苏教版高中数学必修五普通高等学校招生全国统一考试卷(全国卷Ⅱ.理)含答案.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效．3．本卷共10小题，每小题5分，共50分． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合{}12S x x =∈+R ≥，{}21012T =--，，，，，则S T =（ ）A ．{}2B ．{}12，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，（2）设变量x y ，满足约束条件142x y x y y --⎧⎪+⎨⎪⎩≥，≤，≥则目标函数24z x y =+的最大值为（ ）Ａ．10Ｂ．12Ｃ．13Ｄ．14（3） “2a =”是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（4）设12log 3a =，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<（5）函数2log (4)(0)y x x =+>的反函数是（ ） A ．24(2)xy x =+> B ．24(0)xy x =+> C ．24(2)x y x =->D ．24(0)xy x =->（6）设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ B ．若a α∥，b β∥，αβ∥，则a b ∥ C ．若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥ D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥（7）设双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的离心率为3，且它的一条准线与抛物线24y x =的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）Ａ．2211224x y -=Ｂ．2214896x y -= Ｃ．222133x y -=Ｄ．22136x y -= （8）设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ）Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．8（9）设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x （ ） A ．在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数B ．在区间2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦，上是减函数 C ．在区间84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数D ．在区间536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数（10）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的[]2x t t ∈+，，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．)2⎡+⎣，∞B ．[)2+，∞C ．(]02，D ．2120⎡⎤⎡⎤--⎣⎦⎣⎦，，第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． （11）从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下： 分组 [)90100， [)100110， [)110120， [)120130， [)130140， [)140150， 频数123101则这堆苹果中，质量不小于．．．120克的苹果数约占苹果总数的 ％．（12）921x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中常数项是 （用数字作答）．（13）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．（14）已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于A B ，两点，则直线AB 的方程是 ．（15）在ABC △中，2AB =，3AC =，D 是边BC 的中点，则AD BC = ．（16）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分） 在ABC △中，已知2AC =，3BC =，4cos 5A =-． （Ⅰ）求sinB 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． （18）（本小题满分12分）已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率； （19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD AC CD ⊥⊥，，60ABC ∠=°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点． （Ⅰ）求PB 和平面PAD 所成的角的大小； （Ⅱ）证明AE ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求二面角A PD C --的大小．（20）（本小题满分12分）在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．（Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）证明不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立． （21）（本小题满分14分）设函数2()()f x x x a =--（x ∈R ），其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的极大值和极小值；（Ⅲ）当3a >时，证明存在[]10k ∈-，，使得不等式22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立． （22）（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．（Ⅰ）证明2a b =；（Ⅱ）求(0)t b ∈，使得下述命题成立：设圆222x y t +=上任意点00()M x y ，处的切线交椭圆于1Q ，2Q 两点，则12OQ OQ ⊥．ABCDPE2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． （1）B （2）C （3）C （4）A （5）C （6）D （7）D （8）B （9）A （10）A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． （11）70 （12）84 （13）14π （14）30x y +=（15）52（16）630三、解答题 （17）本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力．满分12分．（Ⅰ）解：在ABC △中，2243sin 1cos 155A A ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭，由正弦定理，sin sin BC ACA B=． 所以232sin sin 355AC B A BC ==⨯=．（Ⅱ）解：因为4cos 5A =-，所以角A 为钝角，从而角B 为锐角，于是22221cos 1sin 155B B ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，22117cos 22cos 121525B B =-=⨯-=， 221421sin 22sin cos 25515B B B ==⨯⨯=．sin 2sin 2cos cos 2sin 666B B B πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭4213171252252=⨯+⨯ 1271750+=．（18）本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件B ．由于事件A B ，相互独立，且2327C 1()C 7P A ==，2329C 5()C 18P B ==，故取出的4个球均为红球的概率是155()()()718126P A B P A P B ==⨯=． （Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件D ．由于事件C D ，互斥，且1123442279C C C 2()C C 21P C ==，1125242275C C C 10()C C 63P D ==． 故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为21016()()()216363P C D P C P D +=+=+=． （19）本小题考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识．考查空间想象能力、记忆能力和推理论证能力．满分12分． （Ⅰ）解：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，故P A A B ⊥． 又AB AD ⊥，PA AD A =，从而AB ⊥平面PAD ．故PB 在平面PAD 内的射影为PA ，从而APB ∠为PB 和平面PAD 所成的角． 在Rt PAB △中，AB PA =，故45APB =∠． 所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为45．（Ⅱ）证明：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故CD PA ⊥． 由条件CD PC ⊥，PA AC A =，CD ∴⊥面PAC ． 又AE ⊂面PAC ，AE CD ∴⊥．由PA AB BC =，60ABC =∠，可得AC PA =．E 是PC 的中点，AE PC ∴⊥，PC CD C ∴=．综上得AE ⊥平面PCD ．（Ⅲ）解：过点E 作EM PD ⊥，垂足为M ，连结AM ．由（Ⅱ）知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则AM PD ⊥．ABCDPEM因此AME ∠是二面角A PD C --的平面角． 由已知，可得30CAD =∠．设AC a =，可得PA a =，233AD a =，213PD a =，22AE a =． 在Rt ADP △中，AM PD ⊥，AM PD PA AD ∴=，则232737213aaPA ADAM a PDa ==． 在Rt AEM △中，14sin 4AE AME AM ==． 所以二面角A PD C --的大小14arcsin4． （20）本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n 项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分． （Ⅰ）证明：由题设1431n n a a n +=-+，得1(1)4()n n a n a n +-+=-，n ∈*N ．又111a -=，所以数列{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知14n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为14n n a n -=+．所以数列{}n a 的前n 项和41(1)32n n n n S -+=+． （Ⅲ）证明：对任意的n ∈*N ，1141(1)(2)41(1)443232n n n n n n n n S S ++⎛⎫-++-+-=+-+ ⎪⎝⎭21(34)02n n =-+-≤．所以不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．（21）本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分14分．（Ⅰ）解：当1a =时，232()(1)2f x x x x x x =--=-+-，得(2)2f =-，且2()341f x x x '=-+-，(2)5f '=-．所以，曲线2(1)y x x =--在点(22)-，处的切线方程是25(2)y x +=--，整理得580x y +-=．（Ⅱ）解：2322()()2f x x x a x ax a x =--=-+-22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+-=---．令()0f x '=，解得3ax =或x a =． 由于0a ≠，以下分两种情况讨论．（1）若0a >，当x 变化时，()f x '的正负如下表：x3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∞，3a3a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， a ()a +，∞()f x ' -+-因此，函数()f x 在3ax =处取得极小值3a f ⎛⎫⎪⎝⎭，且 34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在x a =处取得极大值()f a ，且()0f a =．（2）若0a <，当x 变化时，()f x '的正负如下表：x()a -∞，a3a a ⎛⎫⎪⎝⎭， 3a 3a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞ ()f x '-0 +-因此，函数()f x 在x a =处取得极小值()f a ，且()0f a =；函数()f x 在3ax =处取得极大值3a f ⎛⎫⎪⎝⎭，且 34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（Ⅲ）证明：由3a >，得13a>，当[]10k ∈-，时， cos 1k x -≤，22cos 1k x -≤．由（Ⅱ）知，()f x 在(]1-∞，上是减函数，要使22(cos )(cos )f k x f k x --≥，x ∈R只要22cos cos ()k x k x x --∈R ≤ 即22cos cos ()x x k k x --∈R ≤ ①设2211()cos cos cos 24g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则函数()g x 在R 上的最大值为2．要使①式恒成立，必须22k k -≥，即2k ≥或1k -≤．所以，在区间[]10-，上存在1k =-，使得22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立．（22）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．（Ⅰ）证法一：由题设212AF F F ⊥及1(0)F c -，，2(0)F c ，，不妨设点()A c y ，，其中 0y >，由于点A 在椭圆上，有22221c y a b +=，222221a b y a b-+=， 解得2b y a =，从而得到2b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，直线2AF 的方程为2()2b y x c ac =+，整理得 2220b x acy b c -+=．由题设，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ，即 242234c b cb a c=+， 将222c a b =-代入原式并化简得222a b =，即2a b =．证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，，过点O 作1OB AF ⊥，垂足为H ，易知112F BC F F A △∽△，故211BO F AOF F A= 由椭圆定义得122AF AF a +=，又113BO OF =，所以 2212132F AF A F A a F A==-， 解得22aF A =，而22b F A a =，得22b a a =，即2a b =． （Ⅱ）解法一：圆222x y t +=上的任意点00()M x y ，处的切线方程为200x x y y t +=．当(0)t b ∈，时，圆222x y t +=上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A 处的切线必交椭圆于两个不同的点1Q 和2Q ，因此点111()Q x y ，，222()Q x y ，的坐标是方程组20022222x x y y t x y b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ①②的解．当00y ≠时，由①式得 200t x xy y -=代入②式，得22220022t x x x b y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即22224220000(2)4220x y x t x x t b y +-+-=，于是2012220042t x x x x y +=+，422122200222t b y x x x y -=+ AO1F 2FHxy马鸣风萧萧 2201121201t x x t x x y y y y --= 422012012201()t x t x x x x x y ⎡⎤=-++⎣⎦ 242242200002222200000422122t x t b y t x t x y x y x y ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭4220220022t b x x y -=+． 若12OQ OQ ⊥，则42242242220000121222222200000022232()0222t b y t b x t b x y x x y y x y x y x y ---++=+==+++． 所以，42220032()0t b x y -+=．由22200x y t +=，得422320t b t -=．在区间(0)b ，内此方程的解为63t b =． 当00y =时，必有00x ≠，同理求得在区间(0)b ，内的解为63t b =． 另一方面，当63t b =时，可推出12120x x y y +=，从而12OQ OQ ⊥． 综上所述，6(0)3t b b =∈，使得所述命题成立．。

