现代控制理论习题解答(第一章)

g
题 1-3 图 2
Y2 (s)
3
U (s)
K1
x6
x6
T1 1
T1
K2
x4
x4
T2 1
K3 x2
x2 1 T4
T2
x3
x3
x5
x5
K5
T5
1 T5
写成矩阵的形式得：
题 1-3 图 3
x 1
=− 1 T4
x1
+
1 T4
x2
x2 = K 3 (x4 − x3 )
x3 = x2
x 4
第三部分
现代控制理论习题详解
第一章
第一章 控制系统的状态空间描述
控制系统的状态空间描述
1-1 求图示网络的状态空间表达式，选取 uc 和 iL 为状态变量。 （1）
R1
R2
ui
ucC1 1
i1
C2 uc2
i2
uo
(2）
题 3-1-1 图 1
R
L
ui
iL C uc
uo
【解】： (1)
设状态变量: x1 = uc1 、 x2 = uc2 而
1-3 试求图示系统的模拟结构图，并建立状态空间表达式。 （1）
U (s)
K1 T1s + 1
K2 T2 s + 1
K3 s
1 s
K5 T5s + 1
1 T4s + 1
Y (s)
（2）
U1(s)
题 1-3 图 1
c
1
s+a
s
Y1 ( s)
U 2 (s)
d
f
s+b
s+e
【解】： (1)
如题 3-1-3 图 3 设状态变量
=− 1 T2
x4
−
K2 T2
x5
+
K2 T2
x6
x 5
=
K5 T5
x2
−1 T5
x5
x 6
=
−
1 T1
x6
+
K1 T1
(u −
x1 )
y = x1
⎡ ⎢ ⎢
−
1 T4
1 T4
⎢0 0
⎢ ⎢
0
1
x = ⎢ 0 0 ⎢
⎢ ⎢0 ⎢
K5 T5
⎢⎢⎣−
K1 T1
0
y = [1 0 0 0
00 − K3 K3
⎡ 0 1 0 ⎤ ⎡0⎤
x
=
⎢ ⎢
0
0
1
⎥ ⎥
x
+
⎢⎢0⎥⎥u
⎢⎣− 6 − 4 − 2⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦
y = [2 0 0]x
（2）传递函数为：
G (s)
=
s3
s+2 + 7s2
+
3
=
s3
+
s+2 7s2 + 0s
+
3
状态空间表达式为：
（3）传递函数为： 状态空间表达式为：
Ra
La
i f = 常数
ua
f ia D J
ω
ML
【解】： 设状态变量为：
题 1-2 图
⎡ x1
⎢ ⎣
x
2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ia ⎢⎣ω
⎤ ⎥ ⎦
其中 ia 为流过电感上的电流， ω 电动机轴上的角速度。 电动机电枢回路的电压方程为：
eb 为电动机反电势。 电动机力矩平衡方程为
•
ua = La ia + Ra ⋅ ia + eb
⎡ x1
⎢ ⎣
x
2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎢⎡− ⎢
Ra La
⎢ cM
⎢⎣ J
− ce La
−f J
⎤
⎥ ⎥ ⎥
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
⎥⎦
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
1 La 0
y = ω = [0
1]⎢⎡
⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
(注：解是非唯一的)
0 −1
J
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎡ ua ⎢⎣M L
⎤ ⎥ ⎦
⎡ x1
⎢ ⎣
x
2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎢⎢⎢⎡−1RL
⎣C
−1 L 0
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡ ⎢ ⎢⎣
1
L 0
⎤ ⎥u ⎥⎦
i
y = u0 = [0
1]⎢⎡
⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
1-2 如图所示电枢电压控制的它励直流电动机，输入为电枢电压 ua 输出为电动机角速度 ω，电动机轴上阻尼系数为 f，转动惯量 J，试列写状态方程和输出方程。
(4) y (4) + 3y + 2y = −3u + u
【解】：
5
在零初始条件下，方程两边拉氏变换，得到传递函数，再根据传递函数求状态空间 表达式。 此题多解，一般写成能控标准型、能观标准型或对角标准型，以下解法供参考。 （1）传递函数为：
状态空间表达式为：
G(s) =
2
s3 + 2s2 + 4s + 6
题 1-1 图 2
根据基尔霍夫定律得： 整理得
•
•
i1 = C1 uc1 、 i2 = C 2 uc2
ui
=
[C1
•
u c1
+
u (
c1 − uc2 R2
)]R1
+ uc1
•
uc1 = C2 uc2 R2 + uc2
⎡ x1
⎢ ⎣
x
2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎢⎡− ⎢ ⎢
R1 + R2
R1 R2 C1 1
⎢⎣ R2C2
4
第三部分 现代控制理论习题详解
u1
c
第一章 控制系统的状态空间描述
x2
x2
x1 y1
a
u2
d
x4
x4 f
x3 x3 x3 y2
b
e
g
写成矩阵的形式得：
题 1-3 图 4 x1 = x2 x2 = −ax2 + c(u1 − x4 ) x3 = −ex3 + fx4 x4 = −bx4 + dx2 − dgx3 + du2
•
M D = J ω + fω + M L
由电磁力矩和反电势的关系，有 eb = ceω ， M D = cM ia
式中 ce 为电动机反电势系数， cM 为电动机的转矩系数。 J 为电动机轴上粘性摩擦系数， f 电动机轴上等效转动惯量。 整理得
2
第三部分
现代控制理论习题详解
第一章 控制系统的状态空间描述
1⎤
R 2 C1 −1
R2C2
⎥ ⎥ ⎥
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
⎥⎦
⎤ ⎥ ⎦
+
ห้องสมุดไป่ตู้
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
1
R1C1 0
⎤ ⎥⎥u i ⎦
y = u0 = [0
1]⎢⎡
⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
(2)
设状态变量： x1 = iL 、 x2 = uc 而
1
根据基尔霍夫定律得： 整理得
•
iL = C uc
•
ui = R ⋅ iL + LiL + uc
00 0 −1
T2 00
00
0 0]x
0
0 0 − K2 T2 −1 T5
0
0
⎤ ⎥
⎥ ⎡0⎤
0 0 K2 T2
0
−1 T1
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
x
+
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
0
0
0
0 K1 T1
⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎥u ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
x1
x1 Y (s)
1 T4
（2） 如图题 1-3 图 4 设状态变量
y1 = x1
y2 = x3
y = x1
⎡0 1 0 0 ⎤ ⎡0 0⎤
x
=
⎢⎢0 ⎢0
−a 0
0 −e
− c⎥⎥ f⎥
x
+
⎢⎢c ⎢0
00 ⎥⎥⎥u
⎢ ⎣0 d
− dg
−
⎥ b⎦
⎢⎥ ⎣0 d ⎦
y
=
⎡1 ⎢⎣0
0 0
0 1
0⎤ 0⎥⎦ x
(注：此题解并非唯一的)
1-4 已知系统的微分方程，试将其转变成状态空间表达式。 (1) y+ 2y + 4y + 6y = 2u (2) y+ 7y + 3y = u + 2u (3) y+ 5y + 4y + 7 y = u+ 3u + 2u