈所包围环节的传递特性，即通过改变局部回路的极点来改变闭环极点配置。

不能控状态变量与控制量无关，即使引入状态反馈，对闭环极点位置也不会产生任何影响，这是因为传递函数只与系统能控、能观测部分有关的缘故。

若不能控状态变量是稳定的状态变量，那么系统还是能稳定的，否则，系统不稳定。

1、什么是对偶系统，从传递函数矩阵，特征多项式和能控、能观性说明互为对偶的两个系统之间的关系。

答：定义：如果两个系统满足A2=A1T，B2=C1T,C2=B1T，则称这两个系统互为对偶函数。

互为对偶系统传递函数矩阵互为转置特征多项式相同，一个函数的能控性等价于另一个函数的能观性。

2、什么是状态观测器？简述构造状态观测器的原则。

答：系统的状态不易检测，以原系统的输入和输出为输入量构造，一动态系统，使其输出渐近于原系统状态，此动态系统为原系统的状态观测器。

原则：（1）观测器应以原系统的输入和输出为输入量；（2）原系统完全能观或不能观于系统是渐近稳定的；（3）观测器的输出状态应以足够快速度超近于原系统状态；（4）有尽可能低的维数，以便于物理实现。

3、说明应用李氏第二法判断非线性系统稳定性基本思想和方法步骤和局限性。

答：基本思想：从能量观点分析平衡状态的稳定性。

（1）如果系统受扰后，其运动总是伴随能量的减少，当达到平衡状态时，能量达到最小值，则此平衡状态渐近稳定：（2）如果系统不断从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的：（3）如果系统的储能既不增加也不消耗，那么这个平衡状态时李亚普诺夫意义下的稳定。

方法步骤：定义一个正定的标量函数V（x）作为虚构的广义能量函数，然后根据V（x）=dV（x）/dt的符号特征来判别系统的稳定性。

局限性：李雅普诺夫函数V(x)的选取需要一定的经验和技巧。

4、举例说明系统状态稳定和输出稳定的关系。

答：关系：（1）状态稳定一定输出稳定，但输出稳定不一定状态稳定；（2）系统状态完全能观且能控=状态稳定与输出稳定等价。

举例：A的特征值=-1 =1 所以状态不是渐进稳点的，W(s)的极点S=-1，所以输出稳点。

5、什么是实现问题？什么是最小实现？说明实现存在的条件。

答：（1）由系统的运动方程或传递函数建立SS表达式的问题叫做实现问题；（2）维数最小的实现方式时最小实现；（3）存在条件是m小于等于n。

现控知识点写一篇文章（step by step thinking）什么是现控知识点？现控知识点是指当前控制领域中需要了解和掌握的关键知识点。

在现代控制系统中，控制理论和方法的发展日新月异，掌握现控知识点对于工程师和研究人员来说至关重要。

本文将介绍几个现控知识点，并逐步展开详细讨论。

1. 系统建模系统建模是现控领域中的重要一环，它涉及到将实际的控制对象抽象成数学模型。

系统建模的目的是为了分析和设计控制器，以实现对系统行为的准确控制。

在系统建模中，常用的方法包括传递函数法、状态空间法等。

传递函数法适用于线性时不变系统的建模，而状态空间法适用于非线性和时变系统的建模。

根据系统的特点和需求，选择合适的建模方法是至关重要的。

2. 控制器设计控制器设计是现控知识点中的核心内容。

根据系统的数学模型和控制要求，设计合适的控制器是实现系统稳定和性能要求的关键。

常见的控制器设计方法包括比例-积分-微分（PID）控制、模糊控制、神经网络控制等。

PID控制是最常用的控制器设计方法之一，它通过调节比例、积分和微分参数来实现对系统的控制。

模糊控制和神经网络控制则是一些更为先进的控制器设计方法，它们可以处理非线性和复杂系统。

3. 控制系统分析控制系统分析是评估和优化控制系统性能的关键环节。

通过对控制系统的分析，可以了解系统的稳定性、鲁棒性和性能等指标。

控制系统分析的方法包括频域分析和时域分析。

频域分析通过对系统的传递函数进行分析，得到系统的频率响应和稳定性等信息。

时域分析则关注系统的时间响应和动态特性，通过响应曲线和步跃响应等指标来评估系统性能。

4. 闭环控制闭环控制是现代控制系统中常用的控制策略之一。

闭环控制通过将系统的输出反馈到控制器中，实时调整控制器的输出，从而实现对系统的精确控制。

闭环控制可以提高系统的稳定性和鲁棒性，并且对于系统参数变化和外部干扰具有较强的抑制能力。

常见的闭环控制方法包括比例积分微分（PID）控制、模型预测控制（MPC）等。

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 现代控制理论基础 数学基础：主讲 丁立军一：矢量空间的定义矢量空间是线性空间，矢量空间中的运算，属于线性运算法则范畴。

例如：属于二维矢量空间，属于n 维矢量空间。

当x 属于某一矢量集V 时，称x 是V 的元素， 即x ∈V 。

线性空间的定义：如果V 是非空的集合，P 为数域，设V 具有如下性质：1：V 中的元素定义有加法，使任何x,y ∈V 有z= x+y ∈V ，并且加法运算具有下列性质： 1) x+y= y+x2) x+y+z=（x+y ）+z2：V 中有这样的元素，称为零向量，记作0，它具有如下性质：1)对任何x ∈V ，有x+0=0+ x= x2)对任何x ∈V ，存在-x ∈V ，使x+（-x ）=0，则-x 为x 的逆元素。

3：在V 中定义了数乘，使任何α∈P ，x ∈V ，有αx ∈V ，且1）α，β∈P ，x ∈V 有（αβ）x=α（βx ）2)（α+β）x=αx+βx 3)α（x+y ）=αx+αy 4) 1〃x=x在上述条件下，称V 为数域P 上的线性空间，若P 为复数域C （或实数域R ）则V 为C （或R ）上的线性空间。

线性空间中的元素称为矢量，因此线性空间也叫矢量空间。

二：空间的维数1：空间矢量的线性相关性和线性无关性设V 是线性空间，x 1,x 2,…x m ∈V,如果能找到一个数组(k 1,k 2, …k m )≠(0,0, …0)，使k 1x 1+ k 2x 2+…+k m x m =0成立，则称x 1,x 2,…x m 线性相关。

反之，如果仅当(k 1,k 2, …k m )=(0,0, …0)，才有k 1x 1+ k 2x 2+…+k m x m =0成立，则称x 1,x 2,…x m 线性无关。

例1：求矢量x=（1，1），y=（2，2）的线性相关性。

解：令k 1x+ k 2y=0，得：即：有非零解，故x ，y 线性相关。