2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷）数 学本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知1i z =--，则z =（ ）A. 0B. 1C. 2D. 22. 已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ） A. p 和q 都是真命题 B. p ⌝和q 都是真命题 C. p 和q ⌝都是真命题D. p ⌝和q ⌝都是真命题3. 已知向量,a b r r满足1,22a a b =+=r r r ，且()2b a b -⊥r r r ，则b =r （ ）A. 12B.22C.32D. 14. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1100，1150） [1150，1200） 频数612182410据表中数据，结论中正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB. 100块稻田中亩产量低于1100kg 稻田所占比例超过80%C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间5. 已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（ ）A. 221164x y +=（0y >）B. 221168x y +=（0y >）C. 221164y x +=（0y >）D. 221168y x +=（0y >）6. 设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （ ） A. 1-B. 12C. 1D. 27. 已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（ ） A. 12B. 1C. 2D. 38. 设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（ ）A.18B.14C. 12D. 1二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-，下列正确的有（ ） A. ()f x 与()g x 有相同零点 B. ()f x 与()g x 有相同最大值 C. ()f x 与()g x 有相同的最小正周期D. ()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴10. 抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（ ） A. l 与A e 相切B. 当P ，A ，B 三点共线时，||15PQ =的⊥；（1）证明：EF PD（2）求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值．18. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为A. 0B. 1C. 2D. 2【答案】C 【解析】【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【详解】若1i z =--，则()()22112z =-+-=.故选：C2. 已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ） A. p 和q 都是真命题 B. p ⌝和q 都是真命题 C. p 和q ⌝都是真命题 D. p ⌝和q ⌝都是真命题【答案】B 【解析】【分析】对于两个命题而言，可分别取=1x -、1x =，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题， 对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题， 综上，p ⌝和q 都是真命题. 故选：B.3. 已知向量,a b r r满足1,22a a b =+=r r r ，且()2b a b -⊥r r r ，则b =r （ ）A. 12 B.22C.32D. 1【答案】B 【解析】【分析】由()2b a b -⊥r r r 得22b a b =⋅r r r ，结合1,22a a b =+=r r r ，得22144164a b b b +⋅+=+=r r r r ，由此即可得解.【详解】因为()2b a b -⊥r r r ，所以()20b a b -⋅=r r r ，即22b a b =⋅r r r，又因为1,22a a b =+=r r r，所以22144164a b b b +⋅+=+=r r r r ，.从而22=r b .故选：B.4. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1100，1150） [1150，1200） 频数612182410据表中数据，结论中正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB. 100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间 【答案】C 【解析】【分析】计算出前三段频数即可判断A ；计算出低于1100kg 的频数，再计算比例即可判断B ；根据极差计算方法即可判断C ；根据平均值计算公式即可判断D.【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, 612183650++=<, 所以亩产量的中位数不小于 1050kg , 故 A 错误； 对于B ，亩产量不低于1100kg 的频数为341024=+， 所以低于1100kg 的稻田占比为1003466%100-=，故B 错误；对于C ，稻田亩产量的极差最大为1200900300-=，最小为1150950200-=，故C 正确； 对于D ，由频数分布表可得，亩产量在[1050,1100)的频数为100(612182410)30-++++=，所以平均值为1(692512975181025301075241125101175)1067100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故D 错误. 故选；C.5. 已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（ ）A. 221164x y +=（0y >）B. 221168x y +=（0y >）C. 221164y x +=（0y >）D. 221168y x +=（0y >）【答案】A 【解析】【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x '， 因为M 为PP '的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y +=>上，所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>， 即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>. 故选：A 6. 设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （ ） A. 1- B. 12C. 1D. 2【答案】D 【解析】【分析】解法一：令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，分析可知曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得2a =，并代入检验即可；解法二：令()()()(),1,1h x f x g x x =-∈-，可知()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即可得2a =，并代入检验即可.【详解】解法一：令()()f x g x =，即2(1)1cos 2a x x ax +-=+，可得21cos a x ax -=+， 令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，原题意等价于当(1,1)x ∈-时，曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点， 注意到()(),F x G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得()()00F G =，即11a -=，解得2a =， 若2a =，令()()F x G x =，可得221cos 0x x +-=因为()1,1x ∈-，则220,1cos 0x x ≥-≥，当且仅当0x =时，等号成立， 可得221cos 0x x +-≥，当且仅当0x =时，等号成立，则方程221cos 0x x +-=有且仅有一个实根0，即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点， 所以2a =符合题意； 综上所述：2a =.解法二：令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--∈-，原题意等价于()h x 有且仅有一个零点，因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=， 则()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0， 即()020h a =-=，解得2a =，若2a =，则()()221cos ,1,1h x x x x =+-∈-，又因220,1cos 0x x ≥-≥当且仅当0x =时，等号成立， 可得()0h x ≥，当且仅当0x =时，等号成立， 即()h x 有且仅有一个零点0，所以2a =符合题意； 故选：D.7. 已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（ ） A. 12 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B 【解析】【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高433h =，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求为则2211AA AM A M =+=可得2211DD DN D N =+则1A A 与平面ABC 所成角即为因为11113PA A B PA AB ==，则P P V V -可知1112627ABC A B C P ABC V V --==若1b a b -<-<-，当(),1x a b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<， 此时()0f x <，不合题意；若1a b -=-，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+<，此时()0f x >； 当[)1,x b ∈-+∞时，可知()0,ln 0x a x b +≥+≥，此时()0f x ≥； 可知若1a b -=-，符合题意；若1a b ->-，当()1,x b a ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+>， 此时()0f x <，不合题意；综上所述：1a b -=-，即1b a =+，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭+，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12；解法二：由题意可知：()f x 的定义域为(),b -+∞， 令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；则当(),1x b b ∈--时，()ln 0x b +<，故0x a +≤，所以10b a -+≤；()1,x b ∈-+∞时，()ln 0x b +>，故0x a +≥，所以10b a -+≥；故10b a -+=， 则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭+，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立， 所以22a b +的最小值为12. 故选：C.【点睛】关键点点睛：分别求0x a +=、ln()0x b +=的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-，下列正确的有（ ）A. ()f x 与()g x 有相同零点B. ()f x 与()g x 有相同最大值C. ()f x 与()g x 有相同的最小正周期D. ()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴【答案】BC 【解析】【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A 选项，令()sin 20f x x ==，解得π,2k x k =∈Z ，即为()f x 零点， 令π()sin(2)04g x x =-=，解得ππ,28k x k =+∈Z ，即为()g x 零点， 显然(),()f x g x 零点不同，A 选项错误；B 选项，显然max max ()()1f x g x ==，B 选项正确；C 选项，根据周期公式，(),()f x g x 的周期均为2ππ2=，C 选项正确； D 选项，根据正弦函数的性质()f x 的对称轴满足πππ2π,224k x k x k =+⇔=+∈Z ， ()g x 的对称轴满足πππ3π2π,4228k x k x k -=+⇔=+∈Z ，显然(),()f x g x 图像的对称轴不同，D 选项错误. 故选：BC10. 抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（ ） A. l 与A e 相切B. 当P ，A ，B 三点共线时，||15PQ =C. 当||2PB =时，PA AB ⊥D. 满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个 【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，抛物线准线为=1x -，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，,,P A B 三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据2PB =先算出P 的坐标，然后验证1PA AB k k =-是否成立；D 选项，根据抛物线的定义，PB PF =，于是问题转化成PA PF =的P 点的存在性问题，此时考察AF 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P 点坐标进行求解.【详解】A 选项，抛物线24y x =的准线为=1x -，A e 的圆心(0,4)到直线=1x -的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和A e 相切，A 选项正确；B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ⊥，则P 的纵坐标4P y =，由24P P y x =，得到4P x =，故(4,4)P ，此时切线长22224115PQ PA r =-=-=，B 选项正确；C 选项，当2PB =时，1P x =，此时244P P y x ==，故(1,2)P 或(1,2)P -，当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B -，42201PA k -==--，4220(1)ABk -==--， 不满足1PA AB k k =-；当(1,2)P -时，(0,4),(1,2)A B -，4(2)601PA k --==--，4(2)60(1)AB k --==--， 不满足1PA AB k k =-；于是PA AB ⊥不成立，C 选项错误； D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB PF =，这里(1,0)F ，于是PA PB =时P 点的存在性问题转化成PA PF =时P 点的存在性问题，(0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，AF 中垂线的斜率为114AF k -=， 于是AF 的中垂线方程为：2158x y +=，与抛物线24y x =联立可得216300y y -+=， 2164301360∆=-⨯=>，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P 点，使得PA PF =，D 选项正确. 方法二：（设点直接求解）设2,4t P t ⎛⎫⎪⎝⎭，由PB l ⊥可得()1,B t -，又(0,4)A ，又PA PB =，根据两点间的距离公式，422(4)1164t t t +-=+，整理得216300t t -+=，2164301360∆=-⨯=>，则关于t 的方程有两个解，即存在两个这样的P 点，D 选项正确. 故选：ABD11. 设函数32()231f x x ax =-+，则（ ） A. 当1a >时，()f x 有三个零点 B. 当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C. 存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D. 存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心 【答案】AD 【解析】【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为0,x x a ==，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a -上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，则()(2)f x f b x =-为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a '=-=-，由于1a >，故()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>，故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增，(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值， 由(0)10=>f ，3()10f a a =-<，则(0)()0f f a <， 根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a -=--<，3(2)410f a a =+>，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a -<<， 则()f x 在(1,0),(,2)a a -上各有一个零点，于是1a >时，()f x 有三个零点，A 选项正确； B 选项，()6()f x x x a '=-，a<0时，(,0),()0x a f x '∈<，()f x 单调递减，,()0x ∈+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，此时()f x 在0x =处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴， 即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x =-， 即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x -+=---+，根据二项式定理，等式右边3(2)b x -展开式含有3x 的项为33332C (2)()2b x x -=-， 于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，C 选项错误； D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a =-，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a +-=-++---+=-+-+-，于是266(126)(1224)1812a a x a x a -=-+-+-即126012240181266a a a a -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩，解得2a =，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确. 方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax =-+，2()66f x x ax '=-，()126f x x a ''=-，由()02af x x ''=⇔=，于是该三次函数的对称中心为,22a a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122aa =⇔=，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确. 故选：AD【点睛】结论点睛：（1）()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x =⇔=-；（2）()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b ⇔+-=；（3）任何三次函数32()f x ax bx cx d =+++都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0f x ''=的解，即,33bb f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是三次函数的对称中心 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S =________. 【答案】95 【解析】【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出1,a d ，再利用等差数列求和公式节即可得到答案.【详解】因为数列n a 为等差数列，则由题意得()1111237345a d a d a d a d +++=⎧⎨+++=⎩，解得143a d =-⎧⎨=⎩，则()10110910104453952S a d ⨯=+=⨯-+⨯=. 故答案：95.13. 已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 21αβ=+，则sin()αβ+=_______. 【答案】223- 【解析】【分析】法一：根据两角和与差正切公式得()tan 22αβ+=-，再缩小αβ+的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得()()tan tan 4tan 221tan tan 121αβαβαβ++===---+，因为π3π2π,2π,2ππ,2π22k k m m αβ⎛⎫⎛⎫∈+∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,Z k m ∈， 则()()()22ππ,22π2πm k m k αβ+∈++++，,Z k m ∈，的为的则所有的可能结果为：(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)， (12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)， (13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)， (15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)，所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为152********+++=. 