数理方程课件第六章勒让德多项式

n k 1 k ! 1 d nk 2 k k! d n ( x 2 1) n |1 1 0 (1) n ( x 1) dx (1) n 2 n! dx nk 1 2 n ! 1 dx n k
k
从而有
1ຫໍສະໝຸດ 1 mP ( x) Pn ( x)dx 0
n
x
称为n次勒让德多项式或第一类勒让德函数。 前六个勒让德多项式为：
P0 ( x) 1
P ( x) x 1
P2 ( x) 1 (3 x 2 1) 2 1 1 3 P3 ( x) (5 x 3x) P4 ( x) (35 x 4 30 x 2 3) 2 8 1 P5 ( x) (63 x 5 70 x 3 15 x) 8
1 1
1
1 n 1 d n1 1 d 1 k 2 n 2 n k 1 n x n1 ( x 1) k ( x 1) x dx 1 dx n 1 2 n! dx 1 n 1 k 1 k 1 d n x ( x 2 1) n dx 2 n! 1 dx n 1
HUST 数学物理方程与特殊函数
第6章 勒让德多项式
第六章 勒让德多项式
6.1 勒让德方程的导出 考虑球域内Laplace方程的Dirichlet问题
u u xx u yy u zz 0, x 2 y 2 z 2 1 u | x 2 y 2 z 2 1 f ( x, y, z )
1 2 u 1 u 1 2u 2 2 sin sin 2 sin 2 2 0
(0 1, 0 2 , 0 )
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2 n 1 当n为奇数时 M 2
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6.3 勒让德多项式
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第6章 勒让德多项式
综上所述，n为整数时， n次勒让德方程的通解为
y( x) C1P ( x) C2Qn ( x), n P 其中， n (x) 为n次勒让德多项式，Qn (x) 是无穷级数，它
x
2
1 (1) n sin 2n
n
2 n 1

(2n)! P n ( x)dx 2 n 2 1 2 n!
1 2


0
sin
(2n)! 2 n 1 2 d 2 n!

/2
0
sin 2 n 1 d
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1n 1 d 2n ( x 2 1) n ( x 2 1) n dx 2n 2 2n 2 n! 1 dx 1n (2n)! 1 ( x 2 1)n dx 2n 2 2 n! 1
x cos
1n 1 d 2n x 2n ( x 2 1)n dx 2n 2 2n 2 n! 1 dx
n为实数或复数
1 d d 1 d 2 (sin ) n(n 1) 2 2 sin d d sin d
d 2R dR 2 2 n(n 1) R 0 2 d d
R( ) A1 A2
n
n1
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mn
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第6章 勒让德多项式
性质3 勒让德多项式的模为
1

1
1
Pn2 ( x)dx
2 2n 1
n 1 d 1 dn 2 证明： P 2 n ( x)dx 2 n 2 ( x 2 1) n n ( x 1) n dx n 1 dx 2 n! 1 dx n 1 d 1 d n1 2 2 n 2n 2 ( x 1) d n1 ( x 1) n n dx 2 n! 1 dx n 1 n 1 1 d 1 2 n d 2n 2 ( x 1) ( x 2 1) n dx n 1 dx n1 2 n! 1 dx
2
则以上两个级数都是勒让德方程 (1 x ) y 2xy n(n 1) y 0 的特解,他们在|x|<1内是收敛的。 y1为偶函数，y2为奇函数。 n为正偶数或负奇数时， y1为多项式，n为负偶数或正奇数 时，y2为多项式。 n为非整数时，y1， y2均为无穷级数， 它们在|x|<1内收敛，在其它点发散，并且 x 1 时， y1， y2都趋于无穷大，故此时方程没有有界解。
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性质4 递推公式
(n 1) Pn1 ( x) (2n 1) xPn ( x) nP 1 ( x) 0 n Pn1 ( x) Pn1 ( x) 2n 1Pn ( x)
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1 2 u 1 u 1 2u 2 2 sin sin 2 sin 2 2 0 u( , , ) R( )( )( )
其中， a1 , a2 为任意常数。
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若记
n(n 1) 2 n(n 2)(n 1)(n 3) 4 x x ] 2! 4! (n 1)(n 2) 3 (n 1)(n 3)(n 2)(n 4) 5 y2 a1[ x x x ] 3! 5! y1 a0 [1
k 0
ak 2
n(n 1) k (k 1) (n k )(n k 1) ak ak , k 0,1,2, (k 1)(k 2) (k 1)(k 2)
于是得到n次勒让德方程的通解为
n(n 1) 2 n(n 2)(n 1)(n 3) 4 y a0 [1 x x ] 2! 4! (n 1)(n 2) 3 (n 1)(n 3)(n 2)(n 4) 5 a1[ x x x ] 3! 4!
1
先证明： 1 xk Pn ( x)dx 0 k n . 事实上
1 1 k d n 1 2 1 dn 2 n k k n 1 x Pn ( x)dx 1 x 2n n! dx n ( x 1) dx 2n n! 1 x d dx n1 ( x 1)
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6.3 勒让德多项式
n为正偶数或负奇数时， y1为多项式，n为负偶数或正奇数 时，y2为多项式。将两个勒让德多项式写成统一形式： n M 当n为偶数时 M 2n 2m ! m n2 m
Pn ( x) (1)
m 0
2 m!(n m)!(n 2m)!
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1 d d 1 d 2 (sin ) n(n 1) 2 2 sin d d sin d sin d d 1 d 2 (sin ) n(n 1) sin 2 d d d 2 sin d d 2 2 1 d 2 (sin ) n(n 1) sin m m 2 d d d 2 d 2 d m2 cot [n(n 1) 2 ] 0 ( ) B1 cos B2 sin 2 d d sin
sin
2 n 1
2 n 1
2 n 1 2 n 1 d 2n0 sin d 2n0 sin d
/2

/2
0
2n / 2 2 n 1 d 0 sin d 2n 1

1
1
P 2 n ( x)dx
(2n)! 2n / 2 2 n1 2 0 sin d 2 n 1 2 n! 2n 1 (2n)! 2n 2n 2 4 2 / 2 2 n1 2 0 sin d 2 n! 2n 1 2n 15 3 2 (2n)! 2 (2n)! 2n n! 2 n n 2n 1! 2n 1 2 n! 2 n!2n 1 2n 15 3
(2n)! P n ( x)dx 2 n1 2 1 2 n!
1 2

/2
0
sin 2 n1 d
/2

/2
0
sin
2 n 1
d
2
/2
0
sin dcos 2n
2n
0
cos2 sin 2n1 d
/2
2n
/2
0
1- sin sin
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6.2 勒让德方程求解
(1 x 2 ) y 2xy n(n 1) y 0
2 k k 0
n次勒让德方程
令 y a0 a1 x a2 x ak x ak x k ，则
{(k 1)(k 2)ak 2 [n(n 1) k (k 1)]ak }x k 0,
(1 x2 ) y 2xy n(n 1) y 0
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的收敛域是区间（ 1，1），但在（ 称它为第二类勒让德函数。
-
- 1，1）上是无界函数，