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傅立叶级数
傅立叶展开定理：周期为2π的函数f(x) 可以展开为三角级数，展开式系数为
预
备
an
1
f (x)cos nxdx,bn
狄利克雷收敛定理：
1
f (x)sin nxdx
知 若函数在一个周期内连续或只有有限个第
识 一类间断点且在一个周期内至多只有有限
个极值点，则当x是连续点时，级数收敛
于该点的函数值；当x是间断点时，级数
由于要将满足齐次偏微分方程和齐次边界 条件的解通过变量分离, 将其转化为常微 分方程的定解问题. 为此，我们首先给出 二阶线性常微分方程求解公式。
二阶线性常系数齐次微分方程的一般形式为
y”+ p y’+q y = 0
预 特征方程： r2 + p r +q = 0
备 特征根： r1 和 r2 . 当
变
T '/(a2T) X"/ X
量
流
T 'a2w2T 0
X"w2X 0
程
图
T Aexp(a2w2t)XBiblioteka sin x,k L
uk Tk (t) X k ( x)
u u(x,t)
u Tk Xk
例２．细杆的热传导问题
长为 的均匀细杆，设与细杆线垂直截面上各点 的温度相等，侧面绝热， 端绝热， 端热量自 由散发到周围介质中，介质温度恒为0 ，初始温度为
u(x,0,t) u(x,b,t) 0,
0 x a,t 0.
解：设 u(x, y,t) X (x)Y ( y)T (t) 0
0 xl
，且
例2：研究两端自由棒的自由纵振动问题.
第二类边界条件
解：令 引入参数 得
,得 化简:
分离变量：
(i)
时，
由边值条件
得C1 =C 2=0 从而
，无意义
(ii)
时,
,
由边值条件
(iii)
时,
由边值条件
则
而
从而
本征值 本征函数
T 的方程
其解为
所将以
展开为傅立叶余弦级数，比较系数得
故
代入初解始为条傅件立: 叶余弦级数，由端点处的二类齐次边 界条件 决定.
收敛于该点左右极限的平均值。
傅立叶级数推广
若函数f(t)的周期为T=2L，则傅里 叶展开式为
f
(t)
1 2
a0
n1(an
cos
n t
L
bn
sin
n t
L
)
1
an L
L L
f
(t) cos
n t
L
dt,
bn
1 L
L L
f
(t) sin
n t
L
dt
1. 有界弦的自由振动
例1. 研究两端固定均匀的自由振动. 定解问题为：
知
r1 ≠ r2 都是实根时，其通解为
识
y(x) = A exp(r1x) + B exp(r2x)
r1 、r2是两个相等的实根时，其通解为
y(x) = A exp(r x) + B x exp(r x)
r1,2=α±iβ是一对共轭复根时,其通解为 y(x) =exp(αx)(A cosβx + Bsinβx)
2.有限长杆的热传导问题
对于齐次热传导方程的定解问 题, 其解题过程和波动方程的过程 类似. 所以下面的例题我们仅给出 主要步骤.
例１．齐次热传导方程的定解问题
其中 f x为给定的函数.
令 代入方程及边界条件中, 并引入参数 得
当
或
时,
当
时,
由边界条件
特征值问题
从而 特征函数为：
T 的方程
2u
t 2 u
x0
a2 0,
2u x 2
u
xl
0,
0,
0 xl t0
u
t
0
( x),
u ( x), 0 x l
t t0
特点: 方程齐次, 边界齐次.
设
且
方程和边界条件中得
由
不恒为零，有：
不恒为零，代入 ①
取参数
利用边界条件 ④
②
…..…….. ③
④
则 ⑤
参数 称为特征值.
求此杆的温度分布。 解：定解问题为
设
且
由
及齐次边界条件，有
得本征值问题
当
或
时,
当
时,
由
得
故 X ( x) Acos x
由
得
即
令
有
函数方程
y
r3 r2 r1 r1 r2 r3
r
由图1看出，函数方程 有成对的无穷多个实根
故本征值为：
图1
由初始条件得 对应的本征函数
可将以证明展成以 的方程：
第三章 分离变量法
分离变量法是求解线性偏微分方程定解问 题的普遍方法之一，它适用于各种类型的 偏微分方程。基本思想是将多元函数化为 单元函数，将偏微分方程化为常微分方程 进行求解。具体做法是：首先求出具有变 量分离形式且满足边界条件的特解，然后 由叠加原理作出这些解的线性组合，最后 由其余的定解条件确定叠加系数。
特征值问题
函数X(x)称为特征函数
分三种情形讨论特征值问题的求解
(i) 0 方程通解为
由边值条件得：
C1 =C 2=0 从而
(ii) 0 时，通解
由边值条件
， 0无意义.
0 无意义
(iii） 0时，通解
由边值条件：
得 故
即： 而
从而
再求解T：
其解为 所以
叠加
两端 固定 弦本 的征 振动
用叠加原理。
复习分离变量法：
求解下列定解问题
uut(t
x,
c2 (uxx y,0)
uyy
(x,
), y),
ut
(x,
y, 0)
(x,
y),
0 x a, 0 y b, t 0, 0 x a, 0 y b,
u(0, y,t) u(a, y,t) 0,
0 y b,t 0,
解得 所以
将
叠加, 利用初始条件确定系数
u
x, t
n1
C e
na l
2
t
n
sin
n
l
x
将初始条件
u(x,0) f (x) 代入上式，得
n1
C sin n
n
l
x
f (x)
所以系数
C n
2l
l
0
f
xsin
n
l
xdx
分
u |t0 (x)
ut a2uxx
u |x0 u |xL 0
离
u T (t)X (x) X (0) X (L) 0
函数系 解为
故
为基底的付氏级数，确定 在 上正交
分离变量法解题步骤
（一）将偏微分方程化为常微分方程 －－（方程齐次）
（二）利用边界条件,得到特征值问题并求解 －－（边界条件齐次）
（三）将特征值代入另一常微分方程， 得到
（四）将
叠加，利用初始条件确定系数
注 分离变量法适用范围：偏微分方程是线
性齐次的，并且边界条件也是齐次的。 其求解的关键步骤：确定特征函数和运
…….⑤
代入初始条件得：
定解问题的解是Fourier正弦级数，这是在 x＝0
和 x=l 处的第一类齐次边界条件决定的。
将
展开为Fourier级数，比较系数得
定理：若在区间 上，
则无穷级数解
为如下混合问题的解
utt a2uxx 0
0 xl
u u
x0 t0
0
(
x
)
u xl 0 0 xl
ut t0 ( x)