故答案为：24；112【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 3cos 2A A +=． （1）求A ．（2）若2a =，2sin sin 2b C c B =，求ABC V 的周长． 【答案】（1）π6A =（2）2632++ 【解析】【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 3cos 2A A +=进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长. 【小问1详解】方法一：常规方法（辅助角公式） 由sin 3cos 2A A +=可得13sin cos 122A A +=，即sin()1π3A +=， 由于ππ4π(0,π)(,)333A A ∈⇒+∈，故ππ32A +=，解得π6A = 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 3cos 2A A +=，又22sin cos 1A A +=，消去sin A 得到：224cos 43cos 30(2cos 3)0A A A -+=⇔-=，解得3cos 2A =，又(0,π)A ∈，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin 3cos (0π)f x x x x =+<<，则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭， 显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 3cos 22sin()3f A A A A =+==+， max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos 3sin f A A A '==-，即3tan 3A =， 又(0,π)A ∈，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(1,3),(sin ,cos )a b A A ==r r ，由题意，sin 3cos 2a b A A ⋅=+=r r， 根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅==r r r rr r r r ，则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔=r r r r ，此时,0a b =rr ，即,a b r r 同向共线，根据向量共线条件，31cos 3sin tan 3A A A ⋅=⋅⇔=， 又(0,π)A ∈，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，22223(1)sin 3cos 211t t A A t t-+==+++， 整理可得，2222(23)(23)0((23))t t t --+-==--， 解得tan232A t ==-，根据二倍角公式，223tan 13t A t ==-， 又(0,π)A ∈，故π6A = 【小问2详解】由题设条件和正弦定理2sin sin 22sin sin 2sin sin cos b C c B B C C B B =⇔=，又,(0,π)B C ∈，则sin sin 0B C ≠，进而2cos 2B =，得到π4B =，于是7ππ12C A B =--=， 26sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A +=--=+=+=， 由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C ==，即2ππ7πsin sin sin6412bc==， 解得22,62b c ==+，故ABC V 的周长为2632++ 16. 已知函数3()e x f x ax a =--．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程； （2）若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围． 【答案】（1）()e 110x y ---= （2）()1,+∞ 【解析】【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析0a ≤和0a >两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得2ln 10a a +->，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知()e '=-xf x a 有零点，可得0a >，进而利用导数求()f x 的单调性和极值，分析可得2ln 10a a +->，构建函数解不等式即可. 【小问1详解】当1a =时，则()e 1x f x x =--，()e 1x f x '=-， 可得(1)e 2f =-，(1)e 1f '=-，即切点坐标为()1,e 2-，切线斜率e 1k =-，所以切线方程为()()()e 2e 11y x --=--，即()e 110x y ---=. 【小问2详解】解法一：因为()f x 的定义域为R ，且()e '=-x f x a ，若0a ≤，则()0f x '≥对任意x ∈R 恒成立， 可知()f x 在R 上单调递增，无极值，不合题意；若0a >，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <； 可知()f x 在(),ln a -∞内单调递减，在()ln ,a +∞内单调递增，则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--，无极大值，由题意可得：()3ln ln 0f a a a a a =--<，即2ln 10a a +->，构建()2ln 1,0g a a a a =+->，则()120g a a a'=+>， 可知()g a 在()0,∞+内单调递增，且()10g =，不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >，解得1a >， 所以a 的取值范围为()1,+∞；解法二：因为()f x 的定义域为R ，且()e '=-x f x a ， 若()f x 有极小值，则()e '=-x f x a 有零点， 令()e 0x f x a '=-=，可得e x a =， 可知e x y =与y a =有交点，则0a >，若0a >，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <； 可知()f x 在(),ln a -∞内单调递减，在()ln ,a +∞内单调递增，则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--，无极大值，符合题意，由题意可得：()3ln ln 0f a a a a a =--<，即2ln 10a a +->，构建()2ln 1,0g a a a a =+->，因为则2,ln 1y a y a ==-在()0,∞+内单调递增， 可知()g a 在()0,∞+内单调递增，且()10g =，不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >，解得1a >， 所以a 的取值范围为()1,+∞.⊥；（1）证明：EF PD（2）求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析865（2）18. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为阶段，由该队的另一名队员投篮总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为相互独立．（2）假设0p q <<，（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii ）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】（1）0.686（2）（i ）由甲参加第一阶段比赛；（i ）由甲参加第一阶段比赛； 【解析】【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；（2）（i ）首先各自计算出331(1)P p q ⎡⎤=--⎣⎦甲，331(1)P q p ⎡⎤=--⋅⎣⎦乙，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到X 和Y 的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可. 【小问1详解】甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，∴比赛成绩不少于5分的概率()()3310.610.50.686P =--=.【小问2详解】（i ）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P p q ⎡⎤=--⎣⎦甲，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P q p ⎡⎤=--⋅⎣⎦乙，0p q <<Q ，3333()()P P q q pq p p pq ∴-=---+-甲乙()2222()()()()()()q p q pq p p q p pq q pq p pq q pq ⎡⎤=-+++-⋅-+-+--⎣⎦()2222()333p q p q p q pq =---3()()3()[(1)(1)1]0pq p q pq p q pq p q p q =---=---->，P P ∴>甲乙，应该由甲参加第一阶段比赛.(ii)若甲先参加第一阶段比赛，数学成绩X 的所有可能取值为0，5，10，15，333(0)(1)1(1)(1)P X p p q ⎡⎤==-+--⋅-⎣⎦， 32123(5)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦， 3223(10)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦， 33(15)1(1)P X p q ⎡⎤==--⋅⎣⎦，()332()151(1)1533E X p q p p p q ⎡⎤∴=--=-+⋅⎣⎦记乙先参加第一阶段比赛，数学成绩Y 的所有可能取值为0，5，10，15， 同理()32()1533E Y q q q p =-+⋅()()15[()()3()]E X E Y pq p q p q pq p q ∴-=+--- 15()(3)p q pq p q =-+-，因为0p q <<，则0p q -<，31130p q +-<+-<， 则()(3)0p q pq p q -+->，∴应该由甲参加第一阶段比赛.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论.19. 已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =，过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y . （1）若12k =，求22,x y ； （2）证明：数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列； （3）设n S 为12n n n P P P ++V 的面积，证明：对任意的正整数n ，1n n S S +=. 【答案】（1）23x =，20y = （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出2P 的坐标即可； （2）根据等比数列的定义即可验证结论；（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可. 【小问1详解】由已知有22549m =-=，故当12k =时，过()15,4P 且斜率为解得3x =-或5x =，所以该直线与故()3,0P ，从而3x =，所以2211222211n n n n n nn n x k x ky y k y kx x y k k+++-+--=--- ()()222222221211111n n n n n n n n n n x k x kx y k y ky k k kx y x y k k k k+++++++=-=-=-----. 再由22119x y -=，就知道110x y -≠，所以数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列. 【小问3详解】方法一：先证明一个结论：对平面上三个点,,U V W ，若(),UV a b =u u u r ，(),UW c d =u u u u r，则12UVW S ad bc =-V .（若,,U V W 在同一条直线上，约定0UVW S =V ） 证明：211sin ,1cos ,22UVW S UV UW UV UW UV UW UV UW =⋅=⋅-V u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r()222211122UV UWUV UW UV UW UV UW UV UW ⎛⎫⋅ ⎪=⋅-=⋅-⋅ ⎪⋅⎝⎭u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r()()()2222212a b c d ac bd =++-+ 222222222222122a c a dbc bd a c b d abcd =+++--- ()222221112222a dbc abcd ad bc ad bc =+-=-=-. 证毕，回到原题.由于上一小问已经得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n n n y k y kx y k ++-=-，故()()22211222221211111n n n n n n n n n n n n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++-+-+--+=+=+=+---+. 再由22119x y -=，就知道110x y +≠，所以数列{}n n x y +是公比为11kk-+的等比数列. 所以对任意的正整数m ，都有n n m n n m x y y x ++-()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=-+----- ()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=-+-+- ()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k -+⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()22111211m mn n k k x y k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭911211m mk k k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 而又有()()()111,n n n n n n P P x x y y +++=----u u u u u u r ，()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=--u u u u u u u r，故利用前面已经证明的结论即得()()()()1212112112n n n n P P P n n n n n n n n S S x x y y y y x x ++++++++==---+--V ()()()()12112112n n n n n n n n x x y y y y x x ++++++=----- ()()()1212112212n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x ++++++++=-+--- 2219119119112211211211k k k k k k k k k k k k ⎛⎫-+-+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 这就表明n S 的取值是与n 无关的定值，所以1n n S S +=.方法二：由于上一小问已经得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n n n y k y kx y k ++-=-，故()()22211222221211111n n n n n n n n n n n n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++-+-+--+=+=+=+---+. 再由22119x y -=，就知道110x y +≠，所以数列{}n n x y +是公比为11kk-+的等比数列. 所以对任意的正整数m ，都有n n m n n m x y y x ++-()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=-+----- ()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=-+-+- ()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k -+⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()22111211mmn n k k x y k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭911211mmk k k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.这就得到232311911211n n n n n n n n k k x y y x x y y x k k ++++++-+⎛⎫-=-=- ⎪+-⎝⎭，以及22131322911211n n n n n n n n k k x y y x x y y x k k ++++++⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 两式相减，即得()()()()232313131122n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x x y y x ++++++++++++---=---. 移项得到232131232131n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x y x x y y x x y ++++++++++++--+=--+. 故()()()()321213n n n n n n n n y y x x y y x x ++++++--=--.而()333,n n n n n n P P x x y y +++=--u u u u u u r ，()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=--u u u u u u u r.所以3n n P P +u u u u u u r 和12n n P P ++u u u u u u u r平行，这就得到12123n n n n n n P P P P P P S S +++++=V V ，即1n n S S +=.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.。

1CCB1B1AA2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．方程9131=-x 的解是 ． 2．函数11)(-=x x f 的反函数=-)(1x f ．3．直线014=-+y x 的倾斜角=θ ． 4．函数πsec cos 2y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭g 的最小正周期=T ． 5．以双曲线15422=-y x 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 ．6．若向量a b r r ，的夹角为ο60，1==b a ，则()a ab -=r r r g ． 7．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，ο90=∠ACB ， 21=AA ，1==BC AC ，则异面直线B A 1与AC 所成角的 大小是 （结果用反三角函数值表示）．8．某工程由A B C D ，，，四道工序组成，完成它们需用时间依次为254x ，，，天．四道工 序的先后顺序及相互关系是：A B ，可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B C ， 完成后，D 可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序C 需要的天数x 最大是 ． 9．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． 10．对于非零实数a b ，，以下四个命题都成立： ① 01≠+aa ； ② 2222)(b ab a b a ++=+； ③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2，则b a =．那么，对于非零复数a b ，，仍然成立的命题的所有序号是 ． 11．如图，A B ，是直线l 上的两点，且2=AB A B ，点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧AC ，CB 线段AB 围成图形面积S 的取值范围是 ．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分． 12．已知a b ∈R ，，且i 3,i 2++b a （i 是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两个根，那么a b ，的值分别是（ ）Ａ．32a b =-=， Ｂ．32a b ==-， Ｃ．32a b =-=-， Ｄ．32a b ==，13．圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（ ） Ａ．21)2()3(22=-++y x Ｂ．21)2()3(22=++-y x Ｃ．2)2()3(22=-++y xＤ．2)2()3(22=++-y x14．数列{}n a 中，22211100010012n n n a n n n n⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-⎩，≤≤，，≥， 则数列{}n a 的极限值（ ） Ａ．等于0 Ｂ．等于1 Ｃ．等于0或1Ｄ．不存在15．设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推 出(1)f k +≥2)1(+k 成立”． 那么，下列命题总成立的是（ ） Ａ．若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立 Ｂ．若4)2(<f 成立，则(1)1f ≥成立Ｃ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立 Ｄ．若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．（本题满分12分）在正四棱锥ABCD P -中，2=PA ，直线PA 与平面ABCD 所成的角为ο60，求正四棱锥ABCD P -的体积V ．17．（本题满分14分）在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4π,2==C a ，5522cos=B ，求ABC △的面积S ． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%． 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数0()(2≠+=x xax x f ，常数)a ∈R ．（1）当2=a 时，解不等式12)1()(->--x x f x f ； （2）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由．20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如果有穷数列123ma a a a L ，，，，（m 为正整数）满足条件m a a =1，12-=m a a ，…，1a a m =，即1+-=i m i a a （12i m =L ，，，），我们称其为“对称数列”． 例如，数列12521，，，，与数列842248，，，，，都是“对称数列”． （1）设{}n b 是7项的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b ．依次写出{}n b 的每一项；（2）设{}n c 是49项的“对称数列”，其中252649c c c L ，，，是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n c 各项的和S ；（3）设{}n d 是100项的“对称数列”，其中5152100d d d L ，，，是首项为2，公差为3的等1差数列．求{}n d 前n 项的和n S (12100)n =L ，，，．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+cx b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．如图，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是“果圆” 与x ，y轴的交点，M 是线段21A A 的中点．（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求该 “果圆”的方程；（2）设P 是“果圆”的半椭圆12222=+cx b y(0)x ≤上任意一点．求证：当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处；（3）若P 是“果圆”上任意一点，求PM 取得最小值时点P 的横坐标．2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)答案要点一、填空题（第1题至第11题） 1． 1-=x 2． )0(11≠+x x3． 4arctan π- 4． π 5． x y 122= 6．217． 66arccos8． 39． 3.010． ② ④11． π022⎛⎤- ⎥⎝⎦，二、选择题（第12题至第15题）16．解：作⊥PO 平面ABCD ，垂足为O ．连接AO ，O 是 正方形ABCD 的中心，PAO ∠是直线PA 与平面 ABCD 所成的角．PAO ∠＝ο60，2=PA ．∴ 3=PO ．1=AO ，2=AB ，11233ABCD V PO S ∴===g17．解： 由题意，得3cos 5B B =，为锐角，54sin =B ，10274π3sin )πsin(sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=B C B A ， 由正弦定理得 710=c ， ∴ 111048sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯=g ．18．解：（1） 由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为 %36，%38，%40，%42． 则2006年全球太阳电池的年生产量为8.249942.140.138.136.1670≈⨯⨯⨯⨯(兆瓦)．（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x ，则441420(1)95%2499.8(142%)x ++≥． 解得0.615x ≥．因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到%5.61．19．解： （1）1212)1(222->----+x x x x x ， 0122>--x x ，0)1(<-x x ． ∴ 原不等式的解为10<<x ． （2）当0=a 时，2)(x x f =，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞U ，，，)()()(22x f x x x f ==-=-， )(x f ∴为偶函数．当0≠a 时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，，取1±=x ，得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，， (1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．20．解：（1）设数列{}n b 的公差为d ，则1132314=+=+=d d b b ，解得 3=d ， ∴数列{}n b 为25811852，，，，，，．（2）4921c c c S +++=Λ25492625)(2c c c c -+++=Λ ()122212242-++++=Λ()3211222625-=--==67108861．（3）51100223(501)149d d ==+⨯-=，．由题意得 1250d d d L ，，，是首项为149，公差为3-的等差数列． 当50n ≤时，n n d d d S +++=Λ21 n n n n n 230123)3(2)1(1492+-=--+=． 当51100n ≤≤时，n n d d d S +++=Λ21()n d d d S ++++=Λ525150 (50)(51)37752(50)32n n n --=+-+⨯g75002299232+-=n n ． 综上所述，22330115022329975005110022n n n n S n n n ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩，≤≤，，≤≤．21．解：（1）Θ((012(0)00F c F F ，，，，，021211F F b F F ∴====，，于是22223744c a b c ==+=，，所求“果圆”方程为2241(0)7x y x +=≥，2241(0)3y x x +=≤．（2）设()P x y ，，则2222||y c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222()1()04b a c x a c x b c x c ⎛⎫-=---++- ⎪⎝⎭，≤≤， 0122<-cb Θ，∴ 2||PM 的最小值只能在0=x 或c x -=处取到．即当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处．（3）||||21MA M A =Θ，且1B 和2B 同时位于“果圆”的半椭圆22221(0)x y x a b +=≥和半椭圆22221(0)y x x b c +=≤上，所以，由（2）知，只需研究P 位于“果圆”的半椭圆22221(0)x y x a b +=≥上的情形即可． 2222||y c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222222224)(4)(2)(c c a a c a b c c a a x a c ---++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=． 当22()2a a c x a c -=≤，即2a c ≤时，2||PM 的最小值在222)(c c a a x -=时取到， 此时P 的横坐标是222)(c c a a -．当a cc a a x >-=222)(，即c a 2>时，由于2||PM 在a x <时是递减的，2||PM 的最小值在a x =时取到，此时P 的横坐标是a ．综上所述，若2a c ≤，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是222)(c c a a -；若c a 2>，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是a 或c -．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项．1．复数43i1+2i+的实部是（ ） A ．2- B ．2C ．3D ．42．已知集合11{11}|242x M N x x +⎧⎫=-=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，，，则M N =（ ）A ．{11}-，B ．{0}C ．{1}-D ．{10}-， 3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④ 4．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象（ ） A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位5．已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ）①正方形②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥A ．1B ．2C ．2D ．46．给出下列三个等式：()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=，，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）A ．()3xf x = B ．()sin f x x =C ．2()log f x x =D ．()tan f x x =7．命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ） A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤ B ．存在3210x R x x ∈-+，≤ C ．存在3210x R x x ∈-+>，D ．对任意的3210x R x x ∈-+>，8．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介 于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二 组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组， 成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述 分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于17秒 的学生人数占全班人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方 图中可以分析出x 和y 分别为（ ） A ．0.935， B ．0.945，C ．0.135，D ．0.145，9．设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，则OA 为（ ）A ．214pB ．212pC ．136p D ．1336p10．阅读右边的程序框，若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是（ ） A ．2550，2500 B ．2550，2550 C ．2500，2500 D ．2500，255011．设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00()x y ，，0 13 14 15 16 17 18 19秒频率0.020.04 0.060.18 0.34 0.36开始输入n00S T ==，2?x <1n n =-T T n=+结束输出S ，TS S n=+否是则0x 所在的区间是（ ） A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，12．设集合{12}{123}A B ==，，，，，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点()P a b ，，记“点()P a b ，落在直线x y n+=上”为事件(25)n C n n ∈N ≤≤，，若事件n C 的概率最大，则n 的所有可能值为（ ）A ．3B ．4C ．2和5D ．3和4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上．13．设函数1()f x =21323()()x f x x f x x -==，，，则123(((2007)))f f f = ．14．函数1(01)xy a a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11m n+的最小值为 ． 15．当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 ． 16．与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan 37a b c C =，，，． （1）求cos C ； （2）若52CB CA =，且9a b +=，求c ． 18．（本小题满分12分）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的等差数列．（2）令31ln 12n n b a n +==，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ．19．（本小题满分12分） 本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ 20．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知122DC DD AD AB ===，AD DC AB DC ⊥，∥． （1）求证：11D C AC ⊥；（2）设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使1D E ∥平面1A BD ，并说明理由．21．（本小题满分12分） 设函数2()ln f x ax b x =+，其中0ab ≠．证明：当0ab >时，函数()f x 没有极值点；当0ab <时，函数()f x 有且只有一个极值点，并求出极值． 22．（本小题满分14分） 已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A B ，两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的图过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东文卷）答案一、选择题 1．B 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．A 9．B10．A11．B12．D二、填空题 13．1200714．1 15．5m -≤ 16．22(2)(2)2x y -+-=三、解答题 17．解：（1）sin tan 3737cos CC C=∴=，又22sin cos 1C C +=解得1cos 8C =±． tan 0C >，C ∴是锐角．1cos 8C ∴=．（2）52CB CA =，5cos 2ab C ∴=，20ab ∴=． 又9a b +=22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=．2222cos 36c a b ab C ∴=+-=．6c ∴=．18．解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得22a =．设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得1322a a q q==，． 又37S =，可知2227q q++=， 即22520q q -+=， 解得12122q q ==，． 由题意得12q q >∴=，． 11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=．（2）由于31ln 12n n b a n +==，，，，由（1）得3312nn a +=3ln 23ln 2n n b n ∴==又13ln 2n n n b b +-={}n b ∴是等差数列．12n n T b b b ∴=+++1()2(3ln 23ln 2)23(1)ln 2.2n n b b n n n +=+=+=故3(1)ln 22n n n T +=． 19．解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得3005002009000000.x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，≥目标函数为30002000z x y =+．二元一次不等式组等价于3005290000.x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，≥作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域． 如图：作直线:300020000l x y +=， 即320x y +=．平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．联立30052900.x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得100200x y ==，．∴点M 的坐标为(100200)，．max 30002000700000z x y ∴=+=（元）答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．0 100 200 300100200 300 400500yxlM20．（1）证明：在直四棱柱1111ABCD A B C D -中， 连结1C D ，1DC DD =，∴四边形11DCC D 是正方形．11DC D C ∴⊥．又AD DC ⊥，11AD DD DC DD D =⊥，⊥，AD ∴⊥平面11DCC D ，1D C ⊂平面11DCC D ，1AD D C ∴⊥．1AD DC ⊂，平面1ADC ，且AD DC D =⊥，1D C ∴⊥平面1ADC ，又1AC ⊂平面1ADC ，1D C AC ∴1⊥．（2）连结1AD ，连结AE ， 设11AD A D M =，BD AE N =，连结MN ，平面1AD E平面1A BD MN =，要使1D E ∥平面1A BD ， 须使1MN D E ∥， 又M 是1AD 的中点．N ∴是AE 的中点．又易知ABN EDN △≌△， AB DE ∴=．即E 是DC 的中点．BCDA1A1D1C1BB CD A1A1D1C1BME综上所述，当E 是DC 的中点时，可使1D E ∥平面1A BD ．21．证明：因为2()ln 0f x ax b x ab =+≠，，所以()f x 的定义域为(0)+∞，．()f x '222b ax bax x x+=+=． 当0ab >时，如果00()0()a b f x f x '>>>，，，在(0)+∞，上单调递增；如果00()0()a b f x f x '<<<，，，在(0)+∞，上单调递减．所以当0ab >，函数()f x 没有极值点．当0ab <时，222()b b a x x a a f x x⎛⎫⎛⎫+--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭'=令()0f x '=，将1(0)2b x a =--∉+∞，（舍去），2(0)2b x a=-+∞，， 当00a b ><，时，()()f x f x '，随x 的变化情况如下表：x02b a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 2ba- 2ba ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，()f x ' -0 +()f x极小值从上表可看出，函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 222b b b f a a ⎛⎫⎡⎤⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭．当00a b <>，时，()()f x f x '，随x 的变化情况如下表：x02b a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 2ba- 2ba ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，()f x ' -0 +()f x极大值从上表可看出，函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 222b b b f a a ⎛⎫⎡⎤⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭． 综上所述，当0ab >时，函数()f x 没有极值点； 当0ab <时，若00a b ><，时，函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 22b b a ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．若00a b <>，时，函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 22b b a ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 22．解：（1）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知得：31a c a c +=-=，，222213a cb ac ==∴=-=，，∴椭圆的标准方程为22143x y +=．（2）设1122()()A x y B x y ，，，．联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，则22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪∆=-+->+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩，即，， 又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+．因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(20)D ，，1AD BD k k ∴=-，即1212122y y x x =---．1212122()40y y x x x x ∴+-++=．2222223(4)4(3)1540343434m k m mk k k k--∴+++=+++． 2271640m mk k ∴++=．解得：12227k m k m =-=-，，且均满足22340k m +->．当12m k =-时，l 的方程(2)y k x =-，直线过点(20)，，与已知矛盾；当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，． 所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，．。

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第II （非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知cos tan 0θθ<，那么角θ是（ ） Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角 2．函数()3(02)xf x x =<≤的反函数的定义域为（ ）Ａ．(0)+∞，Ｂ．(19]，Ｃ．(01)，Ｄ．[9)+∞，3．平面α∥平面β的一个充分条件是（ ） Ａ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥Ｂ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥Ｃ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ Ｄ．存在两条异面直线a b a a b αβα⊂，，，∥，∥4．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =5．记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种6．若不等式组220x y x y y x y a -0⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥，≤，≥，≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ）Ａ．43a ≥ Ｂ．01a <≤ Ｃ．413a ≤≤ Ｄ．01a <≤或43a ≥7．如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一8．对于函数①()lg(21)f x x =-+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =+，判断如下三个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 命题丙：(2)()f x f x +-在()-∞+∞，上是增函数． 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ） Ａ．①③ Ｂ．①② Ｃ．③ Ｄ．②2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）第II 卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．22(1)i =+ ．10．若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，，，，则此数列的通项公式为；数列{}n na 中数值最小的项是第项．11．在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB =．12．已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若AB =∅，则实数a 的取值范围是 ．13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于 ． 14．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分） 数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列． （I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式． 16．（本小题共14分）如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上． （I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（II ）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的大小； （III ）求CD 与平面AOB 所成角的最大值．17．（本小题共14分）矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点x1 2 3 ()f x 131x1 23 ()g x321 OCADB(11)T -，在AD 边所在直线上．（I ）求AD 边所在直线的方程； （II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程． 18．（本小题共13分）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（I ）求合唱团学生参加活动的人均次数； （II ）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（III ）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．19．（本小题共13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．（I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； （II ）求面积S 的最大值．20．已知集合{}12(2)k A a a a k =，，，≥，其中(12)i a i k ∈=Z ，，，，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ． 若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．（I ）检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；（II ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)2k k n -≤； （III ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．1231020 30 40 50 参加人数 活动次数4rC DAB2r2007年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷）答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ｄ 4．Ａ5．Ｂ6．Ｄ7．Ａ 8．Ｄ二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．i - 10．211n - 311．10212．(23)，13．72514．12三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共13分） 解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+， 因为1a ，2a ，3a 成等比数列， 所以2(2)2(23)c c +=+， 解得0c =或2c =．当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =． （II ）当2n ≥时，由于21a a c -=， 322a a c -=，1(1)n n a a n c --=-，所以1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=． 又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+=，，．当1n =时，上式也成立，所以22(12)n a n n n =-+=，，． 16．（共14分）解法一：（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥， BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角， 又二面角B AO C --是直二面角， CO BO ∴⊥，又AO BO O =，CO ∴⊥平面AOB ， 又CO ⊂平面COD ．∴平面COD ⊥平面AOB ．（II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥， CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．在Rt COE △中，2CO BO ==，112OE BO ==，225CE CO OE ∴=+=． 又132DE AO ==．∴在Rt CDE △中，515tan 33CE CDE DE ===． ∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为15arctan3． （III ）由（I ）知，CO ⊥平面AOB ，CDO ∴∠是CD 与平面AOB 所成的角，且2tan OC CDO OD OD==． 当OD 最小时，CDO ∠最大， 这时，OD AB ⊥，垂足为D ，3OA OBOD AB==，23tan 3CDO =， CD ∴与平面AOB 所成角的最大值为23arctan3． 解法二：（I ）同解法一．（II ）建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则(000)O ，，，(0023)A ，，，(200)C ，，，(013)D ，，，(0023)OA ∴=，，，(213)CD =-，，，ADzOCADBEcos OA CD OA CD OA CD∴<>=，6642322==． ∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为6arccos4． （III ）同解法一 17．（共14分）解：（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为3-．又因为点(11)T -，在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．320x y ++=．（II ）由36032=0x y x y --=⎧⎨++⎩，解得点A 的坐标为(02)-，，因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(20)M ，． 所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心． 又22(20)(02)22AM =-++=．从而矩形ABCD 外接圆的方程为22(2)8x y -+=．（III ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切， 所以22PM PN =+， 即22PM PN -=．故点P 的轨迹是以M N ，为焦点，实轴长为22的双曲线的左支． 因为实半轴长2a =，半焦距2c =．所以虚半轴长222b c a =-=．从而动圆P 的圆心的轨迹方程为221(2)22x y x -=-≤．18．（共13分）解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40． （I ）该合唱团学生参加活动的人均次数为1102503402302.3100100⨯+⨯+⨯==．（II ）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为222105040021004199C C C P C ++==． （III ）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A ，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B ，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C ．易知(1)()()P P A P B ξ==+111110505040241001005099C C C C C C =+=； (2)()P P C ξ==1110402100899C C C ==； ξ的分布列：ξ0 1 2P41995099 899ξ的数学期望：4150820129999993E ξ=⨯+⨯+⨯=． 19．（共13分）解：（I ）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O xy -（如图），则点C 的横坐标为x ．点C 的纵坐标y 满足方程22221(0)4x y y r r+=≥，解得222(0)y r x x r =-<<221(22)22S x r r x =+-222()x r r x =+-，CDA B Oxy其定义域为{}0x x r <<．（II ）记222()4()()0f x x r r x x r =+-<<，， 则2()8()(2)f x x r r x '=+-． 令()0f x '=，得12x r =． 因为当02r x <<时，()0f x '>；当2rx r <<时，()0f x '<，所以12f r ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值． 因此，当12x r =时，S 也取得最大值，最大值为213322f r r ⎛⎫= ⎪⎝⎭．即梯形面积S 的最大值为2332r ． 20．（共13分）（I ）解：集合{}0123，，，不具有性质P ．集合{}123-，，具有性质P ，其相应的集合S 和T 是{}(13)(31)S =--，，，，{}(21)23T =-()，，，．（II ）证明：首先，由A 中元素构成的有序数对()i j a a ，共有2k 个．因为0A ∉，所以()(12)i i a a T i k ∉=，，，，； 又因为当a A ∈时，a A -∉时，a A -∉，所以当()i j a a T ∈，时，()(12j i a a T i j k ∉=，，，，，．从而，集合T 中元素的个数最多为21(1)()22k k k k --=， 即(1)2k k n -≤． （III ）解：m n =，证明如下：（1）对于()a b S ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A +∈，从而()a b b T +∈，． 如果()a b ，与()c d ，是S 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d +=+与b d =中也至少有一个不成立．故()a b b +，与()c d d +，也是T 的不同元素．可见，S 中元素的个数不多于T 中元素的个数，即m n ≤，（2）对于()a b T ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A -∈，从而()a b b S -∈，．如果()a b ，与()c d ，是T 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d -=-与b d =中也不至少有一个不成立，故()a b b -，与()c d d -，也是S 的不同元素．可见，T 中元素的个数不多于S 中元素的个数，即n m ≤， 由（1）（2）可知，m n =．。

四、解答题：本大题共6小题，共算步骤。

17．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为点，且1AD =．π
(1)证明：BC DA ⊥；
(2)点F 满足EF DA =
，求二面角D 21．已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为(1)求C 的方程；
6．C
【分析】根据()
1
e0 x
f x a
x
'=-≥在(1,
【详解】依题可知，()
1 e x
f x a
x '=-≥
10．AC
【分析】先求得焦点坐标，从而求得知识确定正确答案.
15．2（
11
2,2,,
22
--中任意一个皆可以）
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长公式即可解出．
【详解】设点C到直线AB的距离为
则11sin 22ADC S AD DC ADC =
⋅∠=⨯ 在ABD △中，2π
3
ADB ∠=，由余弦定理得
设(2,0,0),(0,0,2),(0,2,0),D A B 设平面DAB 与平面ABF 的一个法向量分别为二面角D AB F --平面角为θ,而AB 因为()2,0,2EF DA ==- ，所以
直线1MA 的方程为(112y y x x =
+联立直线1MA 与直线2NA 的方程可得：
()()()()21211212222226y x y my x x y x y my +-+==---1224832224141m m y m m ⋅-⋅+
答案第17页，共17页。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =·如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =··一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，32i 1i=-（ ） Ａ．1i +Ｂ． 1i -+Ｃ．1i -Ｄ．1i --2．设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ） Ａ．4Ｂ．11Ｃ．12Ｄ．143．“2π3θ=”是“πtan 2cos 2θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭”的（ ） Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件4．设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的离心率为3，且它的一条准线与抛物线24y x=的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）Ａ．2211224x y -=Ｂ．2214896x y -= Ｃ．222133x y -=Ｄ．22136x y -= 5．函数2log (42)(0)y x x =++>的反函数是（ ） Ａ．142(2)xx y x +=-> Ｂ．142(1)x x y x +=-> Ｃ．242(2)x x y x +=->Ｄ．242(1)xx y x +=->6．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） Ａ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ Ｂ．若a b αβ，∥∥，αβ∥，则a b ∥ Ｃ．若a b a b αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥ Ｄ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥7．在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()(2)f x f x =-，若()f x 在区间[12]，上是减函数，则()f x （ ）Ａ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是增函数 Ｂ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是减函数 Ｃ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是增函数Ｄ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是减函数8．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ） Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．89．设a b c ，，均为正数，且122log a a =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ）Ａ．a b c <<Ｂ．c b a <<Ｃ．c a b <<Ｄ．b a c <<10．设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，中央电视台mλ的取值范围是（ ） Ａ．Ｂ．[48]，Ｃ．Ｄ．2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．答案前将密封线内的项目填写清楚．2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．11．若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 的系数为52，则a = （用数字作答）． 12．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．13．设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n na n S →∞-= ．14．已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于AB ，两点，则直线AB 的方程是 ．15．如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，ABDCD 是边BC 上一点，2DC BD =，则ADBC =· ． 16．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．18．（本小题满分12分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明CD AE ⊥；（Ⅱ）证明PD ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角A PD C --的大小．20．（本小题满分12分）已知函数2221()()1ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程；ABCDPE（Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值． 21．（本小题满分14分）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得11n k n ka aa a ++≤对任意n *∈N 均成立． 22．（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．（Ⅰ）证明2a b =；（Ⅱ）设12Q Q ，为椭圆上的两个动点，12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，垂足为D ，求点D 的轨迹方程．2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ａ二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． 11．2 12．14π 13．3 14．30x y +=15．83-16．390三、解答题17．本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数sin()y A x ωϕ=+的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．（Ⅰ）解：π()2cos (sin cos )1sin 2cos 22sin 24f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭．因此，函数()f x 的最小正周期为π．（Ⅱ）解法一：因为π()2sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，又π08f ⎛⎫=⎪⎝⎭，3π28f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3π3πππ2sin 2cos 14244f ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为2，最小值为1-． 解法二：作函数π()2sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长度为一个周期的区间π9π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的图象如下：间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，由图象得函数()f x 在区上的最大值为2，最小值为3π14f ⎛⎫=-⎪⎝⎭． 18．本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． （Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B ．由于事件A B ，相互独立，且23241()2C P A C ==，24262()5C P B C ==．故取出的4个球均为黑球的概率为121()()()255P A B P A P B ==⨯=··． （Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D ．由于事件C D ，互斥，且21132422464()15C C C P C C C ==··，123422461()5C C PD C C ==·． 故取出的4个球中恰有1个红球的概率为417()()()15515P C D P C P D +=+=+=． （Ⅲ）解：ξ可能的取值为0123，，，．由（Ⅰ），（Ⅱ）得1(0)5P ξ==，7(1)15P ξ==， 13224611(3)30C P C C ξ===·．从而3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==．ξ的分布列为ξ123P15 715 310130ξ的数学期望17317012351510306E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．yxO22-π8 3π85π83π47π89π819．本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）证明：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故PA CD ⊥．AC CD PA AC A ⊥=，∵，CD ⊥∴平面PAC ．而AE ⊂平面PAC ，CD AE ⊥∴．（Ⅱ）证明：由PA AB BC ==，60ABC ∠=°，可得AC PA =． E ∵是PC 的中点，AE PC ⊥∴．由（Ⅰ）知，AE CD ⊥，且PC CD C =，所以AE ⊥平面PCD ．而PD ⊂平面PCD ，AE PD ⊥∴．PA ⊥∵底面ABCD PD ，在底面ABCD 内的射影是AD ，AB AD ⊥，AB PD ⊥∴． 又AB AE A =∵，综上得PD ⊥平面ABE ．（Ⅲ）解法一：过点A 作AM PD ⊥，垂足为M ，连结EM ．则（Ⅱ）知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则EM PD ⊥． 因此AME ∠是二面角A PD C --的平面角． 由已知，得30CAD ∠=°．设AC a =， 可得23212332PA a AD a PD a AE a ====，，，． 在ADP Rt △中，AM PD ⊥∵，AM PD PA AD =∴··，则232737213a aPA AD AM a PDa ===··． 在AEM Rt △中，14sin 4AE AME AM ==． 所以二面角A PD C --的大小是14arcsin4． 解法二：由题设PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，则平面PAD ⊥平面ACD ，交线为AD ．过点C 作CF AD ⊥，垂足为F ，故CF ⊥平面PAD ．过点F 作FM PD ⊥，垂足为M ，连结CM ，故CM PD ⊥．因此CMP ∠是二面角A PD C --的平面角． 由已知，可得30CAD ∠=°，设AC a =， 可得2321133326PA a AD a PD a CF a FD a =====，，，，． FMD PAD ∵△∽△，FM FDPA PD=∴． AD PEFM ABCDPEM于是，37614213a aFD PA FM a PD a ===··． 在CMF Rt △中，12tan 7714aCFCMF FM a ===．所以二面角A PD C --的大小是arctan 7．20．本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分． （Ⅰ）解：当1a =时，22()1x f x x =+，4(2)5f =， 又2222222(1)2222()(1)(1)x x x x f x x x +--'==++·，6(2)25f '=-． 所以，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为46(2)525y x -=--， 即62320x y +-=．（Ⅱ）解：2222222(1)2(21)2()(1)()(1)(1)a x x ax a x a ax f x x x +--+--+'==++． 由于0a ≠，以下分两种情况讨论． （1）当0a >时，令()0f x '=，得到11x a=-，2x a =．当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下表：x1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∞1a1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， a ()a +，∞()f x ' - 0 +0 -()f x+极小值极大值所以()f x 在区间1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∞，()a +，∞内为减函数，在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为增函数．函数()f x 在11x a =-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 函数()f x 在21x a=处取得极大值()f a ，且()1f a =．（2）当0a <时，令()0f x '=，得到121x a x a==-，，当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下表：x()a -，∞a1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1a- 1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，+∞ ()f x ' +0 -0 +()f x极大值极小值所以()f x 在区间()a -，∞，1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，+∞内为增函数，在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为减函数． 函数()f x 在1x a =处取得极大值()f a ，且()1f a =． 函数()f x 在21x a=-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． 21．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n 项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解法一：22222(2)22a λλλλ=++-=+，2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+， 3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+．由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n nn a n λ=-+．以下用数学归纳法证明．（1）当1n =时，12a =，等式成立．（2）假设当n k =时等式成立，即(1)2k kk a k λ=-+，那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k kk λλλλλ++=-+++-11[(1)1]2k k k λ++=+-+．这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2n nn a n λ=-+对任何n *∈N 都成立．解法二：由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*+=++-∈N ，0λ>，可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2nn n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为等差数列，其公差为1，首项为0，故21n n n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式为(1)2n nn a n λ=-+． （Ⅱ）解：设234123(2)(1)n n n T n n λλλλλ-=++++-+-， ①345123(2)(1)n n n T n n λλλλλλ+=++++-+- ②当1λ≠时，①式减去②式， 得212311(1)(1)(1)1n n n n n T n n λλλλλλλλλ+++--=+++--=---，21121222(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---． 这时数列{}n a 的前n 项和21212(1)22(1)n n n n n n S λλλλ+++--+=+--． 当1λ=时，(1)2n n n T -=．这时数列{}n a 的前n 项和1(1)222n n n n S +-=+-． （Ⅲ）证明：通过分析，推测数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第一项21a a 最大，下面证明： 21214,22n n a a n a a λ++<=≥． ③ 由0λ>知0n a >，要使③式成立，只要212(4)(2)n n a a n λ+<+≥， 因为222(4)(4)(1)(1)2n nn a n λλλλ+=+-++124(1)424(1)2n n n n n n λλλ++>-+⨯=-+·1212222n n n n a n λ++++=，≥≥．所以③式成立． 因此，存在1k =，使得1121n k n k a a aa a a ++=≤对任意n *∈N 均成立． 22．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．（Ⅰ）证法一：由题设212AF F F ⊥及1(0)F c -，，2(0)F c ，，不妨设点()A c y ，，其中0y >．由于点A 在椭圆上，有22221c y a b +=，即222221a b y a b-+=． 解得2b y a =，从而得到2b Ac a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．直线1AF 的方程为2()2b y x c ac=+，整理得2220b x acy b c -+=． 由题设，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ，即242234c b cb a c=+，将222c a b =-代入上式并化简得222a b =，即2a b =．证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，．过点O 作1OB AF ⊥，垂足为B ，易知1F BO △∽12F F A △，故211BO F AOF F A=． 由椭圆定义得122AF AF a +=，又113BO OF =， 所以2212132F AF A F A a F A==-， 解得22aF A =，而22b F A a =，得22b a a =，即2a b =． （Ⅱ）解法一：设点D 的坐标为00()x y ，．当00y ≠时，由12OD Q Q ⊥知，直线12Q Q 的斜率为0x y -，所以直线12Q Q 的方程为0000()x y x x y y =--+，或y kx m =+，其中00x k y =-，200x m y y =+．点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组22222y kx m x y b =+⎧⎨+=⎩，． 将①式代入②式，得2222()2x kx m b ++=， 整理得2222(12)4220k x kmx m b +++-=，AO1F 2FBxy于是122412kmx x k +=-+，21222212m b x x k -=+．由①式得2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x k =++=+++2222222222242121212m b km m b k k km m k k k---=++=+++··． 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将③式和④式代入得22222322012m b b k k --=+， 22232(1)m b k =+．将200000x x k m y y y =-=+，代入上式，整理得2220023x y b +=．当00y =时，直线12Q Q 的方程为0x x =，111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组022222x x x y b =⎧⎨+=⎩，．所以120x x x ==，221222b x y -=±，． 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=，即2220202b x x --=， 解得22023x b =． 这时，点D 的坐标仍满足2220023x y b +=． 综上，点D 的轨迹方程为 22223x y b +=．解法二：设点D 的坐标为00()x y ，，直线OD 的方程为000y x x y -=，由12OD Q Q ⊥，垂足为D ，可知直线12Q Q 的方程为220000x x y y x y +=+．记2200m x y =+（显然0m ≠），点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组0022222x x y y m x y b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ①． ② 由①式得00y y m x x =-． ③由②式得22222200022y x y y y b +=． ④ 将③式代入④式得222220002()2y x m x x y b +-=． 整理得2222220000(2)4220x y x mx x m b y +-+-=，于是222122200222m b y x x x y -=+． ⑤ 由①式得00x x m y y =-． ⑥由②式得22222200022x x x y x b +=． ⑦ 将⑥式代入⑦式得22222000()22m y y x y x b -+=， 整理得2222220000(2)220x y y my y m b x +-+-=，于是22212220022m b x y y x y -=+． ⑧ 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将⑤式和⑧式代入得2222220022220000222022m b y m b x x y x y --+=++， 22220032()0m b x y -+=．将2200m x y =+代入上式，得2220023x y b +=． 所以，点D 的轨迹方程为22223x y b +=．。

参考答案专题一《正弦定理、余弦定理及其应用》综合检测一、选择题二、填空题11. 45°12. —13.40°14. 30^23三、解答题15.a= *+ 耳 A = 105°, C=30°16.略17. 60°18.不能2专题一《正弦定理、余弦定理及其应用》模拟试卷二、填空题13. 45°14. 5^2 15. (V2,V3)16. 9 17. (V5,而)18. V5 :3三、解答题19.468m 20 .等腰三角形或直角三角形21・tz=6, Z?=5, c~~422.-9 23. (l)sin<9-V3 cos^ + —V34(2)2+-^34【选做题】方法1正确.专题二《等差数列、等比数列》综合检测、选择题二、填空题17. (1)第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只18. 3n -n-1专题二《等差数列、等比数列》模拟试卷二、填空题13.芝314. 2n15.曜416. ±16n(n +1) 117. D ——+1- —2 2"18. 1三、解答题19. 60 20.略21. q =］或 a n32 12 = - n5 522. 299623.冬 1-0aq(l-q n ^(F【选做题】(1)4022031(2)3 (3)5928专题三《不等关系、一元二次不等式》综合检测一、选择题二、填空题11. (—8, 8) 12.(-, +oo| 13. -2A /2 14. 1812.713. 1 =h 也…如"(n < 17,n e N*)三、解答题15.⑴ a.=6 2n -'n(ji +1)(x = 1),16. (1) a n = In(2) S n =\2x(l-r) 2"z. v I(5、(l-x)1-.X⑵到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了(3)第2年的规模最大三、解答题15. 当。

2024年高考真题汇编数学（新课标卷+全国卷）目录2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I卷）数学2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II卷）数学2024年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学2024年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学（部分）参考答案2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I 卷）数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （）A.{1,0}-B.{2,3}C.{3,1,0}--D.{1,0,2}-2.若1i 1zz =+-，则z =（）A.1i -- B.1i -+ C.1i- D.1i+3.已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A.2- B.1- C.1D.24.已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A.3m- B.3m -C.3m D.3m5.，则圆锥的体积为（）A. B. C. D.6.已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（）A.(,0]-∞B.[1,0]-C.[1,1]- D.[0,)+∞7.当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A.3B.4C.6D.88.已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A.(10)100f > B.(20)1000f >C.(10)1000f <D.(20)10000f <二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A.(2)0.2P X >>B.(2)0.5P X ><C.(2)0.5P Y >> D.(2)0.8P Y ><10.设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A.3x =是()f x 的极小值点B.当01x <<时，()2()f x f x<C.当12x <<时，4(21)0f x -<-< D.当10x -<<时，(2)()f x f x ->11.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A.2a =- B.点在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．13.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC 的面积为3c ．16.已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．17.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --的正弦值为427，求AD ．18.已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．19.设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷）数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知1i z =--，则z =（）A.0B.1C.D.22.已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（）A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题3.已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （）A.12B.22C.32D.14.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理下表亩产量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1100，1150）[1150，1200）频数612182410据表中数据，结论中正确的是（）A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间5.已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（）A.221164x y +=（0y >）B.221168x y +=（0y >）C.221164y x +=（0y >）D.221168y x +=（0y >）6.设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （）A.1- B.12C.1D.27.已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（）A.12B.1C.2D.38.设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（）A.18B.14C.12D.1二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-，下列正确的有（）A.()f x 与()g x 有相同零点B.()f x 与()g x 有相同最大值C.()f x 与()g x 有相同的最小正周期D.()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴10.抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A.l 与A 相切B.当P ，A ，B 三点共线时，||PQ =C.当||2PB =时，PA AB ⊥D.满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个11.设函数32()231f x x ax =-+，则（）A.当1a >时，()f x 有三个零点B.当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C.存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D.存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S =________.13.已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 1αβ=+，则sin()αβ+=_______.14.在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =．（1）求A ．（2）若2a =，sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．16.已知函数3()e x f x ax a =--．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（2）若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．17.如图，平面四边形ABCD 中，8AB =，3CD =，AD =，90ADC ︒∠=，30BAD ︒∠=，点E ，F 满足25AE AD = ，12AF AB =，将AEF △沿EF 对折至PEF !，使得PC =．（1）证明：EF PD ⊥；（2）求面PCD 与面PBF 所成的二面角的正弦值．18.某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立．（1）若0.4p =，0.5q =，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．（2）假设0p q <<，（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii ）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？19.已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =，过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y .（1）若12k =，求22,x y ；（2）证明：数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列；（3）设n S 为12n n n P P P ++ 的面积，证明：对任意的正整数n ，1n n S S +=.2024年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设5i z =+，则()i z z +=（）A.10iB.2iC.10D.2-2.集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（）A.{}1,4,9 B.{}3,4,9C.{}1,2,3 D.{}2,3,53.若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（）A.5B.12C.2- D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（）A.2- B.73C.1D.25.已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A.4B.3C.2D.6.设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A.16B.13C.12D.237.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（）A.B.C. D.8.已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.1+ B.1- C.32D.19.已知向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（）A.“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B.“3x =-”是“//a b”的必要条件C.“0x =”是“a b ⊥”的充分条件 D.“1x =-+”是“//a b”的充分条件10.设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（）A.①③ B.②④C.①②③D.①③④11.在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A.32B.C.72D.212.已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A.2B.3C.4D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的最大值是______．14.已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r -和()213r r -，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙______．15.已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______．16.有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间262450乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=，设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果p p>+则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？12.247≈）附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++()2P K k≥0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.82818.记n S为数列{}n a的前n项和，且434n nS a=+．（1）求{}n a的通项公式；（2）设1(1)nn nb na-=-，求数列{}n b的前n项和为n T．19.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD，4,2AD AB BC EF====，ED FB==M为AD的中点．（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求二面角F BM E --的正弦值．20.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．21.已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-．（1）当2a =-时，求()f x 的极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.[选修4-5：不等式选讲]23.实数,a b 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．2024年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学（部分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （）A.{}1,2,3,4 B.{}1,2,3C.{}3,4 D.{}1,2,92.设z =，则z z ⋅=（）A.-iB.1C.-1D.23.若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（）A.5B.12C.2- D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（）A.2- B.73C.1D.295.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）A.14B.13C.12D.236.已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A.4B.3C.2D.7.曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（）A.16B.32C.12D.8.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（）A.B.C.D.9.已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.1+B.1- C.32D.1原10题略10.设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（）A.①③ B.②④C.①②③D.①③④11.在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A.32B.C.72D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．原13题略12.函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是______．13.已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______．14.曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．15.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n S 的通项公式.16.如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点.（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求点M 到ABF 的距离.17.已知函数()()1ln 1f x a x x =--+．（1）求()f x 的单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，()1ex f x -<恒成立．18.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．19.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.20.实数,a b 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．参考答案2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I 卷）数学参考答案一、单项选择题【答案】1.A 【解析】【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-.故选：A.【答案】2.C 【解析】【详解】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C.【答案】3.D 【解析】【详解】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.【答案】4.A 【解析】【详解】因为()cos m αβ+=，所以cos cos sin sin m αβαβ-=，而tan tan 2αβ=，所以sin sin 2cos cos αβαβ=，故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-，从而sin sin 2m αβ=-，故()cos 3m αβ-=-，故选：A.【答案】5.B 【解析】【详解】设圆柱的底面半径为r而它们的侧面积相等，所以2ππr r=即=，故3r=，故圆锥的体积为1π93⨯=.故选：B.【答案】6.B【解析】【详解】因为()f x在R上单调递增，且0x≥时，()()e ln1xf x x=++单调递增，则需满足()2021e ln1aa-⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a-≤≤，即a的范围是[1,0]-.故选：B.【答案】7.C【解析】【详解】因为函数siny x=的的最小正周期为2πT=，函数π2sin36y x⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T=，所以在[]0,2πx∈上函数π2sin36y x⎛⎫=-⎪⎝⎭有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C【答案】8.B【解析】【详解】因为当3x<时()f x x=，所以(1)1,(2)2f f==，又因为()(1)(2)f x f x f x>-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f>+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f>+>>+>>+>，(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.二、多项选择题【答案】9.BC 【解析】【详解】依题可知，22.1,0.01x s ==，所以()2.1,0.1Y N ，故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>，C 正确，D 错误；因为()1.8,0.1X N ，所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯，因为()1.80.10.8413P X <+≈，所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<，而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<，B 正确，A 错误，故选：BC ．【答案】10.ACD 【解析】【详解】对A ，因为函数()f x 的定义域为R ，而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--'，易知当()1,3x ∈时，()0f x '<，当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时，()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,∞+上单调递增，故3x =是函数()f x 的极小值点，正确；对B ，当01x <<时，()210x x x x -=->，所以210x x >>>，而由上可知，函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()2f x f x>，错误；对C ，当12x <<时，1213x <-<，而由上可知，函数()f x 在()1,3上单调递减，所以()()()1213f f x f >->，即()4210f x -<-<，正确；对D，当10x -<<时，()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->，所以(2)()f x f x ->，正确；故选：ACD.【答案】11.ABD 【解析】【详解】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >-4x a -=，04a -=，解得2a =-，故A 正确.对于B24x +=，而2x >-，()24x+=.当0x y ==()2844=-=，故()在曲线上，故B 正确.对于C ：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+，取32x =，则2641494y =-，而64164525624510494494494---=-=>⨯，故此时21y >，故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.对于D ：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++，故0004422y x x -≤≤++，故D 正确.故选：ABD.三、填空题【答案】12.32【解析】【详解】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x ya b-=得2b y a =±，即22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225b AF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25ba=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：32【答案】13.ln 2【解析】【详解】由e x y x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln 2【答案】14.12【解析】【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯，所以()()31,2,3,48k E X k ==.从而()()()441234113382kk k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以04411A 24p ==；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以34411A 24p ==.而X 的所有可能取值是0，1，2，3，故01231p p p p +++=，()1233232p p p E X ++==.所以121112p p ++=，1213282p p ++=，两式相减即得211242p +=，故2312p p +=.所以甲的总得分不小于2的概率为2312p p +=.故答案为：12.四、解答题【答案】15.（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得22222cos 222a b c C ab ab +-===，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而sin 2C ==，又因为sin C B =，即cos 2B =，注意到()0,πB ∈，所以π3B =.（2）由（1）可得π3B =，2cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ232162sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而623136,4222a c b c +====，由三角形面积公式可知，ABC 的面积可表示为211316233sin 222228ABC S ab C c c c +==⋅⋅= ，由已知ABC 的面积为3+，可得2338c =，所以c =【答案】16.（1）由题意得2239941b a b =⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22912b a ⎧=⎨=⎩，所以12e ==.（2）法一：3312032APk -==--，则直线AP 的方程为132y x =-+，即260x y +-=，352AP ==，由（1）知22:1129x y C +=，设点B 到直线AP 的距离为d ，则1255352d ==，则将直线AP 沿着与AP 垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ++=，1255=，解得6C =或18C =-，当6C =时，联立221129260x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，解得03x y =⎧⎨=-⎩或332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，当()0,3B -时，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当33,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭时，此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，当18C =-时，联立2211292180x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得22271170y y -+=，227421172070∆=-⨯⨯=-<，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP 的距离1255d =，设()00,B x y，则220012551129x y =⎪+=⎪⎩，解得00332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或0003x y =⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP的距离5d =，设(),3sin B θθ，其中[)0,2θ∈π1255=，联立22cos sin 1θθ+=，解得cos 21sin 2θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或cos 0sin 1θθ=⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时()0,3B -，16392PAB S =⨯⨯= ，符合题意，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，联立椭圆方程有2231129y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2243240k x kx ++=，其中AP k k ≠，即12k ≠-，解得0x =或22443k x k -=+，0k ≠，12k ≠-，令22443k x k -=+，则2212943k y k -+=+，则22224129,4343k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP 的距离1255d =，5=，解得32k =，此时33,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则得到此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x -=-，令()()1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 可得()()22224324123636270k x k k x k k +--+--=，()()()2222Δ24124433636270k kk k k =--+-->，且AP k k ≠，即12k ≠-，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k ⎧-+=⎪⎪+==⎨--⎪=⎪+⎩，A 到直线PB距离192PAB d S ==⋅ ，12k ∴=或32，均满足题意，1:2l y x ∴=或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(3)2l y k x =-+，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x =，则30,32Q k ⎛⎫-+⎪⎝⎭，联立223323436y kx k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，则有()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，其中()()22223Δ8343436362702k k k k k ⎛⎫=--+--> ⎪⎝⎭，且12k ≠-，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k ----==++，则211312183922234P B k S AQ x x k k +=-=+=+，解的12k =或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x =或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.【答案】17.（1）因为PA ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AD PB ⊥，PB PA P = ，,PB PA ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而AB ⊂平面PAB ，所以AD AB ⊥.因为222BC AB AC +=，所以BC AB ⊥，根据平面知识可知//AD BC ，又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．（2）如图所示，过点D 作DE AC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，而平面PAC 平面ABCD AC =，所以DE ⊥平面PAC ，又EF CP ⊥，所以⊥CP 平面DEF ，根据二面角的定义可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即sin 7DFE ∠=，即tan DFE ∠=因为AD DC ⊥，设AD x =，则CD =，由等面积法可得，2DE =，又242xCE -==，而EFC 为等腰直角三角形，所以2EF =，故242tan 4DFE x∠==x =AD =．【答案】18.（1）0b =时，()ln 2xf x ax x=+-，其中()0,2x ∈，则()()()112,0,222f x a x x x x x =+=+∈--'，因为()22212x x x x -+⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，故()min 2f x a '=+，而()0f x '≥成立，故20a +≥即2a ≥-，所以a 的最小值为2-.，（2）()()3ln12x f x ax b x x=++--的定义域为()0,2，设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --，因为(),P m n 在()y f x =图象上，故()3ln 12m n am b m m=++--，而()()()()3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m -⎡⎤-=+-+--=-++-+⎢⎥-⎣⎦，2n a =-+，所以()2,2Q m a n --也在()y f x =图象上，由P 的任意性可得()y f x =图象为中心对称图形，且对称中心为()1,a .（3）因为()2f x >-当且仅当12x <<，故1x =为()2f x =-的一个解，所以()12f =-即2a =-，先考虑12x <<时，()2f x >-恒成立.此时()2f x >-即为()()3ln21102x x b x x +-+->-在()1,2上恒成立，设()10,1t x =-∈，则31ln 201t t bt t+-+>-在()0,1上恒成立，设()()31ln 2,0,11t g t t bt t t+=-+∈-，则()()2222232322311tbtbg t bt t t -++=-+=-'-，当0b ≥，232332320bt b b b -++≥-++=>，故()0g t '>恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当203b -≤<时，2323230bt b b -++≥+≥，故()0g t '≥恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当23b <-，则当01t <<<时，()0g t '<故在⎛ ⎝上()g t 为减函数，故()()00g t g <=，不合题意，舍；综上，()2f x >-在()1,2上恒成立时23b ≥-.而当23b ≥-时，而23b ≥-时，由上述过程可得()g t 在()0,1递增，故()0g t >的解为()0,1，即()2f x >-的解为()1,2.综上，23b ≥-.【答案】19.（1）首先，我们设数列1242,,...,m a a a +的公差为d ，则0d ≠.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形()111,2,...,42k ka a a k m d-=+=+'，得到新数列()1,2, (42)a k k m ==+'，然后对1242,,...,m a a a +'''进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设()1,2,...,42k a k k m ==+，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和()j i j <，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的(),i j 就是()()()1,2,1,6,5,6.（2）由于从数列1,2,...,42m +中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14，共3组；②{}{}{}15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42m m m m -++，共3m -组.（如果30m -=，则忽略②）故数列1,2,...,42m +是()2,13-可分数列.（3）定义集合{}{}410,1,2,...,1,5,9,13,...,41A k k m m =+==+，{}{}420,1,2,...,2,6,10,14,...,42B k k m m =+==+.下面证明，对142i j m ≤<≤+，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列：命题1：,i A j B ∈∈或,i B j A ∈∈；命题2：3j i -≠.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果,i A j B ∈∈，且3j i -≠.此时设141i k =+，242j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124142k k +<+，即2114k k ->-，故21k k ≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出141i k =+和242j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}{}{}11111111222242,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ++++++++--+，共21k k -组；③{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.第二种情况：如果,i B j A ∈∈，且3j i -≠.此时设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124241k k +<+，即2114k k ->，故21k k >.由于3j i -≠，故()()2141423k k +-+≠，从而211k k -≠，这就意味着212k k -≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出142i k =+和241j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}112121241,31,221,31k k k k k k k +++++++，{}121212232,222,32,42k k k k k k k +++++++，共2组；③全体{}11212124,3,22,3k p k k p k k p k k p +++++++，其中213,4,...,p k k =-，共212k k --组；④{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含212k k --个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：{}111243,44,...,3k k k k +++，{}12121233,34,...,22k k k k k k +++++，{}121212223,223,...,3k k k k k k +++++，{}1212233,34,...,4k k k k k ++++.可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍{}11241,42,...,42k k k +++中除开五个集合{}1141,42k k ++，{}121231,32k k k k ++++，{}1212221,222k k k k ++++，{}121231,32k k k k ++++，{}2241,42k k ++中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的142k +和241k +以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.至此，我们证明了：对142i j m ≤<≤+，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列.然后我们来考虑这样的(),i j 的个数.首先，由于A B ⋂=∅，A 和B 各有1m +个元素，故满足命题1的(),i j 总共有()21m +个；而如果3j i -=，假设,i A j B ∈∈，则可设141i k =+，242j k =+，代入得()()2142413k k +-+=.但这导致2112k k -=，矛盾，所以,i B j A ∈∈.设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈，则()()2141423k k +-+=，即211k k -=.所以可能的()12,k k 恰好就是()()()0,1,1,2,...,1,m m -，对应的(),i j 分别是()()()2,5,6,9,...,42,41m m -+，总共m 个.所以这()21m +个满足命题1的(),i j 中，不满足命题2的恰好有m 个.这就得到同时满足命题1和命题2的(),i j 的个数为()21m m +-.当我们从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <时，总的选取方式的个数等于()()()()424121412m m m m ++=++.而根据之前的结论，使得数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个.所以数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率m P 一定满足()()()()()()()()()22221111124214121412142221218m m m m m m m m P m m m m m m m m ⎛⎫+++ ⎪+-++⎝⎭≥=>=++++++++.这就证明了结论.2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷）数学参考答案一、单项选择题【答案】1.C 【解析】【详解】若1i z =--，则z ==.故选：C.【答案】2.B 【解析】【详解】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题，综上，p ⌝和q 都是真命题.故选：B.【答案】3.B 【解析】【详解】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，从而22=b .故选：B.【答案】4.C 【解析】【详解】对于A,根据频数分布表可知,612183650++=<,所以亩产量的中位数不小于1050kg ,故A 错误；对于B ，亩产量不低于1100kg 的频数为341024=+，所以低于1100kg 的稻田占比为1003466%100-=，故B 错误；对于C ，稻田亩产量的极差最大为1200900300-=，最小为1150950200-=，故C 正确；对于D ，由频数分布表可得，亩产量在[1050,1100)的频数为100(612182410)30-++++=，所以平均值为1(692512975181025301075241125101175)1067100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故D 错误.故选；C.【答案】5.A 【解析】【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x '，因为M 为PP '的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y +=>上，所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>.故选：A 【答案】6.D 【解析】【详解】解法一：令()()f x g x =，即2(1)1cos 2a x x ax +-=+，可得21cos a x ax -=+，令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，原题意等价于当(1,1)x ∈-时，曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，注意到()(),F x G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得()()00F G =，即11a -=，解得2a =，若2a =，令()()F x G x =，可得221cos 0x x +-=因为()1,1x ∈-，则220,1cos 0x x ≥-≥，当且仅当0x =时，等号成立，可得221cos 0x x +-≥，当且仅当0x =时，等号成立，则方程221cos 0x x +-=有且仅有一个实根0，即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，所以2a =符合题意；综上所述：2a =.解法二：令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--∈-，原题意等价于()h x 有且仅有一个零点，因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=，则()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即()020h a =-=，解得2a =，若2a =，则()()221cos ,1,1h x x x x =+-∈-，又因为220,1cos 0x x ≥-≥当且仅当0x =时，等号成立，可得()0h x ≥，当且仅当0x =时，等号成立，即()h x 有且仅有一个零点0，所以2a =符合题意；故选：D.【答案】7.B 【解析】【详解】解法一：分别取11,BC B C 的中点1,D D ，则11AD A D ==可知111131662222ABC A B C S S =⨯⨯⨯==⨯= 设正三棱台111ABC A B C -的为h ，则(11115233ABC A B C V h -=++=，解得433h =，如图，分别过11,A D 作底面垂线，垂足为,M N ，设AM x =，。